第6章 第53课时 平行线间的距离（课后巩固A本）-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

入年级下册|数学·（北师大版） 第53课时 平行线间的距离 课后巩固 夯实基础 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,对角线 1.如图，AD,CE是△ABC的高，过点A作AF∥ AC,BD交于点O,若△AOB的面积为8，求 BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之 △COD的面积. 间的距离的是 ( A.AB B.AD C.CE D.AC 2.如图AD∥BC,若S1表示三角形ABC的面积， S2表示三角形DBC的面积，则下列结论正确 的是 () A.S1=S2 B.S1>S2 C.SI<S2 D.S1=2S2 3.如图，AD∥BC,AC,BD相交于点E,△ABE 的面积等于2，△BEC的面积等于5，那么 能力提升 △BCD的面积是 6.如图，点P在直线m上移 动，A,B是直线n上的两 个定点，且直线m∥n.对 A n B 于下列各值：①点P到直线n的距离；②△PAB 4.如图，直线a∥b,点A,B位于直线a上，点C,D 的周长；③△PAB的面积；④∠APB的大小.其 位于直线b上，如果△ABC和△CBD的面积之 中不会随点P的移动而变化的是 比是9：16，那么AB:CD= A.①② B.①③ C.②④ D.③④ 7.定义：平面内的直线11与l2相交于点O,对于 该平面内任意一点M,点M到直线l1,l2的距 离分别为a,b,则称有序非负实数对(a,b)是点 M的“距离坐标”，根据上述定义，距离坐标为 (2,1)的点有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 ●>540 数学·课后巩固 8.如图，AD∥BC,E是线段AD上任意一点，BE拓展思维 与AC相交于点O,若△ABC的面积是5,11.观察图1，直线l1∥12，点A,B在直线l2上，点 △EOC的面积是1，则△BOC的面积是 C1,C2,C3,C4在直线11上，△ABC1,△ABC2, △ABC3,△ABC4这些三角形的面积有怎样 的关系？请说明理由， 现在我们来探讨以下问题： (1)若把图2中的四边形ABCD改成一个三角形， 9.如图，正方形ABCD的对角线BD长为22，若 并保持面积不变，可怎样改？请画图说明。 直线L满足：①点D到直线1的距离为3；②A, (2)若把图3中的四边形ABCD改成一个以 C两点到直线1的距离相等，则符合题意的直 AB为一条边的梯形或平行四边形，并保 持面积不变，可怎样改？请画图说明 线1的条数为 C,C,C. B 10.2024年高考期间，某市共有4000名学生在市 一中进行高考.一中考点拉了欢迎考生的巨型 横幅，通往一中的各个路口都进行了交通管 制.如图，李老师在马路对面由A处步行到B 处的过程中，通过隔离带的空隙O,刚好浏览 完对面围栏上的横幅.已知AB∥CD∥OH, 且相邻两条平行线间的距离相等，AC与BD 相交于点O,OD⊥CD,若AB=5米，则横幅 CD的长度是多少？ ●>550数学八年级下册（北师大版） ∴.DF与AE互相平分. 7.D8.6 9.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC,.∴.∠ADF=∠BEF. ,点F是AB的中点，AF=BF I∠ADF=∠BEF， 在△ADF和△BEF中，∠AFD=∠BFE, AF=BF, ∴.△ADF≌△BEF(AAS),∴.DF=EF 又AF=BF, ,,四边形AEBD是平行四边形 (2)解：如答图，过点D作DG⊥BC于点G,过点B作BH⊥C 于点H. .BD=BC=5,CD=6, ∴CH=DH=2CD=3, ∴.BH=/BC-C=/52-32 =4. 答图 :SAn=2BC,DG=CD·BH, ∴DG=CD2CBH-6X4-4 BC 5 ,四边形AEBD是平行四边形， ∴.BE=AD. 又AD=BC,∴.BE=BC=5, DAERD的面积为BEX DG=-5×售-24 10.(1)证明：，△ABC和△ADF都是等边三角形， .AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60° 又.∠FAB=∠FAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD ∴∠FAB=∠DAC. AF-AD 在△AFB和△ADC中，∠BAF=∠CAD, AB=AC, ∴.△AFB≌△ADC(SAS). (2)四边形BCEF是平行四边形 理由：由(1)得△AFB≌△ADC, .∠ABF=∠C=60°. 又.∠BAC=∠C=60° ∴.∠ABF=∠BAC,∴.FB∥AC 又.BC∥EF, .四边形BCEF是平行四边形. (3)成立，理由如下： :△ABC和△ADF都是等边三角形， ∴.AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60° 又.'∠FAB=∠BAC-∠FAE,∠DAC=∠DAF-∠FAE, ∴.∠FAB=∠DAC (AF=AD, 在△AFB和△ADC中，{∠BAF=∠CAD, AB=AC, ∴.△AFB≌△ADC(SAS),.∠AFB=∠ADC. 又：∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°， ∴.∠ADC=∠EAF, .∠AFB=∠EAF,.BF∥AE, 又BC∥EF,.四边形BCEF是平行四边形. 第52课时平行四边形的判定(2) 1.C2.OB=OD(答案不唯一) 3.证明：：□EFGH的对角线EG,FH相交于点O, ..OE=OG,OF=OH. 点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ..OA=20E,OC=20G,OB=20F,OD=20H, ..OA=OC,OB=OD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， 4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC,OB=OD. 又AE=CF, ..OE=OF, .四边形BFDE是平行四边形. (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.OE=OF,SAmp=S△BP: .AE=CF,AO=AE, ∴.AE=AO=OC=CF, .S△ABE=S△AB0=S△Cc=SACBF=S△ADE=S△ADO=S△amC =SACDF “图中所有面积为平行四边形BFDE面积的g的三角形有 △ABF,△ADF,△BCE,△DCE. 5.C6.37.24 8.解：(1)如答图1，☐ABCD即为所求（答案不唯一）. 、 答图1 答图2 (2)如答图2，□AMBN即为所求. 9.(1)证明：AD是等边三角形ABC的BC边上的高， ,.BD=DC,∠BAD=∠CAD=30° ED=AD, ∴.∠AED=30°，∠ADF=∠AED+∠EAD=60°. .AF⊥AB, ∴.∠DAF=90°-∠EAD=90°-30°=60°， ∴.△ADF为等边三角形，∴.AD=DF. ED=AD,∴.ED=DF, BD=DC,∴.四边形BECF为平行四边形 (2)解：AB=4,.BD=2,AD=23 △ADF为等边三角形，AF=AD=2/3, ∴BF=AB+AF=4+(2/3)=2/7. :∠ABC=60°，∠AED=30°， .∠BDE=30°，.BE=BD=2, ∴Cg边形EcF=2(BF+BE)=2(2/7+2)=4/7+4. 10.2/5 第53课时 平行线间的距离 1.B2.A3.74.9:16 5.解：如答图，过点B,C分别作AD的垂E 、A 线，交直线AD于点E,F. AD∥BC,.BE=FC :Sas=合AD·BE, SAD CF, 答图 .SAADB=S△ADC, ∴.S△ADB-SANOD=S△McD-S△AoD, '.SAOOD SAADB=8. 6.B7.C8.49.2 10.解：BD⊥CD,AB∥CD,.BD⊥AB, .∠ABO=∠CDO=90° ·相邻两条平行线间的距离相等， 44 ∴.OB=OD: ∠AOB=∠COD, 在△ABO和△CDO中，OB=OD, N∠ABO=∠CDO, .△ABO≌△CDO(ASA), ..CD=AB=5. 答：横幅CD的长度为5米 11.解：△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4这些三角形的面积 相等 理由：：直线l∥L2,∴△ABC,△ABC2,△ABC3,△ABC 的边AB上的高相等， ∴△ABC,△ABC2,△ABC,△ABC4这些三角形同底等 高，∴.△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4这些三角形的面 积相等. (1)答案不唯一，参考答案如答图1. E 作图过程：①连接AC,②过点D作AC 的平行线，与BC的延长线交于点E,③D, 连接AE,则△ABE就是符合条件的三 角形. (2)答案不唯一，参考答案如 答图1 下：将四边形ABCD改成一 个以AB为一条边的平行四M --N D 边形，如答图2，第一步：把四 边形ABCD等积变成以AB H A B 为一条边的△ABE(连接 答图2 BD,过C作CE∥BD交AD的延长线于E,连接BE), 第二步：把△ABE等积变成以AB为一条边的平行四边形 ABFG(作出△ABE的高EH,作EH的垂直平分线MN, MN交AE于G,交EH于O,过B作BF∥AE交MN于 F). 将四边形ABCD改成一个以AB为 一条底边的梯形，如答图3，连接 BD,过C点作BD的平行线CE,过 D点作AB的平行线DE,两直线交 于点E,连接BE,则梯形ABED与 答图3 四边形ABCD面积相等. 第54课时三角形的中位线 1.C2.C3.B4.A5.66.57.28.B9.C10.3 11.70° 12.(1)证明：D,E分别为AB,AC的中点， ∴DE=号BC,DE∥BC CF-BC. ∴DE=FC. (2)解：DE=FC,DE∥FC, ∴四边形DEFC是平行四边形， .DC=EF】 D为AB的中点，等边三角形ABC的边长是2， ..AD-BD-1,CD AB,BC-2, ∴DC=EF=2-1平=5. 13.解：(1)PM=PNPM⊥PN (2)△PMN是等腰直角三角形， 理由如下：由旋转知，∠BAD=∠CAE, .AB=AC,AD=AE, .△ABD≌△ACE(SAS), ∴.∠ABD=∠ACE,BD=CE. 利用三角形的中位线得，PN=?BD,PM=CE, ∴.PM=PN,∴.△PMN是等腰三角形. 参考苔案 同理可得，PM∥CE,∴.∠DPM=∠DCE, 同理可得，PN∥BD,∴∠PNC=∠DBC, '∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC, ',∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC= ∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC=∠ACB+ ∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC, :∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ABC=90°， ∴.∠MPN=90°，.△PMN是等腰直角三角形. (3)△PNMN面积的最大值是号· 第55课时章末复习 1.D2.D3.C4.B5.B6.B7.A8.B 9.对角线互相平分的四边形是平行四边形 10.511.1212.4/5 13.证明，四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC,∴.∠OAF =∠OCE. 又，OA=OC,∠AOF=∠COE, ∴.△AOF≌△COE(ASA),∴.OF=OE. 14.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， .AD=BC,AD∥BC. 点E,F分别为线段BC,AD的中点， ∴AF=合AD,CE=号BC, ..AF=CE, AF∥CE,四边形AECF为平行四边形 (2)解：四边形AECF为平行四边形，.OA=OC. ,AF=DF,.OF为△ACD的中位线， ∴.CD=2OF=2X3=6. 15.解：(1)如答图1，过点D作DH∥AB交BC于点H. AD∥BC,.四边形ABHD是平行四边形， ∴.AD=BH=a.由旋转可知△AED≌△BEF, :.AD=FB=a. AB⊥BC,.∠ABC=90°，DH⊥BC, .∠A=∠ABF=90°，点F,B,H,C在一条直线上， .∴.FH=2a. .DF=DC,DH⊥CF .∴.FH=HC=2a,∴.BC=BH+CH=3a. B H 答图1 (2)作法不唯一，如答图2，△JLG即为所求.等腰三角形的 腰为JL,JG 作法：取MN,MQ,PN的中点J,K,T,连接JK并延长，交 PQ的延长线于点L,连接JT并延长，交QP的延长线于 点G. 4 G 答图2 8考前30天基础突破答案 8 doox0xox00xooxox 基础突破第1天 1.D2.D3.B4.(2)(3)(5)(6)5.80°6.1 (AC=BD, 7.证明：在Rt△ABC和Rt△BAD中， AB-BA.