6.2平行四边形的判定定理 自主学习同步练习题 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 分层梯度清晰，从单一判定定理应用到动态综合问题，覆盖概念理解、性质应用至创新探究，适配新授课知识巩固与数学思维、创新意识培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平行四边形判定定理（边、角、对角线）|单选填空直接考查判定条件，如第1题判定条件辨析| |发展层|性质与判定综合应用（角度计算、面积关系）|结合图形变换，如第13题旋转面积计算| |提升层|动态与跨知识综合（动点、最值、旋转证明）|通过动点问题（第14题）和综合证明（第20题）培养推理能力与创新意识|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《6.2平行四边形的判定定理》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．在四边形中，下列条件不能使四边形成为平行四边形的是（    ） A．， B． ， C．， D．， 2．如图，交于点，过点的直线交于点，交于点，则图中的全等三角形共有（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 3．某广场上一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、白、橙、紫种颜色的花．如果有，，那么下列说法中错误的是（　　） A．红花，白花种植面积一定相等 B．红花，蓝花种植面积一定相等 C．蓝花，黄花种植面积一定相等 D．紫花，橙花种植面积一定相等 4．如图，，且，则（    ） A．80° B．100° C．105° D．120° 5．如图，在平行四边形中，，为中点，于点，连接，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，是的中点，于点，若，四边形的面积为24，则的长为（   ） A．3 B．4 C．4.8 D．5 7．如图，已知四边形中，，，，下列说法：①；②平分；③；④．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 8．如图，，则当_____时，四边形是平行四边形．    9．在四边形中，，，那么_________. 10．中，点、、的坐标分别为、、，则点的坐标为______． 11．如图，垂直平分，交于，，，垂足为A，，，则的长为______．    12．如图，在中，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是______．    13．如图，的面积为，将绕点逆时针旋转得到，将绕点顺时针旋转得到，连接，，当时，四边形的面积为______ ．    14．如图，在平行四边形中，，F是的中点，P以每秒1个单位长度的速度从A向D运动，到D点后停止运动；Q沿着路径以每秒3个单位长度的速度运动，到D点后停止运动．已知动点P，Q同时出发，当其中一点停止后，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，问：_______时，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形．    三、解答题 15．如图，利用尺规在的边上方作，在射线AE上截取，连接，并证明：（尺规作图要求保留作图痕迹，不写作法）． 16．如图，在平行四边形中，点E是边的中点，的延长线与的延长线相交于点F，求证：四边形是平行四边形． 17．如图，点，，，在同一条直线上，点，分别在直线的两侧，，． (1)求证：； (2)若，求证：． 18．如图，在中，为对角线，是边上一点，连接并延长交的延长线于点，且，过点作于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，求四边形的面积． 19．如图，在平行四边形中，点为对角线的交点，过点的动直线分别交于点，交于点． (1)线段 （填“”、“”或“”）； (2)如图，若动直线分别与的延长线相交于点时，则（）的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由； (3)在（）的条件下，求证：． 20．如图，在等边中，点P为内一点，连接，，，以P为顶点作，且，连接，． (1)如图1，用等式表示与的数量关系，并证明； (2)如图2，当时， ①直接写出的度数为 ； ②若D为的中点，连接，请用等式表示与的数量关系，并证明． 参考答 1．D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由平行四边形的判定定理分别对各个条件进行判断即可． 【详解】解：如图： A. 当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； B.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； C.当，时，四边形是平行四边形，不符合题意； D.当，时，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了全等三角形判定以及平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质找出全等三角形即可． 【详解】 四边形是平行四边形 ，，，， 全等三角形有：；；；；；，共6对， 故选：B． 3．B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由题意得出四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形，，，，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：如图所示： ，， 四边形、四边形、四边形、四边形、四边形是平行四边形， ，，， ， A、C、D正确，B不正确； 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等边对等角．设，作出如图的辅助线，证明是等边三角形，由，得到，据此求解即可． 【详解】解：作，，与交于点，连接， 则四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 设，则，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ∴， 故选：B． 5．D 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定和性质，正确地构造出与所求相关的等腰三角形是解决问题的关键． 过作交于，根据平行四边形的性质得到，求得，得到，，根据已知条件得到，求得，根据平行线的性质得到，得到，于是得到结论． 【详解】解：过作交于， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵为中点， ∴，， ∵于，为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． 过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F，则可证明，继而，可证明四边形是平行四边形，故四边形的面积与平行四边形的面积相等，即可求解． 【详解】解：过点E作的平行线交于点G，交延长线于点F， ∴ ∵E是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积与平行四边形的面积相等， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．A 【分析】根据平行线性质求出，得出平行四边形，即可推出；根据平行线的性质，然后根据等腰三角形的性质得平分；由，四边形是平行四边形，可得，进而由等边对等角可得：，然后由，可得，然后由角的和差计算及等量代换可得：，然后根据外角的性质可得：，进而可得：；根据等底等高的三角形面积相等即可推出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故④错误； ∵， ∴的边上的高和的边上的高相等， ∴由三角形面积公式得：， 都减去的面积得：，故③正确； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，等腰三角形的性质，三角形的面积的应用等． 8．6 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，，即对角线互相平分， 四边形是平行四边形， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键． 9． 【分析】先证四边形是平行四边形，即可由平行四边形邻角互补得到的性质得，即可得出结论． 【详解】如图，    ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 10． 【分析】过作，过作，可求直线解析式为及直线解析式为，由，即可求解． 【详解】解：如图，过作，过作，    设直线解析式为，则有 ， 解得：， 直线解析式为， 可设直线解析式为， 经过点， ， 解得：， 直线解析式为， ， ， 解得：， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定方法，待定系数法求一次函数解析式，两直线平行时解析式中相等，掌握解法是解题的关键． 11． 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，，证明，进而得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，根据勾股定理列出方程，解方程得到的长，进一步利用勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：垂直平分， ，， ，， ，即， ， ， ∴， ，垂直平分，， ∴，， 四边形为平行四边形， ，， 设，则， 在中，， 在中，， ，即， 解得：， ∴， ， 故的长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理等知识，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 12．5 【分析】平行四边形的对角线的交点是的中点O，可得当时，最小即最小，证明四边形是平行四边形，得到，即得答案． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴点O始终是的中点， ∴当时，最小，即最小． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴．即的最小值为5； 故答案为：5． 【点睛】此题考查的是平行四边形的判定和性质，正确得出最小时的位置是关键． 13．10 【分析】过点作于，过点作垂直于的延长线于，由旋转的性质得出≌≌，然后得出，是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的面积得出结论． 【详解】解：过点作于，过点作垂直于的延长线于，如图所示：    根据题意知，≌≌， ，， ，， ，是等边三角形， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，关键是利用旋转的性质得出、是等边三角形， 14．或 【分析】Q点必须在上时，A，Q，F，P为顶点的四边形才是平行四边形，分两种情况：Q点在上和Q点在上时进行讨论，利用平行四边形的性质即可求解． 【详解】解：∵以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形，且在上， ∴Q点必须在上才能满足以以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是的中点， ∴， 当Q点在上时，，且， ∴，解得； 当Q点在上时，，且， ∴，解得； 综上，或时，以A，Q，F，P为顶点的四边形是平行四边形． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，根据动点的位置不同分情况讨论是解题的关键． 15．见详解 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质和作一个角等于已知角，根据作一个角等于已知角做出得到，进一步判定为为平行四边形，即可证明． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 则． 16．见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，熟练掌握相关的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质可得，再根据中点定义可得，然后证明，得出，即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 即， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 17．(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，由此得到结论； （2）由平行四边形的性质得到，，再证明，得到，即可得到． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行四边形的面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，继而得到，证明，得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得到答案； （2）由（1）知四边形为平行四边形，得到，，根据勾股定理求出，根据平行四边形面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：由（1）知四边形为平行四边形， ，， ，， ， ， ， ． 19．(1) (2)（）的结论还成立，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（）利用平行四边形的性质证明即可求解； （）同理（）证明即可求证； （）连接，再证明四边形是平行四边形即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（）的结论还成立，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）证明：如图，连接， 由（）知，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 20．(1)，证明见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，利用倍长中线构造平行四边形是解题的关键． （1）利用证明，即可得出答案； （2）①由三角形内角和定理知，再利用角度之间的转化对进行转化，，从而解决问题； ②延长到N，使，连接，，得出四边形为平行四边形，则且，再利用证明，得． 【详解】（1）解：， 理由：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵将线段绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：①当时， 则， ∵， ∴， ∴ ， 故答案为：60°； ②， 理由：延长到N，使，连接，， ∵D为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为正三角形， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $