第6章 第51课时 平行四边形的判定(1)（课后巩固A本）-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

∴.∠GCE=∠D=∠ABC,∴.∠CEG=30° :点E为BC的中点，CE=号BC=2, 0G-20=1, ∴GE=/CE-CG=/2-1下=/3. 设DM=ME=x,则GM=8+1-x=9-x. .MG2+EG=ME, ∴.(9-x)2+（/3)2=x2, 解得x=兰，即ME=DM- 3 cM=cD-DM=8-兰-9 CD∥AB, .∠DCB=∠CBH,∠CME=∠H,∠DMN=∠HNM ,'CE=BE,∴.△MCE≌△HBE(AAS), HE=ME=兰，HB=CM=9 由折叠可得∠HMN=∠DMN, ·∠HMN=∠HNM,HN=HM=2ME=28 .NB-NH-BH-2-10-6. .AN=AB-BN=8-6=2. ,AP⊥CD,NQ⊥CD, ∴.∠DPA=∠DQN=90°，.AP=NQ,PQ=AN=2. :∠D=60°，∠DAP=30,DP=2AD=2, .NQ=AP=/AD2-DP=/4-2=2/3, ..QM-DM-DP-PQ-3 4-2-2=3 :.MN-/MQ +QN- 号+2= 3 第50课时平行四边形的性质(2) 1.A2.C3.C4.C 5.证明：四边形ABCD是平行四边形， .AB=DC,AB∥DC,OD=OB, .∠ABE=∠CDF. :点E,F分别为OB,OD的中点， ∴.OE=ED,OF=BF,∴.BE=DF (AB=CD, 在△ABE和△CDF中， ∠ABF=∠CDE, BE=DF, .∴.△ABE≌△CDF(SAS), ∴AE=CF. 6.2/57.10 8.(1)证明：在□ABCD中，点O是对角线AC,BD的交 .'DO=BO. BE⊥AC,DF⊥AC, .∠DFO=∠BEO=90° ∠DFO=∠BEO, 在△DFO和△BEO中， ∠DOF=∠BOE, DO-BO, ∴.△DFO≌△BEO(AAS),∴.FO=EO; :DO=BO,FO=EO,∴.BD与EF互相平分. (2)解：在□ABCD中，CD=AB=13, DF⊥AC,∴∠DFC=90°， ∴DF=/D-CF=5, .EF=DF=5,..CE=CF-EF=7. .AO=CO,FO=EO, 参考咨案 ..AO-FO=CO-EO,AF=CE=7, .AC=AF+CF=7+12=19, SoMC=2SAA=2XAC.DF=95. 9.解：设∠CAD=x°，：四边形ABCD是等腰梯形，∴.AD∥ BC,AB=CD,∠B=∠BCD, ,∠CAD=∠ACB=x°，AB=AD,.AD=CD,∴∠ACD =∠CAD=x°， .∠B=∠BCD=2x°.在△ABC中，AB⊥AC,.∠ACB十 ∠B=90°，∴.x十2x=90, 解得x=30,,∠B=2×30°=60° 10.解：如答图所示，作点E,G,M,使得AE=OE,AG=AO,AO =M0O, 当点P分别运动到点E,G,M时，△APO是等腰三角形 ①当点P运动到点E: 此时∠BFE=∠DEF=2 ETG M D ∠EAO=2∠ACB=60° 又，'∠ABC=90°-∠ACB= 60°，且AE∥BF, .四边形ABFE为等腰梯形， 答图 ∴AE=OE=2EF=2AB= 2, 6= ②当点P运动到点G: 此时AG=A0=名AC=是AB=33 21 2 4盟 ③当点P运动到点M: AO=MO,则∠CAD=∠AMO=30. 作OT⊥AM交AM于点T, 根据等腰三角形三线合一，得 AM=AT=2a0,复=号4C=g,AB:5=号， 4=号 答：的值为号或2或号 第51课时平行四边形的判定(1) 1.C2.B 3.AD=BC(或AB∥CD或者∠BAC=∠ACD,答案不唯一) 4.平行四边形 5.证明：四边形ABCD是平行四边形 AD=BC,AD∥BC. .AE=CF, .ED=BF,DE∥BF, ∴，四边形BFDE是平行四边形 6.证明：如答图，连接AF,DE 答图 EF∥AB,DF∥BE, .四边形BDFE是平行四边形，∴BD=EF D是AB的中点，AD=BD,EF=AD EF∥AB,.EF∥AD, .四边形ADEF为平行四边形， 43 数学八年级下册（北师大版） ∴.DF与AE互相平分. 7.D8.6 9.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC,.∴.∠ADF=∠BEF. ,点F是AB的中点，AF=BF I∠ADF=∠BEF， 在△ADF和△BEF中，∠AFD=∠BFE, AF=BF, ∴.△ADF≌△BEF(AAS),∴.DF=EF 又AF=BF, ,,四边形AEBD是平行四边形 (2)解：如答图，过点D作DG⊥BC于点G,过点B作BH⊥C 于点H. .BD=BC=5,CD=6, ∴CH=DH=2CD=3, ∴.BH=/BC-C=/52-32 =4. 答图 :SAn=2BC,DG=CD·BH, ∴DG=CD2CBH-6X4-4 BC 5 ,四边形AEBD是平行四边形， ∴.BE=AD. 又AD=BC,∴.BE=BC=5, DAERD的面积为BEX DG=-5×售-24 10.(1)证明：，△ABC和△ADF都是等边三角形， .AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60° 又.∠FAB=∠FAD-∠BAD,∠DAC=∠BAC-∠BAD ∴∠FAB=∠DAC. AF-AD 在△AFB和△ADC中，∠BAF=∠CAD, AB=AC, ∴.△AFB≌△ADC(SAS). (2)四边形BCEF是平行四边形 理由：由(1)得△AFB≌△ADC, .∠ABF=∠C=60°. 又.∠BAC=∠C=60° ∴.∠ABF=∠BAC,∴.FB∥AC 又.BC∥EF, .四边形BCEF是平行四边形. (3)成立，理由如下： :△ABC和△ADF都是等边三角形， ∴.AF=AD,AB=AC,∠FAD=∠BAC=60° 又.'∠FAB=∠BAC-∠FAE,∠DAC=∠DAF-∠FAE, ∴.∠FAB=∠DAC (AF=AD, 在△AFB和△ADC中，{∠BAF=∠CAD, AB=AC, ∴.△AFB≌△ADC(SAS),.∠AFB=∠ADC. 又：∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°， ∴.∠ADC=∠EAF, .∠AFB=∠EAF,.BF∥AE, 又BC∥EF,.四边形BCEF是平行四边形. 第52课时平行四边形的判定(2) 1.C2.OB=OD(答案不唯一) 3.证明：：□EFGH的对角线EG,FH相交于点O, ..OE=OG,OF=OH. 点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ..OA=20E,OC=20G,OB=20F,OD=20H, ..OA=OC,OB=OD, ∴.四边形ABCD是平行四边形， 4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC,OB=OD. 又AE=CF, ..OE=OF, .四边形BFDE是平行四边形. (2)解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.OE=OF,SAmp=S△BP: .AE=CF,AO=AE, ∴.AE=AO=OC=CF, .S△ABE=S△AB0=S△Cc=SACBF=S△ADE=S△ADO=S△amC =SACDF “图中所有面积为平行四边形BFDE面积的g的三角形有 △ABF,△ADF,△BCE,△DCE. 5.C6.37.24 8.解：(1)如答图1，☐ABCD即为所求（答案不唯一）. 、 答图1 答图2 (2)如答图2，□AMBN即为所求. 9.(1)证明：AD是等边三角形ABC的BC边上的高， ,.BD=DC,∠BAD=∠CAD=30° ED=AD, ∴.∠AED=30°，∠ADF=∠AED+∠EAD=60°. .AF⊥AB, ∴.∠DAF=90°-∠EAD=90°-30°=60°， ∴.△ADF为等边三角形，∴.AD=DF. ED=AD,∴.ED=DF, BD=DC,∴.四边形BECF为平行四边形 (2)解：AB=4,.BD=2,AD=23 △ADF为等边三角形，AF=AD=2/3, ∴BF=AB+AF=4+(2/3)=2/7. :∠ABC=60°，∠AED=30°， .∠BDE=30°，.BE=BD=2, ∴Cg边形EcF=2(BF+BE)=2(2/7+2)=4/7+4. 10.2/5 第53课时 平行线间的距离 1.B2.A3.74.9:16 5.解：如答图，过点B,C分别作AD的垂E 、A 线，交直线AD于点E,F. AD∥BC,.BE=FC :Sas=合AD·BE, SAD CF, 答图 .SAADB=S△ADC, ∴.S△ADB-SANOD=S△McD-S△AoD, '.SAOOD SAADB=8. 6.B7.C8.49.2 10.解：BD⊥CD,AB∥CD,.BD⊥AB, .∠ABO=∠CDO=90° ·相邻两条平行线间的距离相等， 44入年级下册|数学·（北师大版） 第51课时 平行四边形的判定(1) 课后巩固 夯实基础 6.如图，在△ABC中，D是AB的中点，E是AC 1.下列选项中，不能判定如图四边形ABCD是平 上一点，EF∥AB,DF∥BE.证明：DF与AE 行四边形的是 ( 互相平分. A.AD∥BC,AB∥CD B.AB∥CD,AB=CD C.AD∥BC,AB=DC D.AB-DC,AD=BC 2.如图，将△ABC平移后得到△DEF,连接AD, 若∠B=75°，∠EDF=80°，BC=5,CF=3,则 下列说法错误的是 A.∠F=259 B.DF=5 C.四边形ACFD是平行四边形 D.平移的距离为3 3.如图，在四边形ABCD中， AB=CD,添一个条件 ,使四边形ABCD是平行 四边形.（不需添其他辅助线） 4.一个四边形边长依次为a,b,c,d,且(a一c)2+ 短能力提升 b一d=0,则这个四边形的形状为 7.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,一1)， 5.如图，在□ABCD中，点E,F分别在AD,BC上， B(4,2),C(0,3),下列坐标对应的点不能与A, 且AE=CF.求证：四边形BFDE是平行四边形 B,C构成平行四边形的是 () A.(-3,0) B.(5,-2) C.(3,6) D.(-3,-2) 8.如图，在□ABCD中，点E,F分别在CD,BC的 延长线上，且满足∠ABC=∠F.若AE∥BD, AB=3,则EF= ●>520 数学·课后巩固 9.如图，在口ABCD中，点F是AB的中点，连接拓展思维 DF并延长，交CB的延长线于点E,连接AE. 10.已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一 (1)求证：四边形AEBD是平行四边形； 个动点（点D不与B,C重合），△ADF是以 (2)若BD=BC=5,CD=6,求平行四边形AEBD AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行 的面积 线交AC于点E,连接BF 图1 图2 (1)如图1，求证：△AFB≌△ADC; (2)请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由； (3)若D点在BC边的延长线上，如图2，其他条件 不变，请问(2)中结论还成立吗？不需要说明 理由. ●>530