第4章 第34课时 提公因式法(1)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学八年级下册（北师大版） 河岸m,n之间的距离，沿与河岸p垂直的方向平移点B到 J,使BJ=河岸p,9之间的距离，连接JT交河岸n于点C, 交河岸q于点E,过C作CD⊥河岸m于点D,过E作EF⊥ 河岸p于点F,连接AD,BF,此时AD十DC十CE+EF+FB 的值最小，则线段CD,EF即为所求. D D 鱼 C B Ipq 图1 图2 图3 2.解：(1)如答图1，沿由A到B的方向将点M平移到M,使 MM=s米，连接MN交直线AB于点D,将点D沿直线AB 向左平移s米到点C,此时C到M的距离与D到N的距离 之和最小，则CD即为所求， s米 D p 答图1 答图2 (2)如答图2，作线段AP∥1，使AP=s米，且点P在点A的右 侧，作点P关于L的对称点P',连接BP交l于点D,在l上点 D的左侧截取DC=s米，此时C到小区A的距离与D到小区 B的距离之和最小，则CD即为所求. (3)示意图如答图3，将直线1向上平移b米，得到直线'，作 点B关于直线'的对称点B′，作B'B"∥直线I,使得BB"=a 米；连接AB交直线'于点C,过点C作CD⊥L于点D,分别 在直线l,'上取点E,F,使DE=CF=a米，得到长方形 CDEF,则长方形CDEF即为所求 B F ----… 、E 答图3 第32课时章末复习 高频考点精练·体验中考 1.B2.A3.B4.D 5.(4,2)6.247.(3/2,3/2) 8.解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求 5 答图 由图可得，点C1的坐标为(4,1). (2)如答图，△A2B2C2即为所求.由图可得，点C2的坐标为 (-1,4). 易错二次闯关 1.B2.①②③3.(1,2)4.46°5.136.16 7.解：由旋转可得，△ABC≌△ADE, .∠ABC=∠ADE=30°，AD=AB, ∠BDE=10°，.∠ADB=40°=∠ABD, .∠BAD=100°， 又·△ABC2△ADE,.∠BAC=∠DAE, .∠EAC=∠DAB=100°. 第四章因式分解 第33课时因式分解 新课学习 多项式互逆恒等 核心讲练 例1B变1B例2B变21一56 课堂过关 1.D2.B3.D4.6个5.1，-2 6.(a+2b)·(a+b) 7.解：(1)设x2-4x十k=A(x十1)， 若x十1=0，则有x2一4x十k=0, 将x=-1代入x2-4x十=0，得1十4十k=0, 解得k=一5. (2):。+分士1+4a可化为整式， a十3 .(a十3)是多项式a2十+1十4a的一个因式， 设a2+b2+1+4a=A(a+3), 若a十3=0，则有a2+6+1十4a=0, 将a=-3代入a2+62+1+4a=0,得 9+b2+1-12=0, .b2=2, ：原式=g+4a+3-=。+4a+4-1=a+22-1_ a+3 a+3 a+3 (a+3)(a+1D=a十1. a+3 (3).(x-1)和(x一2)是多项式x4+mx3十nx-16的两个 因式， 设x4+mx3+n.x-16=A(x-1)(x-2), .若x-1=0,则有x十m.x3十nx-16=0,将x=1代入x +mx3+n.x一16=0，得 1+m+n-16=0, 若x一2=0，则有x十mx3十nx一16=0，将x=2代入x十 m.x3+n.x-16=0,得 16+8m+2n-16=0, 解得m=一5，n=20, .直线的解析式为y=(k+5)x一20十k, ①当k+5≠0，即k≠一5时，由直线不经过第二象限，得 1k+5>0, 解得-5<k≤20. 1-20+k≤0， ②当k十5=0，即k=一5时，y=一25<0，符合题意. 综上所述，k的取值范围是一5≤k≤20. 第34课时提公因式法(1) 新课学习 1.相同2.分配 核心讲练 例1A变1D例2A变2B例3A 变3解：原式=2024X(1+2024一2025)=0. 课堂过关 1.B2.B3.C4.A5.66.B 7.(1)x(x-1)(2)3x(x+1)(3)-6x2y(5xy-8z) (4)-3y(4x2-6x+5) 8.解：长和宽分别为a,b的长方形的周长为10，面积为6， .a+b=5,ab=6, ..a2b+ab2=ab(a-+b)=5X6=30. 9.(1)a3-b3(2)b(a-b)a2(a-b) (3)ab(a-b)+b(a-b)+a2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b) (4)a3-b=(a-b)(a2+ab+b)(5)40 第35课时提公因式法(2) 核心讲练 例1解：原式=(x-y)(3a一1). 变1解：原式=6（十q)(p十q-2). 例2解：原式=2(x-y)2十3(x一y) =(x-y)(2x-2y+3). 变2解：原式=m2-n2-2mm十n2 -m2-2mn =m(m-2n). 变3B 课堂过关 1.C2.C3.C4.C 5.(1)(x+y)(7x-4y)(2)(x一y)(3m一2x+2y) (3)6(a-b)2(5b-2a)(4)(a-3)(2a-7) (5)(x-a)·(a-b-c) 6.解：原式=2x(a-2)十y(a-2)=(a-2)(2x十y), 当a=0.5,x=1.5,y=-2时， 原式=(0.5-2)×(3-2)=-1.5. 7.解：原式=(x-y)2+(y-x)2·(y-x) =(x-y)2+(x-y)2·(y-x) =(x-y)2[1+(y-x)] =(x-y)2(1-x十y). 8.解：原式=ab(3x-y)一ac(3x-y)+ad(3x-y) =a(3x-y)(b-c+d). 9.(1)提公因式(2)(1+x)220 解：(3)原式=(1十x)[1+x十x(x+1)十x(x+1)2+…+x (x+1)"-1] =(1+x)2[1+x+x(x+1)+…+x(x+1)-2] =(1+x)-1(x+1)(x+1) =(1+x)+1」 第36课时公式法(1) 核心讲练 例1B 变1解：原式=5-（子m) =(6+m)(6-子m）: 例2解：原式=(2m十n十m)(2m十n一m) =(3m十n)(m+n). 变2解：原式=[(x+2)+(2x-1)][(x+2)-(2x-1)] =(3x+1)(3一x). 例3D 变3解：原式=(7.29+2.71)(7.29-2.71) =10×4.58 =45.8. 课堂过关 1.C2.A 3.(1)(x+5y)(x-5y)(2)(5n+2m)(5n-2m) (3)(b+3a)(b-a)(4)(a2+1)(a+1)(a-1) (5)4(2m+n)(m+2n)(6)m(x+2y)(x-2y) 4.D5.B 6.8(x+1) 7.解：原式=(1002-992)十(982-972)+…+(42-32)+(22 一1)=(100+99)×(100-99)+(98+97)×(98一97)+… +(4+3)×(4-3)+(2+1)×(2-1)=100+99+98+…+ 参考苔宋 3+2+1=5050. 8.a24-1(22(3"-1)(a)0 第37课时公式法(2) 核心讲练 例1B变18或-8变29 例2解：(1)原式=x2+2·x·7+7=(x+7)2. (2)原式=(3x)2-2·3x·2十22=(3x-2)2. (3)原式=d+2a…合+（分》'=(e+2)月 (4)原式=[3(a+b)]2-2·3(a+b)·2+22=[3(a+b) -2]2=(3a+3b-2)2. (5)原式=-(a2-10a+25)=-(a-5)2. 课堂过关 1.A 2.(1)(x+2)2(2)(2x-3)2(3)(3x-3y十1) (4)3(1-x)2 3.A4.A5.B6.±247.7 8.(1)D(2)不彻底(x-2) 解：(3)(x一1)4.（过程略） 微专题8因式分解的方法 例1解：原式=一5a(4十3x). 【举一反三1】解：原式=3ab(3c-2ab+4c2). 【举一反三2】解：原式=(2x-y)(x十3y+x+y) =(2x-y)(2x+4y) =2(2x-y)(x+2y). 例2解：(1)原式=(a-1)2. (2)原式=(x+4)(x-4). 【举一反三】解：(1)原式=5(4x2-4x十1)=5(2x-1)2. (2)原式=b(a2一16)=b(a+4)(a-4). (3)原式=3x2(x-2y)-18x(x-2y)+27(x-2y) =3(x-2y)(x2-6x+9) =3(x-2y)(x-3)2. 例3解：原式=(ax十ay)十(bx十by) =a(x+y)+b(x+y) =(x+y)(a+b). 【举一反三1】解：原式=(x+y)(x一y)一(x+y) =(x+y)(x-y-1). 【举一反三2】解：原式=(4a2十4a十1)一b(4a2+4a+1) =(2a+1)2(1-b). 例4解：原式=m2+6m十9-1 =(m十3)2-1 =(m+3+1)(m+3-1) =(m+4)(m+2). 【举一反三】解：原式=a2-6a十9-1 =(a-3)2-1 =(a-3-1)(a-3+1) =(a-2)(a-4). 例5解：原式=(x十7)(x-1). 【举一反三】解：(1)原式=(m-5)(m+1). (2)原式=(x+3)(x-1). (3)原式=(x-4)(x+2). 例6解：号[a2+4a-4)+(a2+4a+6]=d2+4a+1, .令t=a2+4a+1,得(t-5)(t+5)+25=t,即原式= (a2+4a+1)2. 【举一反三】解：原式=[(x+1)(x+3)][(x-1)(x+5)]+16 =(x2+4x+3)(x2+4x-5)+16, 令t=x2+4x,得(t+3)(t-5)+16=t-2t-15+ 16=t2-2t+1=(t-1)2, 5数学·八年级下册（北师大版） 第34课时 提公因式法(1) 新课学 1.多项式的各项中都含有 的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式 2.提公因式法分解因式实际上是逆用乘法 律，即ma十mb+mc=m·(a十b+c). 3.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“一”号，使括号内第一项的系数变为正数，同时多 项式的各项都要变号. 4.用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该 项变为：“+1”或“一1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误. 知识点1公因式的概念 变1用提公因式法对多项式8a2b-12a3b2c分解 例1多项式a2一2a的公因式是 因式，其中各项的公因式是 ) A.a B.a2 C.2a D.-2a A.8a2b B.12ab2c C.4ab D.4a2b 知识点2提公因式法分解因式 例2把多项式a2一9a分解因式，结果正确的是 变2下列各式提公因式法分解因式正确的是 ( ) ( A.a(a-9) B.(a+3)(a-3) A.12xyz-9x2y2=3xyz(4-3xy) C.a(a+3)(a-3) D.-a(a-9) B.3a2y-3ay+3y=3y(a2-a+1) C.-x2+xy-xx=-x(x+y-z) D.a26+5ab-b=b(a2+5a) 知识点3应用提公因式法分解因式简化计算 例3已知x十y=6,xy=4,则x2y十xy2的值为 变3用简便方法计算：2024+2024-2024×2025. ( A.24 B.10 C.2 D.1 脚第一关 过基础 2.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是 1.使用提公因式法对4ab一6ab2+2a3b3分解因 式时，各项的公因式是 ( ) A.x(x-y)=x2-xy A.12ab B.2ab C.2ab D.4a2b B.x2-4=(x+2)(x-2) C.3(x-1)=3x-3 D.(x+1)2=x2+2x+1 ●>86● 第四章因式分解 3.一个多项式因式分解后是3x(x十1)，那么这 4.一4x2y+2xy一2xy分解因式的结果是( ) 个多项式是 A.-2xy(2x-y+1) B.2xy(-2x+y) A.3x2+1 B.3x2+x C.2xy(-2xy+y-1) D.-2xy(2x+y-1) C.3x2+3x D.4x 知第二关 过能力 5.已知a十b=3,ab=2,则ab+ab2= 6.计算（一2）1+（一2）9的结果为 A.-299 B.29 C.-2 D.2 7.利用提公因式法对下列各式分解因式： 8.如图，长和宽分别为a,b的长方形的周长为 (1)x2-x= 10,面积为6，求ab+ab2的值. (2)3x2+3x= (3)-30x3y2+48x2yz= (4)-12x2y+18xy-15y= 雷第三关过思维 9.我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式.类似地，我们可以借助一个棱长为α 的大正方体进行以下探索： B M ①D② ① (1)在大正方体一角截去一个棱长为b(b<α)的小正方体，如图①所示，则得到的几何体的体积为 (2)将图①中的几何体分割成三个长方体①②③，如图②所示，.BC=a,AB=a一b,CF=b,∴.长方体 ①的体积为ab(a一b).类似地，长方体②的体积为 ,长方体③的体积为 (结果不需要化简) (3)将表示长方体①②③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为 (4)用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为 (5)已知a-b=4,ab=一2，则a3-b3= ●>87●