第3章 问题解决活动：最短距离-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

即∠ACD=∠BCE, (CA=CB, 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE, CD-CE, .△ACD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°， .∠CDE=45°， ./AEB=90°， 在等腰直角三角形△DCE中，CM为斜边DE上的高， .CM=DM=ME,∴.DE=2CM, ∴.AE=DE+AD=2CM+BE, ∴.AE=2CM+BE. (3)BD的最大值为62+4，BD的最小值为6/2一4. 微专题7图形旋转的综合应用 例1B 【举一反三】B 例2A 【举一反三】D 例3C 【举一反三】C 例4A 【举一反三】B 例5解：(1)由题知，△ABD≌△ECD, .AD=DE,∠BDA=∠CDE, ∴.∠BDC=∠ADE=60°，∠ABD=∠ECD, ∠BAC=120°，∠BDC=60°， .∠BAC+∠BDC=180°， ∴.∠ABD+∠ACD=180°， ∴.∠ACD+∠ECD=180°， 点A,C,E在一条直线上， ∴△ADE是等边三角形， .∠EAD=60°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠EAD=60° (2)7 【举一反三】解：(1)如答图，过点A'分别作A'C⊥OA,A'D⊥ AB,垂足分别为C,D, 可得矩形A'CAD,得A'C=AD,A'D=AC, 点A(2,0),点B(2,2), y ∴.OA=AB=2,∠OAB =90°， ,AB是AB绕点B顺时针旋 A D 转得到的， ∴.∠A'BD=a=45°，A'B= 0 C AB=2, 答图 A'D⊥AB, ∴.∠A'BD=∠BA'D=45°. ∴.在等腰直角三角形A'DB中， 由勾股定理知，A'B2=A'D2+BD,得A'D=BD =2, ..AD=AB-BD=2-/2,OC=OA-AC=2 -2, ∴点A'的坐标为(2-2,2-2). (3)线段OM长的取值范围是2/2-1≤OM≤2/2 +1. (2)A'(2-3,1) 第30课时中心对称和中心对称图形 核心讲练 例1B例2A 参考苔案 例3解：四边形A'B'C'D'如答图所示 D 答图 变1解：如答图所示，BB,CC的交点即为对称中心O,△A' B'C即为所求 0 B 答图 课堂过关 1.C2.B3.C4.25.B6.D 7.(1)= 解：(2)如答图1所示 然图1 答图2 (3)如答图2所示， 第31课时 简单的图案设计 核心讲练 例1A变1B 例2解：(1)轴对称图形如答图1所示（答案不唯一） 答图1 答图2 (2)中心对称图形如答图2所示（答案不唯一）. 课堂过关 1.B2.D3.D4.3 5.(1)PC=PB2+PA2 解：(2)成立，即PC=PA+PB, 将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到了△ACP',然后连接 PP,如答图所示， 根据旋转的性质，得△ABP ≌△ACP', ∠PAP'=60°，AP=AP', ∴∠APB=∠APC=30°，PB=PC, B △PAP为等边三角形， ∴∠APP=60°，PP'=PA, P ∴.∠PP'C=∠AP'P+∠AP'C=60 答图 +30°=90°， .'P'C2+PP2=PC,PC=PB2+PA2. 问题解决活动：最短距离 1.解析：(1)如答图1，连接AB交1于点P,点P即为所求. (2)如答图2，沿与河岸m垂直的方向平移点A到T,使得 AT=河的宽度，连接BT交河岸n于点C,过C作CD⊥河岸 m于点D,连接AD,此时AD十CD十BC的值最小，则线段 CD即为所求. (3)如答图3，沿与河岸m垂直的方向平移A到T,使AT 3 数学八年级下册（北师大版） 河岸m,n之间的距离，沿与河岸p垂直的方向平移点B到 J,使BJ=河岸p,9之间的距离，连接JT交河岸n于点C, 交河岸q于点E,过C作CD⊥河岸m于点D,过E作EF⊥ 河岸p于点F,连接AD,BF,此时AD十DC十CE+EF+FB 的值最小，则线段CD,EF即为所求. D D 鱼 C B Ipq 图1 图2 图3 2.解：(1)如答图1，沿由A到B的方向将点M平移到M,使 MM=s米，连接MN交直线AB于点D,将点D沿直线AB 向左平移s米到点C,此时C到M的距离与D到N的距离 之和最小，则CD即为所求， s米 D p 答图1 答图2 (2)如答图2，作线段AP∥1，使AP=s米，且点P在点A的右 侧，作点P关于L的对称点P',连接BP交l于点D,在l上点 D的左侧截取DC=s米，此时C到小区A的距离与D到小区 B的距离之和最小，则CD即为所求. (3)示意图如答图3，将直线1向上平移b米，得到直线'，作 点B关于直线'的对称点B′，作B'B"∥直线I,使得BB"=a 米；连接AB交直线'于点C,过点C作CD⊥L于点D,分别 在直线l,'上取点E,F,使DE=CF=a米，得到长方形 CDEF,则长方形CDEF即为所求 B F ----… 、E 答图3 第32课时章末复习 高频考点精练·体验中考 1.B2.A3.B4.D 5.(4,2)6.247.(3/2,3/2) 8.解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求 5 答图 由图可得，点C1的坐标为(4,1). (2)如答图，△A2B2C2即为所求.由图可得，点C2的坐标为 (-1,4). 易错二次闯关 1.B2.①②③3.(1,2)4.46°5.136.16 7.解：由旋转可得，△ABC≌△ADE, .∠ABC=∠ADE=30°，AD=AB, ∠BDE=10°，.∠ADB=40°=∠ABD, .∠BAD=100°， 又·△ABC2△ADE,.∠BAC=∠DAE, .∠EAC=∠DAB=100°. 第四章因式分解 第33课时因式分解 新课学习 多项式互逆恒等 核心讲练 例1B变1B例2B变21一56 课堂过关 1.D2.B3.D4.6个5.1，-2 6.(a+2b)·(a+b) 7.解：(1)设x2-4x十k=A(x十1)， 若x十1=0，则有x2一4x十k=0, 将x=-1代入x2-4x十=0，得1十4十k=0, 解得k=一5. (2):。+分士1+4a可化为整式， a十3 .(a十3)是多项式a2十+1十4a的一个因式， 设a2+b2+1+4a=A(a+3), 若a十3=0，则有a2+6+1十4a=0, 将a=-3代入a2+62+1+4a=0,得 9+b2+1-12=0, .b2=2, ：原式=g+4a+3-=。+4a+4-1=a+22-1_ a+3 a+3 a+3 (a+3)(a+1D=a十1. a+3 (3).(x-1)和(x一2)是多项式x4+mx3十nx-16的两个 因式， 设x4+mx3+n.x-16=A(x-1)(x-2), .若x-1=0,则有x十m.x3十nx-16=0,将x=1代入x +mx3+n.x一16=0，得 1+m+n-16=0, 若x一2=0，则有x十mx3十nx一16=0，将x=2代入x十 m.x3+n.x-16=0,得 16+8m+2n-16=0, 解得m=一5，n=20, .直线的解析式为y=(k+5)x一20十k, ①当k+5≠0，即k≠一5时，由直线不经过第二象限，得 1k+5>0, 解得-5<k≤20. 1-20+k≤0， ②当k十5=0，即k=一5时，y=一25<0，符合题意. 综上所述，k的取值范围是一5≤k≤20. 第34课时提公因式法(1) 新课学习 1.相同2.分配 核心讲练 例1A变1D例2A变2B例3A 变3解：原式=2024X(1+2024一2025)=0. 课堂过关 1.B2.B3.C4.A5.66.B 7.(1)x(x-1)(2)3x(x+1)(3)-6x2y(5xy-8z) (4)-3y(4x2-6x+5) 8.解：长和宽分别为a,b的长方形的周长为10，面积为6， .a+b=5,ab=6,数学·八年级下册（北师大版） 问题解决活动：最短距离 类型1根据最短距离架桥 1.架桥通常会考虑多种因素，其中一个就是路线规划，要使桥两边A,B两地间的路程尽量短，以减少 通行时间和成本 (1)如图①，河1的宽度忽略不计，即桥的宽度忽略不计，请你在1上画出表示桥的位置的点P,使从 A地经过桥到B地的路程最短； (2)如图②，河岸m和n之间的宽度不可忽略，即桥的宽度不可忽略，请你在m和n之间画出表示 桥的位置的线段CD,使桥与河岸垂直，并且从A地经过桥到B地的路程最短； (3)如图③，河岸m和，p和q之间的宽度不可忽略，即桥的宽度不可忽略，请你在m和n之间、p 和q之间分别画出表示桥的位置的线段CD和EF,使每座桥与相应的河岸垂直，并且从A地经 过2座桥到B地的路程最短 A 4 田 鱼m B ① ② ③ ●>80《● 第三章图形的平移与旋转 类型2根据最短距离确定位置 2.(1)如图①，两个居民小区M和N在街道AB的两侧，现欲在街道边建一个长度为s米的文化长廊 CD,使C到M的距离与D到N的距离之和最小.请在图中画出长廊CD的位置.并写出画图 过程. M s米 B ① (2)街道l同侧的两个居民小区A,B到街道的距离分别为a米、b米.如图②，AA'=a米，BB'=b 米.现欲在街道边建一个长度为s米的绿化带CD(宽度忽略不计)，使C到小区A的距离与D 到小区B的距离之和最小.在图③中画出绿化带的位置，并写出画图的过程. A A s米 米 B ,b米 A'Cs米DB A B ② ③ (3)如图④，街道l同侧有A,B两个居民小区，现计划在街道边建一个长为a米，宽为b米的长方形 公园（公园用CDEF表示，DE边与街道l在同一直线上，CF=a米，CD=b米），C,F处分别是 公园大门（门口宽度忽略不计）.怎样建公园才能使小区A到大门C的距离与小区B到大门F 的距离之和最小？ 。 B ⑦ ●>81《●