3.问题解决活动：最短距离-【新课程能力培养】2025-2026学年新教材八年级下册数学同步练习（北师大版2024）

图形的平移与旋转 第三章 问题解决活动：最短距离 自主导学Q典例精析 例题如图，一条东西流向的小河在GG处直角转弯，改变为南北 流向，河宽不变。A,B两地分别在河的北岸和西岸，现分别要在东西、 南北流向的河上建CD,EF两座桥，桥造在何处可使从A到B的路径 A CDEFB最短？（假设河两岸是平行线，桥与河垂直且等于河宽） B c d 【分析】由于河的宽度是固定的，因此当AC+DE+BF最小时，AC+ 例题图 CD+DE+EF+BF最小。进而沿垂直河岸的方向平移点A到点A',平移点B到点B',使得AA'= BB'=河宽，连接A'B交河岸于点D,E,根据两点之间线段最短，可确定桥CD,EF的位置。 【解答】把河的两岸看成平行线a,b和c,d,将点A沿河岸垂直的 方向平移到点A',平移的距离等于河宽，即AA'=CD;同理，将点B沿 D 河岸垂直的方向平移到点B'，平移的距离等于河宽，即BB'=EF。连接 A',B两点的线中，线段A'B最短，因此A'B'与直线b,d的交点D,E 的位置即为所求，即在点D,E处造桥DC,EF,所得路径ACDEFB BE 最短。 例题答图 【点拨】此题考查了利用平移、轴对称求最短路径。求包含固定长度的最值问题，一般是 利用平移变换，将其转化为求动四边形A'DEB边长最小问题，再利用两点之间线段最短求解。 能力提升睡综合拓展 -卡多多 1.如图，在长方形ABCD中，AB=5,BC=4,E,F分别是AD,BC的中点，点P,Q在 EF上且满足PQ=2,求四边形APQB周长的最小值。 第1题图 2.如图，长方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上， OA=3,OC=4,D为OC边的中点，E,F为边OA上的两个动点，且EF=2,当四边形BDEF 的周长最小时，求出点E的坐标。 OE FA 第2题图 80 口数学 八年级下册（北师大版） 3.【问题情境】 (1)如图1，点C为线段BD上一动点，分别过点B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接 AC,EC。已知AB=6,DE=2,BD=10。设CD=x,用含x的代数式表示AC+CE的长。 【数学思考】 (2)如图2，在某河道1一侧有A，B两家工厂，它们到河道的距离AD,BC分别是 4km,6km,两工厂之间的距离AB是6km。为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个 抽水点P,且使得抽水点P到A,B两家工厂的距离之和最短，求PA+PB的最小值。 (3)请结合上述思路，求代数式Vx+4+V(12-x)2+49(0≤x≤12)的最小值。 图1 图2 第3题图 4.如图，某货运场为一个长方形场地ABCD,其中AB=500m,AD=800m,顶点A,D 为两个出口，现想在货运场内建一个货物堆放平台M,在BC边上（含B,C两点）开一个 货物入口E,并修建三条5m宽的专用车道MA,MD,ME。若修建每米专用车道的费用为 500元，那么平台M、货物入口E建在何处时，修建专用车道的费用最少？最少费用为多少 万元？（结果保留整数） 第4题图 ②参考答案与提示 2图形的旋转（第3课时) ☆问题解决活动：最短距离 1.B2.C 1.解：AB=5,PQ=2,.四边形APQB的周长为 3.解：线段AB是中心对称图形，对称中心是AB AP+PO+BO+AB=AP+BO+7。要使四边形APOB的周长 的中点；等边三角形不是中心对称图形；平行四边形 最小，只要AP+BQ最小即可。如图，在AB边上截取 是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点；正 AM=PQ,E,F分别是AD,BC的中点，.点B关于 八边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 EF的对称点为点C,连接CM,交EF于点Q,连接 画图略。 PM,.∠AMP=∠QPM。AM=PQ,MP=PM,∴. 4.证明：△AB0与△CD0关于点0中心对称， △AMP≌△QPM。.AP=MQ。则CM即为CQ+MQ=AP+ .BO=D0,AO=C0。.AF=CE,.·AO-AF=CO-CE。 BQ的最小值。在Rt△BCM中，MB=AB-AM=5-2=3, FO=EO。∠FOD=∠EOB,B0=D0,∴.△FOD≌ BC=4,∴.CM=VBM+BC=5。∴.四边形APQB的周长 △EOB(SAS)。.DF=BE。 最小值为5+7=12。 5.解：是中心对称图形，对称中心为点O。理由： AB∥DC,.∠A=∠C,∠B=∠D。又AB=CD, △AB0≌△CD0。.OA=0C,OB=OD,且点A,0,C 和B,O,D共线，即△AB0绕点O旋转180P得到△CD0。 6.略。 7.解：(1)图略，连接AA',BB相交于点M, 点M就是对称中心。设点M的坐标为(m,n),A(-4, 1)与A'(2,-1)关于点M成中心对称，B(-1,3)与 D' B(-1,-3)关于点M成中心对称，∴m-(-4)=2-m, 第1题答图 第2题答图 3-n=n-(-3)。m=-1,n=0。.点M的坐标为(-1， 2.解：如图，四边形BDEF的周长=BD+DE+ 0)。(2)AB=A'B′，AB∥A'B。线段A'B与线段 EF+BF,而DB,EF的长为定值，.四边形BDEF的周 AB关于点M成中心对称，.MA=MA',MB=MB, 长的最小值等于DE+BF的最小值与DB+EF的和。作 ∠AMB=∠A'MB',∴.△AMB≌△A'MB'(SAS)。.AB= 点D关于x轴的对称点D',在CB边上截取BG=EF= A'B,∠A=∠A'。∴AB∥A'B。(3)设点P(a,b) 2,连接DG交x轴于点E,则DE+BF的最小值即为 关于点M成中心对称的点P为(x,y),-1-a=x- 线段GD'。在EA上截取EF=2,此时得到点F,则四 (-1),b-0=0-y。x=-2-a,y=-b。∴.P'(-2-a,-b)o 边形BDEF周长的最小值即为GD+DB+EF。,点D的 8.C9.B10.B 坐标为(0,2)，.对称点D的坐标为(0，-2)，点G 11.解：(1)略。 （2)5aca=2x7×10x4 的坐标为(1,4)，则直线ED'对应的函数表达式为y= 40。 (3)图略，点E的坐标为(6,6)。 6x-2。ED'与x轴交点E的坐标为号，0)。 3简单的图案设计 3.解：(1)BD=10,CD=x,∴.BC=BD-CD=10 1.B x。AB⊥BD,ED⊥BD,'∠B=∠D=90°。在Rt△ABC 2.解：(1)如图1所示。(2)如图2所示。 中，.AB=6,∴AC=VBC4AB=V(10-x)+36。在 (3)如图3所示。（答案不唯一） Rt△EDC中，DE=2,∴.CE=VCD+DE=Vx+4。 .AC+CE=V(10-x)+36+V+4。(2)如图1，作 点A关于河道I的对称点A',过点A'作A'E⊥BC,交 BC的延长线于点E,过点A作AF⊥BC于点F,连接 A'P,A'B,则易得四边形ADCF,四边形DA'EC和四 图1 图2 图3 边形AA'EF都是长方形，且AD=A'D,PA'=PA, 第2题答图 .PA+PB=PA'+PB≥A'B。.PA+PB的最小值为A'B的 3.解：(1)略。 (2)连接CC1,BB1,作CC 长。：AD=4km,BC=6km,AB=6km,EC=A'D= 的垂直平分线，BB的垂直平分线，交于点P,则点P AD=FC=4km。∴.BE=BC+CE=l0km,BF=BC-FC=2kmo 即为旋转中心，图略。 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF=VAB-BF严- 4.如图所示。5.略。 4V2(km)。.∵A'E=AF=4V2km。.∴A'B=VAE+BE 磁我磁型 V(4V2)2410=2V33(km)。PA+PB的最小值为 2V33km。(3)如图2，作线段BD=12,分别过点 B,D作AB⊥BD,ED⊥BD,使AB=7,DE=2,连接 第4题答图 AC,EC,设CD=x,则BC=12-x。.CE=VCD+DE严= 183 数学 八年级下册（北师大版） Vx2+4,AC=VBC2+AB=V(12-x+49。.∵AC+CE= ②。由①②得方程组 4a*b=30,解得a=13,b=-2。 V(12-x)449+V+4。连接AE。AC+CE≥AE, a+b=-9。 代数式V(12-x)+49+Vx+4的最小值为AE的长。过 2提公因式法（第1课时） 点E作EF⊥AB,交AB的延长线于点F,.EF=BD= 1.42b22.-my3.4y4.1 5.C6.A7.D8.B 12,BF=DE=2。AF=AB+BF=9。.AE=VAF2+EF2= 9.(1)4xy2(3x-2y)(2)5xye-2yz)(3)3m(2m2- V99+12=15。.代数式的最小值为15。 3m-1)(4)-2ab(2a2b2-3a+b）(5)-5xyz(x+2y-1) (6)a(5ad+a2-2a-3）或-d(3+2a--5a3) 10.解：(1)1980 (2)原式=2024x(2024-2)-2022 20242×(2024+1)-2025 2022×(20242-1)2022674 2025×(20242-1)2025675° 11.(1)解：ab+ba=(10b+a)+(10a+b)=10b+a+10a+ 图 图2 第3题答图 b=11b+11a=11(b+a)。11(b+a)是11的倍数，.ab+ba能 4.解：如图1，将△AMD绕点A逆时针旋转60° 被11整除。 (2)证明：ababab=100000a+10000b+ 得到△AMD',MD=MD。AM'=AM,AD'=AD。 1000a+100b+10a+b=101010a+10101b=10101(10a+b)= △ADD'和△AMM'均为等边三角形。.AM=MM'。MA+ 1443x7(10a+b)。a,b为整数，且a>0,b≥0,1443× MD+ME=D'M'+MM'+ME。·.当D'M,MM',ME共线 7(10a+b)能被7整除，.形如ababab的六位数都能被 时最短。由于点E也为动点，.当DE⊥BC时，D'E= 7整除。 D'G+GE最短。此时ME在长方形AD,BC两边中点 12.m(x-2y）13.a(a-1)14.ab(amb)15.a(a+13)》 的连线上（如图2）。最小值为D'E=GE+D'G=500+ 2提公因式法（第2课时） 400V3≈1193(m)。最少费用为1193x500=596500 1.5(a+b)(x-y）2.p(p-1)P(p+1)3(1-2p）3.-35 (元)。答：当ME在长方形AD,BC两边中点的连 4.±1475.C6.D7.D8.B 线上时，修建专用车道的费用最少，最少费用为 9.(1)(x+y)(a+b-c）(2)(m-n)4(3)(x-2y): 596500元。 (x+2y-1)(4)5b(a-b2(2a㎡2-2ab-1) (5)-2(x D' y)(xy-1)(6)(a-b-c)2 10.解：(1)提公因式法2(2)2026次， (1+x)27。(3)原式=(1+x)[1++x(+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)-]=(x+1)(x+1)[1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+ 1)-2]=…=(x+1)(x+1)=(x+1)。(4)令x=4,则 1-4+1-5。原式-}x45+5454+)子×45t E 4灯4x5+45)=号×（1+44x5+4x544x5++ 图1 图2 第4题答图 4k5)-5]=子×(1+44x5+54x5++4x灯)子 4 第四章因式分解 1+4)2_5=5(5m-1)。 4 -4=4 1因式分解 11.a(a-b)12.813.B 1.整式乘法2.因式分解3.-154.B5.A 3公式法（第1课时） 6.D7.C 1.ab(a+3b)(a-3b)2.答案不唯一，如-b 8.解：(1)-(c),(2)-(b),(3)-(a)。 3.(x-3)4.x"(x+1)(x-1)5.1106.4050 9.解：图2对应：+3ab+2b2=(a+b)(a+2b),图3 7.C8.B9.A 对应：ad2+b2+2c2+2ab+3ac+3bc=(a+b+c)(a+b+2c)。 10.(1)x(y+7)0-7)(2)2(2a-3b+2x)(2a-3b 10.证明：原式=326×(9-3-1)=5×32×324-45×324，所 以能被45整除。 2x) (3)+301-34)(1+1-=y) 11.解：(1)令x-2=0,即当x=2时，4+2k-8-0, 11.(1)2340(2)128000 解得k=2。·.该多项式为x2+2x-8。设另一个因式为x+ 12.(1)解：992-962=(99+96)×(99-96)=195x3=585。 a,则x2+2x-8=(x-2)(x+a)=x2+(a-2)x-2a,则-2a=-8。 (2)证明：设这两个连续的3的倍数为3n和3n+3 .a=4。.该多项式的另一个因式为x+4。(2)令 (其中n为整数)，则它们的平方差可以表示为(3+3)2- x=-2,则-16+4a-14+b=0①。令=1，则2++7+b-0 (3n)2。(3n+3)2-(3n)2=(3n+3+3n)(3n+3-3n)=3(6n+3)=9