第3章 第30课时 中心对称和中心对称图形-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 第30课时 中心对称和中心对称图形 ● 1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个 图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于 对称中心的对称点. 2.中心对称图形：把一个图形绕某个点旋转180°后能与自身重合，这种图形叫做中心对称图形，这 个点叫做它的对称中心。 3.中心对称与中心对称图形的区别与联系： 中心对称 中心对称图形 ①指两个图形之间的相互位置关系. ①指一个图形本身成中心对称. 区别 ②对称中心不定 ②对称中心是图形自身或内部的点. 如果将成中心对称的两个图形看成一个整体 如果把中心对称图形对称的部分看成是两 联系 (一个图形)，那么这个图形就是中心对称图形. 个图形，那么它们又关于对称中心对称 4.关于原点对称的点的坐标特征： 关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点P(x,y)关于原点的对称点P'的坐标为 P'(-x,-y),反之也成立. 饼解 知识点1 中心对称及中心对称图形的定义 知识点2 中心对称的性质 例1下列有关天气的图标中，是中心对称图形 例2如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三 的是 角形关于点O成中心对称的是 **米 A.沙尘暴B.台风C.大雪 D.多云 知识点3中心对称作图 例3如图，已知四边形ABCD和点P,画四边形 变1如图，△ABC和△A'B'C'关于某一点成中心 A'B'C'D',使四边形A'B'C'D'与四边形 对称，某同学不小心把墨水泼在纸上，只能看 ABCD关于点P成中心对称. 到△ABC和线段BC的对应线段B'C',请你 帮该同学找到对称中心O,且补全△A'BC. ●>76《。 第三章图形的平移与旋转 ● 过关 第一关 过基础 1.现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块2.如图，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对 字中有些也具有对称性.下列汉字是中心对称 称，下列结论中不成立的是 图形的是 A.OC-OC 团 结 互 助 B.∠ABC=∠A'C'B A B D C.BC=B'C' D.点B和点B'关于点O中心对称 3.如图，在正方形网格中，A, 4.如图，△A'B'C'与△ABC关于 B,C,D,E,F,G,H,M,N 点O成中心对称，已知 是网格线交点，△ABC与 ∠BAC=∠BCA,AB=2,则B △DEF关于某点对称，则 C'的长为 对称中心是 ( ) A.点G B.点H C.点M D.点N 团第二关 过能力 5.如图是4×4的正方形网格， 6.如图，BO是等腰三角形ABC的底边上的中线， 把其中一个标有数字的白色 AC=2,BO=/15,△PQC与△BOC关于点C 小正方形涂黑，就可以使图中 成中心对称，连接AP,则AP的长是 ( 的黑色部分构成一个中心对 1011 称图形，则这个白色小正方形 内的数字是 A.2 B.3 C.5 D.6 A.4 B.4/2 C.3/5 D.26 第三关过思维 7.知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分. 1 ② ⊙ (I)如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O,则S四边形AEFB S四边形DEFC(填“>” “<”或“=”)； (2)如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图 形分成面积相等的两部分； (3)八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法 分割). ●>77。即∠ACD=∠BCE, (CA=CB, 在△ACD和△BCE中， ∠ACD=∠BCE, CD-CE, .△ACD≌△BCE(SAS), ∴.AD=BE,∠BEC=∠ADC=135°， .∠CDE=45°， ./AEB=90°， 在等腰直角三角形△DCE中，CM为斜边DE上的高， .CM=DM=ME,∴.DE=2CM, ∴.AE=DE+AD=2CM+BE, ∴.AE=2CM+BE. (3)BD的最大值为62+4，BD的最小值为6/2一4. 微专题7图形旋转的综合应用 例1B 【举一反三】B 例2A 【举一反三】D 例3C 【举一反三】C 例4A 【举一反三】B 例5解：(1)由题知，△ABD≌△ECD, .AD=DE,∠BDA=∠CDE, ∴.∠BDC=∠ADE=60°，∠ABD=∠ECD, ∠BAC=120°，∠BDC=60°， .∠BAC+∠BDC=180°， ∴.∠ABD+∠ACD=180°， ∴.∠ACD+∠ECD=180°， 点A,C,E在一条直线上， ∴△ADE是等边三角形， .∠EAD=60°， ∴.∠BAD=∠BAC-∠EAD=60° (2)7 【举一反三】解：(1)如答图，过点A'分别作A'C⊥OA,A'D⊥ AB,垂足分别为C,D, 可得矩形A'CAD,得A'C=AD,A'D=AC, 点A(2,0),点B(2,2), y ∴.OA=AB=2,∠OAB =90°， ,AB是AB绕点B顺时针旋 A D 转得到的， ∴.∠A'BD=a=45°，A'B= 0 C AB=2, 答图 A'D⊥AB, ∴.∠A'BD=∠BA'D=45°. ∴.在等腰直角三角形A'DB中， 由勾股定理知，A'B2=A'D2+BD,得A'D=BD =2, ..AD=AB-BD=2-/2,OC=OA-AC=2 -2, ∴点A'的坐标为(2-2,2-2). (3)线段OM长的取值范围是2/2-1≤OM≤2/2 +1. (2)A'(2-3,1) 第30课时中心对称和中心对称图形 核心讲练 例1B例2A 参考苔案 例3解：四边形A'B'C'D'如答图所示 D 答图 变1解：如答图所示，BB,CC的交点即为对称中心O,△A' B'C即为所求 0 B 答图 课堂过关 1.C2.B3.C4.25.B6.D 7.(1)= 解：(2)如答图1所示 然图1 答图2 (3)如答图2所示， 第31课时 简单的图案设计 核心讲练 例1A变1B 例2解：(1)轴对称图形如答图1所示（答案不唯一） 答图1 答图2 (2)中心对称图形如答图2所示（答案不唯一）. 课堂过关 1.B2.D3.D4.3 5.(1)PC=PB2+PA2 解：(2)成立，即PC=PA+PB, 将△ABP绕点A逆时针旋转60°，得到了△ACP',然后连接 PP,如答图所示， 根据旋转的性质，得△ABP ≌△ACP', ∠PAP'=60°，AP=AP', ∴∠APB=∠APC=30°，PB=PC, B △PAP为等边三角形， ∴∠APP=60°，PP'=PA, P ∴.∠PP'C=∠AP'P+∠AP'C=60 答图 +30°=90°， .'P'C2+PP2=PC,PC=PB2+PA2. 问题解决活动：最短距离 1.解析：(1)如答图1，连接AB交1于点P,点P即为所求. (2)如答图2，沿与河岸m垂直的方向平移点A到T,使得 AT=河的宽度，连接BT交河岸n于点C,过C作CD⊥河岸 m于点D,连接AD,此时AD十CD十BC的值最小，则线段 CD即为所求. (3)如答图3，沿与河岸m垂直的方向平移A到T,使AT 3