第1章 微专题1 等腰三角形中的分类讨论-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 微专题1等腰三角形中的分类讨论 类型1已知等腰三角形中一个角求其余两角时，应将已知角分为顶角与底角两种情况讨论 例1等腰三角形的一个内角为70°，求另外两个【举一反三】等腰三角形的一个内角为100°，求另 内角的度数 外两个内角的度数 类型2已知等腰三角形中两条边的长度时，应将已知两边分别作为腰两种情况讨论 例2已知等腰三角形两边的长分别为6和8，求【举一反三】已知等腰三角形两边的长分别为3和 此等腰三角形的周长. 7,求此等腰三角形的周长 ●>16。 第一章三角形的证明及其应用 类型3在解决等腰三角形存在性问题时，没有明确谁是腰时，分三种情况讨论， 例3如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在【举一反三】如图所示的正方形网格中，网格线的 y轴和x轴上，∠ABO=60°，在坐标轴上找一点交点称为格点.已知A,B是两格点，如果C也是 P,使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点 点一共有个. C的个数是 A.6 B.7 B 0 C.8 A D.9 、、 类型4已知等腰三角形分为锐角三角形，直角三角形和钝角三角形讨论 例4等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 【举一反三】如果等腰三角形一腰上的高与另一 20°，求顶角的度数. 腰的夹角为45°，求这个等腰三角形的底角度数， ●>17。数学八年级下册（北师大版） 8.解：(1)60°.(2)720°. 9.解：设这个多边形的边数是n, 根据题意得(n一2)·180°=5×360°，解得n=12. 所以这个多边形的边数是12. 10.C11.D12.解：x=85.13.10,11或12 第5课时等腰三角形(1) 新课学习 1.两底角等边对等角 2.顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 3.三条边4.相等60°三对称轴 核心讲练 例1解：.AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平分∠BAC, ∠BAD=3∠BAC=60 变1证明：'BE=CE,∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.△ABE≌△ACE(AAS),∴.AB=AC, 又.∠3=∠4，∴.AP⊥BC. 例2解：DB=DE,∴∠E=∠DBE, ,'△ABC是等边三角形， .∠ACB=∠ABC=60°， ,'△ABC是等边三角形，BD是高， ∴.∠DBC=30°，∴.∠E=∠DBE=30°， ∴.∠BDE=180°-∠DBE-∠E=120°. 变2证明：：△ABC为等边三角形， .∠BAE=∠C=60°，AB=CA, (AB=CA, 在△ABE和△CAD中，∠BAE=∠C, LAE=CD, ∴.△ABE≌△CAD(SAS). 课堂过关 1.C2.C3.C4.D 5.解：：BD=BA,∴∠D=∠BAD,又∠D+∠BA ∠ABC=50°. ∴∠D=∠BAD=号×50=25 同理可得∠E=∠CAE=40°， .∠DAE=180°-∠D-∠E=180°-25°-40°=115. 6.D7.B8.4 第6课时等腰三角形(2) 新课学习 1.(2)两个角角 2.结论相矛盾成立 核心讲练 例1(1)A(2)C 例2证明：如答图，：DE∥AC, .∠1=∠3， AD平分∠BAC, .∠1=∠2， .∠2=∠3， .AD⊥BD, ∴.∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE, 答图 ∴△BDE是等腰三角形， 例3这五个正数都小于号 变B 课堂过关 1.∠A=∠C(或BA=BC)2.A3.28cm4.B5.A 7.证明：∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, 六∠ABD=∠DBC= 2∠ABC, ∠ACE=∠ECB=∠ACB 又，△ABC是等腰三角形..∠ABC=∠ACB, ∠DBC=∠ECB.,△OBC是等腰三角形. 8.证明：过点C作CF∥AP,交BP的延长线 于点F,如答图所示， .∠DPA=∠DFC,∠DAP=∠DCF, ,AD=DC,.△DPA≌△DFC(AAS), .PA=FC, PA=BC,.CB=CF,∴∠FBC=∠F, CF∥AP,.∠BPE=∠F, .∠FBC=∠BPE,,PE=BE 答图 第7课时等腰三角形(3) 新课学习 1.(3)60°2.一半 核心讲练 例1(1)A(2)D 例2证明：，HB=HC,∴.∠HBC=∠HCB, .CF⊥AB,BE⊥AC,∴.∠BFC=∠BEC=90°， ∴.∠ABC+∠BCH=90°，∠ACB+∠CBH=90°， ∴.∠ABC=∠ACB,.AB=AC, :∠A=60°，△ABC是等边三角形. 例3D变B 课堂过关 1.D2.A3.①②③④4.125.A6.5 7.证明：OA=OB,∠A=60°，∴.∠B=∠A=60°. 又：AB∥CD,.∠C=∠A=60,∠D=∠B=60°， .∠COD=∠D=∠C=60°， .△OCD是等边三角形. 8.(1)证明：△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠C=60°，AB=AC, 又'AE=CD, .△ABE≌△CAD(SAS),∴.BE=AD (2)7 9.D 微专题1等腰三角形中的分类讨论 例1解：①当70°的内角为这个等腰三角形的顶角，则另外两 个内角均为底角，它们的度数为180.70° 2 =55°； ②当70°的内角为这个等腰三角形的底角，则另两个内角 一个为底角，一个为顶角，底角为70°，顶角为180°一70° -70°=40° 综上，另外两个内角的度数分别是55°，55°或70°，40°. 【举一反三】解：100°的内角只能为这个等腰三角形的顶角， 则另外两个内角均为底角， 它们的度数为180°一100 2 =40° 例2解：①当底边长是6，腰长是8时，8十8>6，能构成三角 形，则其周长=6十8+8=22； ②当底边长是8，腰长是6时，6十6>8，能构成三角形， 则其周长=8+6+6=20. 【举一反三】解：①当腰长是3，底边长是7时， 3十3<7，不满足三角形的三边关系，因此舍去； ②当底边长是3，腰长是7时， 7十7>3，能构成三角形，则其周长=3十7+7=17. 6.B 例36【举一反三】B 例4解：此题需要分情况讨论：等腰三角形的顶角是钝角，等 腰三角形的顶角是锐角. 2 、C B B4 答图1 答图2 如答图1，∠ACB=∠D+∠DAC=90°+20°=110°； 如答图2，∠ABD=20°，故顶角∠A=90°-∠ABD=90° -20°=70° 【举一反三】解：①如答图1，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知∠ABD=45°，∠BDC=90°， ∴.∠A=∠BDC-∠ABD=45°， ∴∠ABC=∠C=2(180°-∠A)=67.5; D B 答图1 答图2 ②如答图2，当该等腰三角形为钝角三角形时 由题意可知∠ABD=45°，∠D=90°， ∠BAC=∠D+∠ABD=135°， ÷∠ABC=∠C=号(180-∠A=2.5 综上可知，这个等腰三角形的底角度数为67.5°或 22.5 微专题2等腰三角形中的方程思想 例1解：AD=DE=EB, ∴设∠BDE=∠ABD=x, .∠AED=∠A=2x, .BD=BC,AB=AC, .∠BDC=∠C=∠ABC=3x, 在△ABC中，3x+3x+2x=180°， 解得x=22.5°. ∴∠A=2x=22.5°X2=45°. 【举一反三】解：设∠A=x. .AD=BD, .∠ABD=∠A=x; BD=BC, '.∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x; .AB=AC, ∴.∠ABC=∠BCD=2x, .∠DBC=x; ,x+2x+2x=180°， ∴.x=36°， .∠C=72 例2解：AB=10,AC=8,BC=6, ∴.AC心+BC=82+62=102=AB2, .△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ,DE垂直平分AB, ∴.AD=BD, 设CD=x,则AD=BD=8一x, 在Rt△BCD中，(8-x)2=62+x2, 解得x=子CD=子 4· 【举一反三】解：.∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm, ∴.AC=AB2-BC=4cm, ,·将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的 参考苔案 点E处， ,∴.BE=BC=3cm,DE=DC,∠BED=∠C=90°， .'.AE=AB-BE=2 cm, .设AD=x,则CD=DE=4一x, '.在Rt△ADE中，AD=AE+DE, 即x2=22+(4-x)2, “解得x=号， AD=号cm 例3(1)15 解：(2)在等边△ABC中， ∴，AB=BC=CA,∠A=60, 如图A点M,N运动xs后，△AMN为等边三角形， 由运动知，AN=15-2x,AM=x, .15一2x=x,解得x=5, ∴.点M,N运动5s后，△AMN是 等边三角形 (3)存在，M,N运动的时间为20s, 理由如下： 答图1 如答图2，设M,N运动ys后，得到以MN为底边的等 腰三角形AMN, .AM=AN,.∠ANM =∠AMN, :△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB,∠C=∠B=60°， '.△ACN≌△ABM(AAS), ∴.CN=BM,∴.CM=BN, 由运动知，CM=y一15，BN= 答图2 15×3-2y, .y-15=15×3-2y,.y=20, 故点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为20s. 【举一反三】(1)线段BC的中点6 解：(2)当点M,N在BC边上运动时，可以得到以 MN为底边的等腰三角形， 由(1)知6秒时M,N两点重合，恰好在C处， 如答图，假设△AMN是等腰三 角形， 设M,N运动ts时，得到以 MN为底的等腰△AMN, ..AN-AM, CM=t-6,BN=18-2t, 答图 .'.∠AMN=∠ANM, ∴.∠AMC=∠ANB, '△ACB是等边三角形， ∴.∠C=∠B,AB=AC, ∴.△ACM≌△ABN(AAS), ∴.CM=BN, .t-6=18-2t, 解得t=8,符合题意 所以假设成立，当M,N运动8s时，能得到以MN 为底的等腰三角形， (3)2或号或号或9 第8课时直角三角形(1) 新课学习 1.(1)互余(2)a2+b=c 2.(1)直角(2)直角 3.互逆逆互逆逆