第1章 第11课时 线段的垂直平分线(2)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 第11课时 线段的垂直平分线(2) 新课学可 1,用尺规作线段AB的垂直平分线时，半径是大于2AB的任意长度，原因是只有当半径大于2AB 时，两弧才能有两个交点 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 几何语言：.△ABC三边的垂直平分线交于点P, 技©进解 知识点1用尺规作直线的垂线 例1下列说法不正确的是( 例2如图，已知O为△ABC三边垂 A.三角形三条边的垂直平分线 直平分线的交点，且∠A=50° 的交点到三个顶点的距离 则∠BOC的度数是 相等 D米 B.锐角三角形三条边的垂直平分线的交点 变1如图，∠A=80°，O是AB,AC 在三角形的内部 垂直平分线的交点，则∠BOC C.直角三角形三条边的垂直平分线的交点 的度数是 是斜边的中点 D.钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可 能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 知识点2三角形三边垂直平分线的实际应用 知识点3 与线段垂直平分线有关的作图 例3在正方形网格中，△ABC的位置如图所示， 例4拟在新竣工的长方形广场的内部修建一个 且顶点在格点上，在△ABC内部有E,F,G, 音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个 H四个格点，到△ABC三个顶点距离相等 入口A,B的距离相等，且到广场管理处C 的点是 的距离等于A和B之间距离的一半，A,B, C的位置如图所示.请在原图上利用尺规作 出音乐喷泉M的位置（不用说明作法）. F C A.点E B.点FC.点GD.点H ●>26。 第一章三角形的证明及其应用 课 堂过关 第一关 过基础 1.如图，在△ABC中，AC>BC,分别以点A,B为 2.点O是△ABC的三条边的垂直平分线的交 圆心，以大于2AB的长为半径画弧，两孤交于 点，OA=8,则OA十OB+OC的值是( A.11 B.16 C.24 D.64 点D,E,过点D,E作直线分别交AB,AC于点 M,N,连接BN,下列结论正确的是 3.(易错题)到平面上三点A,B,C距离相等的点 A.AN-NC ( ) B.AN=BN N E A.只有一个 B.有两个 C.MN-BC C.有三个或三个以上 D.有一个或没有 D.BN平分∠ABC 审第二关 过能力 4.根据要求画图，并写结论：如图，三角形ABC5.如图所示，在△ABC中，∠BAC=110°，PM,QN 是钝角三角形 分别垂直平分AB,AC,求∠PAQ的度数. (1)用直尺和圆规作△ABC的中线CD;(须尺 规作图，不用写画法，保留作图痕迹) (2)用三角尺画AB边上的高CH, 第三关过思维 6.(2024·广东深圳·期末)如图，在△ABC中，AB=AC=35,BC=6,AC的垂直平 分线DE分别交AB,AC于点D,E,点F和点G分别是线段DE和BC边上的动 点，则CF+FG的最小值为 BL G A.3/6 B.6 C.35 D.5 ●>27《。数学八年级下册（北师大版） 核心讲练 例1C变1A例2D变2D例3B变3A 例4A 课堂过关 1.A2.A3.5 4.如果a>b,那么a>b5.4 6.解：(1)由题意得：BE=2t, F为BE的中点， ∴BF=EF=合BE=, ,AD=4,BD=8, ∴.DF=BD-BF=8-t, DE-BE-BD-2t-8, AD⊥BC,AE=AF, .'DE=DF, 即2t-8=8-t, 解每5， 当1=9时，AE=AP 故答案为：5。 (2)△ABE是直角三角形， 理由：当t=5时，BE=2t=10, .DE=BE-BD=10-8=2, 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=4十82=80， 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE=42+22=20, ,AB2+AE=100,BE2=102=100, ..AB+AE=BE, ·△ABE是直角三角形 第9课时直角三角形(2) 核心讲练 例1A变1D 例2证明：：CB⊥AB,∴∠ABC=∠FBC=90°， ∠BAC=45°， ∴.∠BCA=45°=∠BAC, ∴.△ABC为等腰直角三角形， ∴.AB=CB, 在Rt△ABE和Rt△CBF中， (AE=CF, AB=CB, .Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). 例3B 课堂过关 1.C2.A 3.解：(1)结论：AF=3BF. 证明：如答图，过点D作DG⊥AB于点G,则∠DGB=90°， .∠ACB=90°，∠ABC=45°， ..AC=CB, ..AC+BC=AB2, 8c-号AB, DA=DB,∠ADB=90°， ∴.∠ADG=∠BDG=45°=∠DAG =∠DBG, ∴DG=AG=BG=2AB, 在Rt△BEC中，∠BEC=9O°，EB =EC, 答图 BE-号BC=之AB,DG=BE, 在△DFG和△EFB中， ∠DFG=∠EFB, ∠DGF=∠EBF DG=BE, ∴.△DFG≌△EFB(AAS) ∴.FG=BF, ∴.AF=3BF (2)猜想：AF=3FB. 第10课时 线段的垂直平分线(1) 核心讲练 例1A变136例2A 变2证明：(1)在△ABE和△ACD中， AB=AC, ∠A=∠A: AE-AD, ∴.△ABE≌△ACD, ∴.∠ABE=∠ACD. (2)如答图，连接AF .'AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 由(1)可知∠ABE=∠ACD, 答图 .∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC .'AB=AC, 点A,F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC. 例3解：如答图，分别以A和B为圆心，以 大于号AB的长为半径画弧，两弧交 A 于点E和F, 作直线EF,与河岸交于点C,则码头 应建在点C处 课堂过关 1.B2.C3.D4.B5.C 答图 6,解：如答图，点E即为所求， M 答图 第11课时线段的垂直平分线(2) 新课学习 2.PA PB PC 核心讲练 例1D变1160° 例2100°例3B 例4解：如答图，点M即为所求 答图 课堂过关 1.B2.C3.D 4.解：(1)中线CD如答图1所示. HA 答图1 答图2 (2)AB边上的高CH如答图2所示. 5.解：∠BAC=110°，.∠B+∠C=180°-110°=70°， .MP,NQ分别垂直平分AB和AC, ..BP=AP,CQ=AQ, .∠BAP=∠B,∠CAQ=∠C ∴.∠PAQ=∠BAC-(∠BAP+∠CAQ)=110°-70°=40°. 6.B 第12课时角平分线(1) 核心讲练 例1B变1C 例2解：.DE⊥AB,DF⊥AC,.∠DEB=∠DFC=90°， ∠DEB=∠DFC, 在△BDE和△CDF中，BE=CF, ∠B=∠C, ∴.△BDE≌△CDF(ASA),∴.DE=DF, 而DE⊥AB,DF⊥AC, ∴.点D在∠BAC的平分线上. 课堂过关 1.C2.C3.10 4.(1)2cm 证明：(2)如答图1，过点D分别作DE⊥BC于点E,DF⊥ BA的延长线于点F,则∠DEC=∠DFA=90°， ,BD平分∠ABC,∴.DE=DF. ∠BAD+∠DAF=180°，.∠DAF=180°-a, ∠BCD=180°-a,∠DAF=∠DCE, ∴.△DAF≌△DCE(AAS), .'.AD=CD. (3)如答图2，在BC上取BH=BD, :△ABC是等腰三角形，∠A=100°， ÷∠ABC=∠C=180°，100=40， 2 答图1 .BD平分∠ABC, ∴∠DBH=号∠ABc-=号×40=20， BH-BD, ∴∠BHD=∠BDH=180°，20°=80， 答图2 2 .∠A+∠BHD=100°+80°=180°， 由(2)可得，AD=DH, :∠C+∠CDH=∠BHD, .∠CDH=∠BHD-∠C=80°-40°=40°， .∠CDH=∠C,.DH=CH, ..AD=CH,.'BC=BH+CH=BD+AD, 即BD十AD=BC. 第13课时角平分线(2)》 核心讲练 例1OP=OM=ON变1125例2C 变2(1)证明：AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD 'EG∥AD,∴∠BAD=∠G,∠CAD=∠AFG, ∴.∠G=∠AFG,.AG=AF, 参考苔案 ∴.△AFG是等腰三角形， (2)解：：CE=EF,∠CFE=∠C '∠AFG=∠CFE,∠AFG=∠CAD,∴.∠C=∠CAD. ∠BAC=80°，AD平分∠BAC,.∠C=∠CAD=40°， ∠B=180°-∠BAC-∠C=60°. 例3B 例4解：(1)如答图1，点E为所作 (2)如答图2，点D为所作， B R 答图1 答图2 课堂过关 1.C2.15 3.解：(1)，OC平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB,∴.PE=PF (2)PE=PF,理由如下：当PE⊥OA时， .∠AOB=90°，OC平分∠AOB， .∠POE=∠POF=45°， .∠PEO=∠EPF=∠EOF=90°， 且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO=360°， ∴.∠PFO=90°，.∠PEO=∠PFO, ,OP=OP,'.△PEO≌△PFO(AAS),.PE=PF; 当PE与OA不垂直时，如答图，作PM⊥OA于点M,PN⊥OB 于点N, '∠OMP=∠ONP=90°，∠POM=∠PON =45°，OP=OP, 0 ∴.△POM≌△PON(AAS), ..PM=PN, :∠OMP=∠ONP=-∠MON=90°，且∠OMP 0 NFB +∠ONP+∠MON+∠MPN=360°， 答图 .∠MPN=90°， ∠EPF=90°，∴.∠MPE=∠NPF=90°-∠EPN, :∠PME=∠PNF=90°， .△PME≌△PNF(ASA),∴.PE=PF, 综上所述，PE=PF (3)PE-PF. 微专题3角平分线中常用的四种作辅助线的方法 1.证明：如答图，在AB边上截取AE,使AE=AC,连接DE ,'AD平分∠BAC .∠EAD=∠CAD. 在△ADE和△ADC中， E (AE-AC, ∠EAD=∠CAD, 答图 LAD-AD '.△ADE≌△ADC(SAS), ∴.ED=CD,∠AED=∠C ∠AED=∠B+∠EDB,∠C=∠B+∠EDB. 又'∠C=2∠B,∴∠B=∠EDB, ∴.BE=DE,.BE=CD, ∴，AB=AE+BE=AC+CD,即AC+CD=AB. 2.解：点P在∠AOB的平分线上」 理由：如答图，过点P作PD⊥OA于 G 点D,PE⊥OB于点E. S=zFG.PD,Sm=合N. PE,SAPRG =SARMIN 0 5 答图