1 1.4 第2课时 尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

第2课时 尺规作等腰三角于 知识储备 1.三角形三条边的垂直平分线 一点， 并且这一点到 的距离相等。 !2.锐角三角形三边垂直平分线的交，点在三角形的 ,直角三角形三边的垂直平分线的交 点是 ,钝角三角形三边的垂直平 分线的交点在三角形的 ,反之亦成立。 十…+…十十…十十十 01基础练 细必备知识梳理·一 知识点一三角形三边的垂直平分线 1.【教材P36例2变式】(1)如图，在△ABC中， 边AB,BC的垂直平分线交于点P,且AP= 5,则PC= 第1(1)题图 第1(2)题图 (2)【T1(1)变式】如图，O是△ABC三边垂直 平分线的交点，点O到顶点A的距离为 5cm,则AO+BO+CO= 2.(2025·营口月考)在三角形的内部，有一个 点到三角形三个顶点的距离相等，则这个点 一定是三角形的 () A.三条中线的交点 B.三条角平分线的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条高的交点 3.若一个三角形三边的垂直平分线的交点在这 个三角形的一边上，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上结论都不对 4.如图，AB=AC,∠A=40°，AB的垂直平分线 MN交AC于点D,则∠DBC的度数为() 17 入年级数学下册·BS 形与三角形三边的垂直平分线 A.40° B.70° C.30° D.50° 知识点二与线段垂直平分线有关的尺规作图 5.如图，以△ABD的顶点B为圆心，以BD为 半径作弧，交边AD于点E,分别以点D,点E 为圆心，BD长为半径作弧，两弧相交于不同 于点B的另一点F,再过点B和点F作直线 BF,则作出的直线是 () A.线段AD的垂线但不一定 平分线段AD B.线段AD的垂直平分线 C.∠ABD的平分线 D.△ABD的中线 6.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=8。 (1)用尺规作BC边上的垂直平分线（保留作 图痕迹，不要求写作法)；(2)求点A到BC的 距离。 02综合练 拿关健能力提升一 7.已知△ABC(AC<AB<BC),用尺规在线段 BC上确定一点P,使得PA十PC=BC,则符 合要求的作图是 8.如图，∠ABC=26°，D是BC上一点，分别以 点B,D为圆心，大于2BD的长为半径画弧， 两弧相交于点F,G,直线FG交AB于点E, 连接DE,则∠DEA= 。 F个 D 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，AB,AC的垂直平分线4， l2相交于点O。若∠BAC=82°，则∠OBC= 10.【教材P38习题T4变式】如图，在△ABC 中，AB的垂直平分线交BC于点M,AC的 垂直平分线交BC于点N,连接AM,AN, 若∠MAN=10°，则∠BAC= 11.用尺规作图。（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，线段a和h。 求作：△ABC,使AB=AC, BC=a,且BC边上的高AD=h。 a 12.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD平分 ∠BAC,交BC于点D,DE⊥AB于点E。 求证：直线AD是线段CE的垂直平分线。 03素养练 源学科养路有一 13.如图，在△ABC中，∠B=22.5°，AB的垂直 平分线交AB于点Q,交BC于点P,PE⊥ AC于点E,AD⊥BC于点D,AD交PE于 点F。求证：DF=DC。 解题妙招 根据等腰三角形底边上的高、底边上的中线、 顶角的平分线这三线互相重合的性质，只要知道 底边和其中三线之一，就可以利用“作一条线段等 于已知线段”和“作一条线段的垂直平分线”这两 种基本作图作出符合要求的等腰三角形。如 T11. 助学助教优质高效184线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 知识储备 1.相等2.垂直平分线 基础练 1.B2.C3.D4.(1)C(2)25.B6.到一条线段两个端点距离相等 的点，在这条线段的垂直平分线上7.证明：，∠C=90°，∠A=30°， ÷∠ABC=90-30=60。:BD平分∠ABC,:∠ABD=2∠ABC=- X60°=30°。.∠A=∠ABD。∴.DA=DB。∴.点D在AB的垂直平分线 上。8A9B10.411.名2.证明：在△ABC中，AB=AC. ∠BAC=120°，∠B=∠C=30°。DE垂直平分AB,.DB=DA。 ∠BAD=∠B=30。·∠DAC=90,DA=2DC,BD=2DC 13.证明：(1)AD∥BC,.∠D=∠DCF。又，E为CD的中点，DE= (∠D=∠ECF, CE。在△ADE和△FCE中，DE=CE, .∴.△ADE≌△FCE ∠DEA=∠CEF, (ASA)。AD=FC。(2):'△ADE≌△FCE,∴.AE=FE。BE⊥AF, ∴.BE是AF的垂直平分线。∴.AB=BF=BC+FC=BC+AD 第2课时尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线 知识储备 1.相交于三个顶点2.内部斜边中点外部 基础练 1.(1)5(2)15cm2.C3.C4.C5.A6.解：(1)如图， 直线EF即为所求。(2)设EF与BC相交于点D。在△ABC中， AB=AC点A在EF上。ADLBC,BD=CD=号BC=4。B叫 在Rt△ABD中，AB=10,由勾股定理，得AD2+BD2=AB2, AD=√AB-BD=√10-4=2√2I。即点A到BC的距离为2√21 7.D8.529.8°10.85°11.解：如图，△ABC即为所求。 12.证明：，DE⊥AB,∠ACB=90°，∴.∠AED=∠ACB=90°。 又·AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC。,AD=AD ∴.△AED≌△ACD(AAS)。∴.AE=AC,DE=DC。.点A,D B 都在线段EC的垂直平分线上。.直线AD是线段CE的垂直平 分线。13.证明：连接PA。PQ垂直平分AB,∴.PA=PB。 ∠B=∠PAB=22.5°。∴.∠APD=45°。，AD⊥ BC,∴.PD=AD,∠DPF+∠PFD=90°。：PE⊥ AC,∴.∠AFE+∠DAC=90°。又∠AFE= ∠PFD,.∠DPF=∠DAC。在△PDF和△ADC ∠PDF=∠ADC, 中，PD=AD, .△PDF≌△ADC(ASA)。.DF=DC ∠DPF=∠DAC, 5角平分线 第1课时角平分线的性质定理及其逆定理 知识储备 1.两边的距离2.两边距离相等 基础练 1.D2.C3.14.A5.D6.B7.证明：过M作ME⊥ AD于点E。,'AM平分∠DAB,ME⊥AD,MB⊥AB,.BM =EM。又M为BC的中点，∴.BM=CM,∴.CM=EM。 ,EM⊥AD,CM⊥CD,∴.M点在∠ADC的平分线上，即DM 平分∠ADC。8.D9.3 18