第1章 第11课时 线段的垂直平分线(2)（课后巩固A本）-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学八年级下册（北师大版） ∴.AG=BG=CG,∠CGA=90°， ∴.∠GAE=∠GCF=135°， .∠EGF=∠AGC=90°， ∴.∠EGA=∠FGC, ∴.△AGE≌△CGF(ASA), ..AE=CF=3,GE=GF. .BF=5, .BC=2. B BG=GC,∠BGC=90°， 答图 GH⊥BC, .∠BGH=45°=∠GBH, .BH-HC-GH=1, .HF=4, ∴.GF=/GH+HF=/1+16=17, ∴.EF=/GE+GF=2GF=34. 第10课时线段的垂直平分线(1) 1.42.C3.D4.D5.B6.C7.A 8.(1)证明：连接CE,如答图， ,D是BC的中点，DE⊥BC, ∴.EB=EC. .BE-EA2=AC, ∴.EC-EA2=AC, ∴EC=EA2+AC,∴.∠A=90°. (2)解：.D是BC的中点，BD=2.5, .BC=2BD=5. ∠A=90°，AC=3, ∴.AB=BC-AC=/52-32=4. B D ,EB=EC,.设EB=EC=x,则AE 答图 4-x. 在Rt△EAC中，32+(4-x)2=x2, 解得x-空，AE=AB-BE=4一百-子 9.解：(1)25 (2)如答图，EF即为所求 E B 答图 作法：取格点E,F,使DE=CEDF=CF,连接EF即可. 10.(1)证明：.∠ACB=90°，CG平分∠ACB, .∠ACG=∠BCG=45°. 又∠ACB=90°，AC=BC, .∠CAF=∠CBF=45°，.∠CAF=∠BCG. I∠ACF=∠CBG, 在△AFC与△CGB中，AC=BC, L∠CAF=∠BCG, .△AFC≌△CGB(ASA), ∴.AF=CG. (2)解：CF=2DE: 证明：如答图，延长CG交AB于 点H. ,CG平分∠ACB,AC=BC .CH⊥AB,AH=BH. .AD⊥AB,.AD∥CG, ∴.∠D=∠EGC, 答图 :E为AC边的中点， ..AE=CE, '∠AED=∠CEG, 在△ADE与△CGE中，{∠D=∠EGC, AE-CE, ∴.△ADE≌△CGE(AAS),∴，DE=GE, .DG=2DE. 连接AG,如答图， .CH⊥AB,AH=BH, .CH是AB的垂直平分线， .AG=BG,.∠GAB=∠GBA ,∠DAB=90°， ∴∠GAB+∠DAG=90°=∠GBA+∠D, .∠DAG=∠D,.GA=GD=GB. .'△AFC≌△CGB,∴.CF=BG, ..CF=2DE. 第11课时线段的垂直平分线(2) 1.B2.A3.B4.(-2,-1) 5.解：(1)由DE是边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的 性质，即可得AE=BE,又由等边对等角，可得∠BAE=20°； (2).DE,MN是边AB,AC的垂直平分线， ..AE=BE,AN=CN, ∴∠BAE=∠B,∠CAN=∠C. :∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C =180°， ∴.∠BAE+∠CAN=70°， ∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°. ,∠ADF=∠AMF=90°， .∠F=360°-∠ADF-∠AMF-∠BAC=360°-90°-90° -110°=70° (3),DE,MN是边AB,AC的垂直平分线， ..AE-BE,AN-CN, ∴.BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN,即△AEN的周长. AB=8,AC=3,.5<BC<11, .△AEN周长的范围为5<△AEN的周长<11. 6.解：(1)如答图，过点A作x轴的垂线，垂足C即为所求作的 点，此时，汽车距离A点最近，此位置的坐标是(2,0). B(7,4) (2,2) D 答图 (2)如答图所示，连接AB,过点B作x轴的垂线，垂足为D, 作AB的垂直平分线，与x轴的交点P即为所求作. 根据题意可知AC=2,BD=4,OC=2,OD=7, ∴.CD=5,则DP=5-CP. 根据勾股定理得AC十CP=AP=BP=DP十BD, 即2+CP=(6-CP)2+4,解得CP- 10 根据勾股定理得AP-BP-/2+(器 =/1769 10 所以距离和为76型×2=1769 0 5 7.解：(1)①若PB=PC,则∠PCB=∠PBC :CD为等边三角形ABC的高， AD=BD-AB,∠PCB=号 ∠ACB=30°， .∠PBC=30°， ∴.∠PBD=30 在Rt△PDB中，∠PBD=30°， ..PB=2PD, ..BD-/PB-PD-/(2PD)2-(PD)2=/3PD, PD=侵BD=長AB,与已知PD=合AB矛盾， 3 ≠PC； ②若PA=PC,同理可得PA≠PC: ③若PA=PB,由PD=号AB,得PD=AD=BD, =∠BPD=45°，∴.∠APB=90° (2)PA的长为2或 7 第12课时角平分线(1) 1.D2.A3.64g5.3 6.解：如答图，交点P即为所求. A 0 B 答图 7.证明：∠1=∠2，DE⊥AB, DF⊥AC, .DE=DF. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， (DE-DF, BD-CD ,∴.Rt△BDE≌Rt△CDF(HL),∴.∠B=∠C ∴.AB=AC. 8.(1)证明：.△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°， .∠BAC=90°-30°=60°. 根据题意，得DE垂直平分AB, .BD=AD,∴.∠DAB=∠B=30°， .∠DAC=60°-30°=30°，∴.AD平分∠BAC. DE⊥AB,DC⊥AC,.CD=ED 2子 9.(1)解：AD⊥BC, ∴.∠EAO+∠BCO=90. ,∠CBO+∠BCO=90°， ∴.∠EAO=∠CBO. A(-3,0),B(0,3),∴.AO=BO (∠EAO=∠CBO, 在△AOE和△BOC中，3AO=BO, (∠AOE=∠BOC=90° ∴.△AOE≌△BOC(ASA),∴.OE=OC=1, .点C(1,0) (2)证明：如答图，过点O作OM⊥AD于点M,作O 于点N. y .'△AOE≌△BOC, .S△OE=SAc,且AE=BC. OM⊥AE,ON⊥BC,∴.OM M =ON, ∴.DO平分∠ADC, 即DO是∠ADC的平分线； 答图 (3)解：Q(-2,2-a). 第13课时角平分线(2) 1.120°2.(1)3(2)15 参考苔案 3.解：根据题意，作图如答图所示，AD,AE即为所求 ∴.PB 答图 APD 4.(1)垂直平分线 平分线 (2)25° 5.B6.47.18 8.(1)证明：，AO平分∠BAC, OE⊥AC于点E,OF⊥AB于点F, .OE=OF,∠BFO=∠CEO=90° 点O是BC边的中点， ..OB=OC, .Rt△OBF≌Rt△OCE(HL), .∠B=∠C,∴.AB=AC (2)2 9.(1)证明：如答图，连接DB,DC 'DG⊥BC且平分BC, .DB=DC. AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB, DF⊥AC, .DE=DF,∠AED=∠BED=∠AFD =∠DFC=90°. 在Rt△DBE和Rt△DCF中， DB=DC, DE-DF, ∴.Rt△DBE≌Rt△DCF(HL), 答图 ..BE=CF. (2解：在R△ADE和Rt△ADF中，DE=DF, (AD=AD, .Rt△ADE≌Rt△ADF(HL),.AE=AF .AC+CF=AF,.'.AE=AC+CF. .AE=AB-BE,.'.AC+CF=AB-BE. .AB=7,AC=5,.5+BE=7-BE,∴.BE=1, .AE=7-1=6. 10.(1)证明：如答图，过点I作AB,AC,BC的垂线，垂足分别 为点M,N,K. .BE,CF是△ABC的角平分线， ∴.IK=IN=IM, .点I在∠BAC的角平分线上 (到角两边距离相等的点，在这个 角的平分线上) 答图 (2)解：∠FTL=∠FLT. (3)GN=GM 第14课时章末复习 ⊥BC 1.C2.A3.D4.C5.C6.B7.C 8.1009.510.45°11./3-112.12 13.解：：∠ACD是△ABC的外角， ∴·∠ACD=∠B+∠BAC. .∠B=40°，∠ACD=110°， ∴.∠BAC=70°. AE平分∠BAC, ∴∠BAE=2∠BAC=35. ∠AEC是△ABE的外角， ∴.∠AEC=∠B+∠BAE=75 29入年级下册数学·（北师大版） 第11课时 线段的垂直平分线(2) 课后巩固 夯实基础 能力提升 1.如图，在△ABC中，线段AB的垂直平分线与AC5.如图，在△ABC中，DE,MN是边AB,AC的垂 相交于点D,连接BD,△ABC的周长为20cm,边 直平分线，垂足分别为点D,M,分别交BC于 AB的长为7cm,则△BCD的周长为 ( 点E,N,且DE和MN交于点F A.12 cm (1)若∠B=20°，求∠BAE的度数； B.13 cm (2)若∠EAN=40°，求∠F的度数； C.26 cm (3)若AB=8,AC=3,求△AEN的周长的范围. D.27 cm 2.有一块三角形草坪，要在草坪上建一座凉亭，使 凉亭到三个顶点的距离相等，则凉亭的选址有 ( A.1处 B.2处C.3处D.4处 3.对于问题：如图1，已知∠AOB,只用直尺和圆 规，如何判断∠AOB是否为直角？小意同学的 方法如图2：在OA,OB上分别取点C,D,以点 C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延 长线于点E,若测量得OE=OD,则∠AOB= 90°.小意同学判断的依据是 ( ) A A OD B 图1 图2 A.等角对等边 B.线段中垂线上的点到线段两段两端点的距 离相等 C.垂线段最短 D.等腰三角形“三线合一” 4.如图，已知A(0,3),B(2,1),C(2,一3)，若点P 是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐 标为 ●>120 数学·课后巩固 6.如图，A,B两个村庄的坐标分别为(2,2)，(7,4)，拓展思维 一辆汽车从原点O出发，在x轴上沿正方向行驶.7.定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做 (1)汽车行驶到什么位置时离村庄A最近？写 此三角形的准外心 出此位置的坐标； 举例：如图1所示，若PA=PB,则点P为△ABC (2)请在图中画出汽车到两村庄的距离相等的 的准外心. 位置，并求出此时汽车到两村庄的距离 应用：(1)如图2所示，CD为等边三角形ABC 之和. 的高，准外心P在高CD上，且PD=AB,连 y 接PA,PB,求∠APB的度数 B(7,4) 探究：(2)已知△ABC为直角三角形，斜边 ·A(2,2) BC=5,AB=3,准外心P在AC边上，请直接 写出PA的长. 图1 图 ●>130