第1章 第9课时 直角三角形(2)（课后巩固A本）-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

∠EDB=∠B, .'DE=EB; (2)解：ED=EB,理由如下： 如答图1，取AB的中点O,连接CO,EO. ∠ACB=90°，∠ABC=30°， .∠A=60°，OC=OA, .△ACO为等边三角形， 、E ∴.CA=CO,∠ACO=60° ADO ,△CDE是等边三角形，∴.∠DCE=60 答图1 =∠ACO,CD=CE, ∴.∠ACD=∠OCE, ..△ACD≌△OCE(SAS), .∠COE=∠A=60°， .∠BOE=60°=∠COE. .∠OCB=∠OBC=30°，.OC=OB.又.OE=OE, ∴.△COE≌△BOE(SAS), ∴.EC=EB, ..ED=EB; (3)解：如答图2，取AB的中点O,连接CO,EO,EB 由(2)，得△ACD2△OCE G ∴.∠COE=∠A=60°， ∠BOE=60°， 由(2)，得△COE≌△BOE, ∴.EC=EB, OD HB .'ED=EB, 答图2 EH⊥AB, ∴.DH=BH=1, GE∥AB, ∴.∠G=180°-∠A=120°=∠DOC, .∠CDO=60°-∠OCD=∠ECG,CE=DC, .△CEG≌△DCO(AAS), ..CG=OD, 设CG=a,则AG=5a,OD=a, ∴.AC=OC=4a, .OC=OB, .4a=a+1+1, 解得a=号，即CG=号、 31 第8课时 直角三角形(1) 1.A2.B3.3 4.两直线平行，内错角相等 5.c6.c 7.解：∠A=?∠B=子∠C,LA+∠B+∠C=180, .∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∴.AB=2BC,BC+AC=AB2, ∴.BC心+AC=4BC, ∴.AC=3BC, ∴.BC:AC:AB=1:3:2. 8.解：，a2+b+c2-6a-8b-10c+50=0, a2-6a十9+62-8b+16+2-10c+25=0, ∴.(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0, ∴.a-3=0,b-4=0,c-5=0, .a=3,b=4,c=5, .a2+b=c2, ∴.三角形是直角三角形，两直角边长为a,b, ∴三角形的面积=之ab=号×3X4=6。 9.(1)证明：①，AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠BCA=∠ADC=∠CEB=90°， 2 参考苔案 ∴.∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90°， .∠DAC=∠ECB ∠ADC=∠CEB, 在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB, LAC=CB, ∴.△ADC≌△CEB(AAS). ②DE=AD十BE,理由如下： :△ADC≌△CEB(AAS), .AD-CE,CD-BE. ,DE=CD十CE, .'DE=AD++BE. (2)解：DE=AD一BE,证明如下： .AD⊥MN,BE⊥MN, ∴.∠BCA=∠ADC=∠CEB=90°， .∠DAC+∠ACD=90°，∠ECB+∠ACD=90° .∠DAC=∠ECB. ∠ADC=∠CEB, 在△ADC和△CEB中，∠DAC=∠ECB, LAC-CB, ,.△ADC≌△CEB(AAS), ..AD=CE,CD=BE. .DE=CE-CD, .'DE=AD-BE. 第9课时直角三角形(2) 1.D2.C3.平行 4.解：(1)假命题。理由：30°与45的和为75°，而75°为锐角， 所以“两个锐角的和是钝角”为假命题； (2)假命题。理由：当a=0,b=一1， 则a>b,则a2<,所以“若a>b,则a2>b”为假命题； (3)假命题。理由：如图，∠1与∠2为同位角，但∠1<∠2. 所以“同位角相等”为假命题. 5.B6.C7.A 8.证明：，AD∥BC, ∴.∠A+∠B=180° .∠A=90°， ∠B=90. ∠1=∠2， .DE=EC. 在RtAADE和Rt△BEC中，DE=EC, (AD=BE, .Rt△ADE≌Rt△BEC(HL). 9.证明：在Rt△ADC和Rt△APFE中，AD=AF,AC=AE, .Rt△ADC≌Rt△AFE(HL), ..CD=EF .'AD=AF.AB=AB. ∴.Rt△ABD≌Rt△ABF(HL), ∴.BD=BF, ∴.BD-CD=BF-EF, 即BC=BE. 10.C 11.解：如答图，连接CG, 过点G作GH⊥BC于点H. AC=BC,∠ACB=90°，G为AB的中点， .∠BCG=∠ACG=45°=∠ABC=∠CAB, 数学八年级下册（北师大版） ∴.AG=BG=CG,∠CGA=90°， ∴.∠GAE=∠GCF=135°， .∠EGF=∠AGC=90°， ∴.∠EGA=∠FGC, ∴.△AGE≌△CGF(ASA), ..AE=CF=3,GE=GF. .BF=5, .BC=2. B BG=GC,∠BGC=90°， 答图 GH⊥BC, .∠BGH=45°=∠GBH, .BH-HC-GH=1, .HF=4, ∴.GF=/GH+HF=/1+16=17, ∴.EF=/GE+GF=2GF=34. 第10课时线段的垂直平分线(1) 1.42.C3.D4.D5.B6.C7.A 8.(1)证明：连接CE,如答图， ,D是BC的中点，DE⊥BC, ∴.EB=EC. .BE-EA2=AC, ∴.EC-EA2=AC, ∴EC=EA2+AC,∴.∠A=90°. (2)解：.D是BC的中点，BD=2.5, .BC=2BD=5. ∠A=90°，AC=3, ∴.AB=BC-AC=/52-32=4. B D ,EB=EC,.设EB=EC=x,则AE 答图 4-x. 在Rt△EAC中，32+(4-x)2=x2, 解得x-空，AE=AB-BE=4一百-子 9.解：(1)25 (2)如答图，EF即为所求 E B 答图 作法：取格点E,F,使DE=CEDF=CF,连接EF即可. 10.(1)证明：.∠ACB=90°，CG平分∠ACB, .∠ACG=∠BCG=45°. 又∠ACB=90°，AC=BC, .∠CAF=∠CBF=45°，.∠CAF=∠BCG. I∠ACF=∠CBG, 在△AFC与△CGB中，AC=BC, L∠CAF=∠BCG, .△AFC≌△CGB(ASA), ∴.AF=CG. (2)解：CF=2DE: 证明：如答图，延长CG交AB于 点H. ,CG平分∠ACB,AC=BC .CH⊥AB,AH=BH. .AD⊥AB,.AD∥CG, ∴.∠D=∠EGC, 答图 :E为AC边的中点， ..AE=CE, '∠AED=∠CEG, 在△ADE与△CGE中，{∠D=∠EGC, AE-CE, ∴.△ADE≌△CGE(AAS),∴，DE=GE, .DG=2DE. 连接AG,如答图， .CH⊥AB,AH=BH, .CH是AB的垂直平分线， .AG=BG,.∠GAB=∠GBA ,∠DAB=90°， ∴∠GAB+∠DAG=90°=∠GBA+∠D, .∠DAG=∠D,.GA=GD=GB. .'△AFC≌△CGB,∴.CF=BG, ..CF=2DE. 第11课时线段的垂直平分线(2) 1.B2.A3.B4.(-2,-1) 5.解：(1)由DE是边AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的 性质，即可得AE=BE,又由等边对等角，可得∠BAE=20°； (2).DE,MN是边AB,AC的垂直平分线， ..AE=BE,AN=CN, ∴∠BAE=∠B,∠CAN=∠C. :∠EAN=40°，∠B+∠BAE+∠EAN+∠CAN+∠C =180°， ∴.∠BAE+∠CAN=70°， ∴∠BAC=∠BAE+∠CAN+∠EAN=110°. ,∠ADF=∠AMF=90°， .∠F=360°-∠ADF-∠AMF-∠BAC=360°-90°-90° -110°=70° (3),DE,MN是边AB,AC的垂直平分线， ..AE-BE,AN-CN, ∴.BC=BE+EN+CN=AE+EN+AN,即△AEN的周长. AB=8,AC=3,.5<BC<11, .△AEN周长的范围为5<△AEN的周长<11. 6.解：(1)如答图，过点A作x轴的垂线，垂足C即为所求作的 点，此时，汽车距离A点最近，此位置的坐标是(2,0). B(7,4) (2,2) D 答图 (2)如答图所示，连接AB,过点B作x轴的垂线，垂足为D, 作AB的垂直平分线，与x轴的交点P即为所求作. 根据题意可知AC=2,BD=4,OC=2,OD=7, ∴.CD=5,则DP=5-CP. 根据勾股定理得AC十CP=AP=BP=DP十BD, 即2+CP=(6-CP)2+4,解得CP- 10 根据勾股定理得AP-BP-/2+(器 =/1769 10 所以距离和为76型×2=1769 0 5 7.解：(1)①若PB=PC,则∠PCB=∠PBC :CD为等边三角形ABC的高， AD=BD-AB,∠PCB=号 ∠ACB=30°， .∠PBC=30°，八年级下册|数学·（北师大版） 第9课时」 直角三角形(2) 课 后巩固 夯实基础 题能力提升 1.如图，PD⊥AB,PE⊥AC,垂 5.如图，已知DB⊥AN于点B,交AE于点O,OCL 足分别为D,E,且PD=PE, A AM于点C,且OB=OC.若∠ADB=54°，则∠OAB 则△APD与△APE全等的 的大小为 理由是 A.SAS B.AAS C.SSS D.HL 2.如图，∠B=∠D=90°，CB=CD,∠1=25°，则 -N ∠2= () A.15° B.18° C.22 D.30 A.25° B.40° C.65° D.60 6.如图所示，BE⊥AC,CF⊥AB,若BE=CF,则 B 图中全等三角形有 第2题图 第3题图 3.如图所示，已知BF⊥AC,DE⊥AC,垂足分别 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 为F,E,且BF=DE,又AB=CD,则AB与 7.如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC,BD平分 CD的位置关系是 ∠ABC,AD=CD,BE=4,DE=3,CE=1,则 4.判断下列命题是真命题还是假命题；如果是假 △ABD的面积是 ( 命题，请举一个反例 A.4.5 (1)两个锐角的和是钝角； B.6 (2)若a>b,则a2>b2; C.9 (3)同位角相等 D.12 8.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A= 90°，E是AB上的一点，且AD=BE,连接DE, CE,∠1=∠2.求证：△ADE≌△BEC. ●>100 数学·课后巩固 …0-●-● 9.如图，已知AD,AF分别是两个钝角△ABC和11.(2025·深圳·校级模拟)如图，在Rt△ABC △ABE的高，如果AD=AF,AC=AE.求证： 中，AC=BC,G为AB的中点，直角∠MGN BC=BE. D 绕点G旋转，它的两条边分别交CA,BC的延 长线于点E,F,连接EF,当AE=3,BF=5 时，求EF的长。 M 拓展思维 10.如图，将一个含有45°角的直角三角板放在平面 直角坐标系中，三角板两锐角顶点分别落在x 轴，y轴上的点A,B处，直角顶点在点C(3,3) 处，则OA+OB的值为 A.4 B.4.5 C.6 D.8 ●>110