1.3 直角三角形（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（北师大版·新教材）

3直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 堂清练习 名师讲坛 1.在直角三角形中，如果一个锐角是35°，则另一个锐 角是 () 01要点领悟 A.35° B.45° C.55° D.65° 1.直角三角形的两个锐角互 2.以下列各数为边长，能构成直角三角形的是() 余，是三角形内角和定理的一种 A.1,2,3 B.1,2,3 延伸，使用的前提是在直角三角 形中。 C.√3,4,7 D.4,5,6 2.勾股定理只适用于直角三 3.已知△ABC的三边长分别为a,b,c,且√a一7+ 角形，而不适用于锐角三角形和 (b-24)2+c-25|=0,则△ABC的面积为() 钝角三角形。 A.30 B.84 C.168 D.无法计算 3.含30°或45°角的三角形的 4.下列命题：①同旁内角互补，两直线平行；②偶数一 有关计算，常作垂线段构造直角 定能被2整除；③末位数是5的数，能被5整除；④ 三角形，结合勾股定理及直角三 对顶角相等.其中，逆命题是假命题的个数是() 角形的其他性质求解。 A.1 B.2 C.3 D.4 02易错警示 5.已知a∥b,某学生将一直角三角尺按如图所示放 【例】在△ABC中，AB=15,AC 置，如果∠1=48°，那么∠2的度数是 13,BC边上的高AD=12,求BC 的长。 (答题模板) 第5题图 第6题图 6.如图，△ABC中，AB=AC=10,BC=12,则底边BC B C D B 上的高AD= 图① 图② 7.如图，在△ABC中，∠A=90°，点D在边AC上， 解：如图①，过点A作AD⊥BC DE∥BC,若∠ADE=124°，求∠B的度数。 于点D,则∠ADB=90°。 .BD=√AB2-AD=9, CD=√AC-AD=5。 ∴.BC=BD-CD=4。 如图②，同理可求BC=14, .BC的长是4或14。 第2课时 利用“L”判定两个直角三角形全等 堂清练习 名师讲坛 1.如图，在Rt△ACO与Rt△BCO中，AC=BC,ACL 01要点领悟 OA,CB⊥OB,则Rt△AOC≌Rt△BOC的理由是 1.“HL”定理是证明两个直角 ( 三角形全等特有的方法，不要与证 A.SSS B.ASA C.SAS D.HL 明一般三角形全等的方法混淆。 2.书写格式：用“HL”判定两 个三角形全等时，两个三角形符 号前一定要加上“Rt”。 02方法技巧 判定一般三角形全等的所有 第1题图 第2题图 第3题图 方法对判定两个直角三角形全等都 2.如图，四边形ABCD中，AB⊥AC,CD⊥AC,若要用 适用，所以我们可以根据SSS, SAS,ASA,AAS和HL五 “HL”证明Rt△ABC≌Rt△CDA,则需添加的条件 种方法来判定两个直角三角形 是 () 全等。 A.∠B=∠D B.∠ACB=∠CAD 03典例导学 C.AB=CD D.AD-CB 【例】在Rt△ABC和Rt△A'B'C 3.如图，在△ABC中，BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是 中，∠C=∠C=90°，有如下几个 E,F,若AE=AF,则图中全等三角形有 对。 条件：①AC=A'C,∠A=∠A'; 4.如图，在△ABC中，∠BAC=62°， ②AC=A'C',AB=A'B'; ∠C=90°，AD=AC,DE⊥AB于 ③AC=A'C',BC=B'C';④AB= A'B',∠A=∠A'。其中，能判定 点D,交BC于点E,则∠AEC= Rt△ABC≌Rt△A'B'C'的条件 的个数为 (D) 5.如图，点E,F在BC上，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥ A.1 B.2 C.3 D.4 BC,AC=DB。求证：AC∥DB。 【点拨】 序号 图示 符号的判 结论 定方法 ① ASA 可判定 ② HL 可判定 ③ SAS 可判定 ④ B AAS 可判定 8第三部分高效学习目目优 第一章三角形的证明及其应用 1三角形内角和定理 第1课时三角形内角和定理 1.B2.C3.1024.直角5.6050706.15°7.解：CE是边AB 上的高，∠BEC=90°。：∠ABC=50°，.∠BCE=40°。：∠AFC=80°， ∴.∠CGF=60°。∴.∠AGC=180°-∠CGF=120°。 第2课时三角形的外角 1.D2.60°3.∠A<∠BEC<∠BDC4.50°5.解：(1)∠DAE是 △ABD的外角，.∠DAE=∠B+∠D=50°。∴.∠D=∠DAE-∠B=50 -30°=20°。(2)AD平分∠CAE,∴.∠DAC=∠DAE=50°。在△ACD 中，∠ACD=180°-∠DAC-∠D=180°-50°-20°=110°。 第3课时多边形的内角和与外角和 1.D2.C3.C4.B5.900°6.97.188.解：六边形ABCDEF的 每个内角都相等，.一个内角的大小为6-2)X180=120。·∠E=∠F 6 =∠BAF=120°。，∠1=48°，.∠FAD=120°-48°=72°。∴.在四边形 ADEF中，∠2=360°-∠E-∠F-∠FAD=48°。 2等腰三角形 第1课时等腰三角形的性质 1.B2.D3.120°4.225.19或236.2084°7.解：AE∥BC。理由 如下：AB=AC,∴∠B=∠C。,∠DAC=∠B+∠C,∴.∠DAC=2∠B。 :AE平分∠DAC.∠DAE=号∠DAC=号×2∠B=∠B.AE/BC 第2课时等腰三角形的判定与反证法 1.B2.B3.D4.等腰5.这两个角所对的边相等6.等边对等角等 角对等边 第3课时等边三角形的判定与含30°角的直角三角形的性质 1.B2.D3.B4.485.66.证明：，△AB0是等边三角形，∴∠A= ∠B=∠AOB=60°。.CD∥AB,∴.∠D=∠B=60°，∠C=∠A=60°。又 ∠COD=∠AOB=60°，∴∠D=∠C=∠COD=60°。∴△OCD是等边三 角形。 3直角三角形 第1课时直角三角形的性质与判定 1.C2.B3.B4.B5.42°6.87.解：∠ADE=124°，∠CDE= 180°-∠ADE=56°。.DE∥BC,∴.∠C=∠CDE=56°。：在△ABC中， ∠A=90°，.∴∠B=90°-∠C=34°。 第2课时利用“HL”判定两个直角三角形全等 1.D2.D3.34.59°5.证明：，AE⊥BC,DF⊥BC,∴.∠AEC= ∠DFB=9O°。BE=CF,.BE+EF=CF+EF,即BF=CE。在Rt △ACE和Rt△DBF中，AC=DB,CE=BF。.Rt△ACE≌Rt△DBF (HL)。∴∠C=∠B。∴AC∥DB。 4线段的垂直平分线 第1课时线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 1.B2.C3.AB4.BD=CD线段垂直平分线上的点到这条线段两个 端点的距离相等5.解：DE垂直平分BC,.BE=CE。.△AEC的周长 为13，.AC+AE+CE=AC+AE+BE=AC+AB=13。AB=8,.8+ AC=13。∴.AC=5。 第2课时尺规作等腰三角形与三角形三边的垂直平分线 1.A2.B3.A4.55.解：，AD垂直平分BE,EF垂直平分AC,∴.AB =AE=EC。.∠ABE=∠AEB,∠C=∠CAE。:∠BAE=40°，∴.∠AEB =号×180°-409)=70.∠EAC=号∠AED=35°。∠AEF=90°- ∠EAC=55°。.∠BEF=∠AEB+∠AEF=70°+55°=125°。