第1章 第8课时 直角三角形(1)-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

、C B B4 答图1 答图2 如答图1，∠ACB=∠D+∠DAC=90°+20°=110°； 如答图2，∠ABD=20°，故顶角∠A=90°-∠ABD=90° -20°=70° 【举一反三】解：①如答图1，当该等腰三角形为锐角三角形时， 由题意可知∠ABD=45°，∠BDC=90°， ∴.∠A=∠BDC-∠ABD=45°， ∴∠ABC=∠C=2(180°-∠A)=67.5; D B 答图1 答图2 ②如答图2，当该等腰三角形为钝角三角形时 由题意可知∠ABD=45°，∠D=90°， ∠BAC=∠D+∠ABD=135°， ÷∠ABC=∠C=号(180-∠A=2.5 综上可知，这个等腰三角形的底角度数为67.5°或 22.5 微专题2等腰三角形中的方程思想 例1解：AD=DE=EB, ∴设∠BDE=∠ABD=x, .∠AED=∠A=2x, .BD=BC,AB=AC, .∠BDC=∠C=∠ABC=3x, 在△ABC中，3x+3x+2x=180°， 解得x=22.5°. ∴∠A=2x=22.5°X2=45°. 【举一反三】解：设∠A=x. .AD=BD, .∠ABD=∠A=x; BD=BC, '.∠BCD=∠BDC=∠ABD+∠A=2x; .AB=AC, ∴.∠ABC=∠BCD=2x, .∠DBC=x; ,x+2x+2x=180°， ∴.x=36°， .∠C=72 例2解：AB=10,AC=8,BC=6, ∴.AC心+BC=82+62=102=AB2, .△ABC是直角三角形，且∠C=90°， ,DE垂直平分AB, ∴.AD=BD, 设CD=x,则AD=BD=8一x, 在Rt△BCD中，(8-x)2=62+x2, 解得x=子CD=子 4· 【举一反三】解：.∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm, ∴.AC=AB2-BC=4cm, ,·将△BCD沿BD折叠，使点C恰好落在AB上的 参考苔案 点E处， ,∴.BE=BC=3cm,DE=DC,∠BED=∠C=90°， .'.AE=AB-BE=2 cm, .设AD=x,则CD=DE=4一x, '.在Rt△ADE中，AD=AE+DE, 即x2=22+(4-x)2, “解得x=号， AD=号cm 例3(1)15 解：(2)在等边△ABC中， ∴，AB=BC=CA,∠A=60, 如图A点M,N运动xs后，△AMN为等边三角形， 由运动知，AN=15-2x,AM=x, .15一2x=x,解得x=5, ∴.点M,N运动5s后，△AMN是 等边三角形 (3)存在，M,N运动的时间为20s, 理由如下： 答图1 如答图2，设M,N运动ys后，得到以MN为底边的等 腰三角形AMN, .AM=AN,.∠ANM =∠AMN, :△ABC是等边三角形， ∴.AC=AB,∠C=∠B=60°， '.△ACN≌△ABM(AAS), ∴.CN=BM,∴.CM=BN, 由运动知，CM=y一15，BN= 答图2 15×3-2y, .y-15=15×3-2y,.y=20, 故点M,N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的 等腰三角形AMN,此时M,N运动的时间为20s. 【举一反三】(1)线段BC的中点6 解：(2)当点M,N在BC边上运动时，可以得到以 MN为底边的等腰三角形， 由(1)知6秒时M,N两点重合，恰好在C处， 如答图，假设△AMN是等腰三 角形， 设M,N运动ts时，得到以 MN为底的等腰△AMN, ..AN-AM, CM=t-6,BN=18-2t, 答图 .'.∠AMN=∠ANM, ∴.∠AMC=∠ANB, '△ACB是等边三角形， ∴.∠C=∠B,AB=AC, ∴.△ACM≌△ABN(AAS), ∴.CM=BN, .t-6=18-2t, 解得t=8,符合题意 所以假设成立，当M,N运动8s时，能得到以MN 为底的等腰三角形， (3)2或号或号或9 第8课时直角三角形(1) 新课学习 1.(1)互余(2)a2+b=c 2.(1)直角(2)直角 3.互逆逆互逆逆 数学八年级下册（北师大版） 核心讲练 例1C变1A例2D变2D例3B变3A 例4A 课堂过关 1.A2.A3.5 4.如果a>b,那么a>b5.4 6.解：(1)由题意得：BE=2t, F为BE的中点， ∴BF=EF=合BE=, ,AD=4,BD=8, ∴.DF=BD-BF=8-t, DE-BE-BD-2t-8, AD⊥BC,AE=AF, .'DE=DF, 即2t-8=8-t, 解每5， 当1=9时，AE=AP 故答案为：5。 (2)△ABE是直角三角形， 理由：当t=5时，BE=2t=10, .DE=BE-BD=10-8=2, 在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=4十82=80， 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE=42+22=20, ,AB2+AE=100,BE2=102=100, ..AB+AE=BE, ·△ABE是直角三角形 第9课时直角三角形(2) 核心讲练 例1A变1D 例2证明：：CB⊥AB,∴∠ABC=∠FBC=90°， ∠BAC=45°， ∴.∠BCA=45°=∠BAC, ∴.△ABC为等腰直角三角形， ∴.AB=CB, 在Rt△ABE和Rt△CBF中， (AE=CF, AB=CB, .Rt△ABE≌Rt△CBF(HL). 例3B 课堂过关 1.C2.A 3.解：(1)结论：AF=3BF. 证明：如答图，过点D作DG⊥AB于点G,则∠DGB=90°， .∠ACB=90°，∠ABC=45°， ..AC=CB, ..AC+BC=AB2, 8c-号AB, DA=DB,∠ADB=90°， ∴.∠ADG=∠BDG=45°=∠DAG =∠DBG, ∴DG=AG=BG=2AB, 在Rt△BEC中，∠BEC=9O°，EB =EC, 答图 BE-号BC=之AB,DG=BE, 在△DFG和△EFB中， ∠DFG=∠EFB, ∠DGF=∠EBF DG=BE, ∴.△DFG≌△EFB(AAS) ∴.FG=BF, ∴.AF=3BF (2)猜想：AF=3FB. 第10课时 线段的垂直平分线(1) 核心讲练 例1A变136例2A 变2证明：(1)在△ABE和△ACD中， AB=AC, ∠A=∠A: AE-AD, ∴.△ABE≌△ACD, ∴.∠ABE=∠ACD. (2)如答图，连接AF .'AB=AC, .∠ABC=∠ACB, 由(1)可知∠ABE=∠ACD, 答图 .∠FBC=∠FCB, ∴FB=FC .'AB=AC, 点A,F均在线段BC的垂直平分线上， 即直线AF垂直平分线段BC. 例3解：如答图，分别以A和B为圆心，以 大于号AB的长为半径画弧，两弧交 A 于点E和F, 作直线EF,与河岸交于点C,则码头 应建在点C处 课堂过关 1.B2.C3.D4.B5.C 答图 6,解：如答图，点E即为所求， M 答图 第11课时线段的垂直平分线(2) 新课学习 2.PA PB PC 核心讲练 例1D变1160° 例2100°例3B 例4解：如答图，点M即为所求 答图 课堂过关 1.B2.C3.D数学·八年级下册（北师大版） 第8课时 直角三角形(1) 课学有 1.直角三角形角的性质定理： 2.直角三角形角的判定定理： (1)直角三角形的两个锐角 (1)有两个角互余的三角形是 三角形. 几何语言：在△ABC中，：∠C=90, 几何语言：在△ABC中，.∠A+∠B= ∴.∠A+∠B=90°. 90°，.∠C=90°，即△ABC为直角三角形. (2)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 (2)如果三角形的三条边长a,b,c,满足a2+6= 平方.如果直角三角形的两直角边长分别 c2,那么这个三角形是 三角形 为a,b,斜边长为c,那么 几何语言：：a2十2=c2,.∠C=90°， 几何语言：∠C=90,a2+b=c2. △ABC为直角三角形 3,逆命题与逆定理：如果两个命题的题设与结论正好相反，则称它们为 命题.如果把其中 个叫原命题，则另一个叫做它的 命题；如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也 是一个定理，这两个定理称为 定理，其中一个定理称为另一个定理的 定理 .● 知识点1直角三角形的性质 变1如图，直线m∥n,点A在 B C m 例1在一个直角三角形中，若有一个锐角等于 直线n上，点B在直线m 25°，则另一个锐角的度数是 ( 上，连接AB,过点A作 A.25° B.55° C.65° D.75 AC⊥AB,交直线m于点C.若∠1=55°，则 ∠2的度数为 ( ) A.35° B.459 C.55°D.60° 例2（易错题）在Rt△ABC中，a,b,c为三边长， 变2（易错题）若一个直角三角形的两边长分别 则下列关系中正确的是 ( 是3和4，则第三边长是 ( ) A.a2+62=c2 B.a2+c2=62 A.5 B.7 C.b2+c2=a2 D.以上都有可能 C.7 D.5或/7 知识点2直角三角形的判定 例3在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别是 变3下列条件能判定△ABC是直角三角形的是 a,b,c,下列条件不能判定△ABC是直角三 角形的是 A.∠A-∠B=∠C A.∠A+∠B=90 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.∠A:∠B:∠C=3:4:5 C.AB=/3,BC=/4,AC=/5 C.a:b:c=3:4:5 D.AB:BC:AC=2:2:3 D.a2=c2+62 ●>20。 第一章三角形的证明及其应用 知识点3逆命题 例4“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是 A.如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形 B.两个角互余的三角形是等腰三角形 C.在同一个三角形中，等边对等角 D.如果一个三角形有两个边相等，那么这个三角形是等腰三角形 课堂过关 壩第一关 过基础 1.若直角三角形的一个锐角等于40°，则它的另2.有两个角互余的三角形是 一个锐角等于 A.直角三角形 B.等边三角形 A.50° B.60 C.70 D.140° C.锐角三角形 D.钝角三角形 3.如图，有一长，宽各为2m,高为3m 4.请写出命题“如果a>b,那么a>石”的逆命 且封闭的长方体纸盒，一只昆虫从 题： 顶点A爬到与A点相对的顶点B, 那么这只昆虫爬行的最短路径为 m 第二关过能力 5.如图，∠ACB=90°，CDLAB于点D,则图中互余的角有对. 第三关过思维 6.如图，AD⊥BC,垂足为点D,且AD=4,BD=8,点E从B点沿射线BC向右以2个单位/秒的速 度匀速运动，F为BE的中点，连接AE,AF,设点E运动的时间为t秒 (1)当t= 时，AE=AF; (2)当t=5时，判断△ABE的形状，并说明理由. ●>21。