第1章 第4课时 多边形的外角和-【宝典训练】2025-2026学年八年级下册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·八年级下册（北师大版） 第4课时 多边形的外角和 1.多边形的外角及外角和的定义： (1)多边形内角的一条边与另一条边的 所组成的角，叫作这个多边形的外角 (2)在每个顶点处取这个多边形的 个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和， 2.多边形的外角和定理：多边形的外角和等于 ,它大小与边数的多少 3.正n边形的每个内角都相等，所以它的每个外角都相等，都等于 【注】若正多边形的一个外角为α°，则正多边形的边数为 核 知识点多边形的外角和 变1(1)在正n边形中，每个内角与每个外角的 例①已知一个多边形的内角和与外角和的差为 度数之比为3：2.求n的值； 1440°. (2)利用(1)中求出的n的值，求正n边形每 (1)求这个多边形的边数； 个顶点可引出的对角线的条数和正n边 (2)如这个多边形是正多边形，求它的每 形对角线的总条数 个内角. 课堂过关 旺第一关 过基础 1.(1)任意一个多边形的外角和是 2.若多边形的边数由n增加到n+1(n为大于3 A.360 B.450 的正整数)，则其外角和的度数 C.900° D.不能确定 A.增加180° B.减少180 (2)正多边形的一个外有等于60°，则这个多边 C.不变 D.不能确定 形的边数是 ●>8《 第一章三角形的证明及其应用 3.如图，AB,BC,CD是某正多边形相邻的三条 5.(2025·辽宁朝阳建平期末)某县为创建全国 边，延长AB,DC交于点P,∠P=120° 文明城市，园林工人要在社区公园铺设一个正 (1)∠PBC的度数为 多边形花坛，为了美观，施工时要求正多边形 (2)该多边形为正 边形. 花坛的每个外角都为45°，故正多边形花坛是 4.若一个多边形的内角和与外角 ( 和之和是900°，则该多边形的边数是 A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形 6.【跨学科】Co的发现使人类了解 7.(1)(2025·江苏扬州江都期末)一个多边形的 到一个全新的碳世界.如图所示 内角和是它外角和的2倍，这个多边形是 的是C6的分子结构图，包括20 边形 个正六边形和12个正五边形， (2)佩佩在某古镇研学时学习扎染技术，得到 其中正五边形的一个外角的度数是 一个内角和为1080°的正多边形图案，这 个正多边形的每个外角为 8.已知一个多边形的每一个外角都是与它相邻9.已知一个多边形的内角和是其外角和的5倍， 的内角的2试求出： 求这个多边形的边数. (1)这个多边形的每一个外角的度数； (2)这个多边形的内角和. 逻第二关 过能力 10.如图，嘉琪从点A出发， 北 309 11.如图，已知AB,BC,CD是正n 东 沿正东方向前进5m后 边形的三条边，在同一平面内， 309 向左转30°，再前进5m 以BC为边在该正n边形的外 又向左转30°…这样一直走下去.嘉琪第 部作正方形BCMN.若∠ABN=120°，则n 次回到点A时，一共走了 ( 值为 A.30m B.45m C.60m D.75m A.12 B.10 C.8 D.6 12.如图，在五边形ABCDE中满足AB∥CD,求 知第三关 过思维 图形中的x的值. 13.(推理能力)将一个n边形剪去一个角得到一 D Ex° 个新的多边形，其内角和为1620°.则n值为 150° 60°C 125° ●9正文答案 第一章 正文明 三角形的证明及其应用 第1课时 三角形内角和及全等三角形 新课学习 1.180° 2.(2)对应边对应角 核心讲练 例1解：AD⊥BC,.∠D=90°， .在△ABC中，∠B=30°， ,∴.∠BAD=180°-90°-30°=60°； .∠ACB=130°，∴.∠ACD=50°， ∴.在△ACD中，∠CAD=180°-90°-50°=40° 变1解：△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°， .'∠BAC=3∠ABC=3∠ACB, ,.3∠ABC+∠ABC+∠ABC=180°， .5∠ABC=180°， .∠ABC=36°， .∠BAC=3∠ABC=108°，∠ABC=∠ACB=36° 例2D变2A 课堂过关 1.3045602.D3.70°4.A 5.(1)证明：，AB=AC,.∠B=∠C,在△ABD和△ACE ∠B=∠C 中，∠BAD=∠CAE. LAB=AC, ∴.△ABD≌△ACE(AAS),∴.AD=AE. (2)19° 6.解：∠EAB=45°，∠EAC=15°， ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60, '∠ACB=80,∴.∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=40°， .AE∥BD,.∠ABD=∠BAE=45° ∴.∠DBC=∠ABD+∠ABC=85°. 7.(1)①②③ 解：(2)答案不唯一，如选择方法①.证明：，PE∥AB,PF ∥AC, ∴.∠CPE=∠B,∠EPF=∠PFB,∠FPB=∠C,∠PFB= ∠A,∴.∠EPF=∠A, :点B,P,C在同一直线上， .∠EPF+∠CPE+∠FPB=180°， .∠A+∠B+∠C=180°. 第2课时三角形的外角及三角形内角和定理的推论 新课学习 1.反向延长线 2.和它不相邻的两个内角的和 核心讲练 例1(1)801204078(2)30 例2证明：AD平分∠EAC,.∠EAD=-合∠EAC, 又，∠B=∠C,.∠EAC=∠B+∠C, ÷∠B=合∠EAC,∠EAD-∠B.AD∥BC 课堂过关 1.(1)110(2)65 2.B3.D4.B5.B6.> 7.(1)75(2)48°8.(1)D(2)95 9.解：AB∥CD,∠A=50°， 参考苔案 ∠DFE=∠A=50°. '∠C=∠E,∠DFE=∠C+∠E, ∴.∠C=∠E=25. 10.证明：如答图，令AC,AD分别交BE 于点M,N,对于△BDN,∠MNA= ∠B+∠D, 对于△CEM,∠NMA=∠C+∠E, 对于△ANM,∠A+∠MNA+ ∠NMA=180°， 所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 答图 =180°. 第3课时多边形的内角和 新课学习 1.(n-3) n(n-3) (n-2) 2.(n-2)·180(n≥3)(2)n-2)·180 3.n-1,n,n+1 核心讲练 例1解：设这个多边形的边数为n, 由题意得(n-2)·180°=1980°，解得n=13. .这个多边形的边数是13. 变1B 例2解：设该正多边形的边数为n, 根据题意列方程，得(n一2)·180°=1260°，解得n=9. 1260°÷9=140°，该正多边形的每个内角的度数 为140°. 变2B 课堂过关 1.D2.A3.C4.205°5.解：(1)108°(2)36° 6.D7.C8.1329 9.(1)30 解：(2)十二边形(3)150° 第4课时多边形的外角和 新课学习 1.(1)反向延长线(2)一2.360°无关 3.360°360° 核心讲练 例1解：(1)设此多边形的边数为n,则： (n-2)·180°=1440°+360°， 解得n=12. 答：这个多边形的边数为12. (2)这个正多边形的每一个内角是： (12-2)·180°=150°. 12 变1解：(1)设正n边形每个内角的度数为3x,外角度数 为2x, 则3x+2x=180°，解得x=36°， ∴.2x=2×36°=72°，.n=360÷72=5, 即n的值为5. (2)正n边形的边数是5， .正边形每个顶点可引出的对角线的条数为2条， 这个正五边形的所有对角线的条数为： 2an-3)=号×5X2=5. 课堂过关 1.(1)A(2)62.C3.(1)30°(2)十二 4.55.C6.727.(1)六(2)45° 数学八年级下册（北师大版） 8.解：(1)60°.(2)720°. 9.解：设这个多边形的边数是n, 根据题意得(n一2)·180°=5×360°，解得n=12. 所以这个多边形的边数是12. 10.C11.D12.解：x=85.13.10,11或12 第5课时等腰三角形(1) 新课学习 1.两底角等边对等角 2.顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高 3.三条边4.相等60°三对称轴 核心讲练 例1解：.AB=AC,AD⊥BC,∴.AD平分∠BAC, ∠BAD=3∠BAC=60 变1证明：'BE=CE,∠1=∠2，∠3=∠4， ∴.△ABE≌△ACE(AAS),∴.AB=AC, 又.∠3=∠4，∴.AP⊥BC. 例2解：DB=DE,∴∠E=∠DBE, ,'△ABC是等边三角形， .∠ACB=∠ABC=60°， ,'△ABC是等边三角形，BD是高， ∴.∠DBC=30°，∴.∠E=∠DBE=30°， ∴.∠BDE=180°-∠DBE-∠E=120°. 变2证明：：△ABC为等边三角形， .∠BAE=∠C=60°，AB=CA, (AB=CA, 在△ABE和△CAD中，∠BAE=∠C, LAE=CD, ∴.△ABE≌△CAD(SAS). 课堂过关 1.C2.C3.C4.D 5.解：：BD=BA,∴∠D=∠BAD,又∠D+∠BA ∠ABC=50°. ∴∠D=∠BAD=号×50=25 同理可得∠E=∠CAE=40°， .∠DAE=180°-∠D-∠E=180°-25°-40°=115. 6.D7.B8.4 第6课时等腰三角形(2) 新课学习 1.(2)两个角角 2.结论相矛盾成立 核心讲练 例1(1)A(2)C 例2证明：如答图，：DE∥AC, .∠1=∠3， AD平分∠BAC, .∠1=∠2， .∠2=∠3， .AD⊥BD, ∴.∠2+∠B=90°，∠3+∠BDE=90°， ∴∠B=∠BDE, 答图 ∴△BDE是等腰三角形， 例3这五个正数都小于号 变B 课堂过关 1.∠A=∠C(或BA=BC)2.A3.28cm4.B5.A 7.证明：∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O, 六∠ABD=∠DBC= 2∠ABC, ∠ACE=∠ECB=∠ACB 又，△ABC是等腰三角形..∠ABC=∠ACB, ∠DBC=∠ECB.,△OBC是等腰三角形. 8.证明：过点C作CF∥AP,交BP的延长线 于点F,如答图所示， .∠DPA=∠DFC,∠DAP=∠DCF, ,AD=DC,.△DPA≌△DFC(AAS), .PA=FC, PA=BC,.CB=CF,∴∠FBC=∠F, CF∥AP,.∠BPE=∠F, .∠FBC=∠BPE,,PE=BE 答图 第7课时等腰三角形(3) 新课学习 1.(3)60°2.一半 核心讲练 例1(1)A(2)D 例2证明：，HB=HC,∴.∠HBC=∠HCB, .CF⊥AB,BE⊥AC,∴.∠BFC=∠BEC=90°， ∴.∠ABC+∠BCH=90°，∠ACB+∠CBH=90°， ∴.∠ABC=∠ACB,.AB=AC, :∠A=60°，△ABC是等边三角形. 例3D变B 课堂过关 1.D2.A3.①②③④4.125.A6.5 7.证明：OA=OB,∠A=60°，∴.∠B=∠A=60°. 又：AB∥CD,.∠C=∠A=60,∠D=∠B=60°， .∠COD=∠D=∠C=60°， .△OCD是等边三角形. 8.(1)证明：△ABC为等边三角形， .∠BAC=∠C=60°，AB=AC, 又'AE=CD, .△ABE≌△CAD(SAS),∴.BE=AD (2)7 9.D 微专题1等腰三角形中的分类讨论 例1解：①当70°的内角为这个等腰三角形的顶角，则另外两 个内角均为底角，它们的度数为180.70° 2 =55°； ②当70°的内角为这个等腰三角形的底角，则另两个内角 一个为底角，一个为顶角，底角为70°，顶角为180°一70° -70°=40° 综上，另外两个内角的度数分别是55°，55°或70°，40°. 【举一反三】解：100°的内角只能为这个等腰三角形的顶角， 则另外两个内角均为底角， 它们的度数为180°一100 2 =40° 例2解：①当底边长是6，腰长是8时，8十8>6，能构成三角 形，则其周长=6十8+8=22； ②当底边长是8，腰长是6时，6十6>8，能构成三角形， 则其周长=8+6+6=20. 【举一反三】解：①当腰长是3，底边长是7时， 3十3<7，不满足三角形的三边关系，因此舍去； ②当底边长是3，腰长是7时， 7十7>3，能构成三角形，则其周长=3十7+7=17. 6.B 例36【举一反三】B 例4解：此题需要分情况讨论：等腰三角形的顶角是钝角，等 腰三角形的顶角是锐角. 2