湖北武汉市东湖中学2024-2025学年高二下学期期中考试复习检测卷

**基本信息** 高二年级下学期期中复习检测卷，覆盖函数导数、数列、概率等核心知识，通过梯度化问题设计与实际情境（如知识竞赛、社团分配）考查数学抽象、逻辑推理及应用能力，适配期中阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数几何意义、二项式定理、排列组合、等差数列|单选第3题结合导数求曲线到直线最小距离，考查数学运算；多选第10题以社团分配为情境，融合分类计数原理与实际应用| |填空题|3题/15分|二项式系数、函数奇偶性与单调性|第14题通过构造函数转化不等式恒成立问题，体现逻辑推理素养| |解答题|5题/77分|数列求和、全概率公式、导数单调性与零点证明|第16题以知识竞赛为背景考查条件概率与全概率公式，第19题导数零点证明综合考查逻辑推理与数学抽象，符合高考命题趋势|

高二年级下学期期中考试复习检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的导函数为，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2.若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 3.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 4.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 3种 C. 20种 D. 12种 5.设函数（其中为自然常数），则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 7.学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（ ）种． A. 480 B. 360 C. 570 D. 540 8. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，存多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为16 10. 某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（ ） A. 所有不同的分派方案共种 B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C. 若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D 若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 11.若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是 A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知,,,则__ ___． 13.若，______． 14设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有.若有，则实数的取值范围为________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 16. 某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子. (1)若同学甲从B箱中抽取了两题，求第二题抽到论述题的概率； (2)若同学甲从B箱中抽取了两题，已知第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率； (3)若同学乙从A箱中抽取了两题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率. 17.设. (1)求； (2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； (3)若，求. 18.已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 19.已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：在上有且只有一个零点. 高二年级下学期期中考试复习检测卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数的导函数为，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，解得 故选：D 2.若二项式展开式中存在常数项，则正整数n可以是（    ） A．3 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项为， 令，解得：，又因为且为整数，所以为的倍数，所以， 故选：. 3.点A是曲线上任意一点，则点A到直线的最小距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】不妨设，定义域为： 对求导可得： 令解得：（其中舍去） 当时，，则此时该点到直线的距离为最小 根据点到直线的距离公式可得：解得： 故选：A 4.甲、乙两人要在一排6个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有（ ） A. 6种 B. 3种 C. 20种 D. 12种 【答案】A 【解析】 【分析】采用插空法，在4个空座中间的3个空中插入甲、乙两人的座位即可得答案. 【详解】一排共有6个座位，现有两人就坐，故有4个空座. 要求每人左右均有空座，即在4个空座的中间3个空中插入2个座位让两人就坐， 即有种坐法. 故选：A. 5.设函数（其中为自然常数），则“”是“在区间上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件的定义分析判断即可 【详解】函数的定义域为 当时，由，得，所以在上单调递增， 当时，在上单调递增， 所以“”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知函数，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】分析：对任意的，不等式恒成立等价于 详解：由题意可得，且， 由于， 所以当时， ，函数在上单调递增， 则,， 所以， 故,，即，即 故选A. 点睛：解答本题的关键是借助等价转化的数学思想，先将问题等价转化为求函数，在区间的最大值和最小值的问题．然后运用导数的知识先求函数的导数，在借助函数的单调性求出其最大值和最小值，从而使得问题获解． 7.学校将从4男4名女中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．要求甲乙同时入选或同时不入选．不同组队形式有（ ）种． A. 480 B. 360 C. 570 D. 540 【答案】C 【解析】 【分析】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得，结合分类加法原理计算． 【详解】甲乙同时入选时，按甲担任四辩手或担任二、三辩手分类求解，甲乙同时不入选时，直接从6人中选4人排列即可得． 因此所求方法数为， 故选：C． 8. 函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意构造函数，由条件不等式判断函数在上单调递减，将不等式转化成，利用单调性将问题简化为在上恒成立，求出函数在上的最小值即得. 【详解】由，，可设，， 则，即函数在上为减函数, 因，则，由可得，即， 故得，即在上恒成立. 令，，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则时，取得最小值，故，又，故. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，存多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 等差数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 当时，的最小值为16 【答案】AD 【解析】 【分析】设等差数列的公差为d，由，利用等差数列通项公式求出，由此利用等差数列通项公式和求和公式即可求解判断. 【详解】设等差数列的公差为d， 因为，所以， 即， 对于A，，故A正确； 对于B，，所以，故B错误； 对于C，，，所以,故C错误； 对于D，， 因为，所以当时，，即当时，的最小值为16，故D正确. 故选：AD. 10. 某中学五名高一学生选择甲、乙、丙、丁四个社团进行实践活动，每名学生只能选一个社团，则下列结论中正确的是（ ） A. 所有不同的分派方案共种 B. 若甲社团没人选，乙、丙、丁每个社团至少有一个学生选，则所有不同的分派方案共300种 C. 若每个社团至少派1名志愿者，且志愿者必须到甲社团，则所有不同分派方穼共60种 D 若每个社团至少有1个学生选，且学生A，B不安排到同一社团，则所有不同分派方案共216种 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据分步乘法计数原理计数可知A正确；对于B，C，按照先分组再分配的方法计数可知B不正确；C正确；对于D，由间接法求解可知D正确. 【详解】对于A，每名学生都有4种安排方案，故共有种不同的分派方案，故A正确； 对于B，先将5个人分成3组，分两类：第一类，一组3人，另2组各一人，有种； 第二类，一组2人，一组2人，一组1人，有种，故共有种分组方法， 再将分好三组分配到三个社团，共有种分派方案，故B不正确； 对于C，分两类：第一类，甲社团分1人，只能是A，另外4人有种，第二类，甲社团分2人，共有种， 根据分类加法计数原理可得共有种不同的分派方案，故C正确； 对于D，若每个社团至少派1名学生，则有种，其中学生A，B安排到同一社团时，有种， 故若每个社团至少派1名学生，且学生A，B不安排到同一社团时， 共有种不同分派方案，故D正确. 故选：ACD. 11.若函数在定义域内的某个区间上是单调增函数，且在区间上也是单调增函数，则称是上的“一致递增函数”.已知，若函数是区间上的“一致递增函数”，则区间可能是 A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】求导得到，，放缩得到导函数的正负，结合特殊值排除得到答案. 【详解】，则；，则， 当时，，函数单调递增， ，函数单调递增，A满足； ，故B不满足；，故C不满足； 当时，，，故D满足. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知,,,则__ ___． 【解析】 , 即, 解得. 13.若，______． 【答案】176 【解析】 【分析】分析所给等式特点：等式右边每一项都含有，故将已知等式左边等价变形为，结合二项展开式的通项即可求得. 【详解】因为， 所以展开后含有的项为， 所以. 故答案为：176. 14设函数在上存在导数，对于，有，且在上，恒有.若有，则实数的取值范围为 . 【解题思路】令，判断的奇偶性、单调性，再由得，利用的奇偶性、单调性求解即可. 【解答过程】令，，则，所以为奇函数， 又因为时，，所以在上单调递减， 故在上单调递减， , 所以，故，解得， 即实数的取值范围为， 故答案为：. 5、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在数列中，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数列递推公式，采用累加的方法可求得数列的通项公式； （2）求数列的前项和，分别采用错位相减法和分组求和法即可求得结果. 【小问1详解】 因为数列满足，且， 当时，可得， 即， 当时，适合上式， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由于，且， 则， 即， 设， 则， 两式相减得：， 所以， 所以. 16.某校团委开展知识竞赛活动.现有两组题目放在A，B两个箱子中，A箱中有6道选择题和3道论述题，B箱中有3道选择题和2道论述题.参赛选手先在任一箱子中随机选取一题，作答完后再在此箱子中选取第二题作答，答题结束后将这两个题目放回原箱子. (1)若同学甲从B箱中抽取了两题，求第二题抽到论述题的概率； (2)若同学甲从B箱中抽取了两题，已知第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率； (3)若同学乙从A箱中抽取了两题，答题结束后误将题目放回了B箱，接着同学丙从B箱中抽取题目作答，求丙取出的第一道题是选择题的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设事件表示“甲第i次从B信封中取到论述题”，，2， 则，， 第一次抽到选择题的概率为，此时剩下2道选择题和2道论述题， 第二次抽到论述题的概率为； 第一次抽到论述题的概率为，此时剩下3道选择题和1道论述题，第 二次抽到论述题的概率为， 所以，. 由全概率公式得第2题抽到论述题的概率 . （2）由（1）知，； 也可, 即第一题抽到论述题的条件下，求第二题抽到论述题的概率. （3）设事件A为“丙从B信封中取出的第一个题是选择题”， 事件为“乙从A信封中取出2个选择题”， 事件为“乙从A信封中取出1个选择题和1个论述题”， 事件为“乙从A信封中取出2个论述题”， 则，，两两互斥且， 则，，， ，，， 所以丙取出的第一道题是选择题的概率为. 17.设. (1)求； (2)若是，，，，中唯一的最大值，求的所有可能取值； (3)若，求. 【答案】(1) (2)20，21，22 (3) 【解析】（1）由， 令，可得； 令，可得； 所以. （2）由题意知的展开式的通项为，， 所以，. 因为是中唯一的最大值， 可得，即，解得， 所以的所有可能取值为20，21，22. （3）由题意可得：， 所以，， 则. 因为， 所以. 18.已知函数，． （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求实数的取值范围． 18.【答案】（1）答案见解析；（2）. 【解析】（1）因为，， 所以，， 若，即， 当时，，函数单调递减；..........................4分 若，，当时，，函数单调递增； 若时，即，， 若时，，函数单调递减； 若时，，函数单调递增；..........................8分 综上所述，当时，函数在单调递减； 当时，函数在单调递减；函数在单调递增． 当时，函数在单调递增．..........................9分 （2）因为， 所以，即对任意恒成立， 设，则， 所以，当时，，函数单调递增，..........................12分 当时，， 若，则， 若，因为，且在上单调递增， 所以， 综上可知，对任意恒成立，即对任意恒成立． 设，，则，所以在单调递增， 所以，即的取值范围为．.....................................17分 19.已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，证明：在上有且只有一个零点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）利用导数求的单调性，按的不同取值分类讨论即可求解； （3）利用导数求的单调性，结合零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，，，， 所以在点处的切线方程为， 即. （2）因为，且， 由得， 当时，在上恒成立， 所以单调递增，恒成立， 当时，， 又因为，所以， 则在上，， 记，则时，，单调递减， ，与恒成立不符， 综上所述，恒成立，实数的取值范围是. （3）当时，， 令，则，， 当时，，单调递减， 所以在上，，， 易得，在上没有零点，故只需证明在上有且只有一个零点， 令，， 在上，单调递减，，， 所以存在使得，在上，在上，； 因此在上单调递增，在上单调递减，，； 所以存在使得，在上，在上，； 故在上单调递增，在上单调递减，且，， 所以在区间，存在唯一的使得，在上没有零点 综上所述，时，函数在上有且只有一个零点. 学科网（北京）股份有限公司 $