精品解析：湖北十堰市第一中学2025-2026学年第二学期3月月考试卷高二数学

十堰一中2025-2026学年第二学期3月月考试卷 高二数学 考试时间：150分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 3. 已知函数，则 A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. 的图像关于直线x=1对称 D. 的图像关于点（1，0）对称 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 7. 对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若对任意，则I上单调递增 B. 函数的递减区间是 C. 函数的单调递增区间为 D. 在R上增函数 10. 若则（ ） A. B. C. D. 11. 已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记函数的导数为，若，则_____. 13. 已知函数，，且，则最小值为__________． 14. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________, 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？ 16. 已知函数在处取得极小值，． （1）求和的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 17. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）设，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 19. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 十堰一中2025-2026学年第二学期3月月考试卷 高二数学 考试时间：150分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一､单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用导数的运算法则和复合函数求导的法则，准确运算，即可求解. 【详解】对于A，由 ，所以A错误； 对于B，由，所以B正确； 对于C，由，所以C错误； 对于D，由，所以D错误. 故选：B. 2. 若点在曲线上，曲线在处的切线的倾斜角为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设切点坐标，然后求导计算切点斜率，得到斜率范围，最后得到倾斜角范围即可. 【详解】设，由函数，得， 所以过点的切线斜率， 根据二次函数的图像性质，可得， 又，即， 又，所以得的取值范围是. 故选：C 3. 已知函数，则 A. 在（0，2）单调递增 B. 在（0，2）单调递减 C. 的图像关于直线x=1对称 D. 的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心． 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用当时，判断，通过函数在是减函数判断. 【详解】当时，设，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 也就是说当时，， 用代替，可得，即， 所以，即． 又知，所以，所以． 故选：A 5. 已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，利用极值点的性质结合二次函数的性质得出实数的取值范围. 【详解】，因为函数有两个极值点，所以有两个不等的正根，故，解得. 故选：D 6. 过点且与曲线相切的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数几何意义以及斜率公式，计算可得切点坐标，即可求得切线方程. 【详解】，点不在曲线上， 设切点为，则， 解得：，得切点，则 切线方程为：， 故选：． 7. 对任意，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式等价变形，构造函数，再借助函数单调性、最值求解作答. 【详解】依题意，，令，， 则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减， 因此，，，而，则， 所以实数的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数在区间上的最小值为，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分，和三种情况，结合函数在特殊点的函数值，分类讨论得到实数a的取值范围. 【详解】当时，单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当或时，， 令得或， 当时，恒成立， 故表格如下： 0 + 0 极小值 极大值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 且，， 故的解集为， 时，令可得， 当时，， 令得， 故在上单调递减， 故在处取得最小值，最小值为，满足要求， 当时，恒成立， 故表格如下： + 0 0 + 极大值 极小值 故在上取得极小值， 且，， 要想在区间上的最小值为， 则要，变形得到， 令，， 时，，单调递增， 又，故上，无解， 综上：实数a的取值范围是. 故选：C 【点睛】三次函数是近两年高考常考考点，需要对三次函数图象理解到位，由于三次函数的导函数为二次函数，故常常利用二次函数的性质来研究三次函数的性质，比如三次函数零点问题，极值点情况等. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若对任意，则在I上单调递增 B. 函数的递减区间是 C. 函数的单调递增区间为 D. 在R上是增函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由函数单调性的定义判断A；作出函数的图象可判断B；由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可判断C；利用导数求解单调性可判断D． 【详解】对于A，若对任意，显然， 当时，则有；当时，则有； 由函数单调性的定义可知在I上是单调递增，故A正确． 对于B，作出函数的图象，如图所示， 由图象可知：函数的递减区间是，故B正确； 对于C，函数，在上单调递增，在上单调递减； 又函数在上单调递增， ∴由判断复合函数的单调性的方法“同增异减”可得，的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，，则， 所以是R上的增函数，故D正确． 故选：ABD. 10. 若则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】将化为，构造函数，利用导数研究函数单调性可得函数在上单调递增，进而，代入A，B选项即可判断；根据函数单调性可知，故，即可判断选项D；构造函数，利用导数研究其单调性可知在上单调递增，故，代入即可判断选项C. 【详解】，. 设，则. ，在上单调递增，. ，，故选项A，B正确； 又，，， ，，故选项D错误； 设，则. 令得；令得， 在上单调递增，在上单调递减， ，，即，，故选项C正确. 11. 已知且，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由函数求导，明确导函数的单调性，并构造函数，求导研究其单调性，可得原函数的最值，根据最值的取值范围，可得答案. 【详解】由，求导可得，易知函数在单调递增， 令，求导可得在上恒成立， 则在上单调递增，所以， 易知，使得，则，即， 当时，，则函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增， 所以，由，则， 当，即时，，故A错误，B可能正确； 当，即时，令，求导可得， 则函数在上单调递减. 由，,则存在，使得， 所以当时，此时符号不定，故CD可能正确. 故选：BCD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记函数的导数为，若，则_____. 【答案】7. 【解析】 【分析】求，将代入，求出，从而求出，继而求出. 【详解】因为，故， 故，解得，所以，故. 故答案为：. 13. 已知函数，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据得出所满足的关系式，然后用表示，然后利用导数工具求解的最小值. 【详解】由，得，化简整理得． 令，则， 令，解得．当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， ，． 故答案为： 14. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且满足时，．若不等式在上恒成立，则a的取值范围是__________, 【答案】 【解析】 【分析】构造，得到其奇偶性和单调性，对不等式变形得到，从而得到，平方后由一次函数性质得到不等式组，求出a的取值范围. 【详解】令，则，故为R上的偶函数， 当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 等价于， 即在上恒成立． 所以，平方后化简得到． 由一次函数性质可得， 解得，即， 故a的取值范围是． 故答案为：. 【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路： 比如：若，则构造，若，则构造， 若，则构造，若，则构造. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒． （1）试把方盒的容积V表示为x的函数； （2）x多大时，方盒的容积V最大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长方体的体积公式进行求解即可； （2）利用导数进行求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：无盖方盒的棱长分别为：，，， 所以方盒的容积； 【小问2详解】 解得：， 当时函数递减，当时函数递增，所以当时，盒的容积V最大. 16. 已知函数在处取得极小值，． （1）求和的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意； （2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知， 则， 又函数在处取得极小值， 则， 解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得和随的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 17. 已知函数，的图象在点处的切线为． （1）求函数的解析式； （2）设，求证：； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）（2）见解析（3） 【解析】 【分析】 （1）求导根据切线方程公式得到，解得答案 （2）求导得到单调区间，计算得到证明. （3）求导并利用（2）中结论，得到函数单调区间，，得到答案. 【详解】（1），由已知得，解得， 故. （2），得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． ∴，从而,即 （3）令，， ∴， 由（2）可知当时，恒成立， 令，得；得． ∴的增区间为，减区间为，， ∴，∴实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，转化为求函数最值是解题的关键. 18. 已知函数． （1）若，求的极值； （2）讨论的单调性； （3）若对任意，有恒成立，求整数m的最小值． 【答案】（1）极大值为，无极小值． （2）分类讨论，答案见解析. （3）1 【解析】 【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得； （2）求导，分，讨论可得； （3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得. 【小问1详解】 的定义域为， 当 时，， 令，解得 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以在时取得极大值为，无极小值． 【小问2详解】 因为 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问3详解】 因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则． 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即． 当时，； 当时，． 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以． 因为，所以， 故整数的最小值为1． 【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解. 19. 已知函数（且） （1）讨论函数的单调性； （2）若有两个零点，求a取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出，分、、、讨论可得答案； （2）分、、、讨论，结合单调性和零点情况可得答案． 【小问1详解】 因为， 当时，时，所以在单调递减； 时，，所以在单调递增； 当时，时，，所以在和单调递增， 时，在单调递减； 当时，，所以在单调递增； 当时，，所以在和上单调递增， 时，在单调递减； 【小问2详解】 当时，由（1）可知是唯一的极小值点，且，，所以在有唯一零点； ， 所以在上有唯一零点，符合题意； 当时，由（1）可知为极大值点， 且，所以不符题意；当时，在单调，不符题意；当时，由（1）可知，为函数极大值点，且，不符题意． 综上所述，. 【点睛】方法点睛：函数有零点（方程有根）求参数取值范围的三种常用的方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法（参数和自变量全分离）：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调的函数，含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $