题号猜押03 广东省卷中考数学11～15题（填空题）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

题号猜押03 广东省卷中考数学11~15题（填空题） 考点1 因式分解 1．（2026·广东河源·模拟预测）因式分解：_______． 2．（2026·广东茂名·模拟预测）因式分解______． 3．（2026·广东梅州·模拟预测）分解因式：_____． 4．（2026·广东江门·一模）因式分解：____________． 5．（2026·广东深圳·二模）已知，，则_____． 考点2 实数的运算 1．（2026·广东中山·一模）__________． 2．（2026·广东东莞·二模）计算：______________． 3．（2026·广东江门·一模）计算：__________． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）计算：_______． 5．（2025·广东潮州·二模）________． 考点3 概率 1．（2026·广东深圳·二模）老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外），其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个．小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为______． 2．（2026·广东惠州·一模）李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 3．（2026·广东汕尾·一模）如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：）如下：．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是______． 4．（2026·广东深圳·二模）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是_____． 5．（2026·广东东莞·二模）某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下： 柑橘总质量 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为_______．（结果保留小数点后一位） 考点4 数据分析 1．（2026·广东茂名·模拟预测）如图是石家庄2024年国庆节7天的最低气温（）的统计结果，这7天最低气温的中位数是______． 2．（2026·广东梅州·一模）在某届美食大赛，评委们对某道菜品从色泽、香气、味道三个维度进行评分，每个维度满分为10分，最终得分由色泽和香气各占，味道占组成．已知各维度的平均得分如下表，则该道菜品的最终得分为___________分． 色泽 香气 味道 得分 8 9 3．（2026·广东广州·一模）下面是某校30名学生上学路上所花的时间（单位：分钟）： 30，20，15，20，20，25，30，5，25，20，10，15，20，45，10，20，12，30，20，15，20，20，10，5，8，20，20，5，20，15． 若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是______分钟． 4．（2026·广东珠海·一模）已知一组数据：6，8，10，12，14，20，则这组数据的中位数是______． 5．（2025·广东梅州·模拟预测）一组数据2，1，2，5，2，6的众数是___________． 考点5 代数式求值 1．（2026·广东珠海·一模）已知代数式，则代数式的值是___________． 2．（2026·广东阳江·一模）已知，则代数式的值为______． 3．（2026·广东佛山·一模）若，则________． 4．（2026·广东深圳·一模）已知，则________． 5．（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是______． 考点6 二次根式及其运算 1．（2026·广东梅州·二模）计算：______． 2．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 3．（2025·广东·一模）计算：_____________． 4．（2025·广东广州·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 5．（2026·广东中山·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 考点7 一元二次方程根与系数的关系 1．（2026·广东东莞·一模）已知m 、n 是方程的两个实数根，则________． 2．（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 3．（2025·广东东莞·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 4．（2025·广东东莞·三模）若一元二次方程的两个根是，，则的值是_______ 5．（2025·广东惠州·一模）已知方程的两根分别为a和b，则___________． 考点8 分式方程及其应用 1．（2025·广东·一模）方程的解是______． 2．（2025·广东东莞·二模）方程的解为______． 3．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 4．（2026·广东梅州·一模）某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 5．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 考点9 最值问题 1．（2025·广东揭阳·三模）如图，在矩形中，，，点，为上的动点且，则四边形周长的最小值是________． 2．（2025·广东·二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为______． 3．（2026·广东梅州·一模）如图，在中，，．点在斜边上运动，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接点与的中点，则长的最小值为___________． 4．（2026·广东珠海·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，为上一点，连接，，则的最小值等于_____． 5．（2026·广东东莞·一模）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点，点关于原点对称，则的最大值为_________． 考点10 反比例函数及二次函数 1．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 3．（2025·广东广州·三模）如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号 4．（2026·广东揭阳·一模）新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．如若是“偶点”，则；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为_______． 5．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押03 广东省卷中考数学11~15题（填空题） 考点1 因式分解 1．（2026·广东河源·模拟预测）因式分解：_______． 【答案】 【分析】将原式利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：． 2．（2026·广东茂名·模拟预测）因式分解______． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可完成分解． 【详解】解∶ ． 3．（2026·广东梅州·模拟预测）分解因式：_____． 【答案】/ 【分析】先提取公因式，再用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 4．（2026·广东江门·一模）因式分解：____________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再通过平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ． 5．（2026·广东深圳·二模）已知，，则_____． 【答案】 【分析】本题可利用平方差公式对二次多项式因式分解，再代入已知代数式的值，即可求出目标代数式的值． 【详解】解：对因式分解，根据平方差公式可得：， 将，代入上式得： 等式两边同时除以得：． 考点2 实数的运算 1．（2026·广东中山·一模）__________． 【答案】 【分析】本题需先分别计算算术平方根与负整数指数幂，再进行有理数减法运算即可得到结果． 【详解】解：． 2．（2026·广东东莞·二模）计算：______________． 【答案】2 【详解】解：． 3．（2026·广东江门·一模）计算：__________． 【答案】 2 【分析】根据负整数指数幂和特殊的三角函数值计算即可． 【详解】解： ． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算是解题的关键． 根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案是：． 5．（2025·广东潮州·二模）________． 【答案】3 【分析】本题考查立方根的定义以及绝对值的性质，负整数指数幂，实数的运算，掌握知识点是解此题的关键． 逐个计算，再进行实数的加减，即可解答． 【详解】解：． 故答案为3. 考点3 概率 1．（2026·广东深圳·二模）老师制作了10个完全相同的香囊（除香料外），其中艾草香囊3个，薰衣草香囊5个，桂花香囊2个．小明将它们混合放在一个不透明的袋子里，从中随机拿出1个香囊，则他拿到艾草香囊的概率为______． 【答案】/0.3 【分析】根据概率公式，用艾草香囊的数量除以香囊的总数量即可得到结果． 【详解】解：根据题意可得，袋子中共有香囊个，其中艾草香囊有个，所有等可能的结果数为，拿到艾草香囊的结果数为，根据等可能事件的概率公式，得 ∴拿到艾草香囊的概率为． 2．（2026·广东惠州·一模）李明打算购买1张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择1个，则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是________． 【答案】 【分析】根据选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种，列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，选择座位的方法共有5种，购买的1张票靠窗选法有2种， 则李明购买的车票座位刚好靠近窗户的概率是． 3．（2026·广东汕尾·一模）如图是加工某零件的尺寸要求，现有4件产品的直径尺寸（单位：）如下：．从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是______． 【答案】 【分析】根据正负数的意义确定合格产品的数量，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：， ∵， ∴合格的产品有2件， ∴从中随机抽一个产品，则抽中合格产品的概率是． 4．（2026·广东深圳·二模）“七巧板”是我国古代劳动人民发明的一种益智玩具，如图是用“七巧板”拼成的一只“小猫”图案，一个小球（看作一点）在“小猫”图案上随机滚动并停留在某块板上，则它停在小猫头部（阴影部分）的概率是_____． 【答案】 【分析】根据题意得到图中阴影部分面积为“七巧板”拼成的正方形的面积的，据此进行解答即可． 【详解】解：设七巧板中最小的三角形面积为， 根据七巧板的面积关系：整个七巧板（小猫图案）总面积为； 小猫头部阴影部分是个最小三角形加中间正方形，面积和为； 因此小球停在阴影部分的概率为． 5．（2026·广东东莞·二模）某水果公司从一批柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，部分数据记录如下： 柑橘总质量 100 150 200 250 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量 10.50 15.15 19.42 24.25 30.93 35.32 39.24 44.57 51.54 柑橘损坏的频率 0.105 0.101 0.097 0.097 0.103 0.101 0.098 0.099 0.103 则由此可以估计这批柑橘损坏的概率为_______．（结果保留小数点后一位） 【答案】0.1 【分析】当试验次数足够大时，频率稳定在某个常数附近，该常数可作为事件发生概率的估计值，观察表格中损坏频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：观察表格数据可知，随着试验次数增加，柑橘损坏的频率逐渐稳定在附近， 根据用频率估计概率的方法，可得这批柑橘损坏的概率估计值为． 考点4 数据分析 1．（2026·广东茂名·模拟预测）如图是石家庄2024年国庆节7天的最低气温（）的统计结果，这7天最低气温的中位数是______． 【答案】10 【分析】先把数据按照大到小或者小到大进行排序，位于中间位置的数为中位数，如果中间数据有两个，那么取它们的平均数为中位数，即可作答． 【详解】解：观察图中的数据： 则位于中间位置的数为 ∴这7天最低气温的中位数是． 2．（2026·广东梅州·一模）在某届美食大赛，评委们对某道菜品从色泽、香气、味道三个维度进行评分，每个维度满分为10分，最终得分由色泽和香气各占，味道占组成．已知各维度的平均得分如下表，则该道菜品的最终得分为___________分． 色泽 香气 味道 得分 8 9 【答案】 【分析】利用加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：分， 即该道菜品的最终得分为分． 3．（2026·广东广州·一模）下面是某校30名学生上学路上所花的时间（单位：分钟）： 30，20，15，20，20，25，30，5，25，20，10，15，20，45，10，20，12，30，20，15，20，20，10，5，8，20，20，5，20，15． 若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是______分钟． 【答案】20 【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可． 【详解】解：统计题中各上学时间的出现次数：分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次， 可知这组数据的众数为， 因此随机问一个学生上学路上所用时间，最可能得到的回答是分钟． 4．（2026·广东珠海·一模）已知一组数据：6，8，10，12，14，20，则这组数据的中位数是______． 【答案】11 【分析】根据中位数的定义，先将数据按从小到大顺序排列，数据个数为偶数时，中位数为中间两个数的平均数，据此计算即可． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为， 这组数据共有个数据，个数为偶数，因此中位数为排列后中间两个数的平均数 中间两个数为和， 因此中位数为． 5．（2025·广东梅州·模拟预测）一组数据2，1，2，5，2，6的众数是___________． 【答案】2 【分析】本题考查了众数，熟练掌握众数的概念是解题的关键． 根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案． 【详解】解：数据2，1，2，5，2，6中，2出现的次数最多， ∴众数为2， 故答案为：2． 考点5 代数式求值 1．（2026·广东珠海·一模）已知代数式，则代数式的值是___________． 【答案】2036 【分析】先把所求代数式变形提取公因式，再利用整体代入法求值即可，掌握整体代入思想是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 将代入得，． 2．（2026·广东阳江·一模）已知，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】将所求代数式变形后，整体代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ． 3．（2026·广东佛山·一模）若，则________． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入思想求解，先将所求代数式变形为含有已知式子的形式，再代入计算． 【详解】解：， ， ． 4．（2026·广东深圳·一模）已知，则________． 【答案】 【分析】先根据平方差公式因式分解，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 5．（2025·广东深圳·三模）已知代数式，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是将转化为． 根据已知条件将所求代数式变形，然后整体代入求值即可． 【详解】解：， 当时， 原式． 故答案为：． 考点6 二次根式及其运算 1．（2026·广东梅州·二模）计算：______． 【答案】 【分析】先化简二次根式、计算二次根式除法，然后合并即可． 【详解】解：． 2．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 3．（2025·广东·一模）计算：_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，利用二次根式相乘的性质直接计算． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（2025·广东广州·三模）若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分母不为0，掌握知识点是解题的关键． 根据被开方数大于等于0及分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， ∴实数的取值范围是且． 5．（2026·广东中山·一模）若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出一元一次不等式求解即可. 【详解】解：代数式有意义， 被开方数满足 ， 移项得 ， 系数化为得 ． 考点7 一元二次方程根与系数的关系 1．（2026·广东东莞·一模）已知m 、n 是方程的两个实数根，则________． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可得到答案． 【详解】解：∵m 、n 是方程的两个实数根， ∴． 2．（2026·广东梅州·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为a和b，则的值为______． 【答案】 【详解】解：因为是方程的根， 所以，即； 由根与系数的关系得， 则 3．（2025·广东东莞·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，利用根与系数的关系，，再利用通分得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：根与系数的关系得，， 所以 故答案为： 4．（2025·广东东莞·三模）若一元二次方程的两个根是，，则的值是_______ 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟记，，是一元二次方程的两根时，，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系求解． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根是，，，， ． 故答案为：3． 5．（2025·广东惠州·一模）已知方程的两根分别为a和b，则___________． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．一元二次方程的两根为，则，，据此进行求解即可． 【详解】解：∵方程的两根分别为a和b，， ∴ ∴ 故答案为：4． 考点8 分式方程及其应用 1．（2025·广东·一模）方程的解是______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解熟练掌握解分式方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 检验：当时，分母 ， 所以原方程的解为， 故答案为：． 2．（2025·广东东莞·二模）方程的解为______． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键；利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可； 【详解】解：两边同乘以， 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解， ∴原方程的解为； 故答案为：． 3．（2025·广东揭阳·三模）若关于的分式方程无解，则的值是________ 【答案】2 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程转化为整式方程，根据分式方程有增根，即进行求解即可． 【详解】解： 去分母，得：， 整理，得：； ∵方式方程无解，当分式方程有增根时，则：，解得， 把，代入，得：， 解得：； 故答案为：2． 4．（2026·广东梅州·一模）某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【答案】 【分析】根据工作效率的关系表示出原计划每天生产零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别得到原计划与实际完成任务所需时间，最后利用“实际比原计划提前5天完成”的等量关系列方程． 【详解】解：设实际每天生产零件个，则原计划每天生产零件个，原计划完成所需时间为天，实际完成所需时间为天，根据实际提前5天完成任务，列方程得． 5．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，列出方程即可． 【详解】解：设“复兴号”的速度为千米/时，则原来列车的速度为千米/时， 根据题意得，即． 故答案为：． 考点9 最值问题 1．（2025·广东揭阳·三模）如图，在矩形中，，，点，为上的动点且，则四边形周长的最小值是________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，平行四边形的性质，轴对称最短路径问题，作点D关于的对称点G，作且使得，过点H作于K，连接，由轴对称的性质可得，，证明四边形是平行四边形，得到，则可推出四边形的周长，故当C、F、H三点共线时，有最小值，即此时四边形的周长有最小值，最小值为的值，证明四边形是矩形，得到，则，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，作点D关于的对称点G，作且使得，过点H作于K，连接， 由轴对称的性质可得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形的周长， ∴当有最小值时，四边形的周长有最小值， ∴当C、F、H三点共线时，有最小值，即此时四边形的周长有最小值，最小值为的值， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的周长的最小值为， 故答案为：． 2．（2025·广东·二模）小杰在编程课上设计了如下游戏：如图，在矩形游戏框中，，洞口M 位于的中点处，圆柱形通道，一个小球从洞口M出发，经过通道后，到达洞口C．若通道可以在线段上水平移动，则小球经过的路径的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质及勾股定理，解决本题的关键是熟练掌握用轴对称的性质解决线段最短问题，作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点，由轴对称性质可得，由平移的性质可得，当三点共线时，的值最小，此时，的值最小，再据此求解即可． 【详解】解：作出点关于的对称点，连接，将向右平移1个单位至，连接，分别延长相交于点， 由轴对称性质可得，由平移的性质可得， 当三点共线时，的值最小， 此时，的值最小， 矩形中，，洞口M 位于的中点处， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 3．（2026·广东梅州·一模）如图，在中，，．点在斜边上运动，连接．将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接点与的中点，则长的最小值为___________． 【答案】 【分析】首先证明，得，当时，则垂直平分，则，此时为中点，进而得，可求得的最小值． 【详解】解：，， ， 由旋转知， ∴， 在和中， ， ， ， ， ， ， 当时，则垂直平分， 则， 此时为中点， ， ∴， ∴ ， ， 此时点M在上，即， ． 4．（2026·广东珠海·二模）如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，为上一点，连接，，则的最小值等于_____． 【答案】3 【分析】解决本题的关键是正确添加辅助线，作点关于直线的对称点，连接．通过菱形的性质，和对称的性质，可知是等边三角形，是边的中线和高，点、关于对称，的最小值即为线段的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，点关于直线的对称点为点，连接． ∵四边形是菱形，，，， ∴是等边三角形，平分， ∴ ，， ∵点、关于直线对称， ∴，且被平分， ∴， 在中，，，， ∴是等边三角形， ∵点是的中点，点是点关于的对称点， ∴点是线段的中点， ∴，的最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ， 三点共线， 在等边中，是边的中线和高， ∴． 5．（2026·广东东莞·一模）如图，的半径为2，圆心的坐标为，点是上的任意一点，，且与轴分别交于两点，若点，点关于原点对称，则的最大值为_________． 【答案】14 【分析】连接，根据直角三角形的性质得，若要使取最大值，则需要取最大值，再连接交于点，可知当点P位于点时，取得最小值，然后作轴于点Q，，接下来根据勾股定理求出，最后根据当点P在的延长线上时，取得最大值，并求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵ ∴． ∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴， 若要使取最大值，则需要取最大值， 连接交于点， 当点P位于点时，取得最小值， 过点M作轴于点Q，， 则， 根据勾股定理，得． ∵， ∴， ∴当点P在的延长线上时，取得最大值， ∴的最大值是， ∴的最大值为． 考点10 反比例函数及二次函数 1．（2026·广东佛山·一模）如图，的边落在x轴上，点C是线段的中点，反比例函数的图像经过点A和点C．若的面积为9，则k的值为_____． 【答案】6 【分析】过A作于D，设，根据三角形的面积公式得到，求得，求得，列方程即可得到结论． 【详解】解：过A作于D， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴设，则有， ∵的面积为9， ∴， ∴， ∵点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴ ∴， ∴． 2．（2026·广东深圳·模拟预测）如图，点是反比例函数的图象上一点，延长交图象另一支曲线于点，轴且满足．若的面积为8，则____． 【答案】 6 【分析】设点的坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性可得点的坐标，由轴可知边上的高，根据等腰三角形的性质及 可得的度数，进而确定与的数量关系，利用三角形面积公式求出的值，最后根据求解即可． 【详解】解：设点的坐标为，其中， ∵点在反比例函数的图象上，即， 又∵反比例函数图象关于原点中心对称，且直线过原点， ∴点与点关于原点对称， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的横坐标为，且轴， ∴点到直线的距离， ∵， ∴为等腰三角形， ∴， ∵轴， ∴直线与轴的夹角为， ∴直线与轴的夹角为， ∴，即， ∵，， ∴， 过点作于点，如图， ∵， ∴ ， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即，则有， ∴ ． 3．（2025·广东广州·三模）如图，已知点是反比例函数图象上的动点，轴，轴，分别交反比例函数的图象于点、，交坐标轴于、，且，连接则下列结论：；在点运动过程中，的面积始终不变，面积为；连接，则；存在点，使得．其中正确的结论有______填写所有正确结论的序号 【答案】 【分析】由反比例函数图象上点的坐标特征用函数的代数式表示出来，并找出点坐标，根据，即可得出关于的一元一次方程，解方程即可得出结论；根据（1）得出、的坐标，由轴确定点的坐标，由此即可得出、的长度，利用三角形的面积公式即可得出结论；证明即可；假设，根据相似三角形的性质，构建方程求出即可判断． 【详解】解：如图，连接，， ，且在反比例函数的图象上， ， ∵轴，且在反比例函数的图象上， ， 又， ，即， ，故正确． ，， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的函数图象上， ，解得， 点， ，， ， 在点运动过程中，面积不变，始终等于，故错误； ， ，， ， ∴， ∴， ∴，故正确， 若， ∴， ， ∵， ， 在点的运动过程中，当时，，故正确， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义及反比例函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键． 4．（2026·广东揭阳·一模）新定义：若存在常数，使得点满足，，则称点为“偶点”．如若是“偶点”，则；若抛物线上至少存在一个“偶点”，则的取值范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查新定义问题，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解题关键是根据新定义推导出“偶点”在直线上，将原问题转化为直线与给定区间上的抛物线存在交点，进而求解的取值范围． 【详解】解：根据“偶点”定义，点满足 ， ，且， 将两式相减得：， 变形得：， 整理得：， ， ，即， 因此所有“偶点”都在直线上， ∴，解得， 抛物线上至少存在一个“偶点”， 即直线与抛物线在范围内至少有一个交点， 联立方程得：， 整理得： ，其中， 是关于的二次函数，开口向上，对称轴为直线， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，的最小值为，最大值为， ∵， 因此的取值范围为． 5．（2026·广东梅州·模拟预测）如图，已知抛物线经过点，，，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论是_____（填序号） 【答案】①②④ 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点及特殊点的函数值，结合二次函数的系数与图象的关系，逐一分析四个结论的正误． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， 抛物线对称轴在轴右侧，对称轴为直线， ， 又， ， ，故结论①正确，符合题意． 由图可得抛物线顶点的纵坐标大于， 顶点纵坐标公式得， 又，不等式两边同时乘（负数），不等号方向改变， ，故结论②正确，符合题意． 抛物线过点、 ，， 即， ，故结论③错误，不符合题意． 抛物线经过点， 当时，，故结论④正确，符合题意． 故正确的结论是①②④． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $