题号猜押05 广东省卷中考数学19～22题（解答题）（广东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

**基本信息** 聚焦广东中考解答题核心模块，以真实情境为载体，系统覆盖解直角三角形、圆、函数与方程等高频考点，强化知识应用与综合思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解直角三角形的应用|5题|结合物理折射、汽车盲区等跨学科情境，需构建直角三角形模型|从三角函数定义到实际问题抽象，体现几何直观与空间观念| |圆的相关证明及计算|5题|切线证明、角度与长度计算，涉及圆的性质与几何推理|以圆的切线性质为核心，关联三角形全等与相似，培养推理能力| |函数与方程综合应用|10题（含一元二次方程、反比例函数）|实际问题中的建模求解，如利润最大化、销量关系|从函数表达式确定到最值分析，体现模型意识与数据观念| |几何综合运用|5题（三角形及四边形）|菱形、矩形性质应用，折叠与探究性问题|以图形性质为基础，融合全等与中位线定理，发展空间观念|

题号猜押05 广东省卷中考数学19~22题（解答题） 考点1 解直角三角形的应用 1．（2026·广东汕头·一模）我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1），现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿方向传播，再经下表面折射后沿方向射出，可知，与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，． (1)在图2中，已知，求该玻璃的折射率n； (2)在（1）的条件下，如果图2中该玻璃砖厚度，现撤去玻璃砖，光线与墙面的交点为G，求D、G两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再由求解即可； （2）延长交于点T，解，求出，即可求解，则四边形为平行四边形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ∴ ∴； （2）解：延长交于点T， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴D、G两点之间的距离为 2．（2026·广东东莞·二模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题． 问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域．    知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下．（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，．） 测量项目 车宽 车高 视线高度AC 点B到地面距离BD BD与PE之间的距离ED BD与AC之间的距离CD 数据/m 1.7 1.5 1.4 0.8 0.4 1.5    问题解决： (1)平路的车头盲区问题 如图，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图中车头盲区的面积．    (2)上坡路的车头盲区问题 如图，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，，坡角．（参考数据：，，）    ①求的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗？为什么？ 【答案】(1) (2)①；②不能；理由见解析 【分析】（1）延长交直线于点K．证明，根据相似三角形的性质进行解答即可． （2）①延长ME交AH于点K．求出，． 根据进行解答即可； ②过F作交AH于点G．求出，比较后即可得到答案． 【详解】（1）解：如图1，延长交直线于点K． 根据题意，得． ． ，即． 解得． 车头盲区的面积约为． （2）解：①如图，延长交于点K． 在中，． ． ， ． ． ②司机不能看见孩子，理由如下： 如图2，过F作交于点G． ， 解得米米． 所以，孩子在司机视线盲区，司机不能看见孩子． 3．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 【答案】(1) (2)①；②该坡道的最小净高符合设计规范，理由见解析 【分析】（1）根据坡度定义求解即可； （2）①根据坡度定义和坡度间的关系求解即可； ②如图，过E作于P，交于M，过M作于S，根据锐角三角函数，结合已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线主坡道的水平距离为，坡度为， ∴在中，， ∴， 答：主坡道的铅直高度为； （2）解：①∵缓坡道的坡度为主坡道的坡度的， ∴在中，， 解得， 在中， 解得：， ， 答：车库高度为； ②该坡道的最小净高符合设计规范．理由如下： 如图，过E作于P，交于M，过M作于S， 则，，， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴, ∵， ∴该坡道的最小净高符合设计规范． 4．（2026·广东茂名·一模）【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 【答案】(1)①1；②0.9米 (2)绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米 【分析】（1）①过点作于点，四边形是正方形，由此利用锐角三角函数即可求解；②过点作于点，在中解直角三角形即可； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，得出，由表中数据得，14时点最靠近墙角，通过解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点， 由题意，得， 四边形是矩形. 又， 四边形是正方形， ， ， ②如图，过点作于点， ，. 在中，， 即，解得， ； （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则， ， ， 由表格可知，在12时-14时， 夹角的正切值逐渐减小，即逐渐减小， 14时点最靠近墙角， 在中，， ，解得， ， 则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于0.72米． 5．（2026·广东梅州·二模）综合与实践． 【主题】探索锐角三角函数的应用． 【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等． 【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米． 【探究】 (1)求支撑杆上的长度． (2)求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)米 【分析】（1）根据，即可求解； （2）先根据求出，进而求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：在中，，米， 米； （2） ， ， ，米， 米， 米，米， 米， 米． 考点2 圆的相关证明及计算 1．（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键． （1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论； （2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 2．（2024·广东深圳·二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由垂径定理可得，通过，得，通过，可得，根据切线的判定定理，即可求解； （2）由三角形的中位线得到，， 在中，根据勾股定理，得到的长，，在中，根据正切三角函数，即可求解， 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴是的切线， （2）解：∵，， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的性质与判定，切线的性质与判定，三角形的中位线，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理及判定定理是解题关键． 3．（2026·广东江门·一模）如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点D，且，垂足为E，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明得到即可； （2）连接，由圆周角定理得到，然后求出，则，据此列方程求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴是的切线； （2）解：连接， ∵， ∴ ∵是的直径， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 解得或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意． ∴． 4．（2026·广东佛山·一模）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）推导出，是的半径，则与相切，即可解答； （2）先求出，，得到，继而推导出，，再根据，即可解答 【详解】（1）证明：∵，点D是的中点 ∴ ∵以点A为圆心，且过点D ∴是的半径 ∴与相切； （2）解：在中，， ∴ ∴，， ∴， ∵点D是的中点 ∴， ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 答：阴影部分的面积为． 5．（2026·广东中山·一模）如图，为的直径，弦与交于点，过点的直线，． (1)求证：是的切线；． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】（1）利用圆周角定理求得，再利用平行线的性质求得，据此即可证明是的切线； （2）延长交于点F，连接，推出垂直平分，得到，求得，再根据直角三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵经过点C，且， ∴， ∵是的半径，且于点C， ∴是的切线； （2）解：延长交于点F，连接， ∵是的直径， ∴， 由（1）得，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 考点3 一元二次方程及函数的综合应用 1．（2026·广东东莞·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)60元 (3)当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元 【分析】（1）将点代入得出方程组，求出解即可； （2）先表示出每套利润为元，月销售量为套，再根据单件利润乘以销售量等于总利润列出方程，求出解得出符合题意的结果； （3）先设每月销售利润为元，再根据单件利润乘以销售量得出二次函数，然后求出二次函数的最值即可． 【详解】（1）解：设关于的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 关于的函数解析式为； （2）解：由题意得，每套利润为元，月销售量为套， 可列方程，， 解得，， 要尽可能让利于顾客， 选择较低定价． 答：每套吉祥物套装应定价60元； （3）解：设每月销售利润为元， 整理得， ，二次函数图象开口向下， 当时，取得最大值， 此时，最大利润为元． 答：当销售单价定为65元/套时，每月销售利润最大，最大利润为6250元． 2．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个 【分析】本题考查了一元二次方程、二次函数的实际应用，正确理解题意列出方程和函数关系式是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为，则，即可求解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意，得， 解得或（舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，利润为， 则， ， ∴当时，月销售利润最大． 答：为使月销售利润最大，该品牌头盔的实际售价应定为95元/个． 3．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 【答案】(1)道路的宽为3米 (2)当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元 【分析】（1）设道路的宽为米，根据“铺地毯防污的面积为675平方米”列方程求解即可； （2）设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得，， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为3米； （2）解：设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w， 根据题意得：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w有最大值12500， 答：当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元． 4．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 【答案】任务一：该长方体盒子的高为；任务二：该长方体盒子的高为；任务三：每个有盖盒子应降价元或元. 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用； 任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，可得，再解方程并检验即可； 任务二：设剪去的正方形的边长为，可得，再解方程并检验即可； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，可得，再解方程即可. 【详解】解：任务一：设四个角各剪去一个边长为的正方形，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务二：设剪去的正方形的边长为，则 ， 整理得：， 解得：，， 经检验：不符合题意舍去， ∴， ∴该长方体盒子的高为； 任务三：设每个有盖盒子应降价元，则每个有盖盒子的售价为元，则 ， 整理得：， 解得：，， 答：每个有盖盒子应降价元或元. 5．（2025·广东湛江·二模）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） (2)葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 【答案】(1) (2)尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元 【分析】题目主要考查一次函数与一元二次方程的应用，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）直接根据题意列一元二次方程求解，并取最小解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数关系是， 根据题意，可得，解得： 故与之间的函数关系式是． （2）解：由题意得：． 解得：，． ∵尽量要使顾客要得到实惠，售价低， ∴． 答：尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是38元． 考点4 二元一次方程组及不等式的综合应用 1．（2026·广东汕头·一模）随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园． (1)求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ (2)当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 【答案】(1)A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩 (2)5架 【分析】（1）设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解； （2）设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意列出不等式求得不等式的最小整数解，即可求解． 【详解】（1）解：设A款无人机每小时可喷洒茶园亩，B款无人机每小时可喷洒茶园亩，根据题意得， 解得： 答：A款无人机每小时可喷洒茶园120亩，B款无人机每小时可喷洒茶园100亩； （2）解：设使用 架A款无人机，则使用架B款无人机，根据题意得， 解得：， ∴最小整数解为5， 答：最少需使用5架A 款无人机． 2．（2026·广东深圳·二模）2026年被公认为“智能元年”，产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． (1)求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ (2)若该公司计划购买这两种型号的产品共12件（两种型号的产品均购买），购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品？ 【答案】(1)每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元 (2)该公司至少需要购进8件A型产品 【分析】（1）设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元，根据“购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元”列方程组求解即可； （2）设该公司购进a件A型产品，根据“购买总费用不超过20万元”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每件A型产品的进价为x万元，每件B型产品的进价为y万元， 依题意得：， 解得：， 答：每件A型产品的进价为1万元，每件B型产品的进价为3万元； （2）解：设该公司购进a件A型产品， 依题意得：， 解得：， 答：该公司至少需要购进8件A型产品． 3．（2026·广东东莞·二模）为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． (1)求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ (2)室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 【答案】(1)采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元． (2)采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克． 【分析】（1）可设1盆绿萝、1盆吊兰的价格分别为未知数，根据两个总价条件列出二元一次方程组，再利用解二元一次方程组的方法求解． （2）设采购绿萝的数量为未知数，因为两种绿植共20盆，所以可表示出吊兰的数量；然后根据花费不超过228元、绿萝数量不少于吊兰数量的2倍这两个条件，列出不等式组确定未知数的取值范围；接着根据两种绿植的吸碳量，建立每天吸收二氧化碳总量关于未知数的一次函数，再利用一次函数的增减性求出最大值对应的采购方案． 【详解】（1）设1盆绿萝x元，1盆吊兰y元． 根据题意，得， 解得，     答：采购一盆绿萝需12元，一盆吊兰需9元． （2）设采购绿萝a盆，吊兰盆， 根据题意，得 ， 解得， ． 设20盆绿植每天一共吸收二氧化碳W克，则 ． ， 随着a的增大而增大． 又为正整数， 当时，最大克． 答：采购绿萝16盆，吊兰4盆时，每天吸收二氧化碳总量最大，最大吸收总量为2.32克． 4．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 【答案】(1)单个“乾坤圈”每小时各能产生6单位净化能量，单个“风火轮”每小时各能产生4单位净化能量 (2)9个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量，根据题意列出方程组，解方程，即可求解； （2）设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”，根据5个小时至少产生450单位能量，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设单个“乾坤圈”每小时凝聚x单位净化能量，单个“风火轮”每小时凝聚y单位净化能量， 根据题意得：， 解得： 答：单个“乾坤圈”每小时能凝聚6单位净化能量，单个“风火轮”每小时能凝聚4单位净化能量； （2）解：设哪吒启动m个“乾坤圈”，则启动个“风火轮”， 根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为9， 答：哪吒最少要启动9个“乾坤圈”才能完全净化结界． 5．（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？ 【答案】(1)科技类图书每本元，文学类图书每本元 (2)科技类图书最多能买本 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，掌握知识点是解题的关键． （1）设科技类图书每本元，文学类图书每本元，根据购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元，列出二元一次方程组，即可解答． （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，根据学校用于购买奖品的资金不超过元，列出一元一次不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设科技类图书每本元，文学类图书每本元，依题意得 ， 解得 ， 答：科技类图书每本元，文学类图书每本元. （2）设购买科技类图书本，则购买文学类图书本，依题意得，， 整理得， ， 解得 ． 所以满足条件的最大整数为． 答：科技类图书最多能买本． 考点5 反比例函数及其应用 1．（2026·广东中山·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）令，解得，再结合，观察图象即可求得不等式的解集． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴， 又∵在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴； （2）解：∵当时，即解得， 又∵， 由图象可知的解集为． 2．（2026·广东珠海·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合应用． （1）根据点B在一次函数的图象上，B点坐标为，将B点坐标代入中，可求出a的值，即求得一次函数的解析式； （2）先求出反比例函数的解析式，再设，根据点C为中点，轴，点H在y轴上，求得，最后根据点C在反比例函数图象上，求出x的值，最后求得点C坐标． 【详解】（1）解：∵B点在一次函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为． （2）解：∵B点在反比例函数的图象上，B点坐标为， ∴将B点坐标代入中，可得：， ∴反比例函数的解析式为．     ∵点P为线段上的一点， ∴设， ∵轴，与反比例函数的图象交于点C， ∴， ∵点C为中点，轴，点H在y轴上， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数图象上， ∴， 即， 解得：，， ∴点C的坐标为或． 3．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 4．（2026·广东汕尾·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为反比例函数图象的一部分），其中段的关系式为． (1)求出曲线所在的函数关系式； (2)通过计算比较：开始上课后，第时与第时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 【答案】(1) (2)第时学生的注意力更集中 【分析】（1）根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）分别求出当，时，的y值，再比较大小即可． 【详解】（1）解：设曲线所在的函数关系式为， 把点代入，得 ， ∴曲线所在的函数关系式为． （2）解：当时，， 当时，． ∵， ∴第时学生的注意力更集中． 5．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； (2)； (3)的面积为． 【分析】（）把点代入一次函数，即可得到k的值，得到一次函数的表达式，把点代入一次函数，得到，把点代入反比例函数，求出的值，得到反比例函数的表达式； （）由与关于原点对称得到，然后根据图象即可求解； （3）由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴，解得， ∴一次函数的表达式为， ∵一次函数过点， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵射线与反比例函数的图象交于点， ∴与关于原点对称， ∴， ∴根据图象可得，不等式的解集为； （3）解：由（）得，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 考点6 三角形及四边形综合运用 1．（2026·广东梅州·二模）如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交于点M． (1)求证：． (2)连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过菱形的性质证明即可； （2）先得到是直角三角形，然后根据斜边中线的性质得到，，再由勾股定理求解，最后根据全等三角形得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； （2）解：∵菱形中，，， 又∵， ∴， ∵B是的中点， ∴ ∴， ∴， 由（1）得， ∴． 2．（2026·广东深圳·二模）在中，． (1)如图1，在边上求作一点E，连接，使得最短；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，以为直径的半圆交于点F，G是上一点，连接，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用尺规作图，作出的平分线交于点E即可； （2）增加的条件是：，可以证得四边形为平行四边形，再根据圆周角定理得到，即可证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：增加的条件是：，理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵为直径， ∴， ∴四边形为矩形． 3．（2026·广东·一模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)选①，四边形是矩形；选②，四边形是菱形；证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 ，进而得到 ，结合，证明，即可证明结论； （2）由（1）易证四边形是平行四边形，选①，根据等腰三角形三线合一可得，即 ，可得四边形是矩形；选②，利用直角三角形的性质，可得，可得四边形是菱形． 【详解】（1）证明：在中， ， ∴ ， ∵点E，F分别为的中点， ∴ ， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∵即， ∴四边形是平行四边形； ①当时，如图，则是等腰三角形， ∵点E为的中点， ∴，即 ， ∴四边形是矩形； ②当时，如图，则是直角三角形， ∵点E为的中点， ∴， ∴四边形是菱形． 4．（2026·广东广州·一模）在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张纸进行折纸． 下面给出了“遥遥领先”小组利用半张A4纸（矩形的长宽）折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理． (1)折法一：如图1，将矩形的顶点D与边上的任意一点G重合对折，折痕为．求证：是等腰三角形． (2)在折法一的条件下，若E是的中点，求：的值． 【答案】(1)见解析 (2)的值为． 【分析】（1）由矩形性质得，由此得，再由折叠性质得，进而得，据此可判定是等腰三角形； （2）过点E作于点K，依题意设，，根据点E是的中点得，证明四边形是矩形得，再由折叠性质得，然后在中，根据正弦函数的定义可得的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， （2）解：过点E作于点K，如图所示： ∴， ∴是直角三角形， ∵矩形的长宽， ∴， 设，， ∵点E是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠性质得：， 在中，， ∴的值为． 5．（2026·广东梅州·一模）将两张长为8、宽为2的全等矩形纸片和按如图所示方式叠放，其中点为公共顶点，边与相交于点，边与相交于点． (1)求证：； (2)求重叠部分四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质结合证明即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后证明，则，再对运用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵两张长为8、宽为2的全等矩形纸片和按如图所示方式叠放 ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：由（1）知 ∴四边形是平行四边形， 由题意得，， ∵ ∴ ∴ 设 则 在中，∵ ∴ 解得 ∴四边形的面积． 25 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押05 广东省卷中考数学19~22题（解答题） 考点1 解直角三角形的应用 1．（2026·广东汕头·一模）我们在物理学科中学过：光线从空气射入玻璃会发生折射现象（如图1），现将一块长方体玻璃砖水平放置（如图2），激光笔从A处射出一束光线，经玻璃上表面B处折射后沿方向传播，再经下表面折射后沿方向射出，可知，与竖直墙面交于点D．经查阅，记玻璃的折射率为n，在空气中玻璃的折射率n的值等于入射角与折射角正弦值的商．例如在图2中，． (1)在图2中，已知，求该玻璃的折射率n； (2)在（1）的条件下，如果图2中该玻璃砖厚度，现撤去玻璃砖，光线与墙面的交点为G，求D、G两点之间的距离． 2．（2026·广东东莞·二模）综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题． 问题提出 很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域．    知识储备 盲区产生的基本原理：因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 测量数据 数学小组为探究汽车车头盲区问题，测得某车辆的基本数据如下．（A点为驾驶员眼睛所在位置，B点为车头最高处，点A，B，P在同一直线上，．） 测量项目 车宽 车高 视线高度AC 点B到地面距离BD BD与PE之间的距离ED BD与AC之间的距离CD 数据/m 1.7 1.5 1.4 0.8 0.4 1.5    问题解决： (1)平路的车头盲区问题 如图，车头盲区和车尾盲区可近似看作矩形，请根据测量数据估算图中车头盲区的面积．    (2)上坡路的车头盲区问题 如图，当该车行驶到坡顶E处时，驾驶员从A点观察车头B点，刚好看到汽车正前方地面H处的猫，点A，B，P，H在同一直线上，，坡角．（参考数据：，，）    ①求的度数；（结果精确到0.1度） ②在车的正前方，与点H相距4米的点F处有一个身高为0.9米的孩子，请问司机能看见孩子吗？为什么？ 3．（2026·广东广州·一模）某学校计划修建地下车库，一数学兴趣小组根据《车库建筑设计规范》与所学知识，为学校地下车库设计并绘制了入库坡道示意图（如图），相关信息如下： （i）直线主坡道的水平距离为，坡度为0.12； （ii）左、右两段缓坡道为，，水平距离均为； （iii）和车库地面均与水平方向平行． 已知坡度，试根据上述信息解决以下问题： (1)求主坡道的铅直高度； (2)根据《车库建筑设计规范》：缓坡道坡度为主坡道坡度的，坡道的最小净高不低于．（坡道的净高为车库上方横梁到坡道的垂直距离） ①求车库高度； ②若，判断该坡道的最小净高是否符合设计规范，并说明理由． 参考数据：当时，，． 4．（2026·广东茂名·一模）【阅读材料】 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3、图4是它在不同情况下的侧面示意图，，为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转的过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整，且米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值． 时刻/时 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 【问题解决】 (1)当时． ①如图2，这天15时太阳光线刚好照射到墙角处，求此时刻角的正切值． ②如图3，这天13时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离． (2)如图4，旋转摇臂，使得点与墙壁的距离为1.2米，为使绿萝在这天12时-14时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离应该小于多少米？ 5．（2026·广东梅州·二模）综合与实践． 【主题】探索锐角三角函数的应用． 【背景】广东吴川“飘色”起源于清代，是一种由色板上装饰着靠色梗支撑的固定姿势人物的传统民俗艺术，其人物造型依据戏剧人物设计，内容涵盖历史故事、神话传说及现代题材等． 【素材】如图，这是“飘色”的示意图，是“飘色”的支撑杆．小明站在处，测得与支撑杆的距离米，借助测角仪观察，发现支撑杆上的点的仰角；小琪在观测点处借助无人机技术进行测量，测得平行于水平线，支撑杆上的点的俯角，点，之间的距离是米，已知支撑杆米，小明的眼睛到地面的距离米． 【探究】 (1)求支撑杆上的长度． (2)求支撑杆上的长度．（结果精确到米，参考数据：，） 考点2 圆的相关证明及计算 1．（2025·广东佛山·三模）如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求的度数． 2．（2024·广东深圳·二模）如图，过圆外一点作的切线，切点为是的直径．连接，过点作的垂线，垂足为，同时交于点，连接． (1)求证：是的切线： (2)若，求切线的长． 3．（2026·广东江门·一模）如图1，独轮车俗称“手推车”又名辇，鹿车等，在西汉时已在一些田间隘道上出现，在北宋时正式出现独轮车名称，图2是从独轮车中抽象出来的几何模型．在中，，以的边为直径作，交于点D，且，垂足为E，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 4．（2026·广东佛山·一模）如图，在中，，点D是的中点，以A为圆心的圆过点D． (1)求证：与相切； (2)若，，求阴影部分的面积． 5．（2026·广东中山·一模）如图，为的直径，弦与交于点，过点的直线，． (1)求证：是的切线；． (2)若，求的长． 考点3 一元二次方程及函数的综合应用 1．（2026·广东东莞·一模）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计马年吉祥物套装的销售盈利方案？ 素材一 2026年是农历丙午马年，蕴含龙马精神美好寓意的“马”元素吉祥公仔备受市场青睐，某工厂紧抓新春消费机遇，自去年年底起批量生产马年吉祥物套装，主打线上线下同步销售的模式．该套装做工精致、寓意喜庆，市场需求持续攀升，其每套生产成本固定为40元，兼具颜值与性价比，成为新春送礼与收藏的热门之选． 素材二 该工厂市场调研发现，马年吉祥物套装的每月销售量（套）与销售单价（元/套）之间的关系如图所示：    【问题解决】 (1)确定函数模型：求该品牌马年吉祥物套装的月销售量（套）关于销售单价（元/套）的函数表达式． (2)计算定价金额：若该工厂希望每月销售马年吉祥物套装的利润达到6000元，且尽可能让利于顾客，每套吉祥物套装应定价多少元？ (3)拟定最优售价方案：当该工厂马年吉祥物套装的销售单价定为多少元时，每月销售利润最大？最大利润是多少元？ 2．（2026·广东中山·一模）某品牌头盔4月份销量是150个，6月份销量是216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)此种头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售达到最大利润，则该头盔的实际售价应定为多少元/个？ 3．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 4．（2025·广东茂名·模拟预测）综合与实践．：根据以下素材，探索完成任务． 设计合适的盒子 素材1 我校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划制作手工制品．现有长方形纸板，每块纸板长和宽分别为，．（纸板的厚度忽略不计）． 素材2 把这块矩形硬纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形（如图1），再折叠成一个无盖的长方体盒子（如图2），使得该长方体盒子的底面的面积是． 素材3 如果把这块矩形硬纸板的四个角分别剪去2个同样大小的长方形和2个同样大小的正方形，然后折叠成一个有盖的盒子（如图3），使得该长方体盒子的底面的面积是． 问题解决 任务1 根据素材2，求出该长方体盒子的高． 任务2 根据素材3，求出该长方体盒子的高． 任务3 已知每块矩形纸板的成本为15元，若无盖盒子以20元售出，则每天可售出10个；若有盖盒子以28元售出，则每天可售出6个．在义卖过程中发现，每个有盖的长方体盒子每降低1元，平均每天可多售出2个，要使每天获利160元，则每个有盖盒子应降价多少元？ 5．（2025·广东湛江·二模）某超市销售的葡萄，根据市场调查以后发现，每箱售价（单位：元）与每天销量（单位：箱）之间满足如图所示的函数关系． (1)求与之间的函数关系式．（不必写出自变量的取值范围） (2)葡萄的进价是30元/箱，若该超市每天销售葡萄盈利800元，尽量要使顾客获得实惠，则超市每箱葡萄定的售价是多少元？ 考点4 二元一次方程组及不等式的综合应用 1．（2026·广东汕头·一模）随着科技的飞速发展，无人机已经广泛应用于各个领域，其中包括农业生产．无人机喷洒农药相比传统人工喷洒具有安全、便捷、更加均匀、节约农药使用量等优势，因此受到了广大农户的欢迎．某公司目前有A，B两款无人机为茶农提供农药喷洒服务，据了解，3架A款无人机和2架B款无人机每小时可喷洒560亩茶园；2架A款无人机和3架B款无人机每小时可喷洒540亩茶园． (1)求A，B两款无人机每小时各可喷洒茶园多少亩？ (2)当地某茶农有茶园1700亩，计划使用A，B两款无人机共16架同时进行1小时的农药喷洒，为了在一个小时内（含一个小时）将这些茶园喷洒上农药，那么最少使用多少架A款无人机？ 2．（2026·广东深圳·二模）2026年被公认为“智能元年”，产品深受欢迎．某销售公司针对市场情况，计划购进一批产品进行销售．据了解，购进1件A型和1件B型产品需要4万元，2件A型和3件B型产品需要11万元． (1)求每件A型和B型产品的进价分别是多少万元？ (2)若该公司计划购买这两种型号的产品共12件（两种型号的产品均购买），购买总费用不超过20万元，那么该公司至少需要购进多少件A型产品？ 3．（2026·广东东莞·二模）为落实劳动教育，培养学生责任意识，学校组织各班开展绿植养护实践活动．某班计划花费不超过228元，采购绿萝与吊兰两种绿植共20盆，用于班级角落布置，根据同学喜好，采购绿萝的数量不少于吊兰数量的2倍．已知购买1盆绿萝和2盆吊兰共需30元，购买2盆绿萝和5盆吊兰共需69元． (1)求采购1盆绿萝、1盆吊兰各需多少元？ (2)室内正常光照下，每盆绿萝每天可吸收二氧化碳约0.12克，每盆吊兰每天可吸收二氧化碳约0.10克．怎样采购才能使这20盆绿植每天吸收二氧化碳总量最大？最大吸收总量是多少？ 4．（2025·广东广州·模拟预测）陈塘关正遭受海夜叉的黑暗能量侵袭，哪吒需要启动两种法器凝聚能量：2个“乾坤圈”和5个“风火轮”同时运转1小时，可凝聚32单位净化能量；3个“乾坤圈”和2个“风火轮”联合运转1小时，能产生26单位净化能量． (1)单个“乾坤圈”和单个“风火轮”每小时各能产生多少单位净化能量？ (2)结界需要450单位能量才能完全净化．若哪吒一次最多能启动18个法器（“乾坤圈”和“风火轮”），法器持续运转5小时，问哪吒最少要启动几个“乾坤圈”才能完全净化结界？ 5．（2025·广东东莞·模拟预测）年月日是第个世界读书日，为鼓励同学们积极参加阅读活动，学校计划购进一批科技类和文学类图书作为活动奖品已知同类图书中每本书价格相同，购买本科技类图书和本文学类图书需元，购买本科技类图书和本文学类图书需元． (1)科技类图书和文学类图书每本各多少元？ (2)经过评选有名同学在活动中获奖，学校给每位获奖同学奖励一本科技类或文学类图书．如果学校用于购买奖品的资金不超过元，那么科技类图书最多能买多少本？ 考点5 反比例函数及其应用 1．（2026·广东中山·一模）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数和反比例函数的图象相交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 2．（2026·广东珠海·二模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点A，B，且B点坐标为． (1)求一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H，与反比例函数的图象交于点C，当点C为中点时，求点C的坐标． 3．（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 4．（2026·广东汕尾·一模）心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化：开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（单位：）的变化规律如图所示（其中分别为线段，轴，为反比例函数图象的一部分），其中段的关系式为． (1)求出曲线所在的函数关系式； (2)通过计算比较：开始上课后，第时与第时，哪个时间点学生的注意力更集中？ 5．（2026·广东广州·一模）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，射线与反比例函数的图象交于点，连接． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 考点6 三角形及四边形综合运用 1．（2026·广东梅州·二模）如图，四边形是菱形，B是的中点，连接交于点M． (1)求证：． (2)连接，若，求的长． 2．（2026·广东深圳·二模）在中，． (1)如图1，在边上求作一点E，连接，使得最短；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)如图2，以为直径的半圆交于点F，G是上一点，连接，在不添加新的线的前提下，请增加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由． 3．（2026·广东·一模）如图，在中，E，F分别为的中点，连接 ． (1)求证：； (2)从条件“①，②”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 4．（2026·广东广州·一模）在一堂“折纸与数学”的实践探究课上，每个小组分到若干张纸进行折纸． 下面给出了“遥遥领先”小组利用半张A4纸（矩形的长宽）折特殊三角形的方法，我们一起来探究其中的数学原理． (1)折法一：如图1，将矩形的顶点D与边上的任意一点G重合对折，折痕为．求证：是等腰三角形． (2)在折法一的条件下，若E是的中点，求：的值． 5．（2026·广东梅州·一模）将两张长为8、宽为2的全等矩形纸片和按如图所示方式叠放，其中点为公共顶点，边与相交于点，边与相交于点． (1)求证：； (2)求重叠部分四边形的面积． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $