专题强化09：功能关系【八大题型 培优】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

本讲义聚焦高中物理功能关系核心知识点，从基础理解到能量守恒应用，再延伸至曲线运动、弹簧、滑板滑块、传送带等八大模型，构建递进式学习支架，系统梳理功能关系在不同物理情境中的应用逻辑。 该资料以真实情境（如天问一号着陆、传送带问题）设计典例与变式题，通过模型建构和科学推理深化能量观念，课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性训练，有效提升解决复杂问题的科学思维能力。

专题强化09：功能关系 【题型归纳】 · 题型一：功能关系的理解 · 题型二：能量守恒的简单应用 · 题型三：功能关系在曲线运动的应用 · 题型四：功能关系在弹簧类的应用 · 题型五：功能关系在滑板滑块的应用 · 题型六：功能关系在传送带问题的应用 · 题型七：功能关系在连接体的应用 · 题型八：功能关系在多过程运动的应用 【题型探究】 题型一：功能关系的理解 【典例1】．（25-26高一下·四川成都·期中）国家航天局发布了我国首次火星探测任务天问一号探测器着陆过程两器分离和着陆后祝融号拍摄的影像。接下来祝融号和轨道器相互锁定，在转运机构的作用下，一起被转移到火星表面，假设祝融号和轨道器总质量为M，当它们从静止开始，以恒定的加速度竖直下降，下落高度为h时，速度为v，若火星表面的重力加速度为g’ ，对于这个过程，下列说法正确的是（　　） A．重力做功为Mgh，重力势能减少了Mgh B．机械能减少了Mg’h− C．转运机构做功为Mg’h+ D．合外力做功为−Mg’h 【答案】B 【详解】A．重力做功为，重力势能减少了，A错误； B．机械能的减少量等于初末状态机械能之差，所以机械能减少了，B正确； C．根据动能定理 解得转运机构做功为，故C错误； D．根据动能定理，合外力做功为，D错误。 故选B。 【变式1】．（25-26高一下·贵州遵义·期中）从某高台将一物体静止释放直至落地过程中，该物体的机械能和动能随它离开平台的距离h的变化关系如图所示，重力加速度g取。由图中数据可得（　　） A．该物体的质量为4kg B．物体到达地面时的末速度大小为 C．物体下降过程中，所受阻力的大小为10N D．物体下降至时，物体的重力势能 【答案】D 【详解】A．由图可知，物体初始位置（）的机械能，此时动能，故重力势能 物体落地时（），机械能，动能，此时重力势能 说明地面为零势能面，平台高度 由 解得，故A错误； B．物体到达地面时，动能，由 解得，故B错误； C．物体下降过程中，机械能减少量等于克服阻力做的功，即 由图可知，下降过程中，机械能减少了 解得阻力，故C错误； D．物体下降至时，离地高度，此时物体的重力势能 ，故D正确。 故选D。 【变式2】．（25-26高一下·福建龙岩·期中）悬崖跳水是一项极具挑战性的极限运动，需要运动员具有非凡的胆量和过硬的技术。跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设质量为m的运动员刚入水时的速度为v，水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（　　） A．他的机械能守恒 B．他的机械能减少了 C．他的重力势能减少了 D．他的合力做功为 【答案】B 【详解】A．机械能守恒的条件是只有重力或系统内弹力做功，本题中运动员受到水的阻力且阻力做负功，因此机械能不守恒，故A错误； B．根据功能关系，除重力外的其他力做功等于机械能的变化量，本过程中阻力做功 可知机械能减少了，故B正确； C．重力势能的减少量等于重力做的功，下降高度时重力做功 因此重力势能减少了，故C错误； D．运动员所受合力大小为 方向向上，与向下的位移方向相反，因此合力做功，故D错误。 故选B。 题型二：能量守恒的简单应用 【典例2】．（24-25高一下·天津河西·期末）子弹以水平速度射向原来静止在光滑水平面上的木块，并留在木块中，最终和木块一起运动。已知子弹受到的平均阻力大小为f，射入深度为d，子弹射入木块的过程中木块移动的距离为L，忽略空气阻力，在子弹和木块相互作用的射入过程中，下列说法正确的是（    ） A．子弹动能的减少量一定等于木块动能的增加量 B．子弹和木块组成的系统机械能减少量为 C．子弹动能的减少量为 D．木块动能的增加量为 【答案】C 【详解】A．根据能量守恒定律，子弹进入木块的过程中，由于受到阻力的作用，会摩擦生热，故子弹动能的减少量一定大于木块动能的增加量，A错误； B．根据能量守恒定律，子弹和木块组成的系统机械能减少量等于，其中为子弹相对木块的位移，即d，而不是木块移动的距离，B错误； C．对子弹，由动能定理有 解得 故子弹动能的减少量为，C正确； D．对木块，由动能定理有 解得，D错误。 故选C。 【变式1】．（23-24高一下·北京海淀·期末）某同学尝试用无人机空投包裹。他先让无人机带着质量为m的包裹（含降落伞）升空并悬停在距离地面H处的空中，某时刻无人机释放了包裹，下落的加速度大小恒为；在包裹下落h时打开降落伞做减速运动，加速度大小恒为，当落到地面时，速度大小为v。已知重力加速度为g。下列判断不正确的是（　　） A．包裹从开始下落h时的动能为 B．包裹从打开降落伞到落到地面这个过程中，合力所做的功为 C．根据题中信息可以求出整个过程包裹重力的平均功率 D．根据题中信息可以求出整个过程包裹机械能的减少量 【答案】A 【详解】A．包裹从开始下落h时，由动能定理则有，故A错误，符合题意； B．包裹从打开降落伞到落到地面这个过程中，由动能定理则有，故B正确，不符合题意； C． 根据题中信息可知包裹从开始下落h时的时间为，由运动公式 解得此时速度为，包裹从打开降落伞到落到地面的时间为，联立解得 可以求出整个过程包裹重力的平均功率，故C正确，不符合题意； D．整个过程包裹机械能的减少量等于克服阻力做的功 包裹从开始下落h时，由牛顿第二定律可得阻力的大小 克服阻力做功为 同理包裹从打开降落伞到落到地面克服阻力做功为 联立解得，故D正确，不符合题意。 故选A。 【变式2】．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地三百多米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完类结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度，在运动员开伞前下落h的过程中，下列说法错误的是（　　） A．重力对运动员做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了 【答案】A 【详解】A．再运动员开伞前下落h的过程中,重力对运动员做功为 故A错误，符合题意； B．下落的加速度，则阻力为 运动员克服阻力做功为 故B正确，不符合题意； C．由动能定理可知 即运动员的动能增加了，故C正确，不符合题意； D．根据能量守恒定律可知，阻力所做负功等于运动员的机械能减少，有 即运动员的机械能减少了，故D正确，不符合题意。 故选A。 题型三：功能关系在曲线运动的应用 【典例3】．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图所示，粗糙水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相切，导轨半径为。一质量为的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨恰好运动至最高点C。已知物块与水平面间的动摩擦因数，AB之间的距离为，物块沿半圆形导轨由B运动至C过程中损失的机械能为，重力加速度取。不计空气阻力影响。求： (1)物体在C点的速度的大小； (2)物块刚进入圆轨道B点时所受到的支持力大小； (3)弹簧最初压缩时储存的弹性势能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物体恰好运动至半圆形导轨最高点，此时重力提供圆周运动的向心力，由向心力公式 代入， 解得 （2）设在B点的速度大小为，从B点到C点过程中由能量守恒定律 解得 根据牛顿第二定律 得 得 （3）物块从A到B的过程中，根据功能关系 解得弹簧最初压缩时储存的弹性势能 【变式1】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨运动。重力加速度 为g。 (1)若物体经过B点进入半圆形导轨的瞬间，导轨对其的支持力大小是重力的9倍，之后恰能到达最高点C，求物体从B点运动至C点的过程中摩擦力所做的功； (2)若竖直面内的半圆形导轨光滑，为保证物体能滑上半圆形导轨且中途不脱离导轨，求在A点静止释放物体时弹簧弹性势能的取值范围； (3)若竖直面内的半圆形导轨光滑，在A点静止释放物体时弹簧弹性势能为，求物体脱离导轨时距离水平面AB的高度。 【答案】(1) (2)或者 (3) 【详解】（1）设物体在B点的速度为vB，所受支持力为FNB，据牛顿第二定律可得 设物体在C点的速度为vC，由于恰能到达最高点C，由牛顿第二定律可得 物体由B点运动到C点的过程中，由动能定理得 解得 （2）当物体不能从最高点C点飞出时，要保证始终不脱离轨道，则最高能运动到圆弧轨道的中点，弹簧的弹性势能最大值 当物体能从最高点C点飞出时，要保证始终不脱离轨道，弹簧的弹性势能至少为 故弹簧弹性势能大小的取值范围为或 （3）若竖直面内的半圆形导轨光滑，物体脱离导轨时一定处于圆心的上方，设脱离导轨时物体与圆心连线与水 平方向的夹角为θ，此时物体的速度为v，根据动能定理可得 脱离导轨时有 联立解得 则物体脱离导轨时距离水平面AB的高度 【变式2】．（24-25高一下·新疆巴州·期末）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB 的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角 ，D与圆心O等高，圆弧轨道半径 ，现有一个质量为 0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E两点间的距离 ，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5，取 ，不计空气阻力。 (1)求物体第一次通过C点时物体对轨道的压力 的大小； (2)要使物体不从斜面顶端飞出，求斜面的长度至少要多长； (3)若斜面已经满足（2）的要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，求在此过程中系统损失的机械能E的大小和物体在斜面上滑动的总路程s。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）物体从E开始下落到C的过程中，由动能定理可得 在C点，由牛顿第二定律可得                     解得                         由牛顿第三定律可知 （2）假设物体刚好不飞出时斜面长为，从E点到第一次上升到斜面最高点过程中，由动能定理可得 其中，                     解得斜面长度至少为 （3）因为，所以，物体不会停在斜面上，物体最后以C为中心，B为一侧最高点沿光滑圆弧轨道做周期性运动。从E点开始直至最后，系统因摩擦而损失的机械能等于B、E两点间的重力势能，则有                     因摩擦而损失的机械能转化为了摩擦热，则 解得斜面上滑动的总路程为 题型四：功能关系在弹簧类的应用 【典例4】．（25-26高一下·福建福州·期中）如图所示，倾角为37°的斜面固定在水平地面上，斜面底端固定一轻质弹簧，弹簧轴线与斜面平行，弹簧处于原长时弹簧上端位于B点。将质量的物块（可视为质点）从斜面顶端A点由静止释放，物块第一次运动到最低点时弹簧的压缩量。已知物块与斜面间的动摩擦因数，A、B点间的距离，取重力加速度大小，弹簧始终在弹性限度内。弹性势能为，其中k是弹簧劲度系数，x是弹簧形变量。（）求： (1)物块第一次经过B点时的速度大小 ； (2)弹簧的最大弹性势能与弹簧的劲度系数； (3)物块的最大动能 。 【答案】(1) (2)， 144N/m (3)J 【详解】（1）对物块从到的过程，由动能定理 解得 （2）物块第一次到达最低点时速度为0，弹簧弹性势能最大。对到最低点全过程，由功能关系 代入得 由弹性势能公式 解得 （3）当物块合力为0时，速度最大、动能最大。设此时弹簧压缩量为，沿斜面方向受力平衡 代入数据得 对到动能最大位置过程，由动能定理 解得 【变式1】．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图甲，倾角为的斜面OA中段BC为阻尼区域，一轻质弹簧下端固定在斜面底端A点，上端位于C点。以O为坐标原点，沿斜面向下建立Ox轴，质量的滑块从O点沿斜面静止下滑，滑块与OC段的动摩擦因数为，在阻尼区域BC所受附加阻力与速度成正比，比例系数为。滑块从O到C的过程中，其机械能E随x变化的关系如图乙。已知CA段光滑，弹簧始终处于弹性限度内，劲度系数，弹性势能表达式（为形变量），，。 (1)滑块从O到B的过程中，机械能的减少量等于________（选填“合力做功”或“克服摩擦力做功”）； (2)求动摩擦因数和滑块运动到B处时的动能； (3)求比例系数和滑块运动到C处时的机械能； (4)求弹簧的最大弹性势能。 【答案】(1)克服摩擦力做功 (2)，4J (3)，22J (4)16J 【详解】（1）滑块从O到B的过程中，机械能的减少量等于克服摩擦力做功。 （2）滑块从O到B的过程中，根据能量守恒定律有 解得 根据动能定理有 解得 （3）滑块在段运动时机械能随线性变化，所以附加阻力为恒力，因此滑块做匀速运动，则有， 解得 滑块在段做匀速运动，因此机械能的减少量等于重力势能的减少量，则 解得 （4）根据能量守恒定律有 其中 解得 根据题意有 解得 【变式2】．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，物体经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度为，重力加速度g取。求： (1)弹簧压缩至A点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中克服阻力所做的功； (3)若水平面AB粗糙，长为2m，半圆形导轨光滑，已知物体与水平面间的动摩擦因数随位移x变化的图像如图乙所示，求物体经过C点时对导轨的压力。 【答案】(1)18J (2) (3)20N，方向竖直向上 【详解】（1）由功能关系可知 解得 （2）物体沿半圆形导轨运动过程中由动能定理得 解得 物体沿半圆形导轨运动过程中克服阻力所做的功为5.5J。 （3）物体从A点到C点由功能关系得 其中 物体在C点由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律得物体经过C点时对导轨的压力大小为=20N    方向竖直向上 题型五：功能关系在滑板滑块的应用 【典例5】．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图所示，质量为的足够长木板放在粗糙水平面上，长木板的左端紧靠一平台且上表面与光滑平台平齐。半径为的光滑圆弧形轨道固定在平台上，且圆弧底端与平台相切。质量为、可视为质点的物体由距离平台高处静止释放，物体刚好由圆弧轨道的最高点进入圆弧轨道，物体运动到最低点时对轨道的压力为。现将物体从处静止释放，经过一段时间后从圆弧滑下，经光滑平台滑上长木板；当物体在长木板上相对长木板滑动的距离为时，物体与长木板达到共同速度，且该过程中物体运动的位移是长木板运动位移的4倍。重力加速度取。求： (1)物体的质量； (2)物体与长木板之间的动摩擦因数，长木板与水平面之间的动摩擦因数； (3)试判断物体与木板共速后各自的运动性质，要求写出判断理由；并求出共速后到静止的过程中，木板损失的机械能。 【答案】(1) (2)， (3)物体与木板共速后将一起以加速度向右做匀减速直线运动，直至停下来， 【详解】（1）根据题意可知，对物体，从释放到滑动到轨道最低点的过程中，由机械能守恒定律得 在最低点时，由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律得 解得 （2）同理，物体从处静止释放后，设其运动到轨道最低点时的速度为，根据机械能守恒定律得 解得 根据题意可知，物体在木板上滑动。当它们达到共速前，设物体相对地面运动的位移为，木板相对于地面运动的位移；该过程中 对物体，根据动能定理可得 对木板，根据动能定理可得 根据题意知 联立各式解得， （3）物体与木板共速后，对整体而言，根据牛顿第二定律得 解得 对物体而言，其相对木板滑动的临界加速度 因为，可判断物体与木板共速后将一起以加速度向右做匀减速直线运动，直至停下来。 则共速后木板损失的机械能就等于木板减小的动能，即 【变式1】．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点，不计空气阻力），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的半径的粗糙圆弧轨道，其中轨道C端切线水平，当小物块运动到轨道末端C时对轨道的压力大小为。随后小物块滑上静止在粗糙水平面的长木板上，已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，半径与竖直半径间的夹角。取，求： (1)小物块运动至B点时的速度大小； (2)小物块在粗糙圆弧轨道上运动的过程中，摩擦力所做的功？ (3)若长木板长为，则自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量及地面与长木板间产生的热量各为多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）根据运动的分解可知 （2）在C点对物体受力分析，根据牛顿第二定律可得 由题意可知 代入数据，联立解得 小物块从B到C的过程中，根据动能定理可得 代入数据解得 （3）小物块在长木板上滑动过程中，设小物块和长木板的加速度大小分别为、，根据牛顿第二定律可得， 解得， 假设小物块与长木板可以达到共速时，且所用时间为，由运动学公式有 解得， 时间内小物块和长木板的位移大小分别为， 二者的位移差 假设成立，由于，所以共速之后二者将共同做匀减速运动，加速度大小为 从共速到停下来通过的位移为 自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量为 地面与长木板间产生的热量为 【变式2】．（23-24高一下·天津和平·阶段练习）有一个可视为质点的小物块，质量为，小物块从光滑平台上的A点以的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为的长木板，如图所示。已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数，圆弧轨道的半径为，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角。不计空气阻力，g取求： （1）小物块从A到C所需的时间； （2）小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小； （3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大。 【答案】（1）；（2）；（3）2m 【详解】（1）小物块在C点的竖直速度为 又 解得 （2）小物块在C点时的速度大小 小物块由C到D的过程中，由机械能守恒定律得 小物块在D点时，由牛倾第二定律得 联立，解得 由牛顿第三定律得 方向竖直向下。 （3）设小物块刚好滑到木板左端且达到共同速度的大小为v，滑行过程中，小物块加速度大小为 长木板的加速度 小物块与长木板的速度分别为 ， 对小物块和木板组成的系统，由能量守恒定律得 解得 即木板的长度至少2m。 题型六：功能关系在传送带问题的应用 【典例6】．（24-25高一下·江西宜春·期末）一杂技演员踩小独轮车沿图示路径表演。轨道是由水平直轨道和圆弧轨道构成，两轨道在点相切，是倾角为的传送带，连线水平，间距，轨道和传送带在同一竖直平面内。演员沿轨道行进，在点腾空，在点沿方向以臀部接触传送带的坐姿滑上传送带。演员裤料和传送带间的动摩擦因数，传送带长，以的速度顺时针匀速转动，演员的质量为，重力加速度取，独轮车的质量不计，演员和独轮车均可视为质点，不计空气阻力，求： (1)演员在点的速度大小； (2)演员从运动到的过程中，传送带对演员所做的功。 【答案】(1) (2)W=-8040J 【详解】（1）如图所示，演员离开运动到，做斜抛运动，设速度与水平方向夹角为，由对称性，知 将速度分解，水平方向有 竖直方向有 设运动时间为，有 水平位移 代入数据得 （2）演员沿方向以臀部接触传送带的坐姿滑上传送带，由于，则演员先做匀减速运动，设运动加速度大小为，演员与传送带共速所用时间为，位移为，依据牛顿第二定律，有 依据匀变速规律，有， 解得 匀减速阶段，传送带对演员所做的功 演员速度等于传送带的速度时，因，此后演员随传送带一起做匀速运动，传送带对演员所做的功 演员从D运动，传送带对演员做的总功W=W1+W2=-8040J 【变式1】．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，某固定装置由长度的水平传送带，圆心角、半径的两光滑圆弧管道BC、CD及粗糙水平面DE组成，且处有一竖直挡板，装置各部分间平滑连接。质量的物块从传送带左端A点由静止释放经过BCD滑出圆弧管道。已知传送带以速度顺时针转动，物块a与传送带的动摩擦因数为，物块与粗糙水平面的动摩擦因数，DE长度，物块视为质点，不计空气阻力，取重力加速度。 (1)求物块第一次到达点过程中与传送带之间因摩擦产生的热量； (2)求物块第一次到达点时对管道的作用力； (3)物块每次与挡板碰撞后均按原速率反弹，求最终物块停止的位置。 【答案】(1)30J (2)6N，方向竖直向上 (3)距离挡板0.5m处或距D点1m处 【详解】（1）由题知，物块在传送带上做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 物块加速到与传送带共速的位移为 说明物块从A点到B点一直加速，且到B点时速度小于传送带的速度，设此时物块的速度为，根据速度位移公式有 解得 此时物块运动的时间为 传送带运动的位移为 则物块相对传送带的位移为 产生的热量为 代入数据解得Q=30J （2）物块从B运动到D过程，根据动能定理有 解得 物块在D点，根据牛顿第二定律有 代入数据解得 根据牛顿第三定律，物块在D点对管道的作用力大小为6N，方向竖直向上。 （3）对全过程应用动能定理，则有 解得 因DE长度，所以 最终停在距离挡板0.5m处或距D点1m处。 【变式2】．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图所示，在竖直平面内，一过山车轨道模型与传送带平滑连接。过山车轨道模型由三部分组成，AB段为倾角的直轨道，BCDE段为半径的光滑圆形轨道，EF段为光滑水平轨道，三部分之间平滑连接。传送带的长度为，与水平面的夹角也为。一质量为的滑块（可视为质点）从倾斜轨道上的A点由静止开始下滑，并恰好能通过圆形轨道的最高点D，最终可滑上传送带。已知滑块和倾斜轨道、传送带间的动摩擦因数分别为、，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，传送带顺时针转动的速率，重力加速度大小，，。求： (1)滑块经过圆形轨道最低点C时对轨道的压力FN的大小； (2)A点距B点的高度差h； (3)电动机因传送滑块多消耗的电能。 【答案】(1)30N (2)2.3m (3)2J 【详解】（1）在点， 从到D由机械能守恒， 解得 滑块经过点时，由牛顿第二定律得 由牛顿第三定律可得滑块经过C点时对轨道的压力 （2）从到的过程中 解得 （3）滑块在传送带上减速运动时 滑块与传送带达到共速所用时间为，则 因为 所以滑块和传送带共速后一起匀速运动，滑块相对于传送带的位移 因摩擦产生的内能 电动机因传送滑块多消耗的电能 解得 题型七：功能关系在连接体的应用 【典例7】．（24-25高一下·安徽·期末）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一质量为的物体。一不可伸长的轻绳跨过定滑轮，两端分别与物体和质量为的物体连接。用手托住物体，使弹簧处于原长，然后无初速度释放，物体下落到最低点的距离为。不计空气阻力、定滑轮质量及转轴摩擦，重力加速度大小为，弹簧的形变始终在弹性限度内，轻绳和弹簧始终处于竖直状态。求： (1)物体下落到最低点时弹簧的弹性势能； (2)用手托住物体，使轻绳中恰好无拉力，然后无初速度释放，若弹簧的劲度系数为，物体的最大速度（结果保留根式）； (3)如图乙所示，将物体放在动摩擦因数为、倾角为的固定斜面上，用手按住物体，恰能使弹簧处于原长。若要使物体下滑的最大距离也为，给物体沿斜面向下的初速度（、瞬间同时获得相同的速度大小）至少多大（结果保留根式）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）从无初速度释放，到下落到最低点过程中，物体A、B与弹簧整个系统机械能守恒 有 则物体下落到最低点时弹簧的弹性势能 （2）用手托住物体，使轻绳中恰好无拉力，此时A也处于静止状态 故A受到竖直向上的弹力F1=mg，此时弹簧被压缩了距离x，且F1=kx B无初速度释放，加速度向下，此后B的加速度减小 物体A通过细绳与B连接，物体A与B的加速度大小相同，速度大小相同 故A与B做加速度大小相同的加速运动，设加速度为a 有 当A、B与弹簧系统加速度减为0时，A速度达到最大值 设此时弹簧弹力为F2，有 解得，即此时弹簧处于拉伸状态，A受到弹簧的弹力方向竖直向下 且此时弹簧的伸长量也为x 从B释放到A速度达到最大值，根据动能定理，对系统有 结合mg= kx得，物体的最大速度为 （3）物体下滑的最大距离为时，弹簧从原长变拉伸距离也为d 则弹簧弹性势能为，此时物体A、的速度变为0 根据系统机械能守恒有 解得物体沿斜面向下的初速度至少为 【变式1】．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角的光滑倾斜轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为的滑块A和B，用长且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取。现同时静止释放A、B，求： (1)A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量； (2)A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功； (3)A停止运动时的位置与M点的距离。 【答案】(1) (2)J (3) 【详解】（1）A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量为 解得J （2）A从释放运动到P点过程中，根据系统机械能守恒可得 解得A运动到P点时，A、B的速度大小均为 对A根据动能定理可得2 解得轻杆对A做的功为J （3）设A停止运动时的位置与M点的距离为，以A、B为整体，根据动能定理可得 解得 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图所示，顶端带有轻质滑轮的光滑斜劈固定在水平面上，斜面倾角为37°，转轴固定在天花板上的O点，O点与斜劈等高，长为L的轻杆一端可绕转轴在竖直平面内自由转动，另一端固定一小球P，一根不可伸长的轻绳绕过定滑轮A（大小不计），一端与小球P相连，另一端与斜面底端的滑块Q相连，已知，P、Q两物体质量都为m，滑块Q与水平面间的动摩擦因数μ=0.5.释放小球P，当P摆到最低点时，小球P与杆和绳子脱离，之后运动中，小球P落地时立即静止。小球、滑块均可看作质点，不计转轴及滑轮摩擦力的影响，sin37°=，重力加速度为g。求： (1)小球P脱离瞬间，小球P和滑块Q的速度大小的比值和滑块Q的重力势能增加量； (2)小球P脱离瞬间，小球P的速度大小；（结果可用根式表示） (3)若O点离水平面的高度为h=6.1m，L=4.1m，小球P、滑块Q最终的水平距离。（重力加速度g=10m/s²） 【答案】(1)5：4； (2) (3)22.8m 【详解】（1）小球P到最低点时，令此时的绳与水平方向夹角为，有 解得 将小球P的速度分解后有 解得 滑块Q沿斜面上升的距离 滑块Q增加的重力势能 （2）对小球P、滑块Q构成的系统由机械能守恒有 解得 （3）小球P做平抛运动，则有 解得 滑块Q先沿斜面减速，根据（2）可知 由动能定理得 解得 滑块Q先沿斜面减速即至0，之后向下加速，最终在水面上减速至静止，则有 解得 则小球P、滑块Q最终的水平距离 题型八：功能关系在多过程运动的应用 【典例8】．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，左侧为一倾角为（未知）的斜面，右侧为竖直光滑圆弧轨道与另一足够长的斜面平滑相接（斜面沿端的切线方向），其中圆弧轨道的两端A、C关于过圆心的竖直线对称，为圆弧轨道的最低点。一滑块从的顶端处，以初速度沿斜面切线方向飞出，经恰好无碰撞地从端沿圆弧切线方向进入竖直光滑圆弧轨道ABC，然后从端冲上斜面，在上减速到零后又反向滑回。已知滑块从点进入开始到第二次经过该斜面上的点所经的时间间隔，滑块质量，斜面的顶端与端的水平间隔，圆弧轨道的半径，滑块与斜面E间的动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。求 (1)斜面倾角的正切值； (2)滑块第一次经过点时，对轨道的压力大小； (3)滑块从进入开始到第二次经过的过程中，它与斜面间因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）滑块离开斜面做斜抛运动，水平方向 故斜抛时竖直方向的初速度 因此斜面倾角的正切值满足 （2）在A点，设速度方向与水平方向之间的夹角为，可知， 可知 解得 滑块从到，机械能守恒，有 在B处，根据牛顿第二定律，轨道对滑块的支持力满足 联立解得 由牛顿第三定律可知，滑块第一次经过点时，对轨道的压力 （3）因、两点等高，由机械能守恒可知，滑块以的速度从点冲上斜面，由几何关系知斜面的倾角为 沿斜面上滑的过程，滑块的加速度满足 解得 从点上滑至最高点的时间 上滑的最大距离 沿斜面下滑的过程，滑块的加速度满足 从最高点下滑至点的时间 从最高点下滑至点的位移大小 从到的过程中，滑块与斜面间因摩擦产生的热量 【变式1】．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径，A端切线水平。水平轨道BC与半径的光滑圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，且与倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后滑上传送带EF。已知圆弧轨道CD对应的圆心角，，小球与传送带EF间的动摩擦因数，g取，，。求： (1)小球对A点的压力； (2)小球在C点受到的支持力； (3)若传送带顺时针运转的速率为，求小球从E端到F端所用的时间以及摩擦产生的热量Q。 【答案】(1)12.5N，方向竖直向上 (2)，方向指向CO方向。 (3)2.5s，9J 【详解】（1）小球从A到C做平抛运动，在C点有 代入数据，解得 小球在A点有 联立解得小球在A点受到轨道的弹力大小 根据牛顿第三定律可知，小球对A点的压力大小为12.5N，方向竖直向上。 （2）小球在C点有 因为 联立解得小球在C点受到的支持力 方向沿CO。 （3）小球从C到E过程，根据动能定理有 联立解得 可知小球滑上传送带后受到的摩擦力沿传送带向下，则其加速度大小 则小球从滑上传送带到与之共速用时 该过程小球位移大小 因为 则共速后小球做匀速直线运动，故小球在传送带上做匀速直线运动时间 所以小球从E端到F端所用的时间 摩擦产热出现在共速前，因此 【变式2】．（24-25高一下·山东临沂·期末）如图所示，长度的轻质细绳一端悬挂在点，另一端系着一质量的金属物块，将轻绳拉直，让轻绳从偏离竖直方向的位置由静止释放物块，物块运动到最低点时，轻绳刚好被拉断。物块继续运动后沿切线方向进入半径的光滑圆弧轨道，圆弧轨道的圆心为水平且与成角，点为圆弧轨道的最低点，与一粗糙的水平面相切。物块经圆弧轨道后沿水平面继续运动，压缩右侧一端固定在竖直墙壁的轻质弹簧。物块与水平地面的动摩擦因数，弹簧初始处于自然伸长状态。物块压缩弹簧至最远处点（图中未画出）后，被弹簧反弹到达圆弧轨道点时对轨道压力恰好为0。忽略空气阻力，重力加速度，弹簧始终处在弹性限度内，物块可视为质点。（）求： (1)轻绳的最大张力； (2)物块经过点时对轨道的压力大小； (3)物块压缩弹簧最远处点距点的长度及弹簧具有的最大弹性势能； (4)弹簧的弹性势能的表达式为弹簧的形变量），弹簧的劲度系数，在物块第一次反弹到点时，迅速缩短轨道的长度，使物块从点沿圆弧轨道滑下再次被弹簧反弹后恰好停在点，轨道长度应缩短多少。 【答案】(1) (2) (3)， (4) 【详解】（1）物块从运动到过程，由动能定理 有 得 在点，由牛顿第二定律 有 解得 （2）物块从点开始做平抛，从点沿切线进入圆弧，如图所示 有 在点，由牛顿第二定律 有 由牛顿第三定律 解得物块对轨道的压力 （3）物块从点运动到点，由动能定理 有 设物块从点向右运动到点，走过的路程为 有 再从点反弹运动到点 有 由功能关系 有 解得 （4）物块第一次对弹簧的最大压缩量为，依题意 有 得 设物块从点运动到压缩弹簧最短时走过的路程为，物块从点开始运动再次压缩弹簧后被弹簧弹回，运动到点停止，对全过程，由动能定理 有 得 设第二次弹簧的最大压缩量为，第二次弹簧从压缩最大弹回到点过程 有 其中 得 设弹簧的原长为 则轨道长度缩短 解得 【专题训练】 1．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，的倾斜轨道固定在水平滑道的左侧，水平滑道的右侧固定一个竖直挡板，挡板的左侧固定一劲度系数的轻质弹簧，弹簧处于原长时，其自由端位于滑道上的点。水平滑道只有段粗糙，其余部分光滑，段长度。现将一个质量为可视为质点的滑块，从倾斜轨道上距水平轨道高度处的点由静止释放，不计空气阻力和滑块进入水平轨道时的能量损失，滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数，与段间的动摩擦因数，已知弹簧在整个作用过程中未超过弹性限度，弹簧的弹性势能表达式为（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量），重力加速度，，求 (1)弹簧的最大形变量； (2)滑块再次返回时的最大高度； (3)滑块最终停下来的位置。 【答案】(1)0.2m (2) (3)m处（或在P点右侧m处） 【详解】（1）设弹簧的最大形变量为xm，滑块从释放到第一次将弹簧压缩到最短的过程，由能量守恒得 xm=0.2m （2）设滑块再次返回倾斜轨道时的最大高度为h1，滑块从释放到第一次返回倾斜轨道达到最大高度时的过程，由能量守恒得： 解得m （3）滑块再次下滑时，到最终静止全过程应用动能定理 解得 又 所以滑块最终静止的位置在Q点左侧m处（或在P点右侧m处） 2．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图所示，光滑水平平台高，BC为一段光滑圆弧轨道，其圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，为60°，BC的高度差。一不计厚度、质量的长木板静止于粗糙水平面上，左端置于C点，右端与D点固定的竖直挡板相距。质量的小物块压缩弹簧至K点，弹簧与小物块不拴接，形变在弹性限度内。释放小物块，弹簧恢复原长后小物块从A点滑离平台，恰好能无碰撞地从B点进入圆弧形轨道，然后经过C点滑上长木板，继续运动。长木板向右运动与挡板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），以原速率返回。碰撞后立即撤去挡板，运动过程中小物块始终未滑离长木板。已知物块与长木板间动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，取。求： (1)小物块由A到B的运动时间t（结果可以保留根号）； (2)弹簧被压缩至K点时具有的弹性势能； (3)全程小物块与长木板因摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2) (3)87J 【详解】（1）小物块离开平台后做平抛运动，设从A到B的时间为t，由平抛运动规律得 解得 （2）设物体从A点抛出时的水平速度为v0，则在B点处有 解得 根据功能关系得弹簧的弹性势能 （3）设物块到达C点时速度为vC，物块由A到C由动能定理得 代入数据解得vC＝14m/s 物块在木板上滑行做匀减速运动，其加速度为a1，则有 对长木板由牛顿第二定律得：μ1mg﹣2μ2mg＝ma2 解得 设经时间t1长木板与挡板相撞，由 得t1＝2s 此时物块和长木板速度分别为v1、v2，则有v1＝vC﹣a1t1＝8m/s，v2＝a2t1＝4m/s 物块的位移为： 物块距离木板左端为 长木板与挡板相撞后，物块继续向右做匀减速运动，长木板向左减速运动，设其加速度为a3，则有μ1mg+2μ2mg＝ma3 代入数据解得 经时间t2长木板速度为零，则 此时物块的速度为v3，则v3＝v1﹣a1t2＝5m/s 物块向右的位移 木板减速向左的位移 在此过程中物块相对木板向右的位移为 设又经时间t3两者速度相等为v4，即v4＝a2t3＝v3﹣a1t3 解得：t3＝1s，v4＝2m/s 在这段时间内物块与长木板的位移分别为 物块与长木板的相对位移 以后两个以相同的加速度向右做匀减速运动，直到速度为零 故Q=μ1mgL=87J 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径R＝0.9m，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径r＝0.5m的光滑圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD、DE对应的圆心角。圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为l＝5m。一质量为m＝1kg的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后物块滑上传送带EF。已知物块与传送带EF间的动摩擦因数＝0.5，取，。求： (1)物块从A点飞出的速度大小； (2)物块到达C点时对C点的压力大小； (3)若传送带以速度v＝10m/s逆时针匀速转动，试求物块从E到达传送带最高点的过程中摩擦产生的热量。 【答案】(1) (2)208N (3)Q＝60J 【详解】（1）物块在C处的速度分解如图 在竖直方向有 水平方向 联立代入数据解得 （2）物块在C处的速度分解如图 在竖直方向有 物块在C处速度 由牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律知物块对C处的压力大小为 （3）由对称性 传送带逆时针转动，物块受到摩擦力沿传送带向下，则物体一直匀减速到顶端 解得 方向沿斜面向下，到达顶端时速度为，则 得＝0，t＝1s，此时物体刚好能达到顶端。 摩擦产生的热量 解得Q＝60J 4．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）光滑圆弧轨道固定于地面上，半径，所对圆心角为53°，其末端与逆时针转动的水平传送带相切于B点，如图所示，传送带长为l，速度恒为，一质量为1kg的滑块从最高点A由静止开始滑下并滑上水平传送带，在传送带上运动一段时间后返回B点，滑块与传送带之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度g取． (1)求滑块运动到B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)求传送带长度l的最小值； (3)从滑块滑上传送带到返回B点的过程中，滑块与传送带之间因摩擦产生的热量； (4)从滑块滑上传送带到返回B点的过程中，相比电动机带动传动带空转，滑块滑上传送带后，电动机多消耗的电能。 【答案】(1)18N (2)4m (3)18J (4)12J 【详解】（1）由A到B，由动能定理得 解得 在B点，由牛顿第二定律得 解得 由牛顿第三定律可知，滑块运动到B点时对圆弧轨道的压力大小为18N。 （2）滑块先向右做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 当速度减为0时，位移为 随后滑块向左做匀加速直线运动，故传送带长度l至少为4m。 （3）滑块先向右做匀减速直线运动，直到速度为零，则运动的时间为 此过程中传送带的位移为 故滑块相对传送带的位移为 随后滑块反向做匀加速直线运动，从对称性角度考虑，因，故滑块返回左端时的速度为 返回过程滑块加速运动的时间为 此过程滑块的位移为 此过程传送带的位移为 故滑块相对传送带的位移为 故摩擦产生热量为 （4）整个过程只有摩擦力做功，则由动能定理可知，摩擦力对物块做功为 解得 由功能关系可知，滑块动能的减少量与电动机多消耗的能量之和等于因摩擦产生的热量，则电动机多消耗的能量为 5．（24-25高一下·海南海口·期末）如图所示，静止的水平传送带的左端有一固定的半径为的竖直四分之一光滑圆弧轨道，末端B点与长为的传送带相切，右端有一固定的倾角为30°的光滑斜面。一质量为的滑块（可视为质点）从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经过C点后立即让传送带以的速率顺时针方向匀速转动，滑块第一次冲上斜面能达到的最高点为D。已知传送带与滑块间的动摩擦因数为，不计空气阻力，滑块经过B和C点时均无碰撞造成机械能损失，重力加速度。求： (1)滑块经过B点时受到轨道的支持力FN大小和C、D两点间的距离d； (2)滑块第二次滑上传送带后，向左滑行的最远距离x0和向左运动的时间； (3)滑块从第二次滑上传送带到离开传送带过程中，滑块与传送带之间因摩擦而产生的热量Q。 【答案】(1)， (2)， (3) 【详解】（1）滑块从A点运动到B点过程中，由动能定理得： ① 滑块到达B点时，由牛顿第二定律得： ② 联立①②式得： 滑块从A点运动到D点过程中，由动能定理得： ③ 代入数据得： （2）滑块从A点开始运动到第二次滑上传送带的过程中，由动能定理得： ④ 解得： 从滑块第二次滑上传送带开始计时，到滑块向左滑行到最远距离的过程中，由动能定理得： ⑤ 解得： 由牛顿第二定律得：⑥ 解得： 且⑦ 代入数据得： （3）设滑块从第一次向左滑到最远处到第二次滑出传送带过程的时间为t，由运动学公式得： ⑧ 解得： 滑块从第二次滑上传送带到第二次离开传送带的过程中，滑块相对于传送带滑动的路程为： ⑨ 产生的摩擦热为： 6．（24-25高一下·湖南·期末）如图所示，固定的粗糙弧形轨道下端点切线水平，上端与点的高度差为，倾斜传送带与水平方向的夹角为，传送带的上端点与点的高度差为（传送带传动轮的大小可忽略不计）。一质量为的滑块（可看作质点）从轨道的点由静止滑下，然后从点水平抛出，恰好以平行于传送带的速度从点落到传送带上，传送带逆时针转动，速度大小为，滑块与传送带间的动摩擦因数为，且传送带足够长，滑块运动过程中空气阻力忽略不计，，，，试求： (1)滑块运动至点时的速度大小； (2)滑块由到运动过程中克服摩擦力做的功； (3)滑块在传送带上运动时与传送带摩擦产生的热量。 【答案】(1)； (2)； (3) 【详解】（1）在点，竖直分速度 由 解得 （2）点的水平分速度与点的速度相等，则 从到点的过程中，根据动能定理得 解得 （3）滑块在传送带先做匀减速运动，根据牛顿第二定律 解得 达到共同速度所需时间 两者间的相对位移 由于 此后滑块将做匀速运动。故滑块在传送带上运动时与传送带摩擦产生的热量 7．（24-25高一下·广东深圳·期末）如图所示，倾角固定斜面的底端与光滑水平面BC平滑相连，水平传送带CD两端间距离为L=3m，传送带沿顺时针方向匀速运行，速度大小为v=6m/s，传送带上表面与光滑水平面DE在同一水平面内。水平面DE与半径为的竖直半圆形光滑轨道EF相切，现将质量为m=1kg的小物块（可看成质点）从斜面上高处的A点由静止释放，运动到B点的速度为vB=1m/s，小物块滑过传送带及水平面DE后从E点进入半圆形轨道，通过最高点F点后做平抛运动落在水平面上的G点。已知小物块与传送带上表面间的动摩擦因数为，，，重力加速度，不计空气阻力，求： (1)小物块与斜面之间的动摩擦因数； (2)小物块运动到半圆轨道最高点F时对轨道的压力大小FN； (3)传送带因传送货物多消耗的能量E0。 【答案】(1)0.7 (2)40N (3)30J 【详解】（1）小物块从A点静止下滑到B点，根据动能定理有 代入数据解得 （2）小物块滑上传送带，因，所以小物块在传送带上先做匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 设经过时间，小物块与传送带共速，则有 解得 则小物块运动的位移为 说明小物块在传送带后一段做匀速直线运动，即小物块在D点的速度等于传送带的速度，则有 小物块从D点到F点，根据动能定理有 解得 在F点，根据牛顿第二定律有 根据牛顿第三定律可得小物块运动到半圆轨道最高点F时对轨道的压力大小 （3）当小物块在传送带上做匀加速直线运动时，小物块对传送带的摩擦力做负功，需要多消耗能量，则有 8．（24-25高一下·陕西榆林·期末）如图所示，有一个可视为质点、质量的小物块，初速度为零，经由水平顺时针转动的传送带从最左端A送到最右端B，滑过光滑水平面后，滑上紧靠面末端的质量的静止长木板。已知传送带速度恒为，传送带间长度，木板上表面与面相平，木板下表面光滑，小物块与传送带、长木板上表面间的动摩擦因数均为0.40。长木板足够长，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)木板获得的最大速度； (3)整个运动过程中，因摩擦产生的热量（结果可用分数表示）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小物块在传送带上做匀加速直线运动时，由牛顿第二定律 解得小物块的加速度 若物块在传送带上做匀加速直线运动的末速度与传送带的速度相等时，根据运动学公式，解得物块做匀加速直线运动的位移 所以物块到达传送带端前已经与传送带同速，物块与传送带共速后物块做匀速直线运动，物块滑上光滑的水平面也做匀速直线运动，所以 （2）小物块在长木板上运动的过程中，对于小物块根据牛顿第二定律，解得 对于长木板根据牛顿第二定律，解得 当小物块与长木板共速时长木板的速度最大，设经过时间小物块与长木板共速，根据运动学公式，时刻小物块的速度 长木板的速度， 联立解得时间 长木板获得的最大速度 （3）物块在传送带上做匀加速直线运动时，根据运动学公式，解得 在此过程中传送带的位移，解得 小物块的位移，解得 小物块与传送带的相对位移，解得 小物块与传送带因摩擦产生的热量，解得 从小物块滑上长木板到两物体相对静止的过程中，小物块的位移，解得 长木板的位移，解得 小物块与长木板的相对位移 小物块与长木板因摩擦产生的热量，解得 整个过程中因摩擦产生的热量，解得 9．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图所示，固定在竖直面内的四分之一圆弧轨道，半径为，轨道底端切线水平且与水平传送带左端平滑相连，传送带顺时针转动，运行速度大小为。一质量为可视为质点的物块从轨道顶端由静止开始下滑，运动到圆弧轨道底端时对轨道压力大小为自身重力的2倍。已知物块与传送带间动摩擦因数为，传送带轮中心间距为，重力加速度为。求： (1)物块在圆弧轨道运动过程中所受阻力做的功； (2)物块离开传送带时速度的大小； (3)由于传送物块，传送带多消耗的电能。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块在圆形轨道最低点，由牛顿第二定律得 解得v0 物块在圆形轨道下滑过程，由动能定理得 解得 （2）由题意可知，物块在传送带上先加速 设经过t时间，物块与传送带共速 解得 物块加速位移 解得 由于，所以物块和传送带共速之后物块匀速运动，因此物块离开传送带速度为 （3）物块加速过程，传送带位移 物块与传送带之间因摩擦产生的热量为 物块增加的动能 传送带多消耗的电能为 解得 10．（24-25高一下·浙江台州·期末）某同学玩“弹射游戏”装置如图所示，轨道BC由两个半径均为R=0.1m的圆形管道和圆单侧轨道拼接而成位于竖直面内，管道内直径大于小正方形滑块边长，且远小于R。轻弹簧左端固定，自然状态下弹簧右端位于O点，用质量为m=0.02kg的小滑块将弹簧压缩x0到A位置，由静止释放，小滑块恰能通过单侧轨道的最高点C，其中，OB段长为R，动摩擦因数μ为0.5，其它处摩擦不计，假设弹簧弹性势能与形变量的平方成正比。求： (1)小滑块到达最高点C的速度vC大小及小滑块落地点到B点的距离xB； (2)若弹簧的压缩量增为2x0，其它条件不变，小滑块经过B时对管道的弹力FN； (3)要使小滑块在BC轨道上运动过程中不脱离轨道，弹簧的弹性势能要满足的条件。 【答案】(1)1m/s，0.4m (2)4.8N，方向竖直向下 (3)0.01J≤Ep≤0.03J或Ep≥0.06J 【详解】（1）小滑块恰能通过最高点C，仅由重力提供向心力，有 解得 小滑块离开C点后做平抛运动，有 解得 故小滑块落地点到B点的距离为 （2）当弹簧的压缩量为x0时，根据能量守恒定律，得弹簧弹性势能 当弹簧的压缩量增为2x0时，弹簧弹性势能 由能量守恒定律，得 在B点，根据牛顿第二定律，有 解得 根据牛顿第三定律，小滑块对管道的弹力，方向竖直向下 （3）小滑块恰好能进入B点所需的弹性势能 小滑块恰能运动到与O1等高处所需的弹簧弹性势能 小滑块恰能运动到C点所需的弹簧弹性势能为 故符合条件的弹性势能范围是或 11．（24-25高一下·广东广州·期末）某场地利用传送带自动运输货物至平台EF，该装置由圆心为的四分之一光滑圆弧轨道AB、粗糙水平轨道BC、倾角为竖直放置的传送带CE和平台EF组成。传送带在电动机带动下以速度，顺时针匀速传动。运输时，货物由圆心等高处的A点由静止释放，经过轨道BC，传送带CE，滑上平台EF。已知可视为质点的货物质量，圆弧AB的半径，轨道BC的长度，传送带长度，，货物与传送带之间的动摩擦因数，货物经过轨道连接处时的能量损失忽略不计，，则 (1)货物下滑至轨道AB的最低点时，对圆弧轨道的压力大小； (2)若货物达到传送带底端C点时速度大小为0，求货物在传送带CE上运动的时间； (3)若货物达到传送带底端C点时速度大小为0，求因为传递货物，电动机额外消耗的电能； (4)要使货物刚到达平台E点时的速度大小为，求货物与BC段水平轨道的动摩擦因数的大小范围（结果请用分数表示） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）货物从A到过程中，根据动能定理有 货物在点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律，可知货物在点对圆弧轨道的压力大小30N。 （2）由于，当货物在传送带上加速向上运动时，根据牛顿第二定律有 解得 设经过时间为，则有 此过程物块位移 再匀速 在传送带上总运动时间 （3）货物加速过程，与传送带间相对路程为 由能量守恒，消耗的电能 解得 （4）当时，货物滑上滑板时速度恰好为。 当货物在传送带上减速向上运动时，根据牛顿第二定律有 解得 若恰好能减速至，则有 解得 要使货物到达平台的速度为，则货物到达传送带底端速度大小 货物从A到C，根据动能定理 解得 12．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图所示，固定的光滑弧形轨道AB，底端与一逆时针转动的水平传送带左端平滑连接于B点，传送带的速度大小，AB的高度差为，传送带BC的长度为，右端与水平面CE平滑连接于C点，其中CD段粗糙，长度为，DE段光滑。在E处固定一轻质弹簧，其处于原长时左端恰好位于D点。现让质量为的小物块从A点静止释放。已知小物块与传送带、水平面CD的动摩擦因数分别为和，取重力加速度大小，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)小物块第一次到达B点时的速度大小； (2)小物块第一次压缩弹簧时的最大弹性势能； (3)小物块在水平面CD所产生的热量Q． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）AB过程中，由机械能守恒 得 （2）因水平传送带逆时针转动，小物块第一次过传送带做匀减速直线运动，从B到第一次压缩弹簧最大值过程中， 得 （3）第一次返回C的速度为， 得 则第一次从C到B过程做匀加速直线运动，假设一直加速，到B点速度为，则 得假设成立，接下来又要冲上斜面在减速到C点，由功能关系可得到C点的速度还是，则接下来的来回往复运动，每次从C点向左运动又返回C点速度大小都不变，故小物块在水平面CD所产生的热量为 13．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，下端恰好与粗糙水平面MN平滑对接，与水平面等高且绷紧的水平传送带在电动机带动下始终以恒定速度顺时针运行。质量为的小物块由圆弧轨道顶端P点无初速度释放，滑到M点后向左运动，经N点滑上传送带，经一段时间后小物块又返回至传送带的右端。已知M、N两点间的距离，小物块与水平面和传送带间的动摩擦因数均为，g取，传送带足够长，不计空气阻力，小物块可视为质点，不考虑小物块由水平面滑上传送带的能量损失。求： (1)小物块运动到圆弧轨道底端时受到圆弧轨道的支持力大小； (2)小物块向左运动第一次到达N点时的速度大小； (3)全过程中小物块与传送带间因摩擦产生的热量和全过程中电动机多消耗的能量。 【答案】(1)15N (2)2m/s (3)2.25J；1.5J 【详解】（1）小物块从圆弧轨道顶端滑到圆弧轨道底端的过程中，根据机械能守恒定律 解得 在M点，对小物块，根据牛顿第二定律 解得 （2）小物块第一次从M点到N点，根据动能定理有 解得 （3）设小物块在传送带上向左运动的时间为，位移大小为，小物块第一次滑上传送带，速度方向与传送带的方向相反， 故先向左做匀减速直线运动，直到速度为零，根据牛顿第二定律有 解得 小物块向左减速到零的时间为 小物块向左运动的位移为 传送带向右匀速运动的位移为 小物块之后，向右做初速度为零的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 设经时间，小物块的速度与传送带共速，则有 解得 小物块向右加速的位移为 传送带向右匀速运动的位移为 小物块以滑离传送带，到NM段做匀减速直线运动，加速度仍为 则小物块在NM减速到零的位移为 说是小物块不会再返回到传送带上； 所以整个过程小物块相对传送带的总路程 小物块与传送带间因摩擦产生的热量为 全过程中电动机多消耗的能量 14．（24-25高一下·山西·期中）如图所示，放置在水平台面的轻质弹簧左端固定且处于原长状态，P点左侧光滑，长的PN部分粗糙，平台右侧等高处紧靠长的水平传送带，其右端与竖直平面内半径的光滑圆弧轨道相切于M，O为圆心，半径OM竖直，OA与OM的夹角。传送带始终以大小的速度沿逆时针传动，一质量的物块（可视为质点）从A点由静止释放。物块与台面PN部分及传送带间的动摩擦因数均为，重力加速度g取，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)物块刚滑上传送带时的加速度； (2)轻弹簧被压缩后具有的最大弹性势能； (3)物块最终停止的位置到P的距离。 【答案】(1)，方向水平向左 (2) (3) 【详解】（1）物块由A到M的过程，由动能定理有 解得 物块滑上传送带后，由牛顿第二定律有 解得 方向水平向左 （2）物块滑上传送带后，由运动学公式有 解得 故物块到达N点的速度大小 物块从N点到轻弹簧被压缩最短，由动能定理有 解得 则弹簧被压缩后具有的最大弹性势能 （3）设物块第一次被弹簧弹回到N点的速度大小为，有 解得 物块在传送带上，有 解得 分析可知，物块在传送带上减速到零后反向加速，再次回到N点时的速度大小不变 物块从第一次到达N点到最终停止，由能量守恒定律有 解得 则物块最终停止的位置到P点的距离 15．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，长度、顺时针匀速转动的传送带左端平滑连接一水平轨道，右端平滑连接一固定光滑圆弧轨道，一轻弹簧左端固定在水平轨道上，弹簧原长时右端位于O点，水平面上O点左侧光滑，右侧段粗糙，的圆弧轨道上C点处有一沿径向的挡板，C处半径与竖直方向间的夹角为θ（），现将一质量的物块放在弹簧右端，且用一水平向左的外力推动物块压缩弹簧，使得弹簧弹性势能，后撤去外力，物块向右运动。从A点滑上传送带，经B点进入圆弧轨道。已知传送带顺时针转动的速度，物块和间的动摩擦因数，和传送带间的动摩擦因数，水平面，物块和挡板碰撞前后速度大小不变，方向反向，物块可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)物块运动到A点时的速度大小； (2)物块运动到C点时圆弧轨道对物块的支持力及物块最终停止时的位置与O点间的距离； (3)若传送带的速度可调，要使物块在圆弧轨道上运动时不脱轨，则传送带速度的范围。 【答案】(1) (2)，方向：由C指向圆心； (3)或 【详解】（1）物块从开始运动到A点的过程中，根据能量守恒有 解得 （2）设物块在传送带上始终做匀加速直线运动，根据运动学公式有 解得 因，故假设成立 物块从过程根据能量守恒有 解得 在C点，根据牛顿第二定律有 解得 方向：由指向圆心 物块和挡板碰撞后原速率返回，回到B点速率不变，向左减速经过传送带回到A点的速率 设物块继续向前运动x停下，根据动能定理有 解得 则停下的位置与O点间的距离 （3）若物块运动到C点时和轨道间恰好无相互作用力，则有 解得 物块从过程根据能量守恒有 解得 则时，物块能运动到C点，不会脱轨； 若物块最高能运动到D点，物块从过程根据能量守恒有 解得 则时，物块最高能运动到D点，不会脱轨。 故要使物块在圆弧轨道上运动时不脱轨，则传送带速度的范围为或 16．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图所示，在倾角为底端有挡板的足够长光滑斜面上，一轻质弹簧两端连接质量均为的物块A和B。物块A紧靠着挡板，物块B通过一轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量的小球C（可视为质点）相连，与物块B相连的细绳平行于斜面。小球C在外力作用下静止在光滑圆弧轨道的最高点E处，此时细绳恰好伸直且无拉力，圆弧轨道的圆心角为、半径，最低点F与光滑水平轨道FG相切。水平轨道与倾角为的粗糙斜面GH平滑连接（即物体经过G点时速度大小不变），半径的光滑圆轨道与斜面在H点相切。现由静止释放小球C，当小球C滑至F点时，物块A恰好离开挡板，此时细绳断裂。小球C与GH间的动摩擦因数，重力加速度g取，弹簧始终处于弹性限度内，细绳不可伸长，求： (1)弹簧的劲度系数； (2)在细绳断裂后的瞬间，小球C对圆轨道的压力； (3)为了让小球C能进入光滑圆轨道且不脱离圆轨道，GH间的距离满足的条件。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【详解】（1）小球C位于E处时，绳无张力且物块B静止，故弹簧处于压缩状态，对B由平衡条件有 当A恰好离开挡板时，A的加速度为0，故弹簧处于拉升状态，对A由平衡条件有 由几何关系知 代入数据解得 （2）物块C在E处与在F处时，弹簧的形变量相同，弹性势能相同，C从E处到F处，A、B、C系统的机械能相等，有 将C在F处的速度分解，C沿绳方向的分速度等于B的速度，由速度分解关系有 代入数据解得 在F处，对C由牛顿第二定律有 代入数据解得 由牛顿第三定律，小球C对圆轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （3）物块运动到H的速度减为0时，由F运动到H过程中，根据动能定理有 解得 物块运动到光滑圆轨道圆心等高处时速度减为0，由F运动到运动到光滑圆轨道圆心等高处过程中，根据动能定理有 解得 GH间的距离满足的条件 17．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，游戏装置固定于同一竖直截面内，分别由发射器K、长的水平轨道、半径的圆形轨道、控制器J，水平轨道、半径的圆弧轨道、长的倾斜直轨道和挡板Q组成，圆弧轨道半径与水平方向夹角，直轨道与半径垂直，各部分平滑连接。质量的物块与水平轨道和倾斜轨道间的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。发射器K最大弹性势能，其弹出物块时，弹性势能全部转化为物块的动能。物块从左侧进入控制器J时无阻力通过，从右侧进入时会被锁定。物块大小忽略不计，与挡板Q碰撞后等速率反弹，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（）求： (1)若发射器弹出的物块恰好通过圆形轨道最高点，则物块通过圆形轨道最低点时受到轨道的支持力大小； (2)若发射器弹出的物块能通过点，但不脱离轨道，则发射器弹性势能的范围。 【答案】(1)6N (2)J≤≤J，J≤≤J，J≤≤J 【详解】（1）物块恰好通过圆形轨道最高点，根据牛顿第二定律 解得m/s 物块到过程，由机械能守恒 解得m/s 物块在点由牛顿第二定律 得N （2）物块恰好能通过点，根据能量守恒J 物块恰能到点，则J 物块恰能通过点，根据牛顿第二定律 解得m/s 根据能量守恒J 物块恰能到点J 挡板Q反弹后物块匀速下滑，恰能通过点进入圆弧轨道，则J。 所以，发射器弹性势能的范围为J≤≤J，J≤≤J，J≤≤J。 18．（24-25高一下·湖北·期中）某种装置如图所示，左端固定的轻弹簧可以锁定在不同的压缩状态，弹簧原长小于 AB间距离且始终处于弹性限度内。质量的小滑块紧靠弹簧右端，滑块与弹簧不栓接，光滑水平面的右端在 B点与倾角的传送带平滑连接，传送带以恒定速率顺时针转动，传送带两转轴间的距离，滑块与传送带的动摩擦因数，传送带在C点与光滑的圆弧轨道相切，圆弧轨道半径，E为圆弧最高点，D与圆心等高。已知重力加速度，。 (1)当弹簧锁定后所储存的弹性势能是时，将滑块由静止释放，求滑块到达B点时已与弹簧分离的速度的大小； (2)求滑块通过传送带的过程中，因摩擦产生的热量 Q以及电动机因传送滑块多做的功； (3)若轻弹簧锁定位置可调，为了使滑块可以进入圆弧轨道，又不会中途脱离圆轨道，求弹簧的弹性势能大小应满足的条件。 【答案】(1) (2)40J； (3)或 【详解】（1）对滑块在AB段分析，根据能量守恒定律有 解得 （2）因， ，所以滑块在传送带上减速运动 根据牛顿第二定律 解得 设滑块在传送带上运动时间为，则 解得 因此时滑块的速度 故滑块可达到传送带顶端 传送带的位移 则滑块与传送带的相对位移为 摩擦产生的热量 电动机因传送滑块多做的功 （3）滑块不脱离圆轨道有两种情况：一种是滑块最多运动至D点，时速度为零，一种是能通过 E点。 ①滑块恰能进入圆弧轨道，即 滑块从B到C，根据运动学公式有 滑块恰能到达D点，滑块从C到D，根据动能定理有 滑块从B到C，根据运动学公式有 ②滑块恰能到达E点 解得 滑块从C到E，根据动能定理有 滑块从B到C，根据运动学公式有 综上所述，弹性势能的取值范围是或。 试卷第2页，共31页 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化09：功能关系 【题型归纳】 · 题型一：功能关系的理解 · 题型二：能量守恒的简单应用 · 题型三：功能关系在曲线运动的应用 · 题型四：功能关系在弹簧类的应用 · 题型五：功能关系在滑板滑块的应用 · 题型六：功能关系在传送带问题的应用 · 题型七：功能关系在连接体的应用 · 题型八：功能关系在多过程运动的应用 【题型探究】 题型一：功能关系的理解 【典例1】．（25-26高一下·四川成都·期中）国家航天局发布了我国首次火星探测任务天问一号探测器着陆过程两器分离和着陆后祝融号拍摄的影像。接下来祝融号和轨道器相互锁定，在转运机构的作用下，一起被转移到火星表面，假设祝融号和轨道器总质量为M，当它们从静止开始，以恒定的加速度竖直下降，下落高度为h时，速度为v，若火星表面的重力加速度为g’ ，对于这个过程，下列说法正确的是（　　） A．重力做功为Mgh，重力势能减少了Mgh B．机械能减少了Mg’h− C．转运机构做功为Mg’h+ D．合外力做功为−Mg’h 【变式1】．（25-26高一下·贵州遵义·期中）从某高台将一物体静止释放直至落地过程中，该物体的机械能和动能随它离开平台的距离h的变化关系如图所示，重力加速度g取。由图中数据可得（　　） A．该物体的质量为4kg B．物体到达地面时的末速度大小为 C．物体下降过程中，所受阻力的大小为10N D．物体下降至时，物体的重力势能 【变式2】．（25-26高一下·福建龙岩·期中）悬崖跳水是一项极具挑战性的极限运动，需要运动员具有非凡的胆量和过硬的技术。跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设质量为m的运动员刚入水时的速度为v，水对他的阻力大小恒为F，那么在他减速下降深度为h的过程中，下列说法正确的是（g为当地的重力加速度）（　　） A．他的机械能守恒 B．他的机械能减少了 C．他的重力势能减少了 D．他的合力做功为 题型二：能量守恒的简单应用 【典例2】．（24-25高一下·天津河西·期末）子弹以水平速度射向原来静止在光滑水平面上的木块，并留在木块中，最终和木块一起运动。已知子弹受到的平均阻力大小为f，射入深度为d，子弹射入木块的过程中木块移动的距离为L，忽略空气阻力，在子弹和木块相互作用的射入过程中，下列说法正确的是（    ） A．子弹动能的减少量一定等于木块动能的增加量 B．子弹和木块组成的系统机械能减少量为 C．子弹动能的减少量为 D．木块动能的增加量为 【变式1】．（23-24高一下·北京海淀·期末）某同学尝试用无人机空投包裹。他先让无人机带着质量为m的包裹（含降落伞）升空并悬停在距离地面H处的空中，某时刻无人机释放了包裹，下落的加速度大小恒为；在包裹下落h时打开降落伞做减速运动，加速度大小恒为，当落到地面时，速度大小为v。已知重力加速度为g。下列判断不正确的是（　　） A．包裹从开始下落h时的动能为 B．包裹从打开降落伞到落到地面这个过程中，合力所做的功为 C．根据题中信息可以求出整个过程包裹重力的平均功率 D．根据题中信息可以求出整个过程包裹机械能的减少量 【变式2】．（23-24高一下·浙江杭州·期中）如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地三百多米高的桥面一跃而下，实现了自然奇观与极限运动的完类结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度，在运动员开伞前下落h的过程中，下列说法错误的是（　　） A．重力对运动员做功为 B．运动员克服阻力做功为 C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了 题型三：功能关系在曲线运动的应用 【典例3】．（25-26高一下·北京海淀·期中）如图所示，粗糙水平面与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相切，导轨半径为。一质量为的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨恰好运动至最高点C。已知物块与水平面间的动摩擦因数，AB之间的距离为，物块沿半圆形导轨由B运动至C过程中损失的机械能为，重力加速度取。不计空气阻力影响。求： (1)物体在C点的速度的大小； (2)物块刚进入圆轨道B点时所受到的支持力大小； (3)弹簧最初压缩时储存的弹性势能。 【变式1】．（24-25高一下·甘肃武威·期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体（可视为质点）将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，之后沿半圆形导轨运动。重力加速度 为g。 (1)若物体经过B点进入半圆形导轨的瞬间，导轨对其的支持力大小是重力的9倍，之后恰能到达最高点C，求物体从B点运动至C点的过程中摩擦力所做的功； (2)若竖直面内的半圆形导轨光滑，为保证物体能滑上半圆形导轨且中途不脱离导轨，求在A点静止释放物体时弹簧弹性势能的取值范围； (3)若竖直面内的半圆形导轨光滑，在A点静止释放物体时弹簧弹性势能为，求物体脱离导轨时距离水平面AB的高度。 【变式2】．（24-25高一下·新疆巴州·期末）如图所示，在竖直平面内，粗糙的斜面轨道AB 的下端与光滑的圆弧轨道BCD相切于B，C是最低点，圆心角 ，D与圆心O等高，圆弧轨道半径 ，现有一个质量为 0.2kg可视为质点的小物体，从D点的正上方E点处自由下落，D、E两点间的距离 ，物体与斜面AB之间的动摩擦因数μ=0.5，取 ，不计空气阻力。 (1)求物体第一次通过C点时物体对轨道的压力 的大小； (2)要使物体不从斜面顶端飞出，求斜面的长度至少要多长； (3)若斜面已经满足（2）的要求，物体从E点开始下落，直至最后在光滑圆弧轨道做周期性运动，求在此过程中系统损失的机械能E的大小和物体在斜面上滑动的总路程s。 【变式1】．（25-26高一上·浙江台州·期末）如图甲，倾角为的斜面OA中段BC为阻尼区域，一轻质弹簧下端固定在斜面底端A点，上端位于C点。以O为坐标原点，沿斜面向下建立Ox轴，质量的滑块从O点沿斜面静止下滑，滑块与OC段的动摩擦因数为，在阻尼区域BC所受附加阻力与速度成正比，比例系数为。滑块从O到C的过程中，其机械能E随x变化的关系如图乙。已知CA段光滑，弹簧始终处于弹性限度内，劲度系数，弹性势能表达式（为形变量），，。 (1)滑块从O到B的过程中，机械能的减少量等于________（选填“合力做功”或“克服摩擦力做功”）； (2)求动摩擦因数和滑块运动到B处时的动能； (3)求比例系数和滑块运动到C处时的机械能； (4)求弹簧的最大弹性势能。 【变式2】．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径。一个质量为的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，物体经过B点的速度为，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度为，重力加速度g取。求： (1)弹簧压缩至A点时的弹性势能； (2)物体沿半圆形导轨运动过程中克服阻力所做的功； (3)若水平面AB粗糙，长为2m，半圆形导轨光滑，已知物体与水平面间的动摩擦因数随位移x变化的图像如图乙所示，求物体经过C点时对导轨的压力。 题型五：功能关系在滑板滑块的应用 【典例5】．（24-25高一下·河南郑州·期末）如图所示，质量为的足够长木板放在粗糙水平面上，长木板的左端紧靠一平台且上表面与光滑平台平齐。半径为的光滑圆弧形轨道固定在平台上，且圆弧底端与平台相切。质量为、可视为质点的物体由距离平台高处静止释放，物体刚好由圆弧轨道的最高点进入圆弧轨道，物体运动到最低点时对轨道的压力为。现将物体从处静止释放，经过一段时间后从圆弧滑下，经光滑平台滑上长木板；当物体在长木板上相对长木板滑动的距离为时，物体与长木板达到共同速度，且该过程中物体运动的位移是长木板运动位移的4倍。重力加速度取。求： (1)物体的质量； (2)物体与长木板之间的动摩擦因数，长木板与水平面之间的动摩擦因数； (3)试判断物体与木板共速后各自的运动性质，要求写出判断理由；并求出共速后到静止的过程中，木板损失的机械能。 【变式1】．（24-25高一下·江苏苏州·月考）如图所示，从A点以的水平速度抛出一质量的小物块（可视为质点，不计空气阻力），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入固定在地面上的半径的粗糙圆弧轨道，其中轨道C端切线水平，当小物块运动到轨道末端C时对轨道的压力大小为。随后小物块滑上静止在粗糙水平面的长木板上，已知长木板的质量，物块与长木板之间的动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，半径与竖直半径间的夹角。取，求： (1)小物块运动至B点时的速度大小； (2)小物块在粗糙圆弧轨道上运动的过程中，摩擦力所做的功？ (3)若长木板长为，则自小物块滑上长木板起，到它们最终都停下来的过程中，小物块与长木板间产生的热量及地面与长木板间产生的热量各为多少？ 【变式2】．（23-24高一下·天津和平·阶段练习）有一个可视为质点的小物块，质量为，小物块从光滑平台上的A点以的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为的长木板，如图所示。已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数，圆弧轨道的半径为，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角。不计空气阻力，g取求： （1）小物块从A到C所需的时间； （2）小物块刚到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力大小； （3）要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大。 小物块由C到D的过程中，由机械能守恒定律得 题型六：功能关系在传送带问题的应用 【典例6】．（24-25高一下·江西宜春·期末）一杂技演员踩小独轮车沿图示路径表演。轨道是由水平直轨道和圆弧轨道构成，两轨道在点相切，是倾角为的传送带，连线水平，间距，轨道和传送带在同一竖直平面内。演员沿轨道行进，在点腾空，在点沿方向以臀部接触传送带的坐姿滑上传送带。演员裤料和传送带间的动摩擦因数，传送带长，以的速度顺时针匀速转动，演员的质量为，重力加速度取，独轮车的质量不计，演员和独轮车均可视为质点，不计空气阻力，求： (1)演员在点的速度大小； (2)演员从运动到的过程中，传送带对演员所做的功。 【变式1】．（24-25高一下·浙江宁波·期末）如图所示，某固定装置由长度的水平传送带，圆心角、半径的两光滑圆弧管道BC、CD及粗糙水平面DE组成，且处有一竖直挡板，装置各部分间平滑连接。质量的物块从传送带左端A点由静止释放经过BCD滑出圆弧管道。已知传送带以速度顺时针转动，物块a与传送带的动摩擦因数为，物块与粗糙水平面的动摩擦因数，DE长度，物块视为质点，不计空气阻力，取重力加速度。 (1)求物块第一次到达点过程中与传送带之间因摩擦产生的热量； (2)求物块第一次到达点时对管道的作用力； (3)物块每次与挡板碰撞后均按原速率反弹，求最终物块停止的位置。 【变式2】．（24-25高一下·山东济宁·期末）如图所示，在竖直平面内，一过山车轨道模型与传送带平滑连接。过山车轨道模型由三部分组成，AB段为倾角的直轨道，BCDE段为半径的光滑圆形轨道，EF段为光滑水平轨道，三部分之间平滑连接。传送带的长度为，与水平面的夹角也为。一质量为的滑块（可视为质点）从倾斜轨道上的A点由静止开始下滑，并恰好能通过圆形轨道的最高点D，最终可滑上传送带。已知滑块和倾斜轨道、传送带间的动摩擦因数分别为、，滑动摩擦力等于最大静摩擦力，传送带顺时针转动的速率，重力加速度大小，，。求： (1)滑块经过圆形轨道最低点C时对轨道的压力FN的大小； (2)A点距B点的高度差h； (3)电动机因传送滑块多消耗的电能。 题型七：功能关系在连接体的应用 【典例7】．（24-25高一下·安徽·期末）如图甲所示，轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一质量为的物体。一不可伸长的轻绳跨过定滑轮，两端分别与物体和质量为的物体连接。用手托住物体，使弹簧处于原长，然后无初速度释放，物体下落到最低点的距离为。不计空气阻力、定滑轮质量及转轴摩擦，重力加速度大小为，弹簧的形变始终在弹性限度内，轻绳和弹簧始终处于竖直状态。求： (1)物体下落到最低点时弹簧的弹性势能； (2)用手托住物体，使轻绳中恰好无拉力，然后无初速度释放，若弹簧的劲度系数为，物体的最大速度（结果保留根式）； (3)如图乙所示，将物体放在动摩擦因数为、倾角为的固定斜面上，用手按住物体，恰能使弹簧处于原长。若要使物体下滑的最大距离也为，给物体沿斜面向下的初速度（、瞬间同时获得相同的速度大小）至少多大（结果保留根式）。 【变式1】．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图所示，一倾角的光滑倾斜轨道与水平轨道平滑连接，水平轨道上M点的左侧光滑、右侧粗糙且足够长。质量均为的滑块A和B，用长且与斜面平行的轻杆相连，置于光滑倾斜轨道上，B到斜面底端P点的距离、两点的距离均为L，滑块与粗糙轨道间的动摩擦因数均为。两滑块可视为质点，不计两滑块经过P点的机械能损失，重力加速度g取。现同时静止释放A、B，求： (1)A从释放运动到P点过程中，两滑块系统重力势能的减少量； (2)A从释放运动到P点过程中，轻杆对A做的功； (3)A停止运动时的位置与M点的距离。 【变式2】．（24-25高一下·黑龙江大庆·期中）如图所示，顶端带有轻质滑轮的光滑斜劈固定在水平面上，斜面倾角为37°，转轴固定在天花板上的O点，O点与斜劈等高，长为L的轻杆一端可绕转轴在竖直平面内自由转动，另一端固定一小球P，一根不可伸长的轻绳绕过定滑轮A（大小不计），一端与小球P相连，另一端与斜面底端的滑块Q相连，已知，P、Q两物体质量都为m，滑块Q与水平面间的动摩擦因数μ=0.5.释放小球P，当P摆到最低点时，小球P与杆和绳子脱离，之后运动中，小球P落地时立即静止。小球、滑块均可看作质点，不计转轴及滑轮摩擦力的影响，sin37°=，重力加速度为g。求： (1)小球P脱离瞬间，小球P和滑块Q的速度大小的比值和滑块Q的重力势能增加量； (2)小球P脱离瞬间，小球P的速度大小；（结果可用根式表示） (3)若O点离水平面的高度为h=6.1m，L=4.1m，小球P、滑块Q最终的水平距离。（重力加速度g=10m/s²） 题型八：功能关系在多过程运动的应用 【典例8】．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，左侧为一倾角为（未知）的斜面，右侧为竖直光滑圆弧轨道与另一足够长的斜面平滑相接（斜面沿端的切线方向），其中圆弧轨道的两端A、C关于过圆心的竖直线对称，为圆弧轨道的最低点。一滑块从的顶端处，以初速度沿斜面切线方向飞出，经恰好无碰撞地从端沿圆弧切线方向进入竖直光滑圆弧轨道ABC，然后从端冲上斜面，在上减速到零后又反向滑回。已知滑块从点进入开始到第二次经过该斜面上的点所经的时间间隔，滑块质量，斜面的顶端与端的水平间隔，圆弧轨道的半径，滑块与斜面E间的动摩擦因数，重力加速度，不计空气阻力。求 (1)斜面倾角的正切值； (2)滑块第一次经过点时，对轨道的压力大小； (3)滑块从进入开始到第二次经过的过程中，它与斜面间因摩擦产生的热量。 【变式1】．（25-26高一下·贵州遵义·期中）如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径，A端切线水平。水平轨道BC与半径的光滑圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，且与倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后滑上传送带EF。已知圆弧轨道CD对应的圆心角，，小球与传送带EF间的动摩擦因数，g取，，。求： (1)小球对A点的压力； (2)小球在C点受到的支持力； (3)若传送带顺时针运转的速率为，求小球从E端到F端所用的时间以及摩擦产生的热量Q。 【变式2】．（24-25高一下·山东临沂·期末）如图所示，长度的轻质细绳一端悬挂在点，另一端系着一质量的金属物块，将轻绳拉直，让轻绳从偏离竖直方向的位置由静止释放物块，物块运动到最低点时，轻绳刚好被拉断。物块继续运动后沿切线方向进入半径的光滑圆弧轨道，圆弧轨道的圆心为水平且与成角，点为圆弧轨道的最低点，与一粗糙的水平面相切。物块经圆弧轨道后沿水平面继续运动，压缩右侧一端固定在竖直墙壁的轻质弹簧。物块与水平地面的动摩擦因数，弹簧初始处于自然伸长状态。物块压缩弹簧至最远处点（图中未画出）后，被弹簧反弹到达圆弧轨道点时对轨道压力恰好为0。忽略空气阻力，重力加速度，弹簧始终处在弹性限度内，物块可视为质点。（）求： (1)轻绳的最大张力； (2)物块经过点时对轨道的压力大小； (3)物块压缩弹簧最远处点距点的长度及弹簧具有的最大弹性势能； (4)弹簧的弹性势能的表达式为弹簧的形变量），弹簧的劲度系数，在物块第一次反弹到点时，迅速缩短轨道的长度，使物块从点沿圆弧轨道滑下再次被弹簧反弹后恰好停在点，轨道长度应缩短多少。 【专题训练】 1．（25-26高一下·山东烟台·期中）如图所示，的倾斜轨道固定在水平滑道的左侧，水平滑道的右侧固定一个竖直挡板，挡板的左侧固定一劲度系数的轻质弹簧，弹簧处于原长时，其自由端位于滑道上的点。水平滑道只有段粗糙，其余部分光滑，段长度。现将一个质量为可视为质点的滑块，从倾斜轨道上距水平轨道高度处的点由静止释放，不计空气阻力和滑块进入水平轨道时的能量损失，滑块与倾斜轨道间的动摩擦因数，与段间的动摩擦因数，已知弹簧在整个作用过程中未超过弹性限度，弹簧的弹性势能表达式为（为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量），重力加速度，，求 (1)弹簧的最大形变量； (2)滑块再次返回时的最大高度； (3)滑块最终停下来的位置。 2．（25-26高一下·福建宁德·期中）如图所示，光滑水平平台高，BC为一段光滑圆弧轨道，其圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，为60°，BC的高度差。一不计厚度、质量的长木板静止于粗糙水平面上，左端置于C点，右端与D点固定的竖直挡板相距。质量的小物块压缩弹簧至K点，弹簧与小物块不拴接，形变在弹性限度内。释放小物块，弹簧恢复原长后小物块从A点滑离平台，恰好能无碰撞地从B点进入圆弧形轨道，然后经过C点滑上长木板，继续运动。长木板向右运动与挡板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），以原速率返回。碰撞后立即撤去挡板，运动过程中小物块始终未滑离长木板。已知物块与长木板间动摩擦因数，长木板与地面间的动摩擦因数，取。求： (1)小物块由A到B的运动时间t（结果可以保留根号）； (2)弹簧被压缩至K点时具有的弹性势能； (3)全程小物块与长木板因摩擦产生的热量。 3．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图所示，AB为竖直光滑圆弧的直径，其半径R＝0.9m，A端沿水平方向。水平轨道BC与半径r＝0.5m的光滑圆弧轨道CDE相接于C点，D为圆轨道的最低点，圆弧轨道CD、DE对应的圆心角。圆弧和倾斜传送带EF相切于E点，EF的长度为l＝5m。一质量为m＝1kg的物块（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从A点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后物块滑上传送带EF。已知物块与传送带EF间的动摩擦因数＝0.5，取，。求： (1)物块从A点飞出的速度大小； (2)物块到达C点时对C点的压力大小； (3)若传送带以速度v＝10m/s逆时针匀速转动，试求物块从E到达传送带最高点的过程中摩擦产生的热量。 4．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）光滑圆弧轨道固定于地面上，半径，所对圆心角为53°，其末端与逆时针转动的水平传送带相切于B点，如图所示，传送带长为l，速度恒为，一质量为1kg的滑块从最高点A由静止开始滑下并滑上水平传送带，在传送带上运动一段时间后返回B点，滑块与传送带之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，重力加速度g取． (1)求滑块运动到B点时对圆弧轨道的压力大小； (2)求传送带长度l的最小值； (3)从滑块滑上传送带到返回B点的过程中，滑块与传送带之间因摩擦产生的热量； (4)从滑块滑上传送带到返回B点的过程中，相比电动机带动传动带空转，滑块滑上传送带后，电动机多消耗的电能。 5．（24-25高一下·海南海口·期末）如图所示，静止的水平传送带的左端有一固定的半径为的竖直四分之一光滑圆弧轨道，末端B点与长为的传送带相切，右端有一固定的倾角为30°的光滑斜面。一质量为的滑块（可视为质点）从圆弧轨道的顶端A点由静止释放，经过C点后立即让传送带以的速率顺时针方向匀速转动，滑块第一次冲上斜面能达到的最高点为D。已知传送带与滑块间的动摩擦因数为，不计空气阻力，滑块经过B和C点时均无碰撞造成机械能损失，重力加速度。求： (1)滑块经过B点时受到轨道的支持力FN大小和C、D两点间的距离d； (2)滑块第二次滑上传送带后，向左滑行的最远距离x0和向左运动的时间； (3)滑块从第二次滑上传送带到离开传送带过程中，滑块与传送带之间因摩擦而产生的热量Q。 6．（24-25高一下·湖南·期末）如图所示，固定的粗糙弧形轨道下端点切线水平，上端与点的高度差为，倾斜传送带与水平方向的夹角为，传送带的上端点与点的高度差为（传送带传动轮的大小可忽略不计）。一质量为的滑块（可看作质点）从轨道的点由静止滑下，然后从点水平抛出，恰好以平行于传送带的速度从点落到传送带上，传送带逆时针转动，速度大小为，滑块与传送带间的动摩擦因数为，且传送带足够长，滑块运动过程中空气阻力忽略不计，，，，试求： (1)滑块运动至点时的速度大小； (2)滑块由到运动过程中克服摩擦力做的功； (3)滑块在传送带上运动时与传送带摩擦产生的热量。 7．（24-25高一下·广东深圳·期末）如图所示，倾角固定斜面的底端与光滑水平面BC平滑相连，水平传送带CD两端间距离为L=3m，传送带沿顺时针方向匀速运行，速度大小为v=6m/s，传送带上表面与光滑水平面DE在同一水平面内。水平面DE与半径为的竖直半圆形光滑轨道EF相切，现将质量为m=1kg的小物块（可看成质点）从斜面上高处的A点由静止释放，运动到B点的速度为vB=1m/s，小物块滑过传送带及水平面DE后从E点进入半圆形轨道，通过最高点F点后做平抛运动落在水平面上的G点。已知小物块与传送带上表面间的动摩擦因数为，，，重力加速度，不计空气阻力，求： (1)小物块与斜面之间的动摩擦因数； (2)小物块运动到半圆轨道最高点F时对轨道的压力大小FN； (3)传送带因传送货物多消耗的能量E0。 8．（24-25高一下·陕西榆林·期末）如图所示，有一个可视为质点、质量的小物块，初速度为零，经由水平顺时针转动的传送带从最左端A送到最右端B，滑过光滑水平面后，滑上紧靠面末端的质量的静止长木板。已知传送带速度恒为，传送带间长度，木板上表面与面相平，木板下表面光滑，小物块与传送带、长木板上表面间的动摩擦因数均为0.40。长木板足够长，不计空气阻力，重力加速度取。求： (1)小物块到达点的速度大小； (2)木板获得的最大速度； (3)整个运动过程中，因摩擦产生的热量（结果可用分数表示）。 9．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）如图所示，固定在竖直面内的四分之一圆弧轨道，半径为，轨道底端切线水平且与水平传送带左端平滑相连，传送带顺时针转动，运行速度大小为。一质量为可视为质点的物块从轨道顶端由静止开始下滑，运动到圆弧轨道底端时对轨道压力大小为自身重力的2倍。已知物块与传送带间动摩擦因数为，传送带轮中心间距为，重力加速度为。求： (1)物块在圆弧轨道运动过程中所受阻力做的功； (2)物块离开传送带时速度的大小； (3)由于传送物块，传送带多消耗的电能。 10．（24-25高一下·浙江台州·期末）某同学玩“弹射游戏”装置如图所示，轨道BC由两个半径均为R=0.1m的圆形管道和圆单侧轨道拼接而成位于竖直面内，管道内直径大于小正方形滑块边长，且远小于R。轻弹簧左端固定，自然状态下弹簧右端位于O点，用质量为m=0.02kg的小滑块将弹簧压缩x0到A位置，由静止释放，小滑块恰能通过单侧轨道的最高点C，其中，OB段长为R，动摩擦因数μ为0.5，其它处摩擦不计，假设弹簧弹性势能与形变量的平方成正比。求： (1)小滑块到达最高点C的速度vC大小及小滑块落地点到B点的距离xB； (2)若弹簧的压缩量增为2x0，其它条件不变，小滑块经过B时对管道的弹力FN； (3)要使小滑块在BC轨道上运动过程中不脱离轨道，弹簧的弹性势能要满足的条件。 11．（24-25高一下·广东广州·期末）某场地利用传送带自动运输货物至平台EF，该装置由圆心为的四分之一光滑圆弧轨道AB、粗糙水平轨道BC、倾角为竖直放置的传送带CE和平台EF组成。传送带在电动机带动下以速度，顺时针匀速传动。运输时，货物由圆心等高处的A点由静止释放，经过轨道BC，传送带CE，滑上平台EF。已知可视为质点的货物质量，圆弧AB的半径，轨道BC的长度，传送带长度，，货物与传送带之间的动摩擦因数，货物经过轨道连接处时的能量损失忽略不计，，则 (1)货物下滑至轨道AB的最低点时，对圆弧轨道的压力大小； (2)若货物达到传送带底端C点时速度大小为0，求货物在传送带CE上运动的时间； (3)若货物达到传送带底端C点时速度大小为0，求因为传递货物，电动机额外消耗的电能； (4)要使货物刚到达平台E点时的速度大小为，求货物与BC段水平轨道的动摩擦因数的大小范围（结果请用分数表示） 12．（24-25高一下·福建泉州·期中）如图所示，固定的光滑弧形轨道AB，底端与一逆时针转动的水平传送带左端平滑连接于B点，传送带的速度大小，AB的高度差为，传送带BC的长度为，右端与水平面CE平滑连接于C点，其中CD段粗糙，长度为，DE段光滑。在E处固定一轻质弹簧，其处于原长时左端恰好位于D点。现让质量为的小物块从A点静止释放。已知小物块与传送带、水平面CD的动摩擦因数分别为和，取重力加速度大小，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)小物块第一次到达B点时的速度大小； (2)小物块第一次压缩弹簧时的最大弹性势能； (3)小物块在水平面CD所产生的热量Q． 13．（24-25高一下·四川成都·期中）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，下端恰好与粗糙水平面MN平滑对接，与水平面等高且绷紧的水平传送带在电动机带动下始终以恒定速度顺时针运行。质量为的小物块由圆弧轨道顶端P点无初速度释放，滑到M点后向左运动，经N点滑上传送带，经一段时间后小物块又返回至传送带的右端。已知M、N两点间的距离，小物块与水平面和传送带间的动摩擦因数均为，g取，传送带足够长，不计空气阻力，小物块可视为质点，不考虑小物块由水平面滑上传送带的能量损失。求： (1)小物块运动到圆弧轨道底端时受到圆弧轨道的支持力大小； (2)小物块向左运动第一次到达N点时的速度大小； (3)全过程中小物块与传送带间因摩擦产生的热量和全过程中电动机多消耗的能量。 14．（24-25高一下·山西·期中）如图所示，放置在水平台面的轻质弹簧左端固定且处于原长状态，P点左侧光滑，长的PN部分粗糙，平台右侧等高处紧靠长的水平传送带，其右端与竖直平面内半径的光滑圆弧轨道相切于M，O为圆心，半径OM竖直，OA与OM的夹角。传送带始终以大小的速度沿逆时针传动，一质量的物块（可视为质点）从A点由静止释放。物块与台面PN部分及传送带间的动摩擦因数均为，重力加速度g取，弹簧始终在弹性限度内。求： (1)物块刚滑上传送带时的加速度； (2)轻弹簧被压缩后具有的最大弹性势能； (3)物块最终停止的位置到P的距离。 15．（24-25高一下·河北唐山·期中）如图所示，长度、顺时针匀速转动的传送带左端平滑连接一水平轨道，右端平滑连接一固定光滑圆弧轨道，一轻弹簧左端固定在水平轨道上，弹簧原长时右端位于O点，水平面上O点左侧光滑，右侧段粗糙，的圆弧轨道上C点处有一沿径向的挡板，C处半径与竖直方向间的夹角为θ（），现将一质量的物块放在弹簧右端，且用一水平向左的外力推动物块压缩弹簧，使得弹簧弹性势能，后撤去外力，物块向右运动。从A点滑上传送带，经B点进入圆弧轨道。已知传送带顺时针转动的速度，物块和间的动摩擦因数，和传送带间的动摩擦因数，水平面，物块和挡板碰撞前后速度大小不变，方向反向，物块可看作质点，忽略空气阻力，重力加速度。求： (1)物块运动到A点时的速度大小； (2)物块运动到C点时圆弧轨道对物块的支持力及物块最终停止时的位置与O点间的距离； (3)若传送带的速度可调，要使物块在圆弧轨道上运动时不脱轨，则传送带速度的范围。 16．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图所示，在倾角为底端有挡板的足够长光滑斜面上，一轻质弹簧两端连接质量均为的物块A和B。物块A紧靠着挡板，物块B通过一轻质细绳跨过光滑定滑轮与质量的小球C（可视为质点）相连，与物块B相连的细绳平行于斜面。小球C在外力作用下静止在光滑圆弧轨道的最高点E处，此时细绳恰好伸直且无拉力，圆弧轨道的圆心角为、半径，最低点F与光滑水平轨道FG相切。水平轨道与倾角为的粗糙斜面GH平滑连接（即物体经过G点时速度大小不变），半径的光滑圆轨道与斜面在H点相切。现由静止释放小球C，当小球C滑至F点时，物块A恰好离开挡板，此时细绳断裂。小球C与GH间的动摩擦因数，重力加速度g取，弹簧始终处于弹性限度内，细绳不可伸长，求： (1)弹簧的劲度系数； (2)在细绳断裂后的瞬间，小球C对圆轨道的压力； (3)为了让小球C能进入光滑圆轨道且不脱离圆轨道，GH间的距离满足的条件。 17．（24-25高一下·浙江·期中）如图所示，游戏装置固定于同一竖直截面内，分别由发射器K、长的水平轨道、半径的圆形轨道、控制器J，水平轨道、半径的圆弧轨道、长的倾斜直轨道和挡板Q组成，圆弧轨道半径与水平方向夹角，直轨道与半径垂直，各部分平滑连接。质量的物块与水平轨道和倾斜轨道间的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。发射器K最大弹性势能，其弹出物块时，弹性势能全部转化为物块的动能。物块从左侧进入控制器J时无阻力通过，从右侧进入时会被锁定。物块大小忽略不计，与挡板Q碰撞后等速率反弹，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。（）求： (1)若发射器弹出的物块恰好通过圆形轨道最高点，则物块通过圆形轨道最低点时受到轨道的支持力大小； (2)若发射器弹出的物块能通过点，但不脱离轨道，则发射器弹性势能的范围。 18．（24-25高一下·湖北·期中）某种装置如图所示，左端固定的轻弹簧可以锁定在不同的压缩状态，弹簧原长小于 AB间距离且始终处于弹性限度内。质量的小滑块紧靠弹簧右端，滑块与弹簧不栓接，光滑水平面的右端在 B点与倾角的传送带平滑连接，传送带以恒定速率顺时针转动，传送带两转轴间的距离，滑块与传送带的动摩擦因数，传送带在C点与光滑的圆弧轨道相切，圆弧轨道半径，E为圆弧最高点，D与圆心等高。已知重力加速度，。 (1)当弹簧锁定后所储存的弹性势能是时，将滑块由静止释放，求滑块到达B点时已与弹簧分离的速度的大小； (2)求滑块通过传送带的过程中，因摩擦产生的热量 Q以及电动机因传送滑块多做的功； (3)若轻弹簧锁定位置可调，为了使滑块可以进入圆弧轨道，又不会中途脱离圆轨道，求弹簧的弹性势能大小应满足的条件。 试卷第2页，共31页 2 学科网（北京）股份有限公司 $