专题强化04：开普勒定律、万有引力理论应用【6大题型 培优】-2025-2026学年高一下学期物理《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列(人教版必修第二册)

本讲义聚焦开普勒定律和万有引力理论应用核心知识点，系统梳理开普勒三定律（轨道、面积、周期关系）及万有引力在天体质量密度计算、空壳内引力分析、重力与万有引力关系等应用，构建从定律理解到技巧归纳再到题型探究的学习支架。 资料以题型分类为特色，含6大题型及“例题+举一反三”变式训练，融入科学思维（如空壳引力计算的模型建构）和科学推理（如周期与轨道半径关系推导），课中辅助教师系统教学，课后助力学生通过真实情境问题巩固知识，查漏补缺。

专题强化04：开普勒定律、万有引力理论应用 【题型归纳】 【技巧归纳】 1.开普勒定律理解 （1）根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2； （2）根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r＝R； 2.天体质量和密度的计算 　 注意：（1）天体表面的重力加速度g＝，是g的决定式，具有普适性。 （2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝。 【题型探究】 题型1：开普勒行星运动定律 【例1】．（25-26高一上·浙江杭州·期末）有关开普勒三大定律，结合下图，下面说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆中心 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间长 D．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故A错误； B．由开普勒第二定律可知地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点运行的速率比远日点运行的速率大，故B错误； C．由开普勒第三定律可知火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间长，故C正确； D．在相等时间内，同一行星与太阳的连线扫过的面积相等，故D错误。 故选C。 【举一反三】 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．离太阳越近的行星的运动周期越长 【答案】C 【详解】AB．根据开普勒第一定律，行星轨道是椭圆，太阳处在焦点上，故AB错误； C．根据开普勒第三定律，所有行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方成正比，即，其中k只与中心天体有关，同一个中心天体k相等，故C正确； D．根据开普勒第三定律，离太阳越近，半长轴a越小，周期T越短，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·河南商丘·阶段练习）理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体（包括卫星绕行星的运动）都适用。对于开普勒行星运动定律的说法正确的是（　　） A．只适用于轨道是椭圆的运动 B．卫星绕地球运动的速度是不变的 C．若地球绕太阳运转轨道的长半轴为，周期为，卫星绕地球运转轨道的长半轴为，周期为，则 D．行星绕太阳运动时，关于公式中的k值是一个与行星无关的量 【答案】D 【详解】A．开普勒定律不仅适用于椭圆轨道，也适用于圆轨道（视为椭圆特例），故A错误； B．根据开普勒第二定律，卫星绕地球运动时速度大小和方向会变化（椭圆轨道），或速度方向变化（圆轨道），故B错误； C．地球绕太阳的k由太阳质量决定，卫星绕地球的k由地球质量决定，两者k不同，故，C错误； D．公式中的k仅与中心天体（太阳）质量有关，与行星无关，故D正确。 故选D。 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）2025年2月28日前后，在夜空观察时，太阳系中的土星、水星、海王星、金星、天王星、木星和火星将大致连成一条直线，上演“七星连珠”天象，则下列说法正确的是（　　） A．金星和火星在相同时间内与太阳连线扫过的面积相同 B．火星在近日点的速度大于火星在远日点的速度 C．这些行星的轨迹是椭圆，太阳在椭圆中心 D．七星连成一线时角速度恰好相同 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第二定律，同一行星在相同时间内与太阳连线扫过的面积相等，但金星和火星是不同行星，轨道参数不同，扫过的面积速率不同，A错误； B．根据开普勒第二定律，行星在近日点速度最大，远日点速度最小，火星在近日点的速度大于远日点的速度，B正确； C．开普勒第一定律指出行星轨道是椭圆，但太阳位于椭圆的一个焦点上，而非中心，C错误； D．行星角速度由轨道半径决定，根据开普勒第三定律，轨道半径越大，公转周期越大，角速度越小，七星连珠时各行星角速度不同，D错误。 故选B。 题型2：万有引力的基本计算 【例2】．（24-25高一下·广西南宁·月考）2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 【答案】C 【详解】设嫦娥六号探测器质量为m，月球质量为m月，地球质量为m地，该位置到月球中心和地球中心的距离分别为r1、r2，由万有引力定律可得，月球对探月卫星的引力，地球对探月卫星的引力 由以上两式可得 故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）两个小球的间距为r时，它们之间的万有引力为F。下列说法正确的是（    ） A．仅将其中一个小球的质量变为2倍，它们之间的万有引力变为F B．仅将间距变为2倍时，它们之间的万有引力变为 C．将两个小球的质量都变为2倍，间距也变为2倍，它们之间的万有引力仍为F D．将两个小球质量变为2倍，间距变为倍，它们之间的万有引力变为8F 【答案】C 【详解】A．根据万有引力公式，仅将其中一个小球质量变为2倍时，引力为 ，故A错误； B．根据万有引力公式，间距变为2倍时，引力为 ，故B错误； C．根据万有引力公式，两球质量均变为2倍且间距变为2倍时，引力为 ，故C正确； D．根据万有引力公式，两球质量变为2倍且间距变为倍时，引力为 ，故D错误。 故选C。 2．（24-25高一下·北京西城·期末）人造卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对它的万有引力大小为F。若该卫星绕地球运动的轨道半径增大为原来的2倍，则地球对它的万有引力大小将变为（　　） A． B． C．2F D．4F 【答案】B 【详解】根据万有引力公式 引力大小与轨道半径的平方成反比。当轨道半径增大为原来的2倍时，新的引力为 故选B。 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知地球质量约为火星质量的10倍。一火星探测器在地球与火星之间，当地球对它的引力与火星对它的引力大小相等时，探测器距地球的距离与距火星的距离之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球质量为，火星质量为。探测器到地球的距离为，到火星的距离为。根据万有引力定律，当引力相等时 得 因此探测器距地球与火星的距离之比为。 故选C。 题型3：空壳内万有引力的计算 【例3】．（24-25高一下·广西贵港·月考）有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用“割补法”可知，剩余部分对m1的万有引力为， 联立可得，故选C。 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，是一个半径为，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为R的球，并在空心球内某点P放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量G，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由P点指向 B．方向由指向 C．大小为 D．大小为 【答案】B 【详解】AB．设球的密度为，则实心大球质量可表示为，由题意可知质量分布均匀的薄球壳对壳内物体的引力为零，实心大球对P点的引力等于以为半径的实心小球对质点P的引力。以为半径的实心小球的质量为 所以为半径的实心小球对P点的引力为 同理，以为半径的实心小球的质量为 则以为半径的实心小球对P点的引力为 受力情况如下图，由几何关系可知 故平行于，故A错误B正确； CD．由上述分析可知，解得，故CD错误。 故选B。 2．（24-25高一下·北京·期中）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质量均匀的球壳对壳内万有引力的合力为零，故作如下图所示下等效。 由可知，密度一样，球的质量和半径的三次方成正比。设距离为b，距离为a，大球（红色虚线）对Q点物体的引力为 小球（绿色虚线）对Q点的引力为 故Q点物体受力为 由 联立得 故选D。 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由公式和 解得挖去的小体质量 由题意及万有引力公式，可知 挖去的小球体与质点间的万有引力大小 则剩余球体部分对质点的万有引力大小 可知 故选C。 题型4：万有引力和重力的关系 【例4】．（24-25高一下·云南昭通·期末）一质量为m的物体，在南极测得其重力大小为G1，在赤道测得其重力大小为G2。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球半径为R，引力常量为G，则地球自转的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在南极，物体所受重力等于万有引力，即 在赤道，物体重力为万有引力与向心力的差值，即 联立两式可得 解得地球自转角速度 故选B。 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北保定·期末）某宇航员到一未知星球进行科学考察，在该星球两极处测量一质量为m 的物体，其重力为F₁，在赤道处测量同一物体的重力为F₂。已知该星球的自转周期为T，该星球的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在两极处，重力等于万有引力，有 在赤道处，物体随星球自转做圆周运动，有 其中角速度，代入得 联立解得，星球半径。 故选A。 2．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A位置的重力加速度为g，在A位置，根据万有引力等于重力，得 在D位置，物体受到的地球的万有引力等于物体的重力与向心力的合力，则得 E位置的向心加速度为 解得 故选B。 3．（24-25高一下·湖北·期中）某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的 n倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设物体质量为，极地的重力加速度为g，赤道的重力加速度为，由万有引力定律和重力的定义可得 由牛顿第二定律可得 联立解得 故选C。 题型5：计算中心天体的质量和密度 【例5】．（24-25高一下·海南海口·期中）已知月球绕地球做圆周运动的半径为，周期为，地球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．地球的质量为 B．地球的质量为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【答案】A 【详解】AB．月球绕地球做圆周运动的向心力由地球对月球的万有引力提供，则根据 可得地球的质量为，选项A正确，B错误； CD．地球的密度为，选项CD错误。 故选A。 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北·期末）若某航天器绕靠近土星表面的圆形轨道做匀速圆周运动，运行圈历时，视土星为均匀球体，引力常量为，不考虑土星自转。则土星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】航天器绕土星表面附近做圆周运动，轨道半径近似等于土星半径。运行圈历时，周期。 万有引力提供向心力 可得 土星体积 密度公式 代入周期可得 故选A。 2（24-25高一下·四川·期中）已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球球心之间的距离为L，月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运动，引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．地球的质量为 B．月球的质量为 C．地球的密度为 D．月球运动的加速度为 【答案】C 【详解】AC．月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力 解得地球的质量为 又知地球的体积 则地球的密度为 故A错误，C正确。 B．根据万有引力定律而列出的公式可知月球质量将会约去，所以无法求出月球的质量，故B错误； D．月球绕地球做圆周运动，由万有引力提供向心力 解得月球运动的加速度为 故D错误。 故选C。 3．（24-25高一下·山东聊城·期中）北京时间2025年1月7日，实践二十五号卫星发射升空，为超期服役的“北斗三号”G7星注入142公斤推进剂，使后者寿命延长8年。若“北斗三号”G7星在预定轨道做匀速圆周运动的周期为，其轨道半径和地球半径的比值为，引力常量为，则地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球的质量为M，“北斗三号”G7星的质量为m，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律则有 解得 故地球的密度为 由题可知 整理可得 故选C。 题型6：万有引力理论成就应用 【例16】．（24-25高一下·辽宁·期中）密度均匀的某天体质量为M，半径为R，距离其球心r处质量为m的卫星围绕它做匀速圆周运动（忽略天体自转的影响）。已知引力常量为G。求： (1)该天体表面重力加速度g的大小； (2)卫星的动能大小； (3)若假设将该天体中心处挖掉半径为的小球体，放到距离球心L处，且，如图所示，小球体和天体剩余部分的万有引力大小。 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）对于放在天体表面质量为的物体，万有引力提供重力解得 （2）根据卫星万有引力充当向心力解得由可得 （3）根据球体体积公式 可知小球体的质量为 剩余部分的质量为 根据万有引力定律 计算可得 【举一反三】 1．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）2025年2月28日晚，水星、金星、火星、木星、土星、天王星和海王星在太阳的同一侧，按照距离太阳由近到远的顺序，排成一条直线，形成“七星连珠”这一罕见的天文景观。形成这一天文景观的原因是由于各个行星围绕太阳运动的周期不同。假设各行星均围绕太阳做匀速圆周运动，且受到的作用力主要为太阳的引力，不考虑其他星球间的相互影响。形成“七星连珠”这一罕见的天文景观时，金星和火星相距最近。若金星绕太阳运动的轨道半径为r，金星的公转周期为T，火星绕太阳运动的轨道半径为kr，引力常量为G。求： (1)太阳的质量M； (2)经过多少时间金星和火星再次相距最近？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设金星质量为，太阳对金星的万有引力提供火星做圆周运动需要的向心力有 整理得 （2）设火星公转周期为，对于金星和火星，根据开普勒第三定律有 金星和火星再次相距最近时，有 则再次相距最近的时间 2．（24-25高一下·天津红桥·期末）2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样，采样的月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F。已知月球半径为R，引力常量为G。求： (1)月球表面的重力加速度g； (2)月球的质量M和密度ρ； (3)嫦娥六号飞船近月表面环绕的周期T。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F，则有 解得 （2）在月球表面有 联立解得 又 解得月球的密度为 （3）设嫦娥六号飞船质量为，由万有引力提供向心力得 解得 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）按照计划，我们将会在2026年发射“嫦娥七号”探测器，目标是月球南极，着陆点选择在月球南纬85°以上的南极—艾特肯盆地区域，主要的任务之一是在月球南极寻找水冰物质。假设“嫦娥七号”探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知“嫦娥七号”的运行周期为，轨道半径约等于月球球体半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为月球球体半径的倍，引力常量为。据此，请估算出： (1)月球的平均密度； (2)若不考虑月球自转，月球表面重力加速度与月球绕地球公转的向心加速度之比； (3)“嫦娥七号”与月球球心连线、月球与地球球心连线相同时间内扫过的面积之比是不是1∶1？若是，请说明理由；若不是，请求出二者之比。 【答案】(1) (2) (3)不是， 【详解】（1）嫦娥七号绕月球表面做圆周运动，则有，解得 月球的密度为 （2）若忽略月球自转，月球表面附近嫦娥七号所受万有引力等于月球表面附近的重力，有 月球绕地球公转的向心加速度大小为 故月球表面重力加速度与月球绕地球公转的向心加速度之比 （3）不是。“嫦娥七号”与月球球心连线在一个周期时间内扫过的面积为，月球与地球球心连线在一个周期内扫过的面积为，其中；故二者在相同时间内扫过的面积分别为， “嫦娥七号”与月球球心连线、月球与地球球心连线相同时间内扫过的面积之比 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）如图所示，在遥远的银河中有一颗0-50行星，卫星P绕其做匀速圆周运动，卫星Q绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知0-50行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．相同时间内，卫星和与行星连线扫过的面积不相等 D．若卫星和的轨道共面，则它们一定会在交点处相遇 【答案】C 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，绕同一中心天体运行的行星（卫星），其轨道半长轴的三次方与周期的平方之比是一常数，由于卫星P的绕行半径和卫星Q运行轨道的半长轴均为10R，因此二者的周期相等，故A错误； B．卫星Q在椭圆轨道上运动时，近地点H的速度最大，远地点附近速度最小。从H到K的过程中，卫星Q的速度逐渐减小，因此这段路程的平均速度大于从K到远地点的平均速度，所以从H到K的时间小于，故B错误； C．开普勒第二定律（面积定律）是对同一颗行星而言的，即同一行星与中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等。卫星P和Q是两颗不同的卫星，它们的轨道和速度都不同，因此在相同时间内，它们与行星连线扫过的面积不相等，故C正确； D．虽然卫星P和Q的轨道共面且周期相同，但它们的初始位置不一定相同，因此不一定会在交点处相遇，故D错误。 故选C。 2．（25-26高一上·江苏常州·期末）关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．表达式，代表行星与太阳之间的最近距离 C．表达式，与中心天体有关 D．表达式，代表行星运动的公转周期 【答案】B 【详解】A．开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A正确； B．在开普勒第三定律表达式中，代表行星运行轨道的半长轴，而非行星与太阳之间的最近距离，故B错误； C．在开普勒第三定律表达式中，是与中心天体质量相关的常数，故C正确； D．在开普勒第三定律表达式中，代表行星运动的公转周期，故D正确。 题目要求选择不正确的，故选B。 3．（24-25高一下·吉林·期末）物理学在发展完善的过程中，不同年代的物理学家对物理现象进行观察、思考和研究，在实验论证、逻辑推理、演绎论证等基础上建构了如今比较完善的体系。下列描述正确的是（　　） A．开普勒对行星的运动进行了长期的观测和记录，并提出了关于行星运动的三条定律 B．爱因斯坦在寻找万有引力的过程中，应用了牛顿运动定律以及开普勒第三定律 C．卡文迪什用扭秤实验测出了引力常量G，并被称为“称量地球质量的第一人” D．地球和太阳连线与火星和太阳连线在相同时间内扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．开普勒基于第谷的观测数据提出了行星运动三定律，但开普勒本人并未进行长期观测和记录，故A错误； B．万有引力定律是牛顿发现的，牛顿在推导过程中应用了牛顿运动定律和开普勒第三定律；爱因斯坦在建立广义相对论时重新解释了引力，并非“在寻找万有引力的过程中”应用牛顿定律和开普勒定律，故B错误； C．卡文迪什通过扭秤实验精确测定了引力常量，并利用该结果计算了地球质量，因此被称为“称量地球质量的第一人”，故C正确； D．开普勒第二定律指出：对同一行星，其与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。但该定律仅适用于单个行星，不同行星（如地球和火星）的轨道参数不同，因此在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误。 故选C。 4．（24-25高一下·江西上饶·月考）地球静止轨道卫星的轨道半径为。某火星探测器绕火星运行的轨道半径为，运行周期为地球静止轨道卫星运行周期的一半。已知地球质量与火星质量之比为k，则的值为（　　） A．2k B． C． D． 【答案】D 【详解】地球静止轨道卫星绕地球运行时，根据万有引力提供向心力有 所以 火星探测器绕火星运行时，同理可得 又 联立可得 故选D。 5．（25-26高三上·江苏南通·期中）如图所示是卡文迪什测量引力常量所用的扭秤装置，已知反射光线在刻度尺上移动的距离与小球m、间的引力大小成正比。现将小球的质量增加为原来的两倍，m、间的距离减小为原来的一半，则反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的（     ） A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．倍 【答案】A 【详解】设两小球之间的距离为，则有 现将小球的质量增加为原来的两倍，m、间的距离减小为原来的一半，则有 因此反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的8倍。 故选A。 6．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）我国第三代海事卫星采用地球同步卫星和中轨道卫星结合的方案，中轨道卫星在轨做圆周运动的周期为6h，则下列判断正确的是（　　） A．中轨道卫星与同步卫星的轨道半径之比为1：4 B．中轨道卫星与同步卫星受到地球的引力大小之比为16：1 C．若知道地球质量，可以求中轨道卫星距地球表面的高度 D．若知道地球半径及地球表面重力加速度，可以求中轨道卫星的轨道半径 【答案】D 【详解】A．根据开普勒第三定律 中轨道卫星周期，同步卫星周期，代入得，故A错误； B．引力公式为，但题目未说明两卫星质量是否相等，则无法确定引力之比，故B错误； C．由，因地球半径未知，不可以求中轨道卫星距地球表面的高度，故C错误； D．利用黄金代换式， 得，已知地球半径、表面重力加速度及中轨道卫星周期，可计算，故D正确。 故选D。 7．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图所示，质量为M、半径为R的均匀球体，在距离球心3R处有一质量为m的质点。现从球体中挖去一个半径为的小球，其球心与原球心相距。已知引力常量为G，质点、两球球心三者共线，则剩余部分对质点的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】质点与原球心的距离为3R，根据万有引力定律，有 原球体积为 则挖去的小球体积 则挖去的小球的质量为 挖去小球的球心到质点的距离为 则根据万有引力定律，挖去部分对质点的引力为 剩余部分对质点的引力 故选D。 二、多选题 8．（23-24高一下·广东湛江·期中）某行星绕太阳运动的轨道如图所示，则以下说法正确的是（　　） A．太阳在椭圆的一个焦点上 B．该行星在a点的速率比在b、c两点的速率都小 C．该行星在c点的速率比在a、b两点的速率都大 D．行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积是相等的 【答案】AD 【详解】A．根据开普勒第一定律可知，行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上，故A正确； BCD．根据开普勒第二定律可知，太阳与行星的连线在相等的时间内扫过的面积相等，则行星在近日点的速率最大，在远日点的速率最小，故D正确，BC错误。 故选AD。 9．（25-26高三上·北京·月考）设嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得飞船绕月运行周期为T。飞船在月球上着陆后，自动机器人在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处静止释放，经时间t后落到月球表面。已知引力常量为G，由以上数据可以求出的物理量是（　　） A．月球的半径 B．月球的密度 C．月球表面的重力加速度 D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度 【答案】ABC 【详解】C．将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面，则有 可求出月球表面的重力加速度为，故C正确； A．根据向心加速度与周期的关系可得 所以，故A正确； B．根据万有引力近似等于重力有 月球的密度为 联立可得，故B正确； D．设月球绕地球的轨道半径为r′，周期为T′，其向心加速度为 因为不知道月球绕地球的轨道半径以及月球绕地球的周期，所以无法求出月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度，故D错误。 故选ABC。 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的质量为 D．根据已知条件，可估算地球的密度为 【答案】AC 【详解】AB．设地球的质量为，根据牛顿第二定律可得 可得卫星的加速度大小为 则卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为，故A正确，B错误； CD．设有一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径等于题干卫星椭圆轨道的半长轴，即 根据开普勒第三定律可知，圆轨道卫星的周期也为，由万有引力提供向心力得 联立解得地球的质量为 设地球的半径为，由 解得地球的密度为，故C正确，D错误。 故选AC。 11．（24-25高一下·云南·阶段练习）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，假设把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．Q质点受地球的万有引力大小等于P质点 B．P、Q做匀速圆周运动的向心加速度大小相等 C．P质点的重力等于Q质点的重力 D．P、O质点所受地球万有引力的方向均指向地心 【答案】AD 【详解】AD．根据题意，由公式可知，由于P、Q两个质点的质量相等，且距离球心的距离相等，则Q质点受地球的万有引力大小等于P质点受地球的万有引力大小，方向均指向地心，故AD正确； B．P、Q两个质点为同轴转动，角速度相等，由公式可知，由于P、Q两个质点做圆周运动的半径不同，则P、Q做匀速圆周运动的向心加速度大小不相等，故B错误； C．根据题意可知，若考虑地球的自转，则有 可知，由于p质点做圆周运动的半径较大，则P质点做圆周运动所需向心力较大，可得P质点的重力小于Q质点的重力，故C错误。 故选AD。 12．（24-25高一下·陕西汉中·期末）中国计划2033年前后实施金星探测任务，采用“打水漂”采样等创新技术，突破极端环境材料与控制难题，聚焦大气演化、磷化氢来源及生命迹象，填补观测空白。技术领先且与国际任务互补，推动金星研究从观测到采样返回的跨越，助力行星科学发展，彰显航天实力与科学探索深度。已知某探测器绕金星运动的周期为，金星的半径为，金星探测车的质量为，在金星表面的重力大小为，万有引力常量为，忽略金星的自转，则下列正确的是（　　） A．金星的质量为 B．金星表面的重力加速度为 C．金星的平均密度为 D．该探测器距金星地面的高度为 【答案】BC 【详解】B．金星表面的重力加速度为，选项B正确； A．根据 金星的质量为，选项A错误； C．金星的平均密度为，选项C正确； D．该探测器根据 解得该探测器距金星地面的高度为，选项D错误。 故选BC。 13．（24-25高一下·江西上饶·期末）2025年4月24日，我国成功发射神舟二十号载人飞船。如果“神舟二十号”飞船升空后先进入停泊轨道I（即近地圆形轨道），之后进入转移轨道II，最后在中国空间站轨道III与天和核心舱对接。如图所示，已知中国空间站轨道为圆形轨道，距离地面高度为h，飞船在停泊轨道运行的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．可估算得到地球密度为 B．可估算得到地球密度为 C．“神舟二十号”飞船在中国空间站轨道运行的线速度大小为 D．“神舟二十号”飞船在中国空间站轨道运行的线速度大小为 【答案】BC 【详解】AB．由题可知，在停泊轨道上，万有引力提供飞船圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得 解得 地球的密度，故A错误，B正确； CD．飞船在空间站轨道运行时，万有引力提供飞船圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律可得 在地球表面，则有 联立解得“神舟二十号”飞船在中国空间站轨道运行的线速度大小为，故C正确，D错误。 故选BC。 三、解答题 14．（24-25高一下·贵州黔西·期末）2023年中国建成全球首个量子通信网络，其中“济南一号”为量子微纳卫星，实现了超远距离星地之间的量子保密通信，使中国航天走在世界前列，“济南一号”的运行周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转，地球的体积公式为，求： (1)地球的平均密度； (2)“济南一号”的轨道半径r与地球半径R的比值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在地球表面有 解得地球质量为 又 解得地球的平均密度为 （2）“济南一号”绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力得 联立可得“济南一号”的轨道半径r与地球半径R的比值为 15．（24-25高一下·安徽宣城·期末）我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，2024年5月3日，长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场点火发射，将嫦娥六号送入地月转移轨道，6月2日，嫦娥六号探测器着陆器和上升器组合体成功着陆月背预选着陆区。设想嫦娥六号探测器着陆月背前贴近月球表面做匀速圆周运动，在月球软着陆后，自动机器人在月球表面上沿竖直方向以初速度抛出一个小球，测得小球运动到最高点的时间为t，已知月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀。求： (1)月球的质量M； (2)探测器贴近月球表面做匀速圆周运动的速度v和周期T。 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）根据题意，设月球表面的重力加速度为g，则有 又有 联立解得 （2）根据题意，由万有引力提供向心力有 解得， 16．（24-25高一下·北京海淀·期末）忽略其他天体影响，月球绕地球的运动可视为是半径为的匀速圆周运动。已知地球表面重力加速度为，地球半径为。仅考虑地球和月球之间的相互作用，忽略地球自转。 (1)求月球绕地球运动的向心加速度大小。 (2)求月球绕地球运动的速度大小。 (3)卡文迪什精确测量了两个球心相距为、质量分别为和的两球之间的万有引力大小，从而算出了万有引力常量，并进一步算出了地球的质量。请根据卡文迪什的测量计算出地球质量。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设地球质量为，地球表面某物体质量为，月球质量为，根据万有引力与重力的关系，有 由牛顿第二定律，有 解得月球绕的向心加速度 （2）万有引力定律提供向心力，有   解得月球绕地球运动的轨道速度 （3）根据万有引力定律，有 可得地球质量 17．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小问探测器绕地球做圆周运动的轨道半径为地心到拉格朗日点的距离，即 探测器与月球绕地球运动的周期相同，故二者角速度相等。对月球，地球对月球的引力提供其做圆周运动的向心力，有 化简得探测器的角速度 探测器的线速度 代入数据得 （2）已知 则探测器轨道半径 探测器所受地球引力与月球引力的合力提供向心力，设探测器质量为，有 得 整理得 解得月球质量与地球质量的比值 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化04：开普勒定律、万有引力理论应用 【题型归纳】 【技巧归纳】 1.开普勒定律理解 （1）根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运动时，相等时间内扫过的面积相等，则v1r1＝v2r2； （2）根据开普勒第三定律，＝k，若为椭圆轨道，则r为半长轴，若为圆轨道，则r＝R； 2.天体质量和密度的计算 　 注意：（1）天体表面的重力加速度g＝，是g的决定式，具有普适性。 （2）若绕行天体绕中心天体表面（如近地）做匀速圆周运动时，轨道半径r≈R，则中心天体的密度ρ＝。 【题型探究】 题型1：开普勒行星运动定律 【例1】．（25-26高一上·浙江杭州·期末）有关开普勒三大定律，结合下图，下面说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处于椭圆中心 B．地球绕太阳在椭圆轨道上运行，在近日点和远日点运行的速率相等 C．火星绕太阳运行一周的时间比地球绕太阳运行一周的时间长 D．在相等时间内，火星和太阳的连线扫过的面积与地球和太阳的连线扫过的面积相等 【举一反三】 1．（25-26高一上·北京海淀·期末）开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上 B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 C．所有行星轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 D．离太阳越近的行星的运动周期越长 2．（24-25高一下·河南商丘·阶段练习）理论和实践证明，开普勒行星运动定律不仅适用于太阳系中的天体运动，而且对一切天体（包括卫星绕行星的运动）都适用。对于开普勒行星运动定律的说法正确的是（　　） A．只适用于轨道是椭圆的运动 B．卫星绕地球运动的速度是不变的 C．若地球绕太阳运转轨道的长半轴为，周期为，卫星绕地球运转轨道的长半轴为，周期为，则 D．行星绕太阳运动时，关于公式中的k值是一个与行星无关的量 3．（24-25高一下·江苏南通·月考）2025年2月28日前后，在夜空观察时，太阳系中的土星、水星、海王星、金星、天王星、木星和火星将大致连成一条直线，上演“七星连珠”天象，则下列说法正确的是（　　） A．金星和火星在相同时间内与太阳连线扫过的面积相同 B．火星在近日点的速度大于火星在远日点的速度 C．这些行星的轨迹是椭圆，太阳在椭圆中心 D．七星连成一线时角速度恰好相同 题型2：万有引力的基本计算 【例2】．（24-25高一下·广西南宁·月考）2024年5月，嫦娥六号探测器在中国文昌航天发射场成功发射，并准确进入地月转移轨道，发射任务取得圆满成功。已知地球质量大约是月球质量的81倍，在嫦娥六号探测器经过地月之间某一位置时，月球对它的引力大小是地球对它的引力大小的9倍，则该位置到月球中心和地球中心的距离之比为（　　） A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 【举一反三】 1．（24-25高一下·内蒙古赤峰·期中）两个小球的间距为r时，它们之间的万有引力为F。下列说法正确的是（    ） A．仅将其中一个小球的质量变为2倍，它们之间的万有引力变为F B．仅将间距变为2倍时，它们之间的万有引力变为 C．将两个小球的质量都变为2倍，间距也变为2倍，它们之间的万有引力仍为F D．将两个小球质量变为2倍，间距变为倍，它们之间的万有引力变为8F 2．（24-25高一下·北京西城·期末）人造卫星绕地球做匀速圆周运动，地球对它的万有引力大小为F。若该卫星绕地球运动的轨道半径增大为原来的2倍，则地球对它的万有引力大小将变为（　　） A． B． C．2F D．4F 3．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知地球质量约为火星质量的10倍。一火星探测器在地球与火星之间，当地球对它的引力与火星对它的引力大小相等时，探测器距地球的距离与距火星的距离之比为（　　） A． B． C． D． 题型3：空壳内万有引力的计算 【例3】．（24-25高一下·广西贵港·月考）有一质量为2m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m1的质点。现从2m的大球体中挖去半径为的小球体，如图所示，则剩余部分对质点m1的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示，是一个半径为，质量为M的密度均匀球体的球心，现在其内以为球心挖去一个半径为R的球，并在空心球内某点P放置一个质量为m的质点。若已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，万有引力常量G，则球剩余部分对该质点的万有引力（　　） A．方向由P点指向 B．方向由指向 C．大小为 D．大小为 2．（24-25高一下·北京·期中）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。某天体的质量为M（视为质量分布均匀的球体），半径为R，引力常量为G。若在该天体内部挖出一半径r=的巨大球形空腔（挖出的物质运走至无穷远处），空腔与天体表面相切，如图所示。O和O′分别为该天体和空腔的球心，空腔内Q点与球心O′的距离为，Q、O′和O在同一直线上。则质量为m的质点在Q处受到天体剩余部分的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东深圳·期中）有一质量为、半径为、密度均匀的球体，在距离球心为的地方有一质量为的质点，两者之间的万有引力大小为。现从球体中挖去一个半径为的小球体，如图所示，剩余球体部分对质点的万有引力大小为，则的值为（　　） A． B． C． D． 题型4：万有引力和重力的关系 【例4】．（24-25高一下·云南昭通·期末）一质量为m的物体，在南极测得其重力大小为G1，在赤道测得其重力大小为G2。地球可视为质量分布均匀的球体。已知地球半径为R，引力常量为G，则地球自转的角速度大小为（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北保定·期末）某宇航员到一未知星球进行科学考察，在该星球两极处测量一质量为m 的物体，其重力为F₁，在赤道处测量同一物体的重力为F₂。已知该星球的自转周期为T，该星球的半径为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北宜昌·期中）我国航天科学家在进行深空探索的过程中发现有颗星球具有和地球一样的自转特征。如图所示，假设该星球绕AB轴自转，CD所在的赤道平面将星球分为南北半球，OE连线与赤道平面的夹角为30°，经测定，A位置的重力加速度为g，D位置的重力加速度为g，则E位置的向心加速度为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·期中）某行星为质量分布均匀的球体，半径为R，质量为M。科研人员研究同一物体在该行星上的重力时，发现物体在“两极”处的重力为“赤道”上某处重力的 n倍。已知引力常量为G，则该行星自转的角速度为（　　） A． B． C． D． 题型5：计算中心天体的质量和密度 【例5】．（24-25高一下·海南海口·期中）已知月球绕地球做圆周运动的半径为，周期为，地球的半径为，引力常量为，下列说法正确的是（    ） A．地球的质量为 B．地球的质量为 C．地球的密度为 D．地球的密度为 【举一反三】 1．（24-25高一下·河北·期末）若某航天器绕靠近土星表面的圆形轨道做匀速圆周运动，运行圈历时，视土星为均匀球体，引力常量为，不考虑土星自转。则土星的平均密度为（　　） A． B． C． D． 2（24-25高一下·四川·期中）已知地球半径为R，月球半径为r，地球与月球球心之间的距离为L，月球绕地球公转的周期为T1，地球自转的周期为T2，地球绕太阳公转周期为T3，假设公转运动都视为圆周运动，引力常量为G，由以上条件可知（　　） A．地球的质量为 B．月球的质量为 C．地球的密度为 D．月球运动的加速度为 3．（24-25高一下·山东聊城·期中）北京时间2025年1月7日，实践二十五号卫星发射升空，为超期服役的“北斗三号”G7星注入142公斤推进剂，使后者寿命延长8年。若“北斗三号”G7星在预定轨道做匀速圆周运动的周期为，其轨道半径和地球半径的比值为，引力常量为，则地球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 题型6：万有引力理论成就应用 【例16】．（24-25高一下·辽宁·期中）密度均匀的某天体质量为M，半径为R，距离其球心r处质量为m的卫星围绕它做匀速圆周运动（忽略天体自转的影响）。已知引力常量为G。求： (1)该天体表面重力加速度g的大小； (2)卫星的动能大小； (3)若假设将该天体中心处挖掉半径为的小球体，放到距离球心L处，且，如图所示，小球体和天体剩余部分的万有引力大小。 【举一反三】 1．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）2025年2月28日晚，水星、金星、火星、木星、土星、天王星和海王星在太阳的同一侧，按照距离太阳由近到远的顺序，排成一条直线，形成“七星连珠”这一罕见的天文景观。形成这一天文景观的原因是由于各个行星围绕太阳运动的周期不同。假设各行星均围绕太阳做匀速圆周运动，且受到的作用力主要为太阳的引力，不考虑其他星球间的相互影响。形成“七星连珠”这一罕见的天文景观时，金星和火星相距最近。若金星绕太阳运动的轨道半径为r，金星的公转周期为T，火星绕太阳运动的轨道半径为kr，引力常量为G。求： (1)太阳的质量M； (2)经过多少时间金星和火星再次相距最近？ 2．（24-25高一下·天津红桥·期末）2024年6月，嫦娥六号探测器在人类历史上首次实现月球背面采样，采样的月壤质量为m，测得其在月球表面的重力为F。已知月球半径为R，引力常量为G。求： (1)月球表面的重力加速度g； (2)月球的质量M和密度ρ； (3)嫦娥六号飞船近月表面环绕的周期T。 3．（24-25高一下·安徽·阶段练习）按照计划，我们将会在2026年发射“嫦娥七号”探测器，目标是月球南极，着陆点选择在月球南纬85°以上的南极—艾特肯盆地区域，主要的任务之一是在月球南极寻找水冰物质。假设“嫦娥七号”探测器在登陆月球之前环绕月球表面做匀速圆周运动，如图所示。已知“嫦娥七号”的运行周期为，轨道半径约等于月球球体半径，月球绕地球近似做匀速圆周运动的周期为，轨道半径为月球球体半径的倍，引力常量为。据此，请估算出： (1)月球的平均密度； (2)若不考虑月球自转，月球表面重力加速度与月球绕地球公转的向心加速度之比； (3)“嫦娥七号”与月球球心连线、月球与地球球心连线相同时间内扫过的面积之比是不是1∶1？若是，请说明理由；若不是，请求出二者之比。 【专题强化】 一、单选题 1．（25-26高一上·江西景德镇·期末）如图所示，在遥远的银河中有一颗0-50行星，卫星P绕其做匀速圆周运动，卫星Q绕其运行的轨迹为椭圆，两卫星的绕行方向均为顺时针方向，为椭圆轨道的“近地点”，为椭圆轨道的上顶点。已知0-50行星的半径为，卫星的绕行半径和卫星运行轨道的半长轴均为，卫星的周期为，引力常量为，忽略行星的自转，不计两卫星之间的作用力。下列说法正确的是（　　） A．卫星的运行周期为 B．卫星从点运行到点所需的时间为 C．相同时间内，卫星和与行星连线扫过的面积不相等 D．若卫星和的轨道共面，则它们一定会在交点处相遇 2．（25-26高一上·江苏常州·期末）关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．表达式，代表行星与太阳之间的最近距离 C．表达式，与中心天体有关 D．表达式，代表行星运动的公转周期 3．（24-25高一下·吉林·期末）物理学在发展完善的过程中，不同年代的物理学家对物理现象进行观察、思考和研究，在实验论证、逻辑推理、演绎论证等基础上建构了如今比较完善的体系。下列描述正确的是（　　） A．开普勒对行星的运动进行了长期的观测和记录，并提出了关于行星运动的三条定律 B．爱因斯坦在寻找万有引力的过程中，应用了牛顿运动定律以及开普勒第三定律 C．卡文迪什用扭秤实验测出了引力常量G，并被称为“称量地球质量的第一人” D．地球和太阳连线与火星和太阳连线在相同时间内扫过的面积相等 4．（24-25高一下·江西上饶·月考）地球静止轨道卫星的轨道半径为。某火星探测器绕火星运行的轨道半径为，运行周期为地球静止轨道卫星运行周期的一半。已知地球质量与火星质量之比为k，则的值为（　　） A．2k B． C． D． 5．（25-26高三上·江苏南通·期中）如图所示是卡文迪什测量引力常量所用的扭秤装置，已知反射光线在刻度尺上移动的距离与小球m、间的引力大小成正比。现将小球的质量增加为原来的两倍，m、间的距离减小为原来的一半，则反射光线在刻度尺上移动的距离将变为原来的（     ） A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．倍 6．（24-25高一下·河南驻马店·阶段练习）我国第三代海事卫星采用地球同步卫星和中轨道卫星结合的方案，中轨道卫星在轨做圆周运动的周期为6h，则下列判断正确的是（　　） A．中轨道卫星与同步卫星的轨道半径之比为1：4 B．中轨道卫星与同步卫星受到地球的引力大小之比为16：1 C．若知道地球质量，可以求中轨道卫星距地球表面的高度 D．若知道地球半径及地球表面重力加速度，可以求中轨道卫星的轨道半径 7．（24-25高一下·辽宁·阶段练习）如图所示，质量为M、半径为R的均匀球体，在距离球心3R处有一质量为m的质点。现从球体中挖去一个半径为的小球，其球心与原球心相距。已知引力常量为G，质点、两球球心三者共线，则剩余部分对质点的万有引力大小为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高一下·广东湛江·期中）某行星绕太阳运动的轨道如图所示，则以下说法正确的是（　　） A．太阳在椭圆的一个焦点上 B．该行星在a点的速率比在b、c两点的速率都小 C．该行星在c点的速率比在a、b两点的速率都大 D．行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积是相等的 9．（25-26高三上·北京·月考）设嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得飞船绕月运行周期为T。飞船在月球上着陆后，自动机器人在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处静止释放，经时间t后落到月球表面。已知引力常量为G，由以上数据可以求出的物理量是（　　） A．月球的半径 B．月球的密度 C．月球表面的重力加速度 D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度 10．（24-25高一下·辽宁丹东·期末）截至2024年7月，我国在轨卫星的数量已超过900颗，这些卫星服务于通信、导航、遥感、气象、科学研究等多个领域。现有一颗人造地球卫星绕地球做椭圆运动，近地点到地心距离为a，远地点到地心距离为b，周期为T。已知引力常量为G，地球为质量均匀的球体，下列说法正确的是（　　） A．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 B．卫星在近地点与远地点的加速度大小之比为 C．根据已知条件，可估算地球的质量为 D．根据已知条件，可估算地球的密度为 11．（24-25高一下·云南·阶段练习）如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上，假设把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　） A．Q质点受地球的万有引力大小等于P质点 B．P、Q做匀速圆周运动的向心加速度大小相等 C．P质点的重力等于Q质点的重力 D．P、O质点所受地球万有引力的方向均指向地心 12．（24-25高一下·陕西汉中·期末）中国计划2033年前后实施金星探测任务，采用“打水漂”采样等创新技术，突破极端环境材料与控制难题，聚焦大气演化、磷化氢来源及生命迹象，填补观测空白。技术领先且与国际任务互补，推动金星研究从观测到采样返回的跨越，助力行星科学发展，彰显航天实力与科学探索深度。已知某探测器绕金星运动的周期为，金星的半径为，金星探测车的质量为，在金星表面的重力大小为，万有引力常量为，忽略金星的自转，则下列正确的是（　　） A．金星的质量为 B．金星表面的重力加速度为 C．金星的平均密度为 D．该探测器距金星地面的高度为 13．（24-25高一下·江西上饶·期末）2025年4月24日，我国成功发射神舟二十号载人飞船。如果“神舟二十号”飞船升空后先进入停泊轨道I（即近地圆形轨道），之后进入转移轨道II，最后在中国空间站轨道III与天和核心舱对接。如图所示，已知中国空间站轨道为圆形轨道，距离地面高度为h，飞船在停泊轨道运行的周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　） A．可估算得到地球密度为 B．可估算得到地球密度为 C．“神舟二十号”飞船在中国空间站轨道运行的线速度大小为 D．“神舟二十号”飞船在中国空间站轨道运行的线速度大小为 三、解答题 14．（24-25高一下·贵州黔西·期末）2023年中国建成全球首个量子通信网络，其中“济南一号”为量子微纳卫星，实现了超远距离星地之间的量子保密通信，使中国航天走在世界前列，“济南一号”的运行周期为T，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转，地球的体积公式为，求： (1)地球的平均密度； (2)“济南一号”的轨道半径r与地球半径R的比值。 15．（24-25高一下·安徽宣城·期末）我国月球探测计划嫦娥工程已经启动，2024年5月3日，长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场点火发射，将嫦娥六号送入地月转移轨道，6月2日，嫦娥六号探测器着陆器和上升器组合体成功着陆月背预选着陆区。设想嫦娥六号探测器着陆月背前贴近月球表面做匀速圆周运动，在月球软着陆后，自动机器人在月球表面上沿竖直方向以初速度抛出一个小球，测得小球运动到最高点的时间为t，已知月球半径为R，万有引力常量为G，月球质量分布均匀。求： (1)月球的质量M； (2)探测器贴近月球表面做匀速圆周运动的速度v和周期T。 16．（24-25高一下·北京海淀·期末）忽略其他天体影响，月球绕地球的运动可视为是半径为的匀速圆周运动。已知地球表面重力加速度为，地球半径为。仅考虑地球和月球之间的相互作用，忽略地球自转。 (1)求月球绕地球运动的向心加速度大小。 (2)求月球绕地球运动的速度大小。 (3)卡文迪什精确测量了两个球心相距为、质量分别为和的两球之间的万有引力大小，从而算出了万有引力常量，并进一步算出了地球的质量。请根据卡文迪什的测量计算出地球质量。 17．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点L1发射一探测器，使其与月球同周期绕地球运动。地球和月球对在拉格朗日点L1上的探测器的万有引力不可忽略，而在拉格朗日点L1上的空探测器对地球和月球的万有引力可忽略不计。在拉格朗日点L1上的探测器可看作质点，地球和月球均可视作均匀的球体。 (1)若已知引力常量G、地球质量M1、月球质量未知、地心到月心的距离r、拉格朗日点到月心的距离d。求该探测器绕地球做圆周运动的线速度大小？ (2)若，求月球质量M2与地球质量M1的比值？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $