微专题2　函数的对称性 导学案——2027届高三数学一轮复习

微专题2　函数的对称性 多元视角·拓展教材　开放式拓展 实现一个“广” 视角一　轴对称 题型1　一个函数的自对称 例1 已知函数f(x＋2)是偶函数，f(x)在(－∞，2]上单调递增，则不等式f(3x＋2)<f(x＋1)的解集为(　　) A．(－∞，－，＋∞) B．(－) C．(－∞，－，＋∞) D．(－) [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)若函数＝f(x＋a)为偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)f(a＋x)＝f(b－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝＝对称． 推论1：f(a＋x)＝f(a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； 推论2：f(x)＝f(2a－x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； 推论3：f(－x)＝f(2a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称，则函数f（x）在关于x＝a对称的两个区间上的单调性相反． 　跟踪训练　定义在R上的函数f(x)满足f(4－x)＝f(x)，且当x≥2时，f(x)单调递增，则不等式f(2－x)≥f(x＋1)的解集为(　　) A．[，＋∞) B．(0，] C．(－∞，] D．(－∞，－] 题型2　两个函数的互对称 例2 (2026·盐城模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝f(4－x)，若y＝|x－2|与y＝f(x)图象的交点为)，(x5，y5)，(x6，y6)，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝(　　) A．－4 B．0 C．8 D．12 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a成轴对称，特别地，当a＝0时，函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，推广：两个函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称． 　跟踪训练　已知函数y＝f(3－x)与y＝f(1＋x)关于直线x＝a对称，则a＝________． 视角二　中心对称 例3 (链接·2024年新高考Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　真题探源　(源自人教A版必修一P87T13改编)我们知道，函数y＝f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称图形的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．则函数y＝x3－3x2图象的对称中心为________． 学霸笔记：(1)若函数y＝f(x＋a)为奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． (2)f(a＋x)＋f(b－x)＝2c⇔y＝f(x)的图象关于点(，c)对称． 推论1：f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称； 推论2：f(x)＋f(2a－x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称； 推论3：f(－x)＋f(2a＋x)＝2b⇔y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称． 　跟踪训练　(2026·日照模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，其中m∈N*，则＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 视角三　中心对称与轴对称的应用 例4 (链接·2021年新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则(　　) A．f(－)＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0 [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a＜b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)． (2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)． (3)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心点B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|. 　跟踪训练　(2026·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)－1为奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)＝2，则f(3)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－3 提示：请完成微专题2 微专题2　函数的对称性 例1　解析：因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x)的对称轴是x＝2，因为f(x)在(－∞，2]上单调递增，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，由f(3x＋2)<f(x＋1)，有或x>，所以不等式的解集为∪.故选C. 答案：C 跟踪训练　解析：由f(4－x)＝f(x)，得f(x)图象的对称轴为x＝2，又当x≥2时，f(x)单调递增，且f(2－x)≥f(x＋1)，∴|(2－x)－2|≥|(x＋1)－2|，即x2≥(x－1)2，解得x≥.故选A. 答案：A 例2　解析：因为f(x)＝f(4－x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，又因为y＝|x－2|的图象关于直线x＝2对称，所以函数y＝|x－2|与y=f(x)图象的交点也关于直线x＝2对称，故x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＝4×3＝12.故选D. 答案：D 跟踪训练　解析：设点P(x0，y0)是函数y＝f(3－x)图象上的任意一点，则有y0＝f(3－x0)，又点P(x0，y0)关于直线x＝a的对称点Q(2a－x0，y0)在y＝f(1＋x)的图象上，∴y0＝f(1＋x0)＝f[1＋(2a－x0)]，即有f[1＋(2a－x0)]＝f(3－x0)，∴1＋2a－x0＝3－x0，∴a＝1. 答案：1 例3　证明：方法一　因为f(2－x)＝＝－[ln x－ln (2－x)＋ax＋b(x－1)3]＋2a＝－f(x)＋2a，即f(2－x)＋f(x)＝2a， 所以曲线y＝f(x)是关于(1，a)成中心对称的图形． 方法二　f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)， 设P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点， P(m，n)关于(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)． 因为P(m，n)在y＝f(x)图象上，故n＝ln ＋am＋b(m－1)3， 而f(2－m)＝ln ＋a(2－m)＋b(2－m－1)3 ＝－＋2a ＝－n＋2a，所以Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上， 由P的任意性可得y＝f(x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)． 真题探源　解析：f(x)=,若函数f(x＋a)－b＝(x＋a)3－3(x＋a)2－b为奇函数，则有f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，变形得f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，则有(－x＋a)3－3(－x＋a)2＋(x＋a)3－3(x＋a)2＝2b，即－x3＋3ax2－3a2x＋a3＋x3＋3ax2＋3a2x＋a3－3(x2－2ax＋a2＋x2＋2ax＋a2)＝2b，即＋a3－3a2＝b，所以解得 答案：(1，－2) 跟踪训练　解析：因为函数f(x)满足f(－x)＝2－f(x)，即函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，所以y＝f(x)关于点(0，1)对称，函数y＝等价于y＝1＋，所以函数y＝也关于点(0，1)对称，所以函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，也关于点(0，1)对称，故交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对点都关于点(0，1)对称，所以＝(x1＋x2＋…＋xm)＋(y1＋y2＋…＋ym)＝0＋×2＝m.故选B. 答案：B 例4　解析：因为函数f(x＋2)为偶函数，则f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x＋3)＝f(1－x)，因为函数f(2x＋1)为奇函数，则f(1－2x)＝－f(2x＋1)，所以f(1－x)＝－f(x＋1)，所以f(x＋3)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，即f(x)＝f(x＋4)，故函数f(x)是以4为周期的周期函数，因为函数F(x)＝f(2x＋1)为奇函数，则F(0)＝f(1)＝0，故f(－1)＝－f(1)＝0，其他三个选项未知． 答案：B 跟踪训练　解析：由y＝f(x)－1为奇函数有f(－x)＋f(x)＝2，y＝f(x＋1)为偶函数有f(1－x)＝f(1＋x)⇒f(x)＝f(2－x)，所以有f(－x)＋f(2－x)＝2，即f(x)＋f(2＋x)＝2⇒f(x＋2)＋f(x＋4)＝2，所以f(x＋4)＝f(x)函数f(x)的周期为T＝4，所以f(2 025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝2，又f(1)＋f(3)＝2⇒f(3)＝0.故选C. 答案：C 学科网（北京）股份有限公司 $