4.9 解三角形应用举例导学案-2027届高三数学一轮复习

第九节　解三角形应用举例 知识清单 测量中的几个有关术语 术语 名称 术语意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角 方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ＜360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α： 坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)东南方向与南偏东45°方向相同．(　　) (2)从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.(　　) (3)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围是.(　　) (4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角的大小范围一般是.(　　) 2．(人教A版必修二P53T8改编)如图，在测量河对岸的塔高AB时，测量者选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D，并测得∠BDC＝120°，∠BCD＝15°，CD＝20，在点C处测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝(　　) A．20 B．20 C．30 D．30 3．(人教A版必修二P50例11改编)如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/时的速度沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现一个小岛C在其东偏南15°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为________海里. 4．(人教A版必修二P49例9改编)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得∠ADC＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°.若测得DC＝(单位：千米)，则A，B两点的距离为________千米． 考教衔接·活用教材　探究式精练 收获一个“赢” 命题点一　距离问题 例1 (2026·昆明月考)一艘轮船在大海航行到达A处时，望见北偏东60°方向有一座灯塔B，此时船和灯塔相距30海里，然后船沿北偏东30°的方向航行到达C处，望见灯塔B在船的正东方向，如图所示，求C处到灯塔B的距离． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解． 　跟踪训练　(1) 如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得M在A的南偏东15°的方向上，N在A的南偏东60°的方向上，在B点测得M在B的南偏西45°的方向上，N在B的南偏东30°的方向上，且AB＝2 km，则MN＝(　　) A． km B． km C． km D． km (2)某数学兴趣小组成员为测量某湖泊的宽度AB，选取了与A，B在同一水平面上的C，D两处作为测量点，D在C的正东方，且C，D相距10千米，C，D分别在A，B的正南方，且B在C的东偏北60°的方向上，A在D的北偏西60°的方向上，则该湖泊的宽度AB＝________千米. 命题点二　高度问题 例2 海军某舰队在一未知海域向正西方向行驶(如图)，在A处测得北侧一岛屿的顶端D的底部C在西偏北30°的方向上，行驶4千米到达B处后，测得该岛屿的顶端D的底部C在西偏北75°方向上，山顶D的仰角为30°，求此岛屿露出海平面的部分CD的高度． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角； (2)在实际问题中，若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形； (3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题． 　跟踪训练　(1)(2026·山东多校联考)某公司工程师需要在河岸边测量对岸一座垂直于地面的信号塔OP的高度，由于河流无法直接跨越，工程师在岸边选取了相距80米的A，B(A，B与该信号塔的塔底O在同一水平面上)两个测量点：从A点观测该信号塔塔顶P的仰角为30°，从B点观测该信号塔塔顶P的仰角为45°，且cos ∠ABP＝，则这座信号塔的高度OP＝(　　) A．40 米 B．40 米 C．40米 D．80米 (2)(2026·阜阳模拟)某同学为测量学校附近山上信号塔的高度AB(塔底视为点B，塔顶视为点A)，在山脚下选取了两点C，D(其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内)，在点C处测得点A的仰角为30°，在点D处测得点A，B的仰角分别为60°，15°，测得CD＝36米，则按此法测得的塔高为________米． 命题点三　角度问题 例3 某货船在索马里海域航行中遭海盗袭击，发出呼叫信号，如图，我海军护航舰在A处获悉后，立即测出该货船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得货船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向前行驶，我海军护航舰立即以海里/小时的速度前去营救，求护航舰的航向和靠近货船所需的时间． [听课笔记]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 学霸笔记：(1)测量角度问题的关键是在弄清楚题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再利用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解． (2)方位角是相对于某点而言的，因此在确定方位角时，必须先弄清楚是哪一个点的方位角． 　跟踪训练　(1)一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60°，距离为6海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的(　　) A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 (2)如图， 位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距30海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cos θ的值为________． 第九节　解三角形应用举例 必备知识·助学教材 自主诊断 1．答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2．解析：在△BCD中，∠BDC＝120°，∠BCD＝15°，CD＝20，则∠CBD＝180°－120°－15°＝45°，由正弦定理得，所以BC＝sin ∠BDC＝×sin 120°＝.在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，所以AB＝BC tan ∠ACB＝10tan 60°＝10.故选C. 答案：C 3．解析：由题意及方位角可得∠CAB＝45°，∠ABC＝75°，∠ACB＝60°，因为渔船以60海里/时的速度航行，所以AB＝30海里，由正弦定理可得，即，得BC＝10(海里)． 答案：10 4．解析：在△ACD中，∠ADC＝67.5°，∠ACD＝45°，则∠DAC＝180°－67.5°－45°＝67.5°，AC＝DC＝.在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝2，则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，∵，∴BC＝.在△ABC中，AC＝，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos ∠ACB＝9，∴AB＝3. 答案：3 考教衔接·活用教材 例1　解析：由题意可得∠BAC＝60°－30°＝30°，AB＝30海里， 因为B在点C的正东方向，故∠ABC＝90°－60°＝30°， 在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ABC＝30°，∠ACB＝120°，AB＝30海里， 由正弦定理可得，故BC＝海里． 因此C处到灯塔B的距离为10海里． 跟踪训练　解析： (1)由题可知∠BAN＝30°，∠MAB＝75°，∠MBA＝45°，∠ABN＝120°，∠MAN＝45°，所以∠AMB＝60°，∠ANB＝30°，所以在△ANB中，BN＝AB＝2， AN＝，在△AMB中，得AM＝，在△AMN中，MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN cos ∠MAN＝得MN＝.故选C. (2)如图，在Rt△ACD中，∠ADC＝30°，CD＝千米，则AD＝20千米．在Rt△BCD中，∠DBC＝30°，CD＝10 2AD·BD cos ∠ADB＝700，则AB＝10(千米)． 答案：(1)C　(2)10 例2　解析：已知舰队从A处行驶到B处，在A处测得C在西偏北30°方向上， 在B处测得C在西偏北75°方向上，所以∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°＝105°. 根据三角形内角和为180°，可得∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－30°－105°＝45°. 在△ABC中，已知AB＝4千米，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°， 由正弦定理可得BC＝(千米)． 在△BCD中，因为测得山顶D的仰角为30°，即∠CBD＝30°，且tan ∠CBD＝. 所以CD＝BC tan ∠CBD＝2×tan 30°＝2(千米)． 则岛屿露出海平面的部分CD的高度为千米． 跟踪训练　 解析：(1)根据题意画出图形，如图所示，设OP＝h米，则AP＝2h米，BP＝h米，AB＝80米，在△ABP中，由余弦定理可得AP2＝AB2＋BP2－2AB·BP cos ∠ABP，即4h2＝802＋2h2－2×80×，即h2＋40h－3 200＝0，解得h＝40或h＝－80(舍去)，则OP＝40米．故选C. (2)设直线CD与AB交于点E，则AE⊥CE，由题意，CE＝AE，又CD＝36，且CE－DE＝CD，代入解得AE＝18，从而DE＝18，进而BE＝DE·tan 15°＝DE·tan (60°－45°)＝DE·＝18，所以塔高AB＝AE－BE＝72(米)． 答案：(1)C　(2)72 例3　解析：设护航舰靠近货船所用时间为t小时， 则AB＝10t，BC＝10t，∠ACB＝120°， 在△ABC中，由余弦定理有AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC cos 120°， 则2＝102＋(10t)2－2×10×10t cos 120°，整理得2t2－t－1＝0， 而t>0，解得t＝1，所以护航舰靠近货船需要1小时； 此时AB＝10海里，BC＝10海里，又AC＝10海里，则∠CAB＝30°， 所以护航舰航行的方位角为75°. 跟踪训练　 解析：(1)如图，由题意，在△ABD中，∠DAB＝60°，AB＝6，∠ADB＝60°，则△ABD为正三角形，则AD＝6，在△ACD中，因为AC＝6，∠CAD＝30°，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2AC×AD×cos 30°＝2＋62－2×＝36，所以CD＝6，故∠CDA＝120°，此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向．故选D. (2)由已知，∠CAB＝135°，在△ABC中，由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB cos ∠CAB＝400＋1 800＋1 200＝3 400，则BC＝10，所以cos ∠ACB＝，sin ∠ACB＝，所以cos θ＝cos (45°＋∠ACB)＝sin ∠ACB＝. 答案：(1)D　(2) 学科网（北京）股份有限公司 $