4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 导学案——2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义围绕任意角、弧度制及三角函数高考核心考点，按概念（终边相同角、象限角）、公式（弧度与扇形）、应用（定义及符号）逻辑架构知识，通过清单梳理、诊断检测、命题点讲解及跟踪训练，系统帮助学生突破难点。 资料以“诊断-讲解-训练”闭环提升效率，如扇形面积最值转化为二次函数求解培养数学思维，“学霸笔记”总结象限角判定方法强化推理能力，助力学生高效掌握考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 知识清单 1.角的概念 (1)定义:角可以看成是平面内的一条射线绕着它的_旋转所形成的图形. (2)分类:按旋转方向不同分为_、_、_.按终边位置不同分为_和轴线角. (3)终边相同的角:所有与角 终边相同的角,连同角 在内,可构成一个集合_. 剖析 相等的角终边一定相同,但终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360 的整数倍. 2.弧度制的定义和公式 (1)定义:把长度等于_的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad. (2)公式 角 的弧度数公式 | |=_(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1 = rad;1 rad=_ 弧长公式 弧长l=_ 扇形面积公式 S=_=_ 提醒 在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用. 3.任意角的三角函数 (1)定义:设 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin =_,cos =_,tan =_(x≠0). (2)定义的推广 设P(x,y)是角 ( ∈R)终边上异于原点的任一点,它到原点的距离为r(r>0),那么sin =_,cos =_,tan =_(x≠0). (3)三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 【常用结论】 (1) , 的终边关于x轴对称 =- +2k ,k∈Z. (2) , 的终边关于y轴对称 = - +2k ,k∈Z. (3) , 的终边关于原点对称 = + +2k ,k∈Z. 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“ ”) (1)若sin >0,则 的终边落在第一或第二象限.( ) (2)锐角是第一象限角,反之亦然.( ) (3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30 .( ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.( ) 2.(人教A版必修一P176T7(2))已知 是第一象限角,那么是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第一或第二象限角 D.第一或第三象限角 3.(人教A版必修一P180T3改编)已知角 的终边过点P(-12,5),则sin +cos =_. 4.(人教A版必修一P176T11改编)时间经过4 h(时),时针转了_弧度;若时针长度是1厘米,则时针4 h(时)转出的扇形面积是_平方厘米. 考教衔接 活用教材 探究式精练 收获一个“赢” 命题点一 象限角与终边相同的角 例1 (1)如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角 的集合是( ) A. B. C. D. (2)已知 为第三象限角,则所在的象限是( ) A.第一或第三象限 B.第二或第三象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 [听课笔记] 学霸笔记:(1)判定象限角的两种方法. ①图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角. ②转化法:先将已知角化为k 360 + (0 ≤ <360 ,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角 ,再由角 终边所在的象限判断已知角是第几象限角. (2)确定k ,(k∈N*)终边位置的方法:先写出k 或的取值范围,然后根据k的可能取值确定k 或的终边所在位置. (3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. 跟踪训练 (1)(2026 佳木斯模拟)已知 与210 角的终边关于x轴对称,则是( ) A.第二或第四象限角 B.第一或第三象限角 C.第三或第四象限角 D.第一或第四象限角 (2)(衔接 人教A版必修一P175T3改编)若角 的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-x上,则角 的取值集合是_. 命题点二 弧度制与扇形的弧长、面积公式 例2 (1)(2026 沈阳模拟)已知某扇形折叠扇的面积为200,周长为60,且扇形弧长大于其半径,则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为( ) A.10,4 B.20,4 C.10,6 D.20,6 (2)已知某扇形的周长为8,则当此扇形的面积最大时,半径为( ) A.2 B.4 C.0.5 D.0.25 [听课笔记] 学霸笔记:(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个. (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形. (3)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决. 跟踪训练 (衔接 人教A版必修一P176T12)已知相互啮合的两个齿轮,大轮有48齿,小轮有20齿. (1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角度; (2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分),小轮的半径为10.5 cm,那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少? 命题点三 任意角的三角函数 考向1 利用三角函数的定义求值 例3 (1)已知点P(m≠0)在角 的终边上,且cos =m,则sin =( ) A.- B.- C. D. (2)以坐标原点为顶点,x轴非负半轴为始边的角 ,其终边落在直线y=2x上,则sin =_. [听课笔记] 学霸笔记:(1)已知角 的终边上一点P的坐标,求角 的三角函数值的方法:先求出点P到原点的距离,再利用三角函数的定义求解. (2)已知角 的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解. 跟踪训练 已知角 的终边在第二象限,且终边上有一点P,sin =m,则m=( ) A. B.- C.2 D. 考向2 三角函数值符号的判定 例4 (1)已知cos tan >0,则 可能为( ) A.第一或第二象限角 B.第二或第三象限角 C.第一或第三象限角 D.第三或第四象限角 (2)sin 2 cos 3 tan 4的值是_.(填“正数”“负数”或“零”) [听课笔记] 学霸笔记:要判定三角函数值的符号,关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角,再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限,那么要进行分类讨论求解. 跟踪训练 (衔接 人教A版必修一P182T4改编)角 为第三象限角的充要条件是( ) A. B. C. D. 第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数 必备知识 助学教材 知识清单 1.(1)端点 (2)正角 负角 零角 象限角 (3)S={ | =k 360 + ,k∈Z} 2.(1)半径长 (2) () | |r lr | |r2 3.(1)y x (2)