10.1 相交线 核心考点精讲 2025-2026学年 沪科版七年级数学下册

10.1相交线 知识点详解 一、相交线的定义 ·定义：如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做交点。 ·基本事实：两条直线相交，有且只有一个交点。 二、两直线相交形成的角一一邻补角与对顶角 两条直线相交，构成四个角（∠1、∠2、∠3、∠4），它们之间存在特殊的位置关系和数量关系。 1.邻补角 ·定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。 ·例如：∠1和∠2、∠2和∠3、∠3和∠4、∠4和∠1。 ·性质：邻补角互补，即它们的度数之和为180°。 ·符号语言：∠1十∠2=180°，∠2+∠3=180°，… 2.对顶角 ·定义：两个角的两边分别互为反向延长线，这样的两个角互为对顶角。 ·例如：∠1和∠3、∠2和∠4。 ·性质：对顶角相等。 ·符号语言：∠1=∠3，∠2=∠4。 3.重要结论 ·两条直线相交，邻补角成对出现，对顶角成对出现。 ·如果两个角互为邻补角，则它们一定互补；但互补的两个角不一定是邻补角（还需位置 相邻)。 ·对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角。 三、垂直与垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角(90°)时，称这两条直线互相垂直。 1.垂线的定义 ·定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 ·其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 ·它们的交点叫做垂足。 ·符号表示：记作AB⊥CD(或a⊥b),垂足常用字母O表示。 ·推理格式： ·:∠A0C=90°，·AB⊥CD(垂直定义)。 ·AB⊥CD,÷∠A0C=90°（垂直定义）。 2.垂线的性质 性质1（存在性与唯一性）： ·在同一平面内，过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。 ·该点可以在己知直线上，也可以在己知直线外。 性质2（垂线段最短）： ·连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 ·简单说成：垂线段最短。 3.点到直线的距离 ·定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 ·注意：距离是一个数量（长度），不是垂线段本身。 ·垂线段是图形，点到直线的距离是数值。 四、两条直线被第三条直线所截一一三线八角 当两条直线12被第三条直线所截时，形成八个角（简称“三线八角”），根据位置关系 可归为三类。 名称 位置特征 形象记忆 基本图形 同位角 在截线的同旁，分别 “F”型 形状如大写字母F 位于两条被截直线的 同一方向（上方或下 方、左侧或右侧) 内错角 在截线的两旁，位于 “Z”型 形状如大写字母Z(或 两条被截直线之间 反Z) 同旁内角 在截线的同旁，位于 “U”型 形状如大写字母U 两条被截直线之间 (或门框型) 识别步骤： 1.明确哪一条是截线（通常与两条被截直线都相交的那条）。 2.确定两个角的顶点分别在两条被截直线上。 3.观察它们相对于截线和被截线的位置，对照“F、Z、U”模型判断。 特别提醒：同位角、内错角、同旁内角仅反映角的位置关系，并不要求两条被截直线平行。 无论被截直线是否平行，这些角都客观存在。 一、单选题 1.如图所示，已知O是直线AB上一点，∠A0C=48°，0D平分∠B0C,则∠BOD的度 数是() A.64° B.66 C.68° D.729 2.下列说法正确的是() A.相等的角是对顶角 B.两条直线相交所成的角是对顶角 C.对顶角相等 D,有公共顶点且相等的角是对顶角 3.如图，点A,O,B在同一直线上，0C平分∠A0D,∠B0D=130°，则∠C0D的度数是 () D C B A.20 B.25° C.30° D.35° 4.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥CD于点O,OF⊥AB于点0.若 ∠AOE=100°，则∠E0F的度数为() D A.40 B.350 C.30° D.10° 5.如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线1：②线段AB, AC,AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB,AC,AD中，线段AC 最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线1的距离.其中正确的个数是() B C D A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O,OF平分∠A0E,∠1=25°，则下 列结论中，不正确的是() D 3 A.∠1=∠3 B.∠2=45° C.∠A0D与∠1互为补角 D.∠1的余角等于75 7.如图，直线AB,CD相交于点O,分别作射线OE,OF,OG使得OE⊥OF,OG平分 ∠C0E,∠BOE=∠D0E,已知∠F0G=24°，则∠A0C的度数为() D B A.66 B.64° C.56° D.48° 8.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠A0D,F0⊥CD于点O.若∠1=40°，则 ∠2的度数为() E A.55 B.60° C.650 D.70° 题多解法：FO⊥CD, .∠D0F=90°. 又：∠1=40°， .∠D0B=90°-40°=50°， .∠A0D=180°-∠D0B=130°. :OE平分∠A0D, 1 ∠2=240D=65°， 9.如图，O是直线AB上一点，∠A0E=∠C0D=90°，则图中互余的角、互补的角分别有 D B A.3对、3对 B.4对、7对 C.4对、4对 D.4对、5对 二、填空题 10.如图，直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD,∠AOC+∠DOE=45°，则LC0B= 0· C B E D 11.如图，直线AB,CD相交于点0，∠1+∠2=120°，∠3=125°，则∠2的度数是」 D 12.若∠1和∠2是对顶角，∠2和∠3是邻补角，∠3=45°，则∠1= 13.如图，直线AB与CD相交于点O,∠A0C=50°，则∠BOD的邻补角的度数 是 A D 502O B 14.如图，直线AB,CD相交于点0，LA0C=60°，∠D0E=40°，则LB0E的度数为 B 15.如图，已知直线AB和CD相交于点O,射线OE⊥AB于点O,射线0F⊥CD于点O.若 ∠B0F=25°，则∠AOC与∠E0D的度数分别为 三、解答题 16.阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据。 C B 3 2 A D 命题：如图所示，直线AB,CD相交于点O,那么∠1=∠2· 理由：因为∠1+∠3=180°( ∠2+∠3=180°()， 所以∠1+∠3=∠2+∠3( 所以∠1=∠2(). 17.如图，∠C0D=90°，直线AB经过点O,OE平分∠BOD,∠A0C=30°. (1)求∠BOD的度数； (2)若∠C0F=4∠B0F,求∠E0F的度数， 18.如图，直线AB、CD交于点0，OE平分∠B0D,∠A0C=66°. B (1)求∠E0D的度数； (2)画射线0F,使0F⊥CD,求E0F的度数. 19.如图，0是直线AB上一点，∠C0D=90°，0C在直线AB上方，OD在直线AB下方， OE平分∠A0C. B B D 图1 图2 (1)如图1，若∠B0C=130°，求∠D0E的度数； (2)如图2，∠A0C<90°，若0F平分∠B0C,猜想∠C0F与∠D0E之间的数量关系，并说 明理由， 20.如图，己知直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB,点O为垂足，OF平分∠A0C. E D (1)若∠A0F=68°，求∠C0E的度数： (2)若∠A0F:∠C0E=4:3,求∠E0F的度数 21.已知O为直线AB上一点，过点O向直线AB上方引三条射线0C、OD、OE. 0 B 图1 图2 (1)如图1，若0C平分∠A0D,且∠B0E=3LD0E,∠A0D=108°，求∠C0E的度数： (2)如图2，若∠B0D:∠C0D=3:2,过点O引射线0F平分∠C0D,OE是∠B0C的平分线， 且∠DOE=12°，求∠EOF的度数 22.已知，点0为直线AB上一点，过点O作射线0C,∠B0C=110. M —B B D (图1) (图2) (备用图) (1)如图1，则∠A0C的度数为 (2)如图2，过点O在直线AB下方作射线0D,使0D⊥0C,作∠AOC的角平分线OM,求 ∠MOD的度数； (3)在(2)的条件下，作射线OP,若∠BOP与∠AOM互余，求∠COP的度数. 10.1 相交线 知识点详解 一、 相交线的定义 · 定义：如果两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，该公共点叫做交点。 · 基本事实：两条直线相交，有且只有一个交点。 二、 两直线相交形成的角——邻补角与对顶角 两条直线相交，构成四个角（），它们之间存在特殊的位置关系和数量关系。 1. 邻补角 · 定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。 · 例如：。 · 性质：邻补角互补，即它们的度数之和为 。 · 符号语言：，… 2. 对顶角 · 定义：两个角的两边分别互为反向延长线，这样的两个角互为对顶角。 · 例如：。 · 性质：对顶角相等。 · 符号语言：。 3. 重要结论 · 两条直线相交，邻补角成对出现，对顶角成对出现。 · 如果两个角互为邻补角，则它们一定互补；但互补的两个角不一定是邻补角（还需位置相邻）。 · 对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角。 三、 垂直与垂线 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角（）时，称这两条直线互相垂直。 1. 垂线的定义 · 定义：如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。 · 其中一条直线叫做另一条直线的垂线。 · 它们的交点叫做垂足。 · 符号表示：记作 ），垂足常用字母 O 表示。 · 推理格式： · ∵ （垂直定义）。 · ∵（垂直定义）。 2. 垂线的性质 性质1（存在性与唯一性）： · 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 · 该点可以在已知直线上，也可以在已知直线外。 性质2（垂线段最短）： · 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 · 简单说成：垂线段最短。 3. 点到直线的距离 · 定义：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 · 注意：距离是一个数量（长度），不是垂线段本身。 · 垂线段是图形，点到直线的距离是数值。 四、 两条直线被第三条直线所截——三线八角 当两条直线 被第三条直线所截时，形成八个角（简称“三线八角”），根据位置关系可归为三类。 名称 位置特征 形象记忆 基本图形 同位角 在截线的同旁，分别位于两条被截直线的同一方向（上方或下方、左侧或右侧） “F”型 形状如大写字母F 内错角 在截线的两旁，位于两条被截直线之间 “Z”型 形状如大写字母Z（或反Z） 同旁内角 在截线的同旁，位于两条被截直线之间 “U”型 形状如大写字母U（或门框型） 识别步骤： 1. 明确哪一条是截线（通常与两条被截直线都相交的那条）。 2. 确定两个角的顶点分别在两条被截直线上。 3. 观察它们相对于截线和被截线的位置，对照“F、Z、U”模型判断。 特别提醒：同位角、内错角、同旁内角仅反映角的位置关系，并不要求两条被截直线平行。无论被截直线是否平行，这些角都客观存在。 一、单选题 1．如图所示，已知O是直线上一点，，平分，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是邻补角、角平分线的有关计算，先求出，再根据角平分线定义求出结论即可． 【详解】解：∵， ， ∵平分， ， 故选：B． 2．下列说法正确的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线相交所成的角是对顶角 C．对顶角相等 D．有公共顶点且相等的角是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查对顶角． 根据对顶角的定义和性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．相等的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意； B．两条直线相交所成的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意； C．对顶角相等，原说法正确，符合题意； D．有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，原说法不正确，不符合题意． 故选：C． 3．如图，点A，O，B在同一直线上，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，角的和差，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据角平分线，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 4．如图，直线，相交于点，于点，于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题可先根据垂直的定义得到直角，再结合已知角度求出相关角的度数，最后通过角的和差关系计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了知识点垂直的定义与角的和差计算，解题关键是利用垂直关系确定直角，再通过角的和差进行角度推导． 5．如图，观察图形，下列说法：①过点A有且只有一条直线AC垂直于直线l；②线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为两点之间，线段最短；③线段AB，AC，AD中，线段AC最短，因为垂线段最短；④线段AC的长是点A到直线l的距离．其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了垂线段，解题的关键是掌握垂线的性质，以及点到直线的距离，是垂线段的长度． 根据垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段；垂线段的性质：垂线段最短；垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可得答案． 【详解】解：①过点有且只有一条直线垂直于直线，该说法正确，符合题意； ②线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法错误，不符合题意； ③线段、、中，线段最短，是因为垂线段最短，该说法正确，符合题意； ④线段的长是点到直线的距离，该说法正确，符合题意； 正确的说法为①③④，有个， 故选：C． 6．如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中，不正确的是（    ） A． B． C．与互为补角 D．的余角等于 【答案】D 【分析】利用对顶角、垂直的性质、角平分线的定义以及余角和补角的概念，逐一分析每个选项，结合已知条件计算相关角度来判断结论是否正确． 【详解】解：A、和是对顶角，根据对顶角相等，，符合题意； B、由得，平分，故，符合题意； C、，∴与互为补角，符合题意； D、的余角为，不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了对顶角、垂直的性质、角平分线定义及余角补角的概念，解题关键是结合已知条件，利用相关性质准确计算角度，进而判断选项的正确性． 7．如图，直线，相交于点，分别作射线，，使得，平分，，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的关系，角平分线的定义，垂直的定义以及对顶角的性质．运用以上知识点求出的度数，再根据角的和差关系得出所求角的度数． 【详解】解：，， ， 平分， ， ， ， ． 故选． 8．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分，于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得到，通过角度的和差关系可得到，根据对顶角相等可得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数．也可以根据可得到，通过角度的和差关系得到，再根据邻补角的定义得到，最后根据角平分线的定义可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵OE平分， ∴． 一题多解法∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵OE平分， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角、角平分线，利用邻补角的定义和角平分线的定义是解题的关键． 9．如图，是直线上一点，，则图中互余的角、互补的角分别有（   ） A．3对、3对 B．4对、7对 C．4对、4对 D．4对、5对 【答案】B 【分析】本题考查了余角和补角的判断，掌握根据角的和为找互余的角，和为找互补的角是解题的关键； 先根据已知的直角条件，找出互余的角，即和为的角对；再找出互补的角，即和为的角对，然后统计对数． 【详解】解：已知， ∴，，，， ∴，， 由此可知： 互余的角有：与，与，与，与，共对； 互补的角有：与，与，与，与，与，与，与，共对 故选：B． 二、填空题 10．如图，直线相交于点平分，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了邻补角，角平分线的定义，解决本题的关键是要熟练运用角平分线的定义和邻补角的性质进行计算，根据角平分线定义求出，再根据邻补角互补即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ 故答案为：． 11．如图，直线相交于点，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角，邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．先根据邻补角的性质求出的度数，再结合求出的度数． 【详解】因为与是邻补角，邻补角的和为，已知， 所以 已知， 把代入可得： ． 故答案为： 12．若和是对顶角，和是邻补角，，则 ． 【答案】/135度 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角等知识，理解邻补角和对顶角的定义和性质是解题关键．根据互为邻补角的两个角和为，用，又根据对顶角相等可知度数． 【详解】解：根据题意可知，． 故答案为：． 13．如图，直线与相交于点O，，则的邻补角的度数是 ． 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，邻补角互补，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由对顶角相等得到，然后根据邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∴的邻补角的度数是． 故答案为：． 14．如图，直线，相交于点，，，则的度数为 ． 【答案】20° 【分析】本题考查了对顶角的性质，角的和差，掌握对顶角的性质是解题的关键． 由对顶角的性质得，再根据角的和差关系即可求解． 【详解】解：直线，相交于点， ∵， ∴由对顶角的性质得， ∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，已知直线AB和CD相交于点O，射线于点O，射线于点O．若，则与的度数分别为 ． 【答案】， 【分析】本题考查了垂线，熟练掌握垂线的相关内容是解题的关键； 根据垂直可得角度，已知的度数，即可求得的度数，即可求得的度数，根据对顶角相等即可求得的度数，再根据垂直即可求得的度数. 【详解】解：∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：，． 三、解答题 16．阅读下面命题及说理过程，在括号内填上推理的依据． 命题：如图所示，直线，相交于点，那么． 理由：因为(________)， (________)， 所以(________)， 所以(________)． 【答案】邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1 【分析】本题考查利用邻补角的定义、等量代换及等式基本性质来得到对顶角相等，先利用邻补角的定义得到两个角的和为，再通过等量代换建立等式，最后利用等式的基本性质消去公共角，从而推导出对顶角相等的结论． 【详解】解：∵(邻补角的定义)， (邻补角的定义)， ∴(等量代换)， ∴(等式的性质1)； 故答案为：邻补角的定义；邻补角的定义；等量代换；等式的性质1． 17．如图，，直线经过点O，平分，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了角平分线的计算，角的数量关系，以及利用邻补角的定义求角的度数． （1）首先计算出的度数，再根据邻补角的定义计算的度数； （2）设，则，根据列方程求出求出，结合（1）的结论求出，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 的度数为． （2）解：， ∴设，则， ， ， 解得， ． 平分， ， ． 18．如图，直线、交于点，平分，． (1)求的度数； (2)画射线，使，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角相等，掌握知识点的应用及分类讨论是解题的关键． （1）先利用对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义进行计算，即可解答； （2）分在直线的上方和在直线的下方两种情况，然后分别进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①如图，当在直线的上方时， ∵， ∴， ∵， ∴； ②如图，当在直线的下方时， ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 19．如图，是直线上一点，，在直线上方，在直线下方，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，，若平分，猜想与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质得到，进而得到，据此解答即可； （2）设，根据角平分线的性质得到及，进而得到，从而得到． 【详解】（1）解：是直线上一点，， ， 平分， ， ， ； （2）解：猜想：，理由如下： 设， 平分， ， ， 平分， ， ， ， ． 20．如图，已知直线相交于点O，，点O为垂足，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，垂线的定义，熟知角平分线的定义是解题的关键． （1）由角平分线的定义可得的度数，由垂线的定义可得的度数，据此可得答案； （2）设，，则可推出，根据垂线的定义可推出，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ， ， ， ； （2）解：， ∴可设，， 平分， ， ， ， ， ， 即， ∴，即． 21．已知O为直线上一点，过点O向直线上方引三条射线． (1)如图1，若平分，且，，求的度数； (2)如图2，若，过点O引射线平分，是的平分线，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角度的运算，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义和角度的运算是解题的关键， （1）设，则，根据角度的运算可解得，从而可得到； （2）根据，设，，根据题意可得，解得：，即，从而求得． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵，且平分， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴设，， ∵平分，平分，且， ∴ 解得：，即， ∴． 22．已知，点为直线上一点，过点作射线，． (1)如图1，则的度数为_______； (2)如图2，过点在直线下方作射线，使，作的角平分线，求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据邻补角的性质求解即可； （2）首先由（1）可知，结合垂直的定义可得，再结合角平分线的定义可得，然后由求解即可； （3）由（2）知，结合与互余，可求得，然后分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵与互余， ∴， ∴， 当射线在内部时，如下图所示： ； 当射线在外部时，如下图， ． 综上所述，的度数为或． 【点睛】本题主要考查了补角和余角、垂直的定义、角平分线以及几何图形中角度计算，熟练掌握相关定义和性质是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $