第10章 相交线、平行线与平移（基础+中等类型）-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

第10章 相交线、平行线与平移思维导图 【类型覆盖】 类型一、图形的平移 【解惑】《哪吒2》动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 2．将左图剪成若干小块，通过平移小块能够得到①，②，③中的 ． 3．如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 类型二、对顶角与邻补角 【解惑】下面四个图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，与互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 2．若与是对顶角，且，则的补角是 ． 3．如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 类型三、相交线 【解惑】如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，线段的长度是点 到直线 的距离；点到直线的距离是 ． 3．平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ． 类型四、垂线段最短 【解惑】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，点，处各安装一个路灯，点处竖有一广告牌，测得，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 2．如图，，垂足为点，得到的数学依据是 ． 3．如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 类型五、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】如图，直线与的边相交成“4”字模型，则的同旁内角是（） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图所示，下列说法错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是邻补角 D．和是同旁内角 2．如图，与是直线a和直线b被直线c所截的 角． 3．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的同位角的度数是 ；的同旁内角的度数是 ． 类型六、平行的性质求解 【解惑】如图，直线被直线所截，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点G，当时，则的度数是 ． 3．已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 类型七、平行的判定证明 【解惑】问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【融会贯通】 1．如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 2．如图，点B在上，，，问射线与平行吗？说明理由． 3．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 类型八、画垂线 【解惑】如图，点P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)线段的长度是点P到直线 的距离，线段 长度是点C到直线的距离； (4)因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段这三条线段长度的大小关系是 （用“<”连接）． 【融会贯通】 1．如图，已知点A在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点A画直线，与的另一边相交于点B； (2)过点A画的垂线段，垂足为点C； (3)过点C画直线，交于点D； (4)点A到直线的距离是线段______的长度． 2．如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． (1)在网格内过点画与线段平行且相等的线段； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； (3)线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； (4)线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 3．如图，已知直线和点．    (1)过点画的垂线，垂足为，连接，． (2)填空：线段______的长度是点到直线的距离． (3)比较线段的大小：______（用“”“”或“”连接），理由：______． 类型九、画平行线 【解惑】已知：及内部一点． (1)①过点作直线于点； ②过点作直线交于点； (2)比较线段与线段的大小：______，理由是______． 【融会贯通】 1．按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 2．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线的距离是线段_________的长． 3．利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 类型十、平移(作图) 【解惑】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点在网格的格点上，平移后的对应点为． (1)在网格中画出平移后所得的； (2)连接，则与的关系是___________； 【融会贯通】 1．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上。 (1)将平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接、，则这两条线段之间的关系是______； (3)点P为格点，且（点P与点A不重合），在图中画出点P的位置． 2．如图、在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、之间的关系是______； (3)画格点，使得直线； (4)在上找一点，使得写出的面积是． 3．如图，在边长为的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)补全； (2)这个平移过程可以看作先向___________平移___________个单位，再向___________平移___________个单位； (3)求线段平移过程中扫过的面积． 【一览众山小】 1．如图，已知烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则（　　）    A． B． C． D． 2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 3．绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线，，，则的度数为 ． 5．如图，在甲乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，甲乙两地同时开工，准确接通，乙地所修公路的走向是南偏西 ，道理是： ． 6．如图，沿CB方向平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长为 cm． 7．如图，，，，试证明：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：（已知）． __________（__________）． （已知）， __________（等式的基本事实）． 又（__________）， （__________）， （已知）， __________． ∴（__________）． 8．如图，已知，．与平行吗？为什么？ 9．如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接． (1)求与的数量关系． (2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和． ①已知，求的度数． ②若，且三等分，求的度数． 10． 综合与实践： 【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图①，，点在之间且点在点右侧，求证：（提示：过点作）； 【类比探究】 （）小明对王老师给出的问题进行改编：如图②，，点在之间且点在点左侧，猜想，，之间的数量关系： ，并加以证明； 【学以致用】 （）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，，测量得知，，直接写出的度数 ． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10章 相交线、平行线与平移思维导图 【类型覆盖】 类型一、图形的平移 【解惑】《哪吒2》动画电影爆火后，不少同学对于动画设计有了学习兴趣，下列选项中左边图案仅通过平移变换就能得到右边图案的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查图形的平移，解题的关键是掌握：平移的特征：平移由移动方向和距离决定，不改变方向、形状以及大小．据此判断即可． 【详解】解：A．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； B．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意； C．左边图案与右边图案形状、方向与大小没有改变，故此选项符合题意； D．右边图案不是左边图案平移得到的，故此选项不符合题意． 故选：C． 【融会贯通】 1．下列甲骨文中，能用平移来分析其形成过程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转．根据平移不改变图形的形状和大小，将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是B． 【详解】解：观察图形可知图案B通过平移后可以得到． 故选：B． 2．将左图剪成若干小块，通过平移小块能够得到①，②，③中的 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查了图形的平移，根据图形进行剪切拼接可得图形． 【详解】解：将所给图形剪成两个半圆，通过平移可得到①； 将所给图形剪成四个四分之一圆，通过平移可得到②； 不能拼成③， 故答案为：①②． 3．如图所示的是一个用火柴摆成的“田”字图案，至少平移其中的 根火柴，可以变成一个“品”字图案． 【答案】 【分析】本题考查图形的平移，保持“田”字的“十”字不变，再移动3根变成“品”字图案即可． 【详解】解：如图：相同数字表示移动前后位置， 由图形可得“田”字图案，至少平移其中的3根火柴，可以变成一个“品”字图案， 故答案为：． 类型二、对顶角与邻补角 【解惑】下面四个图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角的定义．对顶角是两条直线相交，其中一个角是另一个角的边的反向延长线，据定义即可判断． 【详解】解：A、与不是对顶角，故此选项不符合题意； B、与不是对顶角，故此选项不符合题意； C、与不是对顶角，故此选项不符合题意； D、与是对顶角，故此选项符合题意； 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，与互为邻补角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了邻补角的概念，掌握邻补角的概念，数形结合分分析是关键． 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， ∴符合题意， 故选：D ． 2．若与是对顶角，且，则的补角是 ． 【答案】110 【分析】本题主要考查的是对顶角的性质和补角的定义，掌握对顶角的性质和补角的定义是解题的关键．由对顶角的性质可知，然后根据补角的定义计算即可． 【详解】解：∵和是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴的补角． 故答案为：． 3．如图直线相交于点，是的邻补角是 ，的对顶角是 ，若，则 度， 度． 【答案】 50 130 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的邻补角是或；的对顶角是， ∵， ∴，； 故答案为：、；；；． 类型三、相交线 【解惑】如图，直线交于点，若，则与的度数之和为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角相等，平角的定义，角的和差， 先标注，再根据对顶角相等得，然后根据平角定义得，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 【融会贯通】 1．“直线与射线相交于点O”，画图正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相交线，熟练掌握直线、射线的定义以及相交线的定义是解题的关键．根据直线、射线相交的定义判断即可． 【详解】解：如图，直线与射线相交于点O， 故选：B． 2．如图所示，线段的长度是点 到直线 的距离；点到直线的距离是 ． 【答案】 P 线段的长 【分析】点到直线的距离即过点作直线的垂线段的长，据此解题． 【详解】解：线段的长度是点P到直线的距离；点到直线的距离是线段的长， 故答案为：P，，线段的长． 【点睛】本题考查垂线、点到直线的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3．平面内有五条直线两两相交，设最多交点个数为a，最少交点个数为b，最多对顶角数为c，则的值是 ． 【答案】1 【分析】根据n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍，由此可得出a，b，c的值，再代入计算即可． 【详解】∵n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍， ∴a＝10，b=1，c=20 ∴． 故答案为：1． 【点睛】考查了直线的交点问题，解题关键是掌握n条直线相交于一点时交点最少，任意n条直线两两相交时交点最多为个，对顶角最多的组数为最多交点个数的2倍． 类型四、垂线段最短 【解惑】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“垂线段最短”来解释的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短，依次分析每个选项中现象所依据的数学原理，判断能否用“垂线段最短”来解释，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、平板弹墨线，利用的是“两点确定一条直线”的原理，故选项不符合； B、建筑工人砌墙，是利用铅垂线的原理，保证墙与地面垂直，与“垂线段最短”无关，故选项不符合； C、弯河道改直，依据的是“两点之间，线段最短”，而不是“垂线段最短”，故选项不符合； D、测量跳远成绩时，测量的是从起跳点到落脚点的垂线段的长度，因为从落脚点到起跳线的垂线段是最短的，这样测量能得到最准确的成绩，符合“垂线段最短”的原理，故选项符合． 故选：D． 【融会贯通】 1．如图，点，处各安装一个路灯，点处竖有一广告牌，测得，，则点到直线的距离可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点到直线的距离，垂线段最短，根据点到直线的距离为点到直线的垂线段的长，结合垂线段最短得到，点到直线的距离小于的长，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意，点到直线的距离为点到直线的垂线段的长度，故小于的长， ∴点到直线的距离可能为； 故选D． 2．如图，，垂足为点，得到的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短分析，即可求解． 【详解】解：依题意，的数学依据是垂线段最短 故答案为：垂线段最短． 3．如图，在三角形中，，，，．点是线段上的一动点，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线段最短，掌握点到直线垂线段最短是解题的关键． 根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 在中， 由面积公式得：， 即， 解得，； 故答案为：． 类型五、同位角、内错角、同旁内角 【解惑】如图，直线与的边相交成“4”字模型，则的同旁内角是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同旁内角的定义，解题关键是熟练掌握同旁内角的定义． 两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截两直线之内的角是同旁内角，即可解答． 【详解】解：∵直线、被直线所截，与在直线的同旁，且在直线、之间， ∴的同旁内角是； 故选：A． 【融会贯通】 1．如图所示，下列说法错误的是（    ） A．和是同位角 B．和是内错角 C．和是邻补角 D．和是同旁内角 【答案】A 【分析】本题考查同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义结合图形进行判断即可．同位角的概念：两条直线，被第三条直线所截（或说，都与相交），在截线的同旁，被截两直线，的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角．内错角的概念：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角同旁内角的概念：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角． 【详解】解：A．和不是同位角，原说法错误，故此选项符合题意； B. 和是内错角，故该选项正确，不符合题意； C. 和是邻补角，故该选项正确，不符合题意；     D. 和是同旁内角，故该选项正确，不符合题意； 故选：A． 2．如图，与是直线a和直线b被直线c所截的 角． 【答案】内错 【分析】本题考查了同位角，内错角、同旁内角的定义，熟练掌握它们的特征是解题的关键； 根据内错角的特征直接解答即可； 【详解】解：与是直线a和直线b被直线c所截的内错角， 故答案为：内错； 3．如图，直线a，b被直线c所截，，，则的同位角的度数是 ；的同旁内角的度数是 ． 【答案】 /70度 /70度 【分析】此题考查了邻补角同位角和同旁内角的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 根据同位角，同旁内角的概念以及邻补角求解即可． 【详解】解：的同位角是 ． ∵，， ∴，即的同位角的度数是． 的同旁内角是 ． ∴的同旁内角的度数是． 故答案为：，． 类型六、平行的性质求解 【解惑】如图，直线被直线所截，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，先证明，进而得到，邻补角求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【融会贯通】 1．如图，直线，将一个含角的直角三角尺按如图所示的方式放置．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是利用两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等求解． 作，先根据平行线的性质求出，再证明，然后根据两直线平行，同旁内角相等即可求解． 【详解】解：如图，作， ∵三角尺是含角的三角尺， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图摆放的一副学生用直角三角板，，，与相交于点G，当时，则的度数是 ． 【答案】/105度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点作，则有，，又因为，，有即可得出答案． 【详解】解：过点作，    ∵，， ， ，， ∵，， ， 故答案为：． 3．已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】(1) (2) (3)图形见详解， 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，四边形的内角和等知识点，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质． （1）利用角平分线的性质得出，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用角平分线的性质得出，再利用（1）中结论和四边形内角和可求出的度数； （3）根据题意画出图形，过点作，利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，且， ,, ∵， ； （2）解：∵平分，且， ， ∴； （3）解：如图所示，过点作， 又∵， ∴， ， ∵平分，且， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴与的度数差为． 类型七、平行的判定证明 【解惑】问题：如图，与相交于点，平分，．请说明和的位置关系． 下面是小明同学的解答过程（部分空缺），请你帮他完成证明过程． 解：．理由如下： ∵平分， ∴__________（                ）． ∵与相交于点， ∴（              ）． ∴__________（等量代换）． ∵， ∴__________． ∴（              ）． 【答案】；角平分线的定义；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，角平分线的定义和对顶角的性质，先由角平分线的定义和对顶角相等证明，则可证明，据此可证明结论． 【详解】解：．理由如下： ∵平分， ∴（角平分线的定义）． ∵与相交于点， ∴（对顶角相等）． ∴（等量代换）． ∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 【融会贯通】 1．如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定，垂直的定义，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行）． 2．如图，点B在上，，，问射线与平行吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，垂线的定义，先由垂线的定义和平角的定义得到，再由已知条件可证明，据此可证明． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 类型八、画垂线 【解惑】如图，点P是的边上的一点． (1)过点P画的垂线，交于点C； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)线段的长度是点P到直线 的距离，线段 长度是点C到直线的距离； (4)因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段这三条线段长度的大小关系是 （用“<”连接）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)， (4) 【分析】本题考查了垂线的作法，点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握垂线段最短是解答本题的关键． （1）（2）利用方格线画垂线即可； （3）根据点到直线的距离的定义得到线段的长度是点P到的距离，线段的长是点C到直线的距离； （4）根据直线外一点到直线上各点连接的所有线中，垂线段最短得到，，即可得到线段的大小关系． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求， （2）解：如图，直线即为所求， （3）解：线段的长度是点P到直线的距离，线段的长是点C到直线的距离． 故答案为：，； （4）解：∵，， ∴． 【融会贯通】 1．如图，已知点A在的一边上．按要求画图并填空： (1)过点A画直线，与的另一边相交于点B； (2)过点A画的垂线段，垂足为点C； (3)过点C画直线，交于点D； (4)点A到直线的距离是线段______的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查作图-复杂作图，点到直线的距离，平行线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据要求作出图形即可． （2）根据要求作出图形即可． （3）根据要求作出图形即可． （4）利用平行线的性质求解即可． （5）根据点到直线的距离的定义，解决问题即可． 【详解】（1）解：直线如图所示： （2）解：的垂线段如图所示： （3）解：直线如图所示： （4）解：点A到直线的距离是线段的长度 故答案为：． 2．如图，由相同边长的小正方形组成的网格图形，点，，都在格点上． (1)在网格内过点画与线段平行且相等的线段； (2)过点画直线的垂线，并注明垂足为点；过点画直线的垂线，交于点； (3)线段的长度是点________到直线________的距离，点到直线的距离是________； (4)线段，，中，最短的是________，判断依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)；；线段的长度； (4)；垂线段最短． 【分析】本题考查的是作图-基本作图，熟知平行线及垂线的作法是解答此题的关键． （1）根据题意画出图形即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）根据点到直线距离的定义即可得出结论； （4）根据垂线段最短即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示； （3）解：∵， ∴线段的长度是点H到直线的距离； ∵， ∴点A到直线的距离是线段的长度． 故答案为：的长度； （4）解：∵， ∴． 又， ∴线段，，中，最短的是，判断依据是垂线段最短 故答案为：，垂线段最短． 3．如图，已知直线和点．    (1)过点画的垂线，垂足为，连接，． (2)填空：线段______的长度是点到直线的距离． (3)比较线段的大小：______（用“”“”或“”连接），理由：______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题考查画垂线，点到直线的距离，垂线段最短： （1）根据要求，画图即可； （2）根据点到直线的垂线段的长度即为点到直线的距离，作答即可； （3）根据垂线段最短，进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （3），理由是：垂线段最短． 类型九、画平行线 【解惑】已知：及内部一点． (1)①过点作直线于点； ②过点作直线交于点； (2)比较线段与线段的大小：______，理由是______． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)；垂线段最短 【分析】本题考查了画垂线、画平行线、垂线段最短，理解题意正确作出图形是解题的关键． （1）①根据垂线的定义画出图形即可；②根据平行线的定义画出图形即可； （2）利用垂线段最短即可解答． 【详解】（1）解：①如图所示，直线即为所求： ②如图所示，直线即为所求： （2）解：根据垂线段最短可知，． 故答案为：；垂线段最短． 【融会贯通】 1．按下列要求画图并填空： 如图，点P为内部一点， (1)过点P画出，交于E． (2)过点P画出于F． (3)点E到直线的距离是线段______的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作平移和垂直，点与直线的距离； （1）平移直线，使经过点，与交于E，此时； （2）用三角板作即可； （3）根据点与直线的距离的定义可得点E到直线的距离是线段的长． 【详解】（1）解：如图，，此时即为所求； （2）解：如图，过点P画出于F； （3）解：∵， ∴点E到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 2．按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点， (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F： (3)过点M画出直线的平行线PQ： (4)点M到点N之间的距离是线段________的长： (5)点O到直线的距离是线段_________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5) 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据平行线的定义画出图形即可； （4）根据点到点的距离的定义，判断即可． （5）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求； （2）解：如上图所示，直线即为所求； （3）解：如上图所示，直线即为所求； （4）解：点M到点N之间的距离是线段的长； 故答案为：， （5）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为：． 3．利用网格画图： (1)过点画的平行线； (2)过点画的垂线，垂足为； (3)线段的长度是点到直线____的距离； (4)连接、，在线段、、中，线段______最短，理由：______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4)；垂线段最短 【分析】本题考查了网格作图和据垂线段最短，解题的关键是熟练掌握网格的特点． （1）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与平行的格点作出即可； （2）根据网格结构的特点，利用直线与网格的夹角的关系找出与垂直的格点； （3）根据点到直线的距离概念回答； （4）根据垂线段最短直接回答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的平行线； （2）解：如图，即为所求作的垂线； （3）解：线段的长度是点到直线的距离； 故答案为：； （4）解：连接、，在线段、、中，线段最短，理由：垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 类型十、平移(作图) 【解惑】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点及点在网格的格点上，平移后的对应点为． (1)在网格中画出平移后所得的； (2)连接，则与的关系是___________； 【答案】(1)图见解析 (2) 【分析】本题考查平移作图，平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键： （1）根据对应点确定平移规则，画出即可； （2）根据平移的性质，结合图形进行作答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）由图和平移的性质可知：； 故答案为：． 【融会贯通】 1．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，的顶点都在方格纸的格点上。 (1)将平移后得到，图中标出了点B的对应点，请补全； (2)连接、，则这两条线段之间的关系是______； (3)点P为格点，且（点P与点A不重合），在图中画出点P的位置． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)见详解 【分析】（1）根据题意找到平移后点的对应点，顺次连接即可求解； （2）根据平移的性质即可求解； （3）根据网格的特点，找到过A点与平行的直线，根据平行线间的距离相等，可得等底同高的三角形面积相等，据此即可求解． 本题考查了平移作图，平移的性质，三角形的面积公式，平行线间的距离，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求 ； （2）解：根据平移的特点，可知，， ； 故答案为：，； （3）解：符合题意的点如图所示： 2．如图、在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，的三个顶点的位置如图所示，现将平移，点平移到点的位置，、点平移后的对应点分别是点、． (1)作出平移后的； (2)连接、，线段、之间的关系是______； (3)画格点，使得直线； (4)在上找一点，使得写出的面积是． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图——平移变换，平移的性质，平行线的性质，利用数形结合的思想是解题关键． （1）由点和点的位置可确定平移方式为“向右平移个格，向下平移个格”，即可确定、点平移后的对应点、，最后顺次连接、、三点即可； （2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行且相等即可求解； （3）将向上平移过点，即可得到点； （4）找到格点，过格点作的平行线交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，连接、， 由图可知，线段、之间的关系是平行且相等， 故答案为：平行且相等； （3）如图，点即为所求； （4）如图，点即为所求． 3．如图，在边长为的方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点的对应点． (1)补全； (2)这个平移过程可以看作先向___________平移___________个单位，再向___________平移___________个单位； (3)求线段平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)左，，下， (3) 【分析】本题考查平移的性质，平移作图，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据点和点的位置，得出平移的方向和距离，据此可解决问题； （2）根据（1）所画图形即可解决问题； （3）根据平移的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）这个平移过程可以看作先向左平移个单位，再向下平移个单位， 故答案为：左，，下，； （3）． 【一览众山小】 1．如图，已知烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上．若，，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据平行得到的度数，再利用角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 2．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为（   ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．过顶点作，利用平行线的性质得到，利用角的和差得到，再利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图，过顶点作， ， ， ， ，， ， ， ． 故选：D． 3．绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定与性质，先根据平行线的判定与性质得到，再根据平行线的性质得到即可求解． 【详解】解：∵都与地面平行， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与平行， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，直线，，，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：，， ， 故答案为： 5．如图，在甲乙两地之间要修一条笔直的公路，从甲地测得公路的走向是北偏东，甲乙两地同时开工，准确接通，乙地所修公路的走向是南偏西 ，道理是： ． 【答案】 42 两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了平行线的性质和方位角的概念，属于基础题型，明确题意、熟练掌握基本知识是解题关键． 由平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】解：如图， 由题意得，， ∴（两直线平行，内错角相等）， 故答案为：42；两直线平行，内错角相等． 6．如图，沿CB方向平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长为 cm． 【答案】24 【分析】本题考查的是平移的性质．先根据图形平移的性质得出，，据此可得出结论． 【详解】解：∵沿CB方向平移得到， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴四边形的周长 ． 故答案为：24． 7．如图，，，，试证明：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：（已知）． __________（__________）． （已知）， __________（等式的基本事实）． 又（__________）， （__________）， （已知）， __________． ∴（__________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；对顶角相等；等式的基本事实；；同旁内角互补，两直线平行． 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，根据平行线的性质求出，求出，进而得到，即可证明结论． 【详解】证明：∵（已知）， （两直线平行，同位角相等） （已知）， （等式的基本事实）， 又（对顶角相等）， （等式的基本事实）， （已知）， ． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；对顶角相等；等式的基本事实；；同旁内角互补，两直线平行． 8．如图，已知，．与平行吗？为什么？ 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．根据题意，由同旁内角互补可推出，从而得到，然后由内错角相等即可证明． 【详解】解：平行，理由如下： ， ， ， ， 又， ， ． 9．如图1，已知，为与之间一点，点，分别在直线上，且平分，连接． (1)求与的数量关系． (2)如图的角平分线分别交直线和线段的延长线于点和． ①已知，求的度数． ②若，且三等分，求的度数． 【答案】(1) (2)①②或 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键： （1）过点作，得到，得到，再根据角的和差关系即可得出判断； （2）①角平分线的定义推出，平行线的性质，得到即可； ②根据平行线的性质，结合角平分线的定义，对顶角，分别得到，，根据，求出的度数，进而求出的度数即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①∵，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵三等分， ①当时， ∵，由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时， ∵，由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 10． 综合与实践： 【问题初探】 （）数学活动课上，王老师给出如下问题：如图①，，点在之间且点在点右侧，求证：（提示：过点作）； 【类比探究】 （）小明对王老师给出的问题进行改编：如图②，，点在之间且点在点左侧，猜想，，之间的数量关系： ，并加以证明； 【学以致用】 （）如图③是超市的购物车，图④是其侧面示意图，已知，，测量得知，，直接写出的度数 ． 【答案】（）证明见解析；（），证明见解析；（） 【分析】（）如图①，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图②，过点作，可得，，即得，进而即可求证； （）如图③，过点作，过点作，根据平行线的性质可得，，进而即可求解； 本题考查了平行线的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图①，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （），证明如下： 如图②，过点作，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 即； （）解：如图③，过点作，过点作， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$