18.2.2.2菱形的判定定理2课件-2025-2026学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月13日 18.2.2.2菱形的判定定理2 第18章 矩形、菱形与正方形 华东师大版八年级数学下册18.2.2.2菱形的判定定理2练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、选择题（每题3分，共15分） 1. 下列选项中，能利用“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”判定四边形为菱形的是（ ） A. 四边形ABCD中，AC⊥BD B. 平行四边形ABCD中，AC⊥BD C. 四边形ABCD中，AC=BD，AB=AD D. 平行四边形ABCD中，AB=BC 2. 已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC⊥BD，则四边形ABCD一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 无法确定 3. 下列条件中，不能判定平行四边形ABCD为菱形的是（ ） A. AC⊥BD B. 对角线互相垂直平分 C. AB=AD D. AC=BD 4. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=3，OB=4，AC⊥BD，则平行四边形ABCD的边长为（ ） A. 5 B. 10 C. 12 D. 14 5. 下列关于菱形判定定理2的运用，正确的是（ ） A. 只要对角线互相垂直，四边形就是菱形 B. 平行四边形中，对角线互相垂直即可判定为菱形 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是菱形 D. 平行四边形中，对角线平分内角即可判定为菱形 二、填空题（每题3分，共15分） 1. 菱形的判定定理2：________的平行四边形是菱形。 2. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC⊥BD，若OA=2，OB=3，则平行四边形ABCD是________，其面积为________cm²。 3. 如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BD，且AC=6cm，BD=8cm，则这个菱形的边长为________cm。 4. 若平行四边形的对角线互相垂直且平分，则这个平行四边形是________。 5. 已知平行四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB=5cm，则这个菱形的周长为________cm。 三、解答题（共70分） 1. （15分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形（证明菱形判定定理2）。 2. （15分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，且AE⊥OB，CF⊥OD，求证：四边形ABCD是菱形。 3. （20分）如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE、BE、CD，且BE⊥CD，求证：四边形BCDE是菱形。 4. （20分）如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC⊥BD，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF，连接OE、OF，求证：四边形OEBF是菱形。 四、易错点提示（附加5分） 1. 菱形判定定理2的前提是“平行四边形”，不可忽略前提，直接用“对角线互相垂直”判定四边形为菱形；2. 证明时，需先证四边形是平行四边形，再证对角线互相垂直，两步缺一不可；3. 区分判定定理1（邻边相等）和定理2（对角线垂直），明确两者的适用场景，避免混淆。 参考答案提示： 一、1.B 2.B 3.D 4.A 5.B；二、1.对角线互相垂直 2.菱形，12 3.5 4.菱形 5.20； 三、1. 利用平行四边形对角线互相平分，结合AC⊥BD，证邻边相等（勾股定理），进而判定为菱形；2. 由AE⊥OB、CF⊥OD及E、F是中点，证AC垂直平分BD，结合平行四边形性质判定为菱形；3. 先证四边形BCDE是平行四边形，再由BE⊥CD，用判定定理2证为菱形；4. 先证四边形ABCD是菱形，得AB∥CD、AB=CD，结合AE=CF得BE=BF，再证OE=OF、OB⊥EF，判定四边形OEBF是菱形。 1.利用菱形特有性质（对角线互相垂直）来判定平行四边形是否为菱形；（重点） 2.菱形的性质与判定的综合运用.（难点） 学习目标 问题 上一课我们学习的菱形的判定方法有哪些？ 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 2.定理：四边相等的四边形是菱形. 菱形的特有性质：对角线互相垂直平分 对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 能否判定？ 思考：还有其他的判定方法吗？ 做一做 将一张长方形的纸对折，再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形. (1) (2) (3) (4) 你能说说这样做的道理吗? 【动手操作】如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的 中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线. 平行四边形 转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形？ 试一试 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 1.作 2 条互相垂直的直线 m、n，记交点为点 O； 2.以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC； 3.以点 O 为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线 n 上截取相等的两条线段 OB、OD； 4.顺次连结所得的四点. A B C D m n O 它是菱形吗，怎么证明？ 尝试证明 已知：四边形 ABCD 是平行四边形，且 AC ⊥ BD， 求证：平行四边形 ABCD 是菱形. 证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC， 又∵AC ⊥ BD, ∴BD 所在直线是线段 AC 的垂直平分线， ∴AB = BC ∴平行四边形 ABCD 是菱形.（菱形的定义） A O C B D 归 纳 菱形的判定定理 2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵在 □ ABCD 中，AC ⊥ BD， ∴四边形 ABCD 是菱形. A O C B D 若四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD，则四边形 ABCD 是不是菱形？ 思 考 只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形. 例 5 如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 2 A B C D F E O 1 要证四边形 AFCE 是菱形 已知条件可知 EF ⊥ AC 只需要证明四边形 AFCE 是平行四边形 又知 EF 垂直平分 AC 所以只需证明 OE = OF 2 A B C D F E O 1 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠1 = ∠2. ∵EF 平分 AC， 在△AOE 和 △COF 中， ∴△AOE ≌ △COF，∴OE = OF， ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵EF ⊥ AC， ∴四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形.) ∴ AE ∥ FC， ∴OA = OC. ∵∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF， ∴OE = OF， 【选自教材第135页 练习 第1题】 给定一条线段 AC，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使 AC 为该菱形的一条对角线？试试看. 提示: 作线段 AC 的垂直平分线， 并以垂足为圆心，任意长为半径 交垂直平分线于 B，D 两点， 连结 AB、CB、AD、CD 即可. A C O D B 随堂练习 【选自教材第135页 练习 第2题】 2. 如图，过 □ ABCD 的对角线的交点 O，作互相垂直的两条直线 EG、FH，与 □ ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H. 求证：四边形 EFGH 是菱形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，OB ＝OD，∴ ∠GBO ＝∠EDO. 又∵ ∠BOG ＝∠DOE， ∴ △BOG≌△DOE，∴ OG ＝OE. 同理可证△BOF≌△DOH，∴ OF ＝OH， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵ EG ⊥ FH， ∴ 四边形 EFGH 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). A B C D E F G H O 随堂练习 解: 如图，作两条对角线长分别为 6 cm 和 4 cm 的四个菱形， 这个图形就是所设计的花边图案. (答案不唯一) 3. 设计一个由一条对角线在同一条直线上的四个菱形交叉组成 的花边图案，其长为 15 cm，宽为 4 cm，试画出它的图形. 【选自教材第135页 练习 第3题】 随堂练习 返回 7. AO＝CO (答案不唯一) 如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD， 垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，请添加一个条件：________. 中考考法 返回 8. 证明：∵OB2＋OA2＝32＋42＝25， AB2＝52＝25，∴OB2＋OA2＝AB2， ∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD. ∴▱ABCD是菱形． (4分)[长春中考]如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB＝5，OA＝4，OB＝3. 求证：▱ABCD是菱形. 中考考法 返回 9. C 根据以下平行四边形中所标注的角的度数、边的长度，一定能判定其为菱形的是(　　) 中考考法 17 返回 10. D 如图，正方形网格中，把△ABC顶点C向右平移3格，再向上平移1格到达点C′，连结BC′，则线段BC′与AC的关系是(　　) A．垂直 B．相等 C．互相平分 D．垂直且互相平分 中考考法 18 返回 11. 60° 如图，▱ABCD中，∠BAD的平分线AE交BC于点E，EF∥AB，四边形ABEF的周长为40，BF＝10，则∠BAD＝________. 中考考法 19 返回 12. 两张全等的矩形纸片ABCD，AECF按如图所示的方式交叉叠放在一起．若AB＝AF ＝2，AE＝BC＝8，则图中重叠(阴影)部分的面积为________. 中考考法 20 13. (8分)某吊灯截面如图所示，四边形ABCD是一个菱形框架，对角线相交于点O，四边形AECF是内部框架，点E，F在BD上，BE＝DF. (1)求证：四边形内部框架AECF为菱形； 中考考法 证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，OA＝OC，AC⊥BD. ∵BE＝DF，∴OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥BD，∴四边形AECF是菱形． 中考考法 (2)若AE⊥AD，F为DE的中点，框架AECF的周长为8，求AD的长度. 返回 中考考法 23 14. (12分)[周口期末]同学们用一张钝角三角形纸片ABC(∠BAC为钝角)进行了如下操作： 第一步：如图①，折出△ABC的角平分线AD； 第二步：如图②，展平纸片，再次折叠该三角形纸片，使点A与点D重合，折痕分别与AB，AC交于点E，F； 第三步：如图③，再次展平纸片，连结DE，DF，可得四边形AEDF，AD与EF交于O点． 中考考法 解：如图所示，AD即为所求． (1)在图④的△ABC中利用尺规作出折痕AD；(保留作图痕迹，不写作法) 中考考法 25 解：四边形AEDF是菱形． 理由如下：由折叠可知，AD是∠BAC的平分线， EF是AD的垂直平分线， ∴AE＝DE，AF＝DF，∠EAD＝∠FAD，∠AOE＝∠AOF＝90°. 又∵AO＝AO，∴△AOE≌△AOF，∴AE＝AF， ∴AE＝DE＝AF＝DF，∴四边形AEDF是菱形． (2)判断图③中四边形AEDF的形状，并说明理由； 中考考法 26 (3)如图⑤，小明用直角三角形纸片ABC(∠C＝90°，BC＝4，AC＝3)也进行了如上三步操作，此时线段AF的长为__________. 返回 中考考法 27 判定一个四边形是菱形的思路： 四边形 四条边都相等 平行四边形 有一组邻边相等 对角线互相垂直 菱形 菱形 菱形 课堂小结 解：∵四边形AECF是菱形且周长为8，∴AE＝AF＝2. 在△ADE中，AE⊥AD，F为DE的中点，∴DE＝2AF＝4. 在Rt△ADE中，AE2＋AD2＝DE2， 即22＋AD2＝42 ，∴AD＝(负值舍去)． $