专题02 与平行四边形有关的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题（举一反三专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题02与平行四边形有关的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 【题型1 平行四边形与平移问题】 1 【题型2 平行四边形与对称问题】 5 【题型3 平行四边形与旋转问题】 9 【题型4 平行四边形与定值问题】 13 【题型5 平行四边形与最大值问题】 22 【题型6 平行四边形与最小值问题】 26 【题型7 平行四边形与动点问题】 30 【题型8 平行四边形与存在性问题】 34 【题型1 平行四边形与平移问题】 【例1】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    【答案】3 【分析】根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解． 【详解】解：依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平移的性质及求一次函数的值，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，确定，再由题意确定当时，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的边在x轴上，， ∴， ∴， ∵将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上， ∴当时，， ∴， 故答案为：5． 【变式1-2】如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质以及平移的性质，解题的关键是熟练掌握等边三角形的判定和性质． 已知是等边三角形，，求出，再根据，求出和，再根据四边形是平行四边形求出，进而求出即可． 【详解】解：∵是等边三角形，， ， ， ， ， ∵将沿向右平移， ∴、、三点共线， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25八年级下·山东·期末）如图，在中，，，点在上，，将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，那么四边形的面积为 ． 【答案】32 【分析】本题主要考查了平移的性质、等腰三角形的性质（等角对等边、三线合一）、勾股定理、平行四边形的判定及平行四边形面积的计算；掌握通过平移和等腰三角形性质求出梯形的高是解题的关键．根据平移性质得到及的长度，利用等腰三角形性质推出，作高后结合勾股定理求出，再证明平行四边形，进而计算四边形的面积． 【详解】解：∵将线段沿着的方向平移得到线段， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 过点作， ∵， ∴， 在中， ， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ． 故答案为：． 【题型2 平行四边形与对称问题】 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的变化规律，根据题意可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解，找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， ∴每次轴对称变换重复一轮， ∵， ∴经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为， 故选：． 【变式2-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，关于轴对称的点的坐标变化，平行四边形的性质，勾股定理，解此题的关键在于熟练掌握其知识点． 记与x轴相交于F点，，求解，求解，可得，结合平行四边形的性质求解即可． 【详解】解：记与x轴相交于F点，， ∵D与点E关于x轴对称，， ∴，即，，， ∵是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 则． 故选D 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点关于x轴对称的性质，等边三角形的性质以及平行四边形的性质等知识，通过计算的长度，利用等边三角形的性质得到的长度，再利用勾股定理求出的长度，从而确定点的坐标，最后根据平行四边形的性质求出点的坐标，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： ∵点与点关于轴对称，点的坐标是， ∴的坐标为 ，， 是以的对角线为边的等边三角形， ， ， ， ， ， ∴点的坐标是， 故选：C． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数表达式； (2)点C在直线上，点D与点C关于y轴对称，如果以O，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标是或 【分析】（1）由直线经过点，，再利用待定系数法求解解析式即可； （2）设与y轴相交于点H，证明，证明．①当点C在线段上时，．如图，则点C的横坐标是，②当点C在线段的延长线上时，．如图，则点C的横坐标是2，再利用函数的性质可得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意得，直线经过点，， 代入得解得． ∴直线的表达式是． （2）∵点C与点D关于y轴对称，设与y轴相交于点H， ∴， ∵以O、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形， ∴． ①当点C在线段上时，．如图， 则点C的横坐标是，点C的坐标是． ②当点C在线段的延长线上时，．如图， 则点C的横坐标是2，点C的坐标是． 综上所述，如果以O，A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，点C的坐标是 或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，轴对称的性质，利用数形结合的方法解题是关键． 【题型3 平行四边形与旋转问题】 【例3】如图，一副三角板如图放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是 ． 【答案】 【分析】过点作，由得，再由得四边形为平行四边形，再证明≌得，再由可知垂直平分，延长交于，求出、，然后可用平行四边形的面积减三角形面积可得答案． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，°， ， ， ， ， 在与中， ， ≌（SAS）， ， ， 垂直平分， 延长交于， ， ，， ， ， ， ， ， ． 垂直平分， =， ∴S△AED=S四边形ABCD-S△ABE-S△CDE-S△BEC = =． 故答案为：． 【点睛】本题是三角形旋转变换综合题，主要考查了平行线的判定与性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质以及勾股定理，综合能力较强． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，绕点按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，和相交于点，则的度数是 ． 【答案】/36度 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，由旋转的性质可得，，，，由等腰三角形的性质可得，由三角形的内角和定理可求解． 【详解】解：平行四边形绕点逆时针旋转，得到， ，，，， ， ，， ， ， 故答案为：． 【变式3-2】（2025·吉林四平·三模）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点B'落在边CD上，若，当三点共线时，等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形旋转的性质，等腰三角形的性质等知识，由图形旋转的性质可知，由平行四边形的性质可知，再用等腰三角形的性质推得，最后根据三角形的内角和定理即可得到答案，灵活运用平行四边形和图形旋转的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵平行四边形绕点A旋转得到平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴等于， 故答案为：． 【变式3-3】如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是 ． 【答案】 【分析】延长CE交AB于点F，先根据特殊直角三角形的性质和∠AED=75°，推出AB∥CD，从而可证四边形ABCD为平行四边形，再根据等腰直角三角形的性质求出EF长，则可求出CF长，最后计算平行四边形ABCD的面积即可． 【详解】解：如图2，延长CE交AB于点F， ∵， ∴， 又， ∴， ∴AB∥CD， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的判定和平行四边形面积的计算，先证出四边形ABCD是平行四边形是解题的关键． 【题型4 平行四边形与定值问题】 【例4】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行四边形判定和性质，勾股定理，关键是判定四边形是平行四边形，推出，由勾股定理得到． 过A作于H，由等腰三角形的性质推出，判定四边形AEDC是平行四边形，推出，由勾股定理得到定值． 【详解】解：过A作于H， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 设，， ，， 定值， 故选：B 【变式4-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，点、，其中a、b满足，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接． (1)请直接写出______、______、c的坐标是______； (2)连接交于一点E，求； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)，3， (2) (3)的值是定值，定值为3 【分析】本题考查三角形综合题，考查了非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用非负数的性质，构建方程组即可解决问题． （2）利用面积法求解即可． （3）结论：的值是定值．分两种情形：如图2-1中，当点N在线段上时，连接．如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接．分别说明即可解决问题． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D， ∴， 故答案为：，3，； （2）解：如图1中， ∵， ∴， 即， ∴； （3）解：结论：的值是定值． 理由：如图2-1中，当点N在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：，， ∴， ∴， ∴， ∵定值． 如图2-2中，当点N在的延长线上时，连接． ∵定值， 综上所述，的值是定值，定值为3． 【变式4-2】如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3)四边形的面积不变，为定值 【分析】（1）根据可知四边形是平行四边形，即可得答案； （2）根据平行四边形及，可证得和为等边三角形，则，，，再结合是等边三角形，进而证得，利用即可证明，即可得结论； （3）根据，得，故由，可知四边形的面积是定值，作于点，由等边三角形的性质求得，进而求得即可求得，可得定值． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：是； （2）证明：由（1）知四边形为平行四边形，则，， ∵，，， ∴， 又∵， ∴和为等边三角形， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴． ∴； （3）四边形的面积不变，为定值． 理由如下：由（2）得，则， 故，是定值， 作于点， ∵， ∴，则， ∴， 综上，四边形的面积不变，为定值． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定及性质，三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 【变式4-3】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)①直接写出点的坐标______； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求线段的长度； (3)如图，连接交于，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【答案】(1)①； ②证明见解析 (2) (3)②正确，证明见解析 【分析】（1）①由正方形的性质求得点B的坐标；②在OD上取OH=OM，连接HM，只要证明△DHM≌△MBN即可． （2）如图，作NE⊥OB于E，只要证明△DMO≌△MNE即可求得点N的坐标．由平行四边形的对边相互平行且相等的性质求得点P的坐标，从而可得答案． （3）结论：②MN平分∠FMB成立．如图，在BO延长线上取OA=CF，过M作MP⊥DN于P，因为∠NMB+∠CDF=45°，所以只要证明∠FMN+∠CDF=45°即可解决问题，再说明FM不是定值即可，即结论①不成立． 【详解】（1）解：①∵四边形OBCD是正方形，D（0，3）， ∴ B（3，0）． ②证明：如图，在OD上取OH=OM，连接HM， ∵OD=OB，OH=OM， ∴HD=MB，∠OHM=∠OMH=， ∴∠DHM=180°-45°=135°， ∵NB平分∠CBE， ∴∠NBE=45°， ∴∠NBM=180°-45°=135°， ∴∠DHM=∠NBM， ∵， ∴∠DMO+∠NMB=90°， ∵∠HDM+∠DMO=90°， ∴∠HDM=∠NMB， 在△DHM和△MBN中， ， ∴△DHM≌△MBN（ASA）， ∴DM=MN． （2）如图，连接DM，作NE⊥OB于E， 由M（2，0）知OM=2， ∵∠DMN=90°， ∴∠DMO+∠NME=90°，∠NME+∠MNE=90°， ∴∠DMO=∠MNE， 在△DMO和△MNE中，， ∴△DMO≌△MNE（AAS）， ∴ME=DO=3，NE=OM=2， ∴OE=OM+ME=2+3=5， ∴点N坐标（5，2）， ∵四边形MNCP是平行四边形，C（3，3）， ∴由平移的性质可得：P（0，1）． 所以线段； （3）结论：②MN平分∠FMB成立． 证明：如图，在BO延长线上取OA=CF， 在△AOD和△FCD中，， ∴△DOA≌△DCF（SAS）， ∴AD=DF，∠ADO=∠CDF，   ∵ ∠MDN=45°， ∴∠CDF+∠ODM=45°， ∴∠ADO+∠ODM=45°， ∴∠ADM=∠FDM， 在△DMA和△DMF中， ， ∴△DMA≌△DMF（SAS）， ∴∠DFM=∠DAM=∠DFC， 过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF， ∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°， ∠NMB=∠MDO，∠MDO+∠CDF=45°， ∴∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FMB． 由为上一个动点，且MN平分∠FMB， 显然不是定值．即结论①不成立． 【点睛】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质，坐标与图形，平行四边形的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形，记住一些基本图形，可以使得我们在观察新问题的时候很迅速地联想到解题方法． 【题型5 平行四边形与最大值问题】 【例5】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在中，，，是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 8 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，垂线段最短，等腰三角形的性质，勾股定理，根据平行四边形的性质得出当时, 最小，然后连接，利用等腰三角形的性质得出，再由勾股定理及三角形等面积法即可求解；点P在A点时，最大为，根据解答即可． 【详解】解：设与交于点，连接, ∵四边形是平行四边形， ∴, ∵ 是边上的一个动点， ∴当时, 最小， ， ， ， ， ，即， 解得， ； 当点P在A点时，最大为， 这时， 故答案为：8；． 【变式5-1】在平行四边形中，相交于点O，过点O作，连接，已知的周长为18，若的长为整数，则的最大值是 ．    【答案】17 【分析】由平行四边形的性质可得，且，可得是的垂直平分线，可得，即，由三角形的三边关系可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，且， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∵， ∴， ∴对角线的最大整数值为17， 故答案为：17． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 【变式5-2】在中，，，，，将沿剪开成两个三角形，把这两个三角形拼成一个平行四边形．在拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 ．    【答案】 【分析】利用等腰三角形的性质，进而重新组合得出平行四边形，进而利用勾股定理求出对角线的长． 【详解】解：如图，    ∵中，，， ∴， ∴， 如图所示：四边形是矩形，则其对角线的长为15；    如图所示：，，，连接，过点C作于点E，    则，， ∴； 如图所示：，，，过点A作于点E，    由题意可得：，， ∴， 其中最长的对角线的值为． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的剪拼以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练掌握分类讨论是解题关键． 【变式5-3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形的中位线定理，三角形三边之间的关系．取的中点N，连接，则，根据勾股定理求出，由三角形的中位线定理得出，根据三角形三边之间的关系得出，当点B、M、N在同一直线上时，取最大值，即可求解． 【详解】解：取的中点N，连接， ∵点N为中点，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵点M为中点，点N为中点，， ∴， ∴在中，，即， 当点B、M、N在同一直线上时，， 此时取最大值， 故选：A． 【题型6 平行四边形与最小值问题】 【例6】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质.作关于直线的对称点，连接交于，则，，，当重合时，最小，最小值为，再进一步结合勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，， ∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即的最小值为. 故选：C. 【变式6-1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知平行四边形的面积为16，，，点P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，垂线段最短和含30度的直角三角形性质，熟练应用相关性质是解题的关键．过点 于H，作，交的延长线于点，先求出，可得，即，则当点，点，点三点共线且时，有最小值，由可求最小值为． 【详解】解：如图，过点作于H，作，交的延长线于点， 平行四边形的面积为16，，， ， 设，则，， ， 解得：（负值已舍）， ， ， ， ， ， 当点，点，点三点共线且时，有最小值，即最小值为， 在中，， ． 故选：D． 【变式6-2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 【变式6-3】如图，在正方形中，，是正方形内的一条长为的线段，，连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段和的最值问题，解题的关键是作辅助线，将求线段和最值转换到求某条线段长． 在上取点，使，证明四边形是平行四边形，得出，从而得到，得到当、、三点共线时，有最小值，根据勾股定理求解的长即可得到所求． 【详解】解：如图所示，在上取点，使， 在正方形中，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，有最小值， 此时，， 的最小值为． 故答案为： ． 【题型7 平行四边形与动点问题】 【例7】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，，．点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或8 【分析】此题考查了平行四边形的判定方法，熟练运用方程的思想方法是解题的关键．根据题意有，，，点P位于线段上时，，且时，四边形是平行四边形；当点P位于射线上点D右侧时，，且时，四边形是平行四边形，分别求出t即可． 【详解】解：根据题意有，，， ∵，当点P位于线段上时，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴运动时四边形是平行四边形， ∵，当点P位于射线上点D右侧时，， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴，解得， ∴运动时，四边形是平行四边形， 故答案为：或8． 【变式7-1】如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动 s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4或 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定．要使以点为顶点的四边形是平行四边形， 则，先表示出,则或，解出即可． 【详解】解：四边形是平行四边形 cm cm cm 是的中点 cm 要使以点为顶点的四边形是平行四边形 则 或 解得或． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当 时，四边形是平行四边形． 【答案】2 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质得出方程解答． 根据平行四边形的性质得到，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：四边形为平行四边形， ，， 四边形为平行四边形， ， ，， ， ， 当为2秒时，四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【变式7-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 根据图象可得，当点P在上，点Q在上运动时，过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离．通过“”证明，得到，从而当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时，根据勾股定理求出的长，即可得到，从而解答． 【详解】解：由图可知，当点P从点O向点A，点Q从点O向点C运动时，间距离y逐渐增大， 当点P运动到点A，点Q运动到点C时，由图象可知， ∴， ∵四边形四边形是平行四边形， ∴， 此时它们运动了， 当点P在上，点Q在上运动时， 过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离 ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P，Q的运动速度相同， ∴当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时， 根据图象可知点P从点A运动至点E，需要， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B 【题型8 平行四边形与存在性问题】 【例8】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 【答案】(1)6 (2)存在，点E的坐标为 (3)存在，点Q的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求得两直线的解析式，再求得点A和点D的坐标，根据三角形面积公式即可求解； （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短，先求得直线的函数解析式，即可求得点E的坐标； （3）根据平行四边形的对边平行且相等，分为平行四边形的边和平行四边形的对角线两种情况讨论，结合点坐标的平移即可求解． 【详解】（1）∵直线 与x轴交于点A，且经过定点， ∴， 解得：， ∴直线． ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴， 对于直线，令，得到， ∴， ∴． 对于直线，令，得到， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：在x轴上存在一点E，使的周长最短． 如图，作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，则的周长最短． 根据轴对称图形的性质可知的坐标为． 设直线的函数解析式为． 将代入，得 ， 解得， ∴直线的函数解析式为． 令，得到， 解得，， ∴点E的坐标为． （3）解：，，， ， 当为平行四边形的边时，， ∴ ∴点的横坐标为：或， 点Q的坐标为或， 当为平行四边形的对角线时，， 点C向右平移2个单位，向下平移2个单位到点A， 则点D向右平移2个单位，向下平移2个单位到点Q， ∴点Q的坐标为，即； 综上，点Q的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是一次函数的交点问题，轴对称图形的性质，坐标与图形面积，平行四边形的性质等知识，第二问利用轴对称的性质找到点E的位置是解题的关键，第三问利用平行四边形的性质和点坐标的平移是解题的关键． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题是一次函数综合题，考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）由待定系数法求直线的解析式即可； （2）设，，再分两种情况讨论：当为平行四边形对角线时；当为平行四边形的对角线时；利用平行四边形对角线互相平分的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与直线，x轴分别交于点，． ∴，解得， ∴直线的表达式为； （2）解：存在． ∵与x轴交于点B， ∴． 设，， ①当、为平行四边形的对角线时， ∵，， ∴解得， ∴； ②当、为平行四边形的对角线时， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点D的坐标为或． 【变式8-2】如图，矩形的边在轴上，与轴交于点，且，，． (1)求点的坐标． (2)直线从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，设移动时间为秒，直线扫过四边形的面积为，求关于的函数关系式； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)或或 【分析】（1）根据，可得的长，从而得出答案； （2）直线扫过四边形的图形是平行四边形，据此求解即可； （3）分、、为对角线三种情形，分别画出图形，利用平行四边形的性质可得答案． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：由题意可得四边形是矩形， ∴， 当时，直线扫过四边形的图形是平行四边形， ∴； （3）解：存在，∵，,, ，，， 当为对角线时，即， 当为对角线时，即， 当为对角线时，即， 综上：或或 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了矩形的性质，一元二次方程的解法，平行四边形的性质，平移的性质等知识，运用分类思想是解题的关键． 【变式8-3】如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； (3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或或，理由见详解 【分析】（1）根据题意，设直线的解析式为，把点，代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据一次函数与坐标轴的交点，分别求出的坐标，根据几何图形面积的计算方法即可求解； （3）根据平行四边形的判定和性质，图形几何分析即可求解． 【详解】（1）解：∵直线经过点，，设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：； （2）解：直线的解析表达式为：， ∴令时，；令时，； ∴， ∵直线的解析式为：， ∴令时，；令时，； ∴， 联立直线，得， ， 解得，， ∴， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得，， ∵异于点的另一点，且， ∴，即； （3）解：存在，点的坐标为或或，理由如下， 如图所示，，，， 根据题意，四边形，四边形，四边形为平行四边形， ∴的中点坐标的横坐标为，纵坐标为0， ∴设， ∴，， 解得，， ∴； ∵， ∴， ∴的横坐标为，纵坐标为， ∴； 同理，的横坐标为，纵坐标为， ∴； 综上所述，存在，点的坐标为：或或． 【点睛】本题主要考查一次函数图象的性质，平行四边形的判定和性质，几何图形面积的计算方法，一次函数交点与二元一次方程组的运用，掌握一次函数图象，平行四边形的判定和性质是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02与平行四边形有关的几何变换、定值、最值、动点、存在性问题（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 【题型1 平行四边形与平移问题】 1 【题型2 平行四边形与对称问题】 2 【题型3 平行四边形与旋转问题】 4 【题型4 平行四边形与定值问题】 5 【题型5 平行四边形与最大值问题】 6 【题型6 平行四边形与最小值问题】 7 【题型7 平行四边形与动点问题】 8 【题型8 平行四边形与存在性问题】 9 【题型1 平行四边形与平移问题】 【例1】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有 个平行四边形．    【变式1-1】（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ． 【变式1-2】如图，等边三角形的边长，点在边上，且．过点作，垂足为，以、为邻边作平行四边形．将沿向右平移，使点的对应点落在边上，则平移的距离为 ． 【变式1-3】（24-25八年级下·山东·期末）如图，在中，，，点在上，，将线段沿方向平移得到线段，点分别落在边上，那么四边形的面积为 ． 【题型2 平行四边形与对称问题】 【例2】（25-26八年级上·全国·期末）如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴、轴、轴、轴的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25八年级下·辽宁丹东·期末）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点与点关于轴对称，若点的坐标是，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，是以的对角线为边的等边三角形，点C与点E关于x轴对称．若E点的坐标是，则D点的坐标是（） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，． (1)求直线的函数表达式； (2)点C在直线上，点D与点C关于y轴对称，如果以O，A，C，D为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标． 【题型3 平行四边形与旋转问题】 【例3】如图，一副三角板如图放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图，在旋转过程中，当，连接、，这时的面积是 ． 【变式3-1】（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，绕点按逆时针方向旋转，得到，点恰好落在边上，和相交于点，则的度数是 ． 【变式3-2】（2025·吉林四平·三模）如图，将平行四边形绕点A旋转得到平行四边形，点B'落在边CD上，若，当三点共线时，等于 ． 【变式3-3】如图，一副三角板如图1放置，，顶点重合，将绕其顶点旋转，如图2，在旋转过程中，当，连接，，此时四边形的面积是 ． 【题型4 平行四边形与定值问题】 【例4】（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，点D在上，过点D、A分别作、的平行线交于点E，连接，设，，当为定值时，无论m、n的值如何变化，下列代数式的值不变的是（     ） A．mn B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级下·湖北武汉·期中）如图1，点、，其中a、b满足，将点A、B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位至C、D，连接． (1)请直接写出______、______、c的坐标是______； (2)连接交于一点E，求； (3)如图2，点M从O点出发，以每秒1个单位的速度向上运动，同时点N从B点出发，以每秒2个单位的速度向左运动．设运动时间为t秒，射线交y轴于点F．问的值是否为定值？如果是定值，请求出它的值；如果不是定值，请说明理由． 【变式4-2】如图所示四边形中，，，为正三角形，点E、F分别在边、上滑动，且E、F不与B、C、D重合． (1)四边形______平行四边形（是或不是） (2)证明不论E、F在、上如何滑动，总有； (3)当点E、F在、上滑动时，四边形的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值． 【变式4-3】如图1，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，，点是延长线上一点，是线段上一动点（不包括、），作，交的平分线于点． (1)①直接写出点的坐标______； ②求证：； (2)如图2，若，在上找一点，使四边形是平行四边形，求线段的长度； (3)如图，连接交于，连接，下列两个结论： ①的长为定值； ②平分，其中只有一个正确，选择并证明． 【题型5 平行四边形与最大值问题】 【例5】（24-25八年级下·河南洛阳·月考）如图，在中，，，是边上的一个动点，以为对角线作平行四边形，则的最大值为 ，最小值为 ． 【变式5-1】在平行四边形中，相交于点O，过点O作，连接，已知的周长为18，若的长为整数，则的最大值是 ．    【变式5-2】在中，，，，，将沿剪开成两个三角形，把这两个三角形拼成一个平行四边形．在拼成的平行四边形中，对角线长度的最大值是 ．    【变式5-3】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）如图，在中，，，，平面上有一点，连接，，若，取的中点．连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型6 平行四边形与最小值问题】 【例6】（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【变式6-1】（24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，已知平行四边形的面积为16，，，点P为边上的一个动点，则的最小值为（   ） A．4 B． C． D．8 【变式6-2】（24-25八年级下·四川泸州·期中）如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是 ． 【变式6-3】如图，在正方形中，，是正方形内的一条长为的线段，，连接、，则的最小值为 ． 【题型7 平行四边形与动点问题】 【例7】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在四边形中，，，．点，分别从，同时出发，点以的速度沿射线运动，点以的速度由点向点运动，当点运动到点时，两点均停止运动，设运动时间为，当 时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形． 【变式7-1】如图，在中，对角线相交于点．点在上，，cm，，点是的中点，若点以1cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点同时以2cm/s的速度从点出发，沿向点运动，点运动到点时停止运动，点也同时停止坛动，当点运动 s时，以点为顶点的四边形是平行四边形． 【变式7-2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的对角线、相交于点，，点在线段上从点出发，以每秒1个单位的速度运动，点在线段上从点出发，以每秒2个单位的速度运动．若点、同时出发，设运动时间为，当 时，四边形是平行四边形． 【变式7-3】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【题型8 平行四边形与存在性问题】 【例8】如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点．且经过定点，直线与交于点． (1)求的面积； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由： (3)平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标（并请写出求出其中一个点的过程）． 【变式8-1】（24-25八年级下·山东济宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点，． (1)求直线的解析式； (2)若分别是直线和轴上的动点，是否存在点，使得以为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式8-2】如图，矩形的边在轴上，与轴交于点，且，，． (1)求点的坐标． (2)直线从点出发，以每秒个单位长度的速度沿轴正方向平移，设移动时间为秒，直线扫过四边形的面积为，求关于的函数关系式； (3)在平面直角坐标系中，是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式8-3】如图，直线的解析表达式为：，且与轴交于点，直线经过点，，直线，交于点． (1)求直线的解析式； (2)在直线上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； (3)若点为坐标平面内任意一点，在坐标平面内是否存在这样的点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $