专题11.1.1 空间几何体与斜二测画法（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题11.1.1 空间几何体与斜二测画法 教学目标 1．理解斜二测画法的核心规则，掌握坐标轴夹角、平行性、长度变化三大要点。 2．能按斜二测画法步骤规范绘制平面图形的直观图，准确还原图形形状。 3．熟记原图与直观图的面积比例关系，能快速进行面积互算与逆向还原。 4．理解“斜”与“二测”的含义，能辨析画法正误并解释相关几何特征。 教学重难点 重点：斜二测画法三大规则、直观图绘制、原图与直观图面积比例计算。 难点：y轴方向长度减半的应用、角度控制、面积公式的理解与灵活使用。 知识点01 斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使(或)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度不变；平行于轴的线段长度变为原来的一半． 【即学即练】 1．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 【答案】B 【详解】由斜二测法画图原则：平行改斜，垂直不变，横等纵半竖不变，可见为实，遮为虚， 对于选项A，菱形的直观图是平行四边形，所以A错误， 对于选项B，矩形的直观图为平行四边形，所以B正确， 对于选项C，平行四边形的直观图是平行四边形，所以C错误， 对于选项D，正三角形的直观图中高为原来的一半且与底边成，其不为等腰三角形，所以D错误， 故选：B. 2．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据斜二测画法得到三角形为直角三角形，， 底边长，高， 所以， 直角三角形的周长为． 故选：A． 知识点02 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 【即学即练】 3．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在四边形中，，， 根据是平行四边形可得，四边形是矩形，且， 所以四边形的面积. 4．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是__________． 【答案】 【详解】由直观图得到原图是一个直角三角形，且， 所以的面积是. 题型01 斜二测画法的概念辨析 【例1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于x轴和y轴，且，则在直观图中，.( ) （2）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．( ) （3）相等的角在直观图中仍相等．( ) 【答案】 错误 正确 错误 【详解】（1）在直观图中，或，比如正方形的直观图，错误； （2）斜二测画法中，平行关系不变，正确； （3）相等的角由于具体位置不确定，故相等的角在直观图中不一定相等， 比如正方形中的四个角在直观图中可能就不相等， 故答案为：错误，正确，错误 【例2】关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 【答案】C 【详解】对选项A，对于斜二测画法，平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的，故A错误； 对选项B，直观图的面积是原图面积的，故B错误； 对选项C，斜二测画法的核心是平行关系保持不变.原平行四边形的对边平行，因此直观图的对边仍平行，故仍是平行四边形，故C正确； 对选项D，不妨以水平放置的正方形为例，其直观图直角变为或，故D错误. 【变式1-1】关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【答案】D 【详解】斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，故A不符合题意； 斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行，故B不符合题意； 用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行，故C不符合题意； 斜二测画法中，直观图和原图的面积不一定相等，故D符合题意． 故选：D． 【变式1-2】利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是__________. 【答案】① 【详解】由斜二测画法规则知，斜二测画法保持平行性不变，因此原相交直线，利用斜二测画法得到的仍是相交直线， 三角形的直观图一定是三角形，①正确； 斜二测画法中只有平行于轴或在轴上的线段，长度保持不变， 因此正方形、菱形的相邻两边，利用斜二测画法得到的线段不等，②③错误. 故答案为：① 【变式1-3】（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．平行四边形的直观图是平行四边形 【答案】BCD 【详解】A选项：斜二测画法中，平行于轴的线段长度会变为原来的一半，所以原本相等的线段，在直观图中长度可能不相等， A错误； B选项：斜二测画法的核心性质之一就是“平行性不变”，平行的线段在直观图中仍然保持平行，B正确； C选项：直观图中，原本的角会变成一个新的角（如直角会变成45°或135°），但依然是一个角，C正确； D选项：由于平行四边形的对边平行，而平行性在直观图中保持不变，因此平行四边形的直观图仍是平行四边形，D正确. 斜二测四大核心规则：坐标轴夹角45°或135°、平行性保持不变、x轴方向长度不变、y轴方向长度减半。逐一核对选项是否符合全部规则，重点区分“斜”与“二测”的含义，判断角度、长度、平行性描述是否正确。 题型02 画平面图形的直观图 【例3】在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图． 【答案】答案见解析 【详解】解：如图①所示，以边所在的直线为轴，以边的高线所在直线为轴，建立平面直角坐标系，    画对应的轴、轴，使， 在轴上截取，在轴上截取， 连接、、，则即为等边的直观图，如图③所示. 【例4】如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【答案】 【详解】由题意知，在梯形中，可得， 因为为等腰直角三角形，所以, 又因为梯形水平放置的直观图仍为梯形，如图所示， 其中上底和下底的长度都不变，且， 所以，即梯形的高为， 梯形的面积． 【变式2-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【答案】答案见解析 【详解】画法：（1）如图所示，取AB所在直线为x轴，AB的中点O为原点，建立直角坐标系，画对应的坐标系，使． （2）以为中点在轴上取，在轴上取，以为中点画轴，并使． （3）连接，，所得的四边形就是水平放置的等腰梯形的直观图． 【变式2-2】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【答案】作图见解析 【详解】第一步：已知的直角梯形中，以底边所在直线为轴，垂直于的腰所在直线为轴建立平面直角坐标系，画相应的轴和轴，使, 第二步：在轴上截取，在轴上截取，过点作轴的平行线，在沿轴正方向取点，使得，连接, 第三步：所得四边形就是直角梯形的直观图.    【变式2-3】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    【答案】作图见解析 【详解】（1）在中建立如图①所示的平面直角坐标系， 再建立如图②所示的坐标系，使. (2)在坐标系中，在轴上截取； 在轴上截取，使. (3)连接，擦去辅助线，得到，即为的直观图(如图③所示).    先建立直角坐标系，选取关键点，将图形顶点坐标按x不变、y减半规则转化，再按顺序连线。画图时严格保持平行关系不变，坐标轴夹角画成45°或135°，确保y轴向线段长度准确减半。 题型03 画空间图形的直观图 【例5】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【答案】画图见解析 【详解】根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形． ①画轴，如图，画轴，轴，轴，三轴相交于点，使，． ②画底面，在轴正半轴上取线段，使，在轴正半轴上取线段，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，设它们的交点为，则就是长方体的底面的直观图． ③分别过点作，，，且． ④连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示． 【例6】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【答案】直观图见解析 【详解】（1）先画出边长为3 cm的正六边形的水平放置的直观图，如图①所示． （2）过正六边形的中心O′建立z′轴，在z′轴上截取O′V′＝3 cm，如图②所示． （3）连接V′A′，V′B′，V′C′，V′D′，V′E′，V′F′，如图③所示． （4）擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图，如图④所示． 【变式3-1】画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【答案】答案见解析 【详解】画法：（1）画轴． 画x轴、y轴、z轴，（或），，如图（1）． （2）画底面． 以O为中心在平面内，画出边长为2的正方形水平放置的直观图． （3）画顶点，在z轴上截取，使． （4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，被遮挡住的线段，，改成虚线，得四棱锥的直观图如图（2）． 【变式3-2】画出底面半径为1cm、高为3cm的圆锥的直观图. 【答案】答案见解析. 【详解】解：第一步：画轴：如图1，画轴，使得三轴相交于点，其中； 第二步：画底面，以点为中心，在轴上取线段，使得cm，在轴上取线段，使得cm，用光滑曲线顺次连接，形成的图形即为圆锥的底面圆； 第三步：画高，在轴上取cm； 第四步：成图，连接，去掉辅助线，将遮挡的部分改为虚线，就得到圆锥的直观图，如图2. 【变式3-3】用斜二测画法画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 【答案】图见解析. 【详解】画法：（1）画轴．画轴，轴，轴，使（或），，如图． （2）画底面．以为中心在平面内，画出正方形的直观图． （3）画顶点．在轴上取一点． （4）成图，顺次连接，，，，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图． 先画底面平面图形，遵循斜二测常规规则，再画z轴与x轴垂直，平行于z轴的线段长度与方向均不变。空间图形需体现立体感，竖直方向保持垂直，水平底面按斜二测绘制，层次清晰。 题型04 由直观图还原几何图形 【例7】如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【答案】作图见解析 【详解】如图： （1）在平面直角坐标系中，在轴上截取，； （2）在轴上截取； （3）过作直线平行于轴，如图截取; （4）连接. 则四边形即为所求. 【例8】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 【答案】作图见解析 【详解】解：（1）在已知图形中画坐标系，使，在轴上，与重合，如图（1）； （2）画直角坐标系，在x轴上取，即，如图（2）所示； （3）在图（1）中过作轴，交轴于．在图（2）中，在x轴上取， 过D作轴，并使； （4）连接，，则即为原图形，如图（2）所示． 【变式4-1】如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直观图.图中，，则原图形是（   ） A．正方形 B．等腰梯形 C．非正方形的菱形 D．既不是矩形也不是菱形的平行四边形 【答案】D 【详解】由直观图可知不与轴重合，因此原图，且. 所以原图不可能为正方形或者菱形，A，C错误. 因为斜二测画法并不改变直线的平行关系和水平方向线段的长度，因此原图不可能为等腰梯形，只能是既不是矩形也不是菱形的平行四边形，B错误，D正确 【变式4-2】如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【详解】解：如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，连接，，便得到了原图形（如图）． 【变式4-3】如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【答案】图见解析. 【详解】如图，建立直角坐标系，在轴上截取，． 在过点与轴平行的直线上截取．在过点与轴平行的直线上截取．连接，便得到了原图形（如图）． 逆向执行斜二测规则：x轴坐标不变，y轴坐标乘2，将直观图顶点坐标还原为原图坐标，再按原图角度与平行关系重新绘制。还原时注意角度从45°/135°恢复为90°，长度恢复原值。 题型05 斜二测画法中的长度计算 【例9】如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则原图中（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由斜二测画法可知，，， 在中，， 所以. 【例10】如图， 是水平放置的的直观图， ，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】在直观图中易知，又因为，所以， 在原图形中，，， 所以． 【变式5-1】已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【详解】根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示， 原图中，，，所以. 【变式5-2】如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，__________. 【答案】9 【详解】由，则，， 所以，则， 在原图中，，， 则. 【变式5-3】用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】画出原平面图形，如下： 其中，故，， 设，则，， 平面图形的面积为， 故，解得， 故. 题型04 斜二测画法中的面积计算 【例11】如图，根据斜二测画法得到了水平放置的的直观图，图中的虚线分别与轴和轴平行，若，则的面积为（    ） A． B． C．12 D．24 【答案】D 【详解】如图所示，由题给条件：，，还原原： 底边在轴上，长度不变，即； 点到轴（所在边）的高，还原后为直观图中对应方向长度的倍， 即原三角形的高. 所以. 【例12】如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. 【答案】 【详解】在直观图中，， 直观图面积， 原图形面积. 【变式6-1】如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 【变式6-2】如图，是水平放置的的直观图，，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B错误； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 【变式6-3】如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 【答案】 【详解】作出直观图如下图所示： 由题意可知，四边形为平行四边形， 且，， 平行四边形的面积. 直接使用面积比例公式：原图面积∶直观图面积=，直观图面积=原图面积×，原图面积=直观图面积×。不用重新画图，套比例即可快速计算。 一、单选题 1．在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】因为的两边分别平行于轴、轴，则， 在直观图中，按斜二测画法规则知或，即或. 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直观图知原几何图形是直角梯形， 如图，由斜二测画法可知，， 所以． 故选：A． 3．用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 4．已知按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中 则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】在斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半. 由直观图可知，，. 在平面图中，，所以根据勾股定理. 故选：C. 5．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过作，垂足为，如下图： 由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图： 易知，，， 所以原梯形面积为. 6．如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在直角梯形中，， 由斜二测画法规则，得直角梯形对应的四边形，如图， 在四边形中，， 则， 所以四边形的周长为. 7．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【详解】设轴与交点为D， 因为轴，轴， 所以， 因为轴， 所以四边形为平行四边形， 故, 又, 轴， 得, 故． 所以四边形面积为, 因为四边形面积是四边形的面积的， 所以四边形的面积为． 8．用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】设直观图中，由题， 直观图是直角梯形，，所以为等腰直角三角形， 故梯形的高，直角梯形面积 ， 又斜二测画法中，原图形面积与直观图面积满足， 已知原图形面积，代入得， 化简得，即， 斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，轴， 故. 二、多选题 9．下列用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的结论中，正确的有（   ）． A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是长方形 C．平行四边形的直观图是平行四边形 D．菱形的直观图是平行四边形 【答案】ACD 【详解】在A选项中，三角形的三个顶点不共线，斜二测画完后仍为三个不共线顶点， 因此直观图仍是三角形，A正确， 在B选项中，正方形的邻边原本互相垂直， 但经过斜二测画法后，其直观图中邻边的夹角一般不再是直角， 因此直观图是平行四边形，不是长方形，B错误， 在C选项中，斜二测保持平行性，平行四边形对边的平行关系不变， 因此直观图仍是平行四边形，C正确， 在D选项中，菱形是特殊的平行四边形，平行关系不变， 因此直观图仍是平行四边形（仅邻边不再相等，仍保持对边平行），D正确. 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】BC 【详解】如图1，过点，分别作，垂直轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A错误； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 三、填空题 11．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________. 【答案】6 【详解】依据斜二测画法可知，所以， 又因为，， 所以，， 可得 ， 那么原周长是 . 12．如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______. 【答案】 【详解】如图，运用斜二测画法画出原图，原图为平行四边形. 由， 得， 所以， 所以平行四边形的面积为. 13．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得：， 将直观图还原为原图，如图所示，，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 故答案为：. 四、解答题 14．画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是． 【答案】答案见解析 【详解】依题意，先作出边长为的正五边形， 同时以过正五边形中心且平行于所在的直线为轴，以所在直线为轴，如图，    利用斜二测画法作出正五边形的直观图，如图，    再在直观图中，以过原点且垂直于的直线为轴， 按比例尺在轴作出，连接，如图，    最后将轴去掉，将看不到的线画成虚线，即可得到满足题意的正五棱锥，如图.    15．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中.求平面四边形的面积. 【答案】 【详解】在直观图中设交于点， 则，， 平面四边形如图所示， 则，， 所以. 16．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 【答案】812元 【详解】在直观图中，过点作，垂足为，如下图： 则在中，，，所以， 又四边形为矩形，， 所以，则， 由此可得， 又， 所以， 故这块菜地所产生的总经济效益是 (元). 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1.1 空间几何体与斜二测画法 教学目标 1．理解斜二测画法的核心规则，掌握坐标轴夹角、平行性、长度变化三大要点。 2．能按斜二测画法步骤规范绘制平面图形的直观图，准确还原图形形状。 3．熟记原图与直观图的面积比例关系，能快速进行面积互算与逆向还原。 4．理解“斜”与“二测”的含义，能辨析画法正误并解释相关几何特征。 教学重难点 重点：斜二测画法三大规则、直观图绘制、原图与直观图面积比例计算。 难点：y轴方向长度减半的应用、角度控制、面积公式的理解与灵活使用。 知识点01 斜二测画法 空间几何体的_______常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相_______的轴和轴，两轴相交于点 画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使_______(或_______)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中_______于轴或y轴的线段，在直观图中分别画成_______于轴或轴的线段 第三步 已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度_______， 平行于轴的线段，长度为原来的_______ 强调注意： “斜”是指在已知图形的平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与轴成_______或_______； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于轴或轴的线段长度_______；平行于轴的线段长度变为原来的_______． 【即学即练】 1．用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，下列说法一定正确的是（   ） A．菱形的直观图还是菱形 B．矩形的直观图是平行四边形 C．平行四边形的直观图可能是梯形 D．正三角形的直观图是等腰三角形 2．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 知识点02 直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为_______，即原图面积是直观图面积的_______倍， ②直观图面积是原图面积的_______倍. 【即学即练】 3．如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（　　）. A． B． C． D． 4．如图，是水平放置的的直观图，，，则的面积是__________． 题型01 斜二测画法的概念辨析 【例1】判断正误，正确的写正确，错误的写错误． （1）用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于x轴和y轴，且，则在直观图中，.( ) （2）用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行．( ) （3）相等的角在直观图中仍相等．( ) 【例2】关于水平放置的平面图形用斜二测画法绘制其直观图，下列说法正确的是（   ） A．平行于轴的线段，在直观图中长度变为原来的倍 B．通过斜二测画法得到的直观图和原图的面积相等 C．平行四边形的直观图仍是平行四边形 D．相等的角在直观图中仍然相等 【变式1-1】关于斜二测画法的内容和原理，下列说法中错误的是（    ）． A．斜二测画法中，原图形中平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 B．斜二测画法中，原图中与轴或轴平行的线段在直观图中与轴或轴平行 C．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中一定平行 D．斜二测画法中，直观图和原图的面积一定相等 【变式1-2】利用斜二测画法得到的：①三角形的直观图一定是三角形；②正方形的直观图一定是菱形；③菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是__________. 【变式1-3】（多选）用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的有（   ） A．相等的线段在直观图中仍然相等 B．平行的线段在直观图中仍然平行 C．一个角的直观图仍是一个角 D．平行四边形的直观图是平行四边形 斜二测四大核心规则：坐标轴夹角45°或135°、平行性保持不变、x轴方向长度不变、y轴方向长度减半。逐一核对选项是否符合全部规则，重点区分“斜”与“二测”的含义，判断角度、长度、平行性描述是否正确。 题型02 画平面图形的直观图 【例3】在水平放置的平面上有一个边长为3cm的正三角形，请画出其直观图． 【例4】如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，试求梯形水平放置的直观图的面积． 【变式2-1】画出如图所示水平放置的等腰梯形的直观图． 【变式2-2】画出如图水平放置的直角梯形OABC的直观图．    【变式2-3】如图所示，在中，边上的高，试用斜二测画法画出其直观图．    先建立直角坐标系，选取关键点，将图形顶点坐标按x不变、y减半规则转化，再按顺序连线。画图时严格保持平行关系不变，坐标轴夹角画成45°或135°，确保y轴向线段长度准确减半。 题型03 画空间图形的直观图 【例5】用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图． 【例6】有一个正六棱锥，底面边长为3 cm，高为3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【变式3-1】画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为3的四棱锥的直观图． 【变式3-2】画出底面半径为1cm、高为3cm的圆锥的直观图. 【变式3-3】用斜二测画法画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图． 先画底面平面图形，遵循斜二测常规规则，再画z轴与x轴垂直，平行于z轴的线段长度与方向均不变。空间图形需体现立体感，竖直方向保持垂直，水平底面按斜二测绘制，层次清晰。 题型04 由直观图还原几何图形 【例7】如图是某个水平放置的平面图形的直观图，请画出原来的平面图形． 【例8】如图，是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形． 【变式4-1】如图，平行四边形是水平放置的一个平面图形按斜二测画法画出的直观图.图中，，则原图形是（   ） A．正方形 B．等腰梯形 C．非正方形的菱形 D．既不是矩形也不是菱形的平行四边形 【变式4-2】如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 【变式4-3】如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形． 逆向执行斜二测规则：x轴坐标不变，y轴坐标乘2，将直观图顶点坐标还原为原图坐标，再按原图角度与平行关系重新绘制。还原时注意角度从45°/135°恢复为90°，长度恢复原值。 题型05 斜二测画法中的长度计算 【例9】如图，按斜二测画法所得水平放置的的直观图为，若，则原图中（    ） A． B． C． D． 【例10】如图， 是水平放置的的直观图， ，则（    ） A．3 B． C． D． 【变式5-1】已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（   ） A．8 B． C． D．4 【变式5-2】如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，分别在轴上，且，则在中，__________. 【变式5-3】用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的直角梯形，其中梯形的上底长是下底长的，若原平面图形的面积为，则BC的长为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型04 斜二测画法中的面积计算 【例11】如图，根据斜二测画法得到了水平放置的的直观图，图中的虚线分别与轴和轴平行，若，则的面积为（    ） A． B． C．12 D．24 【例12】如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. 【变式6-1】如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【变式6-2】如图，是水平放置的的直观图，，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】如图：已知菱形，用斜二测画法作出菱形的直观图，即四边形，则四边形的面积为______. 直接使用面积比例公式：原图面积∶直观图面积=，直观图面积=原图面积×，原图面积=直观图面积×。不用重新画图，套比例即可快速计算。 一、单选题 1．在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（    ） A． B． C． D．或 2．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形中对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 3．用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（    ） A． B． C． D． 4．已知按照斜二测画法画出它的直观图（如图所示），其中 则的长为（    ）    A．2 B． C．3 D．4 5．如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（   ） A． B． C． D． 6．如图，四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形，其中，，，，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．一水平放置的平面四边形的直观图如图所示，其中，轴，轴，轴，则四边形的面积为（    ） A． B．6 C． D． 8．用斜二测画法得到一个水平放置的四边形的直观图为如图所示的直角梯形，已知，，，四边形的面积为，则（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题 9．下列用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的结论中，正确的有（   ）． A．三角形的直观图是三角形 B．正方形的直观图是长方形 C．平行四边形的直观图是平行四边形 D．菱形的直观图是平行四边形 10．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 三、填空题 11．水平放置的的直观图如图所示，其中，，那么原周长是__________. 12．如图所示，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，若，，则四边形的面积为______. 13．如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 四、解答题 14．画一个底面边长为，高为的正五棱锥（底面是正五边形，顶点在底面的投影是底面的中心），比例尺是． 15．如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中.求平面四边形的面积. 16．有一块多边形菜地，它的水平放置的平面图形用斜二测画法得到的直观图是直角梯形(如图所示)，，，，若平均每平方米菜地所产生的经济效益是300元，则这块菜地所产生的总经济效益是多少元？(，结果精确到1元) 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $