11.1.2 构成空间几何体的基本元素（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦空间几何体的基本元素，系统梳理点、线、面的构成及位置关系，从生活实例引入平面特征，通过运动观点理解点动成线、线动成面、面动成体的生成关系，延伸至射影与距离概念，构建从具体到抽象的学习支架。 以“鸟巢”“水立方”等现实建筑激发兴趣，通过符号语言、图形语言、文字语言的转换训练，培养数学语言表达能力。结合长方体模型分析位置关系与距离计算，发展空间观念与逻辑推理，课中辅助教师直观教学，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

11．1.2　构成空间几何体的基本元素 新课导入 学习目标 　　国家体育场的主体建筑“鸟巢”主要由巨大的门式钢架组成，共有24根桁架柱，其结构科学简单，设计新颖独特，为国际上极富特色的巨型建筑．与“鸟巢”相呼应的是“水立方”——国家游泳中心．国家游泳中心也是北京奥运会标志性建筑，它以冰晶状的亮丽身姿，装点着奥林匹克公园．本节课我们来学习空间几何体是由哪些基本元素构成的． 1.了解构成空间几何体的基本元素：点、线、面． 2．会用运动的观点了解点、线、面、体之间的生成关系，并能用符号语言描述空间中点、直线、平面之间的位置关系． 　 思考　生活中的一些物体给我们以平面的感觉，如平静的湖面、整洁的教室桌面、美丽的大草原等，你能说出平面的一些几何特征吗？ 提示　无限延展、不计大小、不计厚薄、没有质量等． [知识梳理] 1．空间中的点、线、面 (1)构成空间几何体的基本元素：点、线、面． (2)从运动的观点理解空间基本图形之间的关系：点动成线，线动成面，面动成体． 2．点、线、面的位置关系及符号表示 类别 位置关系 符号表示 图形 点线 点A在直线l上 A∈l 点A在直线l外 A∉l 点面 点A在平面α内 A∈α 点A在平面α外 A∉α 线线 两直线平行 a∥b 两直线异面 a∩b＝ ∅ 且a与b 不平行 两直线相交 a∩b＝P 线面 直线a在平面α内 a⊂α直线 在平 面外 直线a与平 面α平行 a∥α 直线a与平 面α相交 于点A a∩α ＝A 直线a与平 面α垂直 a⊥α 面面 两平面平行 α∥β 两平面相交 α∩β＝l [例1] 用符号表示下列语句，并画出图形． (1)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上； (2)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B. 【解】　(1)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图1. 　　 (2)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图2. 三种语言的转换方法 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示． (2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别． [跟踪训练1] 如图所示， 用符号语言可表述为(　　) A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n 解析：选A.由题图知，平面α与平面β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m与n相交于A点．故A正确． [例2] 如图，在长方体 ABCD ­A1B1C1D1中，写出所有满足下列关系的答案． (1)直线A1B与直线D1C的位置关系； (2)直线A1B与直线B1C的位置关系； (3)与直线AB平行的平面，并用合适的符号表示； (4)与平面BCC1B1平行的平面，并用合适的符号表示； (5)与直线AD垂直的平面，并用合适的符号表示． 【解】　(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，所以A1B∥D1C. (2)直线A1B与直线B1C既不平行，又不相交，则直线A1B与直线B1C异面． (3)与直线AB平行的平面有平面A1B1C1D1，平面DCC1D1，平面A1B1CD. 符号表示：AB∥平面A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，AB∥平面A1B1CD. (4)与平面BCC1B1平行的平面为平面ADD1A1， 符号表示：平面BCC1B1∥平面ADD1A1. (5)与直线AD垂直的平面有平面ABB1A1，平面DCC1D1. 符号表示：AD⊥平面ABB1A1，AD⊥平面DCC1D1. (1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直． (2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，加深对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的位置关系． [跟踪训练2] 如果点M是两条异面直线a，b外一点，则过点M且与a，b都平行的平面个数的所有可能值是(　　) A．1 B．2 C．0或1 D．无数 解析：选C.若点M与直线a构成的平面与直线b平行，则过M且与a，b都平行的平面个数为0； 若点M与直线b构成的平面与直线a平行，则过M且与a，b都平行的平面个数为0； 若过点M与直线a构成的平面不与直线b平行，或过点M与直线b构成的平面不与直线a平行，则过点M且与a，b都平行的平面个数为1.故选C. [知识梳理] 概念 对应图形 射影 给定空间中一个平面α及一个点A，过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线．如果记垂足为B，则称B为A在平面α内的射影(也称为投影) 距离 点 面 线段AB为平面α的垂线段，AB的长为点A到平面α的距离 线 面 当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离 面 面 当平面与平面平行时，一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离 [例3] 已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝10，AD＝8，AA1＝6.求： (1)点B到平面DCC1D1的距离； (2)直线A1B1到平面ABCD的距离； (3)平面ADD1A1与平面BCC1B1之间的距离． 【解】　在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝BC＝8. (1)因为BC⊥平面DCC1D1，所以点B到平面DCC1D1的距离等于线段BC的长，为8. (2)因为直线A1B1∥平面ABCD，所以直线A1B1到平面ABCD 的距离等于线段A1A的长，为6. (3)因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以两平面之间的距离等于AB的长，为10. 空间距离包含空间两点间的距离，空间点与直线间的距离，直线与平面间的距离，平面与平面间的距离．这些距离最终都转化为两点间的距离，即空间问题的解决最终要转化为平面问题． 注意　线面距离是在直线与平面平行的前提下存在的，同理面与面之间的距离也是建立在两平面平行的基础上． [跟踪训练3] 在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，点A1到平面ABCD的距离是________，直线B1C1到平面ABCD的距离是________． 解析：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，因为直线A1A⊥平面ABCD，点A为点A1在平面ABCD内的射影，所以线段A1A的长，即为点A1到平面ABCD的距离，A1A＝a.因为直线B1C1∥平面ABCD，所以直线B1C1上任意一点到平面ABCD的距离都是直线B1C1到平面ABCD的距离，又因为点B1∈直线B1C1，且点B1到平面ABCD的距离为a，所以直线B1C1到平面ABCD的距离为a. 答案：a　a 1．下列选项中图形的画法错误的是(　　) A．点A在平面α内 B．直线l在平面α内 C．直线l交平面α于点P D．三个平面两两相交 解析：选B.由点与平面、直线与平面、平面与平面图形的画法可知A，C，D正确，B选项直线应画在平行四边形里面．故选B. 2．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　) A．共面 B．平行 C．异面 D．平行或异面 解析：选D.若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若直线a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线． 3．(多选)下列命题中错误的是(　　) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若点A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合 D．若A∈l，l⊂α，则A∈α 解析：选AC.对于A，若空间中三点共线，则无法确定平面，故A错误；对于B，三角形一定是平面图形，故B正确；对于C，若点A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则此四点可能在平面α与平面β的交线上，无法确定平面α和平面β是否重合，故C错误；对于D，由点、直线、平面的位置关系知D正确．故选AC. 4．(2025·沈阳月考)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝3，AA1＝5，则直线BC到平面ADD1A1的距离为________，平面ABB1A1与平面CDD1C1之间的距离为________． 解析：直线BC到平面ADD1A1的距离为AB＝2，平面ABB1A1与平面CDD1C1之间的距离为AD＝3. 答案：2　3 1．已学习：空间点、线、面及其位置关系和距离问题． 2．须贯通：规范立体几何中的三种语言，能熟练进行它们之间的相互转换． 3．应注意：三种语言的相互转化． 学科网（北京）股份有限公司 $