11.1.1 空间几何体与斜二测画法（学生版）-【创新教程】2025-2026学年高中数学必修第四册五维课堂同步复习（人教B版）

数学B版·必修第四册 第十一章 立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 课程标准 素养解读 1.了解斜二测画法的概念. 通过画平面图形和空间图形的直观 2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图. 图，重点培养学生数学抽象素养及提 3.通过观察直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的 升直观想象素养. 联系 课前。预习学案 [情境引入] ?思考1.斜二测画法中的“斜”和“二测”分别指 随处可见的建筑、公路、桥梁、工业生产中处处都有 什么？ 空间几何体. 2.相等的角的直观图一定相等吗？请举例说明. 问题 你能用什么方法画出这些几何体的直观图？ [知识梳理] [知识点一]空间几何体 如果只考虑一个物体占有的 [知识点三]斜二测画法画空间几何体的直观图 和 ,而 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤 不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一 (1)在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂 个 直的轴Ox和Oy,再作Ox轴，使∠xOy=90°， [知识点二]斜二测画法画水平放置的平面图形的 ∠y0x=90°； 直观图 (2)画出与Ox,Oy,Oz对应的轴Ox',Oy',Ox',使 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的 ∠x'0y'=45°，∠y'O':'=90°，x'0y'所确定的平 步骤 面表示水平平面： (1)画轴：在已知图形中取互相 的x轴和y轴， (3)已知图形中，平行于x轴、y轴和之轴的线段，在 两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的 直观图中分别画成于x'轴、y轴和之'轴的 x'轴与y轴，两轴交于点O,且使∠x'Oy'= 线段，并使它们在所画坐标轴中的位置关系与已 (或 ),它们确定的平面表示水平面： 知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同： (2)画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直 (4)已知图形中平行于x轴和之轴的线段，在直观图 观图中分别画成 于x'轴或y轴的线段； 中保持长度，平行于y轴的线段，长度为原 (3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图 来的； 中保持原长度，平行于y轴的线段，长度为 (5)擦除辅助线，遮挡部分用虚线表示，就得到了几何 原来的 体的直观图. ·32· 第十一章立体几何初步 ?思考3.空间几何体的直观图一定唯一吗？ 3.如图，△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图， A'B'∥y轴，BC'∥x轴，则△ABC是 三 角形 4.直观图与三视图的联系与区别有哪些？ B 4.用斜二测画法画出的水平放置的一角为60°，边长 是4的菱形的直观图的面积是 5.已知等边△ABC的平面直观图△A'B'C的面积为 [预习自测] 「6，则等边△ABC的面积是多少？ 1.在原来的图形中，两条线段平行且相等，则在斜二 测直观图中对应的两条线段 ( ) A.平行且相等 B.平行不相等 C.相等不平行 D.既不平行也不相等 2.利用斜二测画法画出边长为3cm的正方形的直观 图，正确的是 0 课堂。互动学亲 题型一 画苹面图形的直观图 (3)同一个图形选取坐标系的角度不同，得到的直 [例1]用斜二测画法画出如图所示的正五边形的直 观图可能不同. 观图. ⊙[变式训练] 1.用斜二测画法画边长为4cm的水平 放置的正三角形（如图）的直观图， 汇思路点拔]先在原图中建系，再画轴、画线、取 长度，最后成图。 [尝试解答] 规律方法 画水平放置的平面图形的直观图的技巧： 题型二】 空间几何体的直观图 (1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适 [例2]有一个正六棱锥（底面为正六边形，侧面为 当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽 全等的等腰三角形的棱锥)，底面边长为3cm,高 可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点. 为3cm,画出这个正六棱锥的直观图. (2)在直观图中，确定坐标轴上的对应点以及与坐 思路点拨了“首先认清几何体的形状大小，然后 标轴平行的线段端点的对应点都比较容易，但 按斜二测画法的规则及步骤作出直观图即可 是如果原图中的点不在坐标轴上或不在与坐 [尝试解答] 标轴平行的线段上，就需要我们经过这些点作 与坐标轴平行的线段，将其转化到与坐标轴平 行的线段上来确定· 33· 数学B版·必修第四册 规律方法 (2)已知边长为1的菱形ABCD中，A=T,则用斜 3 1.画空间图形的直观图，一般先用斜二测画法画 二测画法画出这个菱形的直观图的面积为( 出水平放置的平面图形，再画之轴，并确定竖直 方向上的相关的点，最后连点成图便可 A® B③ 4 C.6 6 D.6 2.直观图画法口诀可以总结为：“一斜、二半、三不 交.” [思路点拨]逆用斜二测画法还原， ◇[变式训练] [尝试解答] (1) (2) 2.画出底面是边长为2的正方形，侧棱均相等且高为 规律方法 3的四棱锥的直观图. 由直观图还原平面图形关键有两点： (1)平行于x'轴的线段长度不变，平行于y轴的 线段长度扩大为原来的2倍； (2)对于相邻两边不与x,y轴平行的顶点可通 过作x'轴、y'轴的平行线，变换确定其在xOy中 的位置. 若平面图形的面积为S,用斜二测画法得到的直 观图面积为S,则5=5， 4 题型三直观图的还原与计算 ⊙[变式训练] [例3](1)如图，一个平面图形的斜 3.如图所示，△A'OB'表示水平放置的△AOB的直 二测画法的直观图是一个边长为a B 观图，点B在x'轴上，A'O与x轴垂直，且A'O= 的正方形，则原平面图形的面积为 2,则△AOB的边OB上的高为 1A1 ( ) 0' A B.2√2a 145 C.a D.2a2 0' ● 随堂。步步夯实 ● 1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，对 4.水平放置的△ABC的斜二测 y B 其中的线段说法不正确的是 ) 直观图如图所示，已知B'C'= A.原来相交的仍相交 4,A'C'=3,BC'∥y'轴，则Cx B.原来垂直的仍垂直 △ABC中AB边上的中线的长度为 C.原来平行的仍平行 S△ABC= D.原来共点的仍共点 5.用斜二测画法画棱长为2cm的正方体ABCD一 2.如图所示为一个平面图形的直观 A'B'C'D'的直观图. D' 图(A'D'∥B'C),则它的实际形 状四边形ABCD为 ( A.平行四边形 B.梯形 C.菱形 D.矩形 3.对于一个底边在x轴上的三角形，采用斜二测画法 作出其直观图，其直观图面积是原三角形面积的 A.2倍 ⊙温馨提 C是除 D多倍 学习至此，请完成配套训练 ·34·变式训练 4.解：（1)由题意得之=2-之1=-c0s20-sin0十 (cos20-1)i=-1+(-2sin20)i. (2)由(1)知，点P的坐标为(-1，-2sin). 由点P在直线y=7上得-2sim0=-7, ∴sim20=子又9e0mn9>0, 因此n0=名0=晋或0=要 6 第十一章立体几何初步 11.1空间几何体 11.1.1空间几何体与斜二测画法 课前预习学案 情境引入 提示由斜二测画法画出空间图形的直观图 知识梳理 知识点一、空间形状大小几何体 知识点二、(1)垂直45°135°(2)平行(3)不变一半 [思考] 1.[提示]“斜”是指斜投影，具体说是在已知图形的xOy 平面内垂直于x轴的线段在直观图中均与x'轴成45°或 135°：“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于 x'轴或平行于之'轴的线段长度不变；平行于y轴的线段 长度变为原来的一半. 2.[提示]不一定.如图，正方形ABCD的直观图为平行四 边形A'B'C'D',∠A=∠C,∠A'=∠C',同样∠A=∠B, 但∠A'≠∠B'. 知识点三、(3)平行(4)不变一半 [思考] 3[提示]不一定唯一，作直观图时，由于选轴不同，所画 直观图就不一定相同. 4.[提示]三视图和直观图都是呈现空间几何体的一种方 法，三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视 图，我们就可以得到一个精确的空间几何体，正是因为三 视图的这个特点，使它在生产活动中得到广泛应用（零件 图纸、建筑图纸等都是三视图).直观图是对空间几何体 的整体刻画，人们可以根据直观图的结构想象实物的 形象. 预习自测 1.A 2C「正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边 长之比为2：1.] 3.解析：因为A'B′∥y轴，B'C∥x轴，所以∠A'B'C'=45, 所以在△ABC中∠ABC=90°，故△ABC为直角三角形. 答案：直角 玉解折：麦移的西积为2×等×4=8后，所以其宜现因的 面积为区×85=26. 4 答案：2√6 5.解：按照斜二测画法的规则，把如图(1)等边△ABC的平 面直观图△A'B'C'还原为如图(2)等边△ABC. ·1 参考答案 C (2) 设AB=,则BC'=x,等边△ABC的高为 , 所以△ABC的高为导×号-号。 8x, 所以△A'B1C'的面积为号×发xXx=影 161 解得x=1, 所以△ABC的面称为号×X9-9-华 -4 课堂互动学案 [例1][解]画法：(1)在已知的正五边形ABCDE中，取 正五边形的中心O为坐标原点，对称轴FA为y轴，过O 与y轴垂直的直线为x轴.分别过点B,E作BG∥Oy、 EH∥Oy,与x轴分别交于G,H.画对应的O'x',Oy',使 ∠x0'y'=45°. (2)以点O为中，点，在x'轴上取G'H'=GH,分别过G, H'在x'轴的上方作G'B'∥Oy',H'E∥Oy',并使GB =2GB,HE=合HE:在y轴上x轴的上方，取0A =0A,在轴的下方，取0F'=20F,并以点F为中 点画C'D'∥Ox',且CD'=CD (3)连接A'B',BC,DE',EA',所得的五边形 A'B'C'D'E'就是正五边形ABCDE的直观图. A E B' E' B' E G 0 G07x' D' C F D CF D' 变式训练 1.解：(1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴；以BC 边上的高线AO所在的直线为y轴，建立平面直角坐 标系. B ② (2)画对应的x轴，y轴，使∠xO'y=45°. 在x'轴上截取O'B'=O'C'=2cm,在y轴上截取O'A'= 0A,连接AB,AC,则三角形ABC即为正三角形 ABC的直观图，如图②所示， [例2][解]画法：(1)先画出边长为3cm的正六边形的 水平放置的直观图，如图①所示： (2)过正六边形的中心O建立之轴，画出正六棱锥的顶点 V,在z轴上截取V=3cm,如图②所示； (3)连接VA'、VB'、V'C'、V'D'、V'E、V'F',如图③ 所示： (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥 的直观图，如图④所示. 3 数学B版·必修第四册 y F H' ① 2 4 变式训练 2.解：画法：(1)画轴 70 (1) (2 画x轴、y轴、之轴，∠xOy=45°（或135°），∠xOz=90°，如 图(1). (2)画底面 以O为中心在xOy平面内，画出边长为2的正方形水平 放置的直观图ABCD. (3)画顶点，在之轴上截取OP,使OP=3. (4)成图，顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线，被面 遮挡住的线段AD,PD,CD改成虚线，得四棱锥的直观图 如图(2) [例3][解析](1)由直观图还原出原图，C 如图，所以S=a·2√2a=2√2a2. (2)菱形ABCD中，AB=1,A=子，则菱形 -22a 的面积为S复型An=2S△AD=2X分X1 o aA ×1X血晋-盟，所以用纤二渊西法画出这个发衫的直 现因的款S-S6m×号-竖×号-要故速n [答案](1)B(2)D 变式训练 3.解：设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中边OB'与 原图形中边OB的长度相等，及S原图=2√2S直观图， 得20B×M=2E×20B·0A. ∴.h=4√2. 答案：4√2 随堂步步夯实 1.B[根据斜二测画法，原来垂直的未必垂直.门 2.D[因为∠D'A'B'=45°，由斜二测画法规则知∠DAB 90°，又因四边形A'B'C'D'为平行四边形，所以原四边形 ABCD为矩形.] 3.B[底边在x轴上，则底边长不变，设为a,又高h在直观 4.解析：由斜二测画法规则知AC⊥BC,即△ABC为直角三 角形，其中AC=3,BC=8,所以AB=√73，AB边上的中 ·10 线长庞为至.△ABC的雨积为宁AC,BC=12 答案：√3 12 5.解：画法：(1)画轴，如图①，画x轴、y轴、之轴，三轴相交 于点O,使∠xOy=45°，∠xO2=90° (2)画底面，以，点O为中点，在x轴上取线段MN,使MN =2cm;以O为中点，在y轴上取线段PQ,使PQ=1cm. 分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴 的平行线，设它们的交点分别为A,B,C,D,则四边形 ABCD就是正方体的底面ABCD. (3)画侧棱，过A,B,C,D各点分别作之轴的平行线，并在 这些平行线上分别截取2cm长的线段AA',BB', CC',DD'. (4)成图，顺次连接A',B,C',D,并加以整理（去掉辅助 线，将被面遮挡的线段AD,CD,DD改为虚线)，就得到 正方体的直观图，如图②. D' D' B' B' D O M D N P B ⑦ ② 11.1.2构成空间几何体的基本元素 课前预习学案 知识梳理 知识点一、3.A∈1AtlA∈x ARa ica Ita 1∩ m=Al∩a=Aa∩3=l 知识点二、同一平面内，有且只有一个公共点同一平面 内，无公共点既不平行也不相交，无公共点 知识点三、1.无数个1个0个2.0个无数个 [思考] 1.提示：直线与平面按交点个数可分为直线在平面内(1Ca) 与直线在平面外(l中α)两种位置关系，其中直线在平面 外，又包括直线与平面相交和直线与平面平行两种位置 关系. 知识点四、1.l⊥m1⊥a2.AB的长3.任意一点任意 一点 [思考] 2.提示：由直线l与平面a垂直的定义知，过A点在平面a 内的任意一条直线都与1垂直. 预习自测 1.D[三角形、平行四边形、梯形都是平面图形，只有四边 相等的四边形可能不是平面图形.] 2.D「由点、线、面之间的位置关系可判断P与a关系不确 定，Q∈a.] 3.解析：如图，M∈a,M∈3，∴.M∈l. 6B☑ m a 答案：∈ 课堂互动学案 [例1][解析](1)四棱锥有5个面. (2)球只有一个曲面，故A错误，B正确，C正确，由于几 何体是空间图形，故一定有面，D错误. [答案](1)C(2)BC