精品解析：广东湛江市雷州市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次考试数学试卷

广东湛江市雷州市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次考试数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量满足，那么向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是 A. 若a‖，，则a‖b B. 若a‖，b‖，则a‖b C. 若a‖b，，则a‖ D. 若a‖b，a‖，则或b‖ 5. 设则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 7. 已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 8. 如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 11. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 若，则有两解 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设复数满足，则__________． 13. 函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________________________ 14. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 16. 设两个向量满足的夹角为. （1）求 （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 17. 已知函数． （1）求的最小正周期. （2）当时，求函数的最值. 18. 如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 19. 设为实数，已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明函数在上的单调性； （2）若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东湛江市雷州市第一中学2025-2026学年高一下学期第一次考试数学试卷 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的答案涂在答题卡相应位置上.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 设z=-3+2i，则在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】先求出共轭复数再判断结果. 【详解】由得 则对应点（-3，-2）位于第三象限． 故选C． 【点睛】本题考点为共轭复数，为基础题目． 3. 已知向量满足，那么向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的夹角公式运算求解. 【详解】由题意可得：， ∵， ∴向量的夹角为. 故选：D 4. 已知直线a，b和平面，下列命题中正确的是 A. 若a‖，，则a‖b B. 若a‖，b‖，则a‖b C. 若a‖b，，则a‖ D. 若a‖b，a‖，则或b‖ 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：若a∥α，bα，则a与b平行或异面，∴A不正确； 若a∥α，b∥α，则a与b可能平行，可能相交，也可能异面，∴B不正确； 若a∥b，b∥α，则a∥α或aα，∴C不正确； 若a∥b，a∥α，则b∥α或bα， D正确； 故选D． 考点：考查了空间线面之间的关系． 点评：解本题的关键是熟练掌握空间直线与直线，直线与平面的位置关系，要考虑到各种可能的情况，不能遗漏． 5. 设则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，即，，，即，所以. 6. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果. 详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以, 因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C. 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”. 7. 已知为所在平面上一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A. 内心 B. 外心 C. 垂心 D. 重心 【答案】D 【解析】 【分析】动点满足，因为的表达式中和的系数之和为，所以三点共线，进而得到答案. 【详解】为所在平面上一点，是的中点，动点满足， ∵的表达式中和的系数之和为， ，，三点共线，又∵是的中点， ∴为的边的中线， 点的轨迹一定过的重心． 故选：D． 8. 如图所示的矩形中，，满足，，为的中点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将用表示出出来，从而可求得的值 【详解】因为为的中点，，， 所以， 因为，所以， 所以． 故选：A 二、多项选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算，结合平面向量数量积、用坐标求向量的模、共线向量的坐标表示逐项计算判断作答. 【详解】 对于A，，，与不垂直，A不正确； 对于B，，有，B正确； 对于C，，有，C不正确； 对于D，，由选项C知，，D正确. 故选：BD 10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（ ） A. B. 平面 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的面积与的面积相等 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，先假设，从而推出与矛盾得解；对于B，由线面平行判定定理即可得解；对于C，直接计算三棱锥的体积即可得出其为定值；对于D，由点A、B到的距离不等即可说明. 【详解】连接， 则由正方体性质可知是正三角形，故， 对于A，假设，连接，则由正方体性质得， ， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 则，与矛盾，故A错误； 对于B，因为即，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知点A到平面的距离为， 所以， 所以体积是定值，故C正确； 对于D，设的中点是，由正三角形可知点A到直线的距离是， 而点到直线的距离是，显然由正方体结构性质， 又，， 所以的面积与的面积不相等，故D错误． 故选：AD. 【点睛】思路点睛：对于一些不成立且直接难求证的问题，通常可以采用反证法，先假设成立从而推出矛盾即可，所以对于选项A中判定是否成立，可先假设，从而推出平面，进而得，故与矛盾得出不成立. 11. 在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（ ） A. 是的充要条件 B. ，则的外接圆半径是 C. 若，则 D. 若，则有两解 【答案】AC 【解析】 【详解】对A，若，则，由正弦定理得，即； 若，因为，根据正弦函数的图像与性质，可得，故正确； 对于B，，由正弦定理可得， 则的外接圆半径是，故错误； 对于C，若，由正弦定理得， 因为，所以，故正确； 对于D，若，则由余弦定理可得， 即， 解得，因为，所以有一解，即有一解，故错误． 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设复数满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的除法运算求解复数，即可求得模长. 【详解】解：复数z满足，则， 所以. 故答案为：. 13. 函数与函数y=2的图像围成一个封闭图形，这个封闭图形的面积是_________________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性将x轴下方的阴影部分补到x轴上方，求矩形的面积可得答案. 【详解】根据正弦函数的对称性得，曲线从到与x轴围成的面积与从到与x轴围成的面积相等， 曲线从到与x轴围成的面积与从到与x轴围成的面积相等， 所以把x轴下方的阴影部分补到x轴上方， 所以函数的图象与函数y=2的图像围成一个封闭图形的面积为， 故答案为：. 14. 中国国家馆以“城市发展中的中华智慧”为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个类似中国国家馆结构的正四棱台，，，侧面面积为，则该正四棱台的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据梯形面积公式求出斜高，再利用勾股定理求出正四棱台的高，最后根据正四棱台体积公式计算体积. 【详解】取正四棱台的上下底面的中心，，棱，的中点，， 连接，，，，则，分别是正四棱台的高和斜高， 依题意，，解得， 在直角梯形中，，，，， 则， 所以正四棱台的体积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、两角和的正弦公式及诱导公式计算求解； （2）根据三角形面积公式及余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 则， 在中，，则且， 所以，即，所以； 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得， 则，解得， 所以，即的周长. 16. 设两个向量满足的夹角为. （1）求 （2）若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ； 因此=； 【小问2详解】 设向量与的夹角为， 因为向量与的夹角为钝角，所以， 所以 ； 解得：； 设，，得: ，解得: ; 又因为向量与的夹角为钝角，所以两向量不能反向共线，所以. 综上所述：实数的取值范围为； 17. 已知函数． （1）求的最小正周期. （2）当时，求函数的最值. 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为. 【解析】 【分析】（1）将函数用二倍角公式化简，合并为正弦型函数，再根据周期公式求出最小正周期； （2）换元后根据自变量的范围求出内层角的范围，利用正弦函数在该区间上的单调性，确定函数的最大值和最小值. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期为． 【小问2详解】 令 ，，所以 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 根据函数的单调性，在时函数取得最大值，最大值为； 当时，函数取得最小值，最小值为. 综上所述，函数的最小值为，最大值为. 18. 如图，在三棱柱中，，分别为线段，的中点． （1）求证：平面． （2）在线段上是否存在一点，使平面平面请说明理由． 【答案】（1） 因为，分别为线段的中点所以A. 因为，所以B. 又因为平面，平面， 所以平面． （2） 取的中点，连接，因为为的中点所以． 因为平面，平面，所以平面， 同理可得，平面，又因为，，平面，所以平面平面 故在线段上存在一点，使平面平面． 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质可得A，再根据线面平行的判定可得B即可； （2）取的中点，连接，根据中位线的性质判定即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 设为实数，已知是定义在上的奇函数. （1）求的值，并用定义证明函数在上的单调性； （2）若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】（1），证明见解析 （2）或 【解析】 【小问1详解】 由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，则， 所以在上单调递减. 【小问2详解】 依题意，， 而函数在上单调递减， 则， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以m的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $