精品解析：广东揭阳市惠来县第一中学2025-2026学年第二学期高一第一次阶段考试数学试卷

2025-2026学年第二学期惠来一中高一级第一次阶段考试试卷 数 学 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，，下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 3. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，，，则的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 5. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知，则函数的最小值为 A. B. C. 1 D. 2 7. 已知函数f（x）=若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. （1，] B. （1，2] C. D. [，+∞） 8. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 10. 在中，，，，点D，E分别是边和的中点，且，交于点O.设向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量方向上的投影向量为 D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，可以作为平面向量的一组基底 B. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 C. 已知点，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 D. 中，D为的中点，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若B，C，D三点共线，则________． 13. 已知向量，且，则______. 14. 设的内角所对的边分别为.若，则角__________ ，则角______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）若，且，求的值． 17. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求； （2）若，求周长l的最大值. 18. 如图，中，，D是边上一点，，，． （1）求的值； （2）求的长； （3）求的面积． 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期惠来一中高一级第一次阶段考试试卷 数 学 考试时间：120分钟 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交并补运算逐一验证即可. 【详解】由题意有，， 所以，故A错误； ，故B错误； 又或，则，故C正确； 又，，故D错误. 故选：C. 2. 已知平面向量，，，下列结论中正确的是（       ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的概念及零向量判断即可. 【详解】A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误； B：时，，不一定相等，错误； C：若为零向量时，，不一定有，错误； D：说明，同向或至少有一个零向量，故，正确. 故选：D. 3. 设向量, 则是“”的（ ） A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量共线的充要条件：向量的坐标交叉相乘相等；求出的充要条件，判断前者成立是否能推出后者成立，反之判断后者成立能否推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论． 【详解】的充要条件为，即或， “”是“或”成立的充分不必要条件， “”是“”的充分不必要条件， 故选A． 【点睛】判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先对各个条件进行化简，再利用充要条件的定义加以判断． 4. 已知，，，则的形状是（ ）． A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 根据向量的坐标表示可得，，，再利用向量数量积的坐标表示即可判断. 【详解】根据已知，有，，， 因为， 所以，即． 故为直角三角形． 故选：A 【点睛】本题考查了向量的坐标表示、向量数量积的坐标表示，属于基础题. 5. 如图，正方形中，、分别是、的中点，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理选择和作为一组基底，表示出，根据列出方程组即可求解. 【详解】由已知可得 , 由图可知,所以，解得, 所以， 故选：. 6. 已知，则函数的最小值为 A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】先分离，再根据基本不等式求最值，即得结果. 【详解】，当且仅当，即时，等号成立. 选A. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 7. 已知函数f（x）=若f（2）=4，且函数f（x）存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A. （1，] B. （1，2] C. D. [，+∞） 【答案】A 【解析】 【分析】由f(2) =4运算可得，再由分段函数的最值结合对数函数的单调性即可得解. 【详解】因为f(2)=2m+8=4，所以， 所以当x≤3时，，此时， 因为函数存在最小值，所以当x>3时，单调递增，且loga3≥2， 所以,解得a∈. 故选：A. 8. 在中，，，，P为所在平面内的动点，且.则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到点P的轨迹为半径为2的圆，取的中点D，得到，求得，即可求解. 【详解】由P为所在平面内的动点，且，点P的轨迹为以C为圆心，2为半径的圆， 又由，，， 取的中点D，则， 所以. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，，则有两解 C. 若，，则面积的最大值为 D. 若为钝角三角形，则 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，若，则， 根据正弦定理（是外接圆半径）， 可得， 所以，即，A正确； 对于B，由正弦定理， 代入得， 因为，且，（即）， 所以可以是锐角或钝角，两种情况均符合三角形内角和为， 所以有两解，B正确； 对于C，由余弦定理得，， 所以， 由基本不等式得，， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积，C正确； 对于D，若为钝角，则由余弦定理得，， 所以，即，D错误. 10. 在中，，，，点D，E分别是边和的中点，且，交于点O.设向量，，则（ ） A. B. C. 向量在向量方向上的投影向量为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量的四边形法则和中点关系可得A错误；由三角形面积组合可判断B；由投影向量的计算可得C；由数量积和模长求出夹角可判断D. 【详解】对于A，因为点为中线的交点，E是边的中点， 所以，故A错误； 对于B，设中点为，则， 因为，所以，故B正确； 对于C，向量在向量方向上的投影向量为，故C正确； 对于D，， 所以， 故D正确； 故选：BCD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 向量，可以作为平面向量的一组基底 B. 若非零向量与满足，则为等腰三角形 C. 已知点，，点P是线段的三等分点，则点P的坐标可以为 D. 中，D为的中点，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基底的定义判断A；利用数量积的定义及运算律求解判断BD；利用向量线性运算的坐标表示求解判断C. 【详解】对于A，由向量，，得，与共线，不能作为平面向量的一组基底，A错误； 对于B，在中，由，得， 则，因此，，， 为等腰三角形，B正确； 对于C，由点P是线段AB的三等分点，得或，而， 则或，即点P的坐标可以为或，C错误； 对于D，在中，D为的中点，则 ，D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，若B，C，D三点共线，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，再利用共线向量的坐标表示求出. 【详解】依题意，，由B，C，D三点共线，得， 则，所以. 故答案为： 13. 已知向量，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标运算，求得，结合三角正弦的倍角公式和三角函数的基本关系式，化为“齐次式”，代入计算，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，所以， 则. 14. 设的内角所对的边分别为.若，则角__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理进行边角互换得到，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】由， 得到， 即， 由正弦定理化简得到， 由余弦定理， 因为， 所以. ，则角______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）当时，解不等式：； （2）当时，存在使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用对数函数的单调性结合对数不等式列式即可求解； （2）先换元设，再把存在类问题化简得出有解，进而得出参数范围. 【小问1详解】 因为，， 所以不等式可化为， 又是增函数， 所以，解得，所以原不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意令，因为，所以， 所以不等式在上有解， 即在上有解， 分离参数得，所以在上有解， 所以，因为，当且仅当时取等号， 所以，所以实数的取值范围为； 16. 已知函数． （1）求在区间上的值域； （2）若，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数转化，再根据，利用正弦函数的性质求解. （2）由，得到，再根据，利用平分关系得到，然后由，利用两角和的余弦公式求解. 【详解】（1）， ． 因为， 所以， 所以． 故在区间上的值域是． （2）由，知， 又因为，所以． 故 ． 【点睛】本题主要考查二倍角公式，辅助角公式以及两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 17. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足. （1）求； （2）若，求周长l的最大值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角形角的关系以及三角函数的和角公式化简已知条件，求得，进而求出答案. （2）利用余弦定理化简已知条件，结合基本不等式求得周长的最大值. 【小问1详解】 在中，，则， 代入，得， 化简得：，显然，则， 由于，则，由， 因此. 【小问2详解】 周长，要求周长的最大值，即求的最大值， 已知，，代入余弦定理可得， 则， 因此要求的最大值，即求的最大值， 利用基本不等式得，当时，取最大值， 此时， 因此，周长的最大值为. 18. 如图，中，，D是边上一点，，，． （1）求的值； （2）求的长； （3）求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）由（1）得，从而得到，再利用正弦定理求解即可. （3）首先利用正弦定理得到，从而得到，再利用面积公式求解即可. 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理，得， 又，所以. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 在中，， 由正弦定理，得. 【小问3详解】 在中，，，所以， 在中，由正弦定理， 得， 所以， 所以. 19. 已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数. （1）设函数，试求的相伴特征向量； （2）记向量的相伴函数为，求当且，的值； （3）已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得.若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点. 【解析】 【分析】（1）根据三角函数诱导公式化简函数得，根据题意可可得特征向量；（2）根据题意可得相伴函数，再根据条件可得，由最终得到结果；（3）根据三角函数图象变换规则求出的解析式，设，根据条件列出方程式求出满足条件的点P坐标即可. 【详解】解：（1） 的相伴特征向量. （2）向量的相伴函数为， ，. ，，. . （3）由为的相伴特征向量知： . 所以. 设，， ，， 又，. ， ，， . 又， 当且仅当时，和同时等于，这时式成立. 在图像上存在点，使得. 【点睛】关键点点睛：熟练使用三角函数诱导公式、三角恒等变换是本题的关键.本题还考查了三角函数图象变换后的解析式以及向量垂直的数量积关系，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $