18.2 菱形（第3课时 菱形的判定定理2）（教学课件）数学新教材华东师大版八年级下册

18.2 菱形 第3课时 菱形的判定定理2 第十八章 矩形、菱形与正方形 章节导读 18.1矩形 18.2菱形 菱形的判定定理1 菱形的定义与性质定理 矩形的性质定理的应用 矩形的定义与性质定理 菱形的性质定理的应用 菱形的判定定理2 正方形的性质 18.3正方形 矩形的判定定理 矩形的判定定理的应用 直角三角形的性质 2 学 习 目 标 1 2 3 从菱形的性质定理2出发，经历猜想与证明的完整过程，理解菱形的判定定理 2； 能利用菱形的判定定理2进行初步计算和证明； 能利用菱形的性质和判定进行综合运用。 复习回顾 我们已经知道的菱形的判定方法有哪些？ ① 有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（定义） ② 四条边都相等的四边形是菱形；（判定定理1） 还有其他的判定方法吗？ A B C D 4 新知探究 菱形的判定定理2 桌上有两根长度不等的木棒，请你让木棒的中点重合，并用图钉固定。旋转两根木棒，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线。和同桌比比看，你们画的图形有什么不同？ 当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形？ 探索 5 新知探究 菱形的判定定理2 思考：由菱形的特有性质“对角线互相垂直”， 可以猜想：如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直，那它肯定是一个菱形。 当两根木棒之间的夹角等于 90°时，所得到的四边形具有对角线垂直的特点。 我们一起用尺规作图的方式来验证一下吧！ 6 新知探究 菱形的判定定理2 作一个两条对角线互相垂直的平行四边形 试一试 1.作2条互相垂直的直线 ，记交点为点； 2.以点为圆心、适当长为半径作弧，在直线上截取相等的两条线段； 3.以点为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线上截取相等的两条线段； 4.顺次连结所得的四点. A B C D m n O 7 菱形的判定定理2 文字表述：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言：在 中，， ∴ 是菱形. 归纳总结 菱形的判定定理2 你能进行推理演绎证明吗？试一试。 AC⊥BD A B C D 菱形ABCD A B C D □ABCD 8 新知探究 菱形的判定定理2 已知：四边形是平行四边形，且， 求证：平行四边形是菱形. 证一证 分析：要证明四边形ABCD是菱形,只需证明有一组邻边相等即可. 证明 ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC， 又∵AC ⊥ BD, ∴BD 所在直线是线段 AC 的垂直平分线， ∴AB = BC ∴平行四边形 ABCD 是菱形.（菱形的定义） A O C B D 9 拓展探究 菱形的判定定理2 思考：若只知四边形的对角线，则四边形是不是菱形？ 不是菱形。所以运用对角线垂直判定菱形的前提条件是：该四边形是平行四边形。 10 典例分析 例1 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点. 求证：四边形是菱形. 菱形的判定定理2 分析：要证四边形是菱形，由已知条件可知 ，所以只需证明四边形是平行四边形，又知垂直平分，所以只需证明. 2 A B C D F E O 1 11 典例分析 例1 如图，已知矩形的对角线的垂直平分线与边分别交于点. 求证：四边形是菱形. 菱形的判定定理2 证明：∵四边形是矩形， ∴ ， ∴. ∵平分， ∴. 在和中， ∵， ∴（ASA）， ∴， ∴四边形是平行四边形. 又∵， ∴四边形是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形.) 2 A B C D F E O 1 12 典例分析 例2 如图，在中，，且，延长到点，使得，连接. (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 菱形的性质与判定的综合运用 解：(1)∵DE∥BC，且2DE＝BC， 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形； 13 典例分析 例2 如图，在中，，且，延长到点，使得，连接. (1)求证：四边形是菱形； (2)若求菱形的面积． 菱形的性质与判定的综合运用 (2)∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为42=8. 14 归纳总结 菱形的性质与判定的综合运用 菱形的性质 + 判定综合解题技巧 一、菱形的判定方法（做题首选顺序） 定义法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 边判定：四条边都相等的四边形是菱形。 对角线判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 做题口诀：先证平行四边形，再找邻边等 / 对角线垂直；无平行条件就证四边相等或对角线垂直平分。 二、综合解题三大模型 + 技巧 模型 1：平行四边形→证菱形（最常考） 解题思路：先用条件证出是平行四边形（对边平行 / 对边相等 / 对角线互相平分）； 再补一个条件即可：（1）找一组邻边相等；（2）找对角线互相垂直。 15 归纳总结 菱形的性质与判定的综合运用 模型 2：任意四边形→证菱形 解题思路：（1）直接证四条边全部相等； （2）证对角线互相垂直且平分。 模型 3：菱形与直角三角形、勾股定理综合 四、常见题型秒杀技巧 求边长：给对角线→用勾股；给周长→周长 ÷4。 求角度：用对角线平分对角 + 直角三角形两锐角互余。 证明线段相等 / 平行：利用菱形四边相等、对边平行、对角线平分性质。 动点、折叠题：抓住边长始终相等、对角线垂直不变量。 16 1.给定一条线段，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使 为该菱形的一条对角线？试试看. 随堂练习 基础过关(P135) 提示: 作线段 AC 的垂直平分线， 并以垂足为圆心，任意长为半径 交垂直平分线于 B，D 两点， 连结 AB、CB、AD、CD 即可. A C O D B 17 随堂练习 基础过关(P135) 2.如图，过□的对角线的交点，作互相垂直的两条直线，与□各边分别相交于点. 求证：四边形是菱形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，OB ＝OD， ∴ ∠GBO ＝∠EDO. 又∵ ∠BOG ＝∠DOE， ∴ △BOG≌△DOE，∴ OG ＝OE. 同理可证△BOF≌△DOH， ∴ OF ＝OH， A B C D E F G H O ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵ EG ⊥ FH， ∴ 四边形 EFGH 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). 18 随堂练习 基础过关(P135) 3.设计一个由一条对角线在同一条直线上的四个菱形交叉组成 的花边图案，其长为 15 cm，宽为 4 cm，试画出它的图形. 解: 如图，作两条对角线长分别为 6 cm 和 4 cm 的四个菱形， 这个图形就是所设计的花边图案. (答案不唯一) 19 随堂练习 4. 判断下列说法是否正确： (1) 对角线互相垂直的四边形是菱形； (2) 对角线互相垂直且平分的四边形是菱形； (3) 对角线互相垂直，且有一组邻边相等的四边形是菱形； (4) 两条邻边相等，且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形． 能力提升 √ ╳ ╳ ╳ 20 随堂练习 能力提升 5.如图，中，的垂直平分线交于点，交 于点，交于点，连结.求证：四边形是菱形. 证明：∵ MN 是 AC 的垂直平分线， ∴ AE = CE，AD = CD，OA = OC， ∠AOD =∠EOC = 90°. ∵ CE∥AB， ∴ ∠DAO =∠ECO. ∴ △ADO≌△CEO (ASA). ∴ AD = CE. ∴ 四边形 ADCE 是平行四边形. 又∵ DE⊥AC， ∴ 四边形 ADCE 是菱形. B C A D O E M N 21 随堂练习 能力提升 6.如图，在中，，点为线段上不与端点重合的一个动点．过点作直线、直线的垂线，垂足分别为点、点．连结，在点运动的过程中，的最小值等于________． 7.8 分析：先证得是菱形，再求得是定值，因此，当最小时， 有最小值。的最小值可由垂线段最短来判断，即当与对角线交点重合时，，最小值为对角线的一半。 22 课堂小结 一组邻边相等 四条边相等 四种判定方法 四边形 平行四边形 菱形 对角线互相垂直 感谢聆听! $