18.2.2 第2课时 菱形的判定定理2课件 2025-2026学年华东师大版 数学八年级下册

18.2.2 第2课时 菱形的判定定理2 22251 1 1.理解菱形的判定定理2，能初步综合应用菱形的性质与判定定理解决相关的计算与证明问题． 学习目标 22251 2 菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 性质定理 1 菱形的四条边都相等. 性质定理 2 菱形的两条 对角线互相垂直. ? 菱形有哪些特殊性质？如何判定图形是菱形？ 可以用来判定菱形 菱形的判定定理1 复习导入 22251 如图，取两根长度不等的细木棒，让两个木棒的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出木棒四个端点的连线. 平行四边形 转动其中一个木棒，重复上面的做法，当两根木棒之间的夹角等于 90°时，得到的是什么图形？ 新知探究 22251 试一试:作一个两条对角线互相垂直的平行四边形. 1.作 2 条互相垂直的直线 m、n，记交点为点 O； 2.以点 O 为圆心、适当长为半径作弧，在直线 m 上截取相等的两条线段 OA、OC； 3.以点 O 为圆心、另一适当长为半径作弧，在直线 n 上截取相等的两条线段 OB、OD； 4.顺次连结所得的四点. A B C D m n O 它是菱形吗，怎么证明？ 22251 已知：四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与 BD相交于点 O，AC ⊥ BD. 求证：平行四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA = OC， 又∵AC ⊥ BD, ∴BD 所在直线是线段 AC 的垂直平分线， ∴AB = BC ∴平行四边形 ABCD 是菱形.（菱形的定义） A O C B D 22251 菱形的判定定理 2： 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 几何语言： ∵在 □ ABCD 中，AC ⊥ BD， ∴四边形 ABCD 是菱形. A O C B D 归纳 22251 思 考：若四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD，则四边形 ABCD 是不是菱形？ 只有对角线互相垂直平分的四边形才是菱形. 22251 例题：如图，已知矩形 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD、BC 分别交于点 E、F. 求证：四边形 AFCE 是菱形. 2 A B C D F E O 1 要证四边形 AFCE 是菱形 已知条件可知 EF ⊥ AC 只需要证明四边形 AFCE 是平行四边形 又知 EF 垂直平分 AC 所以只需证明 OE = OF 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠1 = ∠2. ∵EF 平分 AC， 在△AOE 和 △COF 中， ∴△AOE ≌ △COF，∴OE = OF， ∴四边形 AFCE 是平行四边形. 又∵EF ⊥ AC， ∴四边形 AFCE 是菱形 (对角线互相垂直的平行四边形是菱形.) ∴ AE ∥ FC， ∴OA = OC. ∵∠1 = ∠2，OA = OC，∠AOE = ∠COF， 典例精析 22251 如图，在△ABC中，DE∥BC，且2DE＝BC，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 解：(1)∵DE∥BC，且2DE＝BC， 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE，∴四边形BCFE是菱形； (2)∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为42=8. 巩固练习 22251 四条边都相等 菱形 一组邻边相等 对角线互相垂直 对角线互相平分 一组对边平行且相等 两组对边分别平行或相等 四边形 平行四边形 两组对角分别相等 课堂小结 22251 1. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 互相垂直平分，AB ＝ 3，则四边形 ABCD 的周长为 ( ) A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 A O C B D C 随堂小练 22251 A B C D O E 2.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE ∥BD. 求证：四边形OCED是菱形. 证明：∵DE∥AC，CE∥BD， ∴四边形OCED是平行四边形. ∵四边形ABCD是矩形， ∴OC=OD， ∴四边形OCED是菱形． 随堂小练 22251 3. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AB ＝ 5，OA ＝ 4，OB ＝ 3. 求证: 四边形 ABCD 是菱形． 证明: ∵AB ＝ 5，OA ＝ 4，OB ＝ 3， ∴OA2 + OB2 ＝42 + 32 ＝25＝52＝AB2， ∴△AOB 是直角三角形，∠AOB＝90°， ∴AC ⊥ BD． 又∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴四边形 ABCD 是菱形． A O C B D 随堂小练 22251 4.如图，△ABC中，AC的垂直平分线MN交AB于点D，交AC于点O，CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD.求证：四边形ADCE是菱形. A D O E M 证明：∵MN是AC的垂直平分线， ∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°. ∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO， ∴△ADO≌△CEO（ASA）． ∴AD=CE，OD=OE， ∵OD=OE，OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形 又∵∠AOD=90°，∴四边形ADCE是菱形． 随堂小练 22251 给定一条线段 AC，你能否利用尺规作图作出一个菱形，使 AC 为该菱形的一条对角线？试试看. 提示: 作线段 AC 的垂直平分线， 并以垂足为圆心，任意长为半径 交垂直平分线于 B，D 两点， 连结 AB、CB、AD、CD 即可. A C O D B 【选自教材练习 第1题】 课后练习 22251 2. 如图，过 □ ABCD 的对角线的交点 O，作互相垂直的两条直线 EG、FH，与 □ ABCD 各边分别相交于点 E、F、G、H. 求证：四边形 EFGH 是菱形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD∥BC，OB ＝OD，∴ ∠GBO ＝∠EDO. 又∵ ∠BOG ＝∠DOE，∴ △BOG≌△DOE，∴ OG ＝OE. 同理可证△BOF≌△DOH，∴ OF ＝OH， ∴ 四边形 EFGH 是平行四边形. 又∵ EG ⊥ FH， ∴ 四边形 EFGH 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形). A B C D E F G H O 【选自教材练习 第2题】 课后练习 22251 解: 如图，作两条对角线长分别为 6 cm 和 4 cm 的四个菱形， 这个图形就是所设计的花边图案. (答案不唯一) 3. 设计一个由一条对角线在同一条直线上的四个菱形交叉组成 的花边图案，其长为 15 cm，宽为 4 cm，试画出它的图形. 【选自教材练习 第3题】 课后练习 22251 $