考前终极冲刺：核心・高频考点速查（含二级结论）（培优，全国通用）2026年高考数学考前最后一课

速查01 集合、逻辑、复数、向量（71个核心考点） 一、集合 1. 集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先检验互异性. 2. 常用数集的表示：自然数集N、正整数集N₊（或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 3. 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩（Venn）图法，明确描述法中代表元素的类型. 4. 空集的定义：不含任何元素的集合，记为∅，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集. 5. 子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集. 6. 集合的交集运算：A∩B表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合. 7. 集合的并集运算：A∪B表示由所有属于A或属于B（或两者都属于）的元素组成的集合. 8. 集合的补集运算：表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围. 9. 集合运算性质：A∩A=A、A∪A=A；A∩∅=∅、A∪∅=A；A∩B=B∩A、A∪B=B∪A. 10. 若A⊆B，则A∩B=A、A∪B=B，解题时需注意A为空集的特殊情况. 11. 区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算. 12. 描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围（隐含定义域）. 13. 集合关系的判定：若A⊆B且B⊆A，则A=B. 14. 补集的性质：(1) ；（2）;（3） 15．集合运算与集合间关系的转化： . 16．一组重要的结论： (1)有限集合的子集情况：子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. (2)元素与集合的关系： ． (3)德摩根公式： ． (4)容斥原理：, . 二、常用逻辑用语 17. 命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题. 18. 四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假. 19. 否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 20. 充分条件的定义：若p⇒q，则p是q的充分条件（p能推出q）. 21. 必要条件的定义：若q⇒p，则p是q的必要条件（q能推出p）. 22. 充要条件的定义：若p⇔q，则p是q的充要条件（两者互相推出）. 23. 充分不必要条件：p⇒q，但q⇏p；必要不充分条件：q⇒p，但p⇏q. 24. 全称量词命题：含有“任意”“所有”“每一个”等量词，记为∀x∈M，p(x). 25. 存在量词命题：含有“存在”“有一个”“至少一个”等量词，记为∃x∈M，p(x). 26. 全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为∃x∈M，¬p(x). 27. 存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为∀x∈M，¬p(x). 28. 充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断. 29．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 三、复数 30. 复数的定义：形如a+bi（a,b∈R）的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位（i²=-1）. 31. 复数的分类：实数（b=0）、虚数（b≠0），虚数中纯虚数（a=0且b≠0）. 32. 复数相等的条件：a+bi=c+di（a,b,c,d∈R）⇔a=c且b=d. 33. 虚数单位i的运算性质：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，周期为4. 34. 复数的加法运算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，遵循实数加法法则. 35. 复数的减法运算：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，遵循实数减法法则. 36. 复数的乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，类比多项式乘法展开. 37. 复数的除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化. 38. 共轭复数的定义：a+bi的共轭复数为a-bi，共轭复数的实部相等，虚部互为相反数. 39. 复数的模：|a+bi|=，表示复数对应的点到原点的距离. 40. 复数的几何意义：复数a+bi对应复平面内的点(a,b)，也对应向量（Z为(a,b)）. 41. 实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘. 42.．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 43．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 44.复数的常用结论： (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． (2)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 四、平面向量 45. 向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 46 零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 47. 单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量. 48. 相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关. 49. 相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量记为-a. 50. 向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律. 51. 向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则. 52. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积为λa，模为|λ|·a |，方向由λ的符号决定. 53. 向量数乘的性质：λ(μa)=(λμ) a；(λ+μ)a=λa+μa；λ(a +b)=λa +λb. 54. 向量共线的充要条件：非零向量a与b共线⇔存在唯一实数λ，使得b=λa. 55. 向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角，θ∈[0,π]），结果为实数. 56. 数量积的性质：a·a=|a|²；a⊥b⇔a·b=0（a,b为非零向量）；|a·b|≤|a||b|. 57. 向量数量积的运算律：a·b=b·a；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(a+b)·c=a·c+b·c. 58. 平面向量的坐标表示：若a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂). 59. 向量数乘的坐标运算：λa=(λx₁,λy₁)；向量数量积的坐标运算：a·b=x₁x₂+y₁y₂. 60. 向量夹角的坐标计算公式：cos θ＝（a,b非零）. 61．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 62.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 63.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 64.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 65.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 66.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. 67.向量a在向量b上的投影向量为·. 68.极化恒等式： (1)向量通用形式：对任意平面向量 、，有： (2)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： （3）三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： 69.矩形大法 矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 70.等和线 （1） 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 （ 为常数）的点构成的直线称为“等和线”. （2）核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 . 71. 奔驰定理 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. （1）核心定理（三角形内部点） O是△ABC内一点，且，则 （2）奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 速查02 函数与导数（55个核心考点） 一、函数核心考点（28条） 1. 函数的定义：设非空数集A、B，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2. 函数的三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域. 3. 函数定义域的求解原则：分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0、底数大于0且不等于1. 4. 函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分. 5. 函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方法. 6. 函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域. 7. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化. 8. 分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值. 9. 分段函数的求值：需先判断自变量所在区间，再代入对应解析式计算. 10. 函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量x₁、x₂，若x₁<x₂时，f(x₁)<f(x₂)则为增函数，反之则为减函数. 11. 函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则. 12. 复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减. 13. 函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可用“∪”符号. 14. 函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-x)=f(x)为偶函数，若f(-x)=-f(x)为奇函数. (2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. 15．函数的奇偶性性质： (1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有． (2)如果函数是偶函数，那么． (3)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称． (4)若函数是奇函数，则函数的图象关于点（b，0）中心对称． 16. 判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 17. 常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数. 18. 一次函数的解析式与性质：y=kx+b（k≠0），k决定单调性，b决定与y轴交点. 19. 二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴. 20. 二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况. 21. 指数函数的解析式：y=aˣ（a>0且a≠1），底数a决定函数单调性. 22. 指数函数的性质：定义域为R，值域为(0,+∞)，过定点(0,1). 23. 对数函数的解析式：y=logₐx（a>0且a≠1），与指数函数y=aˣ互为反函数. 24. 对数函数的性质：定义域为(0,+∞)，值域为R，过定点(1,0)，底数a决定单调性. 25. 幂函数的解析式：y=xᵃ（a为常数），重点掌握a=1,2,3,-1,1/2的图象与性质. 26. 函数的周期性 (1)定义：若存在非零常数T，使得对于定义域内任意x，都有f(x+T)=f(x)，则T为函数的周期. (2)对定义域内任一自变量的值：①若，则． ②若，则． ③若，则． 27. 函数图象的变换： （1）平移变换：①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． （1）平移变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． 28．函数图象的对称性 （1）函数图象自身的轴对称 ①函数的图象关于轴对称； ②函数的图象关于对称； ③若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称． （2）函数图象自身的中心对称 ①函数的图象关于原点对称； ②函数的图象关于（a，0）对称； ③函数的图象关于点（a，b）成中心对称． （3）两个函数图象之间的对称关系 ①函数与的图象关于直线对称（由得对称轴方程）； ②函数与的图象关于直线对称； ③函数与的图象关于点（0，b）对称； ④函数与的图象关于点（a，b）对称． 二、导数 29. 导数的定义：函数y=f(x)在x₀处的导数f’(x₀)，表示函数在该点的瞬时变化率. 30. 导数的几何意义：函数y=f(x)在x₀处的导数f’(x₀)，等于该点处切线的斜率. 31. 导数的物理意义：若s=s(t)表示位移函数，则s’(t)表示瞬时速度，s''(t)表示瞬时加速度. 32. 基本初等函数的导数公式：牢记幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式. 33. 导数的加法法则：[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x). 34. 导数的减法法则：[f(x)-g(x)]’=f’(x)-g’(x). 35. 导数的乘法法则：[f(x)·g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x),特别地：[kf(x)]'＝kf'(x)(k∈R). 36. 导数的除法法则：(4)'＝(g(x)≠0)， 37. 复合函数的求导法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y’ₓ=y’ᵤ·u’ₓ，即链式法则. 38. 隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则. 39. 导数与函数单调性的关系：f’(x)>0时，函数单调递增；f’(x)<0时，函数单调递减；f’(x)=0时，函数可能为极值点. 40. 函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点. 41. 极值点的判定方法：先求导数，找到f’(x)=0或f’(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变. 42. 函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点. 43. 函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值. 44. 利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件. 45. 利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件. 46. 导数在切线方程中的应用：已知切点求切线方程，或已知切线斜率求切点坐标. 47. 导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式. 48. 函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质. 49. 求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间. 50. 二阶导数的意义：f''(x)可判断函数的凹凸性，f''(x)>0为凹函数，f''(x)<0为凸函数. 51. 导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题. 52. 可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导. 53. 导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变. 54. 利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数. 55. 导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质. 速查03 三角函数与解三角形（52个核心考点） 一、三角函数 1. 任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角. 2. 终边相同的角的表示：与角α终边相同的角可表示为α+2kπ（k∈Z）. 3. 象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限. 4. 弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为1rad. 5. 角度与弧度的换算：180°=πrad，1°=rad，1rad=. 6. 弧长公式：l=|α|r（α为弧度制，r为半径）. 7. 扇形面积公式：S=（l为弧长，α为弧度制，r为半径）. 8. 任意角的三角函数定义：设角α终边上一点P(x,y)， ， 则. 9. 三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sinα、cosα、tanα的正负. 10. 特殊角的三角函数值：牢记0、及相关诱导角的三角函数值. 11. 同角三角函数基本关系：sin²α+cos²α=1，（osα≠0）. 12. 诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限（“奇、偶”指π/2的奇数倍、偶数倍）. 13. 正弦函数y=sinx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π. 14. 余弦函数y=cosx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π. 15. 正切函数y=tanx的定义域：{x|x≠+kπ,k∈Z}，值域：R，周期：π. 16. 正弦、余弦函数的奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数. 17. 三角函数的单调性：掌握y=sinx、y=cosx、y=tanx的单调区间. 18. 三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心. 19. 三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减”的规律. 20. 三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响. 21. 函数y=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0）的振幅：A，周期：T=2π/ω，相位：ωx+φ，初相：φ. 22. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法：五点法（零点、最高点、最低点）. 二、三角变换 23. 两角和与差的正弦公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. 24. 两角和与差的余弦公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ. 25. 两角和与差的正切公式：（α、β、α±β≠π/2+kπ）. 26. 二倍角的正弦公式：sin2α=2sinαcosα. 27. 二倍角的余弦公式：cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α. 28. 二倍角的正切公式：tan 2α＝.（α≠. 29. 降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 30. 升幂公式：1+cos2α=2cos²α，1-cos2α=2sin²α. 31. 半角公式：sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定. 32．半角正切公式的有理化：tan＝＝. 33. 辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中. 34．积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 35．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 36．配方变换公式： 37．因式分解变换公式：. 38.万能公式：. 39．三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幂、升幂、角的配凑. 40. 角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如α=(α+β)-β、2α=(α+β)+(α-β). 41. 三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数. 42. 三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角. 43. 给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角. 44. 三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果. 45. 利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式. 46. 辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，便于求性质. 三、解三角形 47 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 48 正弦定理：（R为三角形外接圆半径）. 49正弦定理的变形： 50 余弦定理： 51余弦定理的变形：， 52角形面积公式: ，并可由 可由此计算． 速查04 数列（57个核心考点） 一、数列 1. 数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{aₙ}，n∈N*，n为项数. 2. 数列的项与项数：aₙ表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数. 3. 数列的通项公式：如果数列{aₙ}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式. 4. 数列的递推公式：如果已知数列{aₙ}的首项（或前几项），且任意一项aₙ与它的前一项aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式. 5. 数列的前n项和：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ，记为Sₙ，S₀=0. 6. 通项公式与前n项和的关系：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n≥2），a₁ = S₁，需检验a₁是否满足n≥2时的通项. 7. 数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列. 8. 常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为aₙ = C（C为常数），前n项和Sₙ = nC. 9. 摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性. 10. 数列的单调性判断：比较aₙ₊₁与aₙ的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11. 数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项. 12. 数列的周期性：若存在非零常数T，使得对任意n∈N*，都有aₙ₊ₜ = aₙ，则T为数列的周期. 二、等差数列 13. 等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记为d. 14. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁+(n - 1)d（a₁为首项，d为公差）. 15. 等差数列通项公式变形：aₙ = aₘ + (n - m)d（m、n∈N*）. 16. 等差数列的判定方法：定义法（aₙ₊₁ - aₙ = d，常数）、中项法（2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂）. 17. 等差数列的前n项和公式： 18. 等差数列的常用性质 （1在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （2），…仍是等差数列，公差为． （3），…也成等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． （5）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （6）若项数为偶数，则；；． （7）若项数为奇数，则；；． （8）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （9）．数列是等差数列⇔（为常数）． 19. 等差数列的公差与单调性：d > 0时，数列递增；d < 0时，数列递减；d = 0时，数列为常数列. 三、等比数列 20. 等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，记为q（q≠0）. 21. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹（a₁为首项，q为公比，a₁≠0，q≠0）. 22. 等比数列通项公式变形：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ（m、n∈N*，aₘ≠0，q≠0）. 23. 等比数列的判定方法：定义法（，q为常数，q≠0）、中项法（aₙ₊₁² = aₙ·aₙ₊₂，aₙ≠0）. 24. 等比数列的前n项和公式： 25. 等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 26. 等比数列的最值：当q > 1，a₁ > 0时，数列递增，无最大值，有最小值a₁；当0 < q < 1，a₁ > 0时，数列递减，无最小值，有最大值a₁. 四、数列求和与递推数列 27. 数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 52. 裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 53. 错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{aₙbₙ}，{aₙ}为等差，{bₙ}为等比）. 54. 倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前n项和推导）. 55. 分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求和后相加. 56. 递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于aₙ₊₁ = aₙ + f(n)）、累乘法（适用于aₙ₊₁ = aₙ·f(n)）、构造法. 57. 构造法二级结论： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}，其中c＝(p≠1) an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以，构造新的数列 速查 05 立体几何(50个核心考点) 一、空间几何体 1. 空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）. 2. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体. 3. 棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；两底面是全等的多边形. 4. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体. 5. 棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形；底面是多边形. 6. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 7. 棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形. 8. 圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 9. 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 10. 圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 11. 球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意一点的距离相等（均为半径）. 12. 空间几何体的表面积与体积公式： 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） 底 锥体（棱锥和圆锥） 底 台体（棱台和圆台） 球 13. 正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个顶点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查正四面体、正方体. 二、空间点、线、面位置关系 14.斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 15. 空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解. 16. 空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行. 17. 异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角，范围为(0°,90°]. 18. 空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外. 19. 直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行. 20. 直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 21. 直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直. 22. 直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直；垂直于同一个平面的两条直线平行. 23. 直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为[0°,90°]，直线在平面内或平行于平面时角为0°，垂直于平面时角为90°. 24. 空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）. 25. 平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行. 26. 平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行. 27. 平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 28. 平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 29. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小用其平面角衡量，范围为[0°,180°]. 30. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 三、外接球与内切球 31. 外接球的定义：一个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心为外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R. 32. 内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面的距离均为内切球半径r. 33. 二级结论（正方体）：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R=（a为正方体棱长）；内切球球心为体对角线中点，内切球半径r=. 34. 二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R=（a、b、c为长方体的长、宽、高），长方体一般无内切球（需满足a=b=c，即正方体时才有）. 35. 二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=√6a/4，内切球半径r=（a为正四面体棱长），且R=3r. 36. 二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径R=（r₀为底面外接圆半径，h为直棱柱的高）. 37. 二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径R=（r为圆柱底面半径，h为圆柱的高）；圆柱无内切球（需满足直径等于高，即h=2r时才有内切球，半径r）. 38. 二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为r、高为h，外接球半径为R，则满足(R-h)²+r²=R²，解得R=. 39. 二级结论（棱锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方向上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解. 40. 内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径r=（V为多面体体积，S为多面体的表面积），适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体. 41. 外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定理建立关于R的方程，求解半径. 42. 易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，并非所有几何体都有）. 四、空间向量核心考点 43. 空间向量共线的充要条件：若空间向量与（）共线，则存在唯一实数λ，使得，坐标形式为对应坐标成比例. 44. 空间向量共面的充要条件：三个空间向量共面，等价于存在实数λ、μ，使得；若三个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0. 45. 空间向量的数量积：设向量与的夹角为θ（θ∈[0°,180°]），则=cosθ，结果为实数，可用于求夹角、判断垂直. 46. 空间向量垂直的充要条件：两个空间向量与垂直，等价于，坐标形式为对应坐标乘积之和为0. 47. 空间向量的模：若向量=(x,y,z)，则|，可用于求空间中两点间的距离. 48. 空间向量夹角公式： ，θ为两向量的夹角. 49．向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． (2)直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为,若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 50.空间角与空间距离的求法： （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． （4）点到平面的距离:为平面外一点，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线,则 速查06 直线与圆（24个核心考点） 一、直线方程 1. 直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素. 2. 直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°,180°)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴. 3. 直线的斜率：倾斜角为α（α≠90°）时，斜率k=tanα；倾斜角为90°时，斜率不存在. 4. 直线的斜率公式：过两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁). 5. 直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化. 6. 直线的一般式方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0），可快速判断直线的斜率和截距. 7. 两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k₁=k₂且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴. 8. 两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，k₁·k₂=-1；一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴）. 9. 两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合. 10. 点到直线的距离公式：点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离 11. 两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0（C₁≠C₂）的距离. 12. 一组直线系方程： （1）过定点的直线系方程：，还可以表示为和． (2)平行于直线的直线系方程：． (3)垂直于直线的直线系方程：． (4)过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 13.关于对称的二级结论： (1)点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． (2)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (3)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (4)点关于点的对称点为． (5)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 二、圆的核心考点（11个） 14. 圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（r>0），其中(a,b)为圆心坐标，r为半径. 15. 圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F>0），圆心为 ，半径 16. 点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d，d<r则点在圆内，d=r则点在圆上，d>r则点在圆外. 17. 直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d，d<r则相交，d=r则相切，d>r则相离. 18. 直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等. 19. 直线与圆相交的弦长公式：弦长=（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）. 20. 圆与圆的位置关系：设两圆半径为r₁、r₂，圆心距为d，内含（d<|r₁-r₂|）、内切（d=|r₁-r₂|）、相交（|r₁-r₂|<d<r₁+r₂）、外切（d=r₁+r₂）、外离（d>r₁+r₂）. 21. 圆的切线方程常用结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为． （3）过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为． 22．圆系方程 （1）同心圆系方程：，其中是定值，是参数； （2）过直线与圆交点的圆系方程：； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 23. 二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x²、y²项）. 24. 圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形. 速查 07圆锥曲线（38个核心考点） 一、椭圆 1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之和等于常数（2a，2a>|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c<a）. 2. 椭圆的标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：（a>b>0），其中b²=a²-c². 3.判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x²、y²项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴. 4. 椭圆的离心率：，范围为(0,1)，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近圆. 5. 椭圆的顶点：长轴端点（±a,0）或（0,±a），短轴端点（0,±b）或（±b,0），长轴长2a，短轴长2b. 6. 椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²-b². 7.椭圆的焦半径公式：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 9．椭圆的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 10．椭圆的弦长问题：为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2b²/a，是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c. 13.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光性）. 14. 若在椭圆上，则 （1）以为切点的切线斜率为； （2）过的椭圆的切线方程是. 15.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 二、双曲线的核心考点 16. 双曲线的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（2a，0<2a<|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c>a）. 17. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上：（a>0,b>0）；焦点在y轴上：（a>0,b>0），其中b²=c²-a². 18. 双曲线的离心率：e=，范围为(1,+∞)，e越接近1，双曲线开口越窄；e越大，开口越宽. 19. 双曲线的顶点：实轴端点（±a,0）或（0,±a），虚轴端点（0,±b）或（±b,0），实轴长2a，虚轴长2b. 20. 双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²+b². 21. 双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y=±x；焦点在y轴上：y=±x，渐近线是双曲线的重要特征. 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（发散性）. 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为. 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为ab. 25. （1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③. （2）与有相同焦点的双曲线方程为 （3）与有相同焦点的椭圆方程为： （4）与有相同焦点的双曲线方程为： （5）与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则 (1). (2)焦点三角形的面积 . 27. 若在双曲线上，则 （1）以为切点的切线斜率为 （2）过的双曲线的切线方程是. 28.若在双曲线外 ，则过P作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 三、抛物线的核心考点 29. 抛物线的定义：平面内与一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准线的距离为p（p>0）. 30. 抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y²=2px；x轴负半轴：y²=-2px；y轴正半轴：x²=2py；y轴负半轴：x²=-2py（p>0）. 31. 抛物线的离心率：e=1，是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32. 抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）. 33. 抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为，顶点到准线的距离为，焦点到准线的距离为p. 34.抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点. 35.抛物线y²=2px（p>0）上一点P(x₀,y₀)的切线方程为y₀y=p(x+x₀). 36.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点. 37.设是过抛物线焦点的弦，若，则 （1）； （2），，弦长（为弦的倾斜角）； （3）； （4）以弦为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 速查 08统计（9个核心考点） 一、随机抽样 1．简单随机抽样方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 二、用样本估计总体 3．频率分布直方图 （1）频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． （2）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图） 横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． 4．样本的数字特征 （1）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（2）中位数：把个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． （3）平均数：把称为这个数的平均数． （4）标准差与方差：设一组数据的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是 , 5.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 6．平均数、方差的公式推广 （1）若数据的平均数为，那么的平均数是． （2）数据的方差为． ①数据的方差也为； ②数据的方差为． 三、变量间的相关关系与统计案例 7．变量间的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． （2）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 8．两个变量的线性相关 （1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． （2）回归方程为，其中． （3）通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． （4）相关系数： 当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 9．独立性检验 （1）分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{，}和{，}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： 总计 总计 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． （2）等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征． ②观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． （3）独立性检验 计算随机变量利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验． 0．10 0．05 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 速查09 计数原理、概率（20个核心考点） 一、计数原理 1．完成一件事可以有类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 2．完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法．．．．．．做第步有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 3.排列数公式： 4.组合数公式： 5.排列数、组合数性质： (1);(2). 6.二项式定理：（1）； （2）通项公式：，它表示第项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，，，． 7．二项式系数的性质 二、概率 8．概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：． （2）必然事件的概率：． （3）不可能事件的概率：． 9．概率的加法公式： （1）如果事件与事件互斥，则． （2）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，． （3） 10．古典概型的概率公式,m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数. 11．条件概率及其性质 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为． （2）条件概率的性质 ①非负性：； ②可加性：如果和是两个互斥事件，则． 12．全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 13．贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有，且 14．相互独立事件 （1）对于事件，若事件的发生与事件的发生互不影响，则称事件是相互独立事件 （2）若，则与相互独立． （3）若与相互独立，则与与与也都相互独立． （4）若与相互独立，则， （5）一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即． 三、概率分布 15．随机变量的有关概念 （1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母表示 （2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 16．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）概念：若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 此表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时也用等式，表示的分布列． （2）分布列的性质：①②． 17．常见的离散型随机变量的分布列 （1）两点分布列 0 1 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率 （2）超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且． 0 1 ．．． m ．．． 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从超几何分布， 18.独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，则称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率． 19．正态分布 （1）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （2）正态分布的三个常用数据 ①； ②； ③． 20.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值: (2)方差:pi，其算术平方根为随机变量的标准差． (3)两个特殊分布的期望与方差: 两点分布：，； 二项分布：；. (4)常用结论:若，其中是常数，是随机变量，则 （i），其中为常数； （ii）； （iii）； （iV）； （V）若相互独立，则． 4 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 高频考点•速查速记 速查01集合、逻辑、复数、向量(71个核心考点) 一、集合 1.集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先检验互异性. 2.常用数集的表示：自然数集N、正整数集N+(或N*)、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 3.集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩(Vem)图法，明确描述法中代表元素的类型， 4.空集的定义：不含任何元素的集合，记为，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 5.子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集， 6.集合的交集运算：A∩B表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合 7.集合的并集运算：AUB表示由所有属于A或属于B(或两者都属于)的元素组成的集合 8.集合的补集运算：C,A表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围， 9.集合运算性质：A∩A=A、AUA=A;A∩0-O、AUW=A;A∩B-=B∩A、AUB=BUA 10.若AcB,则A∩B=A、AUB=B,解题时需注意A为空集的特殊情况 11.区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算 12.描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围（隐含定义域）· 13.集合关系的判定：若ACB且BcA,则A=B 14.补集的性质：1)C(C,D=A:(2)An(GA=o;(3)AUGA)=U 15.集合运算与集合间关系的转化： AOB=A→AUB=B→ASB→CB∈CA⊙AOCuB=D→CAUB=R. 16.一组重要的结论： (1)有限集合{4，a,4,…,4}的子集情况：子集有2个，真子集有2”-1个，非空子集有2”-1个，非空 真子集有2”-2个 (2)元素与集合的关系：x∈A台x庄CuA,x∈CuA一x庄A. (3)德摩根公式：Cu(A∩B)=CUAUCUB,C(AUB)=CyA⌒CB (4)容斥原理：card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A⌒B), 1/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C-card(AOB)-caId(A⌒C)-card(B⌒C)+card(A⌒B⌒C). 二、常用逻辑用语 17.命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题！ 18.四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假 19.否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 20.充分条件的定义：若p→q,则p是q的充分条件(p能推出q) 21.必要条件的定义：若q→p,则p是q的必要条件(q能推出p) 22.充要条件的定义：若p→q,则p是q的充要条件（两者互相推出） 23.充分不必要条件：p→q,但qp;必要不充分条件：q→p,但pq, 24全称量词命题：含有“任意“所有x每一个”等量词，记为xEM,p(x), 25.存在量词命题：含有“存在有一个“至少一个”等量词，记为]x∈M,p(8), 26.全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为]xEM,p(8). 27.存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为x∈M,p(8). 28.充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断： 29. 常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于) 小于() 是 否定词语 不等于() 不大于() 不小于) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 三、复数 30.复数的定义：形如atbi(a,beR)的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位(i=-l). 31.复数的分类：实数(b=0)、虚数(b≠0)，虚数中纯虚数(a=0且b≠0). 32.复数相等的条件：a+bi=c+di(a,b,c,deR)台a=c且b=d 33.虚数单位i的运算性质：i=i,=-1,=-i,i=1,周期为4. 34.复数的加法运算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,遵循实数加法法则. 35.复数的减法运算：(a+b)-(c+di)=(a-c)+b-d)i,遵循实数减法法则. 36.复数的乘法运算：(a+bi)(c+di=(ac-bd十(ad+bci,类比多项式乘法展开. 37.复数的除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化. 38.共轭复数的定义：a+bi的共轭复数为a-bi,共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 2/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 39.复数的模：a+bi=√a+b,表示复数对应的点到原点的距离. 40.复数的几何意义：复数a+bi对应复平面内的点(a,b),也对应向量OZ(Z为(a,b). 41.实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘 42.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z=a十bi都可以表示成r(cos0十isin)的形式，其中，r是复数z的模：0是以 x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线O☑为终边的角，叫做复数z=十bi的辐角，我们规定在 0≤2π范围内的辐角0的值为辐角的主值，通常记作argz 43.复数三角形式的乘、除运算 若复数z1=r1(cos01十isin01),z2=r2(cos02十isin0),且z1≠z2,则 (1)z1z2=r1(cos 01+isin 01)r2(cos 02+isin 02)=rir2[cos(01+02)+isin(01+02)]. o218+m83Ama-的+o0-1 44.复数的常用结论： (-i i .1-i (2)i的周期性：i=人，i*1=i,in*2=二1，*3=i0n∈N, (3)zz=3=z,24z到=， -图= 四、平面向量 45.向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 46零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 47.单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量 48.相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关 49.相反向量：方向相反且模相等的向量，α的相反向量记为-， 50.向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律 51.向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则. 52.向量的数乘：实数2与向量a的积为，模为，方向由2的符号决定. 53.向量数乘的性质：(u)=(0:(0+D=2+μ：2(a+b)=n+b. 54.向量共线的充要条件：非零向量a与b共线台存在唯一实数，使得-λ 55.向量的数量积：dcos0(0为a与b的夹角，E[0,可)，结果为实数. 56.数量积的性质：d;alb台b=0(a,b为非零向量)；ab≤d, 3/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 57.向量数量积的运算律：b=b;(O(ab)=:):(a+b)c=c+b℃. 58.平面向量的坐标表示：若(81，y),-k2,y2),则仕b=k士x,y1y2). 59.向量数乘的坐标运算：(x,y):向量数量积的坐标运算：Xx2+yy2, 60.向量夹角的坐标计算公式：C0S0= x1x2十y2一(4b非零)· 好+好好+y2 61.若4，b为不共线向量，则a十b,a一b是以，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图 a+b 62.三点共线的等价转化 A,P,B三点共线台AP=AB(≠0)台OP=(1-)OA十t0B(O为平面内异于A,P,B的任一点，tR)台0P =xOA十yOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，xER,yER,x十y=1), 63.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则0P=(OA+0B) 64.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G,G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①GA+GB+GC=0: ②AG=(AB+AG): ③GD=号(GB+GC)=(AB+AC, 65.向量模长不等式 对于任意两个向量，b,都有||一|b1|≤|仕场|≤|a|+|b|. 66.有关向量夹角的两个结论 已知向量，b,则 ①若a与b的夹角为锐角，则b>0;若b>0,则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则b<0:若ab<0,则a与b的夹角为钝角或兀. 67.向量a在向量b上的投影向量为a也b 1b11b1' 68极化恒等式： (1)向量通用形式：对任意平面向量、，有：：i=[+-1a-] (②)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的： 即：a-b-ac-|Da] 4/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)三角形中点模型（高频核心）：在△ABC中，M为BC中点，则： A丽.AC-aMP-IBP-IawP-（G8G 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点A、B,若M为线段AB中点，则对平面内任意点P,有： PA·PB=PM2-|AM12 69.矩形大法 矩形恒等式（核心）：若四边形ABCD为矩形，P为平面内任意一点，则： PA2+PC2=PB2+PD2 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”。 ②衍生结论：在矩形ABCD中，对角线相等且互相平分，即AC=AB+AD,且AC=|BD,可快速转化 向量模长关系 70.等和线 (1)基本原理与公式（熟记） 定义：设OA、OB为平面内一组不共线基底，若动点P满足OP=xOA+yOB(x,y∈R),则所有满 足x+y=(λ为常数)的点P构成的直线称为“等和线” (2)核心性质： ①当λ=1时，等和线为直线AB(基底所在直线)： ②等和线与直线AB平行，λ的绝对值与等和线到原点0的距离成正比： ③若两等和线关于原点对称，则对应的入互为相反数： ④若P在直线AB与原点之间，0<1<1；若原点在直线AB与等和线之间，1>1或1<0. 71.奔驰定理 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量 5/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. (1)核心定理（三角形内部点) 0是△ABC内一点，且xOA+yOB+z0元=0，则SAB0c:SACOA:SA40B=:y:2 (2)奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+zOC0,则： DSABOC:SAAOC:SAAOB=x:y:Z @恶到器品 SAABC 速查02函数与导数(55个核心考点) 一、函数核心考点（28条) 1.函数的定义：设非空数集A、B,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在 集合B中都有唯一确定的数fx)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域 3.函数定义域的求解原则：分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0、底数大于0且不等 于1. 4.函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分 5.函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方 法 6.函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域。 7.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化. 8.分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值 9.分段函数的求值：需先判断自变量所在区间，再代入对应解析式计算， 10.函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量X、,若x<x时，fx)下fx)则为 增函数，反之则为减函数 11.函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则. 12.复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减， 6/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可用“U符号. 14.函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-x)fx)为偶函数，若f(-x)=fx)为奇函数， (2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. 15.函数的奇偶性性质： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(x) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 16.判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与fx)的关系. 17.常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数. 18.一次函数的解析式与性质：ykx+b(k0),k决定单调性，b决定与y轴交点. 19.二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴 20.二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况. 21.指数函数的解析式：y=ax(a>0且a时l),底数a决定函数单调性 22.指数函数的性质：定义域为R,值域为(0，+o),过定点(0,1) 23.对数函数的解析式：y=logx(a>0且a时1)，与指数函数y=a*互为反函数. 24.对数函数的性质：定义域为(0，+o),值域为R,过定点(1,0)，底数a决定单调性 25.幂函数的解析式：y一x（a为常数)，重点掌握a=1,2,3,1,1/2的图象与性质， 26.函数的周期性 (1)定义：若存在非零常数T,使得对于定义域内任意x,都有fx+T)x),则T为函数的周期. (2)对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0) @若(+a= ,则T=2a(a>0). 1 ③若f(x+a)= 则T=2a(a>0) f(x) 27.函数图象的变换： 1)平移变换：①y=fx)的图象→y=f(-a)的图象： ②y=f()的图象阅整yf(x)+b的图象. 7/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “左加右减，上加下减’，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在∫(x)整体上加减 (2)对称变换 ①y=f(x)的图象关于轴对称→y=-f(x)的图象： ②y=f(x)的图象关打轴对称→y=f(-x)的图象： 国y=f(x)的图象关于原点对称→y=一f(-x)的图象： ④y=d(a>0且a≠1)的图象关于直线-对称→y=log。x(a>0阻a≠1)的图象. (3)伸缩变换 ①y=f(x)的图象 a>1,横坐标缩短为原来的纵坐标不变？ →y=f(ax)的图象. 0<a<1,横坐标伸长为原来的二倍，纵坐标不变 ②y=f(x)的图象2装→y=a()的图象。 (4)翻折变换 ①y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=f(x的图象： ),轴右侧郁分 ②y=f(x)的图象即左右不→y=f()的图象。 (1)平移变换 ①y=f(x)的图象 a>0,右移a个单位 →y=f(x-a)的图象： ②y=f(x)的图象 60下个位→y=f(x)+b的图象. b>0,上移b个单位 “左加右减，上加下减，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在f(x)整体上加减 (2)对称变换 ①y=f(x)的图象关轴对称→y=一f(x)的图象： ②y=f(x)的图象关打轴对称→y=f(-x)的图象； ③y=f(x)的图象关于原点对称)y=一f(-x)的图象： ④y=a(a>0且a≠1)的图象关于直线=对称→y=log。x(a>0阻a≠1)的图象. (3)伸缩变换 a>1,横坐标缩短为原来的上纵坐标不变？ ①y=f(x)的图象 0<a<1,横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 →y=f(ax)的图象. 8/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②y=f(x)的图象装y=a时()的图象. (4)翻折变换 ①y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=f(x的图象： y轴右侧部分 ②y=f(x)的图象左石不7→y=f()的图象。 28.函数图象的对称性 (1)函数图象自身的轴对称 ①f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图象关于y轴对称： ② 函 数y=f(x) 的图象关 于x=a 对 称 台f(a+x)=f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x)=f(2a+x): ③若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=fx)的图象关于直线 x=9+b 对称. (2)函数图象自身的中心对称 ①f(-x)=-f(x)台函数y=f(x)的图象关于原点对称： ②函数y=f(x)的图象关于(a,0) 对称 台f(a+x)=-f(a-x)台f(x)=-f(2a-x)台f(-x)=-f(2a+x): ③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称 台f(a+x)=2b-f(a-x)台f(x)=2b-f(2a-x). (3)两个函数图象之间的对称关系 ①函数y=f(a+x)与y=fb-)的图象关于直线x=,0对称（由a+x=b-x得对称轴方程）： 2 ②函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称： ③函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0，b)对称： ④函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. 二、导数 29.导数的定义：函数yf(x)在xo处的导数f(xo),表示函数在该点的瞬时变化率 30.导数的几何意义：函数yfx)在处的导数f(o),等于该点处切线的斜率. 31.导数的物理意义：若s=s(①表示位移函数，则s'()表示瞬时速度，s"(①表示瞬时加速度。 32.基本初等函数的导数公式：牢记幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式. 9/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.导数的加法法则：[fx)十g(x)]'-f(x)汁g'(x), 34.导数的减法法则：[fx)-g(x)]'f(8)-g(8), 35.导数的乘法法则：[fx)g&]'f(8)g8)+fx)g(x),特别地：[kfx]'=kfxk∈R). 36.导数的除法法则：4=9ggW≠0， Lg(x) g2(x) 37.复合函数的求导法则：设y-fu),u=g(),则y’xy'u'x,即链式法则. 38.隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则 39.导数与函数单调性的关系：f(x)>0时，函数单调递增：f(x0时，函数单调递减：f'(☒)=0时，函数可 能为极值点 40.函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点， 41.极值点的判定方法：先求导数，找到f(x)=0或f'(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变. 42.函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点 43.函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值， 44.利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件， 45.利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件 46.导数在切线方程中的应用：己知切点求切线方程，或己知切线斜率求切点坐标 47.导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式， 48.函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质 49.求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间. 50.二阶导数的意义：f(s)可判断函数的凹凸性，f'(x)>0为凹函数，f"(8水0为凸函数. 51.导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题 52.可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。 53.导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变 54.利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数： 55.导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质. 速查03三角函数与解三角形(52个核心考点) 一、三角函数 1.任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角 2.终边相同的角的表示：与角α终边相同的角可表示为c+2kπ(k∈Z). 3.象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限 4.弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为1rad 5.角度与弧度的换算：180=ad,1°=元1ad,1ad 180 180 、π 6.弧长公式：Hr(a为弧度制，r为半径). 10/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.扇形面积公式：S=S=h=}1ar(1为弧长，a为弧度制，r为半径). 1 2 2 8.任意角的三角函数定义：设角a终边上一点PK),r=√x+y, 则sina=y、cosu=x、tana=yGx≠0) 9.三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sina、cosa、tana的正负. 10特殊角的三角函数值：牢记0、刀、严、工、T及相关诱导角的三角函数值 6432 11.同角三角函数基本关系：sina+cosa=1,tana= sina (osa0) cos a 12.诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限(“奇、偶'指π2的奇数倍、偶数倍). 13.正弦函数y=six的定义域：R,值域：[-1,1]，周期：2元 14.余弦函数y=cosx的定义域：R,值域：[-1,1]，周期：2π 15.正切函数ytax的定义域：s≠T+kkeZ,值域：R,周期：兀 16.正弦、余弦函数的奇偶性：y=six是奇函数，y=cosx是偶函数. I7.三角函数的单调性：掌握y-sinx、y-cosx、y-tanx的单调区间 18.三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心 19.三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减”的规律. 20.三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响 21.函数y=Asin(ox+p)(A>0,o>0)的振幅：A,周期：T=2r/@,相位：ox+0,初相：0. 22.函数y=Asn(ox+p)的图象画法：五点法（零点、最高点、最低点）. 二、三角变换 23.两角和与差的正弦公式：sin(o±β)=sinacosf±cos0sinβ. 24.两角和与差的余弦公式：cos(a邺)=cos0cos$干sin0sinβ. 25.两角和与差的正切公式：tamn(a±P)=tana±iamE(a、B、-p时+k红，k∈Z)w2+kr）. 1千tan a tan B 2 26.二倍角的正弦公式：sin2o=2sinc0sa. 27.二倍角的余弦公式：cos20=cos2-sino=2c0s2a-1=1-2sin20. 28.二倍角的正切公式：tan2a=2tan” +kπ，keZ -tang(a4交+ 42 29.降幂公式：cos2a=1+os2;sim2a=1-cos2a,tam2a=1-cos2a sin acos a=-sin 2a. 2 2 1+cos2a 30.升幂公式：1+cos20=2cos2au,1-cos20=2sin2a. 1-cosa 31.半角公式：s-土0；c02士 1+cosa 一os符号由所在象限决定。 \1+cosa 32.半角正切公式的有理化：tan-,a=1二coa 1+c0s sina 11/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b 33.辅助角公式：asin a+bcos a= a2+b2sin(a+p)(a,b不同时为0)，其中tanp= a 34.积化和差公式 cosacosB-Icos(a+P)+-cos(@-B)J; sin asin B=-[cos(a+B)-cos(a-B)]: sin acos B-[sin(a+B)+sin(a-B)]; cos asin B-[sin(a+B)-sin(a-B)] 35.和差化积公式 sin a+sin B=2singcos-B. 2 2 sin a-sin B=2cos+esing-B 2 cos a+cosB-2cos+cos 2 2 cos a-cos2sinn 36.配方变换公式：1±sin2a=sina+cos2a士2 sin a cosa=(sima±cos)2. 37.因式分解变换公式：cos2a=(coso+sino)(cos-simo) 2tan 1-tan2a 2tan 38.万能公式：sina= 2 2 COSX=一 tana=- 1+tan? 2 1+tan? 2 1-tan2 2 39.三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幂、升幂、角的配凑】 40.角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如=(a+β)B、20=(a+β)+(-) 41.三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数. 42.三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角. 43.给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角 44.三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果 45.利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式. 46.辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为y=Asin(ox+p)的形式，便于求性质. 三、解三角形 47三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 48正弦定理：a=b一c sinA sinB sinc =2R(R为三角形外接圆半径). 49正弦定理的变形：（1)a:b:c=siA:sinB:siC 12/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC (3)sinA=a 2Rsinc=.c 2R 50余弦定理：d2=b2+c2-2 bccos4,b2=a2+c2-2 accos B,c2=d2+b2-2 abcosC 51余弦定理的变形：co5A b2+c2-a -cosB=a'+c2-b2 ,cosC=a+b2-c2 2bc 2ac 2ab 52角形面积公式： y S=absmc=2bcsids 2acnB三GC=号(a+b+c)r(r是三角形内切圆的半径)，并可由 可由此计算R、r, 速查04数列(57个核心考点) 一、数列 1.数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{am},n∈N*,n为项数. 2.数列的项与项数：a表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数 3.数列的通项公式：如果数列{ā}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列 的通项公式 4.数列的递推公式：如果已知数列{a}的首项（或前几项），且任意一项a与它的前一项aa-1(或前几项) 间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式 5.数列的前n项和：S.=a1+a2+as+..+aa,记为S.,S。=0. 6.通项公式与前n项和的关系：a=S.-Sr-1(n心2)，a:=S,需检验a是否满足n≥2时的通项. 7.数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 8.常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为an=C(C为常数)，前n项和Sm=nC. 9.摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性。 l0.数列的单调性判断：比较at与am的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11.数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项， l2.数列的周期性：若存在非零常数T,使得对任意n∈N*,都有at=a,则T为数列的周期. 二、等差数列 13.等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的 公差，记为d 13/35 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d（a为首项，d为公差). l5.等差数列通项公式变形：an=am+-m)d(m、n∈N*), l6.等差数列的判定方法：定义法(at1-aa=d,常数)、中项法(2at1=an+aat2). 17.等差数列的前n项和公式：&=m+-少d=(a+a) 2 2 18.等差数列的常用性质 (1在等差数列{a}中，当l+n=p+q时，am+an=ap+a,(m,n,p,q∈N). 特别地，若m+n=2t,则am+a=2a(m,n,t∈N). (2)4,a+m'4+2m’.仍是等差数列，公差为d亿，meN)· (3)S,Sm一S,Sm-Sn’也成等差数列，公差为nd. (4)若{a},{b}是等差数列，则4+g功}也是等差数列. (5)若a}是等差数列，则心}也成等差数列，其首项与a}首项相同，公差是a}公差的} (6)若项数为偶数21，则3=g+a)=g+a):SS,=d: (7)若项数为奇数21-1，则81=(@1-0a:SS0：3n- S奇n (8)在等差数列a}中，若4>0，d<0,则满足。≥0 的项数m使得Sn取得最大值Sm:若4<0，d>0, am+H≤0 则满足≤0 的项数m使得S取得最小值Sn am+1≥0 (9)8-2+a-受n.数列a}是等差数列8=r+B肌（AB为常数）· d、 2 19.等差数列的公差与单调性：d>0时，数列递增；d<0时，数列递减；d=0时，数列为常数列. 三、等比数列 20.等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的 公比，记为q(q0). 21.等比数列的通项公式：an=aq"-1(a为首项，q为公比，a≠0，q≠0)· 22.等比数列通项公式变形：an=amga-m(m、n∈N*,am0,q≠0). 23.等比数列的判定方法：定义法（a出=q,q为常数，q时0)、中项法（at2=aaau,a0)· 14/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [na(g=1) 24等比数列的前n项和公式：S,=4-=a-a9g≠) 01-91-q 25.等比数列的性质 (1)等比中项的推广. 若m+n=p+q时，则awn=0,g,特别地，当m+n=2p时，ann=a. (2)①设{a}为等比数列，则{a}(1为非零常数)，a},a}仍为等比数列. ②设(an}与{bn}为等比数列，则{ab}也为等比数列. (3)等比数列a)的单调性（等比数列的单调性由首项a,与公比g决定）· 当4>04<0 g>1或{0<g<1时，a,)为递增数列： 当/90 a<0 ,或 0<q<1 9>1 时，{an}为递减数列. (4)其他衍生等比数列. 若已知等比数列{an),公比为9，前n项和为Sn,则： ①等间距抽取 ap,0pH,0p+2,…-1y,…为等比数列，公比为q. ②等长度截取 Sm,Sm-Sm,Sm-S,…为等比数列，公比为q”（当q=-1时，m不为偶数). 26.等比数列的最值：当q>1,a1>0时，数列递增，无最大值，有最小值a;当0<q<1,a1>0时，数 列递减，无最小值，有最大值a. 四、数列求和与递推数列 27.数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法。 52.裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， 111 (1),nn+-元n+i 1 ④nvn+T-元 15/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 1 (5)nn+im+2-2mn+-n+n+2 53.错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{abm,{a}为等差， {b}为等比) 54.倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前项和推导）. 55.分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求 和后相加 56.递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于at1=an+fn)、累乘法（适用于at1=amfn)、构造法. 57.构造法二级结论： 形式 构造方法 a1+1=pan十q 引入参数c,构造新的等比数列(a,一c以，其中c=p1 +1=pa十q1十c 引入参数x,y,构造新的等比数列{a十xn十y} aa+1=paa十d 两边同除以q”+1，构造新的数列得 速查05立体几何（⑤0个核心考点） 一、空间几何体 1.空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球） 2.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多 面体。 3.棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；两底面是全等的多边形 4.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的多面体， 5.棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形；底面是多边形 6.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 7.棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形 8.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体， 9.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 10.圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 11.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意一 点的距离相等（均为半径）· 16/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.空间几何体的表面积与体积公式： 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积=S侧+2S底 V=S底h 锥体（棱锥和圆锥） S表面积=S侧+S底 v-s版h 台体（棱台和圆台） S表面积=S侧+S上+S下 v-s.+8+5h 球 S=4πR V=ATR 31 13.正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个项点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查正 四面体、正方体。 二、空间点、线、面位置关系 14斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S题-s,S=22公 15.空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解 16.空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行 17.异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或 直角)叫做异面直线所成的角，范围为(0°，90]。 18.空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外. 19.直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行 20.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行. 21.直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直. 22.直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直；垂直 于同一个平面的两条直线平行. 23.直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为[0°，90]，直线在平面内或 平行于平面时角为0°，垂直于平面时角为90° 24.空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）. 25.平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 26.平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个平 面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行 17/35 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直， 28.平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面 29.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小用其平面角衡量，范围为 [0°，180]. 30.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角， 三、外接球与内切球 31.外接球的定义：一个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心为 外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R 32.内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面的 距离均为内切球半径r 3.二级结论（正方体）：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R-V0(a为正方体棱长： 2 a 内切球球心为体对角线中点，内切球半径=二 2 34.二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R= va'+b2+c2 (a、b、 c为长方体的长、宽、高)，长方体一般无内切球（需满足=b=c,即正方体时才有）. 35.二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=V6a/4,内切球半径= 6a 12 (a为正四面体棱长)，且R=3r h 36.二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径R= 4 (o为底面外接圆半径，h为直棱柱的高). 37.二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径R=√+ (r为圆 4 柱底面半径，h为圆柱的高)；圆柱无内切球（需满足直径等于高，即=2r时才有内切球，半径r)· 38.二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为r、高为，外接球半 18/35 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 径为R,则满足R+R,解得R=户+广 2h 39.二级结论（棱锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方向 上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解 40.内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径= 3V ·(V为多面体体积，S为多面体的表面 4 积)，适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体 41.外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定理 建立关于R的方程，求解半径 42.易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，并 非所有几何体都有). 四、空间向量核心考点 43.空间向量共线的充要条件：若空间向量1与b（b≠0)共线，则存在唯一实数，使得α=b,坐标 形式为对应坐标成比例 44.空间向量共面的充要条件：三个空间向量4，b,c共面，等价于存在实数、u,使得c=2a+b:若三 个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0 45.空间向量的数量积：设向量a与b的夹角为0(6E[0°，180])，则ab=|ab|cos6,结果为实数，可 用于求夹角、判断垂直 46.空间向量垂直的充要条件：两个空间向量4与b垂直，等价于·b=0,坐标形式为对应坐标乘积之和 为0. 47.空间向量的模：若向量M=(x,y,z),则川a=√x2+y°+2，可用于求空间中两点间的距离. 48.空间向量夹角公式：cos8=cos(a,b 日为两向量的夹角， 49.向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a,b的方向向量分别为ā，b. 若alb,即a=b,则a∥b: 若ab,即a.b=0,则a⊥b (2)直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a,平面x的法向量为i,且1Lx. 19/35 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若a‖i,即a=n,则1La: 若a山n,即an=0,则a/∥a. (3)平面与平面的位置关系 平面，的法向量为方，平面B的法向量为，若l五，即乃=丽，则∥B:若1乃，即·乃=0， 则1B. 50.空间角与空间距离的求法： (1)异面直线所成角公式：设ā，b分别为异面直线，，1，上的方向向量，0为异面直线所成角的大小，则 a.b cos0-cos(a.b) (2)线面角公式：设l为平面au的斜线，a为l的方向向量，n为平面a的法向量，6为 a.n 与a所成角的大小，则sin0=cos(anl一a (3)二面角公式：设h,乃分别为平面α，B的法向量，二面角的大小为6，则=(，乃)或元-(，乃》 h乃 (需要根据具体情况判断相等或互补)，其中cos日= 网 (4)点到平面的距离：A为平面u外一点，为平面u的法向量，过A作平面cu的斜线AB及垂线AH,则 d-14B.n n 速查06直线与圆(24个核心考点) 一、直线方程 1.直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素. 2.直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°，180)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴. 3.直线的斜率：倾斜角为a(c≠90°)时，斜率k-tana:倾斜角为90时，斜率不存在. 4.直线的斜率公式：过两点P(&1,y)、P2(&2,y2)(x1≠x)的直线斜率k=(y2-y)/2-x). 5.直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化 6.直线的一般式方程：Ax+By+CO(A、B不同时为0)，可快速判断直线的斜率和截距 7.两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k2且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴， 8.两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，kk2=1;一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴）· 20/35 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合 10.点到直线的距离公式：点Pko,yo)到直线Ax+By+C-0的距离 11.两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C:=0与Ax+By+C2=0(C≠C)的距离d= lq-c.l vA+B 12.一组直线系方程： (1)过定点P(x,)的直线系方程：A(x-)+B(y-y)=0(A+B≠0)，还可以表示为 y-y=k(x-x)和x=· (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0(元≠C): (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+九=0. (4)过两条已知直线A1x+By+C1=0,Ax+By+C,=0交点的直线系方程： Ax+By+C1+2(Ax+B2y+C2)=0(不包括直线Ax+By+C3=0)和Ax+By+C=0. 13.关于对称的二级结论： (1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-xy). (2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). (3)点(xy)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为. (4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (⑤)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 二、圆的核心考点（11个) 14.圆的标准方程：(x-a)+y-b)(r>0),其中(a,b)为圆心坐标，r为半径. 15.圆的一般方程：x2+y2+Dx+y+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为 1 22 ,半径1=D+E4F 21/35 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d,长r则点在圆内，d与则点在圆上，d>r则点在圆外 17.直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d,d<r则相交，d则相切，d>r则相离 18.直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等. 19.直线与圆相交的弦长公式：弦长=2√r2-d2(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)， 20.圆与圆的位置关系：设两圆半径为、r2,圆心距为d,内含(d长r)、内切(d-)、相交(- <d长+2)、外切（d与+2)、外离（dDI1+2). 21.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y=r2上一点P(x)的圆的切线方程为xx+%y=r2. (2)过圆(x-a+(y-b)=r2上一点P(x)的圆的切线方程为 (-a(x-a)+(h-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r外一点M(x,)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx+yy=r2. 22.圆系方程 (1)同心圆系方程：(x-a)+(y-b)=r(r>0),其中a,b是定值，r是参数： (2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程： x+y+Dx+Ey+F+(4x+By+C)=0(AER): (3)过圆C1:x2+y2+Dx+Ey+耳=0和圆C:x2+y2+Dx+Ey+F2=0交点的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+E+(x2+y2+Dx+E2y+F)=0(2≠-1)（该圆系不含圆C2,解题时，注意检 验圆C,是否满足题意，以防漏解)· 23.二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x2、y项） 24.圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形 速查07圆锥曲线(38个核心考点) 一、椭圆 22/35 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F、F2(焦点)的距离之和等于常数(2a,2a>FF)的点的轨迹，FF=2c (c<a). 2.椭圆的标准方程：焦点在x轴上： xy >31a>b≥0)：焦点在y轴上：片+方1(a>b>0 (a>b>0),其中b2=a2-c2. 3判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x2、y项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴. 4.椭圆的离心率：e=S,范围为0,1)，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近圆 C 5.椭圆的顶点：长轴端点（±a,0)或(0，±a),短轴端点(0，比b)或（地，0），长轴长2a,短轴长2b. 6.椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为（±c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c2=a2-b 7椭圆的焦半径公式：椭圆上的点P(x,)与左（下）焦点耳与右（上）焦点F,之间的线段的长度叫做椭 圆的焦半径，分别记作=P,5=PF· (1)+y2 京+6=1(a>b>0),5=a+ex,5=a-ex,: 2)之+1(a>b>0=a+e%,5=a-a 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x,)与两焦点构成的△PF叫做焦点三角形， 术P职-85水份积为S,则音+名=1a60中 (1)当P为短轴端点时，0最大. 2s=PRPsn9=barc 当y=b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a+c): 23/35 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9所圆的焦点法（过焦点的波）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点滋）最短，法长1-2 门0.祁椭圆的弦长同题：AB为椭圆之大 +万=1(a>b>0)的弦，A(,y),B(x,⅓)，弦中点M(,6), 则 (1)弦长1=V1+k压-x=1 1+ (2)直线AB的斜率k4B= b'xo o 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2ba,是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c,最小值为a-c. 13.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光 性) 14若B(xy)在椭圆a十b产=1上，则 (1)以(x,)为切点的切线斜率为k= b'xo ayo (2)过乃的椭圆的切线方程是+=1. 15若化，)在能回号'号-1外，粒马，作指的两条切线切有为、，则阿弦B心的 直谈方理+学-1 二、双曲线的核心考点 16.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2(焦点)的距离之差的绝对值等于常数(2a,0<2a<FF)的 点的轨迹，lFF=2c(c>a). 17.双曲线的标准方程：焦点在x轴上： 方-1(a0b0):焦点在y轴上：二-￡-1(a0b0. a2 b2 其中b2-c2-a2. 24/35 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18双曲线的离心率：e=C,范围为(1，十o,e越接近1，双曲线开口越窄；e越大，开口越宽. 19.双曲线的顶点：实轴端点（±a,0)或(0，±a),虚轴端点(0，b)或(b,0),实轴长2a,虚轴长2b, 20.双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为(c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c=a+b2. 21.双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y=±x;焦点在y轴上：y=±乙X,渐近线是双曲线的重要特征 b 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过 另一个焦点（发散性）· 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为 2b3 a 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为ab. x y x y2 25.1）与云云=1共铌的双曲线方程为。厅-1，①它们有公共的渐近线：②四个焦点都在以 原点为圆心，C为半径的圆上：③+ -=1 2)与x =1有相同焦点的双曲线方程为一 r? a2 b2 -元+石=l(≠0，a->0,2+b>0 、=1有相同焦点的椭圆方程为： 2+元+a=l(*0,a+元>1-b2>0) 4)与+1有相同焦点的双曲线方程为： a2-元-b=1(≠0，a->0,元-b>0） (5)与y =1有相同离心率的双曲线方程为： a2 b2 ①焦点在x轴上时： x2 y2 6 =元，(2>0，元≠1) ②焦点在y轴上时： yx a26=,(1>0) 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记∠FPF,=日，则 2b2 PE,F1-cos日 (2)焦点三角形的面积Sa码=cyp-bcot号 27.若(x,y)在双曲线 方1上，则 (1)以乃(，)为切点的切线斜率为k= b'xo ayo 25/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过乃的双曲线的切线方程是车-=1 8若R(:,)在双曲线。1外，则过P作双庙线的两条切线切点为P、P,则切点弦PP的直 线方程是x-=1. a b2 三、抛物线的核心考点 29.抛物线的定义：平面内与一个定点F(焦点)和一条定直线1（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准 线的距离为p(p>0). 30.抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y2-2印x:x轴负半轴：y=-2px;y轴正半轴：x2-2py: y轴负半轴：x=-2py（p>0)· 31.抛物线的离心率：e=1,是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32.抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）· 33.抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为二，顶点到准线的距离为二，焦点到准线的距离为印 34抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴： 反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点。 35.抛物线y-2px(p>0)上一点P(xo,y)的切线方程为yoy=px+xo). 36过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点 37.设AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点F的弦，若A(,y),B(x2,y),则 )x=p2 2AOG类A团x+书+pa为弦B的D sin'a 1 12 (3) FA FBP (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； 26/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切： (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上 速查08统计(9个核心考点) 一、随机抽样 1.简单随机抽样方法：抽签法和随机数法. 2.分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 二、用样本估计总体 3.频率分布直方图 (1)频率分布表的画法： 极差 第一步：求极差，决定组数和组距，组距= 组数 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间： 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表， (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图） 频率 组距 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 0 405060708090100→分数 横轴表示样本数据，纵轴表示 频率 每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率. 组距 4.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把个数据按大 小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数， （3)平均数：把4+4十+称为4，a,,4,这n个数的平均数. 27/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)标准差与方差：设一组数据x,x,x,,x的平均数为元，则这组数据的标准差和方差分别是 -(对e到矿…化月-（s到西(s门 5频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边 中点的横坐标之和 6.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x,x,…,xm的平均数为x,那么X+a,x十a,x3+a,…,xn+a的平均数是nx+a. (2)数据x,,…,xn的方差为52. ①数据x+a,x+a,…,x+a的方差也为52： ②数据1，x2,…,n的方差为a2s2. 三、变量间的相关关系与统计案例 7.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关 系是一种非确定性关系： (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散 布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关 8.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 28/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24-0y- 、 b= (2)回归方程为)=bx+a,其中 2-n a=y-bx (3)通过求Q= ∑(y一bx-d的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法. (4)相关系数： 当”>0时，表明两个变量正相关：当r<0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系。通常大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性。 9.独立性检验 (1)分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表 ②2×2列联表. 一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为(1，x2}和{以，y2},其样本频数列联表 (称为2×2列联表)为： y y2 总计 X1 6 atb X2 d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 从2×2列表中， 依据a,与c 的值可直观得出结论：两个变量是否有关系， a+b'c+d (2)等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列 联表数据的频率特征. 29/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②观察等高条形图发现”，与。相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。 a+bc+d (3)独立性检验 计算随机变量x= n(ad-bc)2 利用x的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为X (a+b)(c+a)(a+c)(b+d) 独立性检验. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 速查09计数原理、概率(20个核心考点) 一、计数原理 1.完成一件事可以有n类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有，种不同的方法，在第2类方 案中有2种不同的方法…在第n类方案中有，种不同的方法.那么，完成这件事共有 N=十2+..十，种不同的方法. 2.完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有，种不同的方 法.·····做第步有mn种不同的方法.那么，完成这件事共有N=×%×..×种不同的方法. 3排列数公式：心=n0n-n-2)(m-m+1)F0a-m n! 4,组合数公式：C=4=nn-1n-20n-m+1 A m! 5排列数、组合数性质： (1)4=0!=1:c9=1C=C-m,Co+C=CRa 6.二项式定理：(1)（a+b)”=C%a”+Ca-b++Cam-*b+..+Cmb”(n∈N）): (2)通项公式：T41=Ca-*b，它表示第k+1项； 30/35 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C,C,，，C 7.二项式系数的性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数相等，即C=C 当k<空时，二项式系数是递增的 增减性 当>时，二项式系数是递减的 与最大值 质 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 二项式 C9+C+C2+…+Ca=2 系数的和 Cg+C2+C4+…=Ck+C2+C0+…=2" 二、概率 8.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(E)=1. (3)不可能事件的概率：P(F)=0. 9.概率的加法公式： (1)如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A+P(B) (2)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件， P(AUB)=1,P(A)=1-P(B) (3)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(40B). 10.古典概型的概率公式P(4)=”m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数 n 11.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B,在己知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做 条件概率，用符号P(BA)来表示，其公式为P(BA)= P(AB)(P(A)>0) P(A) 31/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P(BA)≤1： ②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCA)=P(B1A)+P(CA. 12.全概率公式 (1)P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA); (2)定理1若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA,=0,i,j=1,2,,n,i≠j: ②A+A++An=2: ③P(A)>0,i=1,2,…,n. 则对2中的任意事件B,都有B=BA+BA,++BAn，且 P(B)=2PBA)=2P(4)P(B14). 1= 13.贝叶斯公式 （1)一般地，当0<P)<1且PB>0时，有P4B)=P4PCB) P(A)P(B A) P(B) P(A)P(B A)+P(A)P(B A) （2)定理2若样本空间2中的事件A,A,…,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA=0,，i,j=1,2,…,n,i≠j; ②A+A,+…+An=2: ③0<P(A)<1,i=1,2,…,n. 则对2中的任意概率非零的事件B,都有B=BA+BA+…+BA,，且 AB)-P(A)P(BAP(4)P(B14) P(B) 24na4 14.相互独立事件 (1)对于事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A,B是相互独立事件 (2)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. (3)若A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也都相互独立. (4)若A与B相互独立，则P(BA)=P(B) 32/35 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(AB)=P(BI A)P(4)=P(4)P(B). (5)一般地，如果事件A,A,,A,（n>2,n∈N)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积，即P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A) 三、概率分布 15.随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,Y,5,☑，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量. 16.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为，x,…,x,,x,X取每一个值x（i=1,2,…,n) 的概率P(X=x)=P,以表格的形式表示如下： X 为 x2 x X ò P P P Pa 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式 P(X=x)=P,i=1,2,…,n表示X的分布列. (2)分布列的性质：①P,≥0，i=1,2,3,…,z②∑，=1. 17.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 1 P 1-卫 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=)为成功概率 33/35 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则 P(X=k)= C,k=QL,2,m,其中m=mnM,y,且m≤N,M≤N,nM,NeN, CN X 0 1 nt CC CNCN-M 98 CN CN 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布， 18.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行：②各次试验是相互独立的：③每次试验都 只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生， (2)二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生 的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=)=Cp产(1-p,k=0,1,2,,n,则称随机变 量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 19.正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交： ②曲线是单峰的，它关于直线x=对称： 回曲线在x=以处达到峰值一1 ④曲线与x轴之间的面积为1： ⑤当σ一定时，曲线的位置由4确定，曲线随着4的变化而沿x轴平移： ⑥当一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高'，表示总体的分布越集中：σ越大，曲线 越“矮胖”，表示总体的分布越分散. 34/35 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)正态分布的三个常用数据 ①P(u-o<X≤u+o)≈0.6826： ②P(u-2σ<X≤u+2o)≈0.9544： ③P(u-3o<X≤u+3o)≈0.9974. 20离散型随机变量的均值与方差 (1)均值：E(X)=x卫1+xP3++xP,++xPa 2方差：D(X)=(-E(X)》m,其算术平方根D灯为随机变量x的标准差 (3)两个特殊分布的期望与方差： 两点分布：E(X)=p,D(X)=P(1-p): 二项分布：E(X)=p:D(X)=p(1-p): (4)常用结论：若Y=X+b,其中a,b是常数，X是随机变量，则 (i)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数： (ii)E(ax+b)=aE(X)+b,D(ax+b)=aD(X): (i)E(X+X3)=E(X)+E(X): (iV)D(X)=E(X2）-(E(x)°： (V)若X1,X,相互独立，则E(X,·X)=E(X)E(X). 35/35