精品解析：天津市宝坻区第一中学2025-2026学年下学期期中考试高二数学试卷

宝坻一中2025~2026学年度第二学期期中检测高二数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知是函数的导函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 3. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 4. 以下是由变量 与 所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到 ， 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中 中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 8. 设为定义在上的可导函数，e为自然对数的底数.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 关于 的方程恰好有4个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，共30分） 10. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 11. 过点且曲线相切的直线的方程为___________. 12. 已知 与 的成对数据如下表： 若 关于 的回归直线方程为 ，则___________． 13. 一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0—9中选取，且各位数字互不相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有______个．（用数字作答） 14. 不透明的装中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 15. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 三、解答题（本题共5小题，共75分，16题14分；17题15分；18题15分；19题15分；20题16分） 16. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求 的值； （2）求的值； （3）求的值. 17. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 18. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求的值. 20. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数有2个极值点，，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宝坻一中2025~2026学年度第二学期期中检测高二数学 第Ⅰ卷 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知是函数的导函数，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由题可得，所以 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【详解】因为，由正态分布的对称性可知，关于对称， 又因为，所以， 则 所以 3. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 4. 以下是由变量 与 所绘制的散点图，则它们的线性相关程度较高且正相关的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A：散点杂乱无章，无规律可言，看不出两个变量有什么相关性；故A错误； 对于B：两个变量不具有线性相关性，故B错误； 对于C：两个变量之间的关系为负相关关系；故C错误； 对于D：两个变量之间的关系为正相关关系，且散点图中的点分布在一条直线附近，线性相关程度较高；故D正确. 5. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意，可知在上，恒成立，再参变分离求解函数最值即可. 【详解】依题意， 在上恒成立， 即在上恒成立. 设，因在上单调递增， 故在上的最小值为，故. 故选：D 6. 已知函数在处有极小值，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 由题可知，解得或． 当时，， 当时，或，当 时，， 即在和上单调递增，在上单调递减. 此时在处取得极大值，不符合题意； 当时，， 当时，或，当 时，， 即在和上单调递增，在上单调递减.， 此时在处取得极小值，符合题意. 7. 城区某中学安排2位数学老师、4位英语老师到 ， 两所乡村中学任教，要求两个乡村中学各安排3位老师，其中 中学至少需要安排1位数学老师，那么有（ ）种不同的安排方式 A. 9 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【详解】情况1： 中学安排1位数学老师，2位英语老师的方式：， 情况2： 中学安排2位数学老师，1位英语老师的方式：， 所以 中学至少需要安排1位数学老师的方式为：（种）. 8. 设为定义在上的可导函数，e为自然对数的底数.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，求导结合题设条件判断其单调性，代值计算即可判断选项正误. 【详解】令，函数的定义域为，求导得， 因，，则，故函数 在上均为增函数. 因，则，即，故可得，即C错误，D正确； 由可得，因， 显然，但由题设条件，无法推得的正负，故与的大小无法比较， 从而无法比较与的大小，故A,B错误. 9. 关于 的方程恰好有4个不同的实数根，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】依题意将“方程恰好有4个不同的实数根” 转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”，数形结合可得，解之即得. 【详解】由题意知，所以 ，令，则得， 从而可转化为“直线与函数图象在恰好有两个不同的交点”. 而，当时，，当时，， 故在单调递增，在单调递减， 又∵，；当时，， 需使，即， 从而实数 的取值范围为. 故选：D. 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，共30分） 10. 展开式中的常数项为_____．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得二项展开式的通项，结合通项，进而求得展开式中的常数项. 【详解】由二项式展开式的通项为， 令，可得 ，故展开式中的常数项为． 11. 过点且曲线相切的直线的方程为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】设切点为，利用导数的几何意义求出切线方程，将点 的坐标代入切线方程，求出的值，即可得出所求切线的方程. 【详解】设切点为，对函数求导得，则切线斜率为， 所以，曲线在点 处的切线方程为， 因为切线过点，则有，整理可得， 即， 当时，切线斜率为，切线方程为，即； 当时，切线斜率为，切线方程为，即. 故答案为：或. 12. 已知 与 的成对数据如下表： 若 关于 的回归直线方程为 ，则___________． 【答案】## 【解析】 【详解】由已知数据得：，， 将样本中心点代入回归直线方程得 ，解得. 13. 一个三位数字密码锁，每一位上的数字均从0—9中选取，且各位数字互不相同，已知密码的首位不能为0，末位必须是偶数，则满足条件的密码共有______个．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】第一类：首位排奇数.先排首位有种排法，接着排末位有种排法，再排中间位有种排法，故共有种排法； 第二类：首位排偶数.先排首位有种排法，接着排末位有种排法，再排中间位有种排法，故共有：种排法， 由分类加法计数原理满足条件的密码共有个. 14. 不透明的装中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个绿球，每次随机摸出1个球，若不放回地连续摸两次球，则在第二次摸到红球的情况下，第一次也摸到红球的概率是______；若每次都是有放回地摸球，连续摸四次，摸到红球记1分，摸到绿球记0分，设四次摸球总得分为X，则X的数学期望______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①利用条件概率公式及全概率公式即可求解第一次也摸到红球的概率； ②由题意可得，根据二项分布的特征即可求解数学期望. 【详解】①记第一次摸到红球为事件A，第二次摸到红球为事件B. . 所以. 故在第二次摸球时摸到红球的条件下，第一次摸球时摸到红球的概率为. ②由题可知，每次摸球，摸到红球的概率为，摸到绿球的概率为. 记四次摸球活动中，摸到红球的次数为，则. 因为四次摸球总得分为，所以.所以. 所以的数学期望是. 故答案为：；. 15. 已知为常数，若存在使不等式成立，则的最小整数值为_____． 【答案】4 【解析】 【详解】当时，由，得， 即存在使不等式成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 所以函数在上单调递增， 又，， 则存在，使得，即， 当时，，即； 当时，，即， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 则，于是， 所以的最小整数解为4. 三、解答题（本题共5小题，共75分，16题14分；17题15分；18题15分；19题15分；20题16分） 16. 已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大. （1）求 的值； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1）10 （2）0 （3） 【解析】 【分析】（1）由二项式系数的对称性，可知展开式的项数，即可得解； （2）分别赋值即可求解； （3）根据二项展开式的通项公式，得到二项展开式中项的系数的正负，化简得到，令，即可求解. 【小问1详解】 因为的展开式中，只有第6项的二项式系数最大， 所以展开式共项，其中第6项是唯一中间项， 所以. 【小问2详解】 由， 可令，得， 再令 ，可得， 所以. 【小问3详解】 二项展开式的通项为， 当时，展开式的项的系数为负； 当时，展开式的项的系数为正， 所以 令，可得， 即. 17. 已知，在处的切线与垂直， （1）求实数a的值； （2）求在区间上的值域． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域. 【小问1详解】 由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. 【小问2详解】 由（1）可得 ， 因，则当时， ，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 因,即, 故在区间上的值域为. 18. 某次文艺晚会上计划演出7个节目，其中2个歌曲节目，3个舞蹈节目，2个小品节目，需要制作节目单： （1）三个舞蹈节目相邻且不排两端，有多少种排法？ （2）唱歌节目相邻，舞蹈节目也相邻，两个个小品节目不相邻，有多少种排法？ （3）由于特殊原因，需要在定好的节目单上加上两个新节目：一个育才师生的诗歌朗诵《育才赋》和一个快板节目，但是不能改变原来节目的相对顺序，有多少种排法？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将三个舞蹈节目看成整体，先排剩下4个节目，再把三个舞蹈节目放入不含两端的3个空中，据此可得答案； （2）将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，然后把小品放入舞蹈歌曲整体排布产生的空中可得答案. （3）将新增两个节目放入7个节目排布产生的空中，分放入同一个空和放入两个不同的空两种情况，据此可得答案. 【小问1详解】 将3个舞蹈节目看成整体，优先排布，有种排法．再将剩下4个节目全排列，有种排法．最后，将舞蹈节目整体放入剩下4个节目排布时产生的不含两端的3个空中，有3种排法，故共有种排法； 【小问2详解】 将舞蹈，歌曲看成整体并优先安排，有种排法．再将小品分放入排布舞蹈，歌曲时产生的三个空中，有种排法．则共有种排法． 【小问3详解】 将新增两个节目放入7个节目排布产生的8个空中．若两个节目放入同一个空，有种排法，若两个节目不放入同一个空，有种排法，故共有种排法． 19. 已知函数. （1）若，求函数的极值； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的最小值为0，求 的值. 【答案】（1）有极小值，无极大值； （2） 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数讨论函数单调性，根据单调性可得极值； （2）求得，分、、、四种情况讨论，分析导数的符号变换，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）分，两种情况分类求出最小值即可列式求参. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以，在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，有极小值，无极大值. 【小问2详解】 若，则时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增， 时单调递减，时单调递增； 若，则时单调递增； 若，则时单调递增，时单调递减，时单调递增 综上， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 令， 当时，，函数在上单调递增，故无最小值 所以，由得， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以. 20. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若函数有2个极值点，，且． ①求实数 的取值范围； ②求证：． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）①由有两个不等实根，转化得有两个不等实根，然后令，利用导数确定函数 的性质，结合单调性，函数值的变化规律得出参数范围；②问题在于转化，由①知，．令，，则．令，把要证不等式转化为关于 的不等式，然后引入新函数，由函数的单调性证明. 【小问1详解】 当时，，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为， 即为. 【小问2详解】 ①． 函数有2个极值点，，即方程有2根，． 令，，令，解得． 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 当时，，当时，，当 时，， ，当时，， 所以实数 的取值范围是． ②由题意得，，． 令，，由①知，则， 则，， 所以． 令，则， 所以，． 要证，即证， 即证当时，，即． 令，则， 当时，，单调递增，， 即当时，，不等式得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $