精品解析：天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题

天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题 出题学校：芦台一中 静海一中 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数表达式同时求导并令，解方程即可求得结果. 【详解】由可得， 令可得，即. 故选：D 2. 在的展开式中的系数是（    ） A. B. C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果. 【详解】二项展开式的通项公式为， 令，求得，可得在的展开式中的系数为， 故选：C． 3. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的导函数，根据在区间上单调递增，得出，利用导数求出的最小值，从而求出是的最大值. 【详解】由已知可得， 因为在上单调递增， 所以即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，所以， 即的最大值为. 故选：C 4. 若直线是曲线的一条切线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义，可得切点坐标，然后求出的值. 【详解】由，得， 设切点为，则由导数的几何意义得， 又切线方程为，所以， 即，解得，. 故选：D. 5. 已知是的导函数，且，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据设，分析的取值，结合函数图象可确定答案. 【详解】设， A.当，，时，， 函数为开口向下的二次函数，对称轴为轴，满足要求，A正确； B.∵时，，时，，∴. 由图象得，为开口向上的二次函数，即， 由得，故，对称轴为轴，不合要求，B错误； C.由图象可得为奇函数，且，故， ∴， 当时，恒成立，在上单调递增，满足要求，C正确； D.∵时，，∴， 由，得，， 由图象得，，的极小值点为，极大值点大于，即，故. 由得，，由得，或， ∴在上单调递增，在和上单调递减，满足要求，D正确. 故选：B. 6. 若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的极值点，要使函数在区内存在最小值，只需极小值点在该区间内，且在端点处的函数值不能超过极小值． 【详解】由，令，可得或， 由得：或，由得：， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 令，解得或， 若函数在内存在最小值，则，得． 故选：C 7. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 【答案】B 【解析】 【分析】首先分步：先安排医生，再安排护士，其次特殊元素护士甲和护士乙捆绑，即护士名可分为和两类，应用分类和分步计数原理可得总的分配方法. 【详解】先安排医生，再安排护士. 安排医生，方法数有种； 再安排护士，护士名，由于护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，故可分为和两类： 如果是，一共有种， 如果是，又分为若甲乙在人小组中，则有种； 若甲乙在人小组中，则有种， 最后将分好的三组医生、三组护士全排列安排到三个医疗点， 所以一共有种分配方法. 故选：B. 8. 已知函数 是定义在的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，利用导数判断在上的单调性，再根据奇偶性得在上的单调性，利用的奇偶性和单调性解不等式即可. 【详解】由题意，令，则， 当时，，即， 所以在上单调递减； 又为上的奇函数， 则， 所以为定义在上的偶函数， 所以在上单调递增； 由，得， 当，即时，不等式可化为，即， 由在上单调递减，得，解得，故； 当，即时，不等式可化为，即， 由在上单调递增，得，解得，故； 综上所述，不等式的解集为：． 故选：D． 9. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】是1个零点，进而得时，函数有4个零点，将问题转化成与有4个交点分析计算求解即可. 【详解】由题意，可知： 当时，，故为的1个零点； 故当时，函数有4个零点，即有4个非0实数根， 即有4个非0实数根， 即与图象有4个交点， 当时，， 当时，则，令得， 所以当时，当时， 则函数在单调递增，在上单调递减， 又，时，时， 且时，时，， 所以图象如图所示： 由图可得，解得. 故选：D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求. 【详解】由题意可得，故， 故展开式的第四项为, 故系数为， 故答案为： 11. 函数的单调递减区间为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过求导，得到导函数小于零的不等式，结合定义域求解集即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 求导可得， 令，因为，所以解得. 所以函数的单调递减区间为. 故答案为：. 12. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数再根据导函数正负得出函数单调性即可得出函数的最小值，再把恒成立问题转化为最值计算求解. 【详解】由题可得， 当时，，在上递减；当时，，所以在上递增； 则， 所以，又，即，则． 故答案为：. 13. 若函数在处取得极大值，则常数a的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】由题意得出，可求得实数的值，然后将实数的值代入导数，就函数是否在处极大值进行检验，由此可得出实数的值. 【详解】， ， 由题意可得，整理得，解得或. 当时，， 令，或;令，, 此时，函数在处取得极小值，不符合题意， 当时，. 令，得或；令，得得. 此时，函数在处取得极大值，合乎题意. 综上所述，. 故答案为：3. 14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 【答案】14 【解析】 【分析】根据给定条件按三位数中是否有0分类，再利用排列组合应用问题列式计算得解. 【详解】将这些“凸数”分为两类：①含数字0，则0一定在个位上，有种； ②不含数字0，则有种， 所以在组成的三位数中，“凸数”的个数为. 故答案为：14 15. .已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先将问题等价于恒成立，构造函数，由导数分析单调性得到最小值，再次构造函数，由导数分析单调性可得. 【详解】由函数，，所以不等式恒成立，等价于恒成立； 因为，所以； 设函数， ，则， 计算，且； 所以， 当，时，令，解得， 所以时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 所以； 设 则， 所以在上单调递增，且； 要使恒成立， 需使恒成立，即， 所以a的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用已知条件利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中项为：，所以. 【小问3详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 因为 所以 当时，， 所以. 17. 已知曲线. （1）求在处的切线方程. （2）求在内的最值. （3）若函数有两个零点，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线的斜率，从而求出切线方程； （2）求导可得的单调性，进而可求得最值； （3）将题设等价转化为曲线与直线有两个交点，利用导数与函数单调性、极值的关系确定函数的图象，即可数形结合求实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，，即切点为， 又，所以切线方程为，即. 【小问2详解】 ，， 当，，所以在单调递减， 当，，所以在单调递增， 又，，，所以，. 【小问3详解】 因为， 函数有两个零点，相当于曲线与直线有两个交点， 又，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以时，取得极小值， 又时，，且当时，， 所以的图象如下所示： 由图可得实数m的取值范围为. 18. 一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生. （1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法? （2）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种? （3）如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法? 【答案】（1）20 （2）324 （3）252 【解析】 【分析】（1）根据组合直接求解即可， （2）先选人，再将4人分配到3项活动中，结合排列组合即可求解， （3）先求解全部情况，去除掉不符合的情况，由排列组合即可求解. 【小问1详解】 所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合数， 所以选法种数为． 【小问2详解】 从6个学生中选2名男生和2名女生的选法有种， 将所选四人安排参加三项活动的安排方法有种方法， 根据分步计数原理得共有 【小问3详解】 从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛的安排方法有种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的安排方法有种，女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法有种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方法有种， 所以满足要求的安排方法有种. 19. 已知函数. （1）若，判断的单调性； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数b的最小值. 【答案】（1）在单调递减 （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，，求导得到，记，，求导得到的单调性，得到，得到，最后得到的单调性. （2）求出导数，再按，，，分类求出函数的单调区间. （3）由（2）的信息，求出函数的最大值，再由已知建立恒成立的不等式并分离参数，构造函数并利用导数求出最大值即可. 【小问1详解】 当时，，，，， 记，，则，令，则， 所以在内单调递增，在内单调递减，. 所以，∴在单调递减. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，由，得，由得， 在上单调递增，在上单调递减； 当时，由得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减； 当时，恒成立，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在，上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，函数的递增区间为，递减区间为； 当时，函数的递增区间为，上单调递增，递减区间为； 当时，函数的递增区间为； 当时，函数的递增区间为，，递减区间为. 【小问3详解】 由（2）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，则， 依题意，，即恒成立， 令函数，求导得， 当时，，当时， 函数在上递增，在上递减， 即，因此，所以b最小值为. 20. 如果函数，满足：对于任意，，均有（为正整数）成立，则称函数在上具有“级”性质. （1）判断在区间上是否具有“1级”性质，并说明理由； （2）若在区间上具有“1级”性质，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上具有“级”性质，求证：对任意，，当时，都有成立. 【答案】（1）具有“1级”性质，理由：对于函数，由于，所以，故， 函数具有“1级”性质． （2） （3）证明：由题意可知，， 将区间进行2024等分，记 ，，，，， ． 故，得证. 【解析】 【分析】（1）直接利用定义证明具有“1级”性质； （2）根据“1级”性质可将问题转化为在单调递增，在单调递减，构造函数，利用导数分别求解其最大值和最小值，即可求解. （3）由题意可知，将区间进行2024等分，对每一个小区间进行“级”性质的使用，即可利用累加迭代法相加求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于在区间上具有“1级”性质， 不妨设， 所以，故， 进而，且， 故在单调递增，在单调递减， 因此在恒成立， 故在恒成立， 令， 则， 由于均为单调递增函数，因此单调递增，单调递减， 又，故存在，即，， 当单调递减，当单调递增， 故取极大值也是最大值，故，因此， 又在恒成立，故在单调递减，故当时，取最小值，因此，即， 综上可得， 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市五区县重点校联考2024-2025学年高二下学期4月期中数学试题 出题学校：芦台一中 静海一中 一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分） 1. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 在的展开式中的系数是（    ） A. B. C. D. 7 3. 已知函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 若直线是曲线的一条切线，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 5. 已知是的导函数，且，则的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若函数在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 由3名医生和6名护士组成的一支医疗小队下乡送医扶助新农村建设，他们要全部分配到三个农村医疗点，每个医疗点分到1名医生和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一个医疗点，则不同的分配方法有（ ）种 A. 540 B. 684 C. 756 D. 792 8. 已知函数 是定义在的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集为（       ） A. B. C. D. 9. 已知函数，，若函数有5个零点，则实数a的取值范围为（     ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6个小题，每小题5分，共30分） 10. 若的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为______. 11. 函数的单调递减区间为__________． 12. 已知函数，若对，则实数的取值范围为__________． 13. 若函数在处取得极大值，则常数a的值为_______． 14. 若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如360，253等都是“凸数”．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的三位数，则在组成的三位数中“凸数”的个数为________．（用数字作答） 15. .已知函数，，当时，恒成立，则实数的取值范围是______. 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16. 已知，若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等. （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值. 17. 已知曲线. （1）求在处的切线方程. （2）求在内的最值. （3）若函数有两个零点，求实数m的取值范围. 18. 一组学生共有6人，其中3名男生和3名女生. （1）如果从中选出3人参加一项活动，共有多少种选法? （2）如果从中选出男生2人，女生2人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有多少种? （3）如果从中选出4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛，共有多少种选法? 19. 已知函数. （1）若，判断的单调性； （2）讨论的单调性； （3）当时，恒成立，求实数b的最小值. 20. 如果函数，满足：对于任意，，均有（为正整数）成立，则称函数在上具有“级”性质. （1）判断在区间上是否具有“1级”性质，并说明理由； （2）若在区间上具有“1级”性质，求的取值范围； （3）已知函数在定义域上具有“级”性质，求证：对任意，，当时，都有成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $