第一讲集合课件-2027届高考数学一轮复习

第一章 集合、常用逻辑用语与不等式 考点 真题示例 考向 核心素养 集合及其关系 2023新课标Ⅱ，2 已知集合间关系求参数 逻辑推理 数学运算 集合 的基 本运算 2025全国一卷，2 集合的补集运算 数学运算 2024全国二卷，3 集合的交集运算 2024新课标，1 2023新课标Ⅰ，1 2022新高考Ⅰ，1 2022新高考Ⅱ，1 2021新高考Ⅰ，1 2020新高考Ⅰ，1 集合的综合运算 2021新高考Ⅱ，2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 考点 真题示例 考向 核心素养 常用逻 辑用语 2023新课标Ⅰ，7 充分、必要条件的判断 逻辑推理 2024新课标Ⅱ，2 命题的否定及真假判断 不等式 的解法 2025全国二卷，4 分式不等式 数学运算 2024新课标Ⅰ，1 三次不等式 2023新课标Ⅰ，1 一元二次不等式 2022新高考Ⅰ，1 根式不等式 2022新高考Ⅱ，1 绝对值不等式 基本不 等式 2022新高考Ⅱ，12 重要不等式 逻辑推理 数学运算 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 第一讲　集合 课标要求 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合．　 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．　 3.理解并会求并集、交集、补集；能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 落实必备知识 第一部分 返回导航 6 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：_________、_________、_________． (2)元素与集合的关系是______或_________关系，用符号___或___表示． 2．集合间的基本关系 (1)子集：集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，记作_____(或_____). (2)真子集：集合A⊆B，但存在元素x∈B，且_____，记作AB或BA. (3)集合相等：集合A，B中元素相同，记作A＝B. 点拨　(1)任何集合都是自身的子集，即A⊆A； (2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 确定性 互异性 无序性 属于 不属于 ∈ ∉ A⊆B B⊇A x∉A 返回导航 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 ______ _______________ ______ ______ ______ N N*(或N＋) Z Q R 几种常用数集 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 类别 表示 　 并集 交集 补集 图形语言       符号语言 A∪B＝ _________________ A∩B＝________________ ∁UA＝ ________________ 3．集合的基本运算 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x∉A} 返回导航 1．若集合A＝{x|x≥－1}，则下列四个关系中正确的是(　　) A．1∈A　　　　　　　　 B．1∉A C．{1}∈A D．1⊆A 解析：由题意知，集合A＝{x|x≥－1}表示所有不小于－1的实数组成的集合，所以1是集合A中的元素，故1∈A. A　 返回导航 2．(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(　　) A．0 B．3 C．5 D．8 解析：由题知U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{2，4，6，7，8}，有5个元素． C　 返回导航 3．(多选)已知集合A满足{2，5}⊆A{1，2，4，5，7}，则集合A的子集个数可能是( 　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：由题意可知集合A中的元素个数可能是2，3，4，则集合A的子集个数可能是22＝4，23＝8，24＝16，故A，B，C正确． ABC　 返回导航 4．(必修第一册P14T1改编)若集合A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，则A∪B＝________________，A∩B＝__________________________. 解析：因为A＝{x|－1<x<5}，B＝{x|x≤1或x≥4}，借助数轴如图1，所以A∪B＝R，如图2，所以A∩B＝{x|－1<x≤1或4≤x<5}． R　 {x|－1<x≤1或4≤x<5} 返回导航 5．已知集合A＝{x|x>1}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是________． (－∞，1] 解析：由A∪B＝B，可得A⊆B，如图，在数轴上表示出集合A，B.所以a≤1. 返回导航 常用结论 1.若集合A有n(n≥1)个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个． 2.A⊆B ⇔ A∩B＝A ⇔ A∪B＝B ⇔ ∁UA⊇∁UB. 3.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB). 返回导航 探究核心题型 第二部分 返回导航 16 1．已知集合A＝{x|2x－a>0}，且1∉A，2∈A，则(　　) A．a>4 B．a≤2 C．2<a≤4 D．2≤a<4 解析：因为1∉A，所以2×1－a≤0，解得a≥2，又因为2∈A，所以2×2－a>0，解得a<4，所以2≤a<4. D　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈N，y∈N}，则A中元素的个数为(　　) A．9 B．8 C．6 D．5 解析：由题意可得A＝{(x，y)|x2＋y2≤4，x∈N，y∈N}＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)}．因此，集合A中有6个元素． C　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【素养小结】　与集合中元素有关问题的求解步骤 (1)确定集合中的元素是什么，集合是数集还是点集； (2)观察这些元素满足什么限制条件； (3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数． 易错点　集合是否满足元素的互异性． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 题型二　集合间的基本关系 A　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (2)(2025·南京、盐城模拟)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|x＋a≤0}．若A⊆B，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 【解析】　由x2－4≤0可得A＝[－2，2]，由x＋a≤0可得B＝(－∞，－a]，又A⊆B，所以2≤－a，即a≤－2. D　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【素养小结】　(1)判断两集合关系的方法：列举法、化简集合法、数轴法． (2)已知两个集合间的关系求参数，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 易错点　若B⊆A，易忽略分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [对点训练] 1.(2026·潍坊模拟)已知集合A＝{x∈N|x3＜27}，则A的子集的个数是(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 解析：由x3＜27，解得x＜3，所以A＝{x∈N|x3＜27}＝{x∈N|x＜3}＝{0，1，2}，所以A的子集有23＝8个． B　 [对点训练] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．已知集合A＝{x|ax＝1，a∈R}，B＝{－1，1}，且A⊆B，则a的取值集合为(　　) A．{－1} B．{－1，1} C. {0，1} D．{－1，0，1} D　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [例2] (1)(2025·天津卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则∁U(A∪B)＝(　　) A．{1，2，3，4} B．{2，3，4} C．{2，4} D．{4} 【解析】　由题意得A∪B＝{1，2，3，5}，U＝{1，2，3，4，5}，所以∁U(A∪B)＝{4}． 题型三　集合的运算 D　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 (2)已知非空集合A＝{x|a－1＜x＜2a＋3}，B＝{x|－2≤x≤4}，A∩(∁RB)＝A，则实数a的取值范围为 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【素养小结】　(1)进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算． (2)对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 [对点训练] 1.(2026·烟台模拟)已知集合U＝R，集合A＝{x|x2＋2x－3＜0}，B＝{x|0≤x≤2}，则图中阴影部分表示的集合为(　　)  A．(－3，0) B．(－1，0) C．(0，1) D．(2，3) 解析：解不等式x2＋2x－3＜0，得－3＜x＜1，即A＝(－3，1)，由B＝[0，2]，得∁UB＝(－∞，0)∪(2，＋∞)，所以题图阴影部分表示的集合为A∩(∁UB)＝(－3，0). A　 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 2．已知集合A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|a－1＜x＜a＋1}，若A∪B＝R，则实数a的取值范围为__________． [1，2] 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 题型四　集合的新定义问题 ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 【素养小结】　解决有关集合新定义问题的关键 (1)准确转化：一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆． (2)方法选取：可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 9 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 解析：因为a⊗b＝6，且a，b∈N*，若a，b的奇偶性相同，则a＋b＝6，满足条件的(a，b)有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)；若a，b的奇偶性不相同，则a×b＝6，满足条件的(a，b)有(1，6)，(2，3)，(3，2)，(6，1).综上所述，集合M中的元素个数是9. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 归 纳 拓 展 1．若集合A中含有n个元素，则其子集的个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 考点突破 · 互动探究 返回导航 名师点拨： 1．用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． 2．集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第一章　集合、常用逻辑用语与不等式 3．已知a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 025＋b2 026＝________． 解析：由题意知a≠0，所以a＋b＝0，则＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2 025＋b2 026＝－1＋1＝0. [例3] (多选)非空集合A具有如下性质：①若x，y∈A，则∈A；②若x，y∈A，则x＋y∈A.下列判断中正确的是(　 　) A．－1∉A B．∈A C．若x，y∈A，则xy∈A D．若x，y∈A，则x－y∈A $