第1章 1.1 集合（PPT课件）-【高考突破新方案】2027年高考数学大一轮复习学案

该高中数学高考复习课件聚焦集合、常用逻辑用语、不等式等核心考点，依据高考评价体系梳理考情，通过表格呈现考点（如集合交集运算5年9考）、真题示例及核心素养（逻辑推理、数学运算），归纳求参数、交补集综合运算等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+方法总结+变式训练”模式，结合2024新课标卷等真题，通过列举法、元素特征法突破集合关系判断，分空集与非空集讨论参数问题，培养数学思维与运算能力，助力学生掌握解题技巧，教师可精准把握考点权重实现高效复习。

考情清单 知识清单 考点清单 目 录 CONTENTS 返回目录 考情清单 考点 真题示例 考向 5年考频 核心素养 集合及其运算 2023新课标Ⅱ,2 已知集合间关系求参数 9考 逻辑推理 数学运算 2025全国一卷,2 集合中元素个数及补集运算 2025全国二卷,3 集合的交集运算 数学运算 2024新课标Ⅰ,1 2023新课标Ⅰ,1 2022新高考Ⅰ,1 2022新高考Ⅱ,1 2021新高考Ⅰ,1 2021新高考Ⅱ,1 集合的交集、补集综合运算 返回目录 常用逻辑用语 2023新课标Ⅰ,7 充分、必要条件的判断 2考 逻辑推理 2024新课标Ⅱ,2 命题的否定及真假判断 不等式的解法 2025全国二卷,4 分式不等式 5考 数学运算 2024新课标Ⅰ,1 三次不等式 2023新课标Ⅰ,1 一元二次不等式 2022新高考Ⅰ,1 根式不等式 2022新高考Ⅱ,1 绝对值不等式 基本不等式 2022新高考Ⅱ,12 基本不等式 1考 逻辑推理 数学运算 返回目录 综合分析 　　本章内容较为简单,高考中多作为载体与其他知识结合考查,集合多与方程、不等 式的求解结合,设问有求交集、并集、补集、元素个数及元素与集合间的关系等;常用 逻辑用语可与各类知识结合,需深刻理解知识内涵,设问通常是充分、必要条件的判断 及全称量词命题与存在量词命题的否定及真假判断;不等式多与函数、三角函数、数 列等知识综合考查. 返回目录 1.1 集合 返回目录 知识清单 知识点1　集合的含义与表示 1.集合中元素的特性:确定性、互异性、无序性. 2.元素与集合的关系:属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”表示). 3.常用数集及其符号表示:非负整数集(自然数集)N、正整数集N*(或N+)、整数集Z、有 理数集Q、实数集R. 4.集合的表示方法:列举法、描述法、图示法. 返回目录 知识点2　集合间的基本关系 文字语言 记法 集合 间的 基本 关系 相等 一般地,集合A的任何一个 元素都是集合B的元素,同 时集合B的任何一个元素 都是集合A的元素 A=B 子集 集合A中任意一个元素均 为集合B中的元素 A⊆B或B⊇A 真子 集 如果集合A⊆B,但存在元 素x∈B,且x∉A,则称A是B 的真子集 A⫋B或B⫌A 返回目录 注意    (1)空集是任何集合的子集; (2)空集是任何非空集合的真子集. 易错警示    (1)解决集合间关系A⊆B或A⫋B问题时,易忽视A是空集的情况而漏解. (2)解决有关点集{(x,y)|y=x2}与数集{y|y=x2}问题时容易忽略集合的属性. 知识拓展　有限集的子集个数 设集合A是有n个元素的有限集,即card(A)=n(n∈N*),则A的子集个数是2n;真子集个数是 2n-1;非空子集个数是2n-1;非空真子集个数是2n-2. 返回目录 知识点3　集合的基本运算 　　已知全集U,集合A,B. 并集 交集 补集 图形 语言       符号语言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B} ∁UA={x|x∈U,且x∉A} 性质 A∪⌀=A; A∪A=A; A∪B=B∪A; A∪B=A⇔B⊆A A∩⌀=⌀; A∩A=A; A∩B=B∩A; A∩B=A⇔A⊆B A∪(∁UA)=U; A∩(∁UA)=⌀; ∁U(∁UA)=A 知识拓展    德·摩根定律:∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB). 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1){x∈N*|-7<x3<7}用列举法表示为{-1,0,1}. ( ) (2){x|x=3k,k∈N}⊆{x|x=6z,z∈N}. ( ) (3)⌀⊆{x∈R|x2+1=0}. ( ) (4)若x∈U,则x∈A或x∈∁UA. ( ) (5)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},则A∩B={x|x∈R}. ( )      ✕     √         √         ✕     ✕     2.已知集合A={x∈R|x≤10},a= ,则( ) A.a∈A　　    B.a∉A　　    C.a=A　　    D.{a}∈A     A     返回目录 3.已知集合A={x|x<-1或x>0},B={x|m-1<x<m+2}.若B∪A=R,则实数m的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-3,1) C.(-2,0) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)     C 返回目录 4.(人教A版必修第一册P14习题T4改编)设全集U=R,集合A={x|0≤x≤2},B={x|1≤x≤ 3},则A∩B=_________________,(∁UA)∪B=___________________.     {x|x<0或x≥1}         {x|1≤x≤2}     返回目录 考点清单 考点　集合及其运算 角度1　集合间的基本关系 典例1　(关系判断)(2025届浙江杭州学军中学模拟预测,1)设全集U=Z,集合A={x|x= 3k-1,k∈Z},B={x|x=6k-1,k∈Z},则 ( ) A.A⊆B　　    B.B⊆A C.A=B　　     D.A∩B=A     B     返回目录 解析　解法一　列举法　从元素中寻找集合间关系. 由已知得A={…,-7,-4,-1,2,5,8,11,…}, B={…,-13,-7,-1,5,11,17,…},故B⊆A,故选B. 解法二　元素特征法　对k进行分类,从表达式中寻找集合间关系. 当k是偶数时,设k=2n,n∈Z,则集合A中的元素x=6n-1,n∈Z; 当k是奇数时,设k=2n+1,n∈Z,则集合A中的元素x=6n+2,则B⊆A,故选B. 返回目录 方法总结　集合间基本关系的判断   返回目录 变式训练 1.(数形结合法)设P={x|x<4},Q={x|x2<4},则 ( ) A.P⊆Q　　     B.Q⫋P　　     C.P⊆∁RQ　　    D.Q⊆∁RP     B     解析　由题意得Q={x|-2<x<2},将集合P,Q表示在数轴上,如图所示,   可知Q⫋P,故选B. 返回目录 典例2　(利用集合间关系求参数)(2025届江苏徐州第一中学考前打靶卷,1)已知集 合A={x∈N|(x-2)(x-3)≤0},B={x|ax-2=0},若A∪B=A,则a的取值构成的集合为 ( ) A.{0}　　     B.{0,1} C. 　　    D.      D     返回目录 解析　由题意得A={2,3},因为A∪B=A,所以B⊆A.【不要忘记空集的情况,对集合B分两 种情况讨论】 当a=0时,B=⌀,满足B⊆A; 当a≠0时,B= ,因为B⊆A,所以 =2或 =3,解得a=1或a= . 综上,a的取值构成的集合为 .故选D. 返回目录 方法总结　有关A∪B=A或A∩B=B的解题路径 1.由A∪B=A或A∩B=B可得B⊆A. 2.对于“B⊆A”或“B⫋A”的问题,若集合B中含有参数,通常要分B=⌀和B≠⌀两种 情况进行讨论,其中B=⌀的情况容易被忽略,应引起足够的重视. 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)(2025届江西联考,2)已知集合M={x|(x-2)2≤1},非空集合N={x|1≤x ≤a},若N⊆M,则实数a的取值范围为( ) A.(1,+∞)　　    B.[3,+∞) C.[0,3]　　     D.[1,3]     D     解析　由题知M={x|(x-2)2≤1}={x|1≤x≤3},非空集合N={x|1≤x≤a},因为N⊆M, 所以1≤a≤3,故实数a的取值范围为[1,3].故选D. 返回目录 3.(关键元素变式)(2026届江苏南通调研,2)已知集合A={1,4,a2},B={4,2a},A∩B=B,则 实数a的取值集合为 ( ) A. 　　     B.  C.{0,2}　　    D.      B     返回目录 解析　由A∩B=B得B⊆A. ①若2a=1,则a= ,此时A= ,B={4,1},满足B⊆A,符合题意; ②若2a=4,则B={4,4},不满足集合中元素的互异性,故舍去; ③若2a=a2,则有a(a-2)=0,解得a=0或a=2, 当a=0时,A={1,4,0},B={4,0},满足B⊆A,符合题意; 当a=2时,集合B={4,4},不满足集合中元素的互异性,故舍去. 综上,实数a的取值集合为 . 返回目录 角度2　集合的运算 典例3    (2026届广东阳江月考,2)已知集合A= ,B={x||x-2|≤1},则A∪B=  ( ) A.(-∞,3]　　    B.(3,+∞) C.(0,+∞)　　    D.(0,3]     D     返回目录 解析　由 ≤0得x(x-2)≤0且x≠0【注意分式分母不为零】,解得0<x≤2,即A={x|0<x ≤2}. 由|x-2|≤1得-1≤x-2≤1【若|x|≤b,b>0,则-b≤x≤b】,解得1≤x≤3,即B={x|1≤x≤3}, 将集合A,B表示在数轴上,如图.   由图可知A∪B=(0,3].故选D. 返回目录 方法总结　集合运算问题的求解   返回目录 变式训练 4.(情境模型变式)(2025届浙江温州三模,2)已知集合A={-1,1,2,3,},集合B={x|ln x<1}, 则A∩B=( ) A.{1}　　     B.{-1,1} C.{1,2}　　    D.{-1,1,2}     C     解析　集合A={-1,1,2,3},集合B={x|ln x<1}={x|0<x<e},所以A∩B={1,2}, 故选C. 返回目录 5.(关键元素变式)(2026届天津阶段检测,1)已知全集U=A∪B={x∈N|1≤x≤10},A∩ ∁UB={1,3,5,8,9,10},则集合B的真子集的个数为 ( ) A.15　　    B.16　　    C.31　　    D.32     A     解析　因为U=A∪B={x∈N|1≤x≤10},所以U=A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, 因为A∩∁UB={1,3,5,8,9,10}, 所以B={2,4,6,7},共4个元素, 所以集合B的真子集的个数为24-1=15. 故选A. 返回目录 典例4　(根据集合的运算结果求参)(2020课标Ⅰ理,2,5分)设集合A={x|x2-4≤0},B={x |2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a= ( ) A.-4　　    B.-2　　    C.2　　    D.4     B     解析　由已知可得A={x|-2≤x≤2},B= , 又∵A∩B={x|-2≤x≤1}, ∴- =1,∴a=-2.故选B. 返回目录 变式训练 6.(关键元素变式)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B= ( ) A.{1,-3}　　    B.{1,0}　　    C.{1,3}　　    D.{1,5}     C     解析　∵A∩B={1},∴1∈B, ∴1-4+m=0,∴m=3. 由x2-4x+3=0,解得x=1或x=3, ∴B={1,3}.经检验符合题意.故选C. 返回目录 角度3　容斥原理 1.两个集合的容斥原理 一般地,对于任意两个有限集合A,B,有card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).如图所 示. 返回目录 2.三个集合的容斥原理 一般地,对于任意三个有限集合A,B,C,有card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card (A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C).如图所示. 返回目录 典例5　(容斥原理)某校举办秋季运动会,已知某班参加田赛的学生有14人,参加径 赛的学生有15人,既参加田赛又参加径赛的学生有6人,那么该班参加运动会的学生人 数为 ( ) A.29　　    B.23　　    C.36　　    D.25     B     解析　设参加田赛的学生组成集合A,参加径赛的学生组成集合B,则card(A)=14,card(B) =15, 由题意,知card(A∩B)=6, 所以card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=14+15-6=23, 所以该班参加运动会的学生人数为23.故选B. 返回目录 变式训练 7.(情境模型变式)为了增强身体素质,某校学生积极参加学校组织的体育特色课堂, 课堂分为A.球类项目,B.径赛项目,C.其他健身项目.该班有25名同学选择球类项目A,20 名同学选择径赛项目B,18名同学选择其他健身项目C,其中有6名同学同时选择A和B,4 名同学同时选择A和C,3名同学同时选择B和C.“若全班同学每人至少选择一类项目且 没有同学同时选择三类项目,则这个班同学人数是 ( ) A.51　　    B.50　　    C.49　　    D.48     B     返回目录 解析　设选择A,B,C三类项目的学生分别组成集合A,B,C,由题意得,card(A)=25,card(B) =20,card(C)=18,card(A∩B)=6,card(A∩C)=4,card(B∩C)=3. 因为全班同学每人至少选择一类项目且没有同学同时选择三类项目, 所以这个班同学人数是card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A ∩C)-card(B∩C)=25+20+18-6-4-3=50.故选B. 返回目录 角度4　创新题 典例6    (2025届北京八一学校零模,10)集合A={1,2,3,4,5}的所有三个元素的子集记为B 1,B2,…,Bn(n∈N*).记bi为集合Bi(i=1,2,3,…,n)中的最大元素,则b1+b2+b3+…+b10= ( ) A.10　　    B.40　　     C.45　　    D.50     C     解析　由题意知 B1={1,2,3},b1=3;B2={1,2,4},b2=4; B3={1,2,5},b3=5;B4={2,3,4},b4=4;B5={2,3,5},b5=5;B6={2,4,5},b6=5;B7={3,4,5},b7=5; B8={1,4,5},b8=5;B9={1,3,5},b9=5;B10={1,3,4},b10=4, 则b1+b2+…+b10=3+4×3+5×6=45.故选C. 返回目录 方法总结　对于以集合为背景的创新问题常常以“问题”为核心,以“探究”为途径, 以“发现”为目的.集合中的创新问题主要体现在:(1)集合中的新定义问题;(2)集合中 的新运算问题;(3)集合中的新性质问题.解决集合中的创新题的着手点如下: (1)正确理解新定义、新运算、新性质,剥去它们的外表,转化为我们熟悉的集合知识; (2)合理利用集合性质是破解问题的关键; (3)对于选择题,可结合选项,通过验证、排除、对比、特值法进行求解,当不满足要求 时,只需通过举反例来说明. 返回目录 变式训练 8.(关键元素变式)(2026届北京牛栏山一中月考,10)数集A={a1,a2,a3,a4},其中a1<a2<a3<a4, B={a|a=|ai-aj|,ai,aj∈A},若A=B,且集合A中最大元素为6,则a1+a2+a3+a4=( ) A.6　　     B.8　　     C.10　　    D.12     D     返回目录 解析　由题意知a4=6, 又a1<a2<a3<a4且A=B,故 若0<a1<a2<a3<a4,则a4>a4-a1>a4-a2>a4-a3,a3>a3-a1>a3-a2,a2>a2-a1, 此时B中不存在元素a4,不符合题设; 若a1<0<a2<a3<a4,则a4-a1>a4>a4-a2>a4-a3,a3-a1>a3>a3-a2,a2-a1>a2, 此时B中存在一个大于a4的元素a4-a1,不符合题设; 所以a1=0<a2<a3<a4=6,则6>a4-a2>a4-a3>0,a3=a3-a1>a3-a2>0,a2=a2-a1>0, 所以 可得a2+a3=6且2a2=a3且2a3=a2+6,所以a2=2,a3=4, 则a1+a2+a3+a4=0+2+4+6=12.故选D. 返回目录 $