10.3分式的加减 分层练习 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

**基本信息** 该练习通过“典型例题-举一反三-巩固练习”三级分层设计，实现从分式加减基础运算到综合应用的梯度进阶，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |典型例题|分式加减基础概念与运算|选择填空结合解答题，夯实运算能力，培养抽象意识| |举一反三|变式训练与方法迁移|通过错题辨析和归纳，提升推理能力与符号意识| |巩固练习|综合应用与拓展探究|融入行程问题等生活情境及探究题，发展模型观念与创新意识|

苏科版数学2025-2026学年八年级下册 10.3分式的加减 (分层练习) 【典型例题】 A y x-y 【例1】已知A为整式，若计算+少r+y的结果为y,则A=( ) A.X B.y C.x+y D.x-y A y x-y 【例2】已知A为整式，若计算+严+炒的结果为y,则A=( A.x B.y C.x+y D.x-y ,11 【例3】若m-n=2mm≠0，则nm 3y+7 A B 【例4】如果0-10y-2)y-1y-2,那么A=，B= 【例5】计算： (1)2-31 x2+xy x2-xy x-2x-29 (2) y· 12 【例6】下面是某同学计算m一m一的解题过程： 12 m+1 2 解： m-1m2-1(m+1)(m-)(m+1)(m-l)① =(m+0-2② =m-1③ 第1页共19页 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程 【举一反三】 【变式1】下列分式中，是最简分式的是( a-b a+b 2ab 2b-4 A.a+b B.a+2ab+b2 C. D.b2-4 b 【变式2】计算a-b+b-a,结果是（ A.-1 B.0 C.1 D.2 4 【变式3】化简x+2+x-2的结果是 111 【变式4】已知a+b+c=0,bc=8,则。+方+的值_0.（填“，”、“<”或 “=”) 【变式5】计算下列各式： 2 x+y (1)x-y(x-; x I (2)x2-x+19 (3)aha2+6 a+b a2-b2; 2a24a'b (4)a-2b+4b2-a· 3x-2 3x-2_3x+)-5=3-5 【变式6】阅读：分式x+1可进行如下变形：x+1x+1 x+1 5x-3=5+m 探索：如果x+2= 5+x+2,则m=-: 第2页共19页 总结：如果红0a+ +x+c(其中a,b,c为常数)，则m=_一； 4x-3 应用：利用上述结论解决：若代数式x-1的值为整数，求满足条件的整数x的 值. 【巩固练习】 1.分式x+5x与2-25的最简公分母是（) A.x(x+5) B.(x+5)(x-5) C.x(x-5) D.X(x+5)x-5) 4x2 2.计算x2--1的结果是( 2 2 2 A.x+1 B. x+1 C.x-1 D. 12 3 3.化简：m-9+m+3的结果是（ ) 1m+6 3m+3 A.m2-9 2 B.m2-9 C.m+3 D.m-9 2m+9 4如图是嘉典同学在作业中计第“。2的过程，作业是从第几步开始山现错 误( ) 嘉琪的作业 a- 4-2 2-a a-2、 2-a…第一步 =(a-22-a）-4…第二步 =4-2-4.…第三步 =-…第四步 第3页共19页 A.第一步B.第二步 C.第三步 D.第四步 5.照相机成像应用了一个重要原理，用公式广刊表示，其中f表示照相 机镜头的焦距，山表示物体到镜头的距离，ⅴ表示胶片（像）到镜头的距离.己 知f,v,则u=( f-v v-f A.f-v B.fi C.v-f D.fv 3 2 6.己知分式m2-9,9-6m,其分母m2-9与9-6m的最简公分母是 m2 n2 7.化简：m-nm-n M N 3a-1 8.若常数M,N满足a-+a+1=a2-i,则M-w= 9.若ab-ab=20,ab=4,则ab的值为 6x+10x Ax+B Cx+D 10.己知x+x2+1X+x+1x-x+1,其中A,B,C,D为常数，则A+B+C+D= 11.(1)约分： -24x2y3z ①8y2z; a2-2a+1 ②a2-1. 1 (2)通分：-少，+四 12.计算下列各式： 第4页共19页 Aa a (1)bb9 x-y 2y (2)x+yx+y9 a 2ab ,b2 (3)a-b+6-a+a2-b. 13.我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形， 转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： a+3_a-0+4=1+42a-.2a+）-3-2-3 a-1a-1 a-1,a+1a+1 +1.参考上面的方法，解决下列问题： (1)将a+变形为满足以上结果要求的形式：a+i一； 3a+2 3a+2 (2)将a-1变形为满足以上结果要求的形式：a-1 3a+2 (3)若a-1为正整数，且a也为正整数，则a的值为一 14.安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登5m抵达山 顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖.安安上山的平均速度为mkm/h, 下山的平均速度为nkm/h;宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为 士加，已知m,且m、n均为正数. (1)安安往返所需时间为 h,宁宁往返所需时间为 h;(用含 有m,n的式子表示) (2)两人难先返回云中湖？请说明理由. 第5页共19页 22+122+222+322+4 15.【发现】观察下列式子：33+i,33+2,33+3,33+4,…对于真分数 子，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大： n+a 【类比】“己知m>n>0,a>0,分式m的分子、分母都加上a后，所得分式m+a 的值相比是增大了还是减小了？”小明想到了“用需减去， 然后判断差 的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题 1+c 【拓展】的分子、分母都加上cc<0)后，得到分式2+c. 1+c 1+c (1）)当c=-3时，2+e:当c=-1时，2+C ；(填“>”“<”) 1 + (2)2的分子、分母都加上cc<0)后，所得分式2+c的值相比2是增大了还是减 小了？ 第6页共19页 答案解析 【典型例题】 第7页共19页 A y x-y 【例1】己知A为整式，若计算w+少x+y的结果为w,则A=( ) A.x B.y C.x+y D.x-y 【答案】A A x-y 【例2】己知A为整式，若计算y+少+灯的结果为，则A=( ) A.x B.y C.x+y D.x-y 【答案】A 11 【例3】若m-n=2mn≠0，则nm 【答案】2 3y+7=A+B 【例4】如果0-0-2y-y-2,那么A= B= A+B-Ay-2)+B0-)_(A+By-2A-B 【答案】 y-1y-2（y-1)y-2)（y-1)y-2), 3y+7 (A+B)y-2A-B ∴.0y-10y-2) (0y-1)(0y-2), 「A+B=3 ∴.-2A-B=7, [A=-10 解得： 1B=13, 故答案为：-10,13， 【例5】计算： (1)2-31 x2+xy x2-xy x-2x-29 (2) xy y -31-2-4_c+2x-2）=r+2 【答案】(1)解：x-2x-2x-2 x-2 第8页共19页 x2+y2-9=2+y-0+型_20=2 (2)解： y xy y xy 12 【例6】下面是某同学计算m-1m-1的解题过程： 1 2 m+1 2 解：m-1m-1(m+1(m-)(m+1m-D① -(m+0-2② =m-1③ 上述解题过程从第几步开始出现错误？请写出完整的正确解题过程 【答案】从第②步开始出现错误. 正确的解题过程为： m+1 2 m+1-2 m-1 1 原式(m+1m-l)(m+1(m-)(m+1)(m-D(m+10m-)m+1. 【举一反三】 【变式1】下列分式中，是最简分式的是( ) a-b a+b 2ab 2b-4 A.atb B.a2+2ab+b2 C. D.b2-4 【答案】A b a 【变式2】计算a-bb-a,结果是( A.-1 B.0 C.1 D.2 第9页共19页 【答案】A 4 【变式3】化简x+2+x-2的结果是 x2 【答案】x+2 111 【变式4】己知a+b+c=0,abc=8,则a+6e的值_0.（填“>”、“<”或 “=”) 11,1 ab+ac+bc 十一 【答案】.a b'c abe,abc=8, 111 ab+ac+bc .a+。8， (a+b+c)=a+b+c+2(ab+ac+bc),a+b+c=0, .a+b+c2+2(ab+ac+bc)=0 ab+actbe=-tbc 2 a2+b2+c2 1,1,1 2 即ab+c=8 =-a2+b2+c2 16, .'abc=8, ∴.a≠0，b≠0，c≠0， ∴.a2+b2+c2>0, L+1+l=-a2+b+ -<0 ∴.abc 16 故答案为：< 【变式5】计算下列各式： 第10页共19页 2 x+y (1)x-y(x-: x I (2）2-1x+19 68 2a2 4a'b (4)a-2b4b2-a· 2 x+y 【答案】(1)解：x-y(x- 2x-2y x+y (x-y)2(x-y -2x-2y-x-y (x-y) =x-3y (x-y; 术1 (2)解：x2-1x+1 x x-l x2-1x2-1 =-x+1 x2-1 1 = x2-1; a-b a2+b2 (3)解：a+ba2-b =(a-b)a2+b a2-b2a2-b2 =a'-2ab+b2a2+b2 a2-b2 a2-b3 =--2ab a2-b2; 2a2 4a'b (4)解：a-2b4b2-a2 -2a+4a2b = 2b-a4b2-a2 =-2a'(2b+a)._4aib 4b2-a24b2-a2 第11页共19页 =-4ab+2a34a2b 4b2-a24b2-a =-4ab-2a3+4ab 4b2-a2 -2a3 =4b2-a2. 3x-2 3x-2_36x+)-5=3-5 【变式6】阅读：分式x+1可进行如下变形：x+1x+1x+1 5x-3=5+m 探索：如果x+2 +x+2,则m=一： ax+b 总结：如果x+c =at m +x+c(其中a,b,c为常数)，则m=-; 4x-3 应用：利用上述结论解决：若代数式x-1的值为整数，求满足条件的整数x的 值. 5x-3_5x+2)-13-5+-13 【答案】探索：x+2x+2 x+2, 所以m=-l3; ax+b_a(x+e)+b-ac-a+b-ac-a+m 总结：x+c x+c x+c x+c, ,∴.m=b-ac; 4x-3_4x-)+=4+1 应用：x-1x-1 x-1, 4x-3 又，·代数式x-1的值为整数， .x-1为整数， ∴.x-1=1或x-1=-1, .x=2或0. 第12页共19页 【巩固练习】 1.分式x+5x与x2-25的最简公分母是( ) A.x(x+5)B.(x+5(x-5)C.x(x-5) D.x(x+5)(x-5) 【答案】D 4x2 2.计算x2一1x-的结果是( 2 2 A.x+1 B.x+i 2 C.x-1 D. 【答案】A 12 3.化简：m-9+m+3的结果是（ ) m+6 3m+3 2 2m+9 A.m2-9 B.m2-9 C.m+3 D.m2-9 【答案】B 4如图是嘉琪同学在作业中计算“2.2的过程，作业是从第几步开始出现错 误( ) 嘉琪的作业 4 a- 2 2-a a-24 -a…第一步 =(a-22-a）-4…第二步 =4-a2-4.…第三步 -a2 …第四步 A.第一步 B.第二步 C.第三步 D.第四步 第13页共19页 【答案】B 5,照相机成像应用了一个重要原理，用公式女=)表不，其中「表示照相 机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，ⅴ表示胶片（像）到镜头的距离.己 知f,v,则u=( f-v v-f A. B. C.v-f D.fv 【答案】C 3 2 6.己知分式m2-9,9-6m,其分母m'-9与9-6m的最简公分母是 【答案】3(3-2m)(m+3)(m-3) m2 n2 7.化简：m-nm-n 【答案】m+n M+N=3a-1 8.若常数M,N满足a-+a+1a-i,则M2-w2 【答案】-3 11 9.若ab-b=20,ab=4,则a6的值为 5 【答案】4 6x+10x Ax+B Cx+D 10.已知x+x2+1x+x+1x-x+1,其中A,B,C,D为常数，则A+B+C+D= 【答案】6 11.（1)约分： -24x2y3z ①8yz; a2-2a+1 ②a2-1 第14页共19页 1 1 (2)通分：-y,+y. -24x2yz=-3x2y 【答案】(1)①8yz a2-2a+1_(a-10}-a-1 ②a2-1(a+10(a-1)a+1, 1 1 11 x-y (2)依题意，-y(+yx-列x(+x-),X+gx(x+)x(x+)x-). 12.计算下列各式： 4a a (1)bb x-y.2y (2)x+yx+yi a2 2ab (3)a-b+62-a+a-b· 4a-a 【答案】(1)解：原式b 3a b: .x-y+2y (2)解：原式x+y =x+y x+y =1; a2 2ab b2 (3)解：原式a2-ba2-6+a2-b a2-2ab+b2 a2-b2 (a-b)2 (a+b)(a-b) 第15页共19页 13.我们可以将一些只含有一个字母且分子、分母的次数都为一次的分式变形， 转化为整数与新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如： a+3_a-0+4-1+42a-12a+1）-3-2-3 a-1a-1 a-1,a+1a+1 +1.参考上面的方法，解决下列问题： (1)将a+1变形为满足以上结果要求的形式：a+1一； 3a+2 3a+2 (2)将a-1变形为满足以上结果要求的形式：a-1 3a+2 (3)若a-1为正整数，且a也为正整数，则a的值为一 a=a+0-=1-1 【答案】(1)解：a+1a+1 a+1, 1 1- 故答案为：a+l; 3a+2 (2)解：a-1 3a-3+5 a-1 =3(a-1)+5 a-1 3+5 -1; 3a+2=3+ 3a+2 (3)解：，a-1a-1,且a-1为正整数， ·3+ .a-1为正整数， 5 .a-1为整数， .a也为正整数， ∴.a-1=5或a-1=1, ,∴.a=2或a=6, 故答案为：2或6. 第16页共19页 14.安与宁宁相约去爬山，两人从云中湖同时出发，沿同一路线攀登5km抵达山 顶铜鼓包，随后立即从山顶沿原路返回云中湖.安安上山的平均速度为mkm/h, 下山的平均速度为nkm/h；宁宁借助登山机械骨骼，上下山全程的平均速度为 m”mh,己知m,且m、n均为正数。 (1)安安往返所需时间为 h,宁宁往返所需时间为 h;(用含 有m,n的式子表示) (2)两人谁先返回云中湖？请说明理由. 5,55(m+n) 【答案】(1)解：安安往返所需时长：mnmn(小时)， 5+520 宁宁往返所需时长：m+”m+”(小时)、 2 (2)解：宁宁先返回云中湖，理由如下： 5(m+m）20_5(m+n}-20mn_5(m2+2mn+n2-4mn）_5(m-n} mn m+n mn(m+n) mn(m+n)】 mn(m+n) .m>0,n>0,且m≠n, 5m-n>0 ,∴.mn(m+n) 5(m+n)、20 .mn m+n 宁宁先返回云中湖. 22+122+222+322+4 15.【发现】观察下列式子：3<3+1,3<3+2,33+3,3<3+4，.对于真分数 第17页共19页 ,当分子、分母同时加上同一个大灯0的数时，所行分数的值变人 n+a 【类比】“已知m>n>0,a>0,分式m的分子、分母都加上a后，所得分式m+a 的值相比册是增大了还是减小了？”小明想到了“用”减去m+, n+a 然后判断差 的正负性”的思路，请你利用小明的思路，探索解答这个问题. 1+c 【拓展】2的分子、分母都加上cc<0后，得到分式2+c· 1+c (1)当c-3时，2+e 1+c ；当c=-1时，2+e 2;(填“>”“<”) 1+c (2)2的分子、分母都加上cc<0)后，所得分式2+c的值相比2是增大了还是减 小了？ nn+a 【答案】[类比]：mm+a n(m+a)-m(n+a) m(m+a) a(n-m) m(m+a), .m>n>0,a>0, ∴.n-m<0,m+a>0, a(n-m)<0 ∴.m(m+0）, nn+a .m mta; 解：[拓展] 2:当。1时，0 (1)当c=-3时，2+e2-3 故答案为：>； 1+c1 (2)2+c2 21+c)-(2+c) 2(2+c) =-c 2+c, 第18页共19页 当-2<c<0时，2+c>0, <0 .2+c 1+c1 ··2+c2; 当c<-2时，2+c<0, >0 .2+c 1+c、1 .2+c2 1+c 综上，当-2<c<0时，2+c的值相比2是减小了；当c<-2时，2+c的值相比2是增 大了 第19页共19页