专题 23.9 一次函数复习专题——一次函数与最值综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.9 一次函数复习专题——一次函数与最值综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】一次函数的增减性 1 【知识点二】 自变量有取值范围（区间限制）求函数最值 2 【知识点三】一次函数与几何图形结合求周长、面积最值 2 【知识点四】一次函数实际应用（方案选择、费用最值、利润最值） 2 【知识点五】一次函数与将军饮马问题求最值 2 二.题型精析 3 【题型 1】 已知取值范围直接求最值（基础） 3 【题型 2】 已知取值范围与最值求参数 3 【题型 3】方案选择与费用（利润）最值 4 【题型 4】动点在一次函数上，求面积（周长）最值 5 【题型 5】几何模型型：将军饮马与一次函数综合（综合压轴题） 6 【题型 6】含参分类讨论型（综合压轴题） 7 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.知识储备 【知识点一】一次函数的增减性 设一次函数解析式为，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小。 【特别提示】一次函数的增减性，无增减交替，最值只出现在取值区间的端点上。 【知识点二】 自变量有取值范围（区间限制）求函数最值 已知一次函数的取值范围为，求函数的最大值及最小值 情形一：时，由于随的增大而增大，当时，，当时，； 情形二：时，由于随的增大而减小，当时，，当时，. 【特别提示】若有整数、非负等实际限制，需在限定整数点中找最值。 【知识点三】一次函数与几何图形结合求周长、面积最值 1、常见题型：直线与坐标轴、三角形、四边形、平面直角坐标系动点； 2、解题思路：（1）设动点坐标（在一次函数直线上）；（2）用坐标表示图形的面积、周长，整理成一次函数形式；（3）确定自变量取值范围，借助单调性求面积、周长的最大值或最小值； 【特别提示】几何最值问题转化为限定区间内一次函数求最值。 【知识点四】一次函数实际应用（方案选择、费用最值、利润最值） 1、常见题型：租车进货、商品销售、运费规划、购票套餐、生产分配等； 2、解题思路：（1）找准等量关系，列出费用或利润关于自变量的一次函数；（2）根据实际意义列出不等式，确定自变量取值范围（常为正整数）；（3）由的正负判断增减性，确定最优方案、最低费用、最大利润。 【特别提示】实际问题自变量多为整数，不可直接取小数端点。 【知识点五】一次函数与将军饮马问题求最值 （1）线段和最小（将军饮马） 基本模型：两定点在定直线同侧，动点在直线上，求最小值； 解题思路：作其中一个定点关于直线的对称点，对称点与另一定点的线段长即为最小值，与直线交点为动点位置； （2）线段差最大 基本模型：两定点在定直线异侧，动点在直线上，求\（|PA-PB|\）最大值； 解题思路：连接两定点并延长，与定直线交点即为动点位置，线段长为最大值； 【特别提示】结合一次函数求直线解析式、交点坐标完成计算。 二.题型精析 【题型 1】 已知取值范围直接求最值（基础） 【例题1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． （1）求此函数的表达式． （2）当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知函数，自变量x的取值范围是，求函数y的最大值和最小值分别是（    ）． A．， B．8， C．12.8 D．12， 的关键． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数，当时，y的最大值与最小值的和为________． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式． （2）当时，求函数的最大值． 【题型 2】 已知取值范围与最值求参数 【例题2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于的一次函数的图象为直线． （1）若函数图象过坐标原点，求的值． （2）证明：无论为何值，直线总经过点． （3）当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【变式2】（2026九年级·贵州·专题练习）已知一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为________． 【变式3】（24-25九年级下·浙江台州·期末）已知函数，其中为常数． （1）当时，若点在该函数图象上，求的值； （2）当时，若该函数最大值与最小值的差为，求的值． 【题型 3】方案选择与费用（利润）最值 【例题3】（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 【变式1】（24-25八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 【变式3】（24-25八年级下·四川巴中·期中）已知甲加工型零件个所用时间和乙加工型零件个所用时间相同．甲、乙两人每天共加工个零件，设甲每天加工个型零件． （1）求甲、乙每天各加工零件多少个？ （2）根据市场预测，加工型零件所获得的利润为元件（），加工型零件所获得的利润每件比型少元．求甲、乙每天加工的零件所获得的总利润（元）与的函数关系式，并求的最大值和最小值． 【题型 4】动点在一次函数上，求面积（周长）最值 【例题4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，点是轴上一个动点，过作轴的垂线交于，交于，设． （1）若，，则点的坐标为_____； （2）在（1）的条件下，当从增加到2时，求的最大值和最小值： （3）若，且与始终满足（为常数），求和的值． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，且，．记的最大值为，的最小值为，则（    ） A． B． C． D．4 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）对每个确定的x的值，y是，，中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为______． 【变式3】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求面积的最大值． 【题型 5】几何模型型：将军饮马与一次函数综合（综合压轴题） 【例题5】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． （1）P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． （2）P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ （3）P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【变式1】（24-25八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，则周长的最小值为___________．    【变式3】（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． （1）若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； （2）动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【题型 6】含参分类讨论型（综合压轴题） 【例题6】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一次函数，解决下列问题： （1）如果这个函数的图象经过原点，求m的值． （2）不论m取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． （3）在坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与线段有交点，求m的取值范围，并求m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积． 【变式1】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（    ） A．4 B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：已知是自变量的一次函数，函数与的图象关于轴对称，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰好为，则我们称函数是在上的“优雅差函数”已知一次函数，若是在上的“优雅差函数”，则的值为_____． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知直线与直线如图所示． （1）关于，的方程组的解为________； （2）若，求直线的函数关系． （3）过作x轴的垂线交直线于点、，设 ①求S与t之间的函数关系式． ②当时，S的取值范围________； ③当时，若S的最大值与最小值的差等于，m的值为________． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 2．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（   ） A．3 B．3或4 C．6 D．0或3 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，则周长的最小值是（　　） A．5 B．8 C．9 D． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点，，点在直线上运动，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（   ） A．1 B． C．或1 D．或或1 10．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知，且，则y的最大值为_____． 12．（25-26八年级上·河北保定·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为_______． 13．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 14．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为12的等边中，点在边上，且，长度为2的线段在边上运动，则四边形面积的最大值为________． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于三个一次函数，，，若无论x取何值，y总取，，中的最大值，则y的最小值为________________． 17．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值_________． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·福建泉州·月考）已知关于x的函数是一次函数． （1）求m的值； （2）在该一次函数中，当时，求y的最大值． 20．（本小题满分8分）（2025·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·海南·期中）某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． （1）写出与之间的函数表达式； （2）若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求点C坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·海南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线． （1）求直线的函数表达式； （2）若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南·期末）已知，如图1，点在一次函数：的图象上，该一次函数图象与x轴相交于点A． （1）请求出一次函数表达式； （2）过点P作直线轴，将点P左侧的函数图象沿着直线向上翻折，与x轴相交于点B，右侧图象不变，得到如图2的“”型函数图象，请求出的面积； （3）将（2）中得到的函数图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.9 一次函数复习专题——一次函数与最值综合（方法梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识储备 1 【知识点一】一次函数的增减性 1 【知识点二】 自变量有取值范围（区间限制）求函数最值 2 【知识点三】一次函数与几何图形结合求周长、面积最值 2 【知识点四】一次函数实际应用（方案选择、费用最值、利润最值） 2 【知识点五】一次函数与将军饮马问题求最值 2 二.题型精析 3 【题型 1】 已知取值范围直接求最值（基础） 3 【题型 2】 已知取值范围与最值求参数 5 【题型 3】方案选择与费用（利润）最值 8 【题型 4】动点在一次函数上，求面积（周长）最值 12 【题型 5】几何模型型：将军饮马与一次函数综合（综合压轴题） 17 【题型 6】含参分类讨论型（综合压轴题） 23 三.同步检测 29 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 29 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 38 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 44 一.知识储备 【知识点一】一次函数的增减性 设一次函数解析式为，当时，随增大而增大；当时，随增大而减小。 【特别提示】一次函数的增减性，无增减交替，最值只出现在取值区间的端点上。 【知识点二】 自变量有取值范围（区间限制）求函数最值 已知一次函数的取值范围为，求函数的最大值及最小值 情形一：时，由于随的增大而增大，当时，，当时，； 情形二：时，由于随的增大而减小，当时，，当时，. 【特别提示】若有整数、非负等实际限制，需在限定整数点中找最值。 【知识点三】一次函数与几何图形结合求周长、面积最值 1、常见题型：直线与坐标轴、三角形、四边形、平面直角坐标系动点； 2、解题思路：（1）设动点坐标（在一次函数直线上）；（2）用坐标表示图形的面积、周长，整理成一次函数形式；（3）确定自变量取值范围，借助单调性求面积、周长的最大值或最小值； 【特别提示】几何最值问题转化为限定区间内一次函数求最值。 【知识点四】一次函数实际应用（方案选择、费用最值、利润最值） 1、常见题型：租车进货、商品销售、运费规划、购票套餐、生产分配等； 2、解题思路：（1）找准等量关系，列出费用或利润关于自变量的一次函数；（2）根据实际意义列出不等式，确定自变量取值范围（常为正整数）；（3）由的正负判断增减性，确定最优方案、最低费用、最大利润。 【特别提示】实际问题自变量多为整数，不可直接取小数端点。 【知识点五】一次函数与将军饮马问题求最值 （1）线段和最小（将军饮马） 基本模型：两定点在定直线同侧，动点在直线上，求最小值； 解题思路：作其中一个定点关于直线的对称点，对称点与另一定点的线段长即为最小值，与直线交点为动点位置； （2）线段差最大 基本模型：两定点在定直线异侧，动点在直线上，求\（|PA-PB|\）最大值； 解题思路：连接两定点并延长，与定直线交点即为动点位置，线段长为最大值； 【特别提示】结合一次函数求直线解析式、交点坐标完成计算。 二.题型精析 【题型 1】 已知取值范围直接求最值（基础） 【例题1】（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知一次函数（k为常数且）的图象经过点． （1）求此函数的表达式． （2）当时，记函数的最大值为M，最小值为N，求的值． 【答案】（1）；（2）6 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是利用一次函数的性质，求得M、N． （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据一次函数的性质求得最大值M和最小值N，进而即可求得的值． 解：（1）解：∵一次函数（k为常数且）的图象经过点， ∴， 解得， ∴， ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵，， ∴y随x的增大而增大， ∵当时，记函数的最大值为M，最小值为N， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·全国·课后作业）已知函数，自变量x的取值范围是，求函数y的最大值和最小值分别是（    ）． A．， B．8， C．12.8 D．12， 【答案】D 【分析】根据 ，可得到 随 的增大而减小，从而得到当 时，函数y的值最大，当 时，函数y的值最小，代入即可求解． 解：∵ ， ∴ 随 的增大而减小， ∴当 时，函数y的值最大，最大值为 ， 当 时，函数y的值最小，最小值为 ． 故选：D． 【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，求函数值，熟练掌握对于一次函数 ，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 随 的增大而减小是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）已知一次函数，当时，y的最大值与最小值的和为________． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据增减性求出最大值和最小值，求和即可． 解：一次函数中，， ∴函数值随自变量增大而减小， ∵， ∴当时，，最大 当时，，最小， ∴最大值与最小值的和为． 故答案为：2． 【变式3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）若与成正比例，当时，． （1）求出y与x的函数关系式． （2）当时，求函数的最大值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的增减性； （1）根据题意设（）将，代入求出k值即可； （2）根据一次函数的增减性判断即可． 解：（1）解：∵与成正比例，则设（）， 当时，即， 解得， 即， 整理得； （2）解：由可知， ∴y随x的增大而减小， ∴当时函数的最大值为． 【题型 2】 已知取值范围与最值求参数 【例题2】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）已知关于的一次函数的图象为直线． （1）若函数图象过坐标原点，求的值． （2）证明：无论为何值，直线总经过点． （3）当时，函数最大值与最小值的差为6，求直线的解析式． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）或 【分析】本题考查求一次函数解析式，一次函数的性质，不等式等知识点，理解题意，列出方程及不等式是解决问题的关键． （1）将原点坐标代入求解即可； （2）将整理得，当时，，即可求解； （3）分两种情况：当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，根据增减性求得最大值与最小值，即可求解． 解：（1）解：∵函数图象过坐标原点， ∴， 解得； （2）证明：∵， ∴当时，， ∴无论为何值，直线总经过点； （3）解：， 当时，随增大而增大， 则当时，，为最小值， ，为最大值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 当时，随增大而减小， 则当时，，为最大值， ，为最小值， ∵函数最大值与最小值的差为6， ∴， 解得：， 此时，的解析式为； 综上，的解析式为或． 【变式1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）若一次函数在的范围内的最大值比最小值大，则下列说法正确的是（    ） A．k的值为2或－2 B．的值随的增大而减小 C．k的值为1或－1 D．在的范围内，的最大值为 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 解：当时， 当时， 当时，随的增大而增大 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 当时，随的增大而减小 则由题意可得： 此时在的范围内，的最大值为 故选：． 【变式2】（2026九年级·贵州·专题练习）已知一次函数，当时，的最大值与最小值的差为，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据一次函数的性质和分类讨论的方法，可以求得的值． 解：①当时，一次函数中随的增大而增大， 时，有最大值，为； 时，有最小值，为； 依题意得：， 解得：． ②当时，一次函数中随的增大而减小， 时，有最小值，为； 时，有最大值，为； 依题意得：， 解得：． 综上所述：或． 故答案为：或． 【点拨】本题考查一次函数的性质，解题关键是明确题意，利用一次函数的性质解答，注意分类讨论． 【变式3】（24-25九年级下·浙江台州·期末）已知函数，其中为常数． （1）当时，若点在该函数图象上，求的值； （2）当时，若该函数最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）或；（2）1.2或1.8 【分析】本体考查了一次函数的性质，求不等式组的解集 （1）将，代入计算即可； （2）分、、三种情况求解即可． 解：（1）解：将，代入得： 即 去绝对值得 解得：或； （2）当时，即时， 最大值与最小值的差为，不合题意； 当时，即时，同理可得最大值与最小值的差为，不合题意； 当时，即时，该函数最大值与最小值的差为， 由，可知当时，， ∵该函数最大值与最小值的差为， ∴． 当时，取得最大值时， ，解得或（舍去）； 当时，取得最大值时， ，解得或（舍去）． 综上可知，的值为1.2或1.8． 【题型 3】方案选择与费用（利润）最值 【例题3】（2025·贵州·一模）如图是古代一位将军在一次护城战役中的布阵图，在城池的周围分布甲，乙两种类型的哨所．若每个哨所至少要有一人，同类型哨所的人数相同，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人． （1）若六个哨所的总人数为21人，求甲，乙两种类型每个哨所的人数； （2）假设每个甲型哨所的人数为，请用含的代数式表示六个哨所的总人数，并求出六个哨所总人数最大值与最小值及相应的的值． 【答案】（1）每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人；（2）当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系． （1）设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人，根据六个哨所的总人数为21人，即可得出关于与二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设六个哨所的总人数为人，将六个哨所有人数相加即可得出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题． 解：（1）解：设每个甲哨所有人，每个乙哨所有人， 根据题意列方程得：， 解得， 答：每个甲哨所有4人，每个乙哨所有3人； （2）解：设六个哨所的总人数为人， ∵每个甲型哨所的人数为，城池周围每条边上三个哨所的人数和都为11人， ∴每个乙型哨所的人数为人， 又每个哨所至少要有一人， ∴， ∴， ∴， 随的增大而减小， 当时，最大值，当时，最小值， 答：当时，哨所总人数的最大值是30人，当时，哨所总人数的最小值是18人． 【变式1】（24-25八年级下·广西桂林·期末）某商场在促销活动中，计划销售型和型两种饮水机共20台．若每台型饮水机可盈利150元，每台型饮水机可盈利200元，型饮水机的销售量不小于型饮水机的3倍．则该商场在本次促销活动中销售这两种饮水机能获得的最大利润是（   ） A．3400元 B．3250元 C．4600元 D．4750元 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，涉及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出不等式求出的范围． 设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台，根据在同一时期内，型饮水机的销售量不小于型饮水机销售量的3倍可得：，而，由一次函数性质可得答案． 解：设该商场在这一时期内销售获得的利润是元，销售型饮水机台，则销售型饮水机台， 根据题意得：． 解得：， ， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最大值，最大值为（元）， 答：该商场在这一时期内销售这两种饮水机能获得的最大利润是元． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级上·山东青岛·期末）马家沟芹菜是青岛的名优农产品，某公司零售一箱该产品的利润是10元，批发一箱该产品的利润是6元．经营性质规定，该公司零售的数量不能多于300箱．现该公司出售800箱这种产品，最大利润是 _________元． 【答案】6000 【分析】设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，该公司获得利润为y元，进而得到y关于m的函数关系式，利用一次函数的性质，即可求解． 解：设该公司当月零售这种农产品m箱，则批发这种农产品箱，依题意得：， 设该公司获得利润为y元，依题意得： ， 即， ∵，y随着m的增大而增大， ∴当时，y取最大值，此时（元）， 答：该公司要经营800箱这种农产品，最大利润是6000元． 故答案为：6000． 【点拨】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意列出函数表达式，熟练掌握函数性质根据自变量取值范围确定函数值是解决问题的关键． 【变式3】（24-25八年级下·四川巴中·期中）已知甲加工型零件个所用时间和乙加工型零件个所用时间相同．甲、乙两人每天共加工个零件，设甲每天加工个型零件． （1）求甲、乙每天各加工零件多少个？ （2）根据市场预测，加工型零件所获得的利润为元件（），加工型零件所获得的利润每件比型少元．求甲、乙每天加工的零件所获得的总利润（元）与的函数关系式，并求的最大值和最小值． 【答案】（1）甲每天加工个，乙每天加工个；（2）的最大值是，最小值是 【分析】（1）设甲每天加工个型零件，则乙每天加工的零件个数为：，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出函数关系，根据一次函数的性质，即可求解． 解：（1）解：甲、乙两人每天共加工个零件， 乙每天加工的零件个数为：； 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． ， 答：甲每天加工个，乙每天加工个； （2）解：依题意，，即， 在中，的系数，随的增大而增大， 又， 当时，取得最大值，的最大值是， 当时，取得最小值，的最小值是． 即的最大值是，最小值是． 【点拨】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用，根据题意列出分式方程与函数关系式是解题的关键． 【题型 4】动点在一次函数上，求面积（周长）最值 【例题4】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，点是轴上一个动点，过作轴的垂线交于，交于，设． （1）若，，则点的坐标为_____； （2）在（1）的条件下，当从增加到2时，求的最大值和最小值： （3）若，且与始终满足（为常数），求和的值． 【答案】（1）；（2）最大值是6，最小值是0；（3），． 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，求两个一次函数的交点坐标，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）求出两直线解析式，再联立两直线解析式求出点P的坐标即可； （2）分别求出点M和点N的坐标，进而用含t的式子表示出d，进而根据一次函数的增减性求解即可； （3）分别求出点M和点N的坐标，进而用含t的式子表示出d，根据与始终满足，可先求出m的值，进而可求出k的值． 解：（1）解：当，时，直线的解析式为，直线的解析式为， 联立，解得， ∴点P的坐标为； （2）解：在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴， ∴当时，， ∵， ∴d随t的增大而减小， ∴当时，d有最大值，最大值为； 当时，， ∵， ∴d随t的增大而增大， ∴当时，d有最大值，最大值为，当时，d有最小值，最小值为， ∵， ∴当时，d的最大值为6，最小值为0； （3）解：在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴ ∵与始终满足， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， ∵与始终满足， ∴， ∴当时，， ∴； ∴当时，， ∴； 综上所述，，． 【变式1】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴上，且．已知点在内部或边界上，且，．记的最大值为，的最小值为，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质、一次函数的最值、等腰三角形的判定，熟练掌握线性规划中利用直线平移求最值的方法是解题的关键．先根据已知点、的坐标及求出点的坐标，再利用线性规划的方法，分别求出的最大值和的最小值，最后计算两者之和． 解：设，，过作轴于， 则， ∵，， ∴，，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 对于，即， 当直线经过点时，取得最大值， ∴． 对于，即， 当直线经过点时，取得最小值， ∴． ∴． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·阶段检测）对每个确定的x的值，y是，，中的最大值，则当x变化时，函数y的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查一元一次函数的图象与性质：要解决此问题，需画出三个函数的图象，确定三个函数两两的交点，找到y对应的图象，从而求得y的最小值： 解：作出图象，如图： 图中实线部分为函数y的图象． 与的交点A： 解方程，得，对应． 与的交点： 解方程，得，对应． 当时，是三个函数中的最大值； 当时，是三个函数中的最大值； 当时，是三个函数中的最大值． 则当时，函数y的最小值为． 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点． （1）求的值； （2）求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）求面积的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）最大值为 【分析】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键． （1）将点坐标代入解析式可求的值； （2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式； （3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值． 解：（1）解：直线过点， ， ； （2）解：∵点的坐标为， ∴， 点在直线上， 点， ， ， 点在线段上的一个动点， ； （3）解：点是线段上的一个动点，，且， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为． 【题型 5】几何模型型：将军饮马与一次函数综合（综合压轴题） 【例题5】（24-25八年级上·贵州六盘水·期末）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，动点P从原点O出发在x轴上运动． （1）P点运动到什么位置时离A点最近？写出P点的坐标． （2）P点运动到什么位置时，的值最小，最小值是多少？ （3）P点运动到什么位置时，的值最大，最大值是多少？ 【答案】（1）P点运动到时距离A点最近；（2）见分析，；（3）见分析， 【分析】本题考查了垂线段的性质、坐标与图形—轴对称变换、勾股定理、一次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据垂线段的性质即可得出答案； （2）作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小，则，过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C，则，再由勾股定理计算即可得出答案； （3）连接并延长，交x轴于点，则当P在点位置时最大，待定系数法求出直线解析式，得出，最后再由勾股定理计算即可得出答案． 解：（1）解：由垂线段最短可得：P点运动到时距离A点最近； （2）解：作B点关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P，此时最小， ， 过A作x轴的垂线，过作x轴的平行线，交点为点C ，， 最小值为， （3）解：连接并延长，交x轴于点， ∵三角形任意两之差小于第三边， ∴当P在点位置时最大， 设直线的函数关系式为：， ，， ， ， ， 当时，，解得， ， ， 最大值为． 【变式1】（24-25八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点是解题的关键．作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案． 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，则周长的最小值为___________．    【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形，平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，掌握以上知识是关键． 过点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接，当点共线时，周长的最小值，结合两点之间距离的计算即可求解． 解：点的坐标为，点是轴上一动点，点是正比例函数图象上一动点，如图所示，过点作关于轴的对称点，连接交轴于点，作点作关于直线的对称点，连接，交轴于点，交直线于点，      ∴，，， ∴当点共线时，周长的最小值， ∴， 连接，过点作轴于点， ∴，，即，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级下·四川眉山·期中）如图，在平面直角坐标系中，点P是直线上一动点，点A在y轴上，且点A坐标为，连结． （1）若恰好是以为底边的等腰三角形，求此时点P坐标； （2）动点P在直线运动过程中，是否存在最小值，若存在最小值，求的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）P（，）；（2）存在，13 【分析】本题考查了一次函数点的坐标特征，等腰三角形的性质，线段最短问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键． （1）过点P作于B，由等腰三角形的性质可得，得出，再进行求解即可； （2）作点O关于直线的对称点，点P运动至三点共线时，最小，据此求解即可． 解：（1）当恰好是以为底边的等腰三角形时，如图，过点P作于B， 则有， ∵， ∴， 此时P的纵坐标为， ∴， ∴此时所求点P坐标为（，）． （2）动点P在直线运动过程中，存在最小值． 如图，作点O关于直线的对称点， 则有，     在中，令，得，令，得， 直线与x轴交点为，， 直线与x轴及y轴围成的三角形是等腰直角三角形， ∵点O关于直线的对称点， ， ∵，当点P运动至三点共线时取等号，   ∵，             ∴的最小值为13， 即的最小值为13． 【题型 6】含参分类讨论型（综合压轴题） 【例题6】（25-26八年级上·江苏连云港·月考）已知关于x的一次函数，解决下列问题： （1）如果这个函数的图象经过原点，求m的值． （2）不论m取何值，的图象一定经过某个定点，求这个点的坐标． （3）在坐标系中，点，如果此坐标系中，函数的图象与线段有交点，求m的取值范围，并求m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积． 【答案】（1）；（2）；（3）的取值范围为，m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积为21 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与几何的综合题，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键． （1）由一次函数的图象经过原点，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值； （2）将变形为，代入可求出，进而可得出不论取何实数这个函数的图象都过定点； （3）先求出直线的解析式为．再求出直线的解析式为．直线的解析式为，再通过数形结合求解即可． 解：（1）解：将原点代入函数， 得， 解得； （2）解：函数变形为， 当，即时，与无关， 所以图象一定经过定点； （3）解：设直线的解析式为．可得 ，解得， 直线的解析式为．函数恒过定点， 设过点的直线与线段相交．当直线经过点时，的值最大；经过点时，的值最小． 设直线的解析式为．可得 ，解得， 直线的解析式为． 设直线的解析式为．可得 ，解得， 直线的解析式为． 所以的取值范围是． 当时，函数为， 当时，函数为， ∴函数与函数的图象和线段所围成的三角形为， 令，得，解得， 设函数为与轴交于点C，则． ， ． 综上，的取值范围为；m最大值与最小值时对应的函数图象与直线三条线段围成的三角形的面积为21． 【变式1】（24-25八年级上·浙江舟山·期末）为平面直角坐标系内的两点，定义，并称它为A、B两点之间的中和距离，现已知点，O为坐标原点，动点满足，且，则动点P的轨迹长度为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形，化简绝对值，分情况讨论为解题关键，根据新定义，结合中和距离的定义，即可求出动点P的轨迹方程，可得轨迹为两线段，即可求得长度． 解： ， ， ， ，， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，，，， ，整理得：， 当，时， ，或，，， ，或，整理后均不符合条件， 由上述讨论可知，动点P的轨迹由两部分组成： 一部分是直线在，范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 另一部分是直线在范围内的部分，即从到的线段，其长度为， 则动点P的轨迹长度为， 故选：C 【变式2】（25-26八年级上·浙江湖州·期末）定义：已知是自变量的一次函数，函数与的图象关于轴对称，当（，为常数，）时，函数的最大值与最小值之差恰好为，则我们称函数是在上的“优雅差函数”已知一次函数，若是在上的“优雅差函数”，则的值为_____． 【答案】或 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质，正确理解新定义． 由题意得，，根据关于y轴对称的性质，纵坐标不变，横坐标互为相反数求解，即可写出，再分类讨论求解即可． 解：由题意得，， ∵一次函数，函数与的图象关于轴对称， ∴， ∴， ①当时，随着的增大而增大， ∴时，；时，， ， 解得； ②当时，随着的增大而减小， ∴时，；时，， ， 解得； 综上：的值为或， 故答案为：或． 【变式3】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）已知直线与直线如图所示． （1）关于，的方程组的解为________； （2）若，求直线的函数关系． （3）过作x轴的垂线交直线于点、，设 ①求S与t之间的函数关系式． ②当时，S的取值范围________； ③当时，若S的最大值与最小值的差等于，m的值为________． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②；③或 【分析】（1）根据函数图象中两条直线的交点坐标，求出关于，的方程组的解即可； （2）待定系数法求出一次函数解析式即可； （3）①先求出直线的函数解析式为，过作x轴的垂线交直线于点、，得出，，再分两种情况求出S与t的函数解析式即可； ②分两种情况：当时，当时，求出S的取值范围，即可得出答案； ③分四种情况：当时，时，时，时，分别求出结果即可． 解：（1）解：∵两条直线的交点坐标为， ∴关于，的方程组的解为； （2）解：∵一条直线经过一、二、四象限，一条直线经过一、二、三象限， ∴当时，直线经过，， ∴， 解得：， ∴直线的函数关系式为； （3）解：①假设直线经过，，直线经过，， ∴， 解得：， ∴直线的函数解析式为， 根据解析（2）可得：直线的解析式为， ∵过作x轴的垂线交直线于点、， ∴，， ∴当时，， 当时，， ∴； ②当时，，此时， 当时，，此时， 综上，当时，； ③当时，当时，S取最小值，当时，S取最大值， 此时最大值与最小值的差为：，不符合题意； 当，即时，当时，S取最大值，当时，S取最小值， 此时最大值与最小值的差为：，不符合题意； 当时，时，S取最小值0，时，S取最大值， 此时， 解得：； 当时，时，S取最小值0，时，S取最大值， 此时， 解得：； 综上，或时，S的最大值与最小值的差等于． 【点拨】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，一次函数的增减性，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，是解题的关键． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知一次函数，当时，的最大值是（    ） A．2 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质．先由得到当时有最大值，再将代入计算即可． 解：∵， ∴当时，一次函数在有最大值， 即， 故选：C． 2．（2026·四川德阳·模拟预测）一次函数，已知当时，函数的最大值为0，则等于（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】先根据一次项系数判断函数增减性，再确定最大值对应x的取值，代入计算即可得到b的值． 解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，函数的最大值为， ∴当时，取得最大值， 将代入函数得 ， 整理得， 解得． 3．（24-25八年级下·山东临沂·期末）已知一次函数，若当时，函数有最大值为3，则k的值为（   ） A．3 B．3或4 C．6 D．0或3 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据一次函数的增减性，分和两种情况求解即可． 解：当，即时，函数y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 当，即时，函数y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为3， 即， 解得； 所以k的值为0或3． 故选：D． 4．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）已知关于的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质．分类讨论：时，y随x的增大而增大，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算出对应a的值；时，y随x的增大而减小，所以当时，y有最大值7，然后把代入函数关系式可计算对应a的值． 解：①时，y随x的增大而增大， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得； ②时，y随x的增大而减小， 则当时，y有最大值7，把代入函数关系式得， 解得， 所以或， 故选：D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·月考）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，则周长的最小值是（　　） A．5 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、三角形中位线定理及轴对称-最短路线问题，熟知一次函数的图象与性质及根据轴对称寻找最短路径是解题的关键． 由题中条件发现C，D为定点，所以周长的最小值就转化为的最小值，再结合轴对称的性质即可解决问题． 解：连接， 将代入得，， 所以点B的坐标为． 将代入得，， 解得， 所以点A的坐标为， 则． 因为点C，D分别为线段的中点， 所以是的中位线， 所以，，则． 因为， 所以当取得最小值时，最小． 作点D关于x轴的对称点E，连接，则当点P在与x轴的交点处时，取得最小值． 因为点D的坐标为， 所以点E的坐标为， 则． 在中，， 即的最小值为5，则此时， 所以周长的最小值是9． 故选：C． 6．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图，已知点，，点在直线上运动，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形三边数量关系，两点之间距离的计算，掌握轴对称的性质，两点之间距离的计算是关键，根据题意，作点关于直线的对称点，在轴正方向上，由三角形两边之差小于第三边，结合两点之间距离的计算即可求解． 解：直线在第一象限的图形与横轴正方向的夹角为，与纵轴正方向的夹角为， ∴点关于直线的对称点，在轴正方向上，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 故选：C ． 7．（25-26八年级下·全国·课后作业）当时，一次函数最大值为6，则实数的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或 【答案】A 【分析】根据一次项系数的正负判断函数在上的增减性，再结合最大值为，求解的值． 解：一次函数的斜率为，分两种情况讨论： ①当时： 函数在上随着的增大而增大，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得． ②当时： 函数在上随着的增大而减小，最大值出现在处． 代入得：． 由最大值为，得，解得，但不满足，舍去． ③当时： 函数为常函数，最大值为，不符合最大值为，舍去． 综上所述，． 故选：A． 【点拨】本题考查了一次函数的单调性与最值，解题关键是分斜率正负讨论函数的增减性，再结合区间端点求最值． 8．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）已知直线，，的图象如图所示．若无论取何值，总取，，中的最大值，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，理解题意，灵活运用一次函数的图象与性质分析各种情况是解题关键．过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线，由图象可知，的最小值是和交点的纵坐标的值，联立两直线求出交点坐标，即可得答案． 解：过和的交点作轴的平行线，过和的交点作轴的平行线， 由图象可知，在直线的左侧，的取值为直线的值，在直线和直线中间，的取值为直线的值，在直线右侧，的取值为直线的值， ∴的最小值是和交点的纵坐标值， 联立直线和解析式得：， ∴， 解得：， ∴， ∴的最小值是． 故选：C． 9．（24-25八年级下·江苏南通·期末）已知函数，当时，函数有最大值为，则n的值为（   ） A．1 B． C．或1 D．或或1 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 根据题意，利用分类讨论的方法，可以求得的值． 解：∵函数，当时，函数有最大值为， ∴当时，，此时时，取得最大值，即，得（不合题意，舍去）； 当时，时，取得最大值，此时，得（不合题意，舍去）； 当时，，此时时，取得最大值，即，得； 由上可得，的值为1， 故选：A． 10．（24-25八年级下·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数分别交轴、轴于、两点，若为轴上的一动点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出点，点坐标，由勾股定理可求的长，作点关于的对称点，连接，，过点作于，可证是等边三角形，由直角三角形的性质可得，则，即当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值，再利用等积法可求解． 解：∵一次函数分别交轴、轴于、两点， 当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接，，过点作于，    ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点，点三点共线时，有最小值，即有最小值， 此时，是等边三角形， ∵， ∴ ∴， ∴有最小值为， ∴的最小值为， 故选：D． 【点拨】本题是胡不归问题，考查了一次函数的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定点的位置是解题的关键． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）已知，且，则y的最大值为_____． 【答案】5 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质，判断出y随x增大而减小，因此y在x取最小值时取得最大值． 解：函数的， 故y随x的增大而减小， 因为， 所以当时，y取得最大值， y的最大值． 故答案为：5． 12．（25-26八年级上·河北保定·期中）已知关于x的一次函数．当时，函数有最大值7，则a的值为_______． 【答案】1或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的单调性，分类讨论a的正负情况：当时，函数为增函数，最大值在区间右端点处取得；当时，函数为减函数，最大值在区间左端点处取得．分别代入求解a的值． 解：当时，函数为增函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得； 当时，函数为减函数，最大值在处， 代入得， 即， 解得． 故答案为：1或． 13．（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是______． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 14．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）已知一次函数（为常数，且），当（为任意实数）时，函数最大值与最小值的差为，则该函数的表达式是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，由于，y随x增大而减小，当（为任意实数）时，差值为，令其等于即可解出． 解：， 随着的增大而减小， 在（为任意实数）时， 当时，有最大值， 当时，有最小值， ， 解得：， 函数表达式为． 故答案为：． 15．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，在边长为12的等边中，点在边上，且，长度为2的线段在边上运动，则四边形面积的最大值为________． 【答案】 【分析】如图，过点D作于点E，过点B作于点F，求出，，利用勾股定理得到，的长度，设，表示出四边形面积，构建一次函数，利用一次函数的性质求出最大值即可． 解：如图，过点D作于点E，过点B作于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴四边形的面积 ∵， ∴四边形的面积随x的增大而增大， 根据题意得，当点Q运动到点C时，取得最大值，此时 ∴此时四边形的面积最大，最大值． 16．（25-26八年级下·全国·课后作业）对于三个一次函数，，，若无论x取何值，y总取，，中的最大值，则y的最小值为________________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性与最值问题，掌握多个函数的最大值的最小值，出现在递增函数与递减函数的交点处是解题的关键． 通过求函数交点，确定最大值函数的变化点，从而找到最小值，由于 随 增大而减小， 随 增大而增大，最大值的最小值出现在 与 的交点处﹒ 解：解方程组： 得： 此时 ， 故此时的值为 ﹒ 当 时， 最大且 随增大而减小； 当 时， 最大且 随增大而增大， 因此 的最小值为﹒ 故答案为：﹒ 17．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在一次函数的图象上运动，求的最大值_________． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征、轴对称等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接．首先确定点的坐标，当点在的延长线上时，的值最大． 解：作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接． ，， 直线的解析式为：． 联立解得 ． ， ． ． 当点在的延长线上时，的值最大，最大值为4． 故答案为：4． 18．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）新定义：我们知道，一次函数的图象是直线．观察坐标系中多条直线，从正上方（y轴正方向）看下去，它们的轮廓会形成一条由“最上方”的部分连接成的折线．基于此，我们定义：对于两个一次函数，，称“顶函数”为这两个函数在每一个x处的最大值，即． （1）当时，________； （2）若直线与函数的图象有2个交点，则k的取值范围是________． 【答案】 3 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，两直线的交点问题等知识， 分情况讨论是解题的关键． （1）将代入两个一次函数求出函数值，取最大值即可； （2）先联立两一次函数求出交点，确定“顶函数”的分段图象，再分析直线过定点的特性，通过讨论直线与顶函数两段图象的交点所在区间，解不等式确定k的取值范围． 解：（1）解：当时，，，因为，所以， （2）解：联立，解得， 即两直线交点为． 当 时，，故； 当时，，故； 当时，； 直线整理为，可知其过定点． ① 联立，得， 当时，，要求， 解不等式， 解得或． ② 联立，得， 当时，， 要求，解不等式，通分变形得， 解得． 要使直线与顶函数图象有2个交点，需直线与两段图象各有一个交点且不重合（时直线过交点，仅1个交点），取两个解集公共部分得． 即k的取值范围是． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（24-25八年级下·福建泉州·月考）已知关于x的函数是一次函数． （1）求m的值； （2）在该一次函数中，当时，求y的最大值． 【答案】（1）；（2）3 【分析】此题考查了一次函数的定义与性质． （1）根据一次函数的定义即可求解； （2）一次函数解析式为，利用增减性求得最大值即可． 解：（1）函数是一次函数， ，解得， ， ； （2）将代入得一次函数解析式为， ∴随的增大而增大， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为． 20．（本小题满分8分）（2025·浙江温州·中考真题）如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点． （1）求m的值和直线的函数表达式． （2）若点在线段上，点在直线上，求的最大值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）把点A的坐标代入直线解析式可求解m，然后设直线的函数解析式为，进而根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）由（1）及题意易得，，则有，然后根据一次函数的性质可进行求解． 解：（1）解：把点代入，得． 设直线的函数表达式为，把点，代入得 ，解得， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵点在线段上，点在直线上， ∴，， ∴． ∵， ∴的值随的增大而减小， ∴当时，的最大值为． 【点拨】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 21．（本小题满分10分）（25-26八年级下·海南·期中）某厂计划生产、两种产品共80件，已知产品每件可获利600元，产品每件可获利800元．设生产两种产品的获利总额为（元），生产产品件． （1）写出与之间的函数表达式； （2）若生产产品的件数不少于产品的件数的3倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案． 【答案】（1），，且为整数；（2）获利总额的最大值为元，生产A产品60件，B产品20件 【分析】（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意列出函数关系式即可； （2）根据题意可得出，根据一次函数的性质即可求解． 解：（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品件，依题意得：，且，为整数； （2）解：由题意得：， 解得：， ∵中， ∴随的增大而增大， ∴当时，获利总额最大，最大总额为：（元）， ∴（件）， ∴生产A产品60件，B产品20件，获利总额最大，最大总额为元． 22．（本小题满分10分）（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，直线与x轴、y轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． （1）求点C坐标； （2）求直线的函数表达式； （3）若一次函数与的边有交点，求b可取的最大值和最小值． 【答案】（1）点的坐标为；（2）；（3）可取的最大值为36，最小值为6 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法和三角形全等的判定方法． （1）过点作轴于点，证明，即可解答； （2）利用待定系数法即可解答； （3）将的顶点B和C，代入，解方程，即可求得b的最大值和最小值． 解：（1）解：如图，过点作轴于点， ，， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， 将点和点代入得， 解得， 所以直线的函数表达式为； （3）解：当一次函数与点相交时， ， 解得， 当一次函数与点相交时， ， 解得， 所以可取的最大值为36，最小值为6． 23．（本小题满分10分）（25-26八年级下·海南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线． （1）求直线的函数表达式； （2）若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值． 【答案】（1）；（2）存在点M的坐标为或，使得；（3）最大值为4，最小值为1 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，将点，代入，即可解答； （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论，即可解答； （3）由题意得图象的解析式为，分两种情况讨论即可解答． 解：（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：存在． 当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； （3）解：由题意得图象的解析式为， 当时，， 当时，；当时，， ∴； 当时，， 当时，；当时，， ∴； 综上，当，图象所表示的函数的最大值为4，最小值为1． 24．（本小题满分12分）（25-26八年级上·河南·期末）已知，如图1，点在一次函数：的图象上，该一次函数图象与x轴相交于点A． （1）请求出一次函数表达式； （2）过点P作直线轴，将点P左侧的函数图象沿着直线向上翻折，与x轴相交于点B，右侧图象不变，得到如图2的“”型函数图象，请求出的面积； （3）将（2）中得到的函数图象向右平移n个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移． （1）利用待定系数法即可解答； （2）过点作，交轴于点，证明为等腰三角形，即可求得点，点的坐标，即可求得的面积； （3）写出平移后图象的解析式，分两种情况，即图象对应的函数在“”型函数图象左边部分取到最大值或在“”型函数图象右边部分取到最大值，分别列方程即可解答． 解：（1）解：点在一次函数：的图象上， ， 解得， 则一次函数的表达式为； （2）解：如图，过点作，交轴于点，则， 根据折叠可得， ， 直线轴， ， ， ， ， ， 令，解得， ， ， ， 的面积为； （3）解：由（2）得， 设“”型函数图象的左边部分为， 把，代入可得 ， 解得， 所以“”型函数图象的左边部分为， 即“”型函数图象的表达式为， 函数图像向右平移n个单位长度后表达式为， 当图象对应的函数最大值与最小值都在“”型函数图象的右边时， 可得，不可能等于，不符合题意， 同理图象对应的函数最大值与最小值都在“”型函数图象的左边时，不符合题意， ∴图象对应的函数最小值为， ①当图象对应的函数在“”型函数图象左边部分取到最大值，即时， 可得， 解得； ②当图象对应的函数在“”型函数图象右边部分取到最大值时，即时， 可得， 解得； 综上，或． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $