专题 23.4 实际问题与一次函数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 23.4 实际问题与一次函数（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一次函数解决实际问题的一般解题步骤 1 【知识点二】单一线性关系模型（无分段的一次函数） 1 【题型 1】一次函数与分配方案问题 2 【题型 2】一次函数与行程问题 6 【知识点三】最值优化型函数模型（结合不等式的实际问题） 9 【题型 3】一次函数与营销利润问题 10 【知识点四】方案选择型函数模型（多方案成本或费用对比） 14 【题型 4】一次函数与方案选择问题 14 【知识点五】分段函数模型（阶梯式收费或计价） 18 【题型 5】一次函数与阶梯收费与计价问题 18 【题型 6】一次函数与其他问题 22 二.同步检测 25 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 25 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】一次函数解决实际问题的一般解题步骤 审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量；根据实际场景，建立一次函数模型（注意分段场景需分区间列解析式）；明确自变量的实际取值范围（如非负整数、区间限制）。 求解分析：若为求特定值：将已知条件代入解析式，解方程求解；若为方案选择：列两函数解析式，解方程求临界点，再分区间解不等式比较大小；若为最值优化：根据约束条件列不等式，确定自变量的整数取值，再利用一次函数的单调性求最值。 作答检验：结合实际意义检验结果是否合理（如人数、次数、费用不能为负数，需取整数）； 完整回答题目问题，明确写出最终结论。 【知识点二】单一线性关系模型（无分段的一次函数） 题型场景：匀速变化的问题（温度随时间变化、距离随时间变化、工资随业务量变化）、成正比例与一次函数关系的实际问题。 核心特征：自变量与因变量呈单一的一次函数关系，解析式为（），自变量取值范围为实际意义下的区间。比如：实验室温变化、外卖骑手工资方案二、剧院座位数与排数的关系。 【题型 1】一次函数与分配方案问题 【例题1】（根据人教版八下133页探究2改编）（24-25八年级下·福建·期中）某校计划租用汽车送名学生和名教师集体外出活动现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人每辆           租金单位：元每辆           (1)租用汽车总数最少______辆，最多______辆，若每辆汽车上至少要有名教师，那么租用汽车的总数是______辆； (2)在（1）的条件下，租车总金额在元的限额内，请求出最节省费用的租车方案． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·月考）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【变式2】（24-25七年级下·重庆·自主招生）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 【变式3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【题型 2】一次函数与行程问题 【例题2】（根据人教版八下138页拓广探索第8题改编）（23-24八年级下·山西大同·期末）小强骑自行车去郊游，下图表示他离家的距离（千米）与所用的时间（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回到家，根据这个图象，请你回答下列问题： (1)小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息时间多长． (3)除，外，问何时他离家？ 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 【变式3】（2026·浙江·模拟预测）周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)求书店离小钱家多少千米． (2)请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米． 【知识点三】最值优化型函数模型（结合不等式的实际问题） 题型场景：租车方案、进货方案、采购机器人方案，需在成本或费用限制下，求最大利润或最小成本。 核心步骤： （1）建立费用或利润关于自变量的一次函数； （2）根据题目约束条件（总人数、总费用、工作效率），确定自变量的取值范围（整数解）； （3）利用一次函数的增减性，在取值范围内求最值。 【题型 3】一次函数与营销利润问题 【例题3】（根据人教版八下137页复习巩固第9题改编）（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 每台价格（万元） 该公司计划购买这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件． （1）设购买甲种型号的机器人台，购买这10台机器人所花的费用为万元，求与之间的关系式； （2）利用一次函数的知识说明购买几台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少?最少费用是多少? 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【变式3】（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【知识点四】方案选择型函数模型（多方案成本或费用对比） 题型场景：不同收费套餐（游泳馆年卡）、不同收费标准（印刷厂制版费或印刷费）、不同工资方案（外卖骑手底薪+提成）等。 核心逻辑：为每个方案建立一次函数解析式，通过解方程（求两方案费用相等的临界点）、解不等式（比较不同区间的费用高低）或画函数图象，确定不同条件下的最优方案。 【题型 4】一次函数与方案选择问题 【例题4】（根据人教版八下136页复习巩固第7题改编）（24-25八年级下·广东江门·期末）互联网时代，外卖行业得到迅速发展，某知名外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案．方案一：每日底薪60元，每完成一单外卖业务再提成3元；方案二：每日底薪90元，外卖业务的前20单没有提成，从第21单开始，每完成一单提成6元．设骑手每日完成的外卖业务量为x单（x为正整数），方案一、方案二中骑手的日工资分别为、（单位：元）． (1)分别写出、关于x的函数关系式； (2)据统计，骑手小李平均每天完成的外卖业务量约为40单，若仅从日工资收入的角度考虑，小李选择哪种方案比较好？并说明理由． 【变式1】（2024·湖北武汉·三模）某移动通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（    ）    A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜 C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，甲、乙两家商场的购物金额（单位：元），（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示．张阿姨计划在其中一家商场购买原价为620元的商品，从省钱的角度建议选择_______商场（填“甲”或“乙”）． 【变式3】（23-24八年级下·广东江门·期末）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折． (1)以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式； (2)在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象； (3)春节期间若计划一次购物1000元，根据图象，判断选择哪家商场购物更省钱． 【知识点五】分段函数模型（阶梯式收费或计价） 题型场景：购买量超过一定数量后单价打折、阶梯电价或水费、出租车分段收费等。 核心特征：自变量在不同区间，对应不同的一次函数解析式。 关键步骤：（1）确定分段点；（2）对每个区间，分别列写一次函数解析式；（3）结合实际意义确定自变量的取值范围。 【题型 5】一次函数与阶梯收费与计价问题 【例题5】（根据人教版八下135页复习巩固第4题改编）为了鼓励居民节约用电，我省实行居民生活用电分季节按阶梯标准收费，其中冬夏季具体标准如下表： 每月用电量（度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度但不超过450度的部分 0.6 超过450度的部分 0.9 设小刚家在冬夏季时每月用电量为（度）（），每月电费为（元）． (1)若小刚家6月份，8月份分别用电265度和480度，应缴纳电费各多少元？ (2)求小刚家月电费（元）关于月用电量（度）的函数表达式． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【题型 6】一次函数与其他问题 【例题6】（根据人教版八下135页复习巩固第5题改编）（24-25七年级下·山东济南·期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 53 56 59 … (1)按照上表所示的规律，当排数为6时，此时座位数为 ． (2)写出座位数y与排数x之间的关系式： ； (3)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期中）小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2026·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 【变式3】（2026·上海闵行·二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． (1)求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； (2)为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 2．（25-26八年级上·河北保定·期末）在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度为 B．乙车的速度为 C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）超市某种散装糖果的价格为元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为，付款金额为元，则与的函数关系图象大致是（  ） A．B．C．D． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 5．（2026·广东·一模）“漏壶”是我国古代的一种计时仪器．在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏到圆柱容器中．实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据表格中的数据可知，与之间的函数表达式为（   ） 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器中液面的高度 5 8 11 14 17 A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 7．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）某游泳馆的年收费有A，B两种方式：方式A的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系式为；方式B的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系如图所示．若王叔叔估计了一年去游泳馆游泳的次数后，选择了方式A，则他估计的这一年去游泳馆游泳的次数最多为（    ） A．35次 B．29次 C．10次 D．7次 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）以下是某市自来水价格调整表（部分）：（单位：元/）则调整水价后某户居民月用水量x（）与应交水费y（元）的函数大致图象是（　　） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户0～30 第二阶梯：月用水量每户超过30 部分 A．B． C． D． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025八年级上·全国·专题练习）小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 10．（2025·四川绵阳·二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）某厂家对其生产的型汽车进行耗油量试验．试验中油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示，与行驶时间（单位：）的关系如表所示．根据这些信息，此A型汽车在试验中的平均速度为________． 行驶时间 0 油箱剩余油量 12．（21-22八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 13．（2017·山东青岛·一模）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 15．（2026九年级下·上海徐汇·专题练习）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元）是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是____________千克． 16．（22-23九年级下·广西玉林·月考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·北京延庆·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，某研究团队测得一定温度下声音的传播速度（）与温度（）部分对应数值如表：研究发现：是的一次函数． 温度（） 声音传播的速度（） (1)观察表中的数据，可以发现：声音传播的速度随温度的增高而______； (2)直接写出符合要求的函数表达式：________； (3)当温度为时，声音的传播速度是_______． 18．（2026·河北张家口·一模）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． (1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． (2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． (3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 19．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 20．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 23.4 实际问题与一次函数（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】一次函数解决实际问题的一般解题步骤 1 【知识点二】单一线性关系模型（无分段的一次函数） 1 【题型 1】一次函数与分配方案问题 2 【题型 2】一次函数与行程问题 6 【知识点三】最值优化型函数模型（结合不等式的实际问题） 9 【题型 3】一次函数与营销利润问题 10 【知识点四】方案选择型函数模型（多方案成本或费用对比） 14 【题型 4】一次函数与方案选择问题 14 【知识点五】分段函数模型（阶梯式收费或计价） 18 【题型 5】一次函数与阶梯收费与计价问题 18 【题型 6】一次函数与其他问题 22 二.同步检测 25 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 25 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 25 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】一次函数解决实际问题的一般解题步骤 审题建模：分析题目中的变量关系，确定自变量和因变量；根据实际场景，建立一次函数模型（注意分段场景需分区间列解析式）；明确自变量的实际取值范围（如非负整数、区间限制）。 求解分析：若为求特定值：将已知条件代入解析式，解方程求解；若为方案选择：列两函数解析式，解方程求临界点，再分区间解不等式比较大小；若为最值优化：根据约束条件列不等式，确定自变量的整数取值，再利用一次函数的单调性求最值。 作答检验：结合实际意义检验结果是否合理（如人数、次数、费用不能为负数，需取整数）； 完整回答题目问题，明确写出最终结论。 【知识点二】单一线性关系模型（无分段的一次函数） 题型场景：匀速变化的问题（温度随时间变化、距离随时间变化、工资随业务量变化）、成正比例与一次函数关系的实际问题。 核心特征：自变量与因变量呈单一的一次函数关系，解析式为（），自变量取值范围为实际意义下的区间。比如：实验室温变化、外卖骑手工资方案二、剧院座位数与排数的关系。 【题型 1】一次函数与分配方案问题 【例题1】（根据人教版八下133页探究2改编）（24-25八年级下·福建·期中）某校计划租用汽车送名学生和名教师集体外出活动现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下： 甲种客车 乙种客车 载客量单位：人每辆           租金单位：元每辆           (1)租用汽车总数最少______辆，最多______辆，若每辆汽车上至少要有名教师，那么租用汽车的总数是______辆； (2)在（1）的条件下，租车总金额在元的限额内，请求出最节省费用的租车方案． 【答案】(1)，， (2)需要租甲种车辆，租乙种车辆 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，找到不等关系和掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据“座位总数不少于”列式计算； （2）先根据“总费用两车费用的和”列出函数关系式，再根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，，； （2）解：设租甲种客车辆，总费用为元， 则， ， 解得：， ， 随的增大而增大， 当时，最小， 此时需要租甲种车辆，租乙种车辆． 【变式1】（24-25八年级下·广西南宁·月考）某学校计划租用甲、乙两种客车送240名师生（其中学生233名、教师7名）集体外出活动，要求每辆客车上至少要有1名教师．甲、乙两种客车的载客量和租金如下表： 甲种客车 乙种客车 载客量（单位：人/辆） 45 30 租金（单位：元/辆） 400 280 则最节省费用的租车方案是（    ） A．租甲种车4辆，租乙种车2辆 B．租甲种车5辆，租乙种车1辆 C．租甲种车2辆，租乙种车5辆 D．租甲种车3辆，租乙种车4辆 【答案】A 【分析】设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆，要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6，可得客车总数为6，，根据题意列出一次函数和一元一次不等式，找到x的取值范围，再结合一次函数的增减性即可求解． 【详解】解：设租用甲客车x辆，租车总费用y元，由每辆客车上至少要有1名教师可知客车总数不能大于7辆， 要保证240名师生有车坐，客车总数不能小于，客车总数不能小于6， ∴客车总数为6，， 由题意可得，， 整理可得， 由题意，， 解得， ∵， ∴， ∵中，，y随x的增大而增大， ∴x取最小值时，即，y有最小值， 即当租甲种车4辆，租乙种车2辆，费用最少， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数和一元一次不等式的实际应用，利用题中的不等关系找到x的取值范围是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级下·重庆·自主招生）北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给深圳12台，广州4台，每台车床的运费如图所示，单位为元，那么总运费最少是______元． 终点 起点 深圳 广州 北京 500元 900元 上海 700元 1000元 【答案】10400 【分析】本题主要考查一次函数的应用和不等式组的解法，先根据题意列出不等式组，求出解集，再设总费用为列出一次函数，根据函数的性质得到最小值即可求解； 【详解】解:设从北京运往深圳台，北京运往广州为台，上海运往深圳为台，上海运往广州为台，运费为元，则 解得：， ， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当取最大值时，有最小值， ∴当时，（元） 故答案为：10400 【变式3】（25-26九年级下·江苏盐城·期中）随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买3个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需3600元；购买5个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需6400元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共60个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A，B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元 【分析】本题考查二元一次方程组和不等式的应用，根据已知条件列出方程组和不等式是解题的关键． （1）设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个，根据题意列不等式，得到，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元，则，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号的帐篷的单价分别为，元， 根据题意得， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为元， 则， ， 随的增大而增大， 当时，最小，此时， ， 答：购买A型号的帐篷15个，B型号的帐篷45个时，购买成本最少，该方案所需费用39000元． 【题型 2】一次函数与行程问题 【例题2】（根据人教版八下138页拓广探索第8题改编）（23-24八年级下·山西大同·期末）小强骑自行车去郊游，下图表示他离家的距离（千米）与所用的时间（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，15点回到家，根据这个图象，请你回答下列问题： (1)小强到离家最远的地方需几小时？此时离家多远？ (2)何时开始第一次休息？休息时间多长． (3)除，外，问何时他离家？ 【答案】(1)小强到离家最远的地方需3小时，此时离家30千米 (2)10点30分开始第一次休息，休息时间为30分钟 (3)除，外，14点他离家 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、一次函数的应用，熟练掌握一次函数的应用是解题关键． （1）根据函数图象的纵轴的最大距离与横轴的时间分别解答即可； （2）根据休息时离家的距离不发生变化解答即可； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，再求出当时，的值即可得． 【详解】（1）解：由函数图象可知，小强12点到达离家最远的地方， 所以小强到离家最远的地方需3小时，此时离家30千米． （2）解：由函数图象可知，10点30分开始第一次休息，休息时间为30分钟． （3）解：由函数图象可知，， 设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，解得， 答：除，外，14点他离家． 【变式1】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，下列说法正确的有（   ） ①甲登山的速度是每分钟米； ②乙在A地时距地面的高度为米； ③乙登山分钟时追上甲； ④登山时间为分钟，分钟或分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为米． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的应用；根据速度等于高度除以时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度等于速度乘以时间即可算出乙在A地时距地面的高度b的值和t的值；找出甲登山全程中y关于x的函数关系式，令二者的差等于50即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：甲登山上升的速度是（米/分钟）， 乙提速后的速度为：（米/分钟）， ， ， 故①②正确； 设甲登山全程中，距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为， ∴，解得， ∴函数关系式为． 同理求得段对应的函数关系式为， 当时，解得：， ∴乙登山分钟时追上甲，故③错误； 当时，解得：； 当时，解得：； 当时，解得：． 故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．故④正确； 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 【答案】汽车行驶的速度为 【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，将代入函数的解析式，求得k的取值，从而得出k的意义是汽车行驶的速度． 【详解】解：根据函数图象可知：时，． 将，代入得：． 解得， ∴k的具体含义是汽车的行驶速度为， 故答案为：汽车的行驶速度为． 【变式3】（2026·浙江·模拟预测）周末，小钱从家里出发，乘车去书店买书，小钱离家的路程（千米）和所经过的时间（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)求书店离小钱家多少千米． (2)请求出小钱从书店回到家这一段时间内，关于之间的函数关系式，并计算第18分钟时，小钱离家还有多少千米． 【答案】(1)书店离小钱家2千米 (2)第18分钟时，小钱离家还有千米 【分析】（1）直接根据函数图象作答即可； （2）求出当时关于之间的函数关系式，再将代入计算即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，书店离小钱家2千米； （2）解：当时，设函数表达式是， 将点代入得： ， 解得， 所以， 当时，． 答：第18分钟时，小钱离家还有千米． 【知识点三】最值优化型函数模型（结合不等式的实际问题） 题型场景：租车方案、进货方案、采购机器人方案，需在成本或费用限制下，求最大利润或最小成本。 核心步骤： （1）建立费用或利润关于自变量的一次函数； （2）根据题目约束条件（总人数、总费用、工作效率），确定自变量的取值范围（整数解）； （3）利用一次函数的增减性，在取值范围内求最值。 【题型 3】一次函数与营销利润问题 【例题3】（根据人教版八下137页复习巩固第9题改编）（24-25八年级下·内蒙古通辽·期末）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 每台价格（万元） 该公司计划购买这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件． （1）设购买甲种型号的机器人台，购买这10台机器人所花的费用为万元，求与之间的关系式； （2）利用一次函数的知识说明购买几台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少?最少费用是多少? 【答案】（1）；（2）购买台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少，最少费用为万元 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】（1）设购买甲种型号的机器人台，购买这10台机器人所花的费用为万元，根据图表可得甲型号机器人每台5万元，乙型号机器人每台3万元，即可列出关于与之间的关系式； （2）设购买甲种型号的机器人台，根据“该公司计划购买这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件．”可列出关于 的不等式，可求出 的取值范围，然后由函数的增减性，即可求解． 【详解】解：（1）与之间的函数关系式为： ； （2）由题可得：； 解得； ，． 随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， 购买台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少，最少费用为万元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用以及其性质，一元一次不等式的应用，明确题意准确得到数量关系是解题的关键． 【变式1】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 【变式2】（24-25八年级下·福建厦门·期中）某市在城中村改造中，需要种植、两种不同的树苗共棵，经招标，承包商以万元的报价中标承包了这项工程，根据调查及相关资料表明，、两种树苗的购买价及成活率如表： 品种 购买价（元/棵） 成活率 政府要求栽植这批树苗的成活率不低于．则承包商购买种树苗_____棵时才能获得最大利润，最大利润是_____元． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式的应用，熟练根据题意正确列出式子是解题的关键．先根据题意和表格中的数据可以得到与的函数关系式，再根据题意可以的得到相应的不等式，从而可以解答本题． 【详解】解：设承包商购买种树苗棵，承包商获得的利润为元， 根据题意可得， 即与之间的函数关系式是； ∵政府要求栽植这批树苗的成活率不低于， ∴， 解得， ∵，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，此时， 即承包商购买种树苗棵，能获得最大利润，最大利润是元， 故答案为：；． 【变式3】（2026·广西·一模）某非遗文创工坊生产两种壮乡特色手工艺品：壮锦挂件与铜鼓摆件．已知生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元；生产个壮锦挂件和个铜鼓摆件共需成本元． (1)每个壮锦挂件、铜鼓摆件的生产成本各是多少元？ (2)该工坊计划一批订单共生产这两种手工艺品个，要求铜鼓摆件的数量不超过壮锦挂件数量的倍．设生产壮锦挂件个，总利润为元．已知每个壮锦挂件利润为元，每个铜鼓摆件利润为元． 求与的函数关系式； 如何安排生产可获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； (2)；生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【分析】（）设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元，根据题意得，然后解方程组即可； （）根据题意列出函数关系式即可； 由题意得，解得，然后根据函数性质可得随的增大而减小，所以当时，最大，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：设每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元， 根据题意，得， 解得， 答：每个壮锦挂件成本为元，每个铜鼓摆件成本为元； （2）解：设生产壮锦挂件个，则生产铜鼓摆件个， 根据题意，得， ∴， 即与的函数关系式为； 根据题意，得， 解得， ∵在中，， ∴随的增大而减小， ∵为整数， ∴当时，最大，为， 此时铜鼓摆件：个， 即生产壮锦挂件个，铜鼓摆件个时利润最大，最大利润为元． 【知识点四】方案选择型函数模型（多方案成本或费用对比） 题型场景：不同收费套餐（游泳馆年卡）、不同收费标准（印刷厂制版费或印刷费）、不同工资方案（外卖骑手底薪+提成）等。 核心逻辑：为每个方案建立一次函数解析式，通过解方程（求两方案费用相等的临界点）、解不等式（比较不同区间的费用高低）或画函数图象，确定不同条件下的最优方案。 【题型 4】一次函数与方案选择问题 【例题4】（根据人教版八下136页复习巩固第7题改编）（24-25八年级下·广东江门·期末）互联网时代，外卖行业得到迅速发展，某知名外卖平台招聘外卖骑手，并提供了如下两种日工资方案．方案一：每日底薪60元，每完成一单外卖业务再提成3元；方案二：每日底薪90元，外卖业务的前20单没有提成，从第21单开始，每完成一单提成6元．设骑手每日完成的外卖业务量为x单（x为正整数），方案一、方案二中骑手的日工资分别为、（单位：元）． (1)分别写出、关于x的函数关系式； (2)据统计，骑手小李平均每天完成的外卖业务量约为40单，若仅从日工资收入的角度考虑，小李选择哪种方案比较好？并说明理由． 【答案】(1)，； (2)选择方案二，理由见解析． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】（1）根据题意，可以写出关于x的函数解析式； （2）当时，分别计算两种方案下的日工资，从而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 当且x为整数时，， 当时且x为整数时，； 即； （2）当时，则（元）． （元）， ∵， ∴骑手小李平均每天完成的外卖业务量约为40单，仅从日工资收入的角度考虑，小李选择方案二比较好． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【变式1】（2024·湖北武汉·三模）某移动通信公司提供了A，B两种方案的通信费用y（元）与通话时间x（分钟）之间的关系，如图所示，则以下说法错误的是（    ）    A．若通话时间少于120分钟，则A方案比B方案便宜20元 B．若通话时间超过200分钟，则B方案比A方案便宜 C．若通信费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多 D．若两种方案通信费用相差10元，则通话时间是145分钟或185分钟 【答案】D 【分析】当B方案为50元时，A方案如果是40元或者60元，才能使两种方案通讯费用相差10元，先求两种方案的解析式，再求对应的时间． 【详解】解：A方案的函数解析式为， B方案的解析式为， 当B方案为50元，A方案是40元或者60元时，两种方案通讯费用相差10元， 将或60代入，得分或195分，故选项D不符合题意； 观察图象可得A、B、C选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的应用，注意两种付费方式都是分段函数，根据所给函数上的点得到两个函数的解析式，再结合图象判断是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·全国·课后作业）甲、乙两家商场平时以同样的价格出售相同的商品．端午节期间两家商场都让利酬宾，甲、乙两家商场的购物金额（单位：元），（单位：元）与商品原价x（单位：元）之间的关系如图所示．张阿姨计划在其中一家商场购买原价为620元的商品，从省钱的角度建议选择_______商场（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，正确求出函数解析式是解题的关键． 利用待定系数法即可求出，关于的函数关系式，将代入计算即可作出判断． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， 所以， 当时，设， 把代入，得， 解得， 所以； 当时，设， 把，代入，得， 解得． 所以， 时，，， ， ∴从省钱的角度建议选择乙商场， 故答案为：乙. 【变式3】（23-24八年级下·广东江门·期末）甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品，春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过300元后的价格部分打7折． (1)以x（单位：元）表示商品原价，y（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式； (2)在同一直角坐标系中画出（1）中函数的图象； (3)春节期间若计划一次购物1000元，根据图象，判断选择哪家商场购物更省钱． 【答案】(1)甲商场: ，乙商场 (2)甲解析 (3)乙商场购物更省钱 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数的应用， 一次函数图象， 读懂题目信息，理解两家商场的让利方法是解题的关键. （1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可； （2）利用两点法作出函数图象即可； （3）根据函数图象作出判断即可. 【详解】（1）甲商场: 乙商场：当时， 当时，， ∴； （2）如图所示; （3）当时，根据图象可得，， ∴乙商场购物更省钱. 【知识点五】分段函数模型（阶梯式收费或计价） 题型场景：购买量超过一定数量后单价打折、阶梯电价或水费、出租车分段收费等。 核心特征：自变量在不同区间，对应不同的一次函数解析式。 关键步骤：（1）确定分段点；（2）对每个区间，分别列写一次函数解析式；（3）结合实际意义确定自变量的取值范围。 【题型 5】一次函数与阶梯收费与计价问题 【例题5】（根据人教版八下135页复习巩固第4题改编）为了鼓励居民节约用电，我省实行居民生活用电分季节按阶梯标准收费，其中冬夏季具体标准如下表： 每月用电量（度） 单价（元/度） 不超过200度的部分 0.5 超过200度但不超过450度的部分 0.6 超过450度的部分 0.9 设小刚家在冬夏季时每月用电量为（度）（），每月电费为（元）． (1)若小刚家6月份，8月份分别用电265度和480度，应缴纳电费各多少元？ (2)求小刚家月电费（元）关于月用电量（度）的函数表达式． 【答案】(1)小刚家月份应缴纳电费为139元；小刚家月份应缴纳电费为277元 (2)与的函数表达式可以表示为 【知识点】求自变量的值或函数值、函数解析式 【分析】（1）根据用电量所处的阶梯分段，按阶梯标准计算； （2）确定各阶梯范围的对应的解析式，汇总即可． 【详解】（1） 小刚家月份的电费为：（元） 又 小刚家月份的电费为：（元） （2）当时，； 当时，； 当时，； 与的函数表达式可以表示为： ． 【点睛】本题考查列函数解析式，注意结合自变量的取值范围列出相应的解析式． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）以下是我县自来水价格调整表（部分）（单位：元），则调整水价后某户居民月用水量与应交水费（元）的函数大致图象是（    ） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户 第二阶梯：月用水量每户超过部分 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据阶梯水价标准，分段计算用水量立方米对应的水费． 本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵用水量不确定， ∴需分段计算： 第一阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 第二阶梯水费，当x满足范围是：（元）， 都是第一阶段函数是正比例函数，第二阶段函数是一次函数，且比正比例函数的图象更陡些． 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·陕西西安·期中）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．下表是家庭人口不超过4人时户年用气量及分档计费标准．当时，然气费（单位：元）与之间的关系式是______． 计费档 户年用气量 单价/（元） 第一档 2.73 第二档 3.28 第三档 3.82 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的应用．根据分段计费标准，当时，天然气费包括第一档全额费用、第二档全额费用和第三档的费用，据此求解即可． 【详解】第一档费用为元， 第二档费用为元， 前两档总费用为元． 第三档费用为元， 因此． 故答案为． 【变式3】（2026·陕西西安·模拟预测）某公司招聘外卖送餐员进行送餐服务，送餐员的月工资由底薪1500元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）构成，外卖送单补贴的具体方案如下： 外卖送单数量 补贴（元／单） 每月不超过500单 3.5 超过500单但不超过900单的部分 5 超过900单的部分 8 (1)若某外卖小哥一个月送餐单（），所得工资元，求与的函数关系式． (2)若某外卖小哥2月份的工资总额为5650元，那么他2月份外卖送餐多少单？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)他2月份外卖送餐950单 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式，注意分类讨论． （1）分两种情况，列出函数关系式即可； （2）先确定他2月份送餐单数超过900单，再利用（1）中函数解析式求解． 【详解】（1）解：当时， ； 当时， ； 综上，当时，；当时，． （2）解：（元，（元； 元元 ； ∴当时，得 ， 解得， 他2月份外卖送餐950单． 【题型 6】一次函数与其他问题 【例题6】（根据人教版八下135页复习巩固第5题改编）（24-25七年级下·山东济南·期末）某剧院的观众席的座位为扇形，且按下列方式设置： 排数（x） 1 2 3 4 … 座位数（y） 50 53 56 59 … (1)按照上表所示的规律，当排数为6时，此时座位数为 ． (2)写出座位数y与排数x之间的关系式： ； (3)按照上表所示的规律，某一排可能有90个座位吗？说说你的理由． 【答案】(1)65 (2)y＝3x+47 (3)不可能，理由见解析 【分析】（1）由表格可每增加一排，座位增加3个，由此可求解； （2）由（1）可得出座位数y与排数x之间的关系； （3）当y=90代入（2）进行判断即可． 【详解】（1）解：由表格可得：每增加一排，座位增加3个，则有当排数为6时，此时座位数为（个）； 故答案为65 （2）解：由（1）可得：y＝50+3（x﹣1），即y＝3x+47； 故答案为y＝3x+47； （3）（3）不可能，理由如下： 当y＝90时，3x+47＝90，解得 因为不是正整数， 所以不存在一排有90个座位． 【点睛】本题主要考查列函数关系式，函数自变量的值与函数值的含义，审清题意、列出座位数y与排数x之间的关系式是解答本题的关键． 【变式1】（25-26八年级下·重庆·期中）小明点燃一支长为25厘米的蜡烛，点燃后每小时燃烧5厘米，燃烧时剩下的高度（厘米）与燃烧时间（时）的函数关系的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出函数关系式，结合实际意义确定自变量的取值范围，进而判断图象形状及位置． 【详解】解：蜡烛原长25厘米，每小时燃烧5厘米， 剩下的高度与燃烧时间的函数关系式为， 且 ，解得， 自变量的取值范围是， 该函数图象是一条线段，端点分别为和， 观察选项，只有D选项符合． 【变式2】（2026·浙江宁波·模拟预测）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭尺随箭壶中的水位匀速上浮，通过读取箭尺读数可指示时间（如图），观察、记录数据如下表（未记录完整）： 箭尺读数 1 6 21 31 指示时间 ？ 则箭尺读数为时，指示时间应为______． 【答案】 【分析】以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为，根据“箭尺随箭壶中的水位匀速上浮”并结合表格，列出函数关系式，进而进行计算即可求解． 【详解】解：由表格可得，至，读数从变成了； 至，读数从变成了， ∴箭尺每小时匀速上升， 以为时间起点，设经过x小时后，箭尺读数为， ∴ 设当箭尺读数为时， 解得． ∴从经过8小时后，指示时间为． 【变式3】（2026·上海闵行·二模）小闵在探究纸杯叠放的高度规律时，得到了一套遗失了部分实验数据的图纸．图①是一张缺失了部分信息的函数图纸，实验数据表示的点，，都落在了线段上；图②是同一次实验的另一张缺失了部分图像的示意图，图中显示了6个相同规格的纸杯叠放后增加的高度． (1)求叠放在一起的纸杯总高度（厘米）关于纸杯数量（个）的函数解析式（不写定义域）； (2)为了保持纸杯清洁，在最上端的纸杯加装一个盖子以后，高度增加了2厘米，此时总高度为46.8厘米，求纸杯的数量． 【答案】(1)； (2)纸杯的数量为30个． 【详解】（1）解：我们可以先分析图②：6个纸杯叠放增加的高度是，所以每增加1个纸杯，高度增加， 由图①知，当时，， ∴函数解析式为； （2）解：由题意得， 解得， 答：纸杯的数量为30个． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知某租车公司有A，B两种租车方案：A方案为先支付500元，再按每千米元收费；B方案直接按每千米1元收费，已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是（　　） A．600千米 B．700千米 C．800千米 D．900千米 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设小明行驶里程是x千米，需要花费y元，分别列出A方案和B方案的费用，分别求出选择A方案和B方案行驶的里程，进而可判断出最优方案． 【详解】解：设小明行驶里程是x千米，需要花费y元， A方案：一共需要花费：， B方案∶ 一共需要花费：， 若选择A方案，，解得：， 若选择B方案，得， 由于，则选择B方案是最优租车方案，行驶里程为800千米， 故选：C． 2．（25-26八年级上·河北保定·期末）在一条笔直的公路上，A，B两地相距，甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地，甲比乙先出发．设甲、乙两车距A地的路程为y千米，甲车行驶的时间为x小时，y与x之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲车的速度为 B．乙车的速度为 C． D．当乙车达到A地时，甲车离A地的距离为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，求一次函数的解析式及一次函数的应用，根据图象计算出甲车和乙车的速度，即可判断A、B选项，求出两车的路程y与时间x之间的函数关系式，即可判断C、D选项． 【详解】解：由图象可知，甲车的速度为，乙车的速度为， ∴甲车的速度为，乙车的速度为，故A、B项说法正确，不符合题意； 设甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入， 得，解得， ∴甲车的路程y与时间x之间的函数关系式为， 设乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为，代入，， ，解得， ∴乙车的路程y与时间x之间的函数关系式为， 当时，，解得，即，故C项说法正确，不符合题意； 当时，，故D项说法错误，符合题意， 故选：D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）超市某种散装糖果的价格为元，如果一次购买以上的糖果，超过部分的糖果价格打7折．设购买糖果的质量为，付款金额为元，则与的函数关系图象大致是（  ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】分两种情况推导函数式：当购买质量不超过时，是正比例函数；当超过时，是斜率更小的一次函数，由此对应图象的两段不同倾斜程度． 【详解】解：①当时，糖果单价为元/， ∴，这是过原点的正比例函数，当时，，即该段图象是从原点到点的直线，倾斜程度较大． ②当时，超过的部分单价为元/， ∴， 这是一次函数，该段图象的倾斜程度比前一段更平缓． 故选：C． 4．（25-26八年级下·广西南宁·期中）一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：当时，，当时，，则设挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为， ∴，解得：， ∴挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为． 5．（2026·广东·一模）“漏壶”是我国古代的一种计时仪器．在综合实践活动中，某小组同学根据漏壶的原理制作了如图所示的装置，它由一个圆锥容器和一个圆柱容器组成，中间连通，液体可以从圆锥容器匀速漏到圆柱容器中．实验开始时圆柱容器中已有部分液体，则根据表格中的数据可知，与之间的函数表达式为（   ） 时间 1 2 3 4 5 圆柱容器中液面的高度 5 8 11 14 17 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的应用，观察表格数据可知， 随 的变化是均匀的，每增加 1 小时，增加 3cm，故设 与 满足一次函数关系 ，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由表格数据可知，时间 每增加 1 小时，圆柱容器中液面的高度 增加 ， 设 与 之间的函数表达式为， 将、和、代入得： ， 解得， 因此，与之间的函数表达式为． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【分析】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 7．（25-26八年级下·河北秦皇岛·月考）某游泳馆的年收费有A，B两种方式：方式A的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系式为；方式B的年收费总额y（元）与游泳次数x之间的关系如图所示．若王叔叔估计了一年去游泳馆游泳的次数后，选择了方式A，则他估计的这一年去游泳馆游泳的次数最多为（    ） A．35次 B．29次 C．10次 D．7次 【答案】B 【分析】先根据图象求出方式B的函数解析式，再根据王叔叔选择了方式A，列出不等式，解不等式即可求出的取值范围，进而确定最大整数解． 【详解】解：由图象可知，方式B的函数解析式为，直线经过点， ， 解得：， 方式B的函数解析式为， 王叔叔选择了方式A， 方式A的费用小于方式B的费用，即， 解得， 为游泳次数，应为整数， 的最大值为29 ． 8．（25-26八年级上·安徽六安·期中）以下是某市自来水价格调整表（部分）：（单位：元/）则调整水价后某户居民月用水量x（）与应交水费y（元）的函数大致图象是（　　） 用水类别 现行水价 拟调整水价 第一阶梯：月用水量每户0～30 第二阶梯：月用水量每户超过30 部分 A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，解题关键是理解题意，正确列出函数解析式．本题列出解析式后即可求解． 【详解】解：当用户用水量位于第一阶梯时，， 当用户用水量位于第二阶梯时，， ∴两段图象都是一次函数的图象，排除选项A与选项C， ∵， ∴第二段图象比第一段上升更快， 故选：B ． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025八年级上·全国·专题练习）小李想在某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤（），付款金额为y元，则y与x之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】根据题意，付款金额由两部分组成，前15斤按原价计算，超过部分打8折，据此列出函数关系式即可；本题考查了列函数关系式，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意，前15斤的费用为（元）， 超过15斤部分的费用为（元）， 因此； 故答案为：． 10．（2025·四川绵阳·二模）炎炎夏日，清凉爽口的西瓜是最受欢迎的水果之一．某大型超市每天从当地的西瓜种植基地购进甲、乙两种西瓜共600千克．根据以往的销售经验，甲种西瓜的进货量不低于乙种西瓜的进货量，但不能超过乙种西瓜进货量的3倍．若甲种西瓜每千克获利1.2元，乙种西瓜每千克获利1.4元，则该超市每天能获得的最大利润是_______元． 【答案】780 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式组的应用， 设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，再根据不等式关系得，进而得出取值范围，然后根据利润得出一次函数，最后结合自变量取值范围讨论最大值即可． 【详解】解：设购进甲种西瓜x千克，可知乙种西瓜为千克，每天获得利润为y元，根据题意，得 ， 解得，且． ∵， ∴函数值y随着x的增大而减小， 即当时，（元）． 所以该超市每天获得的最大利润是780元． 故答案为：780． 11．（25-26八年级上·全国·课后作业）某厂家对其生产的型汽车进行耗油量试验．试验中油箱中的剩余油量（单位：）与行驶路程（单位：）的关系如图所示，与行驶时间（单位：）的关系如表所示．根据这些信息，此A型汽车在试验中的平均速度为________． 行驶时间 0 油箱剩余油量 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据表格内数据求出剩余油量与行驶时间之间的解析式即可知道剩余油量为时所经过的时间，此时可求得平均速度． 【详解】解：设剩余油量与行驶时间的解析式为， 将;代入得 ， 解得， 与的解析式为：， 当时， ， 解得； 根据剩余油量与行驶路程的函数图像可知， 当剩余油量为时，行驶的路程为500千米； 故汽车的速度为 ： 故答案为： ． 12．（21-22八年级·全国·假期作业）某通讯公司推出了①②两种收费方式，收费y1，y2(元)与通讯时间x(分钟)之间的函数关系如图所示，若使用资费①更加划算，通讯时间x(分钟)的取值范围是_______． 【答案】x＞300 【分析】根据题意首先将已知点的坐标代入一次函数的解析式求得k值，然后确定两函数图象的交点坐标，从而确定x的取值范围. 【详解】解：由题设可得不等式kx＋30＜x. ∵y1＝kx＋30经过点(500，80)， ∴k＝， ∴y1＝x＋30，y2＝x，解得：x＝300，y＝60. ∴两直线的交点坐标为(300，60)， ∴当x＞300时不等式kx＋30＜x中x成立， 故答案为：x＞300. 【点睛】本题考查的是用一次函数解决实际问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值． 13．（2017·山东青岛·一模）某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售单价x（元/件）与日销售量y（件）之间的关系如下表． x（元件） 15 18 20 22 … y（件） 250 220 200 180 … 按照这样的规律可得，日销售利润w（元）与销售单价x（元/件）之间的函数关系式是________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的求解，理解题意是解决本题的关键． 根据表中数据确定销售量y与销售单价x成一次函数关系，再利用利润公式建立w与x的二次函数关系即可． 【详解】解：由表可知，销售量y与销售单价x满足一次函数关系，设， 将点和代入， 得， 解得， ∴， ∴日销售利润销售收入总成本 ． 故答案为：． 14．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）为节约用水，某城市对居民用水制定以下收费标准：一户的水费由使用费和污水处理费组成，每月用水量不超过时，使用费为每立方米元；超过时，超过部分的使用费为每立方米元；污水处理费为每立方米元．设一户每月用水量为，应缴水费元，则与之间的函数表达式为___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，理解题意正确列出函数表达式是解题的关键； 水费由使用费和污水处理费组成，污水处理费每立方米1.2元；使用费分段计费：用水量不超过16立方米时，每立方米1.3元，超过部分每立方米2.0元，因此分段写出函数表达式即可． 【详解】解：①当时，使用费为元，污水处理费为元， 故； ②当时，使用费为元，污水处理费为元， 故， ∴与之间的函数表达式为， 故答案为：． 15．（2026九年级下·上海徐汇·专题练习）某长途汽车客运公司规定旅客可免费随身携带一定质量的行李，如果超过规定的质量，则需购买行李票．行李费用（元）是行李质量（千克）的一次函数，其图象如图所示．旅客最多可免费携带行李的质量是____________千克． 【答案】 【分析】由图，已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李，即，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少． 【详解】解：设一次函数， 当时，，当时，， ∴, 解得：, ∴函数关系式为； 当时，， 所以， 故旅客最多可免费携带千克行李． 16．（22-23九年级下·广西玉林·月考）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）之间的关系如图所示，则乙到终点时，甲距终点的距离是______米． 【答案】 175 【分析】先求出甲的速度，再设乙的速度是m米/秒，根据路程相等列出方程，求出乙的速度，进而得出乙到终点时所用的时间，然后求出此时甲走的路程，最后求出甲距终点的距离． 【详解】解：根据题意，得甲的速度是（米/秒），设乙的速度是m米/秒，则 ， 解得米/秒， 则乙的速度是3米/秒， 乙到终点时所用的时间为（秒）， 此时甲走的路程是（米）， 甲距终点的距离是（米）． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·北京延庆·期中）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，某研究团队测得一定温度下声音的传播速度（）与温度（）部分对应数值如表：研究发现：是的一次函数． 温度（） 声音传播的速度（） (1)观察表中的数据，可以发现：声音传播的速度随温度的增高而______； (2)直接写出符合要求的函数表达式：________； (3)当温度为时，声音的传播速度是_______． 【答案】(1)增大 (2) (3) 【分析】（1）观察表格中温度和传播速度的变化趋势，即可得到结论； （2）利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标，求解得到一次函数的解析式； （3）将给定温度代入解析式，计算得到对应传播速度即可． 【详解】（1）解：观察表格数据可得，温度升高时，声音传播速度随之变大， 因此声音传播的速度随温度的增高而增大． （2）解：设该一次函数为， 从表格中选取两组对应值：当时， ；当时，， 将两组值代入函数式得 ， 解得 ， 因此符合要求的函数表达式为． （3）解：将代入 ， 得 ， 因此声音的传播速度是． 18．（2026·河北张家口·一模）保定高新区某新能源材料公司生产锂电池电解液，需将甲、乙两种原料液按一定比例混合配制．已知每毫升甲、乙两种原料液的生产成本之比为．若使用20毫升甲原料液和30毫升乙原料液进行配制，总成本为360元． (1)设每毫升甲原料液的成本为a元，用含a的代数式表示：①每毫升乙原料液的成本为________；②取用x毫升甲原料液、y毫升乙原料液时的总生产成本为________． (2)求甲、乙两种原料液每毫升的成本各是多少元． (3)按照生产标准配制电解液150毫升时，要求甲原料液用量不少于40毫升，且乙原料液用量y满足．设甲原料液用量为x毫升，总成本为w元． ①求w与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； ②当甲、乙两种原料液各取用多少毫升时，总成本最低？最低总成本是多少元？ 【答案】(1)①元；②元 (2)甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：8元毫升 (3)①；②甲取75毫升，乙取毫升时，总成本最低，为元 【分析】（1）根据甲乙每毫升成本比为，甲成本为元毫升，由比例得乙成本为元毫升；取毫升甲、毫升乙，即可得到总成本； （2）根据20毫升甲、30毫升乙总成本360元，列方程，进行求解即可； （3）①根据题意得，甲用量毫升，乙用量毫升，则可得到总成本为，结合、，求出范围即可；②先判断出随增大而减小，再进行求解即可． 【详解】（1）解：①∵甲、乙每毫升成本比为，甲为元毫升， ∴乙的成本为元毫升； ②∵取用毫升甲、毫升乙， ∴总成本为； （2）解：由题意得， 解得， ∴甲原料液成本：元毫升；乙原料液成本：元毫升； （3）解：①∵甲用量为毫升， ∴乙用量毫升， ∴总成本 ， ∵甲用量不少于40毫升，即；，即， ∴ 解得， 解得， ∴的取值范围：，函数关系式为； ②∵在函数中，， ∴随的增大而减小， ∵要使总成本最低， ∴取的最大值， 此时，甲用量：75毫升；乙用量：毫升， 最低总成本：元． 【点睛】本题核心是比例转化、一次函数最值与不等式约束，先通过比例表示乙成本，列方程求单价，再结合用量约束求函数定义域，利用一次函数单调性求最低成本． 19．（2026·天津西青·一模）一列快车和一列慢车同时从甲地出发，匀速驶向乙地，快车到达乙地后停留小时，沿原路以原速返回甲地．已知慢车的速度为，快车到甲地的距离（单位：）与行驶时间（单位：）的函数图象（折线）如下图所示． (1)填空：图中的值是______，甲乙两地相距______，快车的速度为______，出发______快车返回甲地； (2)直接写出折线（包括端点）对应的函数解析式； (3)在慢车从甲地到乙地行驶的过程中，对于同一个的值，快车到甲地的距离为，慢车到甲地的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】(1)，，， (2) (3) 【分析】（）根据函数图象解答即可求解； （）根据函数图象分段解答即可求解； （）求出快车从乙地返回甲地与慢车相遇的时间，进而即可求解； 【详解】（1）解：∵快车到达乙地后停留小时， ∴， 由函数图象可知，甲乙两地相距， ∵快车个小时从甲地到达乙地， ∴快车的速度为 ， ∵快车沿原路以原速返回甲地， ∴出发 快车返回甲地； （2）解：当时，； 当时，； 当时， ； 综上，； （3）解：由题意可得， 当时，可知快车从乙地返回甲地与慢车相遇， ∴ ， 解得， ∴当时，的取值范围为． 20．（2026·上海静安·二模）本市某街道办了一所老年食堂，该街道老人花1000元可买到一张面值1080元的就餐卡，其中80元为政府出资补贴，凭卡就餐时，再按标价的九折在卡中扣款．张爷爷现持有一张面值1080元的就餐卡，如果从4月1日开始，在该月30天中，他每天午餐、晚餐都到老年食堂就餐．假设他的每顿餐费标价相同，均为x元，按九折付款后，到四月30日结束时，卡内余额为y元． (1)求y关于x的函数解析式，并写出定义域． (2)如果张爷爷到月底结束时，卡内还有108元结余，那么他该月每餐标价是多少元？ (3)如果张爷爷将卡内1080元全部用完，此时算上政府补贴及餐费打折，他实际共获得多少元优惠？ 【答案】(1)，定义域为 (2)18元 (3)200元 【分析】（1）先求出张爷爷月份共就餐的顿数，再求出总扣款的钱数，即可得出y关于x的函数解析式，根据，且，即可求出定义域； （2）求出当时的值即可得出结果； （3）先消费的总餐费标价，再结合总优惠包括政府补贴和餐费九折优惠，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得，张爷爷月份共就餐（顿）， 每顿实际扣款为元，则总扣款为（元）， ∴y关于x的函数解析式为， ∵，且， ∴； （2）解：当时，， 解得：， 故他该月每餐标价是元； （3）解：设消费的总餐费标价为元， 由题意可得：， ∴， 故餐费九折优惠的金额为：（元）， ∵政府补贴80元， 故实际共获得优惠金额为（元）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $