25.2.1配方法-解一元二次方程（分层作业，10大知识点）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 本练习围绕“配方法”构建三级分层训练，从基础技能到综合应用梯度进阶，通过多样化题型强化运算能力与模型意识，适配新授课知识巩固与思维发展需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础技能层|直接开平方法、二次项系数为1的常规配方|以选择、填空、基础解方程为主，强化概念理解与基本运算| |技能深化层|二次项系数不为1的配方、含参问题、补全常数项|通过变式训练提升符号意识，如含参配方变形、构造完全平方式| |综合应用层|代数式最值、几何与实际问题|结合矩形面积、三角形形状判断等情境，发展应用意识与推理能力|

25.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·重庆开州·期末）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，首先把方程移项，可得：，两边直接开平方即可求解. 【详解】解：， 移项得：， 两边直接开平方得：， 解得：, ． 故选：D． 2．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）求下列各式中的的值： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解； （2）先将原式化简为，再等号两边开平方，即可求解． 【详解】（1）解：， 化简得， 解得． （2）解：， 化简得， 开方得， 解得． 3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)，； (2)，． 【详解】（1）解：， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴或， ∴，． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接开平方解一元二次方程； （2）直接开平方解一元二次方程． 【详解】（1）解： ∴； （2）解： ∴． 知识点二 二次项系数为1，常规配方法解方程 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，按照配方法的步骤，先移项，再给方程两边加一次项系数一半的平方，将左边配方为完全平方式即可得到答案． 【详解】解：对原方程移项得， 方程两边同时加得， 整理得， ∴变形正确的是选项B． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将常数项移到等号右侧，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式，即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方 得， 整理得． 3．（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 解得，． 4．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)， 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ， 解得：，． 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）（2）把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （3）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可； （4）先去括号，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，再把方程两边同时开平方并解方程即可． 【详解】（1）解： ，即， ， 解得，； （2）解： ，即， ， 解得，； （3）解： ， ，， ， 解得，； （4）解： ， ，， ， 解得，． 知识点三 二次项系数不为1，先化1再配方 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次项系数化为1，再根据完全平方公式进行配方，计算后即可得到正确结果． 【详解】解：∵， ∴ ， ， ， 整理得． 2．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 【答案】 ， 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，. 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）用配方法解方程． 【答案】， 【分析】先将二次项系数化成，然后两边同时加上变形后，开方即可求出解． 【详解】解：方程两边同时除以，得， 方程两边同时加上，得， ， ， ，． 4．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）用配方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】用配方法解一元二次方程的一般步骤：①化二次项系数为1，当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数；②加上一次项系数一半的平方，使其成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方；③配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程． 【详解】（1）解： ∴， ∴，； （2）解： ∴， ∴，． 知识点一 去括号整理后再配方解方程 1．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 【答案】， 【分析】方程整理后，运用配方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解方程：（用配方法）； (1) (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据配方法的步骤解方程即可； （2）先将方程左边展开，再根据配方法的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： ，； （2）解： ，． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）化简后采用配方法求解即可； （2）化简后采用配方法求解即可； 【详解】（1）解： ， （2）解： 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将二次项系数化为，再通过配方将方程转化为完全平方式，最后用直接开平方法求解； （2）先展开并整理方程为一般形式，再移项、配方，转化为完全平方式后求解． 【详解】（1）解：移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 开平方，得， 解得，． （2）解：原方程化为一般形式，得， 移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 开平方，得， 解得，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是：先将方程整理为二次项系数为的形式，再通过配方构造完全平方式，从而转化为可直接开平方的形式求解． 知识点二 配方法解决含参问题 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 【答案】 【分析】将原方程的常数项移到等号右侧，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将原方程整理为的形式，确定与的值后，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ， ∴，， ∴． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）将方程配方成的形式，则______． 【答案】30 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方将原方程转化为的形式，确定与的值后，计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 整理得， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 【答案】1 【分析】将配方后的方程展开为一般形式，根据对应系数相等求出和的值，代入所求代数式计算即可． 【详解】解：将展开，得 ， 一元二次方程可以配方成， 由对应系数相等可得， 解得，， 将，代入，得． 4．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的配方法、多项式相等的条件以及代数式求值，熟练掌握配方法的步骤和多项式系数对应相等的性质是解题的关键． 先将配方后的方程展开，再与原方程比较对应项的系数，求出和的值，最后计算的值． 【详解】解：， ， ∵与是同一个方程， ∴，． ∴，． ∴． 故答案为：． 知识点三 补全常数项，构造完全平方式 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 【答案】 9 3 16 4 / / 【分析】本题考查了配方，根据完全平方公式配方即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：9，3； （2）， 故答案为：16，4； （3）， 故答案为：，； （4）， 故答案为：，． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）将左边配成完全平方式后，得方程______. 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；首先移项变形成的形式，然后方程两边同时加上一次项系数的一半的平方即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点四 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 【答案】0 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的相关结论是解题的关键； 对于配方后的一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根，，据此即可求解． 【详解】解：若关于x的方程有两个相等的实数根，则． 故答案为：0． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是_____（写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根等价于，列出关于的不等式，解不等式得到的取值范围，在取值范围内任写一个符合条件的值即可． 【详解】解：将方程整理得： . 该一元二次方程有两个不相等的实数根， . 解得. 的值可以是． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）当____________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 【答案】 【分析】根据方程有两个相等的实数根，得到，列出方程求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得． 4．（2026·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用“一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式”，求出的取值范围，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， 化简得 解得 结合选项，只有选项A的，符合条件． 知识点一 配方法求代数式最值 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 【答案】 1 【分析】根据配方法的步骤把代数式通过配方变形为，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴时，代数式有最大值，其最大值为． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）已知代数式的最小值是_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了配方法的应用，利用配方法可把所求式子变形为，再根据偶次方的非负性可得答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原代数式的最小值为5， 故答案为：5． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式、配方法的应用、非负数的性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．先根据已知等式用含的代数式表示，然后通过配方及非负数性质求解即可． 【详解】解：， ． 则． 的最小值为 故答案为： 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 知识点二 利用配方法比较大小 1．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 【答案】 【分析】利用作差法比较两个代数式的大小，对作差结果进行配方整理，根据完全平方的非负性判断差的符号，即可得到A与B的大小关系． 【详解】解： ， ，即， ． 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 通过计算M与N的差值，得到，从而判断M恒小于N． 【详解】解： ， ∵, ∴ ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，判断，的大小关系． 【答案】 【分析】本题考查了作差法比较大小，配方法，平方的非负性，掌握作差后通过配方转化为完全平方和，利用非负性判断大小关系是解题的关键． 用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系． 【详解】解： ． ，， ， ，即． 知识点三 配方法几何/实际综合应用 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】为等腰三角形，理由见解析． 【分析】先将给定等式配方转化为几个完全平方式相加的形式，然后根据平方的非负性求出，，的值，最后利用等腰三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解：为等腰三角形，理由： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴，，，且满足三角形三边关系， ∵， ∴为等腰三角形． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料： 把一个多项式进行配方可以解决求代数式的最大（小）值问题．例如：．，，代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)图①是一组邻边长分别为7，的长方形，面积为；图②是边长为的正方形，面积为，且．请比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)，见解析 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是解此题的关键． （1）配方得出，结合，即可得解； （2）由题意表示出，，计算出即可得解． 【详解】（1）解：． ，， ∴代数式的最小值为1． （2）．理由如下： 由题意，得，， ， ． 3．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 【答案】(1)；；； (2) (3) 【分析】（1）根据配方法进行配方即可； （2）把化为，再进一步求解即可； （3）由，结合，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：由可知，当时，有最小值，最小值是． 配方法也可以对一些多项式进行因式分解， 例如：分解因式，原式. （2）解：， ， ， ，， ，， ∵， ∴． （3）解：∵在四边形中，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为. 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一元一次不等式组的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原代数式变形为，再仿照题意求解即可； （2）利用作差法得到，据此可得结论； （3）①根据篱笆的长度可求出对应的关系式，再根据墙的长度和x要为正数列出不等式组求出x的取值范围即可；②根据矩形的面积公式列出矩形的面积关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2），理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①由题意得，， ∵， ∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2.1 配方法 知识点一 直接开平方法解一元二次方程 1．（25-26九年级上·重庆开州·期末）一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级下·湖南湘西·月考）求下列各式中的的值： (1)； (2) 3．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解下列方程： (1) (2) 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用直接开平方法解下列方程． (1)； (2)． 知识点二 二次项系数为1，常规配方法解方程 1．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）方程配方成的形式为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽淮南·一模）解方程：． 4．（25-26八年级下·浙江嘉兴·期中）解下列方程： (1)； (2)． 5．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 知识点三 二次项系数不为1，先化1再配方 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程，配方正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·上海·期中）（用配方法解方程） 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）用配方法解方程． 4．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）用配方法解方程： (1)． (2)． 知识点一 去括号整理后再配方解方程 1．（25-26八年级下·安徽亳州·月考）解方程：． 2．（25-26八年级下·黑龙江大庆·月考）解方程：（用配方法）； (1) (2)． 3．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）解方程： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）用配方法解下列方程： (1)． (2)． 知识点二 配方法解决含参问题 1．（25-26八年级下·安徽六安·期中）将方程配方成的形式，则_________． 2．（25-26九年级上·湖南郴州·月考）将方程配方成的形式，则______． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）已知一元二次方程可以配方成，则的值为______． 4．（25-26九年级上·江西鹰潭·期末）把关于x的一元二次方程配方，得，则______． 知识点三 补全常数项，构造完全平方式 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）填空： （1）____________________； （2）____________________； （3）____________________； （4）____________________． 2．（25-26九年级上·辽宁锦州·月考）将左边配成完全平方式后，得方程____________. 知识点四 根据一元二次方程根的情况求参数 1．（25-26九年级上·江苏泰州·月考）若关于x的方程有两个相等的实数根，则______． 2．（25-26八年级下·安徽安庆·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，的值可以是_____（写出一个即可）． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）当____________时，关于的一元二次方程有两个相等的实数根． 4．（2026·浙江杭州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 知识点一 配方法求代数式最值 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）当______时，二次三项式有最大值，最大值为______． 2．（25-26九年级上·河南平顶山·月考）已知代数式的最小值是_________． 3．（25-26九年级上·江苏镇江·期末）若，则的最小值为______． 4．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）若（x、y为实数），则W的最小值为________． 知识点二 利用配方法比较大小 1．（2026·江苏宿迁·二模）已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知，，则比较代数式A与B的值：A________B．（请用“”、“”、“”表示） 3．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）已知，，，则M________N ．（填 “＞”，“”或“”） 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，，判断，的大小关系． 知识点三 配方法几何/实际综合应用 1．（25-26八年级下·黑龙江绥化·月考）若，，为的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读材料： 把一个多项式进行配方可以解决求代数式的最大（小）值问题．例如：．，，代数式有最小值，最小值是2． 根据以上信息，解决下列问题： (1)求代数式的最小值． (2)图①是一组邻边长分别为7，的长方形，面积为；图②是边长为的正方形，面积为，且．请比较与的大小，并说明理由． 3．（2026·安徽芜湖·一模）综合与实践 【项目主题】配方法的应用． 【项目准备】 (1)利用完全平方公式将多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式的最小值，由____①_____可知，当时，有最小值，最小值是_____②_____．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式，原式_____③_____＝____④_____ 【项目解决】 (2)当分别为的三边长，且满足时，c的取值范围是__⑤_____； (3)如图，在四边形中，．若，则四边形面积的最大值为_____⑥_____． 4．（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $