题号猜押10 福建中考数学24-25题（7大考点，解答题）（福建专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

函学科网·上好课 www.zxx k co m 题号猜押10福建中考数学24-25 押题预测 考点1实践拟探究综合题 1.(1)证明：连接AD, :AF∥CD,AB∥DE, ∠FAD=∠ADC, ∠BAD=∠ADE, .∠BAF=∠BAD+∠FAD=∠ADE+∠ADC=∠CDE, 同理，∠B=∠E,∠C=∠F, :六边形的内角和为(6-2)×180☐=720C, ∴.2（∠BAF+∠B+∠C)=720C, ∠BAF+∠B+∠C=360☐. 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角， (2)解：k1+k2+k3是定值，且k,+k2+k3=1. 理由如下： :由平行六边形有AF∥CD,AB∥DE,BC∥EF, .△PAF∽△PQR,相似比为k1, P06,即PA=kP0, P .A0=PO-PA=(1-k)PO 同理：△BQC∽△PQR,相似比为飞2，得QB=k2·PQ, △EDR△PQR,相似比为k,得DE=k3·PQ, 在△POR中，由边的关系：PA+AB+BQ=PQ, 即：kPQ+AB+k2PQ=PQ, AB=(1-k-k2P0, 1/104 上好每一堂课 题（解答题） 所以可以铺满地面 函学科网·上好课 www zxxk com DE =AB=k PO, kP9=(1-k-k2P0, .k1+k2+k3=1; (3)解：设△PQR的面积为S, 由相似三角形面积比等于相似比的平方， S:=kiS= 91 S2=k2S,S3=kiS, 六边形面积：S=5-S-S-S=5)5-5-5, =8s-k+35, 9 受-号+ 由6+6=1名=子设点1，则6号1。 当= 时，好+发取最小值弓 此时 8262 取最大值： 、Smax 9993 2.(1)解：：△ABC三个顶点分别是A2,5),B(2,1,C(6,1, 根据公式得x= 2+2+6_105+1+17 3 3 ，y= 3 =3 107 △ABC的重心坐标是 3’3 (2)解：如图，设小矩形的重心为G,大矩形的重心为G,,分别作出矩形 G,G2上取点G使G,G:GG2=2:1. 因为矩形是匀质薄板物体，其重心是其对应平面图形的几何中心，所以G、 2/104 上好每一堂课 的重心G和G,连接GG2,在 G,分别是小矩形和大矩形的几 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 何中心. 以组合体重心G为支点，根据力的杠杆平衡原理￡4=E4(其中F、E分别为两个物体的重力，4、分 别为两个物体重心到支点的距离) 由于两个矩形宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，所以大矩形的重力是小矩形重力的2倍，即F,=2E· 连接G,G2,在G,G2上取点G使G,G:GG2=2:1. 则点G即为组合体重心， (3)解：四边形重心G的坐标为xc,yc),由(2)杠杆平衡原理得： S(xG-x1)=S2(X2-xG) S·x6-Sx=S2x3-S2xG S+S2x6=Sx+S2·x (S+S2)xG=Sx+S2x2 。=tS,x S1+S2 同理可得。出+3， S,+S2 四边形重心G坐标为G Sx+S2x2 Sy+S2y2 S1+S2’S,+S2 (4)解：如图，连接对角线AC,分四边形为ABC和△ACD, 记它们的重心和面积分别是G、G,和S,、S2 :四边形ABCD的顶点分别是A2,5),B(2,1,C(6,1,D(6,7), :△4BC的重心坐标是G33 107 面积S=号4B-C-×5-×6-2到=8， 1 △ADC的重心坐标是G,33 1413 面积5-CD8c×刘7-1x6-2=12. 根据(3)中四边形重心坐标公式： 8×10+12x14 3 8×+12×3 XG=- =62, 8+12 15% 23-53, 8+12 15 3/104 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :四边形ABCD重心G的坐标为 6253 15'15 D 3.解：(1)图2中储物区域底面长为40cm,由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为50-40)÷2=5cm, 则a=储物盒的宽+小正方形的边长×2=30+5×2=40cm. 故答案为：40： (2)己知a=40,储物盒底面周长为132cm,设角上裁去的4个小正方形边长为xcm,0<x<20, 则[(50-2x)+(40-2x)]×2=132, 解得x=6, :.储物盒的高为6cm; (3)设角上截去的四个小长方形的宽为xcm,长为cm,折叠后的储物盒如图： y-x V-x 40-2x 100-2y 2(y-x)=100-2y 则{2[40-2x刘+100-2]=80 50 x= 3 解得 100 y= 3 40-2x= 100 2,100-2y 3 :制作的储物盒的高为50c m,底面长为100 cm,宽为 20 cm, 3 3 10 :玩具机械狗长21cm,宽15cm,高18cm,3 >21, 20<15, 0∠18， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒 4/104 函学科网·上好课 www.zxx k.com 4.[问题初探] 解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x. CB AC AC AB 。1-xx x-1 解得：=5-1， 2，x3= -1-5 (舍)， 2 AC 5-1 AB “黄金比为5-1 ； 2 [问题再探] 解：如图，点P即为AC的黄金分割点： B P 图2 [知识迁移] 证明：：四边形ACDE是正方形，四边形CBFD是矩形， .∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF, :点C为线段AB的黄金分割点， AC BC AB AC CD BC AB AE .△EAB∽△BCD; [延伸拓展] 证明：五边形ABCDE是正五边形， ·∠BAE=∠AED=5-2)x180 =108°，AB=AE=DE, 5 :∠4BE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=x180-108)=36°， .∠DME=∠AEM+∠DAE=36°+36°=72°， .LDEM=LAED-∠AEM=108°-36°=72°， 5/104 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .∠DME=∠DEM, .DM DE =AE, :∠DAE=∠DAE,∠ADE=LAEM=36°， .△AME∽△AED, AE AM AD AE DM AM AD DM :点M是AD的黄金分割点 考点2阅读材料综合题 84 1.(1)解：由题意可得，原矩形0ABC的重心位置点G的坐标是22) 即(4,2)， 分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是 24 2'2和 +24, 22 即1,2)和(5,2， 故答案为：(4,2)，(1,2)，(5,2)； (2)解：由题意可得，S,=ab,S2=(m-ab,S=mn-b, S+S2x2+S3x3 1+S2+S ab号+m-a0+ma-列号 mn a'b+m2b-a'b+m2n-m2b 2 mn m 2, m :x0= 2 :=9+S+Sx ； S,+S2+S3 同理可得，人-S出+S9+S S+S2+S3 故答案为： Sy +S2y2+S3y3 S1+S2+S3 (3)解：如图，连接AD、BD, 6/104 命学科网·上好课 www zxxk com D A A6,0,B8,4,C2,8),D0,4), .由勾股定理可得AB=CD=2√5，AD=BC=2V13, :.四边形ABCD是平行四边形， 设△AOD的重心为G,面积为S,,四边形ABCD的重心为G,，面积为S2, S)×6x4=12,S,=2S,c=2××8×432 4×12+4×32 五边形0ABCD重心位置的坐标是 2×12+4×32 38 12+32 12+32 即 3836 故答案为： 1111 2.(1)解：321-123=198， 981-189=792, 972-279=693, 963-369=594, 954-459=495. (2)解：①.a>b>c且a,b,c为非负整数， 得到的最大数为100a+10b+c,最小数为100c+10b+a, :.最大数与最小数的差为100a+10b+c-100c+10b+a) =100a+10b+c-100c-10b-a =99a-99c. ②由(2)①得：最大数与最小数的差为99a-99c=99(a-c), :最大数与最小数的差记为M=100x+10y+z, 99a-c=100x+10y+z=99x+x+10y+z, 7/104 a三 可学科网·上好课 www zxxk.com x+10y+z=99a-c-x, .x+10y+z能被99整除， .x,y,z均为整数，且0≤x,y,z≤9， 0≤x+z≤18,0≤10y≤90， .0≤x+10y+z≤108， 又：x+10y+z能被99整除，x,y,z不全为0， ∴.x+10y+z=99, .x+z=99-10y, .0≤99-10y≤18， 解得8.1≤y≤9.9， 又y为整数， y=9. 3.(1)如图： 所以①的内容为6： 观察表格数据规律可知 ②的内容为m+n-1. (2)小河的观点正确，小江的观点不正确： 针对小江的观点，反例为6×3矩形，如下图： 1m+n-1=8,而kmxn=6 (3)满足条件的所有数对为： (6,1),(5,2),(4,3),(6,2),(6,3),(6,6), 理由如下： 当m,n互质时，m×n矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个 8/104 上好每一堂课 数为m+n-1. 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 当m,n不互质时，设其最大公因数为，则正整数”，”互质，故×”矩形的一条对角线穿过的单位正 P D PP 方形的个数为m+”-1,从而k=p”+”-=m+n-p. DD D P 依题意，分成四类： m=6 m=5 第一类，m,n互质，此时m+n-1=6,即m+n=7,共有 m=4 n=1, (n=2’ n=3 三种情形； 1m=6 第二类，m,n的最大公约数为2，此时m+n-2=6,则 n=29 1m=6 第三类，m,n的最大公约数为3，此时m+n-3=6,则 n=3 第四类，m,n的最大公约数为6，此时m=n=6. 4.(1)解：N(4,1,3,2)中，有4,1,4,3)，4,2,3,2)共4个反序对， 则N(4,1,3,2)=4,它是一个偶排列； (2)解：易知1,2,3可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为： ①N(1,2,3)=0,为偶排列； ②N(1,3,2)=1,为奇排列； ③N(2,1,3)=1,为奇排列： ④N(2,3,1)=2,为偶排列； ⑤N(3,1,2)=2,为偶排列 ⑥N(3,2,1=3,为奇排列； 则排列满足反序数大于1且为偶排列的概率为P=2=}。 63 (3)解：至少要经过6次相邻对换，理由如下： (4,1,5,3,2中将5向右做2次相邻对换得到(4,1,3,2,5； 再将4向右做3次相邻对换得到1,3,2,4,5)； 再将3向右做1次相邻对换得到顺序排列1,2,3,4,5)； 9/104 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则至少要经过6次相邻对换； (4)证明：设对换位置的两个数为α，b,则这两个数有相邻和不相邻两种情况： 若这两个数a,b相邻，即将排列（…，a,b…)变成新排列(，b,a,…), 通过观察可知，变换后的排列，其反序对的变化与α，b之外的数无关， ①若a<b,则变换位置后，反序对增加1，新排列的反序数增加1，奇偶性改变； ②若a>b,则变换位置后，反序对减少1，新排列的反序数减少1，奇偶性改变； 所以经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变： 若a,b不相邻，设中间有k个数，即将排列…，a,C,C2,C,…,C,b,…,变成新排列 …,b,C1,C2,C3,…,C4,a,…, 可以分为以下两步： ①将a向右进行相邻对换，通过k+1次相邻对换得到…，C1,C2,C3,…,C,b,a,… ②再将b向左做相邻对换，通过k次相邻对换到达α原来的位置，得到最终的排列 …,b,C1,C2,C3,…,Cg,a,…）, 总共进行了k+1+k=2k+1次相邻对换， 因为2k+1为奇数， 所以经过2k+1次（奇数次）相邻对换后，排列的奇偶性也一定发生改变； 综上所述，在一组有n个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性 定发生改变 考点3三角形综合题 1.(1)证明：：AB=AC,∠ADB=∠ABC, .∠ADB=∠ABC=∠ACB, ,∠ACE=LBDE, .∠E=∠E, △ACEn△BDE; (2)证明：如图，作AH⊥AD于点A,交BD于点H, 10/104 可学科网·上好课 ∠DAH H G BD⊥CD, :∠BDC=90°， 由(1)得：△ACE∽△BDE, .∠CAE=∠DBE, :∠AGD=∠BGC, △AGDm△BGC, .4G_DG BG CG :∠AGB=LDGC, △AGB∽△DGC, LBAG=LBDC=90°， .∠BAH=∠CAD, .AB=AC, :LADB=∠ABC=∠ACB=45°， :AH=AD,HD=√2AD, 在△ABH和△ACD中， AB=AC ∠BAH=∠CAD AH=AD .△ABH≌△ACD(SAS, :BH=CD, .2AD+CD=HD+BH=BD (3)证明：由(1)得：△ACE∽△BDE, CE AC DE BD ,∠CAE=∠DBE, A、B、C、D四点共圆， www.Zxxk.com =90°， 11/104 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com :∠DCE=∠BAD,∠CDE=∠ABC, E :AC=AB=10, :当BD最长时， CE最小， DE 此时BD为四边形ABCD外接圆的直径， ·LDCE=∠BAD=90°， tan∠ADB=tanLABC= 3 即AB=AE4 AD AB3' .AD 4 E=4B=40 =3AB=15 DE=AE-AD=35 又：tan∠CDE= CE 4 CD 3' ·设CE=4x,CD=3x, 35 则DE=5x= 6, 7 x=6' 2.解：(1)①：△ABC为等边三角形， .∠BAC=60 ∠CED=60°， ∠CED=LBAC, ,LBAD+∠CAE=∠CAE+LACE, .∠BAD=LACE; ②如图，在AD上取点F,使∠BFD=60°，过点C作CN∥BF, ∠CED=60°， .∠CEA=∠BFA=120°. 12/104 上好每一堂课 交AD的延长线于点N, 学科网·上好课 www.zxxk co m E :△ABC为等边三角形， Di 图1 :AB=AC, 由①得∠ACE=∠BAF, ∴△ABF≌△CAE, .BF=AE,AF=CE. :CN∥BF, .∠N=∠BFD=60°， .△CDN∽△BDF,△CEN为等边三角形， CN CD BF BD 2 :CN=CE=AF=2BF=2AE, :BF=EF, ∴.∠FBE=∠FEB=30°， .∠BEC=90°， BE⊥CE; (2)如图，过点B作BQ∥CE,交AD的延长线于点Q,在AD 作BP⊥AD于点P. 图29 ZCED ZBAC, ∴LBAF+∠CAE=LCAE+∠ACE, 13/104 上好每一堂课 取点F,使AF=CE,连接BF,过点B 学科网·上好课 即∠BAF=∠ACE. AB=AC,AF=CE, ∴△ABF≌aCAE, AE=BF,∠BFA=LCEA,∠ABF=∠CAE, :∠BFP=∠BAF+LABF=LBAF+∠CAE=∠BAC. BQ∥CE, ∴.△BDQ∽△CDE, BO DO BD CE DE CD =2,∠BQD=∠CED=∠BFO, ..BF BO. BP⊥AD, .PF=PO 设CE=2a,则BQ=BF=AE=4a, AE =4DE, .DE=a,DO=2a,FO=5a, :.PF=1F0= 5a 2 2 在RtaBPF中，coS∠BAC=cosS∠BFP=PF_5aX⊥-5 -a BF 2 4a 8 3.(1)证明：：ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D .AD=BD=CD,AB=AC, :将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF, ∴AE=AF,LEAF=90°， .∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAF=90°， ∠BAD=LCAF, .△BAD≌△CAF(SAS, BD=CF, 又BD=CD, .CF=CD (2)解：①AM=√2DN. 证明：如图所示，连接AD, 14/104 上好每一堂课 为BC中点， 函学科网·上好课 www zxxk.com ED M ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°， BC=V2AB,∠ACB=45 :点D为BC中点， .AD=DC,AD⊥BC .△ADC是等腰三角形，则AC=√2AD,∠DAC=45° .∠DAN=135° 又：∠ACB=45° .∠ACM=∠DAN=135 :MN⊥AB,AC⊥AB .ACII MN AN AB 1 ·CM-Bc=2 AN AD CM AC .△ADN∽△CAM AM_CM=√2即AM=N2DN DNAN ②如图所示，取AM中点O,连接OD, B ED :AD⊥DM,则OD=三AM 又AM=V2DN, .当DN取得最小值时OD最小 :当E与点B重合时，F在AC上，此时N点与A点重合， .AM =AC 15/104 系一母拼丁 可学科网·上好课 www zxxk.com 又AB=AC :.OD=1AC=1AB=1 2 2 旋转过程中0D的最小值为1. 4.(1)证明：：AB=BC,∠ABC=120°， .∠A=∠C=30°，∠BEF+∠BFE=60°， :DE=EF,∠DEF=120°， .LEFD=∠EDF=30°，LAED+LBEF=60°， ∴.∠AED=∠BFE, :∠ADE=180°-∠A-∠AED=150°-LAED,∠CFD=180°-∠BFD=180° .∠ADE=∠CFD, .△ADEn△CFD; (2)解：CF=3BE,理由如下： :△ADE∽△CFD, AE AD DE CD CF FD 过点E作EH⊥DF于H,过点B作BQ⊥AC于Q, 则FD=2DH,A0=AC, 2 D E :∠EDF=30°， ADH=DE os30°=5DE, .FD =3DE, AE AD DE 3 CD CF3DE3 设AD=x,AE=y,则CF=V3x,CD=V3y, :AC=x+3y, 16/104 上好每一堂课 -(30°+∠BFE=150°-LBFE, 函学科网·上好课 www zxxk.com ·A0=AC=x+⑤y 1 2 x+V3y .AB=A0 3x C0s∠Acos30o=2 3 +y, 3 2 BC=4B=3x +y, BE=AB-AE=3x , .CF =3BE (3)解：在AE上取点M,使得∠DMB=120°，过点D作DN⊥AB K G D A< NM E B :∠DEM+∠FEB=∠BFE+∠FEB=60°， .∠DEM=∠BFE, :∠DME=∠EBF=120°，DE=EF, :△DEM≌ABFE(AAS), .ME =BF, :∠A+∠ADM=∠DMB=120°，∠A=30°， .∠ADM=90°， ∴.2DM=AM, 设AD=V3m,AE=V3n,则DM=mAM=2m, 同理(2)得CF=3m,CD=3n, :AC=AD+CD=3m+3n, c4c5m+3 同理(2)得AB=2 、2 2 =c0s∠Hcos30-3 -=m+√3n, 2 .BE AB-AE=m+3n-3n=m 17/104 上好每一堂课 于N,取CD中点K,连接GK, 而学科网·上好课 www zxxk com :∠AND=90°，∠A=30°， 0w-40:5。 m.AN=AD=3 2 2, ÷EN=AE-AN=2V3n-3m 2 :DE:=Dw2+EN2_12m2+12m-12y5mn=3m2+3n2-3N5mn, 4 CG=EG, 点G是CE的中点， :点K是CD的中点， ·GK是aCDE的中位线， GK-DE,GK DE LDGK=LEDF=30°， ∠DGK=∠A=30°， :△ADE∽△CFD, .ZAED=ZCDF ∴△GKDn△ADE, 1DE DK, 然，即2 AD DE IDE2 ADDK. 3 :DK=ICD=n, 2 nEA0DK=3,即DE=3V 2 .3V5mn=3m2+3n2-3√5mn,即m2-2V3mn+n2=0, :(m-V3n=m2-25mn+3n2=m2-2√5mn+n2+2n2=2n2,且m,n .√3n>m, m-V5n=-√2n,即m=(5-V2)n, BE m (5-2)n5-2_4-6 ABm+3n(W3-V2)n+3n2W3-210 18/104 上好每一堂课 为正实数，AE>DM, 函学科网·上好课 www zxxk.com BE 4-6 AB 10 考点4四边形综合题 1. (1)①证明：设AB,DF交于点O, F B E D :正方形ABCD中，AD=AB=CD,BC∥AD,∠ADC=∠BAD=90°， F=∠0DA, :BF=AB,∠FOB=∠DOA, .△FOB≌△DOA(AAS, :.BO=0A=AB, 2 :E是边AD的中点， :DE-号D .AO=DE, ·.△OAD≌△EDC(SAS, .∠ODA=LECD, .LADC=∠ODA+∠CDG=∠ECD+LCDG=90°， .∠CGD=90°， .CE⊥DF; ②如图： F B C 41 G 3 A E D :四边形ABCD是正方形， 19/104 系一母拼丁 6学科网·上好课 ∴.∠CAD=∠DCA=45°， .∠2+∠3=∠4+∠1， 由①知∠GDE=∠ECD, .∠DEG=∠CED, ∴.△DEG∽△CED, DE EG CE 、DE' AE=DE, AE EG CE AE .∠GEA=∠AEC, ∴.△GEA∽△AEC, .∠3=∠4， ∴.∠2=∠1， DE ∴.tan∠2=tan∠1= 1 CD 2’ 即tan∠GAC=): (2)解：如图， B F C 8 AH E 在正方形ABCD中，BC∥AD,∠ ∠6=∠7， DH=CF, △ADH≌△DCF(SAS), .∠1=∠2， .∠1+∠6=∠2+∠6=909 ∴.∠AGD=90 :E为AD中点， www.zxxk.com 上好每一堂课 ADH=∠DCE=90°，AD=DC, 20/104 函学科网·上好课 www zxxk.com .EA=EG=ED, .∠1=∠3=∠4，∠5=∠6， .∠2=∠4， .∠5=∠8， .∠7=∠8， .CF=CG, .CG=DH=CF, :∠GCH=∠DCG,∠2=∠4， ·.△GCH∽△DCG, GC CH DC GC 设CG=DH=x,正方形边长为1，则CH=1-x, 解得=5-1或=51（舍去)， 2 2 CF 5-1 .tan∠CDF= DC 2 2.(1)解：①2. ②：矩形ABCD中，∠A=∠D=90°， ∴.∠AFB+∠DFE=90°，∠DEF+∠DFE=90°. .∠AFB=∠DEF. ∴.△FAB∽△EDF. AF AB DE DF .AF·DF=ABDE. AF·DF=9,AB=6, CE-DC-DE- :点C、F关于BE的对称点， EF CE ∴DF=√EF2-DE2=3V2. 21/104 系一母拼丁 学科网·上好课 W M D E B C 图1 (2)①如图1，当点F在边AD上时， 过点M作MN⊥BF于点N, :BM平分∠ABF,∠A=90°， MN=AM,∠A=∠BNM=90°. :∠AFB=∠MFN, .△FMN∽△FBA. MN MF AB BF MF 1 BC-2 BF=BC, MN MF 1 AB BF 2 .AB=6, .MN=3 .:MN=AM,BM=BM,∠A=∠MNB=90°， .Rt△ABM≌Rt△NBM· .BN AB =6. 设MF=x,则BF=BC=2x. .FN=2x-6. 在Rt△MNF中，MN2+FW2=MF2, .9+(2x-6)2=x2. 解得x=5,x=3（舍去). .BC=2x=10. :.矩形ABCD中，AD=BC=10. :DF AD-AM-MF =2. vw zxxk com 22/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www.zxxk com E D B 图2 ②如图2，当点F在边DA延长线上时， 同@可得AM=MN)AB=3,BN=AB=6,BC=AD=0 2.MF-BC-5. AF=8,DF=18. 综上所述：DF=2或18. 3.(1)证明：在正方形ABCD中，O是AC的中点， .0B=0A,∠0AB=∠0BA=∠0BC=45°， .∠A0B=90°. 又：0E⊥0F, LA0E=LB0F=90°-∠B0E, 在△AOE和△BOF中， ∠AOE=∠BOF OA=OB ∠OAB=∠OBF :△AOE≌ABOF(ASA), ..OE =OF; (2)解：AE2+BE2=2OE2. 理由：连接EF, 23/104 系一母拼丁 学科网·上好课 图1 ·∠EOF=90°，OE=OF, ∴EF2=OE2+0F2=20E2, :∠EBF=90°， :.BF2+BE2=EF2, :△AOE≌△B0F, .AE BF, ∴AE2+BE2=EF2, ∴AE2+BE2=2OE2: (3)①证明：取CE中点H,连接OH. 图2-a :四边形ABCD是正方形， .OA=OC,∠BOC=90°，∠OAB=45°， .OH∥AB,AE=2OH AE =2BE, .BE =OH, 四边形BEOH是平行四边形， .OE ll BH, .∠2=∠3. :RtABCE中，∠EBC=90°，H为CE中点， :HB=ICE-HC, 2 ∴.∠HBC=∠HCB. ww Zxxk.com 24/104 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠0BC=∠0CB=45°， ∠1=∠3， .∠1=∠2， 即∠BOE=∠ACE. ②解：设AE=x,延长FB到点M,使BM=BF,则：BE=AB-AE=8-x. :四边形ABCD是正方形，OF⊥OE, '86 MB F 图2-b 由(1)可知△A0E≌△B0F, ∴BM=BF=AE=x,OE=OF,∠BA0=45°， .LFE0=45°=∠BA0, L6=LBE0-∠FE0=∠BE0-45°=∠5. BM=BF,BE⊥MF, .EM EF, :∠MEF=2L6=2∠5，∠M=∠EFM. :∠BCE=2LAOE, .LMEF=∠BCE, :∠MEC=∠MEF+∠CEF,∠EFM=∠FEC+∠BCE, ∴.LCEM=LEFB=∠M, .CE =CM=8+x, 在RtABEC中，由勾股定理，得：(8-x)2+82=(8+x), 解得x=2, .BE =6,BF=AE=2, ∴.EF2=EB2+BF2=20E2=62+22=40, ∴.0E=2W5. 4.(1)解：①：四边形ABCD是平行四边形， 25/104 函学科网·上好课 www zxxk com .AD∥BC :DF⊥EF，,当点F与点A重合时，EA⊥AD EF⊥BC 在Rt△BAE中，AB=2,∠B=60°， :AE=4Bsin60°=2x5-N5 2 在Rt△AED中，∠DEF=∠B=60° :AD=AE tan60°=√3x√5=3 故答案为：3. ②：四边形ABCD是平行四边形， :AB∥CD :∠B=60° .∠BCD=120° 如图所示，延长BC至G,使得CG=CD,连接DG D G ∴.△CDG是等边三角形，CD=DG .∠G=∠B=60°， :∠DEF=∠B,DF⊥EF ·Cos∠FED= EF 1 DE 2 又：LBFE+LB=LEFG=LFED+LDEG .∠BFE=∠DEG .△FBE∽△EGD BEEF=1 DG DE 2 AB=DC=DG BE 1 AB2 1 故答案为： 26/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com (2)解：“LDEF=∠B,DF⊥EF, DE 5 DF 2 ∴设DE=√5a,则DF=2a 2a25 .EF=a,sin∠DEF=sin∠B= 5a 5 当C,E重合时，如图 D B C(E) :四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,AB=CD,AD=BC :ZFCD ZBFC .ZBFC ZB .CF =CB=EF =a 又AB=CD=DE=V5a ADBC a5 AB CD5a 5 当AF重合时，如图 A(F) D B E .AD DF=2a, AB=AE a sin B 25 a 5 AD 2a 45 AB5 5 2 :点E,点F分别是边BC,AB上的动点， 27/104 系一母拼丁 可学科网·上好课 5AD4 5 AB 5 考点5圆形综合题 1.(1)解：示意图如图所示： C(F B(G) :∠DAB=120°，AE平分∠DAB, ∠DAE=∠EAB=60°， 连接DE,BD, .·AD=AB,AE=AE, △ADE≌△4BE(SAS), .DE=BE,∠DEA=∠AEB, 又：四边形ABCD是圆的内接四边形， ∠C=180°-∠DAB=60°， 又DF=BE,F,C重合， .DE=DC, :△DEC是等边三角形， ∴.∠CDE=∠DEC=60°， :∠DEA=∠ABB=180°-∠DEC=60, 2 ,ADE和aAEB都是等边三角形， .∠ADE=60°， .∠ADC=∠ADE+LCDE=120°， .:AD=AB,∠DAB=120°， .∠ADB=30°， ∴.∠BDC=90°， BC是圆的直径， www zxxk.com 28/104 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :圆的半径为2， .△DEC,△ADE,△AEB的边长都为2， ·.四边形ABCD的面积为3个边长为2的等边三角形的面积和， :边长为2的等边三角形的高为2sin60°=2x5-V5, .S四边形BCD=3× ×2×V3=3W3; 2 (2)解：连接DE, A B G 同(1)可证∠C=60°，DF=DE,∠DEA=∠AEB, :ZDFE ZDEF, .∠BEG=x°， .∠CEF=x°， .LDEF=LDFE=∠C+∠CEF=60°+x°， ∠DEA=∠AEB=180°-∠DEF-∠BEG_180°-(60°+N9)--60-x, 2 2 .∠AEF=60°+x°+60°-x°=120°； (3)证明：由(2)可知，∠AEF=120°，∠DAE=∠EAG=60°，DF=DE, ∠DEA=∠AEB=60°-x°，∠DFE=∠DEF=60°+x°， ∴LAEG=LAEB+∠BEG=60°， :.△AEG是等边三角形， ,AG=AE,LAGE=60°， 在FG上截取一点H使得GH=AD, H B 29/104 面学科网·上好课 :∠DAE=60°=∠G=60°， :.△ADE≌△GHA(SAS, .AH=DE,∠HAG=∠DEA=60°-x°， ∠ADE=∠AHG=180°-∠HAG-∠AGE .AH=DF,∠AHG=∠DFE, AH∥DF, .四边形AHFD是平行四边形， :AD=FH, .GH=FH, .FG=2AD. 2.(1)证明： 0C=0B, ∠OCB=LB, AB是⊙0的直径， :∠ACB=90°， ∠CAB+∠B=90°， :AM是O0的切线， .∠DAB=90°， LDAC+∠CAB=90°， ∠B=∠DAC, .∠DAC=LOCB; M B (2)解：设∠B=a, 由(1)得∠DAC=∠0CB=∠B=a, .AC AD OB BC 0I/0E +09=o09-ox-o09-o08I U0)XXX Z 'M MM 上好每一堂课 x°， 面学科网·上好课 △ACD∽△BOC, LCDA=∠OCB=a, ∠D0A=∠B+∠0CB=2a 由（1)得∠DAB=90°， :∠CDA+∠D0A=90°， .a+2a=90°， a=30°， 即∠B=30°； (3)证明：由(1)得∠DAC=∠OCB, .∠DCE=∠OCB, :∠DAC=LDCE, 又∠ADC=LCDE, :△DAC∽△DCE, CD EC AD AC 由(1)得∠EAC=∠B, :∠ECA=∠ACB=90°， △EAC∽△ABC, EC AE AC AB CD AE AD AB CD=AE, .AD AB=20A, tan∠AD0=0A-1 AD 2 M D B 3.(1)证明：延长AC到点M,如图 www zxxk com 31/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 0 D M E :AE是∠BAC的平分线，F是AE延长线上一点， :.点F到AB,AC所在直线的距离相等， :∠ACF+∠BCF=180°，∠ACF+∠MCF=180°， .∠BCF=MCF, :点F到BC,AC所在直线的距离相等， :点F到三边AB,BC,AC所在直线的距离相等； (2)证明：过点F,作FW⊥AB的延长线于点N,如图 B D E N◇ .∠N=90°， :AE是∠BAC的平分线， .∠EAB=∠EAC, :BE CE, :AE是⊙0的直径， LABE=90°，AE⊥BC, 32/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 又：点F到三边AB,BC,AC所在直线的距离相等； .FN=DF,∠ABE=∠N=90°， ∠BAE=∠NAF, .△BAE∽△NAF, BE AE ·NFAF 即B距=AE DF AF DF BE AF AE (3)解：AB+AC=2BC,理由如下： 如图，连接BE、CE,过点F作FM⊥AB的延长线于点M,作FP 点N, D D L M F 由(I)可知，FM=FP=FN,∠FMB=∠FPB=∠FPC=∠FNC=90 :BF=BF,FC=FC, ∴.Rt△FMB≌RtaFPB(HL),RtaFPCS≌Rt△FNC(HL), .∠MBF=∠PBF,∠PCF=∠NCF, :∠BAE=LCAE,LBAE=LBCE,∠CAE=∠CBE, .∠BAE=∠CAE=∠BCE=∠CBE, '∠MBF=∠BAE+∠BFA,∠PBF=LCBE+∠EBF, ∠BFA=∠EBF, :BE EF BE =CE, 33/104 上好每一堂课 ⊥BC于点P,作FN⊥AC的延长线于 命学科网·上好课 www.zxxk com .CE=EF,即BE=CE=EF, ZBED ZAEB,ZCED ZAEC,ZBAE ZCAE ZBCE= ∴△BED∽△AEB,△CED∽△AEC, .BE BD CD CE AE=AB’AC=AE 即BD-EF-1,CDEF.1 AB2EF2’AC2EF=2, .AB=2BD,AC=2CD, :AB+AC=2(BD+CD=2BC. 4.(1)证明：如图1，连接EQ, ○ 图1 :∠AOE=∠COQ=90°， .∠AOE+∠DOQ=∠CO0+∠DOQ, .∠AOQ=∠EOC, :0A=0E,00=0C, .△AOQ≌△E0C(SAS), .AO=EC, A0=EC, :40-EO EC-E0, :4E =CO, .∠AQE=∠CEQ, .OT=ET, .A0-OT EC-ET, .AT=CT; 34/104 上好每一堂课 ∠CBE, 函学科网·上好课 www zxxk.com (2)证明：如图2，连接0S, 图2 AS=E0, :.AS+SE=E0+SE, AE=SO, :∠AOE=∠S00=90°， ∠C0Q+∠S09=180°， 点C、0、S三点共线， .CS是o0的直径， .∠CWS=90°， .CW⊥SW; (3)解：①：当00与OE重合时，则∠AOE+∠CO0=180°， .点C、O、A三点共线， AC是00的直径， .LAEC=90°. :∠CMB=60°， .LMCE=30°， 设ME=a,则CM=2a,CE=√3a. :∠A0E=LC0E=90°，A0=E0=C0, ,LCAE=L0EA=LACE=∠0EC=45°， :'AE CE=3a :AM AE-ME =(3-1)a. :.BM=2AM=(25-2a, 35/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www.zxx k com .BE BM ME =(23-3 a DE=DE, .∠EAF=∠BAE, :AE=CE,∠AEC=∠CEB=90°， :.△AEF≌ACEB(ASA), :EF=EB=(213-1)a, m∠D4E.P_25-2-5, AE 3a ②如图3-1，设OE与CM交于点L,连接AL,BL,过K作KP⊥A B 图3-1 当00与OE重合时，则∠AOE+∠COQ=180°， :点C、O、A三点共线， :.AC是⊙0的直径，OE垂直平分AC, .LADC=LAEC=90°，AL=CL, .LACL=∠LAC, :∠AOE=∠C0Q=90°，0A=0E=0C, :∠CAE=∠AE0=∠ACE=∠0EC=45°， .'∠CMB=∠CAE+∠ACM=60°，∠CMB+∠MCE=90°， LACL=∠LAC=15°， .∠LAM=∠CAE-LCAL=45°-15°=30°， .∠CME=∠LAM+∠ALM=60°， .∠LAM=∠ALM=30°， ∴.AM=LM, 如图3-2，取BM中点X，,连接LX, 36/104 上好每一堂课 C于点P,则∠CPK=90°， 函学科网·上好课 www zxxk.com D 图3-2 :BM =2MX =2BX, .2AM =BM, :MX=ML, :∠CMB=60°， ·△MLX是等边三角形， .MX ML LX BX .点B、M、L在以X为圆心，BM为直径的圆上， .LBLM=90°=∠BLC, .∠MBL=∠LAB=30°， .AL BL=CL, ∴.△CBL是等腰直角三角形， .∠LBC=∠LCB=45°， LBCE=∠LCB-∠MCE=45°-30°=15°=∠BAD=∠ACM, .∠CAD=∠CAE-∠BAD=45°-15°=30°， ∴.∠ACD=60°， :0C=0D, :aOCD是等边三角形， .0C=CD=0D,∠C0D=∠CD0=60°， .aOCH≌ADCK(ASA, .CH CK .∠CPK=90°， .LPCK=∠PKC=45°， .PK =CP, 37/104 系一母拼丁 画学科网·上好课 :∠HCF=∠FDH=30°， 点C、D、F、H四点共圆， E(O 图3-3 ∠ADC+∠CHF=180°， .LCHF=LGHF=90°， :LCME=LBAD+LAGM=60°， .∠AGM=45°， :∠FGH=∠AGM=45°， .LFGH=∠HGF=45°， .GH=FH, .∠0CD=60°，∠0PK=90°， .∠0KP=30°， :0P=50K, 2 设0P=x,则0K=2x, :PK=JOK2-OP2=(2x)2=x, .PC=PK=3x, .CK=PC2+PK2 5x+5x .CK=CH=√6x, 在RtACHF中，∠FCH=30°， FH=CF,即CF=2FH) ∴.CH2+FH2=CF2, www.zxx k.com √6， 38/104 系一母拼丁 画学科网·上好课 www .zxxk.com :(6x+FH2=(2FH2, .FH=2x, :GF =2FH =2x, S.COH-S.HFK =S.COH +S.CKH)-S.HFK +S.CKH)=S.COK-S.CFH =3 0CxPK-)CH×FH=3-万 2 Pc+0PxK-CxH=3-5 23x+刘x3x-26x2=3-5 (3-V3x2=6-25 解得：x=√2（负值己舍去）， GF=22, GF的长为2√2. 。考点6图形的变换 1.(1)证明：：aABC是等边三角形， ∠ACB=60°， 由旋转性质可知∠EAF=60°=∠EAC+∠CAF, 又∠ACB=∠AFB+∠CAF, .∠AFB=∠EAC; (2)证明：延长AE至点K,使得EK=EA,连接BK,DK,FK, 图1 又：点E为BD中点， :BE =DE, .AE=KE, 39/104 上好每一堂课 5, 如图1所示： 函学科网·上好课 www .zxxk.com 四边形BADK为平行四边形， BK∥DA, ∠KBA+∠BAC=180°， :△ABC是等边三角形， ∴.BA=CA,∠ACB=∠BAC=60°， .∠KBA=180°-∠BAC=120°， ∠FCA=180°-∠ACB=120°， .∠KBA=∠FCA, 由(1)知LBAC=LEAF=60°， .∠BAC-∠KAC=∠EAF-∠KAC,即∠BAK=∠CAF, 在△KAB和△FAC中， ∠BAK=∠CAF AB=AC ∠KBA=∠FCA :△KAB≌△FAC(ASA, .KA=FA, △KAF为等腰三角形， 又∠KAF=60°， :△KAF为等边三角形， 又EK=EA, ·AE⊥EF; (3)证明：选择结论①，证明如下： 由(2)知AE⊥EF,△KAF为等边三角形，则在Rt△AEF中，EF=A 设DK与BF相交于点P,如图2所示： 40/104 ￡A =HVI7uIS·H1 系一母丝丁 可学科网·上好课 www.zxxk com B 图2 由(2)知△KAB≌△FAC, :BK =CF :四边形BADK为平行四边形， .AB∥KD, .∠PDC=∠BAC=60°， ∠DCP=60°， .∠DPC=180°-∠PDC-∠DCP=60°， .∠PDC=∠DCP=∠DPC, △PDC为等边三角形， :DH⊥PC, :PH=CH, BK∥AD, .∠BKP=∠PDC=60°， 又∠BPK=∠DPC=60°， .∠BPK=∠BKP, :BK =BP :CF =BP, BH=FH,即DH是线段BF的垂直平分线， .BM FM BM EM FM EM=EF, BM+EM=AF2(BM+EM)=AF: 2 选择结论③，证明如下： 延长AC至点Q,使得QC=AD,连接MQ,设DK与BF相交于点P, 41/104 上好每一堂课 如图3所示： 学科网·上好课 图3 则DQ=DC+QC=DC+AD=AC, 由(2)知△KAB≌△FAC, :BK CF :四边形BADK为平行四边形， AB∥KD, .∠PDC=∠BAC=60°， ∠DCP=60°， .∠DPC=180°-∠PDC-∠DCP=60°， ∴.∠PDC=∠DCP=∠DPC, :△PDC为等边三角形， 又DH⊥PC, .∠MDK=∠MDQ, DK=AB=AC, :DK =DO, MD=MD, .△MDK≌△MDQ, ..MK =MO, AE=EK,AE⊥EF, :MA=MK :MA=MO, 过点M作MN⊥AC于点N,如图4所示： vww Zxx k com 42/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 图4 则NA=NQ, .NA-AD=NO-OC,DN CN, .MN垂直平分CD, :MD =MC, .∠MCD=LMDC, 由DH⊥BC,∠DCH=60°可得∠MDC=30°， .∠MCD=30°， ∠HCM=∠ACB-∠MCD=30°=∠MCD, 即CM平分∠ACB; 结论②：如图，连接NP交BK于点G, B 图4 PD=PC,KD=BA=BC, .BC-CP =KD-PD .PK PB, :GN⊥CD,BK CD .GN⊥BK, 即PG⊥BK, ,PG垂直平分BK,即MG垂直平分BK, :MK=MB, ww zx x k com 43/104 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk com 又：MK=MQ=MA, .MA=MB, :∠BMA=180°-2∠BAM; 如图， B B E H 可以发现，在点D的位置在线段AC上从左至右移动的过程中，∠BAM ·∠BMA也一直在变化，不恒为90°， .②错误. 2.(1)解：由旋转的性质可知，EC=BC,DC=AC,LACB=LDCE, EC BC CIC,∠ACB-LBCD=∠DCE-LBCD :ZECB=ZDCA, :△BCEn△ACD: (2)解：：△BCE∽△ACD, ∴∠EBC=∠A, :∠ACB=90°， ∠DBE=∠EBC+LABC=LA+∠ABC=180°-∠ACB=90°， :BE=4,BD=3, :DE =BE2+BD2=5, .AB=DE=5 AD=AB-BD=5-3=2, AC AD 2 1 BC=BE=4=2' :BC=2AC, AC2+BC2 AB2, AC2+4AC2=52, 44/104 上好每一堂课 会逐渐增大， 品学科网·上好课 解得AC=√5； (3)证明①：EC=BC, :ZCEB=ZCBE :∠DBE=90°，EF∥AB, ∴∠BEF=90°=∠DBF, :∠BEF-∠CEB=∠DBF-LCBE, .∠CEF=∠CBD, “∠ACB=90°， :LBFC=90°=∠ACB, :∠ECB=LDCA :∠BFC-LECB=∠ACB-LDCA, LFCE=∠DCB, ·△EFC≌△BDC(ASA: ②延长BC、EF相交于点H,过点C M BC 4 AC 3 设AC=3x,则BC=4x, :△EFC≌△BDC, :FC=DC, DC=AC=3x, .FC=3x=AC, :EF∥AB, .∠CFH=∠A, ∠FCH=∠ACB=90°， :AFCH≌ACB(ASA, www.zxx k co m 作CM⊥AB于点M, 45/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com .FH=AB=AC2+BC2 =5x,CH BC=4x, :S.ABC= 4c-8c-4.c, .CM=1 5, .AM=AC2-CM2 5 AC=DC, AD=24M=18x , :BD=5x-18r=7x 55’ :EF∥AB, :△BDKn△HFK, 1x DK FK=HF=5x25 3.(1)解：点O为AC的中点， .0A=0C, :OF=E0,∠A0F=LC0E, △AOF≌aC0E(SAS), .LOAF=∠C,AF=CE, .AF∥BC, .∠ABD+∠DAF=180°， :∠ABC=90°， ∠DAF=90° (2)解：①点O为AC的中点， .0A=0C, :0F=E0, .四边形AECF为平行四边形， :AF=CE, :AB=6,BC=8,DB=3,BE=4, 46/104 系一母拼丁 命学科网·上好课 www zxxk com BE 4 BC BD3 AB :LDBE=∠ABC=90°， .ZDBE-ZABE ZABC-ZABE ∠ABD=∠CBE, △ABD∽△CBE, CE BE 4 AD BD3' ②在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6,BC=8, .AC=VAB2+BC2=V62+82=10, 由①得四边形AECF为平行四边形， :.四边形AECF的面积等于2S。Ac, .当S。Ec最小时，四边形AECF的面积最小， 即当E到AC的距离最小时，S。c最小，四边形AECF的面积最小， 如图，过点E作EM⊥AC于点M,连接BM,则当EM最小时，四边形 B C :BE+EM≥BM,BE=4, ∴EM≥BM-4, 即当点B,E,M三点共线时，EM取得最小值，最小值为BM-4, 此时BM⊥AC时，BM最小， :S4c=)AB×BC=4CxBM, 2 1 ×6×8=-×10BM, 2 .BM 24 5, 4 ∴EM= 47/104 上好每一堂课 AECF的面积最小， 函学科网·上好课 www zxxk.com :CM=√BC2-BM2=, 8-24-32 5 5 cE=w+cw-.4 5 由①得： CE4 AD3' AD=3 CE-3x4V65-3V65 =45 5 4.(1)证明：：E为BC中点， :BE =CE, 由翻折性质得：BE=FE、∠AEB=∠AEF, FE=CE, :∠EFC=∠ECF, 在△EFC中，∠FEC+2LCFE=180°， :∠FEC+2∠AEF=180°， :Z CFE ZAEF AE∥FC; (2)解：由翻折性质得：AF=AB=3、BE=EF、∠AFE=∠B=90°， :四边形ABCD是矩形， CD=AB=3、BC=AD=4, ①当DF=DC时： .DF=DC=3, :AF =DF, :点F在AD的垂直平分线上， 取AD中点M,连接FM,过点F作FN⊥BC于点N, M :FM上AD、AM=2 AD=2, B--- 在Rt△AFM中，由勾股定理得： FM=√AF2-AM2=V32-22=√5， :ADI BC、AB⊥AD, 48/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www.zxxk co m FN=AB-FM=3-5、AM=2, :EN 2-BE, 设BE=x,则EN=2-x, 在Rt△EFN中，EF=BE=x, 由勾股定理得：x2=(x-22+3-5, 解得x=9-3V5 2 CE-8C-BE=49=含5-35-7 2-2 ②当DF=CF时： ·点F在CD的垂直平分线上， 取CD中点N,连接FN,过点F作FP⊥BC于点P、FM⊥AB N:.FN⊥CD、FNI∥BC, ..FP=AB3 22 、AM=AB-FN=3-3_3 22 在Rt△AFM中，由勾股定理：FM=√AF2-AM2=, 设BE=x,则EP= 33 2- 在R△EFP中， 由胸限定：- 解得x=√5， .CE BC-BE =4-3, 综上所达，CE的长为5-或4-5： (3)解：由翻折可知：EG⊥BF,且BF的中点在EG上， 过点G作GM⊥BC于点M, 49/104 上好每一堂课 于点M, 3v5 2 品学科网·上好课 D GM=AB=3、∠GME= M 2----B E 图3 :∠MGE+∠GEB=90°、∠FBC+LGEB=90° ∠MGE=∠FBC :△GME∽△BCF 票兴84wr BG+4r-BF+4r-F+a .3 4 4 作点B关于直线CD的对称点B,则BF=B'F,此时AF+BF 4P+BF有最小值，即EG+子4F有最小值，最小值为B AB=3、BB'=2BC=8、∠ABB'=90°， 由勾股定理得：AB'=√AB2+BB2=V32+82=√73， EG+3AF的最小值为：34B-3N万 4 4 .BF =B'F :ZFBC ZFB'C '∠FCB=∠ABB'=90°， .△BCF∽△B'BA, CF BC 4 1 AB B'B 82' CF=AB= 26 DF=CD-CF=3-3_3 22’ BE EF, ∴.BE2=EF2=CE2+CF2, 即BE2=(4-BE 73 解得BE= 32 50/104 上好每一堂课 ∠BCF=90° =AF+B'F,当A、F、B三点共线时， 命学科网·上好课 CE=BC-BE=4-73=55 3232 :∠DHF+∠DFH=90°、∠DFH+∠EFC :ZDHF ZEFC, :∠HDF=∠FCE, :DHF∽CFE, DH DE CF CE 即DH-2 3Γ 55, 232 DH=72 55 考点7二次函数综合题 -40=2 1.(1)解：因为x=20 所以该抛物线的对称轴为直线x=2; (2)①解：令y=0,则ax2-4ax+12 设该方程的两根为x,x2x<x2), 因为点A在原点0的左侧，0B=30A, 所以x2=-3x1, 由根与系数关系得：x+x2=4, 即x+(-3x)=4, 所以x=-2,x2=6, 把x1=-2代入y=ax2-4ax+12, 得a×(-2)2-4×-2)a+12=0, 所以a=-1; ②解：因为a=-1, 所以该函数表达式为y=-x2+4x+12= www .zxxk.com =90°， 0, -x-2+16, 51/104 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以该抛物线的顶点坐标为(2,16)， 因为该抛物线的一段y=-x2+4x+12(m≤x≤n)夹在两条均与x轴平行的直线4和马之间，且m<2<n, 所以如图，上方的平行线不能在顶点(2,16)下方， y y=16 y=7 因为直线4和之间的距离为9， 所以要使n-m最大，则直线4经过顶点(2,16)， 此时直线☑为y=16-9=7, 所以当y=-(x-2)2+16=7时， 解得x=-1,x2=5, 所以n-m的最大值为5--1=6. 2.(1)解：：二次函数y=a(x-h)2(a>0)过点A0,1),B(1,1), 1=a(0-h)2 1=a(1-h2’ a=4 1, h=2 二次所数的解折式为y=4-: (2)解：(i)由(1)得二次函数的解新式为=4x- 则对称轴为直线x= 3 a=4>0, ∴二次函数的图象开口向上， 52/104 而学科网·上好课 www.zxxk.com 离对称轴越近，函数值越小， :M(x,m),N(x2,m是二次函数图象上不同的两个点， 点Mx,m和点N(x2,m)关于对称轴对称， 1 .+x3=2×5=1, 2 2=1-x, .m<1, 11 .11 22 k---1-=2-=21 i)在y=4,当ym时，m=4, .4x2-4x+1-m=0, +3=- 巧l,4-4新+18=0 -4」 4 2-出=m-1 4； 2x-1+五=m, 2x2-x+x2=m, Xx2 片+-2+-名=m, XX2 12-2.1-m+m-1 4 1-m 4一=tm, 4 3m+1 =tm, 1-m tm2-t-3）m+1=0, :m=-≥0,1w时，N6是=次至质用象 53/104 上好每一堂课 不同的两个点， 学科网·上好课 www.zxxk com m>0, :关于m的方程tm2-(t-3)m+1=0必须有一个正实数根， :△=[-(1-3)]-41≥0， ∴t2-6t+9-4t≥0， .(t-1)(t-9≥0， .t≥9或t≤1； 当1≥9时，>0，-1-3到>0， t .此时关于m的方程tm2-（t-3)m+1=0的两个实数根都是正数， 当0<1s1时，>0.--3<0， ∴.此时关于m的方程m2-（t-3)m+1=0的两个实数根都是负数， 当1<0时，0.--3)0， :.此时关于m的方程m2-t-3)m+1=0的两个实数根一正一负， 综上所述，t<0或t29. 3.（1)解：把A-2,0)代入y=x2+mx-2得：0=4-2m-2, 解得：m=1, :.该抛物线的解析式为：y=x2+x-2, 把x=0代入得：y=-2, C(0,-2): 把y=0代入得：0=x2+x-2, 解得：x=-2,x2=1, .B(1,0). (2)①如图： 54/104 上好每一堂课 符合题意； 不符合题意； 符合题意； 函学科网·上好课 www zxxk.com B 设直线AC的函数解析式为：y=kx+b(k≠0)， 把A(-2,0),C(0,-2)代入得： 0=-2k+b [k=-1 -2=b，解得： b=-2’ .直线AC的函数解析式为：y=-x-2, :A-2,0),B(1,0),点N运动到AB的中点， 1。 N-5,0, 2 把x=代入y-2得：2， 1 13 A(-2,0),C(0,-2), .A0=C0=2,则∠BAC=45°， :s,9分》 3 .MN=BN= 2 :MN∥y轴， .∠MNB=90°， .∠BMN=45°， .ZBMN ZBAC ②过点G作GH⊥x轴于点H, 55/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com 由①可得：∠BAC=45°， .LGNB=∠BAC=45°， .∠NGH=45°，则GH=NH, 设点Ga,a2+a-2, :A-2,0), :AH a+2,GH=a2+a-2,NH =AH-AN =a+2-t, a+2-t=a2+a-2,整理得：t=4-a2, B(1,0), .BH=a-1, :∠GNB=∠GAN+AGN,∠NGH=∠NGB+BGH, .∠GAN+AGN=∠NGB+BGH, :GN平分LAGB, .LAGN=∠NGB, .∠GAN=∠BGH, 又：∠GHB=∠AHG=90°， AGH∽GBH, AH GH ,即a+2-a2+a-2 GH BH a2+a-2a-1 整理得：(a2+a-22=a2+a-2, 令a2+a-2=A,则A2=A, 解得：A=0,A2=1, 当A=0时，不符合题意，舍去； 56/104 系一母拼丁 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当4=1时，解得：4=-1+国 此时1=4-0=4-7-下_1+，或1=4-a=4-7+_1- 2 3(舍)， 2 2 2 综上：存在，1=1+下，点G的坐标为 2 千1>解：考银点000代入y写式++e中。 解得c=0, 将4-2,7列代入y=+mx中，则有县×(-22-2m=7, 41 解得m=-3 m=-3,c=0 (2)解：①不可能；理由如下： 如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D,过点B作直线AD的垂线，垂足为C,如图所示： B 5x+bx 4x-3x :△ABO是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， .AB=A0,∠BA0=90°， :∠C=90°，∠AD0=90°， ∴∠CAB+∠CBA=90°，∠CAB+∠DA0=90°， .∠DAO=∠CAB, .△A0D≌△BAC, .CB=AD=7,AC=OD=2, .B(5,9), 1 将B(5,9)代入y=三x2+bx中，得5+5b=9, 5 解得b=4 :b>3,矛盾， 57/104 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AOB不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形. ②0<x≤2b,x2<0,且当y1=y2时，始终有x+x2<0, x1<-x2,0<-x2≤2b, 设点N关于y轴的对称点为P, .P(-x2y2), 点N在抱物线y4-3x上 点P在抛物线y=+3x 过点P作x轴垂线，与揽物线y=+bx交于点Q-, “函数y=。x2+bx在x>-56 5 2 上随x的增大而增大， y y- 1 y-4x-3x Q ,y 2+3x 4 又b>3, M ,'D :当x>0时，函数y=x+hx在x>0上随x的塔大而塔大， :0<x1<-x2, y<y3,又y=y2, y2<3, :点Q-为在描物线y-写+x上，P-,小在抛物线y-子+3x上 :当0<x≤2b时，抛物线y=+br在抛物线y=+3x上方， 5 4 Ix+bx>Ix+3x 1 即在0<x≤2b上， 4 整理得x+(3-b)x<0,在0<x≤2b成立， 20 b>3, 58/104 品学科网·上好课 www.zxxk.com t-106-引>0，要候有0+3-01r<0 1 2× 20 只需当x=2b时， 0×2+3-bx2h<0,即10b->b, 解得：b 综上所述存在实数b>号，使得0<≤2b,与<0，当万=，时，始 rh y= y= x2+3x M P 0 通关特训 1.（1)解：小明的猜想不正确，理由如下： 反例：5-5,5非法约分后为分， 5.1 5418’54 184 ∴小明的猜想不正确； (2)解：①c= 20a 3a+2’ 由c是整数知，a=1或2， [a=1「a=2 所以 (c=5’ 故(a,b,c为(1,6,4或(2,6,5)； ②c=10a=10-10 a+1 +1, 由c是整数知，a+1=1,2,5,10, 因为1≤a≤c≤9,1≤b≤9， 所以a=1或4， 59/104 上好每一堂课 终有x+x2<0 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a=1a=4 所以 (c=8' 故a,b,c为(1,9,5)或(4,9,8； (3)解：正确，证明如下： 个 19.910°+(10°-12×10°-12×10°-11 9:9510x10”-1+510-55x2x10°-15’ n个 n个 而按“非法约分”规则， 1991991 9…959955’ n个 n个 n个 放19.9 g…95的“非法约分正确。 n个 2.(1)解：：a=2,b=5,将明文中字母H(m=8)转换成所对应的密文， 则=2×8+5=21， 1<21<26, .21对应的字母是U, .明文中字母H对应的密文是字母U; 同理，明文中字母I对应的密文是字母W; .“H”加密后的密文是“UW”; (2)解：根据题意可知S=am+b=3×2+b, :M对应的数是13， .6+b=13, 解得b=7; (3》根据题意，得3a+b=11' 7a+b=15 解得b=8 a=1 7a+b=15+26 根据题意， 得 3a+b=11 60/104 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得a=7.5,不是整数，不符合题意， 7a+b=15 根据题意，得 3a+b=11+26' 解得a=-5.5,不符合题意： (4)解：：T和N对应的数是20,14，且a=1,b=8,设明文对应的数是x,y, .x+8=20,y+8=14, 解得x=12,y=6, :12对应的字母是L,6对应的字母是F, 密文“TN”解密获得的明文为LF”. 3.(1):2×(-2)3-2×(-2)2+m=0 解得：n=24: 故答案为：24； (2)在(x-2)3=ax3+bx2+cx+d中， 取x=-1,得 -27=-a+b-c+d, ∴a-b+c-d=27①， 取x=0,得d=-8②， 联立①②得：a-b+c=19. (3)由题意设x4+mx3+x-4=A(x+1)(x-2), 分别取x=-1和x=2,得 [1-m-n-4=0 16+8m+2n-4=0’ m=-1 解得： n=-2’ ∴.m,n的值为m=-1,n=-2. 4.(1)解：方案二是可行的， 如图，过点H作HP⊥FG,交FG的延长线于点P,则∠P=90°. 61/104 学科网·上好课 www.zxxk com H 60° 在oEFGH中，EF∥GH, .∠F=∠HGP=60°， 在Rt△HPG中，∠HGP=60°，HG=EF=6m, .sin∠HGP= HP=HP=3,GP=IHG=1x6=3(m), GH 6 2 2 .HP=35≈3×1.732=5.196(m, :14-2HP=14-2×5.196=3.608>3.5, 方案二是可行的 36-3÷2.8≈11.8， ·.一排倾斜式停车位有11个， ·.方案二设计为两排倾斜式停车位最多有22个. (2)解：可设计成如图所示垂直式和倾斜式车位各一排，这样停车 … 行车通道 … 理由如下： 14-AB-HP≈14-5.3-5.196=3.504>3.5， :.可设计成垂直式和倾斜式车位各一排 由方案一可知，一排垂直式停车位有14个， 由方案二可知，一排倾斜式停车位有11个， :按图设计为一排垂直式和一排倾斜式的停车位共有25个. 5.(1)解：∠BAC≈37°，∠ABC≈61°， ∠ACB≈180°-37°-61°=82°， a b C ，BC≈510m, sin A sin B sin C BC AB sin37°sfin82°， 62/104 上好每一堂课 位数更多， 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 510AB 0.600.99 解得：AB≈842（米）， 答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为842米； (2)解：如图，过点D作DE⊥AB于点E, B∠BAD=45°，∠DEA=90°， .ADE是等腰直角三角形， :DE AE, 在RtaBDE中，∠ABD=60° BD=DE 2V5 DE sin60°3 BE=- DE 3 DE tan60°3 AB-AE+BE-DE+ DE-3+DE 3 3 AB BD Sin∠ADB sin∠BAD 3+5DE 3 23 DE 3 sin∠ADB =sin45 sin∠ADB=V6+V2 4 6.(1)解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6得22， 22-6×2=22-12=10, :10不是7的整数倍， :226不是7的整数倍： ②由题意，得：abc=100a+10b+c,ab-2c=10a+b-2c, :ab-2c是7的整数倍， 设ab-2c=10a+b-2c=7k(k为整数)， 10a+b=7k+2c, .abc=100a+10b+c 63/104 学科网·上好课 www.zxxk.com =10(10a+b)+c =107k+2c+c =70k+21c =710k+3c, ·abc是7的整数倍. （2)解：根据题意可得，四位数n226,割掉末位数字6得22， :四位自然数N=n226能被7整除， :三位自然数100n+2×10+2-2×6能被7整除， 即100n+10能被7整除， :100n+10=714n+1+2n+3, 2n+3能被7整除， :1≤n≤9，且n为整数， 则可得n=2或9 7.(1)证明：：EF⊥BC,AB⊥BC, .EF∥AB, △CFE∽△CBA, EF_CF (依据：相似三角形对应边成比例) AB CB EF BF 同理可得： CD CB EFEF BF CF =1, AB CD CBCB 111 AB CD EF :若设置A,D在直尺上的读数分别为R,R2,则点E在直尺上的读数 (2)解：如图，作BE⊥BC交AD于点E,BE的长度作为R急值. B D 64/104 上好每一堂课 为并联电路总电阻R急的值， 高学科网·上好课 证明：：EB1BC,∠C=90°， ·∠EBD=∠C=90°， .EB∥AC, .∠CAD=∠BED, :△DBE∽△DCA, AC CD BE BD' AC=BC, BC =BD+BC=1+BC B BD 111 BE BC BD ·BE的长度可以作为R总值. 3x+y-2z=2① 8.(1)解：方程组 7y+z=-7②， 6z=0③ 由③得，z=0, 代入②，解得y=-1, 代入①，解得x=1, x=1 方程组的解为y=-1; 2=0 2x-y-z=-2① (2)解：(i)方程组x+2y+z=1②， -x+y+2z=-1③ 仿照材料可得： 2 -1-1 -2 2-1-1-2 -1-1 2 1 2x2-① 0 53 ③x2+① 0 5 → 3 -1 12-1 0 13 2x-y-z=-2④ 最后一个数阵对应的方程组是 5y+3z=4⑤ 12z=-24⑥ 由⑥得z=-2, 65/104 上好每一堂课 944 ③x5-② → 200 344 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 代入⑤，解得y=2, 代入④，解得x=-1, x=-1 :方程组的解为y=2; z=-2 x+y+z=1① (i)方程组{x+2y+3z=2②， x+3y+mz=5③ 仿照材料可得： 1111 1111) 111 1 111 123 ②-① 0121 ③-① 0121 ③-②x2 012 31m 5 13m5 02m-14 00m-52 最后一个数阵对应的方程组是 x+y+z=1④ y+2z=1⑤ (m-5)z=2⑥ 当m-5≠0，即m≠5时， 由⑥得2=2 -5’ 代入⑤，解得y=m-9 m-5 代入④，解得x=2 -5, 2 x=- m-5 ·方程组的解为y=m-9 m-5,符合题意； 2 2= m-5 m≠5. 9.解：(1)套公式易得若AB=2c,则⊙0自转2周；若AB=1,则⊙0自转二周.在阅读理解的(2)中， 若∠ABC=120°，则o0在点B处自转上周：若∠ABC=60,则o0在点B处自转周， 6 (2)因∠ABC=90,AB=BC= 20则o0自转1+}-月： 4 (3)△ABC的周长为l, 66/104 函学科网·上好课 www zxxk.com :00在三边上自转了1周 又：三角形的外角和是360°， :在三个顶点处，00自转了360 1(周) 360 00其自转了←+同 (4).:五边形的外角和也是360°， :所做运对和三角形一样，o0共自转了：月 10.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .ZBAD=90,AB=AD,AO=BO=OD, :将线段AE绕点A逆时针旋转90°得到线段AF, .∠EAF=90°，AE=AF, :L0AD+∠DAF=∠BA0+∠0AD=90°， :ZBAO=ZDAF .△BAO≌△DAF(SAS, .DF=BO, 又B0=0D, .DF=OD (2)解：①如图所示，连接A0, N B EO D 图2 :△ABD为等腰直角三角形，∠BAD=90°， ∠ADB=45,BD=V2AB, :点O为BD中点， .A0⊥BD,A0=D0, 67/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com :.△AOD是等腰三角形， ∴：∠OAD=45°，AD=V2A0, .∠0AN=135°， 又：∠ADB=45°， .∠ADM=∠0AN=135°， :AD⊥AB,MN⊥AB, .AD∥MN, AN AB 1 DM=BD ANAO DM AD .△AON△DAM, AM DM=2, ON AN .AM=√2ON; ②如图所示，取AM中点G,连接OG, N A EO D 4010M,则oG= 又AM=√2ON, .当ON取得最小值时0G最小， :当E与点B重合时，F在AD上，此时N点与A点重合， ∴.AM=AD, 又AB=AD, 0G=24D-24B=2W2, .旋转过程中0G的最小值为22， 68/104 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【点晴】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角 形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键， 1.解：% :在ABC中，点D在BC上，EF∥BC交AD于点G, :△AEG∽△ABD,△AGF∽△ADC. EG AG FG BD AD CD BD EG CD FG (2)过点M作MH∥DP交BC、CN分别于点H、K,设AC=63a(a>O). 在ABC中，点M、N在AB上，满足BN:NM:MA=2:3:4, BM:BA=5:9,NM:NA=3:7, :MH∥DP, :△BMH∽△BAC,△NMK∽△NAC. :MH AC =BM BA=5:9,MK AC NM NA=3:7. .MAC350.MKC27a. :KH MH MK =8a :MH∥DP, 由(1)得P=KM-27a27 QDKH-8a-8· (3)过点G作ST∥BD交AB、AD分别于点S、T. ·四边形是ABCD正方形，CD=9, ·LDAB=LABC=∠BCD=LCDA=90°，DA=AB=BC=CD=9,∠ABD=∠DBC=∠ADB=∠DBC=45° ,AD∥BC. ∠1=180°-∠ABD=135°，∠1=180°-∠ADB=135°，∠3+∠4=45°，△BEF∽△DAF. :AS=AT,BS=DT,BE DA=BF FD. .·CG=CD=9 69/104 学科网·上好课 www zxxk.com :BC=CG=CD=DA=9. CGB=LCBG,LCGD=∠CDG,∠3+∠4=180°-∠6. L6=LCGB+LCGD=∠CBG+∠CDG. :四边形GBCD中，∠6+∠CBG+∠CDG+∠BCD=360°， ∠6=360°-∠BCD=135°，∠3+24=45. ∠1=L2=∠6=135°，∠3=∠5. .△BSG∽△GTD. :BS:GT=GS:DT=BG DG .DT·BS=GSGT. :BG:DG=2:3,设GT=3x, BS=DT=2x,GS=3· 4 :ST∥BD, 4 :由(1)得BF:DF=GS:GT=x:3x=4:9. 3 BE:9=BF:DF=4:9,解得BE=4. T D 5 E C 12.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， CD=BC,∠B=∠ADC=90°， .∠CDG=180°-∠ADC=90°， 如图所示，连接CF, A 由折叠的性质可得∠CMF=∠B=90°，CM=BC, 70/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com :CD=CM, 又：CF=CF, .Rt△CDF≌RtACMF(HL), :DF MF (2)()证明：如图，连接CF, B 同理可证明DF=FM, .∠FDM=∠FMD, F是MW的中点， :FN FM :FN=FD ∠FND=∠FDN, :∠FMD+∠FND+∠FDN+∠FDM=180°， 2∠FDN+2∠FDM=180°， .∠FDN+∠FDM=90°， LMDN=90°； (ⅱ)解：如图2，连接CF,交DM于O, A E」 F M B Q C 设DF=FN=FM=a,则CD=CM=BC=MN=2a, 设FG=x, ..DG=x+a, :∠GMF=180°-∠CMN=90°=∠CDG,∠G=∠G, 71/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com △GMF~△GDC, FG GM FM 1 CG DG CD 2 :.CG =2FG=2x,, 在Rt△CDG中，由勾股定理得CD2+DG=CG, .(2a2+(x+a2=(2x)2, x=-a(舍去)或x=a, -3a,DG-xta-Sa, CG=2x=10 3 10 由(1)知，EG=CG= -a, 3 1082 .DE=EG-DG= 3a-3 a=a， 3 CM=CD,DF=FM, .DM⊥CF, ∠F0M=90°， 由(2)知，∠MDN=90°， LMDN=∠FOM, CF∥DH, DF∥CB, :四边形DHCF是平行四边形， :CH =DF =a, 8 DG-38 CH a 3 13.(1)解：：∠CMF=50°， :∠cr=∠G=25°， :四边形ABCD是正方形， .∠ADC=90°， ∠ADE=65°； (2)解：①由折叠的性质得：∠AFD=∠PFD, 设∠CDF=x,则∠CMF=2∠CDF=2x, 72/104 系一母拼丁 高学科网·上好课 www zxxk.com DM=FM, .∠DFM=LCDF=X, :∠ADC=90°， ∠ADF=90°-∠CDF=90°-X, .∠DAF=50°， .∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=180°-50°-(90°-x=40°+x, .∠PFD=40°+X, ∴.∠PFM=∠PFD-∠DFM=40°； ②由折叠的性质得：∠AFD=∠PFD, 设∠CDF=x,则∠CMF=2∠CDF=2x, DM=FM, .ZDFM ZCDF x .∠ADC=90°， .∠ADF=90°-∠CDF=90°-X, .∠AFD=180°-∠DAF-∠ADF=180°-∠DAF-90°-x=90°-∠DAF+x .∠PFD=∠BAF+X, .∠PFM=∠PFD-∠DFM=∠BAF, 当AF与圆O相切时，∠BAF最小，则∠PFM最小，此时MN取得最小值 如图，连接AP, B E :DM⊥AD, .AD与圆O相切， .AD=AF, 由折叠的性质得：AD=DP,AF=PF, .AD DP AF PF, 73/104 上好每一堂课 =∠BAF+x, 函学科网·上好课 .四边形AFPD是菱形， AP垂直平分DF, DM=FM, 点M在AP上， :正方形ABCD,AB=4, :AD =CD=4, 在R△ADM中，AD=4DM=CD=2, :AM=AD2+DM2=25, ∴cos∠DAQ= AD 5 AM 5 :∠DAQ+∠ADQ=∠FDN+∠ADQ=90°， .∠FDN=∠DAQ, cos∠FDN=cos∠DA0= 5 ·DQ=DM×cos∠FDN= 4V5 .8V5 DF=2D0= 5 DN=DFxcos∠FDN=16 ·MN=DN-DM=6 5 即MN的设小值为 14.(1)证明：：四边形ABCD是正方形， .∠ADC=90°，AD=DC :DF⊥DE, ∠EDF=90°， .ZADC ZEDF .ZADE ZCDF .DE =DF, .△ADE≌aCDF(SAS: (2)解：连接A0,如图所示： ww.Zxxk.com 74/104 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D F C :AB=BC=6,O是BC边的中点， .BO=BC=3, 在Rt△AB0中，则A0=√AB2+B02=V62+32=3√5， 在△AE0中，AE10E,则AE=VA02-0E2=35-2=4, 由(1)中△ADE≌△CDF(SAS)可知CF=AE=√4I; (3)解：过点F作FP⊥BC交BC的延长线于点P,如图所示： D 0 由(2)知A0=35, 0E=2, AE=A0-0E=3V5-2, :△ADE≌△CDF(SAS), .CF=AE=35-2,ZDAO=ZDCF, :.LBA0=∠FCP,LAB0=LFPC=90°， △ABO∽△CPF, CF PF ·AOBO 35-2PF 353 解得PF=15-25 5 :点F到直线BC的距离为15-25 5 75/104 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)解：连接DO,将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM,连接MF,则由题意可知点F在以点M为 圆心、FM长为半径的圆上运动，连接OM,如图所示： D :∠EDF=LODM, .∠EDO=∠FDM, DE=DF,DO=DM .△EDO≌△FDM(SAS); .FM=OE=2, :D0=V0C'+CD=V32+6=35,0M=VOD2+DM2=35+(35=310,点F在以点M为圆 心、FM长为半径的圆上运动， .0F≥0M-FM, .0F≥3V10-2, 线段0F的最小值为3√0-2. 15.解：(1)①AD1BE,证明如下： 由翻折的性质得：AB=AB',DB=DB', ·点A、D都在线段BB'的垂直平分线上， .AD⊥BE; ②1D3 E,证明如下： 延长AD交BE于H,如图， B H :∠ACB=90°，sin∠BAC=4 B E C :设BC=4m,则AB=5m, 76/104 函学科网·上好课 www zxxk.com :AC=AB2 -BC2 =3m AC_3 BC 4' :AD⊥BE, .∠AHE=90°， ∠E+∠CAD=90°， :∠ACB=90°， LACD=LBCE=90°，LE+∠EBC=90°， .LE+LCAD=LE+LEBC=90°， :ZCAD ZEBC, .△ACD∽△BCE, AD AC 3 BEBC4· (2)如图，过点E作GH⊥AD交AD于点H,交CB延长线于点G, G B : E M D AE=3,AB-5. EB 2 3+2=3,BE=5 3 .AE=5 2 =2, 3+2 GH⊥AD, ,∠AHE=∠EHN=90°， ∠HEN+∠ENH=90°， EH 4 在Rt△AEH中，sinA= .F3 12 5 :AH =AE2-EH2 12)2 9 、5 ”平行四边形ABCD, 77/104 上好每一堂课 连接FM交AD于点P, 学科网·上好课 .AB∥CD,BC=AD=6, △BGEn△AHE,∠G=∠AHE=90°， BG EG BE 2 AH EH AE 3 ZG=ZEHN, BG=24H=,BG=EH=8 6 3 636 ..CG=BC+BG=6+ 55 :EF⊥CE, ∠CEF=90°， LHEN+LCEG=90°， .∠HEN+∠ENH=∠HEN+∠CEG, ∠ENH=∠CEG, △HEN∽aGCE, NH EH ,∠HEN=∠GCE, EG CG 812 .NH-EG.EH=5*5=8 CG 3615 5 ND=AD-AH-HN=6-9-8=11 5153 “将BE绕着点E顺时针旋转90°得到ME, ∴.ME=BE,∠BEM=90°， ∴.∠CEF=∠BEM=90°， ∠MEF+∠CEM=∠BEC+∠CEM, ·LMEF=LBEC, 又：EF=EC, △MEF≌△BEC(SAS, MF=BC=6,∠MFE=∠BCE, .∠MFE=∠HEN, .MF∥EH, ∠MPD=∠EHN=90°， :.S.wr-MF.NP.S.wr-MF.DP, 2 2 www zxxk.com 78/104 系一母拼丁 学科网·上好课 www .zxxk.com &S边De三Sn+Sne)MENP+DPe 2MF:ND- ×6 :四边形DMNF的面积为11. 故答案为：11. 16. (1)证明：：D,E分别是边BA,BC的中点， .AC∥DE .LBED=∠BCA=90°， ·cos∠ABC=BE、BC BD AB :将BDE绕点B顺时针旋转a(0°<a<90)得到△BFG, BE=BG,BD=BF,∠DBE=∠FBG, :LCBG=LABF BG BC BF AB .CBG∽ABF, .LBFA=∠BGC (2)解：如图，过点F作FN⊥CA,交CA的延长线于点N,FH C E H G :∠BFA=90°， :si∠BAF=BF=BD_1 ABAB 2 ∠BAF=30°， AF=AB2-BF2=3BF ∠AFB=∠C=90°， :LFAC+∠CBF=180°， 又：∠FAC+∠FAN=180°， .LFAN=∠CBF, 79/104 上好每一堂课 11=1, ⊥BC于H, 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 又：∠FHB=∠N=90°， .AFN∽BFH, AN_FN=4F-3 BH FH BF AN=V3BH,FN=√5FH :FN⊥AC,FH⊥BC,∠C=90°， :四边形FNCH是矩形， .CN FH,CH =FN, .BC-BH FN,AC+AN FH .2AC-BH =3FH,AC+3BH FH BH2-√3 FH 23+1 设BH=2-V3x,FH=2V3+1x :BF=BH2+FH=25x ·sin∠CBF=HF-25+5 BE 10 17.证明：(1)：DE是ABC的中位线， :DE=BC且AD=DB=AB 1 2 又：△ADC绕点D按逆时针方向旋转得到△A'DC ·DE=AD :.AB=BC. (2)由题意可知：DC=DC',DA=DA',∠CDC'=∠ADA'. 作DG1cc,则cG=C6=CC'且∠cDG=∠CDG=∠cDc, A 又：BD=DA=DA'，, 80/104 厨学科网·上好课 WW :∠A'BD=∠BA'D. 根据外角定理 ∠A'DA=∠A'BD+∠BA'D, E ZB4'D=24DA ·∠BA'D=LC'CG. 又：DB=DA',DF是△A'BD的中位线， DF⊥A'B, :∠A'FD=90°， ·△A'FD∽△DGC', DF A'D C'G C'D DF BD .. :2DF·CD=BD·CC'. (3)存在点G使得∠AGD+∠CGE=180°， :DE⊥BC, .LDEB=90°， :在Ri△BDE中，DE=BE.tan B=3×4=4, BD=VBE2+DE2=V32+42=5 过点C作CM⊥AB于点M, A M D B E .LCMB=∠DEB=90°， :∠B=∠B, w zxxk com 81/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 www zxxk.com .△BDE∽△BCM 5 43 BD DE BE BC-CM-BM,即3+32CMBM, 3 :BM= 41 ∴.DM=BM-BD= 1-5=16 :AD=32 :DM=AD, Γ2 .点M是AD的中点， .CM是AD的垂直平分线， 过点D作DP∥BC,交CM于点P,连接AP,CP,EP .PA=PD, .根据三线合一得∠DPM=∠APM, :DP∥BC, .∠MDP=∠B, :∠PMD=∠DEB, ∴.△PDM∽ADBE, PD DM 16 DB BE -,即PD=5, 53 PD=16 过点P作PN⊥BC于点N,则四边形DENP是矩形， ·EN=DP=16 PN-DE-4 EC=32 ’ :EN-EC, 2 点N是EC的中点， .PN垂直平分EC, .PE =PC, .∠EPN=∠CPN= L∠EPC, 82/104 系一母拼丁 命学科网·上好课 www zxxk.com PN 4 3 DM BE 3 EN 164PMDE-42 3 PN DM EN=PM' 又∠PNE=∠DMP=90°， .△PEN∽△DPM, .LEPN=∠PDM, :∠MPD+∠PDM=180°-∠PMD=90°， .∠MPD+∠EPN=90 EPCAPD LEPC+∠APD=180°， :当点G与点P重合时，满足∠AGD+∠CGE=180°. 18.(1)证明：：∠D=90°，∠ABC=90°， .∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CBE=90°， .∠CBE=∠BAD. 又：∠D=∠E=90°， .△ADB∽△BEC. (2)解：如图①，过点C作CN⊥DE于点N. :CN⊥DE,∠ADE=90°，LABC=90°， 根据(1)的方法同理可得△ADB∽△BEC, DB AB NC BC 在Rt△ABC中，tan∠BAC= BC 1 NC 1 4 B .DB=4, .CN=2. 83/104 系一母拼丁 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△CNE中，CN=2,CE=3, ∴NE=VCE2-CN2=√5， :tan E=CN=2215 NE=55 (3)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC, 交BC的延长线于点F. :AE⊥BC,DF⊥BC,∠ACD=90°， 根据(1)的方法同理可得△AEC∽△CFD, B EC ② AC EC ∴CDFD' AB=AC,AE L BC,BC =40m, :CE=号Bc=20m, 2 在Rt△ACD中，an∠CAD=CD-L AC2 FD-CD=1 ECAC 2 :CE=20m, .FD=CE =10m, 2 1 1 5.am=2BC-FD=2×40x10=20(m）, 故栽种竹子的面积（即△BCD的面积）为200m2. 19.(1)解：把a=1,b=2代入y=x2-2(a+b)x+4ab中， 得y=x2-6x+8=(x-3)2-1, 所以该函数的顶点坐标为(3，-1)； (2)解：①把b=-2a代入y=x2-2a+b)x+4ab中， 得y=x2-2a-2ax+4a-2a=x2+2ar-8a2, 84/104 6学科网·上好课 www.zxxk.com 所以对称轴为直线x=-20=-a, 把x=-a代入y=x2+2ax-8a2中，得y=-9a2, :函数的最小值为-9，且二次项系数1>0， -9a2=-9, 解得a=±1， 仅因为对称轴在2≤x≤)之间， 即-2s-a Γ2 则-分as2, 故a=1, 二次函数解析式为y=x2+2x-8; ②由①知y=x2+2x-8, 对称轴为直线x=-1, :点A(0,)在y轴上，过点A(0,)作与x轴平行的直线交抛物线于B, ∴.点B,C的纵坐标均为t, 设B的横坐标为x,C的横坐标为x, :B,C关于直线x=-1对称， tc=-1, 2 .Xc=-xg-2, :点B为线段AC的中点， :。=0+,c,即=2， 2 -xg-2=2xg, 2 = 3 将=代入y=+2-8, 得y=-80 9 80 ∴.t=- 9 85/104 上好每一堂课 C两点， 学科网·上好课 上好每一堂课 20.(1)解：①y=x关于直线x=0对称，是“长榆函数”； ②y=,x其函数图象不关于直线x=m,对称，不是“长榆函数”； 2026 ③y=x2-2026x+2026,对称轴为直线x=1013,是“长榆函数”； (2)解：①当k=0时，y=m,如图： E M 依题意，函数y,=x2+b,x+C和y2=x2+bx+c2(其中b、b2、G、C2为常数，G<C2)均为“长榆函数”，且 其“振万直线”为同一直线， 根据抛物线的对称性可得EF=GH, ②当k≠0时， :,2的“振万直线”为同一直线， .b=b2, 设b=b2=b, 如图所示，过E,G分别作x轴的平行线，过点F,H分别作y轴的平行线，交于点P,Q,则∠P=∠Q=90° PE∥GQ, G .∠FEP=∠HGQ, 联立 y1≡x2+bx+C1 y=kx+m x2+(b-k)x+c-m=0, 86/104 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 x,+x4=k-b,同理可得x2+x=k-b, .x+x4=x2+x3, 即x2-x=4-X3, 即EP=GQ, △FEP≌△IGQ(ASA), :EF=GH, 综上所述，EF=GH; (3)解：如图： B :关于x的“长榆函数”，y1=ax2+bx+3aa≠0的“振万直线”为x=2,与x轴交于点A、B（点A在点B的 右边)， 当-b=2,即b=-4a, 2a .y=ax2-4ax+3a, 令y=0,即ax2-4ax+3a=0, 解得：x=1,x2=3, .A3,0),B(1,0), 当x=2时，y=-a,则y=-a,M2,-a, 函数y2=-ax2+bx-3a的图象与x轴交于点C、D(点C在点D的右边)，其顶点为N, .y2=-ax2-4ax-3a, 令y=0,即-ax2-4ar-3a=0, 87/104 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -1-3-2, 解得：x=-1,,=-3,则对称轴为直线x=2 C(-1,0,D-3,0, 当x=-2时，y=a,则N(-2,a, 0M=0N,0A=0D, .四边形AMDN是平行四边形， :AD在x轴上， :.MN不可能垂直于AD, ∴.四边形AMDN不可能是菱形， 当四边形AMDN为矩形时， .OM=TAD, 2 即V4+a2=3, 解得：a=±V5. 21.(1)证明：当m=1时，抛物线y=-x2-2(m+2)x-mm+4) =-x2-6x-5 当y=0时，-x2-6x-5=0 即x2+6x+5=0 ∴.△=b2-4ac=36-20=16>0 .此抛物线与x轴必有两个交点； (2)解：①当y=0时，-x2-2m+2)x-mm+4)=0,即 x2+2(m+2)x+mm+4=0 .x+mx+m+4=0 解得：x=-m或x=-m-4 ∴A-m-4,0,B-m,0 ∴AB=4 OC=AB, .C(0,4) 88/104 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .当x=0时，y=-x2-2m+2)x-m(m+4)=-mm+4)=4 解得：m=-2 y=-x2+4,A-2,0),B(2,0), :点Da,4-a2)在第一象限， 当x=a时，y=-a2+4,则D在y=-x2+4上， 如图，设AD交y轴于点N,过点D作DM⊥x轴于点M, M 设直线AD的解析式为y=x+b,代入A-2,0),Da,4-a2), 0=-2k+b 4-a2=ka+b' [k=2-a 解得： b=4-2a' y=2-ax+4-2a, 当x=0时，y=4-2a,则N(0,4-2a, .CN=4-4-2a=2a, :A-2,0),Da,4-a2, .AM=a+2 :S。4CD=3, 1 :.2 ×CN×AM=3, 1x2ax(a+2)=3 解得：a=1(负值舍去) 89/104 命学科网·上好课 www zxxk com .D1,3 .AM =DM =3 .LDAB=45° A-2,0),C(0,4),D(1,3), AC2=22+42=20,AD2=32+32=18,CD2=12+12=2 AC2=CD2+AD2且∠ADC=90 :ZADC =22DAB ②如图，过y轴上的点P的直线交抛物线于E,F两点，过EF的中点G作 H P G B 设P(0,),经过点P的直线为y=c+t y=kx+t 联立 y=-x2+4 ∴.x2+x+t-4=0 :Xg+xp=-k,XE'XF =1-4 :G是EF的中点 .XH=XG=- =4+4 4 EF=VE-x)+(yE-yE)=1+k)(xE-x) :(xE-xe)}2=(xE+xF)2-4xexp=k2-4(t-4)=k2-4t+16 EF=V1+k2)k2-4t+16) 需是个定鼠， 90/104 上好每一堂课 y轴的平行线交抛物线于点H. 函学科网·上好课 www zxxk com EF V1+k2)k2-4+16 =4 1+k2 GH 2-4+16是一个定值， 1+k2 4 4 4k2-41+16 k2-4t+16 15-47 1+k2 V+ 1+k2 .-41+15=0时， F是一个定值， GH 15 .t= 4 5 :点P的坐标为0,4 22. (1):二次函数的图象经过A(-1,2),C(0,3), [2=1-b+c 3=c b=2 解得： c=3' 此二次函数的表达式为y,=x2+2x+3; (2):y=x2+2x+3=(x+12+2,且向右平移mm>0)个单位长 ·新的二次函数可表示为y=(x+1-m+2, :对称轴为x=m-1, ①当m-1≥4，即m≥5时， :当x=4时，有ym=(4+1-m)+2=m2-10m+27, ②当0<m-1<4时，即1<m<5时， ·当x=m-1时，有y'min=2, ③当m-1≤0，即m≤1时， :当x=0时，有y'mn=(0+1-m)+2=m2-2m+3; (3):y=(x+n(x+n-3),y2=x+n, ·y=片-y2, 91/104 上好每一堂课 度， 学科网·上好课 www.zxx k.co m =(x+n(x+n-3)-(x+n, =x+n)x+n-4), 又：图象经过点(x,0, :（x+n(x+n-4=0, ·x,+n=0或x0+n-4=0, :x+n=0或x0+n=4. 23.(1)解：：m=-1,n=1, .M-1,1、N1,1, 把M-1,1),N(1,1分别代入y=-x2+bx+c, 1=-1-b+c 得 1=-1+b+c b=0 解得 c=2' ∴y=-x2+2, (2)解：：抛物线y=-x2+bx+c经过点Mm,m2)、N(n,n2), .m2=-m2+bm+c,n2=-n2+bn+c, 整理2m2-bm-c=0,2n2-bn-c=0 即m,n是方程2x2-bx-c=0的两个实数根， 由韦达定理得m+n=-二b-b, m=c 22 2 .b=2m+n,c=-2mn, .:.y=-x2+2(m+n)x-2mn 令y=0时，则0=-x2+2(m+n)x-2mn, 解得x= -2(m+m川±[2(m+n)]'-4x-l)x-2mn =(m+m±Vm+m2 2×-1 :X4<X8, 92/104 上好每一堂课 2mn, 厨学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :.x=(m+n)(m+n-2mn,xg =(m+n)+(m+n)-2mn, 设K=Vm+n)2-2mn, 则K=Vm+n}2-2mn=Vm2+n2+2mn-2mn=√m2+n2, ..x=(m+n-k,xp=(m+n+K, .xa-m=(m+n)-K-m=n-K xg-n=(m+n)+k-n=m+K :K=√m2+n2, :m+n>0且m<n, .n>0 K=Vm2+n2≥Vm2=n>0 则n-K≤0， .X4-m =n-K =K-n, 则K=√m2+n>Vm=m>0 .K>m, K+m>0, 则xg-n=m+K=K+m, :m+n>0, m>-n, ∴m+K>-n+K, 即K+m>K-n, 即xg-n>x4-m, (3)解：存在，该定点坐标为0,1 由(2)得y=-x2+2m+nx-2mn, 对称轴为直线x= 2(m+n 2×-1) =m+n, 把x=m+n代入y=-x2+2m+nx-2mn, 93/104 可学科网·上好课 www zxxk com y=-(m+n+2(m+n)(m+n)-2mn =-(m+n2+2(m+n2-2mn =(m+n2-2mn =m2+n2, :设抛物线的顶点为P, .Pm+n,m2+n2）, Mm,m2）、N(n,n2), :Mp2=(m+n-m)）2+m2+n2-m22=n2+n, Np2=(m+n-n2+(m2+n2-n2}2=m2+m MN2=m-n2+(m2-n2）=m2-2mn+n2+m4-2m2n2+n, :∠MPN=90°， .MP2+NP2=MN2, 即m2+m4+n2+n=m2-2mn+n2+m4-2m2n2+n, 整理得0=-2mn-2m2n2, .2mn1+mn=0, 若m=0或n=0,则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成△MPN ∴.m≠0，n≠0， .mn≠0， 即1+mn=0, .mn=-1, 设直线MN的解析式为y=kx+t(k≠O), 把Mm,m2)、N(n,n2)代入y=kx+t(k≠0)， 得 m2 =km+t n2=kn+t k=m+n 解得 t=-mn 94/104 上好每一堂课 不满足∠MPN=90°的条件， 函学科网·上好课 www.zxxk.com :直线MN的解析式为y=(m+n)x-mn .mn=-1 .y=（m+nx--1=m+nx+1 当x=0时，则y=m+n×0+1=1, .直线MN过点(0,1， 即直线MN是过一定点，且定点为0，). 24.（1)证明：如下图所示，连接OB,则0B=0A, :0Q0P=0A2, 0Q0P=0B2, OB OP 00 OB' ∠BOP=∠QOB, ∴△BOP△QOB, ∴∠OPB=∠OBQ, BP⊥0A, .∠OBQ=∠OPB=90°， .QB⊥OB, 又：OB为O0的半径， ∴.BQ为O0的切线： B (2)①证明：如下图所示，延长BP交OO于点M,连接CM :BP⊥OA, .BP=PM, 在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP2=OB-OP2, :0B=0A, 95/104 上好每一堂课 OB, 函学科网·上好课 www zxxk.com ..BP2=OA2-OP2, BC=BC .LBDC=∠CMB, ∠BPD=∠CPM, △BPD∽aCPM, 、BPDP CP MP' BP·MP=CP.DP, .BP2 CP.DP, .CP.DP=OA2-OP2; D ②证明：如下图所示，由(1)知∠OBQ=90°， .∠ABQ=90°-∠OBA, 在△0AB中， 0A=0B, :∠0BA=∠0AB=180-∠40B=90°-1∠A0B, .∠ABQ=90°- w-408 40a, ∠ADB=2∠10B, .∠ADB=∠ABQ. D A M 25.(1)证明：连接CD, :AD是∠BAC的角平分线， 96/104 系一母拼丁 命学科网·上好课 ∠BAE=∠DAC, AC=AC, .∠ABE=∠ADC, .△ABE∽△ADC, AB AE AD AC .AB·AC=AE·AD: 0. (2)解：①连接BD, O. .AE =3DE =3k, ·.DE=k,AD=AE+DE=4k, :AD是∠BAC的角平分线， .BD=CD, ∴.∠DBE=∠DAB :LBDE=LADB,∠DBE=∠DAB, .△BDE∽△ADB, BD DE AB BD AD BD'BE DE 即BD2=AD·DE, .BD2=4kk=4k2, :BD =2k, AB BD=2k=2: BE DE k ②取AB的中点H,连接FH并延长交OO www.zxxk com 于点G,连接AG,BG,BF,BD 97/104 上好每一堂课 如图： 函学科网·上好课 www zxxk.com G B D :点F,G关于点H对称， :FH=GH, AH =BH :.四边形AGBF是平行四边形， .∠AGB=∠AFB, :CF平分∠ACB,AD平分∠BAC 点F是BCA的内心，∠BAF=∠CAF, .BF平分∠ABC, ∠ABF=∠CBF, :∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°， .LBAC+∠ABC=180°-∠ACB, :∠BF+∠ABF=l80-∠4C8=90-ACB, ∠AFB=180°-（∠BAF+∠ABF)=90+∠4CB, :∠AGB=∠AFB=90°+∠ACB, 2 :四边形GBCA是⊙O的内接四边形， .∠AGB+∠ACB=180°， 90+2∠4CB+∠4CB=180, 1 解得∠ACB=60°， ∠ADB=∠ACB=60°，∠AFB=∠AGB=90°+×60°=120°， LBFD=180°-∠AFB=60°， .LD=LBFD=∠FBD=60°， ,△BFD是等边三角形， .BF BD DF =2k, 98/104 系一母拼丁 函学科网·上好课 EF=k, .EF DE =k, .BE⊥AD, .∴.∠AEB=∠AEC=90°， .AE=AE,∠BAD=∠CAE, .△AEB≌△AEC(ASA), :AB=AC, .ABC为等边三角形， .AC=BC= AE =2V3k, sin∠ACB .S4Bc=5BC×AE=5×2V3k×3k=3V5k2 2 26.(1)证明：连接0D, B :∠ADF=∠ACD,∠AOD=2LACD, .2∠ADF=LA0D, 设∠ADF=x,则∠A0D=2x, .0A=0D, :∠04D=∠0DA=180°2x=90°-x, 2 .L0DF=∠0DA+∠ADF=90°-x+x=90°， :OD是圆的半径， .DF是OO的切线； (2)解：①连接BD, BE=3CE =3, .CE=1, :BE是切线， .LABE=90°=LCBE+∠ABC, ww.Zxxk com 99/104 系一母拼丁 面学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :∠ABC+∠BAC=90°，∠BAC=∠BDC, .∠CBE=LBDC, ∠E=∠E, .BCE∽DBE, 面 BE CE 31 DE 3' DE=9; ②DE=9, .CD=DE-CE=8, 8 CD=CG, 3 CG=3,DG=5, ..GE=CG+CE=4, 在Rt△BGE中，BG=VGE2-BE2=V42-32=√万， ZBCG=ZDAG,ZBGC=ZDGA, △ADG∽ACBG, 、AGDG CG BG AG 5 o:5方. :4B=4G+BG=15V7+万=2万， 00的学径为号7 27.(1)证明：：∠AEC+LADC=180°、∠AEC+∠BEA=180°， .∠BEA=∠ADC, ,∠BEA=∠AED, .∠AED=∠ADC, :∠AED=∠ACD, :LACD=∠ADC; (2)解：如图，过点A作AH⊥CD,交⊙0于点G, 100/104 题号猜押10 福建中考数学24-25题（解答题） 考点1 实践探究综合题 1．（2026·福建泉州·二模）综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计 【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料．为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为“平行六边形”）瓷砖，并用于地面铺设．现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大． 【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的“平行六边形”可以铺满地面，铺设效果如图1所示．如图2，平行六边形中，，． 试说明：平行六边形可以铺满地面． 证明：连接， ， ① ， ② ， 同理，， 六边形的内角和为， ， ③ ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． 【活动二：废料图形性质探究】按图3的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：，它们都与相似，记它们与的相似比分别为，探究的数量关系． 【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大?记，六边形，的面积分别为，S，探究的最大值． 阅读以上材料，并回答下列问题： (1)补全活动一证明过程①②③所缺的内容； (2)活动二探究中，是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明． (3)活动三探究中，当时，求的最大值． 2．（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 考点2 阅读材料综合题 1．（2026·福建福州·二模）阅读材料，回答问题： 问题提出 探究平面组合图形的重心位置 在学习中，我们已经知道简单平面图形的重心位置，如三角形的重心位于三条中线的交点处，平行四边形的重心位于两条对角线的交点处等．平面组合图形由简单平面图形组成，其重心位置如何确定？ 探究分析 为更好地探究，我们可以将平面图形放置于平面直角坐标系中，将平面图形的重心位置记为点，分割得到的若干个图形的重心位置记为点（为正整数）． 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴与轴的正半轴上，若点的坐标是，则点的坐标为． 请将①②③④⑤⑥所缺的内容或证明过程补充完整． 第阶段 (1)如图，若点的坐标是，沿直线将矩形分割成两个矩形，则原矩形的重心位置点的坐标是①______，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是②______和③______． 第阶段 一般地，如图，沿直线将矩形分割成两个矩形，则它们重心位置的坐标分别为，，记直线与轴交于点，则，，发现：，． 猜想：将矩形按某一水平（或竖直）方向分割成两个矩形（如图所示），原矩形的一边被分成长度为和的两段，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别为，，则原矩形重心位置的坐标满足： ，． 如图所示，若将矩形沿对角线分割成两个三角形，则上述猜想不再适用，此时，可以将原猜想中的“边长的关系”推广为“面积的关系”，从而得到：，． 第阶段 如图，若将矩形沿直线与直线分割得到三个矩形，它们的重心位置分别为，面积分别为，根据第阶段的探究结论，猜想原矩形重心位置的横坐标满足． (2)请通过计算说明这个猜想成立：④______；类比的表达式，写出的表达式：⑤______． 结论应用 根据探究发现，对于平面组合图形，其重心位置的横，纵坐标分别等于将其分割后的各个简单平面图形重心位置的横，纵坐标按各自面积加权所得的平均数． (3)如图，平面直角坐标系中，若，，，，则五边形重心位置的坐标是⑥______． 2．（2026·福建南平·一模）阅读下列材料，回答相应问题. 数字黑洞在数论领域中，存在一类极具趣味性与逻辑性的数字规律——数字黑洞，其中最具代表性的三位数数字黑洞（又称卡普雷卡常数），由印度数学家达塔塔拉亚·拉姆钱德拉·卡普雷卡于1949年发现． 三位数黑洞规则简述如下： 1.一个三位数（三个数字不能完全相同，如不能是111，222）； 2.三个数字重新排列，得到一个最大数和最小数； 3.得到的最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果不足三位，前面补0），对新得到的三位数重复上述操作，经过有限次运算后，最终结果必然稳定在495，且无论后续重复多少次运算，结果都不会再发生改变，如同陷入黑洞无法跳出，因此将495命名为“三位数数字黑洞”． 例如：取三位数315，重排得531，135，作差；对396重复操作，重排得963，369，作差；对594重复操作，重排得954，459，作差，后续运算结果始终为495． (1)用三位数213按规则运算，写出每一步算式，直至得到495； (2)设一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且（a，b，c为非负整数）． ①用含 a，b，c 的代数式表示最大数与最小数的差，并化简； ②若最大数与最小数的差记为（x，y，z为整数，），求y的值． 3．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．   小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． (1)①的内容是_______，②的内容是_______； (2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； (3)m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 4．（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 由自然数1，2，3，4， … ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4， … ，n 就是一个顺序排列．显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数排在之前，但是，此时我们称为一个反序对．一个排列的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 ，例 如 ， ．若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列． (1) ______；它是 一个_____排列； (2)在以1，2，3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； (3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列 至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列？请简要说明； (4)证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 考点3 三角形综合题 1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，若，，当的值最小时，求的长． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）（1）如图1，在等边中，是上一点，是上一点，． ①求证：； ③若，连接，求证：； （2）如图2，在中，，是边上一点，是上一点，连接，且．若，，直接写出的值． 3．（2025·福建厦门·模拟预测）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，等腰中，，，点分别在边上，且，    (1)求证：； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)连接交于点，若，求的值． 考点4 四边形综合题 1．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，正方形中，是边的中点，连接，动点在射线上（不与点重合），连接交于点，连接． (1)若． ①求证：； ②连接，求． (2)延长交于点，若，求． 2．（2025·福建·模拟预测）矩形ABCD中，，，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． (1)如图，当点E在边CD上时； ①若，DF的长为______； ②若时，求DF的长； (2)作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在正方形中，E是边上一点，过点O作交边于点F． (1)求证：； (2)直接写出与的数量关系； (3)如图2，连接． ①如图，若，求证：； ②如图，若，，求的长． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）在平行四边形中，点，点分别是边 ， 上的动点，始终保持 ， (1)若， ①如图1， ， 当点与点重合时， 则的值是 ； ②如图2， 求 的值： (2)如图3， 若 ，求 的范围． 考点5 圆形综合题 1．（2026·福建南平·一模）如图，四边形内接于圆，， 平分交边于点E，点B，C分别在的两侧，点F在边上，且，与的延长线交于点G，设． (1)当圆的半径为2，C与F重合时，在备用图中画出示意图，并求四边形的面积； (2)求的大小； (3)求证：． 2．（2026·福建宁德·一模）如图，是的直径，射线与相切于点是射线上一点，交于点，射线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 3．（2026·福建莆田·二模）如图1，内接于的平分线与和分别交于点D和E，F是延长线上一点，连接，且． (1)求证：点F到三边所在直线的距离相等； (2)若经过点O，连接，如图2，求证：； (3)若，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知中，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； (3)如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 考点6 图形的变换 1．（2026·福建泉州·二模）如图1，是等边三角形，为边上不与重合的一点，点为中点，连接，将射线绕点顺时针旋转交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过点作于点，交于点，连接，如图2．已知下列三个结论中，至少有一个是正确的，请你选择其中正确的一个结论，并证明． 结论：①； ②；③平分． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长， (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 3．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 4．（2026·福建泉州·一模）在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 考点7 二次函数综合题 1．（2026·福建莆田·模拟预测）已知抛物线（为常数，）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 2．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数过点，． (1)求二次函数解析式； (2)已知，是二次函数图象上不同的两个点． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）存在实数，使得，求t的取值范围． 3．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）函数的图象称为“类抛物线T”，已知“类抛物线T”经过原点，． (1)求m，c的值； (2)当时， ①若点B在“类抛物线T”上，判断是否可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形？并说明理由； ②，是“类抛物线T”上的任意两点，其中，．试探究是否存在实数b，使得当时，始终有x1＋x2＜0，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 1．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 2．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践 某数学兴趣小组开展综合实践活动发现：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 例如，已知多项式有一个因式是，求m的值． 小安的求解过程如下： 解：由题意设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则， 解得：①________． (1)补全小安求解过程中①所缺的内容； (2)若，求的值； (3)若多项式有因式和，求m，n的值． 4．（2026·福建泉州·一模）随着科技的发展，新能源汽车越来越普及．某停车场为了满足新能源汽车充电的需要，计划在长、宽的矩形空地修建一个新能源汽车充电场所，某数学项目组负责设计方案． 【资料收集】该项目组通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”、“平行式”或“倾斜式”三种车位类型进行设计，相关信息如下表： 类型 垂直式车位 平行式车位 倾斜式车位 示意图            数据单位：m 矩形，， 矩形，， 平行四边形，， 行车通道宽度不低于3.5m 【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案： 案例解析 方案一：拟设计成如图1所示的垂直式和平行式车位各一排． ， ∴可设计成垂直式和平行式车位各一排， ，， ∴一排垂直式的停车位有14个，一排平行式的停车位有6个， ∴方案一的停车位共有20个． 问题探究 (1)方案二：拟设计成如图2所示的两排都是倾斜式车位，这种设计方案是否可行？若可行，试求出这种方案的最多停车位数？若不可行，请说明理由； （相关参考数据：，） 优化设计 (2)请你结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由． 5．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 6．（2026·福建三明·一模）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． (1)①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； (2)经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 7．（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 主题 设计能读出并联电路总电阻值的教具 提出问题 物理课上学习了计算并联电路总电阻公式，每次计算时总感觉计算麻烦，故某校“勤奋”实践小组结合数学相似三角形的知识：如图，若，则．他们就积极思考，并设计了一个能读出并联电路总电阻值的教具．      分析解决问题 如图1，利用直尺、直尺和直尺（其中，处均装有滚轮，滚轮可在直尺上调节滚动，直尺可以在上左右滚动）设计教具，，，与相交于点，，垂足为．若设置，在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值．   证明：， ，①__________， （依据②_______________） 同理可得：，_____③_____， 若设置在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值． 创新设计 受“勤奋”实践小组的启发，“严谨”实践小组提出设计教具的方案，如下：如图2，中，，，是边的延长线上一点，设线段，的长度分别为，的值，则图中可作出一条长度作为值的线段；    (1)请把①②③补充完整； (2)请帮“严谨”组在图中作出该线段，并说明理由； 8．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 9．（2026·福建漳州·一模）如图1至图5，均作无滑动滚动，、、、均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为.如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周；如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点处，必须由的位置旋转到的位置，绕点旋转的角，在点处自转周. （1）在阅读理解的（1）中，若，则自转______周；若，则自转______周.在阅读理解的（2）中，若，则在点处自转______周；若，则在点处自转______周. （2）如图3，，.从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转______周. （3）如图4，的周长为，从与相切于点的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点的位置，自转了多少周？请说明理由； （4）如图5，多边形的周长为，从与某边相切于点的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点的位置，直接写出自转的周数. 10．（2025·福建厦门·模拟预测）已知，正方形中，点O是对角线的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点O重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点G，连接，补全图形，并求出在旋转过程中的最小值． 11．（2025·福建龙岩·模拟预测）（1）如图1，在中，点在上，交于点，则______（用图中已有的线段表示）； （2）如图2，在中，点在上，满足，在上取一点，过点作分别交的延长线、于点、，求的值； （3）如图3，在正方形中，点在上，连结交于点，在上取点，连结，若，，求的长． 12．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线分别与延长线交于点F、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点H，若F为的中点， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的值． 13．（2025·福建福州·三模）已知，正方形，，以为直径在正方形内部作半圆M，点E是边上动点，连结交半圆M于点F，连结． (1)若，求的度数； (2)如图2，连结，将沿着对折，得到，交于点N． ①若，求的度数； ②求的最小值． 14．（2025·福建厦门·三模）如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； (4)直接写出线段的最小值． 15．（2026·福建泉州·一模）（1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 16．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在中，，D，E分别是边的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，点D的对应点是点F，连接 (1)求证：； (2)若，求的值． 17．（2025·福建漳州·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 18．（2025·福建漳州·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 19．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数，其中a，b为常数． (1)当，时，求该函数的顶点坐标． (2)当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 20．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． (1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． (2)函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． (3)若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 21．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线． (1)当时，证明此抛物线与轴必有两个交点； (2)设抛物线与x轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点．已知点在第一象限，若，且． ①求证：； ②过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 22．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 23．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 24．（2026·福建南平·二模）如图，在中，，分别是半径及其延长线上的点，交于点，且，连接． (1)如图1，求证：为的切线； (2)如图2，是经过点的弦． ①求证：； ②连接交于点，连接．求证：． 25．（2026·福建泉州·三模）如图，内接于，过A作的角平分线，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若时， ①求的值． ②作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于的中点对称，请用含k的代数式表示的面积，并说明理由． 26．（2026·福建漳州·一模）如图，内接于，直径交于点G，过点D作射线，使得，延长交过点B的切线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 27．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在四边形中，，且，过点、、作交于点，连接，，，设，交于点，且满足． (1)求证：； (2)若，，求圆的半径； (3)若，求的值（用含的代数式表示）． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 题号猜押10 福建中考数学24-25题（解答题） 考点1 实践探究综合题 1．（2026·福建泉州·二模）综合与实践主题：废料再利用，瓷砖的密铺与优化设计 【项目情境】某工地在铺设地面过程中，产生了一批规格相同的三角形瓷砖废料．为了废料利用，工人师傅希望从这些三角形瓷砖中，切割出对边分别平行且相等的六边形（称为“平行六边形”）瓷砖，并用于地面铺设．现需解决两个问题：仅用这种平行六边形能否铺满地面；在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大． 【活动一：密铺可行性探究】猜想：仅用规格相同的“平行六边形”可以铺满地面，铺设效果如图1所示．如图2，平行六边形中，，． 试说明：平行六边形可以铺满地面． 证明：连接， ， ① ， ② ， 同理，， 六边形的内角和为， ， ③ ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． 【活动二：废料图形性质探究】按图3的方式，从三角形瓷砖中切割出一个平行六边形后，会产生三个新的小三角形：，它们都与相似，记它们与的相似比分别为，探究的数量关系． 【活动三：面积最大化探究】在一定条件下，为了充分利用三角形瓷砖，如何切割才能使得平行六边形的面积最大?记，六边形，的面积分别为，S，探究的最大值． 阅读以上材料，并回答下列问题： (1)补全活动一证明过程①②③所缺的内容； (2)活动二探究中，是否定值，若是，请说明理由；若不是，请举一个反例说明． (3)活动三探究中，当时，求的最大值． 【答案】(1)①，②，③ (2)是定值，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用平行线的内错角相等，可证对角相等，再结合六边形内角和为 ，推出三个相邻内角之和为 ，从而说明三个平行六边形可在顶点处拼成周角； （2） 利用相似三角形的性质，三个小三角形都与 相似，通过边的比例关系，探究 是否为定值； （3） 已知 ，则 ，利用相似三角形面积比等于相似比的平方，将六边形面积表示为总面积减去三个小三角形面积，再求比值的最大值． 【详解】（1）证明：连接 ， ，， ， ， ， 同理，，， 六边形的内角和为 ， ， ． 即在每个顶点周围放置三个规格相同的平行六边形，恰好组成一个周角，所以可以铺满地面． （2）解： 是定值，且 ． 理由如下： ∵由平行六边形有，，， ∴，相似比为 ， ，即 ， ； 同理：，相似比为 ，得 ， ，相似比为 ，得 ， 在 中，由边的关系： ， 即： ， ， , ， ； （3）解：设的面积为， 由相似三角形面积比等于相似比的平方， ， ， 六边形面积：， ， ， 由 ，设 ，则 ， ， 当 时， 取最小值． 此时 取最大值：． 2．（2026·福建宁德·一模）探究四边形重心的坐标：一般地，匀质薄板物体的重心就是其对应平面图形的几何中心．任意四边形的重心可以用“支撑平衡”的方法确定，也可以通过数学计算求得． (1)【基础掌握】如果三角形的顶点坐标分别为，，，根据三角形重心是三角形三条中线的交点这一性质，可以推出其重心的坐标为．如图1，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，．求该三角形重心的坐标； (2)【基础掌握】如图2，两个匀质薄板物体拼成组合体，其重心一定落在原来两个物体重心连接的线段上；如果以组合体重心为支点，原来两个物体满足力的杠杆平衡原理（即）．现有两个矩形，其宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，将它们底部对齐按图3方式拼成一个组合体，根据上述性质，确定该组合体重心的大致位置（简要说明方法）； (3)【猜想应用】如图4，对于任意四边形，将它沿一条对角线分割成两个三角形，它们的重心分别为，，对应面积分别为，，猜想并直接写出四边形重心的坐标；（用含，，，，，的代数式表示） (4)【猜想应用】如图5，四边形的顶点坐标分别为，，，求四边形重心的坐标． 【答案】(1)的重心坐标是 (2)见解析 (3)四边形重心坐标为 (4)四边形重心的坐标为 【分析】（1）依据公式进行计算即可； （2）连接，在上取点，使； （3）设四边形重心的坐标为，依据（2）杠杆平衡原理公式进行列式即可； （4）连接对角线，分四边形为和，记它们的重心和面积分别是、和、．可得、的重心坐标和面积，根据（3）中四边形重心坐标公式，即为所求． 【详解】（1）解： 三个顶点分别是，，， 根据公式得，． 的重心坐标是． （2）解：如图，设小矩形的重心为，大矩形的重心为，分别作出矩形的重心和，连接，在上取点使． 因为矩形是匀质薄板物体，其重心是其对应平面图形的几何中心，所以、分别是小矩形和大矩形的几何中心． 以组合体重心G为支点，根据力的杠杆平衡原理 (其中、分别为两个物体的重力，、分别为两个物体重心到支点的距离)． 由于两个矩形宽相等，大矩形高是小矩形的2倍，所以大矩形的重力是小矩形重力的2倍，即． 连接，在上取点使． 则点G即为组合体重心． （3）解：四边形重心的坐标为，由（2）杠杆平衡原理得： 同理可得 四边形重心坐标为 （4）解：如图，连接对角线，分四边形为和， 记它们的重心和面积分别是、和、． 四边形的顶点分别是，，，， 的重心坐标是， 面积， 的重心坐标是， 面积． 根据（3）中四边形重心坐标公式： ，， 四边形重心的坐标为． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 根据以下素材，探索完成任务：如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小琴家想要设置的储物盒样式，放置它的区域可以近似看成一个长方体，区域底面尺寸如图2所示． 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板． 小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 裁去角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒（如图5）． 将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒（如图6）． 目标1 熟悉材料 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全填满储物区域底面，则长方形纸板的宽为_______． 目标2 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （2）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，求当储物盒的底面周长为时储物盒的高． 储物收纳 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面周长．家里一个玩具机械狗的尺寸如图所示，请通过计算判断该机械狗能否按图示的姿态完全放入储物盒． 【答案】（1）（2）当储物盒的底面周长为时储物盒的高为 （3）玩具机械狗不能完全放入该储物盒 【分析】本题考查了一元一次方程、二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． （1）根据图2中储物盒放置区域底面长为即可求出长方形纸板①四角截去的小正方形的边长，由此再根据几何关系即可求出； （2）设角上裁去的四个小正方形边长为，用表示储物盒的底面长和宽，根据底面周长列出方程，解方程求出即可求得储物盒的高； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，表示出折叠后的储物和长宽高，根据几何关系列出方程组，求解方程组得到和的值，从而求出储物盒的长宽高，与机械狗的长宽高进行比较即可进行判断． 【详解】解：（1）图2中储物区域底面长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则①中的四角裁去小正方形的边长为， 则储物盒的宽小正方形的边长． 故答案为：； （2）已知，储物盒底面周长为，设角上裁去的4个小正方形边长为，， 则， 解得， ∴储物盒的高为； （3）设角上截去的四个小长方形的宽为，长为，折叠后的储物盒如图： 则， 解得， ∴，， ∴制作的储物盒的高为，底面长为，宽为， ∵玩具机械狗长，宽，高，，，， ∴玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即，则这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点叫做线段的黄金分割点． 【问题初探】 如图1，已知点为线段的黄金分割点（），求黄金比． 解：设，，则． ， 请补全以上解题过程； 【问题再探】 如图2，在中，，，，请作出的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】 如图3，点为线段的黄金分割点（），分别以、为边在线段同侧作正方形和矩形，连结、．求证：； 【延伸拓展】 如图4，在正五边形中，对角线与交于点．求证：点是的黄金分割点． 【答案】[问题初探]：黄金比为；[问题再探]：作图见解析；[知识迁移]证明见解析；[延伸拓展] 证明见解析 【分析】[问题初探]代入数据，再解一元二次方程即可； [问题再探] 以点为圆心，为半径画弧交于点，再以为圆心，为半径画弧与相交，交点记为点，点即为黄金分割点．由勾股定理可得，由作图可得，那么，则，则，而，故，故点即为黄金分割点； [知识迁移]根据点为线段的黄金分割点，得到，再由正方形的性质得到，则，再由夹角均为直角即可证明； [延伸拓展]先证明，，则，那么，即可证明． 【详解】[问题初探] 解：设，，则． ， ∴， 解得：，（舍）， ∴， ∴黄金比为； [问题再探] 解：如图，点即为的黄金分割点： [知识迁移] 证明：∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，，， ∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∴； [延伸拓展] 证明：∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴点是的黄金分割点． 考点2 阅读材料综合题 1．（2026·福建福州·二模）阅读材料，回答问题： 问题提出 探究平面组合图形的重心位置 在学习中，我们已经知道简单平面图形的重心位置，如三角形的重心位于三条中线的交点处，平行四边形的重心位于两条对角线的交点处等．平面组合图形由简单平面图形组成，其重心位置如何确定？ 探究分析 为更好地探究，我们可以将平面图形放置于平面直角坐标系中，将平面图形的重心位置记为点，分割得到的若干个图形的重心位置记为点（为正整数）． 如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴与轴的正半轴上，若点的坐标是，则点的坐标为． 请将①②③④⑤⑥所缺的内容或证明过程补充完整． 第阶段 (1)如图，若点的坐标是，沿直线将矩形分割成两个矩形，则原矩形的重心位置点的坐标是①______，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是②______和③______． 第阶段 一般地，如图，沿直线将矩形分割成两个矩形，则它们重心位置的坐标分别为，，记直线与轴交于点，则，，发现：，． 猜想：将矩形按某一水平（或竖直）方向分割成两个矩形（如图所示），原矩形的一边被分成长度为和的两段，分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别为，，则原矩形重心位置的坐标满足： ，． 如图所示，若将矩形沿对角线分割成两个三角形，则上述猜想不再适用，此时，可以将原猜想中的“边长的关系”推广为“面积的关系”，从而得到：，． 第阶段 如图，若将矩形沿直线与直线分割得到三个矩形，它们的重心位置分别为，面积分别为，根据第阶段的探究结论，猜想原矩形重心位置的横坐标满足． (2)请通过计算说明这个猜想成立：④______；类比的表达式，写出的表达式：⑤______． 结论应用 根据探究发现，对于平面组合图形，其重心位置的横，纵坐标分别等于将其分割后的各个简单平面图形重心位置的横，纵坐标按各自面积加权所得的平均数． (3)如图，平面直角坐标系中，若，，，，则五边形重心位置的坐标是⑥______． 【答案】(1)，， (2)说明见解析； (3) 【分析】（）根据题意解答即可求解； （）由题意可得，，，即得，，，进而得到，即可求证，同理可得，即可求解； （）连接，利用勾股定理可证四边形是平行四边形，设的重心为，面积为，四边形的重心为，面积为，可得，，，，进而根据题意即可求解； 本题考查了坐标与图形，图形的重心，矩形的性质等，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，原矩形的重心位置点的坐标是，即， 分割所得的两个矩形重心位置的坐标分别是和，即和， 故答案为：，，； （2）解：由题意可得，，，， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴； 同理可得，， 故答案为：； （3）解：如图，连接， ∵，，，， ∴由勾股定理可得，， ∴四边形是平行四边形， 设的重心为，面积为，四边形的重心为，面积为， 则，，即，， ，， ∴五边形重心位置的坐标是，即， 故答案为：． 2．（2026·福建南平·一模）阅读下列材料，回答相应问题. 数字黑洞在数论领域中，存在一类极具趣味性与逻辑性的数字规律——数字黑洞，其中最具代表性的三位数数字黑洞（又称卡普雷卡常数），由印度数学家达塔塔拉亚·拉姆钱德拉·卡普雷卡于1949年发现． 三位数黑洞规则简述如下： 1.一个三位数（三个数字不能完全相同，如不能是111，222）； 2.三个数字重新排列，得到一个最大数和最小数； 3.得到的最大数减去最小数，得到一个新的三位数（如果不足三位，前面补0），对新得到的三位数重复上述操作，经过有限次运算后，最终结果必然稳定在495，且无论后续重复多少次运算，结果都不会再发生改变，如同陷入黑洞无法跳出，因此将495命名为“三位数数字黑洞”． 例如：取三位数315，重排得531，135，作差；对396重复操作，重排得963，369，作差；对594重复操作，重排得954，459，作差，后续运算结果始终为495． (1)用三位数213按规则运算，写出每一步算式，直至得到495； (2)设一个三位数，百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且（a，b，c为非负整数）． ①用含 a，b，c 的代数式表示最大数与最小数的差，并化简； ②若最大数与最小数的差记为（x，y，z为整数，），求y的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据规则列式计算即可； （2）①先得到最大数与最小数，再作差即可； ②先得到，则能被99整除，再求出的取值范围，进而得出的值，然后根据建立不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解：①∵且为非负整数， ∴得到的最大数为，最小数为， ∴最大数与最小数的差为 ． ②由（2）①得：最大数与最小数的差为， ∵最大数与最小数的差记为， ∴， ∴， ∴能被99整除， ∵均为整数，且， ∴，， ∴， 又∵能被99整除，不全为0， ∴， ∴， ∴， 解得， 又∵为整数， ∴． 3．（2026·福建三明·二模）阅读材料，回答问题． 将边长为1的正方形称为“单位正方形”，由若干个单位正方形组成的矩形称为“网格矩形”，水平方向边长为m，竖直方向边长为n的网格矩形称为“矩形”，例如，图1，图2，图3中的网格矩形分别称为“2×1矩形”“2×3矩形”“4×3矩形”．小海、小江和小河对“矩形的一条对角线穿过单位正方形（至少经过单位正方形内部的一个点）的数量”问题产生浓厚兴趣，并对此展开探究．   小海分别画出图1，图2，图3中网格矩形的一条对角线，制作了下表： （表示矩形的一条对角线穿过单位正方形的个数） 2 1 3 2 2 3 5 4 4 3 7 ① 小海根据表中数据发现与之间满足等量关系：②．记这个等量关系为“*”． 小江、小河研究发现等量关系*可以推广，并分别提出观点． 小江的观点是：在矩形中，当正整数m，n中至少有一个为奇数时，等量关系*一定成立． 小河的观点是：在矩形中，当正整数m，n互质（m，n的公因数只有1）时，等量关系*一定成立． (1)①的内容是_______，②的内容是_______； (2)判断小江、小河的观点是否正确，并针对错误的观点举出反例； (3)m，n均为正整数，且，写出满足的所有数对． 【答案】(1)6； (2)小河的观点正确，小江的观点不正确，见解析 (3)，，，，， 【分析】（1）通过画图和观察表格的数据规律即可获解； （2）通过构造矩形，即可作出正确判断； （3）按照，是否互质分类讨论，当，互质时，用上述规律列方程求解即可，当，不互质时，用公约数去约它们，转化为互质的情况讨论即可． 【详解】（1）如图： 所以①的内容为6； 观察表格数据规律可知： ②的内容为． （2）小河的观点正确，小江的观点不正确； 针对小江的观点，反例为矩形，如下图： ，而. （3）满足条件的所有数对为： ，，，，，， 理由如下： 当m，n互质时，矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为． 当m，n不互质时，设其最大公因数为p，则正整数，互质，故矩形的一条对角线穿过的单位正方形的个数为，从而． 依题意，分成四类： 第一类，m，n互质，此时，即，共有，  ，  三种情形； 第二类，m，n的最大公约数为2，此时，则； 第三类，m，n的最大公约数为3，此时，则； 第四类，m，n的最大公约数为6，此时． 4．（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 由自然数1，2，3，4， … ，n 组成的一列数称为一个排列，一个排列的形式可以是递增、递减或随机无序的．我们把按从小到大的递增排列叫做顺序排列，如：1，2，3，4， … ，n 就是一个顺序排列．显然，随机给定一列数，它的顺序排列是固定且唯一的．对于不是顺序排列的一列数，它必然存在数排在之前，但是，此时我们称为一个反序对．一个排列的所有反序对的总个数称为这个排列的反序数 ， 记 为 ，例 如 ， ．若一个排列的反序数是奇数，则称这个排列为奇排列；若反序数是偶数，则称这个排列为偶排列． (1) ______；它是 一个_____排列； (2)在以1，2，3组成的所有排列中随机抽取一列，求抽取的排列满足反序数大于1且为偶排列的概率； (3)将排列中相邻的两个数互换位置称为相邻对换．排列 至少要通过多少次相邻对换才能得到顺序排列？请简要说明； (4)证明：在一个有 n 个数的排列中，如果将任意两个数互换位置，其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 【答案】(1)4，偶 (2) (3)至少要经过6次相邻对换，说明见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据题意列出所有反序对，即可解答； （2）先写出1，2，3可以组成的排列，再结合材料定义解答即可； （3）根据顺序排列的定义解答即可； （4）分这两个数相邻，即 ，a，b 不相邻，设中间有k 个数，即 ，两种情况讨论即可证明结论． 【详解】（1）解：中，有共4个反序对， 则 ，它是一个偶排列； （2）解：易知1，2，3可以组成六个排列，其反序数及奇偶性分别为： ① ，为偶排列； ② ，为奇排列； ③ ，为奇排列； ④ ，为偶排列； ⑤ ，为偶排列； ⑥ ，为奇排列； 则排列满足反序数大于1且为偶排列的概率为； （3）解：至少要经过6次相邻对换，理由如下： 中将5向右做2次相邻对换得到 ； 再将4向右做3次相邻对换得到； 再将3向右做1次相邻对换得到顺序排列 ； 则至少要经过6次相邻对换； （4）证明：设对换位置的两个数为a，b，则这两个数有相邻和不相邻两种情况： 若这两个数相邻，即将排列 变成新排列 ， 通过观察可知，变换后的排列，其反序对的变化与a，b 之外的数无关， ①若，则变换位置后，反序对增加1，新排列的反序数增加1， 奇偶性改变； ②若，则变换位置后，反序对减少1，新排列的反序数减少1， 奇偶性改变； 所以经过一次相邻对换，排列的奇偶性一定发生改变； 若a，b 不相邻，设中间有k 个数，即将排列 ，变成新排列 ， 可以分为以下两步： ①将a 向右进行相邻对换，通过次相邻对换得到 ②再将b向左做相邻对换，通过k次相邻对换到达a原来的位置， 得到最终的排列 ， 总共进行了 次相邻对换， 因为为奇数， 所以经过次（奇数次）相邻对换后，排列的奇偶性也一定发生改变； 综上所述，在一组有n 个数的排列 中，如果将任意两个数互换位置， 其余数不动，则该排列的奇偶性一定发生改变． 考点3 三角形综合题 1．（2026·福建泉州·模拟预测）如图1，在四边形中，对角线，相交于点，，，，的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)如图2，若，，当的值最小时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质易证得，结合，从而得出结论； （2）作于点，交于点，易证得，进而证得，再证得，进而得到，最后证得，进而得到，从而得出结论； （3）根据题意易得到、B、C、D四点共圆，则当最长时，最小，此时为四边形外接圆的直径，根据列方程为：，设，，则，解方程即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ； （2）证明：如图，作于点，交于点, ， ， ， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）证明：由（1）得：， ，， 、B、C、D四点共圆， ，， ， 当最长时，最小， 此时为四边形外接圆的直径， ， ， 即， ，， ， 又， 设，， 则， ， ． 2．（2025·福建漳州·模拟预测）（1）如图1，在等边中，是上一点，是上一点，． ①求证：； ③若，连接，求证：； （2）如图2，在中，，是边上一点，是上一点，连接，且．若，，直接写出的值． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2） 【分析】（1）①由等边三角形的性质及，得，从而可得结论成立； ②在上取点，使，过点作，交的延长线于点．先证明，则；再证明，为等边三角形，则可得，从而，则可得结论成立； （2）过点作，交的延长线于点，在上取点，使，过点作于点．证明，可得，，，从而有；易证明，由相似的性质及已知得．设，则，从而可得，在中，利用余弦三角函数即可求解． 【详解】解：（1）①为等边三角形， ． ， ， ， ； ②如图，在上取点，使，过点作，交的延长线于点． ， ． 为等边三角形， ， 由①得， ， ，． ， ， ∴，为等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作，交的延长线于点，在上取点，使，连接，过点作于点． ∵， ∴， 即． ∵， ∴， ，，， ∴． ， ， ，， ． ， ． 设，则， ， ，，， ， 在中，． 3．（2025·福建厦门·模拟预测）已知，为等腰直角三角形，，点D为中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点D重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点O，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①，证明见解析；②见解析，旋转过程中的最小值为1 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①． 证明：如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，等腰中，，，点分别在边上，且，    (1)求证：； (2)试猜想与的数量关系，并说明理由； (3)连接交于点，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用一线三等角即可证明； （2）由，推出，过点作于，过点作于，求出，，得到；设，则，求出，即可得出结论； （3）在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，证明，得到，设，则，同理（2）得，求出，，，利用勾股定理得到，证明是的中位线，进而证明，推出，求出，结合完全平方公式求出，且为正实数，，得到，即，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， 过点作于，过点作于， 则，，    ∵， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：在上取点，使得，过点作于，取中点，连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 同理（2）得， ∴， 同理（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点G是的中点， ∵点K是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，且为正实数，， ∴， ∴，即， ∴； ∴． 考点4 四边形综合题 1．（2026·福建莆田·模拟预测）如图，正方形中，是边的中点，连接，动点在射线上（不与点重合），连接交于点，连接． (1)若． ①求证：； ②连接，求． (2)延长交于点，若，求． 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）设交于点，先证明，再证明，则，即可得到，故； ②先证明，再证明，得到，则； （2）先证明，然后得到，然后根据斜边中线的性质得到，再证明，则，设，正方形边长为1，则，则，解得，那么． 【详解】（1）①证明：设交于点， ∵正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图： ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 由①知， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：如图， 在正方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ ∵为中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，正方形边长为1，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 2．（2025·福建·模拟预测）矩形ABCD中，，，E是射线CD上一点，点C关于BE的对称点F恰好落在射线DA上． (1)如图，当点E在边CD上时； ①若，DF的长为______； ②若时，求DF的长； (2)作∠ABF的平分线交射线DA于点M，当时，求DF的长． 【答案】(1)①2；② (2)2或18 【分析】(1)利用勾股定理进行解答，即可得出答案； (2)利用角的平分线的定义，进行等量代换进行解答即可． 【详解】（1）解：①2． ②∵矩形ABCD中，， ∴，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∵点C、F关于BE的对称点， ∴． ∴． （2）①如图1，当点F在边AD上时， 过点M作于点N， ∵BM平分∠ABF，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． 设，则． ∴． 在中，， ∴． 解得，（舍去）． ∴． ∴矩形ABCD中，． ∴． ②如图2，当点F在边DA延长线上时， 同①可得，，． ∴． ∴，． ∴综上所述：或18． 3．（2025·福建泉州·模拟预测）如图，在正方形中，E是边上一点，过点O作交边于点F． (1)求证：； (2)直接写出与的数量关系； (3)如图2，连接． ①如图，若，求证：； ②如图，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)． (3)①见解析；② 【分析】（1）证明，即可得证； （2）连接，勾股定理得到，，等量代换得到，即可得出结论； （3）①取中点H，连接，三角形的中位线定理，得到，进而推出四边形是平行四边形，得到，进而得到，斜边上的中线结合等边对等角，推出，等量代换即可得出结果； ②设，延长到点M，使，易得，得到，，进而推出，得到，进而得到，在中，利用勾股定理求出的值，再利用（2）中的结论进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵在正方形中，O是的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：． 理由：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）①证明：取中点H，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵中，，H为中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即． ②解：设，延长到点M，使，则：． ∵四边形是正方形，， 由（1）可知， ∴，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，斜边上的中线，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线，是解题的关键． 4．（2025·福建厦门·模拟预测）在平行四边形中，点，点分别是边 ， 上的动点，始终保持 ， (1)若， ①如图1， ， 当点与点重合时， 则的值是 ； ②如图2， 求 的值： (2)如图3， 若 ，求 的范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①分别解，，即可求解． ②延长至，使得，连接得出是等边三角形，，求得，证明进而得出 （2）分当重合时，当重合时，分别求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：①∵四边形是平行四边形， ∴ ∵, 当点与点重合时, ∴ 在中，,， ∴ 在中， ∴ 故答案为：． ②∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ 如图所示，延长至，使得，连接 ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 故答案为：． （2）解：∵，， ∴设，则 ∴， 当重合时，如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∴ ∴ 又 ∴ 当重合时，如图 ∴， ∵点，点分别是边 ， 上的动点， ∴ 考点5 圆形综合题 1．（2026·福建南平·一模）如图，四边形内接于圆，， 平分交边于点E，点B，C分别在的两侧，点F在边上，且，与的延长线交于点G，设． (1)当圆的半径为2，C与F重合时，在备用图中画出示意图，并求四边形的面积； (2)求的大小； (3)求证：． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)见解析 【分析】（1）根据题意画出示意图即可，连接，证明，得到，再证明，和都是等边三角形，推出是圆的直径，即可求解； （2）连接，同（1）可证，得到，求出，，即可求解； （3）由（2）可知，，，，，证明是等边三角形，在上截取一点H使得，证明，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1）解：示意图如图所示： ∵，平分， ∴， 连接， ∵， ∴， ∴， 又∵四边形是圆的内接四边形， ∴， 又∵，F，C重合， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是圆的直径， ∵圆的半径为2， ∴的边长都为2， ∴四边形的面积为3个边长为2的等边三角形的面积和， ∵边长为的等边三角形的高为， ∴； （2）解：连接， 同（1）可证， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）可知，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 在上截取一点H使得， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 2．（2026·福建宁德·一模）如图，是的直径，射线与相切于点是射线上一点，交于点，射线交于点． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由，可得，又根据切线的性质及圆周角定理可得，进而得到； （2）设，利用相似三角形的判定得到，继而可得，求解即可； （3）通过论证，可得，进而计算的值即可. 【详解】（1）证明：， ， 是的直径， ， ， 是的切线， ， ， ， ； （2）解：设， 由（1）得， ， ， ， . 由（1）得， ， ， ， 即； （3）证明：由（1）得， ， ， 又， ， ， 由（1）得， ， ， ， ， ， ， . 3．（2026·福建莆田·二模）如图1，内接于的平分线与和分别交于点D和E，F是延长线上一点，连接，且． (1)求证：点F到三边所在直线的距离相等； (2)若经过点O，连接，如图2，求证：； (3)若，请用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）延长到点M，先推导出点F到所在直线的距离相等，，得到点F到所在直线的距离相等，即可解答； （2）过点F，作的延长线于点N，先推导出，得到，，，继而推导出，得到，则，即可推导出； （3）连接，过点作的延长线于点，作于点，作的延长线于点，推导出，，继而推导出，得到，证明出，，得到，，推导出，，则． 【详解】（1）证明：延长到点M，如图 ∵是的平分线，F是延长线上一点， ∴点F到所在直线的距离相等， ∵，， ∴， ∴点F到所在直线的距离相等， ∴点F到三边所在直线的距离相等； （2）证明：过点F，作的延长线于点N，如图 ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，， 又∵点F到三边所在直线的距离相等； ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，连接，过点作的延长线于点，作于点，作的延长线于点， 由(1)可知，，， ，， ，， ，， ，，， ． ，， ， ． ∵， ∴，即， ，，， ，， ，， 即，， ，， ． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）已知中，，连接交于点． (1)如图1，求证：； (2)如图2，在上取一点，使，连接并延长，交圆于点，连接，求证：； (3)如图3，当与重合时，连接并延长，在延长线上取一点，连接交圆于点，连接，交于点，在边上有一点，连接，且满足：交于点，交于点，连接， ①求的值； ②当时，直接写出的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)①；②的长为． 【分析】（）连接，先证明，所以，则，所以，由圆周角定理得，然后通过等角对等边得，再通过线段的和与差即可求证； （）连接，由，则，所以，得，则点三点共线，所以是的直径，故有，从而得； （）①先证明点三点共线，是的直径，设，则，，进而求出， ，，，证明得，然后根据正切定义求解即可； ②如图，设与交于点，连接，，过作于点，则，点三点共线，得，如图，取中点，连接，证明是等边三角形，所以，证明，又，则点四点共圆，设，则，则，，通过勾股定理可得，由，然后代入求出，则． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∴， ∴； （3）解：①∵当与重合时，则， ∴点三点共线， ∴是的直径， ∴． ∵， ∴， 设，则，． ∵，， ∴， ∴ ∴． ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，设与交于点，连接，，过作于点，则， 当与重合时，则， ∴点三点共线， ∴是的直径，垂直平分， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图，取中点，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴点在以为圆心，为直径的圆上， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得：（负值已舍去）， ∴， ∴的长为． 考点6 图形的变换 1．（2026·福建泉州·二模）如图1，是等边三角形，为边上不与重合的一点，点为中点，连接，将射线绕点顺时针旋转交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过点作于点，交于点，连接，如图2．已知下列三个结论中，至少有一个是正确的，请你选择其中正确的一个结论，并证明． 结论：①； ②；③平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）结合等边三角形性质、旋转性质及三角形外角性质列式，等量代换即可得证； （2）先构造出平行四边形，结合平行四边形性质、等边三角形性质，判定，进而得到为等边三角形，由等边三角形三线合一即可得证； （3）①设与相交于点，证明四边形为平行四边形，得到是线段的垂直平分线，进而证明； ②证明，通过作图可以发现一直在变化，可证明该结论错误； ③延长至点，使得，连接，设与相交于点，证明为等边三角形，推出，过点作于点，得到垂直平分，进而证明． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， 由旋转性质可知， 又， ； （2）证明：延长至点，使得，连接，如图1所示： 又点为中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 由（1）知， ，即， 在和中， ， ， 为等腰三角形， 又， 为等边三角形， 又， ； （3）证明：选择结论①，证明如下： 由（2）知，为等边三角形，则在中，， 设与相交于点，如图2所示： 由（2）知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ，即是线段的垂直平分线， ， ， ，即； 选择结论③，证明如下： 延长至点，使得，连接，设与相交于点，如图3所示： 则， 由（2）知， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， 为等边三角形， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作于点，如图4所示： 则， ，即， 垂直平分， ， ， 由可得， ， ， 即平分； 结论②：如图，连接交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴垂直平分，即垂直平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图， 可以发现，在点的位置在线段上从左至右移动的过程中，会逐渐增大， ∴也一直在变化，不恒为， ∴②错误． 2．（2026·福建莆田·模拟预测）在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当，时，求的长， (3)如图3，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于点； ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由旋转的性质可知，，进而推出，，即可证明； （2）利用相似三角形性质，以及直角三角形性质推出，利用勾股定理推出，进而得到，再利用相似三角形性质，以及勾股定理求解，即可解题； （3）①利用平行线性质，等腰三角形性质推出，再结合旋转性质，以及角的和差分析求证，即可证明； ②延长、相交于点，过点作于点，证明，设，则，结合全等三角形性质，勾股定理，以及等腰三角形性质分别求出，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 熟练掌握相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理是解题关键． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知，， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得； （3）证明①， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； ②延长、相交于点，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 3．（2026·福建泉州·一模）在中，，，，点O为的中点．在中，，，，连接并延长到点F，使，连接． (1)如图1，当点D，E分别在上时，求证； (2)如图2，若将图1中的绕点B按逆时针方向旋转一定的角度α（），连接，，，． ①设，求k的值； ②当四边形的面积最小时，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）证明，可得，，从而得到，进而得到； （2）①证明，即可得到答案；②根据平行四边形的性质可得当最小时，四边形的面积最小，即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小，从而得到当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为，此时时，最小，再由，可得，，然后根据勾股定理可得的长，再结合，即可求解． 【详解】（1）解∵点O为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）解：①∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵，，，， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；即． ②在中，∵，，， ∴， 由①得四边形为平行四边形， ∴四边形的面积等于， ∴当最小时，四边形的面积最小， 即当E到的距离最小时，最小，四边形的面积最小， 如图，过点E作于点M，连接，则当最小时，四边形的面积最小， ∵，， ∴， 即当点B，E，M三点共线时，取得最小值，最小值为， 此时时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由①得：， ∴ 4．（2026·福建泉州·一模）在矩形中，，，点E为上的动点（不与B，C重合），连接，将沿翻折得，点B对应点F． (1)如图1，若E为中点，求证：； (2)如图2，是否存在点F在矩形内，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，求的长；若不存在，说明理由； (3)如图3，在上取点G（不与A，D重合），将四边形沿翻折，使得点B的对应点F落在上，与交于点H（点A的对应点为），求的最小值，并求此时线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)或 (3) 【分析】（1）根据翻折的性质和等腰三角形的性质易证得，从而得出结论； （2）分情况讨论：当时：易得到点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点，由勾股定理求出的值，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解的值；当时：点在的垂直平分线上，取中点，连接，过点作于点、于点，同理求出的值； （3）过点作于点，易证得，进而得到，作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，利用勾股定理求出的值即可；再找到，进而得到，证得，进而得到，据此求解的值即可． 【详解】（1）证明：E为中点， ， 由翻折性质得：、， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：由翻折性质得：、、， 四边形是矩形， 、， ①当时： ， ， 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点， 、， 在中，由勾股定理得： ， 、， 、， ， 设，则， 在中，， 由勾股定理得：， 解得， ； ②当时： 点在的垂直平分线上， 取中点，连接，过点作于点、于点， 、， 、， 在中，由勾股定理：， 设，则， 在中，由勾股定理：， 解得， ， 综上所述，的长为或； （3）解：由翻折可知：，且的中点在上， 过点作于点， 、 、 ，即 作点关于直线的对称点，则，此时，当、、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为， 、、， 由勾股定理得：， 的最小值为：； ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， 解得， ， 、， ， ， ， ， 即， ． 考点7 二次函数综合题 1．（2026·福建莆田·模拟预测）已知抛物线（为常数，）． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴的两个交点分别为点A，B（点A在原点O的左侧），． ①求a的值； ②设，抛物线的一段夹在两条均与x 轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)①；② 【分析】（1）利用抛物线的对称轴的计算公式即可求解； （2）①令，设该方程的两根为，由，得，根据，可求得的值，进而求得a的值； ②由①得抛物线的解析式，由题意得上方的平行线不能在顶点下方，要使最大，则直线经过顶点，从而得直线，由此求得m与n的值，即可求得的最大值． 【详解】（1）解：因为， 所以该抛物线的对称轴为直线； （2）①解：令，则， 设该方程的两根为， 因为点在原点的左侧，， 所以， 由根与系数关系得：， 即， 所以，， 把代入， 得， 所以； ②解：因为， 所以该函数表达式为， 所以该抛物线的顶点坐标为， 因为该抛物线的一段夹在两条均与轴平行的直线和之间，且， 所以如图，上方的平行线不能在顶点下方， 因为直线和之间的距离为9， 所以要使最大，则直线经过顶点， 此时直线为， 所以当时， 解得，， 所以的最大值为． 2．（2026·福建泉州·三模）已知二次函数过点，． (1)求二次函数解析式； (2)已知，是二次函数图象上不同的两个点． （ⅰ）若，求证：； （ⅱ）存在实数，使得，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）（ⅰ）根据（1）所求可得对称轴为直线，且二次函数的图象开口向上，则离对称轴越近，函数值越小，根据对称性可推出，根据得到，据此可证明结论；（ⅱ）当时，，则，可得， ；根据，可推出，则，可证明，则关于m的方程必须有一个正实数根，根据判别式求出t的取值范围，再根据关于m的方程必须有一个正实数根讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数过点，， ∴， ∴， ∴二次函数的解析式为； （2）解：（ⅰ）由（1）得二次函数的解析式为，则对称轴为直线， ∵， ∴二次函数的图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，是二次函数图象上不同的两个点， ∴点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （ⅱ）在中，当时，， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且，是二次函数图象上不同的两个点， ∴， ∴关于m的方程必须有一个正实数根， ∴， ∴， ∴， ∴或； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是正数，符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根都是负数，不符合题意； 当时，， ∴此时关于m的方程的两个实数根一正一负，符合题意； 综上所述，或． 3．（2026·福建漳州·一模）已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A坐标为．    (1)求抛物线的解析式及B、C两点的坐标． (2)若点M是线段上一个动点（不与A、C重合），点N是线段上一个动点，设 ①如图1，当点N运动到的中点时，作轴交于点M，求证：． ②当点N在运动过程中，在x轴上方的抛物线上是否存在点G，使得且恰好平分？若存在，求出此时点G的横坐标和t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①见解析；②存在，，点G的坐标为． 【分析】（1）利用待定系数法先求出函数解析式，再根据函数图象与坐标轴的交点坐标的特征即可求解． （2）①设直线的函数解析式为：，利用待定系数法求出的解析式，由中点的性质可求得，进而可求得点，即，由，则，根据，，，可得，再由平行线的性质可得，进而可得，进而可求解；②过点G作轴于点H，设点，利用相似三角形的判定及性质可得，解出方程即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴该抛物线的解析式为：， 把代入得：， ∴； 把代入得：， 解得：， ∴． （2）①如图：    设直线的函数解析式为：， 把，代入得： ，解得：， ∴直线的函数解析式为：， ∵，，点N运动到的中点， ∴， 把代入得：， ∴，则， ∵，， ∴，则， ∵，，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴； ②过点G作轴于点H，    由①可得：， ∴， ∴，则， 设点， ∵， ∴，，则， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵，   ∴， ∴，即， 整理得：， 令，则， 解得：， 当时，不符合题意，舍去； 当时，解得：，， 此时，或（舍）， 综上：存在，，点G的坐标为． 4．（2026·福建泉州·模拟预测）函数的图象称为“类抛物线T”，已知“类抛物线T”经过原点，． (1)求m，c的值； (2)当时， ①若点B在“类抛物线T”上，判断是否可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形？并说明理由； ②，是“类抛物线T”上的任意两点，其中，．试探究是否存在实数b，使得当时，始终有x1＋x2＜0，若存在，求实数b的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形，理由见解析；②存在实数，使得，，当时，始终有 【分析】（1）将和代入函数解析式求出c、m的值即可； （2）①如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，证明，得出，，求出，将代入中，求出，与矛盾，得出不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形； ②根据，，且当时，始终有，得出，，设点N关于y轴的对称点为P，根据点N在抛物线上，得出点P在抛物线上，过点P作x轴垂线，与抛物线交于点，得出时，函数在上随x的增大而增大，根据题意得出，求出即可． 【详解】（1）解：将原点代入中， 解得， 将代入中，则有， 解得 ∴，. （2）解：①不可能；理由如下： 如图，过点A作x轴的垂线，垂足为D，过点B作直线的垂线，垂足为C，如图所示：    ∵是以点A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将代入中，得， 解得． ∵，矛盾， ∴不可能为以点A为直角顶点的等腰直角三角形． ②∵，，且当时，始终有， ∴，， 设点N关于y轴的对称点为P， ∴， ∵点N在抛物线上， ∴点P在抛物线上， 过点P作x轴垂线，与抛物线交于点． ∵函数在上随x的增大而增大， 又∵，     ∴当时，函数在上随x的增大而增大， ∵， ∴，又， ∴， ∵点在抛物线上，在抛物线上． ∴当时，抛物线在抛物线上方， 即在上，， 整理得，在成立， ∵， ∴，要使得， 只需当时，，即， 解得：， 综上所述存在实数，使得，，当时，始终有．    1．（2026·福建南平·二模）阅读材料，回答问题． 主题 “错”中取义——“非法约分”的规律探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生，他在查看约分的作业本时，发现不可思议却又约分正确的练习题：，，小明称之为“非法约分”，据此，他提出猜想：若一个分数“约去”分子和分母中相同的数字，则得到的数与原分数值相等． 分析问题 问题. 小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例． 解决问题 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情，并举例验证猜想，为了研究分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的一般结构，进而推广到其他分数的情形，规定：分子、分母均为两位数且“非法约分”正确的分数的分子、分母分别为，，且该分数的“非法约分”表示为：． 提出并证明了以下命题． 命题：若分数，则必有或时，有序数对有且仅有对． 证明：依题意知，，整理，得…（*）， 当时，，显然成立； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，，所以矛盾，舍去； 当时，因为，所以不是9的倍数，由（*）得为的倍数，所以，或， 若，则由（*）得，，由得，不是整数，舍去； 若，则由（*）得， ① ； 若，则由（*）得， ② ． 综上所述，应满足或时，有序数对有且仅有对． 故命题成立． 推广延伸 问题.若把的分子、分母中相同数字“拉长”至个得到分数，则它的“非法约分”是否正确？证明你的结论． (1)解决问题； (2)请把①②所缺的证明过程补充完整； (3)解决问题． 【答案】(1)不正确，见解析 (2)①见解析；②见解析 (3)正确，证明见解析 【分析】（）举反例即可判断求解； （）仿照前面的推论补充证明过程即可； （）求出化简后的结果，再求出“非法约分”的结果即可求证； 【详解】（1）解：小明的猜想不正确，理由如下： 反例：，“非法约分”后为，而， ∴小明的猜想不正确； （2）解：①， 由是整数知，或， 所以或， 故为或； ②， 由是整数知，，，，， 因为，， 所以或， 所以或， 故为或； （3）解：正确，证明如下： ， 而按“非法约分”规则，， 故的“非法约分”正确． 2．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 密码学是研究编制和破译密码规律的一门科学．在密码学中，明文是未经过加密处理的原始信息，密文由明文通过已知的密码规则进行加密变换后得到的信息．有一种密码，将26个英文字母分别转换为数字1～26后进行数学变换从而获得密文．现按照以下加密规则进行加密： ①选择一个“乘密钥”a和一个“加密钥” a，b均为整数）； ②对明文中的每个字母，先将其对应数字m乘a，再加上b，得到一个总和S，即 ③对每个字母得到的总和S逐个进行判断：若S在1到26之间，则S 就是该字母加密后的密文所对应的数字；若S 大于26，则不断减去26，直到结果落在1～26之间； ④将得到的对应数字转换为字母，从而获得明文中每个字母加密后的密文．例如：设a＝3，b＝4，我们可以将明文中字母L（ m＝12）转换成所对应的密文． 计算：S＝3×12＋4＝40. ∵14对应字母N，∴明文中字母L对应的密文是字母N． 请你根据以上材料，完成探究： (1)若密钥为a＝2，b＝5，则明文“HI”加密后的密文为 ； (2)在某次加密中，使用的“乘密钥”a＝3．小明发现，明文“B”被加密后，得到的密文是“M”，则这次加密使用的“加密钥”b的值为 ； (3)小华截获了一段密文“OK”，它是由明文“GC”使用上述材料中的加密规则加密而成，且由“G”加密成“O”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）与由“C”加密成“K”所使用的密钥（ “乘密钥”a，“加密钥”b）一致．求加密规则中使用的“乘密钥”a和“加密钥”b的值； (4)利用（ 3）中求得的加密规则中的密钥a和b，求密文“TN”解密获得的明文． 【答案】(1) (2)7 (3) (4) 【分析】（1）根据将明文转换为密文的方法计算得出对应的S，即可得出答案； （2）先确定M对应的数，再结合计算方法求出b即可； （3）根据要求列出方程组，求出符合题意的解； （4）根据（3）中两个密钥，再根据计算要求解答． 【详解】（1）解：∵，，将明文中字母H（）转换成所对应的密文， 则， ∵， ∴21对应的字母是U， ∴明文中字母H对应的密文是字母U； 同理，明文中字母I对应的密文是字母W； ∴“”加密后的密文是“”； （2）解：根据题意可知， ∵M对应的数是， ∴， 解得； （3）根据题意，得， 解得； 根据题意，得， 解得，不是整数，不符合题意， 根据题意，得， 解得，不符合题意； （4）解：∵T和N对应的数是20，14，且，，设明文对应的数是x，y， ∴，， 解得，， ∵12对应的字母是L，6对应的字母是F， ∴密文“”解密获得的明文为“”． 3．（2026·福建泉州·模拟预测）综合与实践 某数学兴趣小组开展综合实践活动发现：特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法． 例如，已知多项式有一个因式是，求m的值． 小安的求解过程如下： 解：由题意设（A为整式）， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则， 解得：①________． (1)补全小安求解过程中①所缺的内容； (2)若，求的值； (3)若多项式有因式和，求m，n的值． 【答案】(1)24 (2) (3)， 【分析】本题考查因式分解的应用，利用等式的性质，和特殊值法进行求解，是解题的关键． （1）解方程即可； （2）取，和，两个特殊值进行计算即可； （3）设，分别取和，得到的二元一次方程组，进行计算即可． 【详解】（1）∵ 解得：24； 故答案为：24； （2）在中， 取，得 ， ∴①， 取，得②， 联立①②得：． （3）由题意设， 分别取和，得 ， 解得：， ∴m，n的值为，． 4．（2026·福建泉州·一模）随着科技的发展，新能源汽车越来越普及．某停车场为了满足新能源汽车充电的需要，计划在长、宽的矩形空地修建一个新能源汽车充电场所，某数学项目组负责设计方案． 【资料收集】该项目组通过网络查阅资料和实地考察，确定采用“垂直式”、“平行式”或“倾斜式”三种车位类型进行设计，相关信息如下表： 类型 垂直式车位 平行式车位 倾斜式车位 示意图            数据单位：m 矩形，， 矩形，， 平行四边形，， 行车通道宽度不低于3.5m 【设计方案】依据收集的材料，同学们设计了如下两种方案： 案例解析 方案一：拟设计成如图1所示的垂直式和平行式车位各一排． ， ∴可设计成垂直式和平行式车位各一排， ，， ∴一排垂直式的停车位有14个，一排平行式的停车位有6个， ∴方案一的停车位共有20个． 问题探究 (1)方案二：拟设计成如图2所示的两排都是倾斜式车位，这种设计方案是否可行？若可行，试求出这种方案的最多停车位数？若不可行，请说明理由； （相关参考数据：，） 优化设计 (2)请你结合以上数据及分析，设计一个停车位数量更多的方案，画出设计示意图，并说明理由． 【答案】(1)方案二设计为两排倾斜式停车位最多有22个 (2)理由见解析 【分析】（1）过点H作，交的延长线于点P，则，利用平行四边形的性质得，结合解直角三角形求得和，结合，可得倾斜式车位可以设计2排，所以方案二的设计合理，经计算方案二可以设计为两排倾斜式停车位最多有22个； （2）根据，则可设计成垂直式和倾斜式车位各一排，这样停车位数更多，那么该方案可以设计停车位共有25个． 【详解】（1）解：方案二是可行的， 如图，过点H作，交的延长线于点P，则． 在中，， ， 在中，，， ，， ， ， ∴方案二是可行的． ， ∴一排倾斜式停车位有11个， ∴方案二设计为两排倾斜式停车位最多有22个． （2）解：可设计成如图所示垂直式和倾斜式车位各一排，这样停车位数更多， 理由如下： ， ∴可设计成垂直式和倾斜式车位各一排． 由方案一可知，一排垂直式停车位有14个， 由方案二可知，一排倾斜式停车位有11个， ∴按图设计为一排垂直式和一排倾斜式的停车位共有25个． 5．（2026·福建泉州·一模）综合与实践 【阅读材料】 如图1，在任意的中，、、所对的边分别为a、b、c，则有：，称为正弦定理，是解三角形的重要结论之一． 【问题提出】 洛阳桥是泉州“海丝”文化遗产，承载着宋元时期的造桥智慧．某校数学兴趣小组为绘制洛阳桥古桥遗址分布图，需测量江两岸A、B两处古桥遗址的水平距离，因江宽及地形限制，无法直接测量，小组结合数学知识设计了如下测量方案． 【方案设计】 测量工具： 测角仪：可测量水平面上两点与观测点连线的夹角； 测距仪：可测量任意可到达的两点间的水平距离，量程范围：． 测量过程： 步骤一：如图2，在江岸边空旷处选取一点C（点C可观测到A、B两点）； 步骤二：分别站在A、B两处测得，； 步骤三：测得． 【问题解决】 请你利用【阅读材料】中的正弦定理和特殊锐角三角函数值，解决下列问题： (1)求A、B两处古桥遗址间的实际距离；（精确到1米，参考数据：，，） (2)在江岸边另一空旷处取一点D，测得，，求． 【答案】(1)A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； (2) 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出，再结合正弦定理求解即可； （2）过点作于点，利用直角三角形得出，，，则再结合正弦定理求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ，， ， ， 解得：（米）， 答：A、B两处古桥遗址间的实际距离约为米； （2）解：如图，过点作于点， ，， 是等腰直角三角形， ， 在中， ． 6．（2026·福建三明·一模）【阅读材料】用“割尾法”判断一个三位数能否是7的整数倍． 方法：三位数割掉末位数字得两位数，再用减去的2倍所得的差为．若是7的整数倍，则是7的整数倍． 注： 举例：对于三位数364，割掉末位数字4得36，，因为28是7的整数倍，所以364是7的整数倍． (1)①填空：226_____7的倍数．（填：“是”或“不是”） ②材料中的判断方法是“若是7的整数倍，则是7的整数倍”，请证明这种方法的正确性； (2)经论证，“割尾法”也能判断一个四位数是否为7的整数倍．若四位自然数能被7整除，求的所有可能取值． 【答案】(1)①不是；②见解析 (2)或 【分析】（1）①按照已知条件的举例和方法进行解答即可； ②按照多位数的表示方法表示出和，利用是7的整数倍，设，得，再整体代入即可解决； （2）根据题意可得能被7整除，推出，则能被７整除，即可解答． 【详解】（1）解：①根据题意可知，三位数226，割掉末位数字6得22， ， 不是7的整数倍， 不是7的整数倍； ②由题意，得：，， 是7的整数倍， 设（为整数）， ， ， 是7的整数倍． （2）解：根据题意可得，四位数，割掉末位数字6得， 四位自然数能被7整除， 三位自然数能被7整除， 即能被7整除， ， 能被7整除， ，且为整数， 则可得或． 7．（2026·福建莆田·模拟预测）阅读材料，回答问题． 主题 设计能读出并联电路总电阻值的教具 提出问题 物理课上学习了计算并联电路总电阻公式，每次计算时总感觉计算麻烦，故某校“勤奋”实践小组结合数学相似三角形的知识：如图，若，则．他们就积极思考，并设计了一个能读出并联电路总电阻值的教具．      分析解决问题 如图1，利用直尺、直尺和直尺（其中，处均装有滚轮，滚轮可在直尺上调节滚动，直尺可以在上左右滚动）设计教具，，，与相交于点，，垂足为．若设置，在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值．   证明：， ，①__________， （依据②_______________） 同理可得：，_____③_____， 若设置在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值． 创新设计 受“勤奋”实践小组的启发，“严谨”实践小组提出设计教具的方案，如下：如图2，中，，，是边的延长线上一点，设线段，的长度分别为，的值，则图中可作出一条长度作为值的线段；    (1)请把①②③补充完整； (2)请帮“严谨”组在图中作出该线段，并说明理由； 【答案】(1)①；②相似三角形对应边成比例；③ (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质分析即可； （2）作交于点E，证明，推出，根据相似三角形对应边成比例，列式即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， （依据:相似三角形对应边成比例） 同理可得：， ， ， 若设置在直尺上的读数分别为，则点在直尺上的读数为并联电路总电阻的值． （2）解：如图，作交于点E，的长度作为值． 证明：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度可以作为值． 8．（2026·福建漳州·一模）阅读材料，回答问题． 探索《九章算术》中机械化算法思想 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其算法具有强烈的程序化、机械化特点，便于编写计算机程序．在解方程组时，古人用算筹构建数阵（只写系数与常数项），采用重复的乘法和减法计算，将复杂数阵转化为简单的阶梯数阵，最终求出答案． 例如：解三元一次方程组：思路大致如下（第一、第二、第三行分别用①②③表示）：            （1）                           （2）                （3）                   （4） 将原方程组中略去了未知数后形成数阵（1），通过“行乘倍数，行相减”逐步消元（类似加减消元法），将数阵（1）转化到阶梯数阵（4）．不难发现数阵（4）对应的方程组是，第三行的方程，易解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值． (1)直接写出示例方程组的解； (2)仿照材料中的机械化算法思想，解决下列问题： （i）解方程组： （ii）已知关于的方程组：有唯一解，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i） （ii） 【分析】（1）解出的值，再依次代入上一行方程分别求出的值； （2）根据材料的方法仿照解题即可． 【详解】（1）解：方程组， 由③得，， 代入②，解得， 代入①，解得， ∴方程组的解为； （2）解：（i）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为； （ii）方程组， 仿照材料可得： 最后一个数阵对应的方程组是 ， 当，即时， 由⑥得， 代入⑤，解得， 代入④，解得， ∴方程组的解为，符合题意； ∴． 9．（2026·福建漳州·一模）如图1至图5，均作无滑动滚动，、、、均表示与线段或相切于端点时刻的位置，的周长为.如图1，从的位置出发，沿滚动到的位置，当时，恰好自转1周；如图2，相邻的补角是，在外部沿滚动，在点处，必须由的位置旋转到的位置，绕点旋转的角，在点处自转周. （1）在阅读理解的（1）中，若，则自转______周；若，则自转______周.在阅读理解的（2）中，若，则在点处自转______周；若，则在点处自转______周. （2）如图3，，.从的位置出发，在外部沿滚动到的位置，自转______周. （3）如图4，的周长为，从与相切于点的位置出发，在外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与相切于点的位置，自转了多少周？请说明理由； （4）如图5，多边形的周长为，从与某边相切于点的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点的位置，直接写出自转的周数. 【答案】（1）(3) ;(4) . 【分析】（1）读懂题意，套公式易得若AB＝2c，则⊙O自转2周；若AB＝l，则⊙O自转周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转周； （2）因∠ABC＝90°，AB＝BC＝，则⊙O自转1＋＝周； （3）（4）因三角形和五边形的外角和是360°，则⊙O共自转了周． 【详解】解：（1）套公式易得若AB＝2c，则⊙O自转2周；若AB＝l，则⊙O自转周．在阅读理解的（2）中，若∠ABC＝120°，则⊙O在点B处自转周；若∠ABC＝60°，则⊙O在点B处自转周； （2）因∠ABC＝90°，AB＝BC＝，则⊙O自转1＋＝周； （3）∵的周长为， ∴在三边上自转了周. 又∵三角形的外角和是， ∴在三个顶点处，自转了（周）. ∴共自转了周. （4）∵五边形的外角和也是360°， ∴所做运动和三角形一样，⊙O共自转了周. 10．（2025·福建厦门·模拟预测）已知，正方形中，点O是对角线的中点，点E为上一点，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，过点F作，交延长线于点N，交延长线于点M． (1)如图1，当点E与点O重合时，求证：； (2)如图2，连接， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点G，连接，补全图形，并求出在旋转过程中的最小值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，证明见解析 ②补全图形见解析，旋转过程中的最小值为 【分析】（1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当M，D重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，取中点G，连接， ∵，则， 又， ∴当取得最小值时最小， ∴当E与点B重合时，F在上，此时N点与A点重合， ∴， 又， ∴， ∴旋转过程中的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 11．（2025·福建龙岩·模拟预测）（1）如图1，在中，点在上，交于点，则______（用图中已有的线段表示）； （2）如图2，在中，点在上，满足，在上取一点，过点作分别交的延长线、于点、，求的值； （3）如图3，在正方形中，点在上，连结交于点，在上取点，连结，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）4 【分析】（1）可证得，从而得出，进而可得； （2）过点作交分别于点，设．由，可得，；由可得．从而可推算出； 由（1）可求． （3）过点作交分别于点．由正方形和四边形的内角和为可推算得，；进而可证，设，可推算出；由（1）得．由可得，进而可得． 【详解】解：（1）． 在中，点在上，交于点， ． ． ． （2）过点作交分别于点，设． 在中，点在上，满足， ， ， ． ，． ． ． ， 由（1）得． （3）过点作交分别于点． 四边形是正方形，， ，，，． ，，，． ． ． ． ． 四边形中，， ，． ． ． ， ∴． ，设， ． ， 由（1）得． ，解得． 12．（2025·福建厦门·模拟预测）如图，在正方形中，点E在边上，连接，将四边形沿直线折叠，点A、B的对应点分别为点N、M，的延长线分别与延长线交于点F、． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，延长交于点H，若F为的中点， （ⅰ）求证：； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)见解析； (2)（ⅰ）见解析；（ⅱ）． 【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质定理从而得出结论； 连接，可证得≌，从而，从而，可推出，从而，进一步得出结论； 连接，交于O，设，则，设，ze ，，在中，由勾股定理列出，从而得出，可推出四边形是平行四边形，从而，进而得出结果． 本题是相似形的综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是灵活运用有关知识． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， 如图所示，连接， 由折叠的性质可得，， ， 又， ， ； （2）（i）证明：如图，连接， 同理可证明， ， 是MN的中点， ， ， ， ， ， ， ； ⅱ解：如图2，连接，交于O， 设，则， 设， ∴， ，， ∽， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， 舍去或， ，， 由（1）知，， ， ，， ， ， 由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 13．（2025·福建福州·三模）已知，正方形，，以为直径在正方形内部作半圆M，点E是边上动点，连结交半圆M于点F，连结． (1)若，求的度数； (2)如图2，连结，将沿着对折，得到，交于点N． ①若，求的度数； ②求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据圆周角定理可得，即可求解； （2）①由折叠的性质得：，设，则，可得，从而得到，再由，可得，从而得到，即可求解； ②仿照①的思路先证明，可得当与圆O相切时，最小，则最小，此时取得最小值，连接，根据切线长定理可得，由折叠的性质得：，可证得四边形是菱形，从而得到垂直平分，再由，可得点M在上，在中，根据勾股定理可得，，从而得到，再根据，可得，再利用锐角三角函数可得的长，即可求解． 【详解】（1）解∶∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解∶ ①由折叠的性质得：， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②由折叠的性质得：， 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当与圆O相切时，最小，则最小，此时取得最小值， 如图，连接， ∵， ∴与圆O相切， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴四边形是菱形， ∴垂直平分， ∵， ∴点M在上， ∵正方形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆周角定理，折叠问题，切线长定理，解直角三角形等知识，问题（2）的②仿照①的思路证明是解题的关键． 14．（2025·福建厦门·三模）如图1，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点，，连接，过点D在的右侧作，且，连接、． (1)求证：； (2)当时，求的长； (3)如图2，若A、E、O三点共线，求点F到直线的距离； (4)直接写出线段的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再证明，即可得证； （2）连接，由题意可得，由勾股定理可得，，最后由全等三角形的性质即可得解； （3）过点作交的延长线于点，由（2）知，结合全等三角形的性质可得，证明，由相似三角形的性质求解即可； （4）连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，证明得出，再由，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，如图所示： ∵，是边的中点， ∴， 在中，则， 在中，，则， 由（1）中可知； （3）解：过点作交的延长线于点，如图所示： 由（2）知， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴点F到直线的距离为； （4）解：连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，则由题意可知点在以点为圆心、长为半径的圆上运动，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵，， ∴； ∴， ∵，，点在以点为圆心、长为半径的圆上运动， ∴， ∴， ∴线段的最小值为． 15．（2026·福建泉州·一模）（1）如图1，在中，，在边上任取一点D，连接，将沿着翻折，得到，且点在直线的上方．连接并延长与的延长线交于点E． ①与之间有怎样的位置关系？请证明你的结论； ②若，请探究与之间有怎样的数量关系？并证明你的结论． （2）如图2，在平行四边形中，，，，点E是边上的点，满足，将绕着点E顺时针旋转得到．过点E作交于点N，连接，，．若，则四边形的面积为__________． 【答案】（1）①，证明见解析；②，证明见解析 （2）11 【分析】（1）①利用翻折的性质得：，，点A、D都在线段的垂直平分线上，即可得出结论； ②延长交于H，设，则，可求得，所以．再证明，得即可； （2）过点作交于点，交延长线于点，连接交于点，通过证明得到，，得到的长，再利用全等三角形判定得到，得出，最后利用面积公式，代入数据即可解答． 【详解】解：（1）①，证明如下： 由翻折的性质得：，， 点A、D都在线段的垂直平分线上， ； ②，证明如下： 延长交于H，如图， ，， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． （2）如图，过点作交于点，交延长线于点，连接交于点， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 平行四边形， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； 将绕着点E顺时针旋转得到， ，， ， ， ， 又， ， ，， ， ， ， ，， ， 四边形的面积为11． 故答案为：11． 16．（2026·福建福州·模拟预测）如图，在中，，D，E分别是边的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到，点D的对应点是点F，连接 (1)求证：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由中位线可得，推出；根据旋转得，可证即可求证； （2）过点F作，交的延长线于点N，于H，根据可得，；证得，结合四边形是矩形可得，进一步推出，设，求出即可求解． 【详解】（1）证明：∵D，E分别是边的中点， ∴ ∴， ∴ ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）解：如图，过点F作，交的延长线于点N，于H， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴ ∴ 设 ∴ ∴ 17．（2025·福建漳州·模拟预测）【知识技能】 （1）如图1，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到．当点E的对应点与点A重合时，求证：． 【数学理解】 （2）如图2，在中，是的中位线．连接，将绕点D按逆时针方向旋转，得到，连接，，作的中线．求证：． 【拓展探索】 （3）如图3，在中，，点D在上，．过点D作，垂足为E，，．在四边形内是否存在点G，使得？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）存在，证明见解析 【分析】（1）根据中位线的性质、旋转的性质即可证明； （2）利用旋转的性质、外角定理、中位线的性质证明后即可证明； （3）通过解直角三角形得到，，过点C作于点M，易证，得到，即可求得，进而，从而点M是的中点，过点D作，交于点P，连接，，，根据三线合一得，证明，即可求的，过点P作于点N，则四边形是矩形，得到，因此点N是的中点，进而，再证，得到，根据，即可推出，因此当点G与点P重合时，满足． 【详解】证明：（1）是的中位线， 且． 又绕点D按逆时针方向旋转得到 ． （2）由题意可知：，，． 作，则且， 又， ． 根据外角定理 ， ， ． 又，是的中位线， ， ， ， ， ， ． （3）存在点使得． ∵， ∴， ∴在中，， 过点C作于点M， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点M是的中点， ∴是的垂直平分线， 过点D作，交于点P，连接，， ∴， ∴根据三线合一得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 过点P作于点N，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴点N是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴ 即， ∴， ∴当点G与点P重合时，满足． 18．（2025·福建漳州·模拟预测）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，点B是上一点，连接，，若，求证：； 　【问题探究】 （2）如图②，在中，，点B是上一点，过点B作交于点C，若，，，求的值； 　【问题解决】 （3）如图③，四边形是某公园的一块空地，，分别沿，修两条小路，并在区域内栽种竹子，其余部分进行绿化，已知，， ，求栽种竹子的面积． 【答案】（1）见解析，（2），（3） 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数、三角形面积，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形； （1）由，，得，可证， （2）过点C作于点N． ∵，，，根据（1）的方法同理可得，得，由得，再有勾股定理求出，即可解答； （3）过点A作于点E，过点D作，交的延长线于点F． 根据（1）的方法同理可得，得，求出，根据三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， ∴． 又∵， ∴． （2）解：如图①，过点C作于点N． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴． 在中，，， ∴， ∴． （3）解：如图②，过点A作于点E，过点D作， 交的延长线于点F． ∵，，， 根据（1）的方法同理可得， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故栽种竹子的面积（即的面积）为． 19．（2026·福建泉州·模拟预测）已知二次函数，其中a，b为常数． (1)当，时，求该函数的顶点坐标． (2)当，对称轴在之间时，函数的最小值为． ①求二次函数解析式； ②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值． 【答案】(1)该函数的顶点坐标为 (2)①；② 【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解； （2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解； ②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入中， 得， 所以该函数的顶点坐标为； （2）解：①把代入中， 得， 所以对称轴为直线， 把代入中，得， ∵函数的最小值为，且二次项系数， ∴， 解得， 又因为对称轴在之间， 即 则， 故， ∴二次函数解析式为； ②由①知， ∴对称轴为直线， ∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点， ∴点B，C的纵坐标均为t， 设B的横坐标为，C的横坐标为， ∵B，C关于直线对称， ∴， ∴， ∵点B为线段的中点， ∴，即， ∴， ∴， 将代入， 得， ∴． 20．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． (1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． (2)函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． (3)若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 【答案】(1)是，否，是； (2)见解析； (3)四边形为矩形，． 【分析】（1）根据反比例函数以及一次函数，二次函数的性质结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，①当时，②当时，分别画出图形，根据二次函数与一元二次方程的解的关系，得出； （3）根据解析式得出A，B，C，D的坐标，进而根据图形，结合矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①关于直线对称，是“长榆函数”； ②其函数图象不关于直线对称，不是“长榆函数”； ③，对称轴为直线，是“长榆函数”； （2）解：①当时，，如图： 依题意，函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”， 且其“振万直线”为同一直线， 根据抛物线的对称性可得， ②当时， ∵的“振万直线”为同一直线， ， 设， 如图所示，过E，G分别作x轴的平行线，过点F，H分别作y轴的平行线，交于点P，Q，则，， ， 联立， ， ，同理可得， ， 即， 即， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ∵关于x的“长榆函数”，的“振万直线”为，与x轴交于点A、B（点A在点B的右边）， 当，即， ， 令，即， 解得：，， ∴， 当时，，则，， 函数的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N， ， 令，即， 解得：，，则对称轴为直线， ，， 当时，，则， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵在x轴上， ∴不可能垂直于， ∴四边形不可能是菱形， 当四边形为矩形时， ， 即， 解得：． 21．（2026·福建泉州·一模）已知抛物线． (1)当时，证明此抛物线与轴必有两个交点； (2)设抛物线与x轴分别交于，两点（点在点左侧），与轴正半轴交于点．已知点在第一象限，若，且． ①求证：； ②过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点．若是一个定值，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）将代入，抛物线解析式，令，计算一元二次方程的判别式，即可得证； （2）①先求得点，，则，根据得出，进而得出，设交轴于点，过点作轴于点，根据得出，即可得出，再证明，即可求解； ②设，经过点的直线为，联立抛物线解析式，进而得出，求得的表达式，根据题意得出时，是一个定值，即可求解． 【详解】（1）证明：当时，抛物线 当时， 即 ∴ ∴此抛物线与轴必有两个交点； （2）解：①当时，，即 ∴ 解得：或 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴当时， 解得： ∴，，， ∵点在第一象限， 当时，，则在上， 如图，设交轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴， 当时，，则， ∴， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∵，，， ∴，， ∴且 ∴ ②如图，过轴上的点的直线交抛物线于，两点，过的中点作轴的平行线交抛物线于点． 设，经过点的直线为 联立 ∴ ∴ ∵是的中点 ∴， ∴ ∵ ∴ ∵是一个定值， ∴是一个定值， ∵ ∴时，是一个定值， ∴ ∴点的坐标为 22．（2026·福建三明·一模）已知二次函数（b，c为常数）的图象经过点A，且与y轴交于点C． (1)若，，求此二次函数的表达式； (2)在（1）的条件下，将二次函数的图象向右平移m个单位长度，得到新的二次函数的图象，当时，求新的二次函数的最小值； (3)设一次函数（n是常数）．若二次函数y1的表达式还可以表示为的形式，当函数的图象经过点时，求的值． 【答案】(1) (2)当时，最小值为；当时，最小值为；当时，最小值为 (3)或 【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）确定平移后的解析式，根据抛物线的性质得到对称轴为直线，分类讨论即可得解．（3）把，代入中，得出关于，的关系式，把代入求解即可； 【详解】（1）二次函数的图象经过，， ， 解得：， 此二次函数的表达式为； （2），且向右平移m个单位长度， 新的二次函数可表示为， 对称轴为， ①当，即时， 当时，有， ②当时，即时， 当时，有， ③当，即时， 当时，有； （3），， ， ， ， 又图象经过点， ， 或， 或． 23．（2026·福建三明·一模）已知抛物线经过点、，且． (1)若，求抛物线的解析式； (2)设抛物线与轴的两个交点分别为、和，若，证明：； (3)设抛物线的顶点为，若，判断直线是否过一定点？若不存在，请说明理由；若存在，请求出该定点坐标． 【答案】(1) (2)见详解 (3)存在，该定点坐标为 【分析】（1）结合，得、，再运用待定系数法进行解方程，得，即； （2）把点、分别代入，整理得是方程的两个实数根，根据韦达定理得，然后运用求根公式得，，再分别化简，又因为，得，即，即， （3）由（2）得，整理得抛物线的顶点，再分别表示出，，再代入，得，又因为，得，再求出直线的解析式为，故直线过点． 【详解】（1）解：∵， ∴、， 把，分别代入， 得， 解得， ∴， （2）解：∵抛物线经过点、， ∴ 整理 即是方程的两个实数根， 由韦达定理得， ∴， ∴ 令时，则， 解得， ∵， ∴，， 设， 则， ∴，， ∴ ∵， ∵且， ∴ ∴ 则， ∴ 则 ∴， ∴， 则， ∵， ∴， ∴， 即， 即， （3）解：存在，该定点坐标为 由（2）得， 对称轴为直线， 把代入， 得 ， ∵设抛物线的顶点为， ∴， ∵、， ∴， ∵， ∴， 即 整理得， ∴， 若或，则抛物线的顶点P与点N或M重合，无法构成，不满足的条件， ∴ ∴， 即， ∴， 设直线的解析式为， 把、代入， 得 解得 ∴直线的解析式为 ∵ ∴ 当时，则， ∴直线过点， 即直线是过一定点，且定点为． 24．（2026·福建南平·二模）如图，在中，，分别是半径及其延长线上的点，交于点，且，连接． (1)如图1，求证：为的切线； (2)如图2，是经过点的弦． ①求证：； ②连接交于点，连接．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）连接，则，由可得，根据可证，根据相似三角形的性质可得，从而可证为的切线； （2）①延长交于点，连接，，由勾股定理得：，等量代换可得，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； ②由（1）知，由三角形内角和定理可得，从而可得，等量代换可证结论成立． 【详解】（1）证明：如下图所示，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又为的半径， 为的切线； （2）①证明：如下图所示，延长交于点，连接，， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②证明：如下图所示，由（1）知， ， 在中， ， ， ， ， ． 25．（2026·福建泉州·三模）如图，内接于，过A作的角平分线，交于点D，交于点E． (1)求证：； (2)若时， ①求的值． ②作的角平分线，交于点F，在圆上有一点G，若F和G恰好关于的中点对称，请用含k的代数式表示的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】（1）连接，根据是的角平分线，得到，再根据同弧所对的圆周角相等得到，证明即可得到结论； （2）①由题意得到，证明，求出，即可得到答案； ②取的中点，连接并延长交于点，连接，为平分线与的交点，即为的内心， F和G恰好关于的中点对称，且在圆上，为等边三角形，求出，即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ； （2）解：①连接， ， ， 是的角平分线， ， ∴ ∵， ， ， 即， ， ， ∴； ②取的中点，连接并延长交于点，连接，如图： ∵点关于点对称， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平分，平分 ∴点是的内心，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 26．（2026·福建漳州·一模）如图，内接于，直径交于点G，过点D作射线，使得，延长交过点B的切线于点E，连接． (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的长； ②求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)①9② 【分析】（1）连接，证明，即可得出是的切线； （2）①连接，证明，得出的长； ②通过勾股定理得出的长，再利用，得出的长，从而得出直径的长度，由此得出的半径． 【详解】（1）证明：连接， ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵是圆的半径， ∴是的切线； （2）解：①连接， ∵， ∴， ∵是切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∵， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． 27．（2026·福建泉州·模拟预测）如图，在四边形中，，且，过点、、作交于点，连接，，，设，交于点，且满足． (1)求证：； (2)若，，求圆的半径； (3)若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到，进而得到，根据圆周角定理得到，从而得出结论； （2）过点作，交于点，由（1）知，进而得到是等腰三角形，从而得到为的直径，根据，得到，进而得到，根据相似三角形的性质得到，据此求解即可； （3）过点作，交于点，连接，设、，则，易证明四边形是矩形，进而得到、，易证明，进而得到，求出，再证得，进而得到，求出，根据圆周角定理得到，在中，，在中，，进而求出，由（2）知，，则，据此求出长，再证明，进而得到，从而求出的值． 【详解】（1）证明：、， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点， 由（1）知， 是等腰三角形， ， ， 为的直径， 、， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：； （3）解：如图，过点作，交于点，连接， 设、， ， ， 由（1）知：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由（2）知：， ， 、是直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 、， 由（2）知，， ， ， ， ， ， 解得， 、， ， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $