精品解析：江苏南通市通州区2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷

初二数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 一个六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列各点在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 观察表格和图象，下列判断正确的是（ ） x 1 1 2 3 4 A. 是x的函数，不是x的函数 B. 是x的函数，不是x的函数 C. 和都是x的函数 D. 和都不是x的函数 5. 若点，都在直线上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 某超市以8元/千克的价格购进A种水果，已知该超市零售这种水果的质量y（千克）与售价x（元/千克）之间的关系如图所示，则该超市以11元/千克零售这种水果所获得的利润为（ ） A. 2900元 B. 3600元 C. 4800元 D. 8700元 9. 如图1，梯形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在四边形的边上匀速运动．设P点的运动时间为x秒，的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 7 B. 11 C. 13 D. 16 10. 在中，，平分，，过点D作交于点E，延长至F，使得，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 6.5 C. D. 8 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 将直线向上平移个单位长度后得到的直线解析式是______． 12. 一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 13. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 14. 已知矩形的对角线长为10，且两条对角线相交所成的锐角为，则该矩形的面积为___________． 15. 如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________． 16. 已知一次函数和的图象都经过点， （1）的值是________； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围是________． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知y与x成正比例关系，且时，． （1）求y与x的函数解析式； （2）当时，求x的值． 18. 求证：矩形的对角线相等要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程 19. 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； （2）利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 20. 如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 如图，直线：与直线：相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）D是直线上一点，且在第一象限．若的面积是12，求点D的坐标． 22. 一文具店购进甲、乙两种品牌的文具盒共个，其进价与售价情况如表所示． 品牌 进价（元/个） 售价（元/个） 甲 乙 设购进甲品牌文具盒个，销售完这个文具盒所获得的总利润是元． （1）求与的函数解析式； （2）若该文具店购进甲品牌文具盒的数量不超过乙品牌文具盒数量的一半，所采购的文具盒能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少． 23. 如图，已知直线l和直线l外一点A． （1）请用尺规在图中作正方形，使得顶点B，D在直线l上（要求：保留作图痕迹，不需要写作法） （2）若点A到直线l的距离是，的平分线交边于点E，则的长为________． 24. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式．现有一壶的水经过10分钟烧至后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（）与时间x（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至： 时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度：后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． （1）a的值为________； （2）已知时，，求当时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值； （3）当时，请直接写出此时电热水壶中水的温度． 25. 菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． （1）如图1，连接，求证； （2）如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； （3）若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初二数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 一个六边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据边形内角和为，代入边数计算即可得到结果. 【详解】解：∵边形的内角和公式为，本题中多边形为六边形，即， ∴代入得. 2. 下列各点在函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数图象上点的坐标特征，若点在函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将各选项横坐标代入解析式计算，对比纵坐标即可判断． 【详解】解：函数解析式为， 选项A、当时，，与点的纵坐标一致，则在函数图象上； 选项B、当时，分母，解析式无意义，则不在函数图象上； 选项C、当时，，则不在函数图象上； 选项D、当时，分母，解析式无意义，则不在函数图象上． 3. 在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，利用平行四边形的对角相等和邻角互补的性质解题即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 4. 观察表格和图象，下列判断正确的是（ ） x 1 1 2 3 4 A. 是x的函数，不是x的函数 B. 是x的函数，不是x的函数 C. 和都是x的函数 D. 和都不是x的函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义解答，对于两个变量x，y，给出每一个x的值，y有唯一的值与之相对应，这样的y就是x的函数． 【详解】解：由表格可知：当时，的值为1或2，所以不是x的函数； 由图象可知：给出一个变量x的值，有唯一的值与之相对应，所以是x的函数． 5. 若点，都在直线上，则m与n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．由题意，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：中，， 随的增大而增大， 又， ． 故选：A． 6. 要使平行四边形是矩形，需要增加的一个条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：平行四边形中邻边相等可判定为菱形，只能说明平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则A错误； 选项B：矩形的判定定理为对角线相等的平行四边形是矩形，平行四边形中，平行四边形是矩形，则B正确； 选项C：平行四边形本身具有对角相等的性质，是平行四边形固有的性质，不能判定它是矩形，则C错误； 选项D：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，只能判定平行四边形是菱形，不能判定为矩形，则D错误． 7. 根据下表中一次函数的自变量与函数值部分的对应值， 判断方程的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，由表格可知，当时，；当时，，即可判断方程的一个解的取值范围，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，；当时，， ∴方程的解必定在与之间，即， 故选：． 8. 某超市以8元/千克的价格购进A种水果，已知该超市零售这种水果的质量y（千克）与售价x（元/千克）之间的关系如图所示，则该超市以11元/千克零售这种水果所获得的利润为（ ） A. 2900元 B. 3600元 C. 4800元 D. 8700元 【答案】D 【解析】 【分析】待定系数法求出函数解析式，然后根据题意进行求解． 【详解】解：设水果的质量y（千克）与售价x（元/千克）之间的表达式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴， 当时，， ∴． 9. 如图1，梯形中，，，点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在四边形的边上匀速运动．设P点的运动时间为x秒，的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示，则图2中a的值为（ ） A. 7 B. 11 C. 13 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据S关于x的函数图象可知，当P运动到点B时，此时，，即可求出，当点P运动到点C时，此时，即可求出，过点B作于点E，则四边形为矩形，则，再利用勾股定理求出，最后根据求解即可． 【详解】解：根据S关于x的函数图象可知，当P运动到点B时，此时，， 即， ∴， 当点P运动到点C时，此时， 即， ∴， 过点B作于点E， 则四边形为矩形， ∴，，， ∴， 在中，， 当点P运动到点D时，此时， ∴． 10. 在中，，平分，，过点D作交于点E，延长至F，使得，连接，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 6.5 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，过点作于点，易证得，进而得到、，证明，则，进而得到，再证明，则，进而得到，在中，利用勾股定理求出的长，进而得到长，在中，利用勾股定理求出长即可． 【详解】解：延长交的延长线于点，过点作于点， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， 、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 、， ， 、， ， ， ， 、， ， ， ， ，且， 点H在点C和点F之间， ， 在中，， ， 整理得， 即， 解得：或（舍去）， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，第11~12题每小题3分，第13~16题每小题4分，共22分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11. 将直线向上平移个单位长度后得到的直线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：由“上加下减”的规律可知，将直线向上平移个单位长度后得到的直线解析式为， 故答案为：． 12. 一次函数的图象与x轴的交点坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】令，可求得一次函数图象与轴交点的横坐标，进而得到交点坐标． 【详解】解：把代入得，， 解得， 一次函数的图象与轴的交点坐标为． 13. 如图，的顶点的坐标分别是．则顶点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和坐标与图形的性质，此题充分利用了“平行四边形的对边相等且平行”的性质． 14. 已知矩形的对角线长为10，且两条对角线相交所成的锐角为，则该矩形的面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴矩形的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，证明是等边三角形是解题的关键． 15. 如图，将正方形顶点A折叠至边上的点E，折痕为．若，，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，过点F作于点M，根据折叠得出，，证明，得出，求出，设，则，根据勾股定理得出，求出x的值，即可得出答案． 【详解】解：连接，，过点F作于点M，如图所示： 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 根据折叠可得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ， ∵， ∴， 解得：， 即． 16. 已知一次函数和的图象都经过点， （1）的值是________； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，则m的取值范围是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，先将点代入求出，再代入求出，最后计算即可； （2）当过点和与直线平行时成立，再分析和时不成立，即可得到的范围． 【详解】解：（1）将代入，得：， 解得 ， 将，代入，得：， 解得 ， ； （2）由（1）可知：一次函数分别是和， 由图像可知：当时，函数的值大于函数的值 ∵当时，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， 且， 当过点时成立，即，解得：； 当与直线平行时也成立，即； 如果，当x取足够小的负数时，的值小于的值， 如果，当x取足够小的负数时，的值小于的值， ∴m的取值范围是． 三、解答题（本大题共9小题，共98分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知y与x成正比例关系，且时，． （1）求y与x的函数解析式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）设，利用待定系数法求解析式； （2）将代入解析式，即可求出x的值． 【小问1详解】 解：∵y与x成正比例关系， ∴设， 当时，， 代入得：． y与x的函数解析式为：； 【小问2详解】 当时，， ∴． 18. 求证：矩形的对角线相等要求：画出图形，写出已知，求证和证明过程 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】分析：由“四边形ABCD是矩形”得知，AB=CD，AD=BC，矩形的四个角都是直角，再根据全等三角形的判定原理SAS判定全等三角形，由此，得出全等三角形的对应边相等的结论． 详解：已知：四边形ABCD是矩形，AC与BD是对角线， 求证：， 证明：四边形ABCD是矩形， ，， 又， ≌， ， 所以矩形的对角线相等 点睛：本题考查的是矩形的性质和全等三角形的判定．（1）在矩形中，对边平行相等，四个角都是直角；（2）全等三角形的判定原理AAS；三个判定公理（ASA、SAS、SSS）；（3）全等三角形的对应边、对应角都相等． 19. 解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象； （2）利用图象回答： ①方程的解是________； ②当x取什么值时，函数值小于0？ 【答案】（1）见详解 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）用两点法画直线； （2）①直线与轴交点的横坐标即是方程的解；②直线在轴下方对应的值即为所求的解． 【小问1详解】 解：把代入，得， 把代入，得， 过点画直线即为一次函数的图象； 【小问2详解】 解：①如图，方程的解为； ②函数值小于0时，对应的函数图象在轴的下方， 当时，函数值小于0． 20. 如图，在中，边的垂直平分线交的延长线于点E，交的延长线于点F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用和垂直平分线的性质可得，进而可知，问题得证； （2）先证明为等边三角形，然后在中求出，进而求出的长． 【小问1详解】 证明： 四边形是平行四边形， ，，． ． 垂直平分， ，． 在和中， （ASA）． ． 又， 四边形是平行四边形． 又∵， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解： 四边形是平行四边形，，， ，． ． ∵四边形是菱形， ，， 为等边三角形． ． 在中，，，由勾股定理，得 ． 四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形和菱形的性质和判定、垂直平分线的性质、等边三角形的性质和判定、角的性质及勾股定理．根据已知条件选择恰当的判定方法是解决问题的关键． 21. 如图，直线：与直线：相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）D是直线上一点，且在第一象限．若的面积是12，求点D的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为：；直线的解析式为：； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求直线和的解析式即可． （2）设，表示出，根据，求出x，即可求出点D的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入直线：得：； 解得， ∴直线的解析式为：； ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点， 将点，代入直线：得； 解得： ∴直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：∵点D在直线上， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴； 当时，， 点D的坐标为． 22. 一文具店购进甲、乙两种品牌的文具盒共个，其进价与售价情况如表所示． 品牌 进价（元/个） 售价（元/个） 甲 乙 设购进甲品牌文具盒个，销售完这个文具盒所获得的总利润是元． （1）求与的函数解析式； （2）若该文具店购进甲品牌文具盒的数量不超过乙品牌文具盒数量的一半，所采购的文具盒能全部售出，给出利润最大的进货方案，并求出最大利润是多少． 【答案】（1）（，为整数） （2）购进甲品牌文具盒个，乙品牌文具盒个，全部售出后获得的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据“总利润甲品牌文具盒的总利润+乙品牌文具盒的总利润” 可得与的函数关系式； （2）根据“购进甲品牌文具盒的数量不超过乙品牌文具盒数量的一半”可得关于的一元一次不等式并求其解集，然后根据一次函数的增减性和的取值范围解答即可． 【小问1详解】 解：设购进甲品牌文具盒个，则购进乙品牌文具盒个， 依题意，得：， ∴与的函数解析式为（，为整数）； 【小问2详解】 解：依题意，得：， ∴（为整数）， ∵，且， ∴随的增大而增大， ∴当时，， ∴购进甲品牌文具盒个，乙品牌文具盒个，全部售出后获得的利润最大，最大利润是元． 23. 如图，已知直线l和直线l外一点A． （1）请用尺规在图中作正方形，使得顶点B，D在直线l上（要求：保留作图痕迹，不需要写作法） （2）若点A到直线l的距离是，的平分线交边于点E，则的长为________． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）过点A作垂线交直线于点O，以点O为圆心，为半径画圆交直线于点B，点D，交直线的垂线于点C即可． （2）由正方形的性质得出，，，利用勾股定理求出，由角平分线的性质定理得出，最后根据即可求出答案． 【小问1详解】 解：正方形如下图所示： 由作图可得， ∴四边形是矩形， 又， ∴矩形是 正方形； 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴， ∴， 过点E作交与点F， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 24. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式．在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式．现有一壶的水经过10分钟烧至后进入保温模式，数学实验小组对这一过程进行了观察与记录，并绘制出水温y（）与时间x（分）的关系如图所示． 该款电热水壶保温模式说明： 1．智能控制：当水温降至： 时，控制电路启动微加热元件短暂工作，将水重新加热至目标温度：后，关闭； 2．循环启停：以上过程周期性重复，保持水温在设定范围内． （1）a的值为________； （2）已知时，，求当时水温y与时间x之间的函数关系式，并求出n的值； （3）当时，请直接写出此时电热水壶中水的温度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据保温模式说明，加热后的目标温度为，图中虚线对应加热后的目标温度，据此解答即可； （2）当时水温y与时间x是一次函数，设函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，令求出的值； （3）设当时，关于的函数解析式为，利用待定系数法求出函数解析式，水温从降到需要的时间为分钟，进而得到水温从降到，再加热到一共需要的时间为分钟，由于水壶加热是周期性重复的过程，则当时，电热水壶正处于第二次加热阶段，观察图象发现，和处于同一温度，将代入（2）中所求函数解析式进行计算即可． 【小问1详解】 解：根据保温模式说明，加热后的目标温度为，图中虚线对应加热后的目标温度，因此； 【小问2详解】 解：当时水温y与时间x是一次函数，设函数解析式为， 由题意可知，时水温降至，即点在函数图象上， 将点和点代入得：， 解得， 因此，函数关系式为， 当时，， 解得：； 【小问3详解】 解：由题意可知，当时，， 设当时，关于的函数解析式为， 将点和点代入得： ， 解得， 当时，关于的函数解析式为， 令得：， 解得：， 水温从降到需要的时间为分， 由（2）可知，当时，， 水温从降到，再加热到一共需要的时间为分， 水壶加热是周期性重复的过程， 当时，电热水壶正处于第二次加热阶段， 此时，和处于同一温度， 由（2）知，当时，函数关系式为， 将代入得：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握利用待定系数法求解析式，正确理解题意是解题的关键． 25. 菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，． （1）如图1，连接，求证； （2）如图2，若E是的中点，，相交于点P，求证：点P在上； （3）若，M，N分别是，的中点，连接，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质易得到是等边三角形，进而得到，从而证明； （2）连接，根据等边三角形和全等三角形的性质易证明、，进而得到，证得，则，进而证得点在的角平分线上，根据菱形的性质得到平分，从而得出结论； （3）连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G，根据三角形中位线的性质求出、，进而求出，在中，根据含角的直角三角形的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，在中，利用勾股定理求出的长． 【小问1详解】 证明：连接， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：连接， 是等边三角形，E是的中点， ， 由（1）可知，， 、， 点是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， 、， 点在的角平分线上， 四边形是菱形， 平分， 点在上； 【小问3详解】 解：连接，取的中点O，连接，，，过点N作于点G， ， ， ， 由（2）知，， ，分别为，的中点， 是的中位线， ，， ， 同理可得：，， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线性质定理、三角形中位线性质、含角的直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理，数形结合的思想方法的运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $