第10章《分式》复习 学案 2025--2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学导学案聚焦苏科版八下第10章《分式》，以分式的概念、性质、运算及分式方程为核心，通过“概念理解-性质应用-运算深化-方程求解”的递进式任务设计，构建从定义到应用的完整知识链，实现知识点的系统关联与连贯建构。 亮点在于分层例题与实际问题的结合，如通过“非遗馆参观行程问题”“机器人配件进价利润问题”等任务，培养学生运算能力与模型意识，同时设置阅读理解题深化抽象能力。每知识点配备典型例题与详细解析，为学生提供阶梯式练习，为教师单元复习教学提供清晰的实施框架与资源支持。

苏科版2026八下数学第10章《分式》复习 【知识点一：分式的概念】 1.分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式叫作分式，其中A是分式的分子，B是分式的分母，且B≠0. 2.分式的值：用具体的数值代替分式中的字母，那么分式就变成了分数的算式，运算结果就是相 应的分式的值. 3.分式有意义、无意义、值为0的条件： ①有意义的条件：B≠0 ②无意义的条件：B=0 ③值为0的条件：A=0且B≠0 【典型例题】 1.下列各式（1﹣x），，，x，，其中分式共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 如果与是同类项，那么的值是（　　） A． B． C． D．3 3. 使有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠﹣3 C．x≠0或x≠﹣3 D．x≠0且x≠﹣3 4. 下列分式中，其值可以为零的是（　　） A． B． C． D． 5. 当分式的值为0时，x＝ 　 　 ． 6. 若分式的值为正数，则x的取值范围是 　 ． 7. 若分式的值是整数，则满足条件的整数m的值为 　 ． 8. 已知，则分式的值等于 ． 【知识点二：分式的基本性质】 1.分式的基本性质：分式的分子和分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变. 符号表示：, , 2.分式的符号法则：分式的符号、分子的符号、分母的符号同时改变其中两个，分式的值不变. 符号表示： ； . 【典型例题】 1.下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2.把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【知识点三：分式的约分】 1.分式的约分定义：把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式（公因式不能等于零），叫作分式的约分. 2.最简分式的定义：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这样的分式叫作最简分式. 3.分式约分的步骤： 【典型例题】 1.计算的结果为（　　） A．1 B．x C．y D． 2. 若表示的是一个最简分式，则可以是（　　） A．﹣a B．a C．﹣1 D．1 3.约分 （1） （2） （3） 【知识点四：分式的通分】 1.分式的通分定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫作分式的通分.（具体做法为：分子、分母分别乘以某式） 2.确定最简公分母： 【典型例题】 1.分式与的最简公分母是 . 2. 通分： （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， 【知识点五：分式的加减】 1.分式的加减运算法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母的分式相加减，先通分，再加减. 符号表示：； 2.作差法比较大小法则： ①若A-B＞0，则A＞B. ②若A-B=0，则A=B. ③若A-B＜0，则A＜B. 3.确定分式的符号： ①确定分子的符号和分母的符号； ②分子、分母同号，分式值为正；分子、分母异号，分式定值为负. 【典型例题】 1.计算： （1） （2） （3） （4） （5）a﹣b （6） 2. 已知，求A、B的值． 3．小丽和小明在做一道练习题：已知a＞b＞0，试比较与的大小． 小丽说：“当a＝2，b＝1时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为a＝2，b＝1只是一个特例，不具有一般性．可以…”，请你将小明的做法补充完整． 4.证明：当a＜b＜0时，． 5．【已知】对分式进行通分，可知：当n≠﹣1且n≠0时，． 【应用】（1）求的值； （2）若的值为，求n的值． 6. 定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如：，我们称是的“3差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“　 　 差分式”． （2）分式是分式的“2差分式”． ①C＝ 　 （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求A值． 【知识点六：分式的乘除】 1.分式的乘除运算法则：分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 符号表示：； 2.分式的乘方运算法则：分式的乘方运算，把分子、分母分别乘方. 符号表示： 3.分式的混合运算： ①乘除混合运算顺序：将除法转化为乘法，按从左到右的顺序计算； ②加、减、乘、除混合运算顺序：先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算. 范例： 解：=..........因式分解，确定符号 =-...........除法转化为乘法 =- .........交叉约分，查清分子、分母上各因式的次数，约去相同因式的最低次幂 【典型例题】 1.化简的结果是（　　） A． B． C． D．y2 2．若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（　　） A． B．b C．a﹣b D．a 3. 计算： （1） （2） （3） （4）（x﹣1） （5） 4. 先化简，再求值 （1），其中m＝1． （2）1，其中x 5.先化简（x+1），再从0，1，2中选出你喜欢的x的值代入求解． 6.先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 7. 对于实数a，b，c， （1）若ac＝1，a+c＝2b，且，求b的值； （2）若a+b+c＝0，①当ac+b+1＝0，c≠1时，求a的值；②当abc＝6，求证：． 8. 如果，试求k的值． 9.阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：∵，∴，∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为 　　 ，分式的值为 　　 ； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 【知识点七：分式方程】 1.分式方程的定义：等式两边是分式或整式，且分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 2.解分式方程的步骤： 一化：分式方程转化为整式方程（去分母） 二解：解整式方程 三验：将整式方程的解代入最简公分母，计算最简公分母的值是否为0 四写：写解或增根 3.增根的定义： 将分式方程变形为整式方程，若整式方程的解使得原来分式方程的分母为0，则这个解称为原分式方程的增根. 4.分式方程解决问题的步骤：审、设、列、解、验、答 范例：解分式方程 解：两边都乘：（x+1）（x-1）得： （x+1）（x-1） x=1 检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0 ∴x=1是增根，原方程无解. 【典型例题】 1. 下列是分式方程的是（　　） A． B． C．x（a，b为常数，a≠0，b≠0） D． 2.分式方程有增根，则增根是（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣1和0 D．无法确定 3.解方程 （1） （2） （3） （4） 4. 关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　） A．﹣1 B．5 C．1 D．3 5. 若关于x的分式方程无解，则m的值为　 　 ． 6. 若关于x的分式方程无解，则m的值为 . 7. 若关于x的分式方程有整数解，求整数m的值． 8. 已知关于x的分式方程． （1）若方程的解为x＝﹣1，求m的值． （2）若方程的解为非负数，求m的取值范围． 9.泉州一中八年级部分学生去距离学校12千米的非遗馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求学生骑自行车的速度是多少千米/小时？ 10．小明一家准备在五一劳动节期间从扬州到上海游玩，小明借助网络信息制定了以下两套出行方案： 方案一：从扬州西站乘坐动车，全程约450km，所用时间比从东站乘坐高铁多1h； 方案二：从扬州东站乘坐高铁，全程约480km，高铁的平均速度是动车的1.6倍． 求从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度． 11. 2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高60%，若用360元等额质金分别购进A、B两类配件，则A类等额件的数量比B类质件的数量少3个． （1）求A、B两类机器人配件每个的进价； （2）3月，该科技店用5400元购进A人配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 12．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？ 第10章《分式》复习答案 【知识点一典型例题】 1.下列各式（1﹣x），，，x，，其中分式共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】形如（A、B均为整式且B中有字母）的式子是分式，据此解答即可． 【解答】解：在（1﹣x），，，x中， 分式为，共2个． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的定义，掌握分式的定义是关键． 2. 如果2xa+1y2与x3yb﹣1是同类项，那么的值是（　　） A． B． C． D．3 【分析】根据同类项的定义列出方程，再求解即可． 【解答】解：由同类项的定义可知a+1＝3，b﹣1＝2， 解得a＝2，b＝3， ∴． 故选：C． 【点评】本题考查了同类项的定义，掌握同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的项叫同类项． 3. 使有意义的x的取值范围是（　　） A．x≠0 B．x≠﹣3 C．x≠0或x≠﹣3 D．x≠0且x≠﹣3 【分析】根据分式有意义的条件，即分式的分母不为零，同时除法运算中除数不为零，列出不等式得到x的取值范围． 【解答】解：根据题意可知，x+3≠0，且， ∴x≠0且x≠﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是关键． 4. 下列分式中，其值可以为零的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求解即可． 【解答】解：A、m2+1≥1，故分子不为0，不符合题意； B、m+1＝0，则m＝﹣1，那么分母m2﹣1＝（﹣1）2﹣1＝0，不符合题意； C、m+1＝0，则m＝﹣1，那么分母m2+1＝（﹣1）2+1＝2≠0，符合题意； D、m2+1≥1，故分子不为0，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分子为零，分母不为零时，分式的值为零． 5. 当分式的值为0时，x＝ 　﹣2　 ． 【分析】根据分子为零且分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， x2﹣4＝0且x﹣2≠0， 解得x＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查分式为零的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 6. 若分式的值为正数，则x的取值范围是x　 ． 【分析】根据题意可得5x+3＜0，即可得出答案． 【解答】解：∵分式的值为正数， ∴5x+3＜0， ∴x． 故答案为：x． 【点评】本题主要考查分式的值，熟练掌握其知识点是解题的关键． 7. 若分式的值是整数，则满足条件的整数m的值为 　 0或2或﹣2或4 ． 【分析】根据分式的值是整数，得到m﹣1是3的约数，确定出满足题意正整数m的值即可． 【解答】解：∵分式的值是整数，m为整数， ∴m﹣1＝±1或±3， ∴m＝0或2或﹣2或4， 故答案为：0或2或﹣2或4． 【点评】此题考查了分式的值，弄清题意是解本题的关键． 8. 已知，则分式的值等于 　　 ． 【分析】根据，设a=3k，b=2k，将其代入进行化简约分即可求解． 【解答】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查分式求值，掌握分式的运算是解题的关键． 【知识点二典型例题】 1.下列等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【解答】解：A．假设a＝2，b＝1，c＝1，则，， 所以，故选项A不成立； B.，故选项B成立； C．设a＝2，b＝1，则，， 所以，故选项C不成立； D．设a＝1，b＝1，c＝1，则，， 所以，故选项D不成立． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 2.把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍，则分式的值（　　） A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的8倍 C．缩小为原来的 D．不变 【分析】利用分式的基本性质计算即可． 【解答】解：把分式中的x，y的值都扩大为原来的4倍可得， 即该分式的值不变， 故选：D． 【点评】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 3. 根据分式的基本性质，分式可变形为（　　） A． B． C． D． 【分析】解决分式中的变号问题：分式的分子、分母及分式本身的三个符号，改变其中的任何两个，分式的值不变，进行计算即可解答． 【解答】解：原式， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的基本性质，理解并会用分式的基本性质（分式的分子，分母同时乘以或除以同一个不为零的数或式子，分式仍然成立）是解题关键． 【知识点三典型例题】 1.计算的结果为（　　） A．1 B．x C．y D． 【分析】运用积的乘方法则计算分子，再通过约分得到最终结果． 【解答】解：． 故选：B． 【点评】本题考查了约分，熟练掌握分式的基本性质是关键． 2. 若表示的是一个最简分式，则可以是（　　） A．﹣a B．a C．﹣1 D．1 【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 （即分子与分母互素）叫最简分式． 【解答】解：A、当☆为﹣a时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； B、当☆为a时，，不是最简分式，故该选项不符合题意； C、当☆为﹣1时，1，不是最简分式，故该选项不符合题意； D、当☆为1时，，是最简分式，故该选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键． 3.约分 （1）； （2）； （3）． 【分析】（1）（2）（3）根据分式的约分法则计算． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ； （3）． 【点评】本题考查了约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分． 【知识点四典型例题】 1.分式与的最简公分母是 12x2y3 . 【分析】两个分式的最简公分母是各分母系数的最小公倍数与各字母因式的最高次幂的积，据此可得答案． 【解答】解：两个分式的最简公分母是12x2y3， 【点评】本题主要考查了求两个分式的最简公分母，熟练掌握该知识点是关键． 2. 通分： （1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， 【分析】（1）首先确定最简公分母为xyz，再通分即可； （2）首先确定最简公分母为10a2b，再通分即可； （3）首先确定最简公分母为（a﹣b）2，再通分即可； （4）首先确定最简公分母为ab（b+1），再通分即可； （5）首先确定最简公分母为（2a+1）（2a﹣1），再通分即可； （6）首先把分式约分，再确定最简公分母为2（1﹣a）（a+3），再通分即可． 【解答】解：（1）最简公分母为xyz， ， ； （2）最简公分母为10a2b， ， ； （3）最简公分母为（a﹣b）2， ， ； （4）最简公分母为ab（b+1）， ， ； （5）最简公分母为（2a+1）（2a﹣1）， ； （6）最简公分母为：2（1﹣a）（a+3）． ． ． 【点评】此题主要考查了分式的通分，关键是正确确定最简公分母． 【知识点五典型例题】 1.计算： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）a﹣b； （6）． 【分析】根据分式的加减法则运算即可. 【解答】解：（1）； （2）原式 ； （3）原式 ． （4）原式 ＝x﹣1﹣（x﹣1） ＝x﹣1﹣x+1 ＝0． （5）原式， ， ． （6）原式（a+1） ． 【点评】本题考查了分式的加减运算，熟练掌握运算法则是关键． 2. 已知，求A、B的值． 【分析】根据异分母的分式的加减法则，进行计算即可． 【解答】解：根据异分母的分式的加减法则计算得： ， 由题意可知：， 解得：A＝3，B＝5． 【点评】本题考查异分母分式的加减法，熟练掌握该知识点是关键． 3．小丽和小明在做一道练习题：已知a＞b＞0，试比较与的大小． 小丽说：“当a＝2，b＝1时，有，；因为，所以”． 小明说：“小丽的做法不正确，因为a＝2，b＝1只是一个特例，不具有一般性．可以…”，请你将小明的做法补充完整． 【分析】利用作差法，计算，若差值大于0，说明；若差值等于0，说明；若差值小于0，说明． 【解答】解： ， ∵a＞b＞0， ∴a﹣b＞0，a（a+1）＞0， ∴， ． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握分式加减计算的方法是本题的关键． 4.证明：当a＜b＜0时，． 【分析】作差即可得证． 【解答】证明： ， ∵a＜b＜0， ∴b﹣a＞0，a+b＜0，a2b2＞0， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查分式的加减法，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 5．【已知】对分式进行通分，可知：当n≠﹣1且n≠0时，． 【应用】（1）求的值． （2）若的值为，求n的值． 【分析】将每一项拆分成两项的差，再计算加减法即可得． 【解答】解：（1）原式 ． （2） ． ∴， 4045n＝4044n+2022， n＝2022． 经检验：n＝2022为原方程的解． 【点评】本题考查了分式的加减法，通分，掌握分式的加减法的运算法则是关键． 6. 定义：若分式A和分式B满足A﹣B＝n（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如：，我们称是的“3差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“　1　 差分式”． （2）分式是分式的“2差分式”． ①C＝ 　18+6x （含x的代数式表示）； ②若A的值为正整数，x为正整数，求A值． 【分析】（1）根据材料提示进行计算即可求解； （2）①根据“2差分式”的计算方法可得A﹣B＝2，结合分式的混合运算即可求解； ②根据为正整数，即可解答． 【解答】（1）解：， 故答案为：1； （2）解：， ∴C﹣2x2﹣6x＝18﹣2x2， 解得，C＝18+6x； 故答案为：18+6x； 为正整数，A的值为正整数， ∴当3﹣x＝1时，x＝2，则A＝6； 当3﹣x＝2时，x＝1，则A＝3； 当3﹣x＝3时，x＝0，不符合题意，舍去； ∴A的值为3或6． 【点评】本题考查新定义运算，分式的加减法，熟练掌握掌握分式的加减法法则是解答本题的关键． 【知识点六典型例题】 1.化简的结果是（　　） A． B． C． D．y2 【分析】先计算乘方，再计算乘法约分即可． 【解答】解：， 故选：B． 【点评】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键． 2．若运算的结果不是分式，则括号内的式子可能是（　　） A． B．b C．a﹣b D．a 【分析】先设括号内的式子为A，根据分式除法法则化简原式，分解因式后约分得到结果，再根据结果不是分式即可判断正确选项． 【解答】解：根据题意，设括号内的式子为A， ， 当时，原式，是分式，故A不符合题意； 当A＝b时，原式，是分式，故B不符合题意； 当A＝a﹣b时，原式，是分式，故C不符合题意； 当A＝a时，原式，不是分式，故D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了分式的乘除法，掌握分式的乘除法的运算法则是关键． 3. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）（x﹣1）； （5） 【解答】解：（1） ； （2）原式•• y； （3）原式• • • ． （4）原式[（x+1）] • ． （5）原式• ． 【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 4. 先化简，再求值 （1），其中m＝1． （2）1，其中x 【分析】（1）先把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出答案即可． （2）先把除法运算化为乘法运算，再约分后合并，然后把x的值代入计算； 【解答】解：（1） • ， 当m＝1时，原式． （2）原式＝1• ＝1﹣（x2﹣x+1） ＝﹣x2+x， 当x时，原式＝﹣（）2； 【点评】本题考查了分式的乘法、除法法则和求值，能正确根据分式的乘除法法则进行化简是解此题的关键． 5.先化简（x+1），再从0，1，2中选出你喜欢的x的值代入求解． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后从0，1，2中选出使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题． 【解答】解：（x+1） ， ∵当x＝0，1时原式无意义， ∴x＝2， 当x＝2时，原式． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 6.先化简，再选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值． 【分析】先把括号内的整式化成分母是x﹣1的分式，然后按照同分母的分式相加法则计算括号内的，再把除法化成乘法，进行约分，然后取能让分式有意义的数，代入化简后的式子进行计算即可． 【解答】解：原式 ＝x+2， ∵x＝1或﹣2时分式无意义， ∴x不能是1或﹣2， ∴当x＝3时， 原式＝3+2 ＝5． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题关键是熟练掌握分式的通分与约分. 7. 对于实数a，b，c， （1）若ac＝1，a+c＝2b，且，求b的值； （2）若a+b+c＝0， ①当ac+b+1＝0，c≠1时，求a的值； ②当abc＝6，求证：． 【分析】（1）根据已知求出a（Ⅰ），a2b（Ⅱ），可得2b＝0，即可解得b的值为1或﹣1； （2）①由a+b+c＝0，ac+b+1＝0，可得（c﹣1）（1﹣a）＝0，而c≠1，故a＝1； ②由abc＝6，可得，又求出bc+ac+ab（a2+b2+c2），即知0，从而0． 【解答】（1）解：∵ac＝1， ∴a， ∵， ∴a， ∴a（Ⅰ）， ∵a+c＝2b， ∴a2b（Ⅱ）， （Ⅰ）﹣（Ⅱ）得：2b＝0， 解得b＝±1， 经检验，b＝±1都符合题意， ∴b的值为1或﹣1； （2）①解：∵a+b+c＝0，ac+b+1＝0， ∴（a+b+c）﹣（ac+b+1）＝0， ∴（c﹣1）（1﹣a）＝0， ∵c≠1， ∴1﹣a＝0， ∴a＝1； ②证明：∵abc＝6， ∴， ∵bc+ac+ab[（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）]，a+b+c＝0， ∴bc+ac+ab（a2+b2+c2）， ∵a、b、c均不为0， ∴bc+ac+ab＜0， ∴0， ∴0． 【点评】本题考查分式混合运算，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握相关的运算法则． 8. 如果，试求k的值． 【分析】根据已知条件得a＝（b+c+d）k①，b＝（a+c+d）k②，c＝（a+b+d）k③，d＝（a+b+c）k④，将①②③④相加，分a+b+c+d＝0与不等于0两种情况讨论，所以k有两个解． 【解答】解：∵， ∴a＝（b+c+d）k，① b＝（a+c+d）k，② c＝（a+b+d）k，③ d＝（a+b+c）k，④ ∴①+②+③+④得，a+b+c+d＝k（3a+3b+3c+3d）， 当a+b+c+d＝0时， ∴b+c+d＝﹣a， ∵a＝（b+c+d）k， ∴a＝﹣ak ∴k＝﹣1， 当a+b+c+d≠0时，∴两边同时除以a+b+c+d得，3k＝1， ∴k． 故答案为：k＝﹣1或． 【点评】本题考查了分式的混合运算，以及分式的基本性质，比较简单要熟练掌握． 9. 阅读理解： 材料1：已知，求分式的值． 解：∵，∴，∴． 材料2：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：． 根据材料，解答下面问题： （1）已知，则分式的值为 　　 ，分式的值为 　　 ； （2）若分式的值为整数，求整数b的值； （3）已知，求分式的值． 【分析】（1）根据已知条件先求出的值，再取其倒数即可求出的值；将a3的两边同时平方，从而求出的值，再取其倒数求出的值即可； （2）将分式整理成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式，从而求出整数b的值即可； （3）根据已知条件先求出的值，再取其倒数求出的值即可． 【解答】解：（1）∵a3， ∴2a2（a）＝2×3＝6， ∴， ∵a3， ∴（a）2＝a22＝9， ∴a24＝9﹣2﹣4＝3． ∴． 故答案为：，． （2）2， ∵原分式的值为整数， ∴b2+1＝1或b2+1＝5， 当b2+1＝1时，解得b＝0， 当b2+1＝5时，解得b＝±2， ∴b＝0或2或﹣2． （3）∵x， ∴x11， ∴． 【点评】本题考查分式的加减法、分式的值，掌握分式加减的运算法则是解题的关键． 【知识点七典型例题】 1. 下列是分式方程的是（　　） A． B． C．x（a，b为常数，a≠0，b≠0） D． 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，对每个选项进行判断，找出是等式，且分母含有未知数方程，即可得解． 【解答】解：A是一个代数式，不是方程，所以A不是分式方程； B、C是一元一次方程，是整式方程，所以B、C不是分式方程； D中分母含有未知数x，所以D是分式方程． 故选：D． 【点评】本题考查分式方程的定义，正确理解分式方程的形式是本题关键． 2.分式方程有增根，则增根是（　　） A．﹣1 B．0 C．﹣1和0 D．无法确定 【分析】根据分式方程增根的定义即可求得答案． 【解答】解：分式方程有增根， 则x（x+1）＝0， 解得：x＝0或x＝﹣1， 即其增根为﹣1和0， 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键． 3.解方程 （1） （2）． （3）； （4）． 【解答】解：（1）， 去分母得：2x+3（x﹣3）＝0， 解得：x， 检验：当x时，x（x﹣3）≠0， 故原方程的解为x． （2）原方程化为， 去分母，得5﹣x﹣1＝x﹣4， 解得x＝4， 检验：将x＝4代入x﹣4，得x﹣4＝0， 则x＝4是分式方程的增根， 故原方程无解． （3）， x（x+2）﹣（x﹣1）（x+2）＝3， 解得：x＝1， 检验：把x＝1代入（x﹣1）（x+2）得：（x﹣1）（x+2）＝0， ∴x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解； （4）， （x+1）（x+2）+1﹣x2＝﹣3（x+2）， 解得：， 把代入x2﹣4得：x2﹣4≠0， ∴是原方程的解． 【点评】本题考查了解分式方程，熟练掌握该知识点是关键． 4. 关于x的分式方程有增根，则a的值为（　　） A．﹣1 B．5 C．1 D．3 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x的值，代入整式方程求出a的值即可． 【解答】解：去分母，得：1﹣（a﹣2）＝x﹣2， 由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2， 把x＝2代入整式方程，可得：a＝3． 故选：D． 【点评】此题主要考查了分式方程的增根，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 5. 若关于x的分式方程无解，则m的值为　1或2　 ． 【分析】将原方程去分母并整理，然后根据题意求得m的值即可． 【解答】解：原方程去分母得：mx﹣1﹣5＝x﹣3， 整理得：（m﹣1）x＝3， 当m﹣1＝0时，该方程无解，符合题意， 解得：m＝1， 当m≠1时，原分式方程无解， 那么x﹣3＝0， 即x＝3， 则3（m﹣1）＝3， 解得：m＝2， 综上，m的值为1或2， 故答案为：1或2． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 6. 若关于x的分式方程无解，则m的值为 2或0 . 【分析】先解该方程得x，由题意得2再进行求解． 【解答】解：解分式方程， 方程两边乘以x（x﹣2），得2（x﹣2）＝mx， 整理，得（2﹣m）x＝4， 当2﹣m＝0，即m＝2时，此方程无解； 当2﹣m≠0时， 得x， ∴当2时此方程无解， 解得m＝0， ∴m＝2或m＝0时此方程无解， 【点评】此题考查了含字母参数分式方程问题的解决能力，关键是能准确理解并运用分式方程无解原因进行求解． 7. 若关于x的分式方程有整数解，求整数m的值． 【分析】将原方程去分母得3x＝mx﹣2m，整理得（m﹣3）x＝2m，再根据题意确定符合条件的整数m的值即可． 【解答】解：原方程去分母得3x＝mx﹣2m， 整理得（m﹣3）x＝2m， ∵该分式方程有整数解， ∴m﹣3≠0，x≠0且x≠2， 则m≠3且m≠0， 那么x2， ∵m为整数， ∴m﹣3＝±1或±2或±3或±6，同时m≠3且m≠0， 解得：m＝2或4或1或5或6或﹣3或9． 【点评】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 8. 已知关于x的分式方程． （1）若方程的解为x＝﹣1，求m的值． （2）若方程的解为非负数，求m的取值范围． 【分析】（1）把方程的解代入方程求解即可； （2）根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【解答】解：（1）当x＝﹣1时，， 解得m＝﹣7． （2）， ∴x﹣4（x﹣1）＝﹣m， ∴， 由题意可得： ∴且， 解得m≥﹣4且m≠﹣1． 【点评】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，解题的关键是注意分式方程隐含的分母不为零． 9. 泉州一中八年级部分学生去距离学校12千米的非遗馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑自行车学生速度的2倍，求学生骑自行车的速度是多少千米/小时？ 【分析】设学生骑自行车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是2x千米/小时，利用时间＝路程÷速度，结合骑自行车的同学比乘车同学多用20分钟，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【解答】解：设学生骑自行车的速度是x千米/小时，则汽车的速度是2x千米/小时， 根据题意得：， 解得：x＝18， 经检验，x＝18是所列方程的解，且符合题意． 答：学生骑自行车的速度是18千米/小时． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 10．小明一家准备在五一劳动节期间从扬州到上海游玩，小明借助网络信息制定了以下两套出行方案： 方案一：从扬州西站乘坐动车，全程约450km，所用时间比从东站乘坐高铁多1h； 方案二：从扬州东站乘坐高铁，全程约480km，高铁的平均速度是动车的1.6倍． 求从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度． 【分析】设从扬州西站乘坐动车到上海的平均速度为xkm/h，则从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度为1.6xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合从扬州西站乘坐动车所用时间比从东站乘坐高铁多1h，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值，再将其代入1.6x中，即可求出结论． 【解答】解：设从扬州西站乘坐动车到上海的平均速度为xkm/h，则从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度为1.6xkm/h， 根据题意得：1， 解得：x＝150， 经检验，x＝150是所列方程的解，且符合题意， ∴1.6x＝1.6×150＝240（km/h）． 答：从扬州东站乘坐高铁到上海的平均速度为240km/h． 【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 11. 2025年春晚机器人表演爆火，带动了机器人相关产品的热潮，某科技店计划购进A、B两类机器人配件，已知A类配件比B类配件每个的进价高60%，若用360元等额质金分别购进A、B两类配件，则A类等额件的数量比B类质件的数量少3个． （1）求A、B两类机器人配件每个的进价； （2）3月，该科技店用5400元购进A人配件和B类配件若干个，将A类配件售价定为每个88元，B类配件售价定为每个60元，售后共获利1400元，求购进A、B两类配件的数量． 【分析】（1）设B类配件的进价为未知数，根据A、B进价的关系表示出A的进价，再结合“360元购买时A的数量比B少3个”列分式方程求解； （2）设购进两类配件的数量，根据总进价和总利润列二元一次方程组求解． 【解答】解：（1）设B类配件每个进价为x元，则A类配件每个进价为（1+60%）x＝1.6x（元）， 根据题意得，， 整理得，4.8x＝216， 解得x＝45， 经检验x＝45是原方程的解， 则1.6x＝1.6×45＝72， 答：A类配件每个进价72元，B类配件每个进价45元． （2）设购进A类配件m个，购进B类配件n个， 根据题意列二元一次方程组可得，， 解得， 即购进A类配件50个，B类配件40个， 答：购进A类配件50个，B类配件40个． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，列代数式，关键是根据题意找到关系式． 12．某网店开展促销活动，其商品一律按8折销售，促销期间用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件．问：该商品打折前每件多少元？ 【分析】设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元，400元该商品打折前可购件，打折后可购件，根据“用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件”列出方程，解方程求出x问题得解． 【解答】解：设该商品打折前每件x元，则打折后每件0.8x元， 根据题意得，2， 解得，x＝50， 检验：经检验，x＝50是原方程的解． 答：该商品打折前每件50元． 【点评】本题主要考查了分式方程的应用，根据“用400元在该网店购得某商品的数量较打折前多出2件”找出等量关系是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $