2026年高考数学考前最后一课（培优版，含PDF，可直接打印）

目 录 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质（P5） 热点02 新情境试题： 数学文化、科技应用、生活建模（P7） 热点03 跨学科交汇试题（P10） 热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题（P12） 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和（P14） 热点06 三角经典问题：三角函数图象与性质、三角形中的三线问题（P16） 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题（P18） 热点08 解析几何压轴题（P20） 热点09 概率与统计创新考法（P22） 速查01 集合、逻辑、复数、平面向量（P26） 速查02 函数与导数（P32） 速查03 三角函数与解三角形（P36） 速查04 数列（P38） 速查05 立体几何（P41） 速查06 直线与圆（P46） 速查07 圆锥曲线（P48） 速查08 统计（P52） 速查09 计数原理、概率（P55） 妙招01 客观题审题与解题技巧（P61） 妙招02 解答题答题规范与技巧（P65） 妙招03 开放性试题解题技巧（P68） 妙招05 答题模版（P72） 妙招06 妙招实训50题（P74） 避坑01 数学概念易混易错（68条）（P84） 避坑02 审题解题方法易错（72条）（P87） 冲刺01 选择题压轴预测50题（P90） 冲刺02 填空题压轴预测30题（P100） 冲刺03 解答题压轴预测20题（P105） 冲刺04 2026年新高考数学终极押题卷（1）（P117） 冲刺05 2026年新高考数学终极押题卷（2）（P123） 考前指导 指导01 冲刺复习备考指导（P129） 指导02 考前需做好的几件事（P141） 考中实战 实战01 考场规则及注意事项（P144） 实战02 高考临场答题攻略（P146） 实战03 难题/卡壳题应急破局指南（P159） 考后疏导 疏导01 聚焦可控因素：志愿填报（P161） 疏导02 启程·下一站人生（P168） 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要。数学备考之路从无捷径，唯有以有序破慌乱、以平和胜焦虑、以科学强韧性，方能在考场上落笔从容、不负韶华。 一、时间管理：用有序节奏消解慌乱 1、划分时段，精准发力 将每日时间划分为复习、刷题、纠错、休息四大板块，固定时段做固定事，避免手忙脚乱。 2、立足基础，拒绝贪多 摒弃“难题怪题执念”，优先巩固高频考点、基础题型，每天预留30分钟回顾核心公式、解题模板，确保基础题不丢分，中档题稳拿分。 3、劳逸结合，张弛有度 拒绝“熬时间”式努力，每学习1.5小时休息15分钟，保证充足睡眠，避免过度疲劳，让大脑保持高效运转，用高效学习替代无效消耗。 二、情绪调节：用平和心态对抗焦虑 1、接纳情绪，不与焦虑对抗 不必因一次模拟考失利而自我否定，不必因知识点遗忘而焦虑崩溃，承认情绪的存在，及时疏导，把焦虑转化为查漏补缺的动力。 2、即时解压，快速平复状态 烦躁时深呼吸 3 分钟、短暂远眺、轻揉肩颈，或写下烦心事清空大脑；避免过度刷手机、与人攀比，减少外界干扰。 3、正向暗示，稳定心理节奏 不必过度纠结“高考考不好怎么办”，也不必攀比他人的复习进度，专注自己的节奏，做好每天的小事，积少成多，每一步前行都有意义。 三、认知重塑：用科学认知增强韧性 1、正视差距，精准补漏 模拟考的意义不在于分数高低，而在于发现问题。正视自己的薄弱模块，针对性刷题、专项突破，把漏洞逐个补齐，每解决一个问题，就向成功靠近一步。 2、相信积累，拒绝急功近利 数学学习没有一蹴而就的奇迹，每一次刷题、每一次纠错、每一次复盘，都是在积累力量。相信量变终将引发质变，坚持下去，终会收获惊喜。 3、坚定信念，不负耕耘 高考是一场持久战，最后的冲刺，拼的不仅是知识，更是毅力与信念。相信自己的努力，不怀疑、不放弃，以坚定的信念奔赴考场，用实力书写属于自己的辉煌！ 结语：稳住节奏、放平心态、相信自己，每一步踏实前行，都在靠近理想的终点！ 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质 【热点衔接】 2026 年高考数学新定义题延续 “反套路、重迁移” 命题导向，是素养考查核心载体，必考且区分度高。题型覆盖选择、填空、解答，压轴题常以数列、函数、解析几何为载体，融合新概念、新运算、新性质三类考法。命题紧扣课标，锚定向量、函数、数列等主干知识，外裹创新定义，本质是 “旧知识新包装”。试题强化现场学习、阅读理解与逻辑推理能力，情境贴近科技、生活，设问开放探究，强调从特殊到一般的思维迁移。备考需吃透定义本质，拆解新规则转化为常规问题，突破 “看不懂、不会转” 的难点，适配高考 “破套路、强思维” 的考查趋势。 【热点词】 新定义、新概念、新运算、新性质 【命题角度】 1.新概念型：引入课本未有的概念（如 “可分数列”“K 列”），考查理解与迁移。 2.新运算型：定义新符号 / 法则（如(a*b、a⊕b），按规则运算。 3.新性质型：给出对象满足的新性质（如 “和谐函数”“等差比数列”），推导论证。 【押题预测】 1．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 2．（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·上海·月考）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．上存在点，使得 C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D．上的点的纵坐标的最大值为 4．（多选）（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 热点02 新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 【热点衔接】 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识的考查置于具体背景中，引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 2026 年高考数学新情境试题将聚焦数学文化、科技应用、生活建模三大方向，凸显素养立意。数学文化类，侧重古今中外数学成就融合，如《九章算术》算法、割圆术、斐波那契数列等，结合数列、概率、几何知识考查，传递文化自信。科技应用类紧扣前沿热点，以 AI 算法、新能源、航天工程、大数据分析为载体，考查函数建模、数列递推、概率统计，强化数学建模与数据分析能力。生活建模类贴近现实，聚焦经济优化、环境治理、民生规划等，构建方程、不等式、函数模型，考查解决实际问题能力。试题呈现 “真实情境 + 核心知识” 融合特点，解法更灵活，强调从情境抽象数学问题的能力，难度梯度合理，区分思维层次。 【热点词】 九章算术、新质生产力、AR 技术、智能制造、文化创新、高质量发展、中国智造 【命题角度】 1.以中华古代数学典籍、传统工艺、民俗历法为载体，融合数列、几何、概率等知识，渗透文化自信，侧重从古文情境提炼数学模型，考查阅读理解与传统文化理解能力。 2. 依托航天航空、人工智能、大数据、新能源等前沿科技背景，结合函数、统计、数列建模，考查数据处理、逻辑推理与数学抽象应用能力。 3.立足经济消费、民生规划、环境治理、工程优化等现实场景，以不等式、函数、概率统计为工具，考查建立数学模型、解决实际生活问题的素养。 【押题预测】 1．(2026·四川乐山·月考)在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 3．（多选）（2026·浙江·三模）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 4．（多选）（2026·浙江金华·二模）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 热点03 跨学科交汇题：数学+化学/物理/生物/历史 【热点衔接】 2026年高考数学将持续强化跨学科命题趋势，数学与物理、化学、生物、历史多领域深度交汇，成为高考命题重要热点。此类试题以真实学科情境为载体，将函数、数列、概率统计、立体几何、拟合建模等数学知识，融入物理运动规律、化学定量计算、生物种群变化、历史人口统计与史料数据分析等场景。 命题摒弃纯理论刷题套路，侧重考查从跨学科情境中提取数学信息、建立数学模型、运用数学工具解决实际问题的核心素养。题型多分布在多选题、填空题与解答题，贴近新高考素养立意。 试题注重情境真实化、应用生活化，强调学科知识融合迁移，弱化机械公式套用。备考需学会剥离学科背景，提炼数量关系与模型结构，熟练掌握建模、运算、数据分析能力，适配新高考跨学科融合的命题风向。 【热点词】 光学性质、跨学科、生物、历史、物理、化学 【命题角度】 1.数学与物理：结合运动规律、电路、力学模型，考查函数、三角函数、向量与最值求解。 2.数学与化学：依托反应配比、平衡浓度、晶体结构，考查数列、比例运算、立体几何。 3.数学与生物：围绕种群增长、遗传概率、细胞繁殖，考查指数函数、统计概率、数列建模。 4.数学与历史：结合人口变迁、史料数据、历法纪年，考查统计分析、数列推算、线性拟合。 【押题预测】 1．（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．(多选)（2026·湖南·模拟预测）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为，为双曲线上任意一点，则处的切线平分，已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线相切于点，与椭圆相交于点，且点均位于第一象限，若，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率为定值1 B．椭圆的离心率为 C．双曲线的离心率为 D．为定值 3．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 5．（2026·湖南长沙联考）空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为________________（用含的式子表示）．    热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 【热点衔接】 2026年高考数学函数与导数延续经典考法，仍是压轴核心模块，聚焦抽象函数、零点、不等式三大高频考点，凸显素养立意。抽象函数侧重考查奇偶性、单调性、周期性，多结合赋值法求解解析式、判断性质，题型以选择、填空为主。函数零点侧重与图像结合，考查零点个数判断、零点范围求解，常与分段函数、导数单调性融合。不等式问题核心是导数应用，考查不等式证明、恒成立与能成立问题，结合参数范围求解，多为解答题压轴。命题紧扣主干，规避偏难偏怪，强调逻辑推理与运算求解能力，备考需夯实基础，掌握图像分析法、构造函数法，突破核心题型，适配高考命题的稳定性与综合性。 【热点词】 抽象函数、零点、方程的实根、恒成立、有解、证明不等式、导数的应用 【命题角度】 1. 抽象函数：侧重考查奇偶性、单调性、周期性，常通过赋值法求解解析式、判断性质. 2. 函数零点：侧重结合图像，考查零点个数、范围，融合分段函数与导数单调性；极值点偏移问题等. 3. 导数与不等式：依托导数，考查证明、恒成立与能成立问题及参数范围求解。。 【押题预测】 1．（多选）（2026·广东江门·二模）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 2．(多选)（2026·河北张家口·二模）已知函数，则（   ） A． B．函数的值域为 C．方程有且仅有3个根，，，且 D．方程的根的个数可能是0，5，6，7，8，9，10 3．(多选)（25-26高三上·山东·开学考试）已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C． D． 4．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 5．（2026·湖北·二模）函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 【热点衔接】 2026年高考数学数列模块将延续经典考法，聚焦等差（比）数列证明、数列求和两大核心，是基础必考点且常与其他模块融合，难度适中、区分度合理。等差（比）数列证明侧重定义法、通项公式法，常结合递推关系变形，考查逻辑推理能力，多作为解答题第一问。数列求和以裂项相消法、错位相减法为核心，兼顾分组求和法，适配等差、等比数列及混合型数列，考查运算求解能力。命题紧扣课标，贴合主干知识，偶尔结合新定义、跨学科情境，规避偏难偏怪。备考需夯实定义与公式基础，熟练掌握证明技巧和求和方法，突破递推式变形、求和运算易错点，适配高考数列命题的稳定性与综合性。 【热点词】 等差数列、等比数列、周期数列、裂项、错位相减法、并项、分组求和 【命题角度】 1．等差数列：侧重定义证明、通项与前n项和求解，结合递推关系变形，多为基础中档题。 2．等比数列：聚焦定义与通项公式应用，考查运算能力，常与等差数列综合考查。 3. 数列求和：核心考查裂项相消、错位相减，兼顾分组求和，适配混合型数列。 【押题预测】 1．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 4．（2026·浙江·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q. (1)请推导前n项和公式； (2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 热点06 三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 【热点衔接】 2026年高考数学三角函数模块，聚焦图象与性质、解三角形两大核心。图象与性质侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主。解三角形重点考查利用正、余弦定理解三角形，考查中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，凸显逻辑与运算能力。命题贴合课标，难度适中，多结合基础情境，规避偏难偏怪，备考需夯实公式应用，突破线段与角度转化难点，适配高考命题趋势。 【热点词】 三角函数图象、三角函数的性质、解三角形、正弦定理、余弦定理、中线、高线、角平分线 【命题角度】 1. 三角函数的图象与性质：侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主，难度适中，注重基础公式与性质的灵活应用。 2. 三角形中的三线问题：聚焦中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，考查线段与角度转化，凸显逻辑推理与运算能力 【押题预测】 1．(多选)（2026·山西·二模）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．与直线有三个公共点 C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 2．（多选）（2026·福建·二模）已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递增 C．的一个对称中心是 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 3．（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 5．（2026·北京通州·一模）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 【热点衔接】 2026年高考数学立体几何模块，聚焦外接球、截面、动态问题这三大核心新方向，成为区分度提升的关键模块。外接球问题侧重不规则几何体（棱锥、棱柱）的球心定位与半径求解，结合空间几何性质考查空间想象能力。截面问题聚焦截面图形判断、周长与面积计算，考验空间作图与逻辑推理能力。动态问题结合动点、动面、动线，考查轨迹判断、最值求解，融合函数与几何思想。命题贴合课标，以中档题为主，多结合基础几何体，规避偏难偏怪，备考需强化空间想象与转化能力，掌握核心解题技巧，适配高考立体几何创新命题趋势。 【热点词】 外接球、截面、动点的轨迹、动态问题 【命题角度】 1. 外接球：侧重不规则棱锥、棱柱的球心定位与半径求解，结合空间几何性质求解。 2. 截面：聚焦截面图形判断、周长及面积计算，考验空间作图能力，贴合基础几何体命题。 3. 动态问题：结合动点、动面、动线，考查轨迹判断与最值求解，融合函数与几何思想。 【押题预测】 1．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（2026·福建南平·二模）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 4．（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为_____；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为_____． 5．（2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 热点08 解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 【热点衔接】 2026年高考数学解析几何压轴题，聚焦四大核心考点，是拉开分数差距的关键模块，命题凸显综合性与创新性。离心率问题侧重椭圆、双曲线的离心率求解，结合定义、几何性质，考查运算与推理能力，常作为基础设问。定点、定值问题依托直线与圆锥曲线位置关系，考查化简变形与逻辑论证，凸显解题技巧。范围问题结合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，考验综合应用能力。存在性问题以探究性设问为主，考查分类讨论与等价转化思想。命题多结合基础圆锥曲线，情境简洁，规避偏难偏怪，强调运算严谨性与思维逻辑性，备考需夯实核心公式，掌握解题模板，突破运算难点，适配高考压轴题命题趋势。 【热点词】 离心率、定点、定值、最值、范围、存在 【命题角度】 1. 离心率问题：侧重椭圆、双曲线离心率求解，结合定义、几何性质求解。 2. 定点问题：依托直线与圆锥曲线位置关系，结合韦达定理化简变形，注重解题技巧应用。 3. 定值问题：聚焦曲线与直线交点衍生的定值探究，需化简消参，考查运算严谨性与等价转化思想，贴合压轴题基础设问。 4. 范围问题：融合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，需结合判别式、均值不等式，考验综合应用能力。 5. 存在性问题：以探究性设问为主，考查分类讨论与转化思想，需判断满足条件的点、直线是否存在，凸显思维灵活性。 【押题预测】 1．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 3．（2026·浙江·三模）已知椭圆C：，、为C的左右顶点，、为C的上下顶点，P为C上除顶点外一点，且直线、斜率乘积为． (1)求C的标准方程； (2)设Q为C上满足的一点，直线与交于H. （i）求证：； （ii）设和分别为和的面积，求的取值范围． 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. (1)求双曲线的方程. (2)若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） (3)记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 5．（25-26高三下·云南曲靖·月考）已知抛物线的准线与圆相切． (1)求C的方程； (2)求C上的点与直线上点的距离的最小值； (3)过点且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数a，使得为常数？若存在，求出a及的值；若不存在，请说明理由． 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 【热点衔接】 2026年高考数学概率与统计模块，聚焦四大核心考点，贴合素养立意，是基础重点模块。概率侧重古典概型、条件概率、全概率公式及随机变量分布、正态分布；统计聚焦数据处理与分析。方案决策结合实际情境，考查最优方案选择，凸显应用价值；统计案例侧重独立性检验、回归分析，强化数据分析能力。马尔科夫链作为新增热点，难度适中，侧重简单应用与规律判断。命题多以真实情境为载体，题型覆盖选择、填空、解答，规避偏难偏怪，备考需夯实基础，强化建模与应用能力，适配高考命题趋势。 【热点词】 决策问题、独立性检验、线性回归、马尔科夫链 【命题角度】 1. 方案设计：结合生活、生产实际情境，考查均值与方差、对比实验等方案的设计与合理性分析，侧重应用决策能力。 2. 独立性检验：依托列联表，考查卡方计算与检验结论判断，结合热点情境，凸显数据分析与逻辑推理能力。 3．回归分析：利用回归分析知识解决实际问题，其中非线性回归问题通过换元转化为线性回归求解。 4. 马尔科夫链：聚焦简单状态转移规律，考查状态判断与简单应用，难度适中，贴合高考创新导向。 【押题预测】 1．（25-26高三·辽宁沈阳·期中）为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销后得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量（件） 47 44 37 35 27 (1)求的值； (2)已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的回归直线方程（计算结果精确到整数位）； (3)用表示与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值 时，则将销售数据称为一个“有效采集数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数的分布列和期望． 附：参考公式 参考数据：． 2．（2026·河北廊坊·一模）某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． (1)求顾客获得的购物金X的数学期望． (2)若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 4．（25-26高三·安徽六安·联考）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 速查01 集合、逻辑、复数、向量（71个核心考点） 一、集合 1. 集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先检验互异性. 2. 常用数集的表示：自然数集N、正整数集N₊（或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 3. 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩（Venn）图法，明确描述法中代表元素的类型. 4. 空集的定义：不含任何元素的集合，记为∅，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集. 5. 子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集. 6. 集合的交集运算：A∩B表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合. 7. 集合的并集运算：A∪B表示由所有属于A或属于B（或两者都属于）的元素组成的集合. 8. 集合的补集运算：表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围. 9. 集合运算性质：A∩A=A、A∪A=A；A∩∅=∅、A∪∅=A；A∩B=B∩A、A∪B=B∪A. 10. 若A⊆B，则A∩B=A、A∪B=B，解题时需注意A为空集的特殊情况. 11. 区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算. 12. 描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围（隐含定义域）. 13. 集合关系的判定：若A⊆B且B⊆A，则A=B. 14. 补集的性质：(1) ；（2）;（3） 15．集合运算与集合间关系的转化： . 16．一组重要的结论： (1)有限集合的子集情况：子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. (2)元素与集合的关系： ． (3)德摩根公式： ． (4)容斥原理：, . 二、常用逻辑用语 17. 命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题. 18. 四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假. 19. 否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 20. 充分条件的定义：若p⇒q，则p是q的充分条件（p能推出q）. 21. 必要条件的定义：若q⇒p，则p是q的必要条件（q能推出p）. 22. 充要条件的定义：若p⇔q，则p是q的充要条件（两者互相推出）. 23. 充分不必要条件：p⇒q，但q⇏p；必要不充分条件：q⇒p，但p⇏q. 24. 全称量词命题：含有“任意”“所有”“每一个”等量词，记为∀x∈M，p(x). 25. 存在量词命题：含有“存在”“有一个”“至少一个”等量词，记为∃x∈M，p(x). 26. 全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为∃x∈M，¬p(x). 27. 存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为∀x∈M，¬p(x). 28. 充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断. 29．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 三、复数 30. 复数的定义：形如a+bi（a,b∈R）的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位（i²=-1）. 31. 复数的分类：实数（b=0）、虚数（b≠0），虚数中纯虚数（a=0且b≠0）. 32. 复数相等的条件：a+bi=c+di（a,b,c,d∈R）⇔a=c且b=d. 33. 虚数单位i的运算性质：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，周期为4. 34. 复数的加法运算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，遵循实数加法法则. 35. 复数的减法运算：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，遵循实数减法法则. 36. 复数的乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，类比多项式乘法展开. 37. 复数的除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化. 38. 共轭复数的定义：a+bi的共轭复数为a-bi，共轭复数的实部相等，虚部互为相反数. 39. 复数的模：|a+bi|=，表示复数对应的点到原点的距离. 40. 复数的几何意义：复数a+bi对应复平面内的点(a,b)，也对应向量（Z为(a,b)）. 41. 实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘. 42.．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 43．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 44.复数的常用结论： (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． (2)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 四、平面向量 45. 向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 46 零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 47. 单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量. 48. 相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关. 49. 相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量记为-a. 50. 向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律. 51. 向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则. 52. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积为λa，模为|λ|·a |，方向由λ的符号决定. 53. 向量数乘的性质：λ(μa)=(λμ) a；(λ+μ)a=λa+μa；λ(a +b)=λa +λb. 54. 向量共线的充要条件：非零向量a与b共线⇔存在唯一实数λ，使得b=λa. 55. 向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角，θ∈[0,π]），结果为实数. 56. 数量积的性质：a·a=|a|²；a⊥b⇔a·b=0（a,b为非零向量）；|a·b|≤|a||b|. 57. 向量数量积的运算律：a·b=b·a；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(a+b)·c=a·c+b·c. 58. 平面向量的坐标表示：若a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂). 59. 向量数乘的坐标运算：λa=(λx₁,λy₁)；向量数量积的坐标运算：a·b=x₁x₂+y₁y₂. 60. 向量夹角的坐标计算公式：cos θ＝（a,b非零）. 61．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 62.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 63.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 64.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 65.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 66.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. 67.向量a在向量b上的投影向量为·. 68.极化恒等式： (1)向量通用形式：对任意平面向量 、，有： (2)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： （3）三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： 69.矩形大法 矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 70.等和线 （1） 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 （ 为常数）的点构成的直线称为“等和线”. （2）核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 . 71. 奔驰定理 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. （1）核心定理（三角形内部点） O是△ABC内一点，且，则 （2）奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 速查02 函数与导数（55个核心考点） 一、函数核心考点（28条） 1. 函数的定义：设非空数集A、B，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2. 函数的三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域. 3. 函数定义域的求解原则：分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0、底数大于0且不等于1. 4. 函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分. 5. 函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方法. 6. 函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域. 7. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化. 8. 分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值. 9. 分段函数的求值：需先判断自变量所在区间，再代入对应解析式计算. 10. 函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量x₁、x₂，若x₁<x₂时，f(x₁)<f(x₂)则为增函数，反之则为减函数. 11. 函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则. 12. 复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减. 13. 函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可用“∪”符号. 14. 函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-x)=f(x)为偶函数，若f(-x)=-f(x)为奇函数. (2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. 15．函数的奇偶性性质： (1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有． (2)如果函数是偶函数，那么． (3)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称． (4)若函数是奇函数，则函数的图象关于点（b，0）中心对称． 16. 判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 17. 常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数. 18. 一次函数的解析式与性质：y=kx+b（k≠0），k决定单调性，b决定与y轴交点. 19. 二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴. 20. 二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况. 21. 指数函数的解析式：y=aˣ（a>0且a≠1），底数a决定函数单调性. 22. 指数函数的性质：定义域为R，值域为(0,+∞)，过定点(0,1). 23. 对数函数的解析式：y=logₐx（a>0且a≠1），与指数函数y=aˣ互为反函数. 24. 对数函数的性质：定义域为(0,+∞)，值域为R，过定点(1,0)，底数a决定单调性. 25. 幂函数的解析式：y=xᵃ（a为常数），重点掌握a=1,2,3,-1,1/2的图象与性质. 26. 函数的周期性 (1)定义：若存在非零常数T，使得对于定义域内任意x，都有f(x+T)=f(x)，则T为函数的周期. (2)对定义域内任一自变量的值：①若，则． ②若，则． ③若，则． 27. 函数图象的变换： （1）平移变换：①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． （1）平移变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． 28．函数图象的对称性 （1）函数图象自身的轴对称 ①函数的图象关于轴对称； ②函数的图象关于对称； ③若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称． （2）函数图象自身的中心对称 ①函数的图象关于原点对称； ②函数的图象关于（a，0）对称； ③函数的图象关于点（a，b）成中心对称． （3）两个函数图象之间的对称关系 ①函数与的图象关于直线对称（由得对称轴方程）； ②函数与的图象关于直线对称； ③函数与的图象关于点（0，b）对称； ④函数与的图象关于点（a，b）对称． 二、导数 29. 导数的定义：函数y=f(x)在x₀处的导数f’(x₀)，表示函数在该点的瞬时变化率. 30. 导数的几何意义：函数y=f(x)在x₀处的导数f’(x₀)，等于该点处切线的斜率. 31. 导数的物理意义：若s=s(t)表示位移函数，则s’(t)表示瞬时速度，s''(t)表示瞬时加速度. 32. 基本初等函数的导数公式：牢记幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式. 33. 导数的加法法则：[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x). 34. 导数的减法法则：[f(x)-g(x)]’=f’(x)-g’(x). 35. 导数的乘法法则：[f(x)·g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x),特别地：[kf(x)]'＝kf'(x)(k∈R). 36. 导数的除法法则：(4)'＝(g(x)≠0)， 37. 复合函数的求导法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y’ₓ=y’ᵤ·u’ₓ，即链式法则. 38. 隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则. 39. 导数与函数单调性的关系：f’(x)>0时，函数单调递增；f’(x)<0时，函数单调递减；f’(x)=0时，函数可能为极值点. 40. 函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点. 41. 极值点的判定方法：先求导数，找到f’(x)=0或f’(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变. 42. 函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点. 43. 函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值. 44. 利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件. 45. 利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件. 46. 导数在切线方程中的应用：已知切点求切线方程，或已知切线斜率求切点坐标. 47. 导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式. 48. 函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质. 49. 求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间. 50. 二阶导数的意义：f''(x)可判断函数的凹凸性，f''(x)>0为凹函数，f''(x)<0为凸函数. 51. 导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题. 52. 可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导. 53. 导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变. 54. 利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数. 55. 导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质. 速查03 三角函数与解三角形（52个核心考点） 一、三角函数 1. 任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角. 2. 终边相同的角的表示：与角α终边相同的角可表示为α+2kπ（k∈Z）. 3. 象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限. 4. 弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为1rad. 5. 角度与弧度的换算：180°=πrad，1°=rad，1rad=. 6. 弧长公式：l=|α|r（α为弧度制，r为半径）. 7. 扇形面积公式：S=（l为弧长，α为弧度制，r为半径）. 8. 任意角的三角函数定义：设角α终边上一点P(x,y)， ， 则. 9. 三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sinα、cosα、tanα的正负. 10. 特殊角的三角函数值：牢记0、及相关诱导角的三角函数值. 11. 同角三角函数基本关系：sin²α+cos²α=1，（osα≠0）. 12. 诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限（“奇、偶”指π/2的奇数倍、偶数倍）. 13. 正弦函数y=sinx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π. 14. 余弦函数y=cosx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π. 15. 正切函数y=tanx的定义域：{x|x≠+kπ,k∈Z}，值域：R，周期：π. 16. 正弦、余弦函数的奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数. 17. 三角函数的单调性：掌握y=sinx、y=cosx、y=tanx的单调区间. 18. 三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心. 19. 三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减”的规律. 20. 三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响. 21. 函数y=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0）的振幅：A，周期：T=2π/ω，相位：ωx+φ，初相：φ. 22. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法：五点法（零点、最高点、最低点）. 二、三角变换 23. 两角和与差的正弦公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. 24. 两角和与差的余弦公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ. 25. 两角和与差的正切公式：（α、β、α±β≠π/2+kπ）. 26. 二倍角的正弦公式：sin2α=2sinαcosα. 27. 二倍角的余弦公式：cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α. 28. 二倍角的正切公式：tan 2α＝.（α≠. 29. 降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 30. 升幂公式：1+cos2α=2cos²α，1-cos2α=2sin²α. 31. 半角公式：sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定. 32．半角正切公式的有理化：tan＝＝. 33. 辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中. 34．积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 35．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 36．配方变换公式： 37．因式分解变换公式：. 38.万能公式：. 39．三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幂、升幂、角的配凑. 40. 角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如α=(α+β)-β、2α=(α+β)+(α-β). 41. 三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数. 42. 三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角. 43. 给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角. 44. 三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果. 45. 利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式. 46. 辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，便于求性质. 三、解三角形 47 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 48 正弦定理：（R为三角形外接圆半径）. 49正弦定理的变形： 50 余弦定理： 51余弦定理的变形：， 52角形面积公式: ，并可由 可由此计算． 速查04 数列（57个核心考点） 一、数列 1. 数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{aₙ}，n∈N*，n为项数. 2. 数列的项与项数：aₙ表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数. 3. 数列的通项公式：如果数列{aₙ}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式. 4. 数列的递推公式：如果已知数列{aₙ}的首项（或前几项），且任意一项aₙ与它的前一项aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式. 5. 数列的前n项和：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ，记为Sₙ，S₀=0. 6. 通项公式与前n项和的关系：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n≥2），a₁ = S₁，需检验a₁是否满足n≥2时的通项. 7. 数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列. 8. 常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为aₙ = C（C为常数），前n项和Sₙ = nC. 9. 摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性. 10. 数列的单调性判断：比较aₙ₊₁与aₙ的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11. 数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项. 12. 数列的周期性：若存在非零常数T，使得对任意n∈N*，都有aₙ₊ₜ = aₙ，则T为数列的周期. 二、等差数列 13. 等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记为d. 14. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁+(n - 1)d（a₁为首项，d为公差）. 15. 等差数列通项公式变形：aₙ = aₘ + (n - m)d（m、n∈N*）. 16. 等差数列的判定方法：定义法（aₙ₊₁ - aₙ = d，常数）、中项法（2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂）. 17. 等差数列的前n项和公式： 18. 等差数列的常用性质 （1在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （2），…仍是等差数列，公差为． （3），…也成等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． （5）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （6）若项数为偶数，则；；． （7）若项数为奇数，则；；． （8）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （9）．数列是等差数列⇔（为常数）． 19. 等差数列的公差与单调性：d > 0时，数列递增；d < 0时，数列递减；d = 0时，数列为常数列. 三、等比数列 20. 等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，记为q（q≠0）. 21. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹（a₁为首项，q为公比，a₁≠0，q≠0）. 22. 等比数列通项公式变形：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ（m、n∈N*，aₘ≠0，q≠0）. 23. 等比数列的判定方法：定义法（，q为常数，q≠0）、中项法（aₙ₊₁² = aₙ·aₙ₊₂，aₙ≠0）. 24. 等比数列的前n项和公式： 25. 等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 26. 等比数列的最值：当q > 1，a₁ > 0时，数列递增，无最大值，有最小值a₁；当0 < q < 1，a₁ > 0时，数列递减，无最小值，有最大值a₁. 四、数列求和与递推数列 27. 数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 52. 裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 53. 错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{aₙbₙ}，{aₙ}为等差，{bₙ}为等比）. 54. 倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前n项和推导）. 55. 分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求和后相加. 56. 递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于aₙ₊₁ = aₙ + f(n)）、累乘法（适用于aₙ₊₁ = aₙ·f(n)）、构造法. 57. 构造法二级结论： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}，其中c＝(p≠1) an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以，构造新的数列 速查 05 立体几何(50个核心考点) 一、空间几何体 1. 空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）. 2. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体. 3. 棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；两底面是全等的多边形. 4. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体. 5. 棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形；底面是多边形. 6. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 7. 棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形. 8. 圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 9. 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 10. 圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 11. 球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意一点的距离相等（均为半径）. 12. 空间几何体的表面积与体积公式： 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） 底 锥体（棱锥和圆锥） 底 台体（棱台和圆台） 球 13. 正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个顶点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查正四面体、正方体. 二、空间点、线、面位置关系 14.斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 15. 空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解. 16. 空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行. 17. 异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角，范围为(0°,90°]. 18. 空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外. 19. 直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行. 20. 直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 21. 直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直. 22. 直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直；垂直于同一个平面的两条直线平行. 23. 直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为[0°,90°]，直线在平面内或平行于平面时角为0°，垂直于平面时角为90°. 24. 空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）. 25. 平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行. 26. 平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行. 27. 平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 28. 平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 29. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小用其平面角衡量，范围为[0°,180°]. 30. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 三、外接球与内切球 31. 外接球的定义：一个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心为外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R. 32. 内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面的距离均为内切球半径r. 33. 二级结论（正方体）：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R=（a为正方体棱长）；内切球球心为体对角线中点，内切球半径r=. 34. 二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R=（a、b、c为长方体的长、宽、高），长方体一般无内切球（需满足a=b=c，即正方体时才有）. 35. 二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=√6a/4，内切球半径r=（a为正四面体棱长），且R=3r. 36. 二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径R=（r₀为底面外接圆半径，h为直棱柱的高）. 37. 二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径R=（r为圆柱底面半径，h为圆柱的高）；圆柱无内切球（需满足直径等于高，即h=2r时才有内切球，半径r）. 38. 二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为r、高为h，外接球半径为R，则满足(R-h)²+r²=R²，解得R=. 39. 二级结论（棱锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方向上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解. 40. 内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径r=（V为多面体体积，S为多面体的表面积），适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体. 41. 外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定理建立关于R的方程，求解半径. 42. 易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，并非所有几何体都有）. 四、空间向量核心考点 43. 空间向量共线的充要条件：若空间向量与（）共线，则存在唯一实数λ，使得，坐标形式为对应坐标成比例. 44. 空间向量共面的充要条件：三个空间向量共面，等价于存在实数λ、μ，使得；若三个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0. 45. 空间向量的数量积：设向量与的夹角为θ（θ∈[0°,180°]），则=cosθ，结果为实数，可用于求夹角、判断垂直. 46. 空间向量垂直的充要条件：两个空间向量与垂直，等价于，坐标形式为对应坐标乘积之和为0. 47. 空间向量的模：若向量=(x,y,z)，则|，可用于求空间中两点间的距离. 48. 空间向量夹角公式： ，θ为两向量的夹角. 49．向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． (2)直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为,若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 50.空间角与空间距离的求法： （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． （4）点到平面的距离:为平面外一点，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线,则 速查06 直线与圆（24个核心考点） 一、直线方程 1. 直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素. 2. 直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°,180°)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴. 3. 直线的斜率：倾斜角为α（α≠90°）时，斜率k=tanα；倾斜角为90°时，斜率不存在. 4. 直线的斜率公式：过两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁). 5. 直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化. 6. 直线的一般式方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0），可快速判断直线的斜率和截距. 7. 两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k₁=k₂且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴. 8. 两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，k₁·k₂=-1；一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴）. 9. 两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合. 10. 点到直线的距离公式：点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离 11. 两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0（C₁≠C₂）的距离. 12. 一组直线系方程： （1）过定点的直线系方程：，还可以表示为和． (2)平行于直线的直线系方程：． (3)垂直于直线的直线系方程：． (4)过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 13.关于对称的二级结论： (1)点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． (2)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (3)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (4)点关于点的对称点为． (5)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 二、圆的核心考点（11个） 14. 圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（r>0），其中(a,b)为圆心坐标，r为半径. 15. 圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F>0），圆心为 ，半径 16. 点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d，d<r则点在圆内，d=r则点在圆上，d>r则点在圆外. 17. 直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d，d<r则相交，d=r则相切，d>r则相离. 18. 直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等. 19. 直线与圆相交的弦长公式：弦长=（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）. 20. 圆与圆的位置关系：设两圆半径为r₁、r₂，圆心距为d，内含（d<|r₁-r₂|）、内切（d=|r₁-r₂|）、相交（|r₁-r₂|<d<r₁+r₂）、外切（d=r₁+r₂）、外离（d>r₁+r₂）. 21. 圆的切线方程常用结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为． （3）过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为． 22．圆系方程 （1）同心圆系方程：，其中是定值，是参数； （2）过直线与圆交点的圆系方程：； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 23. 二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x²、y²项）. 24. 圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形. 速查 07圆锥曲线（38个核心考点） 一、椭圆 1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之和等于常数（2a，2a>|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c<a）. 2. 椭圆的标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：（a>b>0），其中b²=a²-c². 3.判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x²、y²项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴. 4. 椭圆的离心率：，范围为(0,1)，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近圆. 5. 椭圆的顶点：长轴端点（±a,0）或（0,±a），短轴端点（0,±b）或（±b,0），长轴长2a，短轴长2b. 6. 椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²-b². 7.椭圆的焦半径公式：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 9．椭圆的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 10．椭圆的弦长问题：为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2b²/a，是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c. 13.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光性）. 14. 若在椭圆上，则 （1）以为切点的切线斜率为； （2）过的椭圆的切线方程是. 15.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 二、双曲线的核心考点 16. 双曲线的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（2a，0<2a<|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c>a）. 17. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上：（a>0,b>0）；焦点在y轴上：（a>0,b>0），其中b²=c²-a². 18. 双曲线的离心率：e=，范围为(1,+∞)，e越接近1，双曲线开口越窄；e越大，开口越宽. 19. 双曲线的顶点：实轴端点（±a,0）或（0,±a），虚轴端点（0,±b）或（±b,0），实轴长2a，虚轴长2b. 20. 双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²+b². 21. 双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y=±x；焦点在y轴上：y=±x，渐近线是双曲线的重要特征. 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（发散性）. 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为. 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为ab. 25. （1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③. （2）与有相同焦点的双曲线方程为 （3）与有相同焦点的椭圆方程为： （4）与有相同焦点的双曲线方程为： （5）与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则 (1). (2)焦点三角形的面积 . 27. 若在双曲线上，则 （1）以为切点的切线斜率为 （2）过的双曲线的切线方程是. 28.若在双曲线外 ，则过P作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 三、抛物线的核心考点 29. 抛物线的定义：平面内与一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准线的距离为p（p>0）. 30. 抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y²=2px；x轴负半轴：y²=-2px；y轴正半轴：x²=2py；y轴负半轴：x²=-2py（p>0）. 31. 抛物线的离心率：e=1，是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32. 抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）. 33. 抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为，顶点到准线的距离为，焦点到准线的距离为p. 34.抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点. 35.抛物线y²=2px（p>0）上一点P(x₀,y₀)的切线方程为y₀y=p(x+x₀). 36.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点. 37.设是过抛物线焦点的弦，若，则 （1）； （2），，弦长（为弦的倾斜角）； （3）； （4）以弦为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 速查 08统计（9个核心考点） 一、随机抽样 1．简单随机抽样方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 二、用样本估计总体 3．频率分布直方图 （1）频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． （2）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图） 横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． 4．样本的数字特征 （1）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（2）中位数：把个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． （3）平均数：把称为这个数的平均数． （4）标准差与方差：设一组数据的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是 , 5.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 6．平均数、方差的公式推广 （1）若数据的平均数为，那么的平均数是． （2）数据的方差为． ①数据的方差也为； ②数据的方差为． 三、变量间的相关关系与统计案例 7．变量间的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． （2）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 8．两个变量的线性相关 （1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． （2）回归方程为，其中． （3）通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． （4）相关系数： 当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 9．独立性检验 （1）分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{，}和{，}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： 总计 总计 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． （2）等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征． ②观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． （3）独立性检验 计算随机变量利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验． 0．10 0．05 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 速查09 计数原理、概率（20个核心考点） 一、计数原理 1．完成一件事可以有类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 2．完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法．．．．．．做第步有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 3.排列数公式： 4.组合数公式： 5.排列数、组合数性质： (1);(2). 6.二项式定理：（1）； （2）通项公式：，它表示第项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，，，． 7．二项式系数的性质 二、概率 8．概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：． （2）必然事件的概率：． （3）不可能事件的概率：． 9．概率的加法公式： （1）如果事件与事件互斥，则． （2）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，． （3） 10．古典概型的概率公式,m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数. 11．条件概率及其性质 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为． （2）条件概率的性质 ①非负性：； ②可加性：如果和是两个互斥事件，则． 12．全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 13．贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有，且 14．相互独立事件 （1）对于事件，若事件的发生与事件的发生互不影响，则称事件是相互独立事件 （2）若，则与相互独立． （3）若与相互独立，则与与与也都相互独立． （4）若与相互独立，则， （5）一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即． 三、概率分布 15．随机变量的有关概念 （1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母表示 （2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 16．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）概念：若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 此表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时也用等式，表示的分布列． （2）分布列的性质：①②． 17．常见的离散型随机变量的分布列 （1）两点分布列 0 1 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率 （2）超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且． 0 1 ．．． m ．．． 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从超几何分布， 18.独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，则称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率． 19．正态分布 （1）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （2）正态分布的三个常用数据 ①； ②； ③． 20.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值: (2)方差:pi，其算术平方根为随机变量的标准差． (3)两个特殊分布的期望与方差: 两点分布：，； 二项分布：；. (4)常用结论:若，其中是常数，是随机变量，则 （i），其中为常数； （ii）； （iii）； （iV）； （V）若相互独立，则． 妙招01 客观题审题与解题技巧 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等． 方法一　直接法 直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法． 【例1-1】（多选）（2024年新课标全国Ⅰ卷）设函数，则（     ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【例1-2】（2025新课标全国II卷）设抛物线的焦点为，点在上，过作准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 方法二　特例法 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 【例2-1】（2024·全国甲卷） 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7= (　 ) A.-2 B. C.1 D. 【例2-2】（2026·成都三诊模拟·第12题）若对任意正实数x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则f(8)=______. 【例2-3】（2024·新课标Ⅱ卷） 已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　 ) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 方法三　排除法 排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项． 【例3-1】 如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为( ) 【例3-2】若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x为增函数，则a的取值范围是(　　) A．[－1,1] B. C. D. 方法四　构造法 用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化． 【例4-1】（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（多选）（2026江西赣州二模）四面体满足，，，，则（   ） A．直线与的夹角为 B．四面体外接球的表面积为 C．的中点到直线的距离为 D．四面体内切球的半径为 【例4-3】（2025新课标全国I卷）已知，则，，的大小关系不可能是　　 A． B． C． D． 方法五　估算法 因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷． 【例5-1】（2019·全国I卷·高考真题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 【例5-2】已知点P是双曲线－＝1上的动点，F1、F2分别是此双曲线的左、右焦点，O为坐标原点．则的取值范围是( B ) A．[0,6]　　　　　 B．(2，] C．(，) D．[0，] 方法六：数形结合法（几何/函数题最优，直观高效） 将代数问题几何化、几何问题代数化，借助函数图象、几何图形的直观性分析问题，避免繁琐计算.适用于解析几何、函数零点、不等式解集、向量运算、立体几何等题型，核心是“以形助数、以数解形”，尤其适合解决抽象函数、解析几何类填空题. 【例6-1】（2025新课标全国II卷）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 【例6-2】（2026·辽宁盘锦·一模）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 方法七：构造法 这是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法． 【例7-1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．函数只有一个极值点 【例7-2】（多选）（25-26高二下·山东·期中）在平面直角坐标系中，已知两点连线的斜率为1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 妙点02 解答题答题规范与技巧 高考数学解答题是分值占比最高（占77分）、综合性最强的题型，兼具基础性与选拔性，不仅考查考生的知识掌握程度，更侧重考查逻辑推理、规范表达与解题思路.解答题的核心评分原则是“按步骤给分”，规范答题是得分关键，技巧运用是提分保障. 一、高考数学解答题核心答题规范（重中之重） 高考数学解答题实行“按步骤给分”，评分标准明确：正确的解题思路、规范的步骤表达、精准的计算结果，三者缺一不可.很多考生“会做但失分”，核心原因是步骤不规范、表达不清晰、符号使用错误，导致“过程分丢失”.结合高考评分细则，核心规范如下，需严格遵守. （一）通用规范：所有解答题必遵循 1. 书写规范：字迹清晰、卷面整洁，避免潦草涂改；步骤排版整齐，每一步独立成行，不跨步骤书写，便于阅卷老师快速找到得分点.严禁字迹潦草、卷面混乱，否则可能导致阅卷老师漏看步骤，丢失基础分. 2. 符号规范：严格使用数学标准符号，杜绝自创符号；符号书写准确，如“∈”与“⊂”、“∪”与“∩”、“≥”与“＞”、“π”与“n”区分清晰；向量、矩阵等特殊符号书写规范，如向量需加箭头，避免与普通字母混淆. 3. 步骤规范：遵循“审题→列式→推理→计算→结论”的逻辑，步骤完整，不跳关键步骤.核心原则：“能写的步骤必写，不省略推导过程”，即使是简单的计算、公式代入，也需简要说明，避免“跳步失分”.例如，使用基本不等式时，需明确写出“一正二定三相等”的条件；求导数时，需写出导数公式，再代入计算. 4. 结论规范：每道题的最终结论需明确写出，标注清晰，如“综上，所求值为______”“因此，数列的通项公式为______”；结论需符合题干要求，如定义域、取值范围、单位等，不可遗漏.若有多个结论，需分点标注，避免混淆. 5. 纠错规范：若答题过程中出现错误，需用横线轻轻划掉错误部分，重新书写正确内容，严禁涂改、涂抹，避免卷混乱；若需修改的内容较多，可在空白处注明“此处修改”，确保阅卷老师能清晰看到正确步骤. （二）专项规范：各题型特殊要求 1. 三角函数与解三角形：需注明角的范围（如“∵0＜A＜π”），使用正弦定理、余弦定理时，需写出公式原式，再代入已知条件；涉及三角恒等变换，需写出变换公式（如两角和差公式、二倍角公式），不可直接写出变换结果；最终结果需化为最简形式，角度需符合题干要求（弧度或角度）. 2. 数列：求通项公式、前n项和时，需注明推导依据（如“由等差数列定义可知”“由递推公式变形得”）；使用错位相减法、裂项相消法时，步骤需完整，错位相减后需明确写出相减结果，裂项时需写出裂项公式，避免漏写中间步骤；若涉及分类讨论（如n=1与n≥2），需明确分类依据，最后验证n=1是否满足通项公式. 3. 立体几何：证明线面平行、面面垂直时，需严格遵循判定定理，写出定理所需的全部条件（如证明线面平行，需写出“线线平行”“线不在面内”“线在面内”三个条件）；建立空间直角坐标系时，需注明坐标系的建立方法（如“以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系”），标注各点坐标，确保坐标准确；计算向量夹角、线面角、二面角时，需写出向量坐标，明确夹角公式，注明角的范围（如线面角∈[0,π/2]）. 4. 解析几何：求曲线方程时，需注明推导过程（如“由椭圆的定义可知”“将点代入抛物线方程得”），明确曲线的焦点、离心率等关键参数；联立直线与曲线方程时，需写出联立后的方程，注明判别式Δ的计算过程（判断直线与曲线的位置关系）；涉及弦长、中点坐标，需写出对应的公式，再代入计算；最终结果需化为最简形式，若有多个解，需结合题干条件筛选，注明取舍理由. 5. 导数及其应用：求导时，需写出导数公式（如“f’(x)=(x²)’+lnx’=2x+1/x”），不可直接写出导数值；讨论函数单调性时，需明确导数的符号变化，结合定义域划分单调区间，注明“当x∈(a,b)时，f’(x)＞0，函数单调递增；当x∈(c,d)时，f’(x)＜0，函数单调递减”；求极值、最值时，需写出极值点的判定过程（如“令f’(x)=0，解得x=x₀，当x＜x₀时，f’(x)＞0，当x＞x₀时，f’(x)＜0，故x=x₀为极大值点”），最值需结合定义域判断，注明“由单调性可知，函数在x=a处取得最小值”. 6. 概率与统计：明确随机变量的取值，写出分布列的推导过程，分布列需满足“所有概率和为1”，并注明；计算期望、方差时，需写出公式，再代入计算；涉及独立性检验、回归分析，需写出检验统计量的计算过程，注明临界值，明确结论（如“∵K²＞3.841，∴有95%的把握认为两个变量相关”）. 二、高考数学解答题通用解题技巧（适用于所有题型） 解答题的解题核心是“化繁为简、化未知为已知”，结合高考真题规律，总结以下通用技巧，帮助考生快速找到解题思路，提升答题效率，同时规避易错点. （一）审题技巧：找准关键，规避陷阱 审题是解题的前提，也是避免失分的关键，很多考生因审题失误，导致“会做的题做错”，需遵循“慢审题、细圈画、明要求”的原则，具体技巧如下： 1. 逐字读题，圈画关键信息：通读题干2遍，第一遍了解题干大意，第二遍圈画关键条件（如定义域、取值范围、特殊要求、隐含条件），标注关键词（如“不正确的是”“至少”“至多”“恒成立”“存在”）.例如，题干中“x∈(0,π)”“函数f(x)是奇函数”“直线与曲线相切”等，都是解题的关键，需重点标注. 2. 翻译条件，转化数学语言：将题干中的文字描述、图形信息，转化为公式、关系式、向量坐标等数学语言，降低理解难度.例如，“函数f(x)在x=x₀处取得极值”转化为“f’(x₀)=0且f’(x)在x₀两侧符号相反”；“直线l⊥平面α”转化为“直线l的方向向量与平面α的法向量平行”. 3. 明确答题要求，规避陷阱：看清题干要求的答题形式（如“求通项公式”“证明不等式”“求取值范围”），明确结论的表达形式（如区间、集合、最简根式）；警惕隐含陷阱，如定义域限制、多解情况、单位换算、等号成立条件等，避免因忽略陷阱导致失分. 4. 联想相关知识，搭建解题框架：审题后，快速联想题干涉及的知识点、公式、定理，明确解题思路，搭建解题框架.例如，看到“解三角形”，联想正弦定理、余弦定理、三角恒等变换；看到“函数最值”，联想导数法、基本不等式法. （二）步骤技巧：规范有序，多拿步骤分 高考解答题“按步骤给分”，即使最终结果错误，只要步骤正确，也能获得部分分数，因此步骤技巧的核心是“完整、规范、有条理”，具体如下： 1. 先写“得分点”，再写细节：解题时，优先写出核心得分点（如公式、定理、关键推导步骤），再补充细节计算，避免因细节错误影响核心得分.例如，证明线面平行时，先写出“∵a∥b，a⊄α，b⊂α，∴a∥α”（核心得分点），再补充a∥b的推导过程. 2. 分步书写，不跳关键步骤：即使是简单的计算，也需分步书写，如“由a+2b=1，得a=1-2b，代入原式得……”，不可直接写出计算结果；涉及分类讨论时，需明确分类依据，分点书写，每类情况单独成段，标注“①当……时”“②当……时”，避免混淆. 3. 标注关键公式，增强逻辑性：解题过程中，使用公式、定理时，需标注公式名称或原式，如“由正弦定理，得……”“由基本不等式a+b≥2√(ab)（a,b＞0），得……”，既规范又能让阅卷老师快速找到得分点. 4. 合理取舍，优先拿基础分：若遇到难题，不要纠结于最终结果，优先写出能想到的步骤（如审题后的公式代入、简单推导），获得步骤分；若某一步计算复杂，可简要写出计算思路，再直接写出结果（如“联立方程得x²-3x+2=0，解得x=1或x=2”），避免因计算失误导致全题失分. （三）计算技巧：精准高效，避免粗心 计算失误是解答题失分的主要原因之一，尤其是解析几何、导数等题型，计算量大、步骤繁琐，需掌握以下计算技巧，提升计算精准度： 1. 先化简，再计算：遇到复杂表达式，先进行化简（如因式分解、通分、约分、三角恒等变换），再代入计算，减少计算量.例如，解析几何中联立直线与椭圆方程后，先化简方程，再计算判别式、弦长，避免复杂运算. 2. 分步计算，及时验算：每完成一步计算，及时验算，确认结果正确后，再进行下一步，避免“一步错，步步错”.例如，求导数后，可代入简单值验算（如x=1），确认导数计算正确；解方程组后，将解代入原方程，验证是否成立. 3. 巧用技巧，简化计算：结合题型特点，运用简便计算技巧，如错位相减法中，两边同乘公比后，错位相减时注意符号变化；裂项相消法中，准确裂项，避免漏项、错项；解析几何中，利用向量垂直、平行的性质，简化计算过程. 4. 规范书写计算过程：计算过程清晰，符号、数字书写准确，避免因书写潦草导致计算失误（如将“3”写成“5”、“+”写成“-”）；分数、根式计算时，化为最简形式，避免出现繁分数、未化简的根式. （四）避坑技巧：规避常见易错点 结合高考真题易错点统计，总结以下常见易错点，帮助考生规避失分： 1. 定义域陷阱：忽略函数定义域、数列的项数限制、解析几何中变量的取值范围，导致解题错误.例如，求函数f(x)=lnx + x²的单调区间，忽略定义域x＞0；求数列前n项和，忽略n为正整数. 2. 符号陷阱：导数计算、向量运算、三角变换中，符号错误；解不等式时，不等号方向改变错误（如两边同乘负数，不等号方向未改变）. 3. 公式陷阱：混淆公式、定理的适用条件，如基本不等式忽略“一正二定三相等”；等差数列前n项和公式记错（如忘记除以2）；导数公式记错（如(lnx)’=1/x，误记为x）. 4. 分类讨论陷阱：需要分类讨论的题型（如二次函数在不同区间的最值、绝对值不等式、数列的通项公式），遗漏分类情况，或分类依据不明确. 5. 结论陷阱：最终结论未化简、未标注单位、未结合题干条件筛选（如解析几何中，多解情况未舍去不符合题意的解）；结论书写不明确，如未写出“综上”“因此”等引导词，导致阅卷老师漏看结论. 妙招03 开放型试题解题技巧 高考数学开放性试题打破传统封闭题型的固定答案模式，以“灵活设问、多元求解、素养导向”为核心，侧重考查考生的逻辑推理、创新思维和知识应用能力，已成为近年高考的热点题型.本文按题型分类，拆解开放性填空题、结构不良题、探究性解答题及其他特殊开放性题型的求解策略，帮助考生快速掌握解题思路，提升得分率，内容控制在4个页码以内. 一、开放性填空题：抓核心，找多元解 开放性填空题核心特征是“答案不唯一”，题干给出基础条件，要求填写符合条件的数值、表达式、图形特征等，侧重考查基础知识的灵活应用.求解关键是紧扣题干约束条件，优先选择最简、最易验证的答案，避免复杂运算，同时确保答案符合题干隐含要求. 求解策略： 1．紧扣约束条件：明确题干中“显性条件”（如定义域、取值范围、公式限制）和“隐性条件”（如几何图形的性质、数列的正项要求），避免答案偏离条件； 2. 优先最简答案：无需追求复杂答案，选择易计算、易验证的结果（如整数、最简分式），提高解题效率； 3. 反向验证：填写答案后，代入题干条件验证，确保答案合规. 【例1-1】（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【例1-2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 二、结构不良题：选最优，避陷阱 结构不良题核心特征是“条件不完整”，题干给出多个可选条件，要求考生选择其中一个（或多个）条件，完成解题（如证明、计算），侧重考查考生的条件筛选、逻辑推理和解题规划能力.这类题型是新高考重点考查题型，常见于数列、立体几何、解析几何等模块. 求解策略: 1.分析条件差异：对比题干给出的可选条件，判断每个条件的解题难度、运算量，优先选择“运算量小、思路清晰”的条件； 2.验证条件适配性：选择条件后，快速判断该条件与题干已知条件是否匹配，能否顺利推导结论，避免选择“无法解题”或“运算过繁”的条件； 3.规范书写步骤：明确标注“选择条件×”，再按步骤解题，确保逻辑连贯，步骤完整. 【例2】（2020·新课标全国I卷）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 三、探究性解答题：先猜想，再证明 探究性解答题核心特征是“结论不确定”，题干要求考生先探究结论（如判断是否存在、猜想关系式、确定取值范围），再进行证明或推导，侧重考查考生的创新思维、猜想验证和逻辑论证能力，常见于导数、解析几何、立体几何等中档偏难题. 求解策略: 1.猜想结论：通过特殊值代入、图形分析、归纳推理，猜想合理结论（如“存在唯一实数k满足条件”“关系式为a_n = n”）； 2.严谨证明：围绕猜想的结论，结合题干条件，利用相关公式、定理进行推导，确保证明过程逻辑严密、步骤完整； 3.规避误区：若探究“是否存在”，若存在，需给出具体值并证明；若不存在，需说明理由，不可遗漏“不存在”的情况. 【例3】（黑龙江哈尔滨市2026届高考第二次模拟考试数学试题）已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． (1)求证：； (2)当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 四、方案设计题 求解策略：根据题干要求（如“设计抽样方案”“设计函数模型”），结合相关知识点，设计符合条件、简洁可行的方案，注明方案的合理性. 【例4】（25-26高三上·山东菏泽·月考）某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 妙招05 答题模板 下面以两道高考题为例，教会同学们如何规范完成解答题的书写步骤： 【例1】(12分)(2024·全国甲卷理)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 【思路分析】(1)由4Sn＝3an＋4→消掉Sn，得{an}的递推关系式→等比数列求an. (2)bn＝(－1)n－1nan→利用错位相减法求Tn. 【答题模板】 【例2】(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于 点P到点的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程；[切入点：直接法求轨迹方程] (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3. [关键点：对周长放缩] 【答题模板】(1)解　设P(x，y)，则|y|＝，❶ 两边同时平方化简得y＝x2＋， 故W：y＝x2＋.(2分) (2)证明　设矩形的三个顶点A， B，C在W上， 且a<b<c， 易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则kAB·kBC＝－1，a＋b<b＋c，(4分) 令kAB＝ ＝a＋b＝m<0， 同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1， 则m＝－，❷(6分) 设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|， kBC－kAB＝c－a＝n－m＝n＋，　 则C＝|AB|＋|BC|＝(b－a)＋(c－b) ❸ ≥(c－a)＝，n>0，❹(8分) 易知>0. 则令f(x)＝2(1＋x2)，x>0，❺ f′(x)＝22， 令f′(x)＝0，解得x＝， 当x∈时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增， 则f(x)min＝f ＝，❻(10分) 故C≥＝，即C≥3. 当C＝3时，n＝，m＝－， 与当(b－a)＝(b－a)， 即m＝n时等号成立，矛盾， ❼ 故C>3，得证．(12分)　 ①处直接法求轨迹方程 ②处得到m，n之间的关系 ③处用弦长公式表示周长 ④处进行周长放缩 ⑤处建立函数 ⑥处利用导数求最值 ⑦处排除边界 妙招06 妙招实训50题 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南张家界·三模）对于平面向量，设甲，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 3．（2026·海南海口·模拟预测）的二项展开式中x的系数是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织高一年级一班至六班前往731部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观．现要求每个场馆分配3个班级，同时派2名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有（   ）种不同的安排方法？ A．20 B．40 C．80 D．120 6．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 7．（2026·河北保定·三模）已知函数 则 （    ） A．0 B．1 C．2 026 D．2 027 8．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 12．（2026·北京西城·二模）设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 14．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 15．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知实数满足则（    ） A． B． C． D． 16．（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 18．（2026·重庆·模拟预测）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 19．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 20．（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 21．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 22．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（    ） A．8 B．13 C．16 D．32 23．（2026·山西·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（   ） A． B． C． D． 24．（2026·河南·模拟预测）已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·山东青岛·二模）过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 26．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 27．（25-26高二下·河南南阳·期中）记为数列的前项和，.则（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 28．（25-26高一下·湖南·期中）已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 29．（2026·山西·二模）在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与y轴和双曲线C的右支分别交于点Q和点P（不是顶点），使得，且，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 31．（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．10 32．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 33．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 34．（2026·吉林延边·三模）某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（    ） A．t和n正相关 B．点在回归直线上 C． D． 35．（2026·湖南长沙·二模）若随机变量X服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 36．（2026·云南保山·二模）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 37．（2026·河北保定·三模）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 38．（2026·陕西榆林·三模）在数列中，，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C．若对任意，都有，则的取值范围是 D．，使得 39．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是抛物线上不同的两点，是坐标原点，且，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．存在点，使得为直角三角形 B． C．的面积的最小值为16 D．点到直线的距离不大于4 40．（2026·山西太原·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 三、填空题 41．（2025高三·全国·专题练习）幂函数满足，则此函数可以是_____．（写出一个满足条件的答案即可） 42．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 43．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 44．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 45．（2026·福建莆田·模拟预测）有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第次取出球的号码为，在和至少有一个大于的条件下，数列是递增数列的概率为___________． 46．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 四、解答题 47．（25-26高三上·广东惠州·月考）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小； (2)若边上的高为，求面积的最小值. 48．（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)设． （i）若直线与平面所成的角为，求线段的长； （ii）在线段上是否存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等？说明理由． 49．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ (2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 50．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 避坑01 数学概念易混易错（68条） 高中数学的学习核心在于对概念的精准把握，很多同学在解题中失分，并非不会运算，而是对易混易错概念理解不透彻、记忆不牢固，出现混淆使用、遗漏条件等问题.以下梳理高中数学各模块易混易错概念，共68条，涵盖集合、函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何、立体几何、统计概率等核心板块，助力同学们规避误区、夯实基础. 一、集合与常用逻辑用语（8条） 1. 混淆空集与{0}，空集不含任何元素，{0}是含一个元素0的集合，二者不相等. 2. 应用A∪B=B、A∩B=A等价于A⊆B时，易忽略A为空集的特殊情况. 3. 集合运算中，易忽略集合三要素中的互异性，求解后未检验元素是否重复. 4. 混淆“否命题”与“命题的否定”，否命题需否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 5. 判断充分条件、必要条件时，混淆“p⇒q”的含义，误将必要条件当作充分条件. 6. 全称量词命题与存在量词命题的否定，易忘记“量词互换”，仅否定结论而不换量词. 7. 混淆集合的“元素”类型，误将点集（如{(x,y)|x+y=1}）当作数集进行运算. 8. 求解集合的补集时，易忽略全集的范围，默认全集为R而忽略题目给定的限定条件. 二、函数（12条） 9. 求解与函数相关的问题，易忽略“定义域优先”原则，先求值域再考虑定义域. 10. 判断函数奇偶性时，未先检验定义域是否关于原点对称，直接代入f(-x)判断. 11. 求函数单调区间时，错误在多个单调区间之间添加“∪”符号，应使用逗号连接. 12. 混淆“函数在区间上单调”与“函数的单调区间是某区间”，二者表述含义不同. 13. 用换元法解题时，易忽略换元前后自变量的取值范围，导致等价性丢失. 14. 混淆函数的“极值点”与“极值”，极值点是自变量的值，极值是函数值. 15. 求导后忽略定义域，误将使导数为0的点全部当作极值点，未检验左右导数符号. 16. 对数函数中，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1的限制条件. 17. 混淆“指数函数y=aˣ”与“对数函数y=logₐx”的单调性，未讨论底数a的范围. 18. 误将函数y=ax+b/x（a,b>0）的单调区间写为（-∞,-√(b/a)）∪（√(b/a),+∞），忽略中间断点. 19. 求函数解析式时，易忽略标注函数的定义域，导致后续求解值域、单调性出错. 20. 混淆“原函数存在反函数”与“原函数单调”，单调函数一定有反函数，但有反函数的函数不一定单调. 三、数列（7条） 21. 用等比数列求和公式时，易忽略公比q=1的特殊情况，直接使用q≠1的公式. 22. 已知Sₙ求aₙ时，易忽略n=1的情况，未检验a₁是否满足n≥2时的通项公式. 23. 混淆等差数列与等比数列的性质，误将等差数列的“m+n=p+q则aₘ+aₙ=aₚ+a_q”用于等比数列. 24. 误将等差数列的前n项和Sₙ=an²+bn+c（c≠0）当作等差数列，忽略c=0的条件. 25. 混淆“数列的项”与“数列的项数”，项是具体数值，项数是项的个数. 26. 等比数列中，误认为“aₙ₊₁/aₙ=q（常数）”对所有n∈N*成立，忽略首项a₁≠0、q≠0的条件. 27. 数列单调性问题，误等同于对应函数的单调性，忽略数列定义域是正整数集. 四、三角函数（10条） 28. 混淆“正角、负角、零角”与“象限角”，终边在坐标轴上的角不属于任何象限. 29. 忽略正切函数的定义域，误在x=π/2+kπ（k∈Z）处求正切值. 30. 混淆“弧度制”与“角度制”，计算弧长、扇形面积时未统一单位. 31. 三角化简时，未掌握“切化弦、降幂扩角”的通法，盲目使用公式导致出错. 32. 忽略正弦函数、余弦函数的有界性，误将sinx、cosx的取值范围当作R. 33. 求解三角函数值时，未结合角的范围判断符号，导致多解或漏解. 34. 混淆“三角函数图象的平移”，函数y=f(x)平移遵循“左加右减”，方程平移规律不同. 35. 使用正弦定理时，易忘记比值等于2R，忽略齐次代换a:b:c=sinA:sinB:sinC. 36. 在△ABC中，误认为A>B等价于cosA>cosB，忽略余弦函数在(0,π)上的单调性. 37. 混淆“同角三角函数基本关系”，误写为sin²x+cos²x=2或tanx=sinx/cosx无限制条件. 五、平面向量（6条） 38. 混淆向量与实数0，向量的模为0，方向任意，与任意向量平行但不垂直. 39. 数量积运算中，误认为“则或”，忽略两非零向量垂直时数量积为0. 40. 混淆“向量的数量积”与“实数乘法”， ，且不满足结合律. 41. 误将“”当作向量a与b夹角为钝角的充要条件，忽略夹角为180°的情况. 42. 混淆“点的坐标”与“向量的坐标”，向量坐标是终点坐标减去起点坐标，与点坐标不同. 43. 求向量的投影时，混淆“投影”与“投影向量”，投影是数值，投影向量是向量. 六、不等式（7条） 44. 利用均值不等式求最值时，易忽略“一正、二定、三等”的条件，盲目套用公式. 45. 两个不等式相乘时，未注意“同向同正”的条件，误将异向或负数不等式相乘. 46. 解分式不等式时，误将f(x)/g(x)>a直接转化为f(x)>a·g(x)，忽略g(x)的符号. 47. 解含参数不等式时，未对参数分类讨论，或讨论后未总结综上结论. 48. 混淆“不等式的解集”与“不等式的解”，解集需用集合或区间表示，不能用不等式表示. 49. 不等式约分前，未判断约去式子的正负，导致不等号方向错误. 50. 解绝对值不等式时，误将|ax+b|<c转化为- c<ax+b<c，忽略c≤0时无解的情况. 七、解析几何（8条） 51. 用点斜式、斜截式设直线方程时，易忽略斜率不存在的情况. 52. 混淆“直线的倾斜角”与“斜率”，倾斜角范围是[0,π)，斜率范围是R. 53. 直线在两坐标轴上截距相等时，易忽略截距都为0的情况，仅考虑a=b≠0. 54. 联立直线与圆锥曲线方程时，易忽略二次项系数为0的情况，导致漏解. 55. 求圆锥曲线标准方程时，未判断焦点所在坐标轴，盲目套用标准形式. 56. 混淆双曲线的离心率与渐近线斜率的关系，未区分焦点在x轴与y轴的不同公式. 57. 误将抛物线的“通径”当作任意焦点弦，忽略通径是最短的焦点弦. 58. 求轨迹方程时，易忽略题干中的限制条件，导致轨迹不完整. 八、立体几何与统计概率（10条） 59. 斜二测画法中，误将原图形的高直接作为直观图的高，忽略直观图中高为原高的√2/4. 60. 混淆“线面平行”与“面面平行”的判定定理，误将线面平行的条件用于面面平行. 61. 求异面直线所成角时，易忽略夹角范围是(0,π/2]，误取补角作为结果. 62. 混淆“二面角”与“线面角”，二面角范围是[0,π]，线面角范围是[0,π/2]. 63. 立体图形翻折、展开时，易忽略翻折前后不变的几何量（如边长、角度）. 64. 频率分布直方图中，误将纵坐标当作频率，忽略纵坐标是频率/组距. 65. 混淆“二项式系数”与“展开式中项的系数”，二项式系数仅与组合数有关，与字母系数无关. 66. 区分“有放回抽样”与“无放回抽样”，二者的概率计算方法不同. 67. 混淆“独立事件”与“互斥事件”，独立事件不一定互斥，互斥事件不一定独立. 68. 复数中，误将虚部当作bi，忽略虚部是实数b，而非bi. 以上易混易错概念均为高中数学高频考点，同学们在学习中需逐一条理、精准记忆，避免因概念混淆导致解题失误.掌握概念的核心内涵，明确易错点、易混点，才能夯实数学基础，提升解题准确率. 避坑02 审题解题方法易错（72条） 高考数学的成败，不仅取决于知识储备的扎实程度，更依赖于审题的精准度和解题方法的规范性.很多考生失分并非源于不会做，而是在审题时粗心疏漏、解题时方法不当，陷入思维误区.以下分审题、解题两大模块，梳理高考数学中高频的审题解题方法易错点，共72条，涵盖各题型核心易错场景，助力考生规避失误、高效得分，精准应对高考. 一、审题方法易错点（32条） 1. 审题时急于求成，仅读一遍题干就仓促动笔，忽略题干关键信息，导致理解偏差. 2. 忽略题干中的限定条件，如定义域、取值范围、整数约束、角的范围等，盲目解题. 3. 混淆题干中的关键词，如“不正确的是”“错误的是”“至少”“至多”，因审题粗心看错要求. 4. 对题干中的新定义、新素材解读不透彻，未准确把握其核心内涵就开始解题. 5. 审题时漏看设问数量，只解答部分问题，忽略题干中多个设问的情况. 6. 误将题干中的“任意”“存在”“所有”“唯一”等限定词忽略，导致解题方向错误. 7. 对题干中的隐含条件挖掘不充分，仅关注显性条件，忽略隐藏在文字、图形中的关键信息. 8. 审题时受思维惯性影响，看到熟悉题型就照搬过往解题思路，未发现题干细节变化. 9. 忽略题干中单位的统一，如长度单位、角度单位（弧度与角度），导致计算失误. 10. 审题时未明确题目考查的知识点和题型，盲目套用公式、方法，缺乏针对性. 11. 对题干中的“恒成立”“存在性”“有解”等问题的含义理解模糊，混淆解题要求. 12. 审题时未看清图形标注，如线段相等、角度大小、坐标位置等，误解图形含义. 13. 忽略题干中的“不含参数”“参数范围”等要求，多余讨论参数或遗漏参数分析. 14. 审题时将“充分条件”与“必要条件”“充要条件”混淆，误解题干逻辑关系. 15. 对题干中的分式、根式、绝对值等表达式，未注意其有意义的条件，盲目运算. 16. 审题时漏看题干中的“不正确的选项”“不符合题意的答案”，导致选错答案. 20. 审题时未区分“直线与曲线相切”“直线与曲线有公共点”的不同要求，混淆解题标准. 21. 忽略题干中“正整数解”“非负整数解”等特殊要求，得出不符合条件的答案. 22. 审题时未准确把握函数的定义域、值域限制，导致后续解题出错. 23. 对题干中的向量、复数等概念，未看清其表示形式（如向量的方向、复数的实部虚部）. 24. 审题时未注意题目中的“最大值”“最小值”“取值范围”的区别，混淆解题目标. 25. 忽略题干中的“且”“或”“非”等逻辑联结词，误解题干条件的逻辑关系. 26. 审题时未看清图表信息，如频率分布直方图、茎叶图、折线图的横纵坐标含义. 27. 对题干中的“折叠”“旋转”“平移”等图形变换，未分析变换前后的不变量和变量. 28. 审题时漏看题干中的“除外”“不包括”等限定，导致答案范围扩大或缩小. 29. 混淆题干中的“数列的项”与“数列的项数”“前n项和”与“第n项和”. 30. 审题时未明确圆锥曲线的焦点位置、离心率、渐近线等关键特征，盲目套用标准方程. 31. 忽略题干中“随机抽样”“分层抽样”“系统抽样”的不同要求，误用抽样方法. 32. 审题时未看清“概率”“频率”“期望”“方差”的区别，混淆统计量的计算要求. 33. 对题干中的“异面直线”“共面直线”“线面平行”“面面垂直”等概念，审题时理解偏差. 二、解题方法易错点（40条） 34. 解题时未遵循“先易后难”的原则，在难题上花费过多时间，导致基础题没时间作答. 35. 解题步骤不规范，跳过关键步骤，导致过程分丢失，即使答案正确也无法得满分. 36. 计算时粗心大意，如移项变号错误、乘法分配律运用失误、小数点位置出错. 37. 滥用公式，未明确公式的适用条件，盲目套用公式导致解题错误. 38. 解题时思路不清晰，想到哪写到哪，缺乏逻辑连贯性，导致后续步骤出错. 39. 对含参数的题目，未进行分类讨论或分类不全面、不严谨，出现漏解或重复解. 40. 解题时忽略检验环节，未将得出的答案代入题干检验，导致答案不符合题意. 41. 换元法解题时，未注意换元前后自变量的取值范围，导致等价性丢失. 42. 因式分解不彻底，或分解过程中符号错误，影响后续解题步骤. 43. 解不等式时，不等号方向判断错误，尤其是在乘以、除以负数时未变号. 44. 求函数单调区间时，错误地在多个单调区间之间添加“∪”符号，应使用逗号连接. 45. 求导解题时，导数公式记忆错误、复合函数求导漏层，导致导数计算出错. 46. 解分式方程、无理方程时，未检验分母不为零、被开方数非负，导致增根. 47. 立体几何解题时，未正确建立空间直角坐标系，或坐标标注错误. 48. 向量运算时，混淆数量积与向量积的运算规则，或忽略向量的方向. 49. 数列解题时，用等比数列求和公式未讨论公比q=1的特殊情况. 50. 三角函数解题时，未结合角的范围判断三角函数值的符号，导致多解或漏解. 51. 解析几何解题时，联立方程后未判断判别式，盲目求解导致无意义解. 52. 解题时过度依赖特殊值法，未验证特殊值是否符合题干所有条件. 53. 分类讨论后未总结综上结论，导致解题过程不完整. 54. 概率解题时，混淆“有放回抽样”与“无放回抽样”，误用概率计算公式. 55. 解题时书写不规范，如符号书写错误、字母大小写混淆、公式书写不完整. 56. 求轨迹方程时，未剔除不符合题干条件的点，导致轨迹不完整. 57. 利用均值不等式求最值时，未满足“一正、二定、三等”条件就盲目套用. 58. 解题时思路僵化，不会灵活转化题型，一味死算硬解，浪费时间且易出错. 59. 复数运算时，混淆实部、虚部的概念，或共轭复数、模的计算公式记忆错误. 60. 统计题解题时，误将频率分布直方图的纵坐标当作频率，忽略其为频率/组距. 61. 解题时未注意题目要求的答案形式，如保留小数位数、用集合或区间表示解集. 62. 立体几何中求异面直线所成角、线面角、二面角时，混淆夹角范围，误取补角. 63. 解题时漏写单位，或单位换算错误，导致答案不符合要求. 64. 因式分解时，误用公式，如将a²-b²分解为(a-b)²，或将(a+b)²展开错误. 65. 解绝对值不等式时，未对绝对值内的表达式分情况讨论，导致漏解. 66. 解题时过度追求速度，书写潦草，导致自己后续看不懂步骤，出现计算失误. 67. 向量共线、垂直的判定条件记忆错误，导致判断失误. 68. 数列中已知前n项和求通项公式，未检验n=1时的情况，导致通项公式不完整. 69. 解题时忽略题干中的隐含约束，如三角形中两边之和大于第三边、角的范围等. 70. 求函数极值时，误将导数为0的点全部当作极值点，未检验左右导数符号. 71. 解题结束后未进行回头检查，未发现计算、思路中的错误，错失纠错机会. 72. 面对新颖题型时，过度紧张，无法快速提取题干关键信息，找不到解题突破口. 高考数学审题和解题的规范性、精准度，直接决定了得分效率.以上72条易错点，涵盖了高考数学各题型、各环节的高频失误场景.考生在备考过程中，需牢记这些易错点，养成认真审题、规范解题、仔细检验的习惯，规避思维误区，减少不必要的失分，在高考中发挥出最佳水平. 冲刺01 选择题压轴预测50题 一、单选题 1．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 2．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则（     ） A．1215 B．1216 C．1217 D．1218 3．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） 5．（25-26高三下·北京海淀·期末）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 9．（25-26高三下·贵州黔东南·月考）定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A．0 B．2025 C．4050 D．6075 10．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 11．（25-26高三上·湖北荆州·期末）设函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·北京西城·期末）激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．其中，就是一个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间上．若希望输出的值增加，即，则与的最小值最接近的是（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 14．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 15．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 16．（2026·云南·模拟预测）已知点满足：，是函数图象上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 17．（2026·重庆永川·模拟预测）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 18．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知，向量满足，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 19．（2026·陕西铜川·三模）已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知数列满足，设，则数列的前2026项和为（　　） A． B． C． D．506 21．（25-26高三上·湖南娄底·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2026·河南开封·模拟预测）图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 24．（2026·云南玉溪·模拟预测）四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 25．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 27．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高三下·陕西商洛·期中）某展馆中有一个灯光走廊,它是由块感应发光地板砖组成的.如图所示,每块地板砖只有“亮”与“不亮”两种状态,踩踏地板砖一次,将导致自身和所有相邻的地板砖中的灯的状态发生改变（例如,在全部地板砖均为“不亮”的状态下,踩踏地板砖时, 地板砖亮起,周围的地板砖也发亮,其他地板砖仍保持“不亮”状态）.若初始时地板砖都为“不亮”状态,第一次先踩踏地板,要使得最终只有地板砖亮起,则需要踩踏地板砖的最少次数为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高三上·四川成都·月考）某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（     ）种不同的走法． A．1049 B．1144 C．1431 D．1705 30．（2026·广西桂林·一模）当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 二、多选题 31．（2026·河南开封·模拟预测）已知是定义在上的非常数函数，，，则（   ） A． B．是偶函数 C． D． 32．（2026·江西上饶·二模）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A．对于，有 B．是单调函数 C．方程有无数组解 D．方程共有个不等的实数根 33．（2026·山西太原·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 34．（2026·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 35．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．设数列满足，则的最大项为 C．设数列的前项和为，则 D．设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 36．（2026·四川德阳·三模）在棱长为1的正方体中，．则下面结论中正确的是（   ） A．存在，使得平面平面 B．是平面的充要条件 C．分别是在平面，平面上的投影图形的面积，对任意，都有 D．任意，的面积不等于 37．（2026·河北保定·二模）定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（   ） A． B． C． D． 38．（2026·浙江杭州·二模）选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（    ） A．， B．，， C．， D．，， 39．（2026·湖南·一模）在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，Q为正方体表面上的一个动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．过A，F，C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为 B．若P为棱的中点，且平面，则线段的最小值为 C．若Q是正方形内的一个动点，且满足，则动点Q的轨迹是一条线段 D．若P为棱的中点，则四面体外接球的表面积为11π 40．（2026·浙江温州·二模）若曲线满足条件：存在正数a和点，对于任意点，总存在点，使得，则称该曲线是“封闭曲线”，则下列曲线是“封闭曲线”的是（   ） A． B． C． D． 41．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 42．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（    ） A．的周长为 B．若，则的最小值为 C．满足是直角三角形的点有 8 个 D．的最大值为 43．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知双曲线T：（）的左、右焦点分别为,,坐标原点为O,过点且斜率不为0的直线与双曲线T的左、右两支分别交于点和点,的中点为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．若,则 D．若射线是的平分线,则 44．（2026·陕西西安·模拟预测）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（    ） A．在区间上有3个零点 B．的最小正周期为 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 45．（2026·山东聊城·二模）设函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．当时，方程在区间上所有实根的和为 46．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 47．（2026·重庆九龙坡·二模）已知函数，则（   ） A．存在，使得在上是单调函数 B．若有三个不同的零点，则 C．当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 48．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C．成等比数列 D． 49．（2026·广东清远·二模）已知函数，设，则下列说法正确的是（   ） A．用表示不大于的最大整数，若，则恒成立 B．若关于的方程与的实数根相同，则 C．若存在两个零点，则 D．若方程在上无解，则的取值范围是 50．（25-26高三上·福建·开学考试）已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立.当第号节点发送0时，第号节点收到1的概率为，收到0的概率为；当第号节点发送1时，第号节点收到0的概率为，收到1的概率为.设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 冲刺02填空题压轴预测30题 1．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 3．（2026·河北唐山·二模）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 4．（25-26高三下·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 5．（2026·浙江·三模）设关于的方程（为自然对数底数）有个不相等的实数解，则___________. 6．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 7．（2026·天津和平·二模）已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 8．（25-26高三·全国·三轮复习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为______． 9．（2026·河北保定·二模）已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________． 10．（2026·广西贵港·三模）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，，当矩形的面积为时，___________． 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 12．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 14．（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 15．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 16．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 17．（2026·天津·一模）如图，△ABC中，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________. 18．（2026·湖南·一模）已知数列的通项公式是.设为数列的前n项和，当时，______；若存在n，使得，则m的最小值为______. 19．（2026·广东湛江·二模）若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 20．（2026·湖南衡阳·二模）某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________． 21．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________. 22．（25-26高三下·内蒙古呼和浩特·月考）在中，内角的对边分别是，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为 ____________________ ． 23．（25-26高三下·北京·阶段检测）故宫角楼的屋顶是我国十字脊顶的典型代表，如图1，它是由两个完全相同的直三棱柱垂直交叉构成，将其抽象成几何体如图2所示．已知三棱柱和是两个完全相同的直三棱柱，侧棱与互相垂直平分，，，则点到平面的距离是______． 24．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）如图，在矩形纸片ABCD中，，，E、F、G、H分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连_______条（用数字作答）；若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球的半径___________． 25．（2026·江苏·模拟预测）已知菱形，现将沿对角线向上翻折，得到三棱锥，设点是的中点．记的面积为，三棱锥的外接球的表面积为，则的最小值为__________． 26．（2026·河南开封·模拟预测）已知抛物线C：的焦点为F，点P为抛物线C第一象限上一点，由点P向圆O：引两条切线，切点分别为A，B，若四边形PAOB的面积为，则直线AB的方程为_____. 27．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与该双曲线的左、右支分别交于两点，记与的内切圆的半径分别为，若，则的值为___________． 28．（2026·山东德州·模拟预测）某挑战赛设置了个连续关卡，分别记为第1关卡，第2关卡，⋯，第关卡，每个参赛团队的选手人数均为，每2名选手组成一个双人挑战组，共个双人挑战组，每个关卡均由其中1个双人挑战组进行挑战，各关卡参赛选手均不相同，关卡挑战从第1关卡开始依次挑战，每个关卡至少有1名选手挑战成功（即该关卡挑战成功），才能进入下一个关卡的挑战.若某参赛团队这个连续关卡均挑战成功，则该参赛团队的挑战赛通关.已知参赛团队的每名选手挑战成功的概率均为，且各选手的挑战结果相互独立，若在挑战赛通关的情况下，记内挑战不成功的选手总人数为，则__________. 29．（25-26高三下·安徽阜阳·期中）2026年某中学预计会被用作公务员考试，生物奥赛考试等六项国家级考试作为考点.本校职工小明，小浩，小文因精通各项考试流程，考务组计划邀请三人加入监考工作（六项考试时间不冲突）.预计安排每人至少监考一项考试，每人至多监考三项考试，每项考试，三人中有且仅有一人参与，其中小明在公务员考试，生物奥赛考试中至少安排1项监考，则三人不同的监考安排方案种数为_________. 30．（25-26高三上·甘肃临夏·期末）甘肃河西走廊新能源基地每日风力发电量的增减变化呈现规律.简化后的模型如下：若第一天中风力发电量增长，则第二天有的概率继续增长，的概率下降，的概率稳定；若第一天中风力发电量下降，则第二天有的概率继续下降，有的概率增长，的概率稳定；若第一天中风力发电量稳定，则第二天有的概率继续稳定，的概率下降，的概率增长.若第一天发电量增长或下降的概率均为，则第二天发电量增长的概率为______，第n天发电量增长的概率______. 冲刺03 解答题压轴预测20题 1．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 2．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 3．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 4．（25-26高三下·广西崇左·阶段检测）已知抛物线的准线交x轴于点K，垂直于x轴的直线l与C交于M，N两点，且，. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若在第一象限内C上有个不同的点，满足，且，点为点关于y轴的对称点. （i）求数列的通项公式； （ii）令，为数列的前n项和，求使不等式恒成立的最大整数n的值. 5．（25-26高三下·甘肃金昌·月考）已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. 6．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 7．（25-26高三上·江西南昌·期末）球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科.如图，球O的半径为R，A、B、C为球面上三点，设，表示以O为圆心，且过B、C的圆，劣弧BC的弧长记为a，同理，圆，的劣弧AC、AB的弧长分别记为b、c，曲面ABC（阴影部分）叫做球面三角形.若设二面角，，分别为、、，则球面三角形的面积为.已知； (1)若，，求球面三角形ABC的面积（直接写结果无需证明）； (2)在球O的内接三棱锥D-ABC中，平面，，直线DC与平面ABC所成的角为. （ⅰ）若，N分别为直线，上的动点，求线段MN长度的最小值； （ⅱ）如图（2），若分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（与点B不重合），当平面OBC与平面GPQ夹角的余弦值为时，求线段BG的长. 8．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． (1)当时，求证：； (2)定义：过点作垂直底面于，且在内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 9．（2026·浙江·三模）为椭圆上异于顶点的动点，且的离心率为，分别为的左、右焦点，为的左顶点，记. (1)求的方程； (2)求证：； (3)设点，过点作一条不与坐标轴垂直的直线，交椭圆于，两点，再过点作一条垂直于轴的直线分别交直线于点.问是否存在，使得点四点共圆（为坐标原点）？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 10．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. (1)求双曲线的方程. (2)若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） (3)记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 11．（2026·辽宁·模拟预测）如图，已知抛物线C：的图象与x轴交于O，A两点，且过点. (1)求抛物线的解析式和点A的坐标； (2)若将抛物线的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得抛物线C′的图象. ①设M为抛物线位于第一象限内的任意一点，轴于点，求的最小值； ②若过抛物线的焦点F作直线AB，与抛物线C′交于A，B两点，再过A，B两点分别作抛物线的切线，两条切线交于点，求的值. 12．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. (1)求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； (2)在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为，不在对应项目工坊授课的传承人数为. （ⅰ）求随机变量的分布列； （ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系. 13．（2026·江苏·三模）某从业资格考试共分3级，考生必须从第1级考试开始，每级考试次数不限，通过后即进入下一级考试，直至第3级考试通过，考试终止并取得从业资格．已知甲参加一次第1，2，3级考试通过的概率分别为，，，且每次考试相互独立．记甲第次考试后取得从业资格为事件． (1)求，； (2)求的表达式； (3)甲第次考试恰通过2级为事件，比较与的大小，并根据你的理解说明其含义． 14．（25-26高三下·云南·月考）某超市推出一款新玩具，每件玩具内有一张卡片，总共有种不同类型的卡片，且每件玩具内每种类型卡片出现的概率相同，甲每次从中随机购买一件玩具． (1)若，求甲恰好购买3件玩具就集齐2种不同类型的卡片的概率． (2)在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为，用表示事件首次发生时的试验次数，且的分布列为，，则随机变量服从几何分布，该几何分布的期望为．已知甲集齐种不同类型的卡片恰好需要购买的玩具数为． （i）求的数学期望； （ii）证明：． 15．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，动点M从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向四个方向移动的概率均为.例如在1秒末，点M会等可能地出现在，，，四点处. (1)已知点M在第2秒末没有回到原点，求此时点M位于坐标轴上的概率； (2)记第n秒末点M回到原点的概率为. （i）求，并利用公式求； （ii）令，记为数列的前n项和，若对任意实数，存在，使得，则称点M是常返的.利用公式：，证明：点M是常返的. 16．（2026·江苏·三模）已知，函数. (1)若是函数的极小值点，求； (2)若函数存在两个极值点，. （i）求的取值范围； （ii）设点，，证明：存在，且，使得曲线在和处的切线都与直线平行. 17．（2026·浙江·三模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若为函数的三个零点，且满足， ①求实数的取值范围； ②求的最小值. 18．（2026·江西·二模）已知函数． (1)当时，求曲线的斜率为的切线方程； (2)若不等式在上恒成立，求m的取值范围； (3)当时，若，且，证明：． 19．（2026·河北沧州·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性. (2)若存在，使得. （i）求的值； （ii）证明： 20．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围； (3)数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有. 冲刺04 2026年新高考数学终极押题卷（1） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为（    ） A．-3 B．-3i C．3 D．3i 3．已知，则（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．【新考向预测：跨模块题】在中，角、、的对边分别为、、，的面积记为，若且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 6．【新考向预测：社会热点题】2026年秦淮区南部新城灯会于春节期间盛大开幕，本届灯会规模宏大，首次实现“水上、岸上、空中”三维立体赏灯格局，尽显金陵文化的独特魅力．灯会共开设了三处核心赏灯区，分别是夫子庙核心展区、老门东传统灯区、机场跑道无人机灯区．甲、乙、丙、丁四人相约去赏灯，每个赏灯区至少有1人，每人只游览一个赏灯区．在甲游览机场跑道无人机灯区的条件下，甲与乙不到同一赏灯区的概率为（） A． B． C． D． 7．【新考向预测：新定义题】已知，记（）．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A．3 B． C． D． 8．【新考向预测：试验题】如图是某零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体的棱长为，则模型中九个球的表面积的和为（    ） A．6π B．9π C． D．21π 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．【新考向预测：社会热点题】某机构为了解新能源汽车的续航能力，从全国随机抽取了800辆新能源汽车，统计其续航里程（单位：km），将得到的800个数据分为5组：，并整理得到如图所示的频率分布直方图.记这800个数据的3个四分位数分别为，则（    ） A．续航里程在区间内的频率为0.4 B． C． D． 10．【新考向预测：学科交叉题】抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（    ） A． B．点关于x轴的对称点在直线上 C．直线与直线相交于点D，则A，O，D三点共线 D．直线与间的距离最小值为4 11．已知函数，，则下列说法正确的是（   ） A．和的图象不存在公切线 B．在上是增函数 C．若恒成立，则整数的最大值为2 D．若，且，则的最小值为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 13．【新考向预测：数学文化题】攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为，体积为，则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角的正切值为 . 14．已知双曲线：的左焦点为，左顶点为．以原点为圆心，分别以，为半径作圆，．设是圆与在第一象限的交点，连接交圆于，两点．若，则的离心率为_________． 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（13分） 已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 16．(15分) 如图，在四棱锥中，，点为的中点，且平面与交于点． (1)求证：； (2)若平面平面，四边形为矩形，．点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长． 17．（15分） 【新考向预测：社会热点题】高阶智驾技术是汽车研发领域的一个重要方向.某学校创新社团爱好者研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个探测元件共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该社团同学寻找了100个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个探测元件对路况的判断相互独立） 测试结果真实路况 探测元件1 探测元件2 探测元件3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 25 1 1 25 4 15 15 0 有障碍 50 10 10 55 5 10 55 10 5 (1)从这100个路段中随机抽取一个路段，求探测元件2对该路况判断正确的概率； (2)从这100个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设为探测元件1和探测元件3对无障碍的路段判断正确的探测元件数，求的分布列和数学期望； (3)现有一辆小汽车同时装载了以上3种探测元件，在通过某路段时，只要3个探测元件中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.请问可以通过提高哪一个探测元件的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于.（直接写出探测元件1、2、3其中一个，结论不要求证明） 18．（17分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，右顶点和上顶点分别为和，． (1)求的标准方程； (2)设为线段上的动点，过作平行于轴的直线与在第一象限内交于点，点满足，延长线段交于另一点． ①当的横坐标为1时，记直线和的斜率分别为和，求的值； ②当直线的斜率为1时，直线与线段交于点，记和的面积分别为和，求的值． 19．(17分) 【新考向预测：跨模块题】已知函数，为的导函数，曲线关于点对称. (1)求的值； (2)，恒成立. （i）求b的值并探究的零点个数； （ii）若，且，证明：. 冲刺05 2026年新高考数学终极押题卷（2） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．复数，则（   ） A．1 B． C． D． 2．已知全集为，集合，，则B=（    ） A． B． C． D． 3．若双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则（   ） A． B． C．或 D．或 4．如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．在四面体ABCD中，，，E为CD的中点，则异面直线BE与AD所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．【新考向预测：社会热点题】在人工智能的图象识别算法优化过程中，模型的准确率提升倍数与训练数据量（单位：）的关系式为，其中为常数.当训练数据量为时，模型的准确率提升倍数为22.5.当准确率提升倍数达到135时，模型在识别复杂图象时能达到极高的准确率，要想达到此标准，应该选择的训练数据量约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 7．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，且.若椭圆上存在点，使得的外接圆直径为，则椭圆的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线为某个函数的图象，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．【新考向预测：社会热点题】某电子商城统计了最近5个月某品牌电脑的实际销量，如下表所示： 时间x（月份） 1 2 3 4 5 销量y（百台） 0.3 0.4 0.6 0.7 0.9 若y与x线性相关，且经验回归方程为：，则下列说法正确的是（    ） A．变量x，y正相关 B． C．可以预测当时，商城内该电脑的销量为1百台 D．当时，残差为 10．已知函数的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为，则下列说法正确的有（   ） A．函数的最小正周期为 B．为函数的一个对称轴 C．要得到函数，需将函数向右平移个单位长度 D．函数在区间上单调递增 11．若函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．， C．是偶函数 D．当时， 【答案】BCD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12．已知数列满足：，，则_____________. 13．【新考向预测：社会热点题】 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有________种． 14．已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.) 15．（13分） 在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求角； (2)若边上的中线长为5，求的面积． 16．（17分） 为研究大学生使用AI学习工具的情况与自主思考能力是否有关联，随机调查某校100名大学生，数据如下： 单位：人 使用AI学习工具的情况 自主思考能力 合计 强 一般 经常使用 22 28 50 不经常使用 34 16 50 合计 56 44 100 (1)依据小概率值的独立性检验，分析大学生使用AI学习工具的情况是否与自主思考能力有关. (2)小余之前从未使用过AI学习工具，他计划开始尝试使用AI学习工具进行学习，他在第天使用AI学习工具的概率为，设每天是否使用AI学习工具进行学习相互独立.设小余前3天中使用AI学习工具进行学习的天数为，求的分布列与方差. 参考公式：. 参考数据： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.841 10.828 17．(15分) 如图，四棱锥的底面为直角梯形，平面，，，，，为的中点，点在线段上. (1)证明：平面平面； (2)已知，，，四点均在球的球面上. ①证明：，，三点共线； ②若直线与平面所成角的正弦值为，求. 18．（17分） 已知函数，， (1)当时，求函数的单调区间． (2)求证：． (3)令，若对任意不同的，，都有，求实数的取值范围． 19．（17分） 【新考向预测：跨模块试题】已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. 考前指导篇 指导01冲刺复习备考指导 高考进入冲刺阶段，数学复习已从“全面覆盖”转向“精准突破”，从“夯实基础”迈向“提升能力”.此时的核心目标的是：守住基础分、突破中档题、巧抓压轴分，同时优化答题节奏、调整应试心态，最大化提升复习效率与考场发挥.不同于一轮复习的“地毯式”扫盲和二轮复习的“专题式”强化，冲刺阶段（通常为考前1-2个月）的复习更注重“针对性、实用性、高效性”，拒绝盲目刷题、无效内耗，聚焦“能快速提分、易丢分、常考必考”的核心内容，帮助考生在短时间内实现成绩的稳步提升. 本文结合高考数学命题规律、冲刺阶段复习痛点，从备考总则、核心考点突破、题型专项攻坚、答题技巧优化、心态与细节调整五个维度，为考生提供全面、可落地的复习备考指导，助力考生在高考数学考场上从容应对、发挥最佳水平. 第一部分：冲刺备考总则——明确方向，拒绝内耗 冲刺阶段的数学复习，“方向比努力更重要”.很多考生陷入“盲目刷题、熬夜赶工”的误区，看似忙碌，实则效率低下，甚至出现“越刷越慌、越练越乱”的情况.因此，在冲刺伊始，必须明确复习总则，找准发力点，做到“有目标、有计划、有重点”，避免无效内耗. 一、核心原则：抓大放小，聚焦提分 高考数学试卷的分值分布呈现“基础题占比60%、中档题占比30%、压轴题占比10%”的规律（即150分中，基础题90分、中档题45分、压轴题15分）.冲刺阶段，考生的核心任务是“确保基础题不丢分、中档题少丢分、压轴题多拿分”，而非盲目攻克偏题、怪题、难题. 具体而言，要做到“三抓三放”： 1. 抓基础，放偏怪：优先巩固教材中的核心概念、公式、定理，确保基础题（选择前8题、填空前4题、解答前3题）拿到满分或接近满分；对于超出考纲、难度极高的偏题、怪题，果断放弃，避免浪费时间和精力. 2. 抓高频，放冷门：聚焦高考高频考点（如函数与导数、立体几何、概率与统计、解析几何、数列、三角函数等），反复强化练习；对于考频极低、难度较大的冷门考点（如复数的深层应用、极坐标与参数方程的复杂题型），可适当弱化，仅掌握基础题型即可. 3. 抓错题，放新题：冲刺阶段，刷新题的意义远不如复盘错题.重点整理近3个月的错题，分析错因、总结规律，避免重复犯错；新题可作为辅助练习，每周做1-2套即可，无需追求数量. 二、复习计划：科学规划，高效落地 冲刺阶段的复习计划要“具体、可落地、可调整”，避免“一刀切”“凭感觉”.建议按“周”制定计划，每周明确核心任务、重点考点和复习时长，每日细化具体内容，确保每天都有收获、有提升. 参考计划（以考前6周为例）： 第1-2周：基础复盘+高频考点梳理.每日复习1个核心考点（如周一函数、周二三角函数、周三数列等），梳理考点核心内容、易错点，完成1组基础+中档题练习（20-30分钟），晚上复盘当天错题（10-15分钟）. 第3-4周：题型专项攻坚+真题模拟.每周聚焦2-3个高频题型（如解析几何大题、概率统计大题、导数中档题），专项突破；每周完成2套近5年高考真题（限时120分钟，模拟考场环境），考完后全面复盘，分析得分点、丢分点. 第5-6周：查漏补缺+心态调整.每日复盘错题本，重点攻克前期未掌握的薄弱点；每周完成1套模拟卷（限时120分钟），优化答题节奏；减少刷题量，增加知识点背诵、公式默写的时间，调整作息，适应考场节奏. 注意：计划可根据自身情况调整，重点是“每天有明确任务，每周有复盘总结”，避免拖延、盲目跟风. 三、核心目标：稳住基础，突破瓶颈 冲刺阶段，不同层次的考生要有不同的核心目标，避免“盲目追求高分”或“自我放弃”： 1. 基础薄弱考生（平时得分≤90分）：核心目标是“守住基础分”，重点复习教材基础知识点、基础题型，确保选择前8题、填空前4题、解答前3题（三角函数/数列、立体几何、概率统计）拿到80%以上的分数，中档题尝试突破，压轴题可放弃，争取高考得分≥90分. 2. 中等层次考生（平时得分90-120分）：核心目标是“突破中档题，稳住基础分”，确保基础题不丢分，中档题（选择9-11题、填空15题、解答18-19题）少丢分，压轴题（导数、解析几何压轴）争取拿到部分步骤分，争取高考得分≥110分. 3. 高分层次考生（平时得分≥120分）：核心目标是“冲刺压轴分，追求满分”，基础题、中档题确保不丢分，重点突破压轴题的难点，优化答题步骤，避免因细节失误丢分，争取高考得分≥135分. 第二部分：核心考点突破——精准发力，筑牢根基 高考数学的高频考点常年稳定，冲刺阶段无需全面覆盖，重点突破“函数与导数、立体几何、概率与统计、解析几何、数列、三角函数”六大核心模块，这六大模块占高考数学总分的80%以上，是提分的关键.以下针对每个模块，梳理核心考点、易错点和冲刺方法，助力考生精准突破. 一、三角函数与解三角形（高考占分10-15分） 该模块是高考基础题型，难度较低，得分率高，冲刺阶段重点是“熟练掌握公式、规范解题步骤、避免计算失误”，确保拿到满分. （一）核心考点 1. 三角函数的图象与性质：正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性，图象的平移、伸缩变换. 2. 三角恒等变换：同角三角函数基本关系（平方关系、商数关系）、诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式，重点掌握公式的逆用、变形（如降幂公式、升幂公式）. 3. 解三角形：正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式，解三角形的实际应用（如测量距离、高度、角度）. （二）冲刺方法 三角函数模块作为高考基础得分点，冲刺阶段需以“稳”为主，核心是熟练掌握公式应用、规范解题步骤，杜绝各类失误. 1. 熟记公式，强化应用：每天花5-10分钟默写三角函数的核心公式（诱导公式、两角和与差公式、二倍角公式、正弦定理、余弦定理），重点记忆公式的逆用、变形形式，确保公式烂熟于心，能够快速调用、灵活变形，避免因公式混淆或遗忘影响解题效率. 2. 聚焦基础题型，规范步骤：重点练习“三角函数图象与性质”“三角恒等变换求值”“解三角形”三大基础题型，每道题都按照“审题—列式—计算—检验”的步骤规范书写，明确每一步的解题依据，避免因步骤不完整丢分；同时注重审题细节，圈画题干中的关键条件，如角的范围、函数定义域等，防止因审题疏漏出现错误. 3. 针对性纠错：整理该模块的错题，重点分析“符号错误、公式错误、计算错误”，每天练习3-5道基础题，强化薄弱点，同时定期复盘错题，总结解题规律，确保基础题型不丢分，实现该模块的满分突破. 二、数列（高考占分10-15分） 数列模块也是高考基础题型，分为等差数列和等比数列，重点考查通项公式、前n项和公式的应用，难度中等，冲刺阶段重点是“熟练掌握通项与求和方法，避免计算失误”. （一）核心考点 1. 等差数列与等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及性质（如等差数列的等差中项、等比数列的等比中项，下标和性质）. 2. 数列通项公式的求法：累加法、累乘法、构造法（如构造等差数列、等比数列）、已知前n项和求通项（注意n=1时的验证）. 3. 数列前n项和的求法：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法. 4. 数列的实际应用：如增长率、分期付款、数列与不等式的简单结合. （二）冲刺方法 数列模块难度中等，得分率较高，冲刺阶段重点是熟练掌握通项与求和方法，强化计算能力，确保基础题不丢分、中档题少丢分. 1. 牢记核心公式与性质：每天默写等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，以及核心性质，确保熟练应用. 2. 分类突破通项与求和方法：重点练习“已知前n项和求通项”“裂项相消法求和”“错位相减法求和”三大高频题型，每种方法每天练习2-3道题，熟练掌握解题步骤. 3. 强化计算能力：数列题型的计算量较大，冲刺阶段每天花10分钟练习数列计算，避免因计算失误丢分；同时，规范解题步骤，确保每一步都有依据，避免步骤不完整丢分. 三、立体几何（高考占分12-16分） 立体几何模块分为“空间几何体”和“空间向量与立体几何”两部分，基础题型（空间几何体的表面积、体积计算）难度较低，中档题型（线面平行、垂直的判定与性质）难度中等，压轴题型（空间角的计算）难度较高，冲刺阶段重点是“夯实基础、规范证明、突破空间角计算”. （一）核心考点 1. 空间几何体：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台的表面积、体积计算，空间几何体的三视图与直观图（重点是由三视图还原几何体）. 2. 空间点、线、面的位置关系：线面平行、垂直的判定定理与性质定理，面面平行、垂直的判定定理与性质定理，重点是规范证明步骤. 3. 空间向量与立体几何：空间向量的坐标运算，利用空间向量证明线面平行、垂直，利用空间向量求异面直线所成角、线面角、二面角. （二）冲刺方法 立体几何模块需兼顾基础与中档题型，冲刺阶段重点是夯实基础、规范证明、突破空间角计算，提升空间想象能力和逻辑推理能力. 1. 夯实基础，突破空间想象能力：每天练习1道“三视图还原几何体”的题目，通过画图、观察模型等方式强化空间想象能力，能够快速根据三视图确定几何体的形状、尺寸；熟记空间几何体的表面积、体积公式，明确公式的适用场景，确保基础计算不丢分，尤其是棱台、圆锥等易混淆公式的应用的. 2. 规范证明步骤：牢记线面平行、垂直，面面平行、垂直的判定定理与性质定理，明确定理的条件和结论，按照“已知—求证—证明”的步骤规范书写，确保每一步都有依据，尤其是证明线面平行时需说明“直线在平面外”，证明线面垂直时需证明“直线垂直于平面内的两条相交直线”，避免步骤不完整丢分. 3. 突破空间向量应用：重点练习“空间向量证明线面垂直、平行”“空间角计算”的题型，熟练掌握空间直角坐标系的建立方法，确保坐标轴两两垂直，准确求解向量坐标；掌握向量坐标运算的技巧，以及空间角与向量夹角的转化方法，明确不同空间角的范围，每天练习1-2道中档题，强化解题能力，确保中档题型拿到满分. 四、概率与统计（高考占分15-20分） 概率与统计模块是高考高频考点，难度中等，得分率较高，重点考查“古典概型、几何概型、随机变量及其分布、统计图表分析”，冲刺阶段重点是“熟练掌握题型解法、规范答题步骤、避免计算失误”. （一）核心考点 1. 概率：古典概型、几何概型的概率计算，互斥事件、对立事件的概率计算，条件概率的计算. 2. 随机变量及其分布：离散型随机变量的分布列、期望、方差，二项分布、正态分布的应用. 3. 统计：抽样方法（简单随机抽样、系统抽样、分层抽样），统计图表（频率分布直方图、茎叶图、折线图、条形图）的分析，平均数、方差、标准差的计算，线性回归方程、独立性检验的应用. （二）冲刺方法 概率与统计模块得分率较高，冲刺阶段重点是熟练掌握题型解法、规范答题步骤、强化计算与图表解读能力，确保拿到该模块的大部分分数. 1. 分类突破题型：重点练习“古典概型”“条件概率与全概率”“随机变量分布列与期望、方差”“统计图表分析”三大题型，每种题型每天练习2-3道题，熟练掌握解题方法；古典概型重点掌握基本事件的计数方法，确保计数不重复、不遗漏，且满足等可能性；几何概型明确测度的选择，区分长度、面积、体积的适用场景；随机变量分布列重点掌握分布列的性质和期望、方差的计算公式. 2. 规范答题步骤：尤其是概率题和统计题，步骤一定要完整，如古典概型要写出“基本事件总数”和“所求事件包含的基本事件数”，再计算概率；随机变量分布列要列出所有可能的取值，计算每个取值的概率，验证概率和为1，再计算期望、方差；统计题要明确抽样方法的适用条件，规范书写统计量的计算过程，确保步骤完整可追溯. 3. 强化计算与图表解读能力：每天花10分钟练习统计计算（如平均数、方差、回归系数），注重计算的准确性，避免因计算失误丢分；练习解读统计图表，快速提取有效信息，尤其是频率分布直方图中，明确频率与组距的关系，避免忽略组距导致计算错误；同时区分“相关关系”与“因果关系”，避免解读错误. 五、解析几何（高考占分12-18分） 解析几何模块是高考中档题和压轴题的重点，分为“直线与圆”和“圆锥曲线”两部分，直线与圆难度较低，圆锥曲线难度中等偏上，冲刺阶段重点是“夯实直线与圆的基础，突破圆锥曲线的中档题型，巧抓压轴题步骤分”. （一）核心考点 1. 直线与圆：直线的方程（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），两条直线的位置关系，圆的方程（标准方程、一般方程），直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系. 2. 圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质（离心率、焦距、实轴、虚轴、准线等），直线与圆锥曲线的位置关系（联立方程、韦达定理应用），圆锥曲线的简单综合问题. （二）冲刺方法 解析几何模块需分层次突破，冲刺阶段重点是夯实直线与圆的基础，突破圆锥曲线的中档题型，巧抓压轴题步骤分，兼顾基础与提升. 1. 夯实直线与圆的基础：重点练习“直线方程的求解”“直线与圆的位置关系”“圆与圆的位置关系”，确保基础题型不丢分；每天练习1-2道基础题，强化公式应用和计算能力. 2. 突破圆锥曲线中档题型：重点练习“圆锥曲线的定义应用”“标准方程求解”“离心率计算”“直线与圆锥曲线的基础联立问题”，熟练掌握韦达定理的应用，规范解题步骤；对于圆锥曲线的压轴题，重点掌握“联立方程—韦达定理—弦长公式/中点坐标公式”的解题思路，争取拿到步骤分. 3. 针对性纠错：整理该模块的错题，重点分析“斜率不存在情况漏解”“计算错误”“韦达定理应用错误”，每天练习1道中档题，强化薄弱点，避免重复犯错. 六、函数与导数（高考占分18-22分） 函数与导数模块是高考压轴题的核心，难度较大，分值占比最高，分为“函数的图象与性质”和“导数的应用”两部分，冲刺阶段重点是“夯实函数基础，突破导数中档题，巧抓压轴题步骤分”. （一）核心考点 1. 函数的图象与性质：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性，一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数的图象与性质，函数的图象变换. 2. 导数的应用：导数的几何意义（求切线方程），利用导数判断函数的单调性、求极值、最值，利用导数解决不等式恒成立、存在性问题，利用导数解决函数的零点问题. （二）冲刺方法 函数与导数模块分值占比最高，难度较大，冲刺阶段重点是夯实函数基础，突破导数中档题，巧抓压轴题步骤分，实现分数最大化. 1. 夯实函数基础：重点复习“函数的定义域、单调性、奇偶性、周期性”，熟练掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数的图象与性质，每天练习1-2道基础题，确保基础题型不丢分. 2. 突破导数中档题型：重点练习“导数的几何意义（求切线方程）”“利用导数求函数的单调性、极值、最值”，熟练掌握导数的运算公式和解题步骤；每天练习1道中档题，强化解题能力. 3. 巧抓压轴题步骤分：对于导数压轴题（如不等式恒成立、函数零点问题），重点掌握“求导—判断单调性—求极值/最值—结合题意分析”的解题思路，即使无法完全攻克，也要写出关键步骤（如求导过程、单调性判断、极值点求解），争取拿到步骤分；避免因畏难情绪放弃整道题. 第三部分：题型专项攻坚——分类突破，提升能力 高考数学试卷分为选择题（12道，60分）、填空题（4道，20分）、解答题（6道，70分），不同题型的解题技巧和得分策略不同.冲刺阶段，针对不同题型进行专项攻坚，优化解题方法，提升解题速度和准确率，是提分的关键. 一、选择题：快速准确，巧抓技巧（60分，建议用时40-50分钟） 选择题的特点是“题量多、分值高、难度梯度明显”，前8题为基础题，9-11题为中档题，12题为压轴题.冲刺阶段，选择题的核心目标是“快速准确，避免耗时过长”，重点掌握“直接法、排除法、特殊值法、代入法”等解题技巧，提高解题速度和准确率. 具体得分策略： 1. 先易后难：先做前8道基础题，确保拿到满分或接近满分；再做9-11道中档题，争取少丢分；最后做12道压轴题，若无法快速得出答案，可先标记，后续再回头做，避免耗时过长，影响后续答题. 2. 控制时间：选择题建议用时40-50分钟，每道题平均用时3-4分钟，基础题用时控制在2分钟以内，中档题用时控制在4分钟以内，压轴题用时不超过8分钟，避免因一道题耗时过长，导致后续题目没时间做. 3. 避免粗心：选择题的错误大多源于粗心（如看错题干条件、计算失误、忽略特殊情况），做题时要细心审题，圈画题干关键信息（如“不正确的是”“至少”“至多”），做完后快速验算，避免粗心丢分. 二、填空题：精准规范，避免失误（20分，建议用时15-20分钟） 填空题的特点是“题量少、分值高、难度中等”，前3题为基础题，第4题为中档或压轴题.填空题的核心目标是“精准规范，避免失误”，重点是“计算准确、书写规范、注意特殊情况”，因为填空题没有步骤分，一旦答案错误，就会全丢分. 具体得分策略 1. 规范书写：填空题的答案要规范，如分数要化为最简分数，根式要化为最简根式，集合要写成规范形式，函数表达式要化简，避免因书写不规范导致答案错误. 2. 注意特殊情况：如填空题中，涉及“斜率不存在”“定义域限制”“空集”“等号成立条件”等特殊情况，要重点关注，避免漏解或错解. 3. 控制时间：填空题建议用时15-20分钟，每道题平均用时4-5分钟，基础题用时控制在3分钟以内，压轴填空题用时不超过7分钟，做完后快速验算，确保答案准确. 三、解答题：规范步骤，巧抓得分（70分，建议用时50-60分钟） 解答题的特点是“题量少、分值高、难度梯度明显”，前3题为基础题（三角函数/数列、立体几何、概率统计），4-5题为中档题（解析几何、导数中档题），第6题为压轴题（导数压轴）.解答题的核心目标是“规范步骤，巧抓得分”，因为解答题有步骤分，即使无法得出最终答案，也能通过写出关键步骤拿到部分分数. （一）核心解题原则 1. 审题清晰：认真审题，圈画题干关键信息（如已知条件、求证结论、限制条件），明确解题思路，避免因审题失误导致解题方向错误. 2. 步骤规范：按照“审题—列式—计算—检验—结论”的步骤规范书写，每一步都要有依据（如“由正弦定理得”“由导数的几何意义得”），避免步骤跳跃，确保步骤完整，争取拿到步骤分. 3. 计算准确：解答题的计算量较大，要细心计算，避免因计算失误导致后续步骤全部错误；计算过程中，可适当简化步骤，但关键计算过程不能省略. 4. 先易后难：先做前3道基础题，确保拿到满分或接近满分；再做4-5道中档题，争取少丢分；最后做第6道压轴题，重点抓步骤分，避免因畏难情绪放弃整道题. （二）各题型得分技巧 1. 基础解答题（三角函数/数列、立体几何、概率统计）：这类题型难度较低，步骤简单，重点是“规范步骤、计算准确”，确保拿到满分.如三角函数题，要写出“三角恒等变换过程、代入公式计算过程、最终结论”；立体几何题，要写出“线面平行/垂直的判定过程、证明步骤、计算过程”；概率统计题，要写出“基本事件计数、概率计算过程、分布列、期望/方差计算过程”. 2. 中档解答题（解析几何、导数中档题）：这类题型难度中等，重点是“掌握解题思路、规范步骤”，争取拿到80%以上的分数.如解析几何题，要写出“直线与圆锥曲线联立方程、韦达定理应用、弦长/中点坐标计算过程”；导数中档题，要写出“求导过程、单调性判断、极值/最值计算过程”. 3. 压轴解答题（导数压轴）：这类题型难度较大，重点是“巧抓步骤分”，即使无法完全攻克，也要写出关键步骤（如求导过程、单调性判断、极值点求解、分类讨论的开始步骤），争取拿到5-8分；避免因畏难情绪放弃整道题，导致丢分过多. （三）得分策略 1. 控制时间：解答题建议用时50-60分钟，前3道基础题用时控制在25-30分钟，每道题用时8-10分钟；4-5道中档题用时控制在20-25分钟，每道题用时10-12分钟；第6道压轴题用时不超过10分钟，重点抓步骤分. 2. 避免步骤跳跃：解答题的步骤分占比很高，如立体几何题的证明步骤、导数题的求导过程、解析几何题的联立方程过程，都要完整书写，避免步骤跳跃，确保每一步都能拿到分数. 3. 学会取舍：对于压轴题，若无法在规定时间内得出最终答案，可先写出关键步骤，然后放弃，把时间留给前面的题目，避免因一道压轴题，导致前面的基础题、中档题没时间检查，出现丢分. 第四部分：答题技巧与细节优化——锦上添花，减少丢分 冲刺阶段，除了突破考点、攻坚题型，还要注重答题技巧和细节优化.很多考生平时成绩很好，但高考时因答题技巧不当、细节失误，导致丢分严重，十分可惜.因此，掌握答题技巧、注重细节优化，是冲刺阶段提分的“关键抓手”. 一、整体答题技巧：合理分配时间，优化答题节奏 高考数学的考试时间为120分钟，合理分配时间、优化答题节奏，是确保发挥最佳水平的关键.建议按照“选择题（40-50分钟）→填空题（15-20分钟）→解答题（50-60分钟）”的顺序答题，同时预留5-10分钟用于检查，具体时间分配可根据自身情况调整，但核心原则是“先易后难、先快后慢”. 1. 先易后难：先做基础题（选择前8题、填空前3题、解答前3题），再做中档题（选择9-11题、填空第4题、解答4-5题），最后做压轴题（选择12题、解答第6题）.避免一开始就做压轴题，导致耗时过长、心态崩溃，影响后续答题. 2. 先快后慢：基础题要快速准确，争取节省时间；中档题要稳扎稳打，避免粗心丢分；压轴题要放慢节奏，重点抓步骤分，避免因急躁导致错误. 3. 预留检查时间：答题结束后，预留5-10分钟用于检查，重点检查“选择题、填空题的答案是否准确，解答题的步骤是否完整、计算是否正确”，避免因粗心导致丢分. 二、细节优化：避免低级失误，守住每一分 冲刺阶段，要重点关注容易忽略的细节，避免低级失误，守住每一分，这也是提分的关键. 1. 审题细节：审题时，圈画题干关键信息，如“不正确的是”“至少”“至多”“存在”“任意”“定义域限制”“等号成立条件”等，避免因看错题干条件导致错误. 2. 计算细节：计算时，要细心认真，避免“抄错数字、算错符号、漏算步骤”；对于复杂计算，可分步计算，中间验算，确保计算准确；同时，注意单位统一、分数化简、根式化简，避免因书写不规范导致答案错误. 3. 步骤细节：解答题的步骤要完整、规范，每一步都要有依据，避免步骤跳跃；同时，注意书写工整，字迹清晰，避免因字迹潦草导致阅卷老师无法看清步骤，丢失步骤分. 4. 公式细节：牢记核心公式、定理、性质，避免因公式记忆错误导致解题错误；如导数的运算公式、三角函数的诱导公式、数列的前n项和公式等，每天花5-10分钟默写，确保烂熟于心. 5. 特殊情况细节：重点关注“斜率不存在”“定义域限制”“空集”“等号成立条件”“函数的奇偶性、周期性”等特殊情况，避免漏解或错解. 三、错题复盘技巧：精准纠错，避免重复犯错 冲刺阶段，错题复盘是提分的“核心手段”，比刷新题更有效.很多考生的错题本只是简单记录错题，没有分析错因、总结规律，导致重复犯错.因此，掌握正确的错题复盘技巧，才能真正实现“知错就改、避免重复犯错”. 1. 分类整理错题：将错题按“考点分类”（如三角函数错题、数列错题、立体几何错题等），或按“错因分类”（如计算错误、审题错误、公式错误、步骤错误等），便于针对性复习. 2. 深入分析错因：每道错题，都要分析“为什么错”，是计算失误、审题失误，还是公式记错、思路错误，明确错因后，标注在错题旁边，提醒自己下次注意. 3. 重新独立做题：分析错因后，不看参考答案，重新独立做一遍错题，确保自己真正掌握解题方法，避免“看答案会做，自己做就错”. 4. 定期复盘回顾：每周花1-2小时，复盘本周的错题，重点回顾“错因、解题方法、易错点”，每月复盘一次所有错题，强化记忆，避免重复犯错. 注意：错题复盘不是“抄错题”，而是“分析错因、总结规律、强化掌握”，避免无效复盘. 第五部分：心态调整与考前准备——从容应考，发挥最佳水平 冲刺阶段，除了知识复习和能力提升，心态调整和考前准备也至关重要.高考不仅是知识与能力的较量，更是心态与细节的较量.很多考生因心态紧张、考前准备不足，导致高考发挥失常，十分可惜.因此，冲刺阶段，要注重心态调整，做好考前准备，确保在高考考场上从容应对、发挥最佳水平. 一、心态调整：克服焦虑，保持平和 冲刺阶段，考生容易出现“焦虑、紧张、浮躁、自我怀疑”等心态，这些心态会严重影响复习效率和考场发挥.因此，要学会调整心态，保持平和、积极的备考状态. 1. 正确认识高考：高考是人生的一次重要机遇，但不是唯一的出路，不必过分看重高考成绩，避免因过度焦虑导致心态崩溃.要明白，冲刺阶段的核心是“全力以赴、不留遗憾”，只要自己努力了，无论结果如何，都是一种收获. 2. 合理调节压力：当出现焦虑、紧张情绪时，可通过“运动、听音乐、和家人朋友沟通、深呼吸”等方式调节压力，缓解情绪；避免熬夜、过度刷题，保证充足的睡眠，让大脑得到充分休息，保持良好的精神状态. 3. 树立自信：每天给自己积极的心理暗示，如“我能行”“我已经掌握了大部分知识点”“我一定能发挥好”，树立自信，避免自我怀疑；同时，关注自己的进步，哪怕是微小的进步，也要及时肯定自己，增强自信心. 4. 保持规律作息：冲刺阶段，要保持规律的作息，每天早睡早起，避免熬夜；按照高考考试时间，调整自己的学习节奏，让大脑在高考对应时段进入兴奋状态，适应考场节奏. 二、考前准备：细致周全，避免失误 考前准备是否细致周全，直接影响高考的发挥.因此，考前要做好充分准备，避免因准备不足导致失误. 1. 证件与文具准备：考前一天，准备好高考准考证、身份证、2B铅笔（削好）、黑色签字笔（2-3支）、橡皮、直尺、圆规等证件和文具，放在透明文件袋中，避免遗漏；考前检查一遍，确保所有证件和文具齐全、可用. 2. 熟悉考场与路线：考前一天，熟悉考场位置、考场规则、座位号，了解从家到考场的路线、交通方式和所需时间，预留充足的时间，避免因堵车、迷路等原因迟到. 3. 调整饮食与状态：考前饮食要清淡、易消化，避免吃辛辣、油腻、生冷的食物，防止肠胃不适；考前一天，避免剧烈运动，保持良好的身体状态；高考当天，提前半小时到达考场，适应考场环境，调整心态，做好答题准备. 4. 考前复习安排：考前一天，不要再刷新题、难题，重点复盘错题本、核心公式、定理、性质，背诵重点知识点，保持做题手感；避免过度复习，让大脑得到充分休息，以最佳状态迎接高考. 指导02考前需做好的几件事 亲爱的考生们，高考数学的战场即将正式拉开帷幕，此刻的每一份用心准备，都是考场上最坚实的底气与最有力的支撑！正如北宋文豪苏轼所言：“古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有坚忍不拔之志.” 考前复习无需盲目发力、贪多求全，抓住核心要点、稳步有序推进，认真做好以下八大关键事，就能让你带着十足底气奔赴考场，轻松发挥出自己的真实水平，不负日夜挑灯夜读的付出，不负每一次咬牙坚持的努力，在考场上从容亮剑、不负韶华！ 第一、梳理错题，查漏补缺不慌神. 考前切忌盲目刷难题、怪题，那样不仅会消耗大量精力，还会徒增焦虑情绪，得不偿失.请静下心来，把积累已久的错题本认真翻一翻、逐题过一遍，重点关注自己的高频易错点、解题思路出现偏差的地方，以及那些因粗心大意、审题不细导致的计算失误.要知道，“细节成就完美，细微决定成败”，每一个错题都是你提分的宝贵宝藏，搞定这些看似不起眼的小漏洞，就是在为高分铺路.建议将错题按题型分类，标注错误原因，比如是公式混淆、计算失误，还是思路偏差，针对性巩固，能让你在考场上少走弯路、少犯错误，最大限度避免不必要的失分. 第二、熟记公式，筑牢基础底气足. 数学解题的核心离不开公式与定理，它们就像是我们应对各类题型的“万能钥匙”，是解题的根基所在.请提前拿出专门的时间，认真默写高频考点的公式与定理，比如三角函数的诱导公式、同角三角函数关系，数列的通项公式与求和公式，立体几何的判定定理与性质定理，解析几何的核心公式等，做到烂熟于心、灵活运用，无需反复回想就能快速调用.爱迪生曾说：“天才就是百分之一的灵感加上百分之九十九的汗水”，考前熟记公式、巩固基础，就是把平日里付出的每一滴汗水，都化作考场上披荆斩棘的利刃，从容应对各类基础题型和中档题型，为高分筑牢根基. 第三、调整心态，从容应考显锋芒. 考前的心态，往往直接决定了考场上的发挥水平，心态稳，则发挥稳.请坚决拒绝焦虑内耗，多给自己积极的心理暗示，告诉自己“我已全力以赴，付出了足够的努力，何惧从容一战”！考前几天一定要保持规律作息，保证充足的睡眠，避免熬夜刷题、过度劳累，让大脑保持最佳状态；走进考场前，不妨做几次深呼吸，平复紧张情绪，摒弃杂念，以平和、从容、自信的心态面对每一道题.要坚信，“胜利属于最坚忍的人”，只要稳住心态，不慌不忙、认真审题，你就已经赢了一半. 第四、备好工具，万事俱备无疏漏. 细节决定成败，考前的准备工作万万不能马虎大意，一丝疏忽都可能影响整场考试的状态.请提前一天认真检查好准考证、身份证，确认信息无误后妥善收好，避免考试当天遗漏；同时准备好考试所需的全部文具，2B铅笔提前削好、保证笔芯粗细适中，签字笔备齐2-3支备用，橡皮、直尺、圆规等工具也一一核对，确保齐全可用.古人云：“凡事预则立，不预则废”，做好这些细致的准备工作，才能在考场上心无旁骛、专注答题，避免因小失大，留下不必要的遗憾. 第五、限时模拟，适配节奏练手感. 考前适当进行限时模拟训练，是适配考场节奏、提升答题手感的关键.选择难度适中、贴合高考题型的模拟卷，严格按照高考数学的考试时间（120分钟）进行作答，不拖延、不中断，模拟考场的紧张氛围，锻炼答题速度和时间分配能力.答题时遵循“先易后难”的原则，遇到难题不纠结、不钻牛角尖，先完成会做的题目，确保基础分不丢失，再回头攻克难题.模拟结束后，认真分析错题和答题时间分配的不足，及时调整，让自己的答题节奏更贴合考场要求. 第六、重视审题，精准破题不踩坑. 高考数学中，很多失分并非因为不会做，而是因为审题不仔细、理解偏差.考前一定要养成认真审题的习惯，答题前先花1-2分钟通读题目，圈画关键信息，比如题干中的限制条件、隐含条件、设问角度等，明确题目要求后再动手解题.切忌匆匆读题就急于下笔，避免因漏看条件、理解错误导致解题失误.正如培根所言：“合理安排时间，就等于节约时间”，认真审题看似花费时间，实则是避免无效答题、节约时间的关键，能让你精准破题、少踩陷阱. 第七、规范书写，步骤清晰得高分. 数学答题的规范性，直接影响得分情况，尤其是大题，步骤不完整、书写不规范，即使答案正确，也可能丢失步骤分.考前要注意规范书写格式，比如解题步骤要清晰明了、逻辑连贯，公式书写要规范，符号使用要准确，避免潦草书写、步骤跳跃.对于立体几何、导数、解析几何等大题，要按照“已知—求证—解题过程—结论”的逻辑书写，确保每一步都有依据，让阅卷老师能清晰看到你的解题思路，最大限度争取步骤分，避免因书写不规范造成的失分. 第八、回归基础，拒绝偏题守底线. 考前复习的核心是“回归基础、守住底线”，高考数学试卷中，基础题和中档题占比约80%，这部分分数是我们必须牢牢抓住的.请不要再花费大量时间钻研偏题、怪题，而是把重点放在基础知识点的巩固上，比如集合、函数、数列、三角函数等基础模块，再复习一遍核心知识点和典型例题，确保基础题不丢分、中档题少失分.记住，高考的本质是考查基础能力和综合运用能力，守住基础底线，才能在考场上稳步得分，实现预期目标. 第九、考前一小时，快速进入状态，做好考前衔接 此阶段重点是“快速唤醒大脑、调整心态、适应考场氛围”，避免因紧张导致大脑空白，确保考试开始后能快速进入答题状态. 核心步骤：① 起床后，吃清淡、易消化的早餐（如面包、牛奶、鸡蛋），不空腹考试，也不暴饮暴食，避免肠胃不适；② 穿戴好准备好的衣物，携带好考试工具（文具袋、准考证、身份证），提前出发，确保提前30分钟到达考场；③ 到达考场后，有序进入考场，找到自己的座位，整理好桌面（只放文具袋、准考证、身份证，其他物品放在指定位置），熟悉考场环境，缓解陌生感；④ 考前10-15分钟，快速回顾核心知识点（如时间线、高频考点），或回顾1-2道典型错题，唤醒大脑记忆，避免考试开始后大脑空白；⑤ 考前5分钟，深呼吸，调整心态，暗示自己“冷静、专注、正常发挥”，适应考场氛围，等待发卷. 注意事项：① 避免和同学讨论知识点、难题，避免因讨论产生焦虑，或因听到自己不会的知识点而慌乱；② 不喝过多水，避免考试期间频繁上厕所，耽误答题时间；③ 若感到紧张，可做3-5次深呼吸（吸气4秒、屏息2秒、呼气6秒），快速缓解紧张情绪；④ 发卷前，不要提前翻阅试卷，严格遵守考场纪律，避免违规. 少年自有少年狂，心似骄阳万丈光！愿每一位全力以赴的考生，都能带着这段时间的积累与勇气，带着沉稳与自信，在高考数学考场上，笔锋所至皆顺畅，心之所向皆荣光，不负韶华，不负自己，不负每一份坚持与热爱，交出一份满意的数学答卷，勇敢奔赴属于自己的星辰大海，开启人生的崭新篇章！ 考中实战篇 实战01 考场规则及注意事项 同学们！高考数学战场即将上线，咱们既要凭实力“炫技”，更要守规则“避雷”！毕竟数学考的是智商，更是细心——违规操作一秒“翻车”，辛苦刷题全白费！今天就用接地气、不枯燥的画风，给大家唠唠考场规则+避坑注意事项，记住这些，咱不慌不忙拿高分，轻松拿捏这场考试～ 一、进场规则：别做“迟到显眼包”，证件文具带齐全 高考不是赶地铁，迟到真的会“翻车”！划重点：考前30分钟凭准考证、身份证进场，迟到15分钟就直接被拦在门外，连考场的门都摸不到，咱可别因为睡过头、磨磨蹭蹭，把三年努力搭进去！进场前再检查一遍“装备”：准考证、身份证缺一不可，像对待宝贝一样揣好；2B铅笔削得尖尖的（别太尖戳破答题卡），签字笔备2-3支（墨水量拉满，别写着写着断墨），橡皮、直尺、圆规也都安排上，缺一样都可能让你当场“emo”.另外，手机、智能手表、计算器这些“违禁品”，千万别往兜里塞，要么放考场外的储物柜，要么交给老师，不然被查到，直接按作弊处理，那可就亏大啦！进场后按座位号坐好，别瞎逛、别跟同学唠嗑，安安静静待着，做个安静的“备考小能手”. 二、答题前规则：先“验货”再动笔，细节别马虎 拿到试卷和答题卡，先别着急“猛写”，先做一套“考前检查”，不然容易吃大亏！第一步，核对试卷：看看试卷有没有缺页、漏题，印刷是不是清晰，要是有问题，赶紧举手找监考老师，别自己偷偷换试卷、乱涂乱画，不然会被误以为作弊哦.第二步，填写信息：在答题卡规定位置，工整写下姓名、准考证号，用2B铅笔涂好准考证号的信息点，涂的时候别涂太轻（机器扫不出来），也别涂太满（超出格子也不行），就像给答题卡“化妆”，恰到好处才最美.第三步，浏览试卷：花3-5分钟快速扫一遍整套试卷，看看题型分布、难度如何，心里有个底，后续答题才能合理分配时间，别上来就死磕难题，把简单题的分白白浪费.悄悄说一句：浏览试卷时，别偷偷做题，哪怕是口算也不行，监考老师的眼睛可比数学公式还敏锐！ 三、答题中规则：规范答题不“摆烂”，细节定成败 答题时，咱既要速度，更要规范，别因为小细节丢分，不然考完真的会拍大腿！① 答题区域要找准：答题卡上每道题都有对应的答题框，别写串位置，比如把选择题答案写在填空题框里，或者超出答题框，机器扫不到，写得再对也白搭，就像把钱放进别人的口袋，竹篮打水一场空.② 书写别当“草书大师”：数学答题，尤其是大题，步骤要清晰，书写要工整，别写得歪歪扭扭、潦草不堪，阅卷老师看不懂，哪怕答案对了，也会扣步骤分.咱就规规矩矩写，公式写规范，符号用准确，让阅卷老师一看就觉得“这孩子很靠谱”，分数自然不会低.③ 涂改要“优雅”：写错了别乱涂乱画，用橡皮轻轻擦掉，或者画一条横线标注，别涂成“黑疙瘩”，影响卷面整洁，毕竟卷面分也是隐形分数，咱可不能浪费.④ 别“偷瞄”别“传纸条”：考场里最忌讳的就是作弊，哪怕你觉得自己不会，也别想着看别人的，监考老师的监控、眼神全方位覆盖，一旦被抓，成绩作废，还会记入诚信档案，影响一辈子，咱凭自己的实力答题，哪怕考得不好，也问心无愧！ 四、时间管理规则：别做“拖延症患者”，合理分配才高效 高考数学就120分钟，每一分钟都很宝贵，别把时间浪费在“死磕难题”上，不然会捡了芝麻丢西瓜！给大家一个实用的时间分配建议，仅供参考：选择题+填空题，控制在40-50分钟，这些题相对简单，争取快速做完，正确率拉满；中档大题（比如三角函数、数列、立体几何），控制在50-60分钟，认真审题，规范步骤，确保不丢基础分；最后10-20分钟，用来攻克难题+检查，难题别死磕，能写多少步骤就写多少，毕竟步骤也能得分，剩下的时间检查选择题、填空题，看看有没有计算失误、填错答案的情况.记住：遇到不会的题，别慌，先标记好，先做会做的，等所有会做的题都做完，再回头攻克难题，别因为一道题，耽误了一整张试卷的分数，性价比太低啦！另外，考试结束前15分钟，监考老师会提醒时间，这时候就别再纠结新题了，重点检查已做完的题目，避免低级失误. 五、特殊情况规则：遇事别慌，找老师才是王道 考场上难免会遇到小意外，别慌，记住：凡事找监考老师，别自己瞎处理！① 试卷、答题卡有问题：比如缺页、漏题、印刷模糊，或者答题卡破损，赶紧举手，轻声告诉监考老师，老师会帮你处理，别自己偷偷换试卷、补画答题卡，不然会被判定为违规.② 文具出问题：比如铅笔断了、签字笔没墨了，别跟同学借，举手找老师求助，老师会给你提供备用文具，咱可别偷偷传文具，不然会被误以为作弊.③ 身体不舒服：比如头晕、肚子疼，别硬扛，举手告诉老师，老师会根据情况帮你处理，实在不行，会安排医护人员，身体是革命的本钱，别因为硬扛，影响答题状态.④ 不小心弄脏答题卡：别慌，用橡皮轻轻擦拭，要是擦不掉，举手告诉老师，看看能不能更换答题卡（注意：更换答题卡会浪费时间，尽量避免这种情况）. 六、交卷规则：别做“急先锋”，交卷前再检查 考试结束铃声响起，不管你有没有做完，都要停止答题，别偷偷多写一秒钟，不然会被监考老师警告，甚至取消成绩，咱可别因小失大！交卷前，再快速检查一遍：答题卡上的姓名、准考证号有没有填对、涂对，有没有写串答题区域，有没有漏题、漏涂答案.确认无误后，把试卷、答题卡、草稿纸按顺序整理好，交给监考老师，别慌慌张张把答题卡弄皱、弄破.交卷后，安静离开考场，别在考场门口唠嗑、对答案，不然会影响其他还在考试的同学，也会让自己变得焦虑，考完一门忘一门，专注准备下一场才是王道！ 七、心态规则：稳住，我们能赢！ 最后一条，也是最最重要的一条——心态要稳！高考数学虽然重要，但也只是人生中的一次考试，别太紧张，也别太松懈.拿到试卷，遇到简单题，别骄傲，认真审题，避免粗心失分；遇到难题，别焦虑，告诉自己“我不会的，别人也不一定会”，先把会做的题做好，再慢慢攻克难题.记住：你已经刷了无数道题，掌握了无数个知识点，你付出的努力，一定会有回报！别因为一道题、一个失误，影响整个答题状态，保持乐观、从容的心态，发挥出自己的真实水平，就是最大的胜利！ 同学们，高考数学考场，规则是底线，细节是关键，心态是底气！记住这些注意事项，守住规则，避开坑点，带着自信走进考场，笔锋所至皆顺畅，心之所向皆荣光！愿大家都能在考场上超常发挥，搞定数学难题，不负三年努力，考上自己心仪的大学，未来可期，前程似锦！ 实战02 高考临场答题攻略 同学们！终于熬到高考数学临场时刻，别慌别慌，咱可不是来“裸考碰运气”的，是来凭技巧“炫操作”的！毕竟三年刷过的题能绕书桌三圈，掌握这些临场答题攻略，就能把平时的实力发挥到极致，避开坑、拿满分，用从容的状态迎接这场青春的考验.下面就结合考场实际，用通俗易懂且专业严谨的画风，为大家拆解全方位的临场答题攻略，每一处都藏着得分密码，赶紧码住、记牢，考场直接用！ 第一部分：答题前3分钟——通览全局，定好节奏（奠定高分基础） 拿到试卷和答题卡后，切勿急于落笔，充分利用开考前3分钟（或监考老师提醒答题前的间隙），高效完成“通览+定位+规划”三步，快速进入答题状态，避免仓促应战、手忙脚乱，为整场考试筑牢基础.这3分钟看似短暂，却能直接影响整场考试的节奏和心态，务必重视、用足. 1. 快速通览试卷：重点查看试卷结构、题型分布和题目总量，初步判断整体难度（基础题、中档题、难题的大致比例），做到心中有数，避免后续遇到难题时心态慌乱.通览无需逐题细读，重点关注难题集中区域——单选题最后1-2题（7-8题）、多选题最后1题（11题）、填空题最后1题（14题）、解答题后2题（18-19题），提前预判难题位置，合理规划时间分配，严格贴合2026新高考“8单选+3多选+3填空+5解答”的题型规范，确保题量、题号对应无误，不出现漏看、错看题型的问题.同时，快速浏览试卷是否有印刷模糊、缺页、漏题等情况，若有及时举手向监考老师示意，避免后续答题发现问题影响节奏. 2. 精准定位手感：快速浏览前3—5道基础题（集合、复数、向量、简易逻辑等送分题），这类题目难度低、上手快，既能快速唤醒大脑对基础知识点的记忆，找到答题手感，也能有效缓解紧张情绪，建立答题信心，为后续顺利答题做好铺垫.此时无需思考具体解法，只需快速扫读题干，感受题目难度，让大脑快速从“紧张状态”切换到“答题状态”，避免拿到题目后出现“大脑空白”的情况. 3. 规划时间分配：结合试卷初步难度，快速确定各题型大致用时（可结合自身平时答题习惯微调），坚守“先易后难、先熟后生”的核心原则，标注出需重点把控时间的题型（如解答题、多选题），坚决避免“前松后紧”，杜绝会做的题没时间做的遗憾.参考时间分配（严格适配2026新高考题型）：8道单选题（1-8题）15—20分钟，3道多选题（9-11题）10—12分钟，3道填空题（12-14题）10—13分钟，5道解答题（15-19题）65—75分钟，预留10—15分钟用于检查纠错，贴合新高考19道题的整体节奏，兼顾运算效率与答题准确率. 补充提醒：通览期间，严禁动笔答题，可在试卷上简单标记（如圈出难题、易错题），但不可在答题卡上书写任何内容，避免违规失分；同时，深呼吸3次，缓解紧张情绪，告诉自己“我已经准备好，难题都是纸老虎”，用积极的心态迎接答题开始的指令. 第二部分：各题型临场答题技巧——精准破题，稳拿每一分 2026新高考数学题型固定为“8单选+3多选+3填空+5解答”，各题型分值占比、考查重点不同，答题技巧各有侧重，核心目标是“精准破题、减少失误、高效得分”，帮考生守住基础分、争取提升分，稳稳拉开分数差距.不同题型的答题技巧直接决定答题效率和准确率，下面逐一拆解，结合实例讲解，让大家一看就会、一用就灵. 一、选择题：快准稳结合，巧用技巧省时间 选择题分为8道单选题（1-8题，每题5分，共40分）和3道多选题（9-11题，每题6分，共18分），总分58分，分值占比极高，难度梯度明显.答题核心是“快速得分、减少失误”，避免在一道题上过度耗时，同时兼顾准确率，切忌“凭感觉、猜答案”，作为基础得分的关键模块，直接决定整体答题节奏与最终得分率. 选择题的特点是“题量多、分值高、难度梯度明显”，前8题为基础题，9-11题为中档题，12题为压轴题（若有）.冲刺阶段，选择题的核心目标是“快速准确，避免耗时过长”，重点掌握“直接法、排除法、特殊值法、代入法”等解题技巧，提高解题速度和准确率，为后续题型节省时间. （一）单选题（1-8题） 全部为基础题，覆盖集合、复数、向量、简易逻辑、函数性质等基础知识点，难度较低，优先保证正确率，可直接套用公式、定理快速求解.答题时务必细心审题，看清题干要求（如“不正确的是”“错误的是”），避免因粗心看错题目而丢基础分；完成后无需反复验算，节省时间留给多选题和后续题型，单选题是新高考基础得分的核心，务必做到不丢基础分，确保40分基础分稳稳到手. 关键提醒：涂卡要及时，建议完成8道单选题（1-8题）后立即涂卡，再作答3道多选题（9-11题），多选题完成后再次核对涂卡，避免最后集中涂卡出现漏涂、错涂的情况；涂卡时确保涂卡均匀、规范，不超出答题卡规定区域，避免因涂卡不规范导致失分，同时明确区分单选题与多选题的涂卡规范，找准题号对应关系，杜绝混淆1-8题（单选）与9-11题（多选）的涂卡位置. （二）多选题（9-11题） 多选题固定为3道（9-11题），每道6分，共18分，采用“选对部分得部分分，选错不得分”的评分规则，核心原则是“保2争3，宁缺毋滥”，坚决避免因贪心多选导致全题失分.多选题综合度高、区分度大，侧重考查知识点的综合运用，是拉开考生分数差距的关键题型之一，答题时需兼顾速度与准确率，精准取舍、稳妥得分. 1. 审题细致：重点圈画题干中的关键条件（如“正确的是”“所有正确的是”），明确题目考查的知识点范围，避免因审题偏差导致误选、漏选，浪费时间且失分.很多宝子栽就栽在“看错题”上，明明会做，结果因为漏看一个条件、看错一个设问角度，直接白忙活一场，考完拍大腿都没用！ 2. 选项分析：逐一分析每个选项，结合相关知识点判断对错，对于确定正确的选项，果断勾选；对于不确定的选项，坚决不选，避免因不确定的选项导致全题失分.例如，若能确定2个正确选项，直接勾选，无需纠结剩余选项，确保拿到3分；若能确定3个正确选项，且对第4个选项有较大把握，再谨慎勾选，争取满分，不盲目冒险.切忌抱着“多勾选一个可能多得分”的心态，贪心往往会导致全题失分，得不偿失. 3. 易错提醒：警惕多选题的常见“陷阱”，如定义域限制、符号判断、分类讨论边界、隐含条件等，避免因忽略细节导致选项判断错误；同时，避免漏看任何一个选项，确保每个选项都分析到位，不遗漏正确答案.比如函数类多选题，容易忽略定义域限制，导致选项判断错误，答题时务必圈画定义域相关条件，逐一验证选项. （三）选择题核心解题技巧（通用） 选择题不用每道题都一步一步演算，学会“巧偷懒”，能省出不少时间给大题！但要注意，“巧方法”只能辅助，遇到简单题还是要认真演算，别太依赖技巧，避免出错. 1. 直接法：适用于基础题（前8题），直接根据题干条件，运用公式、定理、性质进行计算或推理，得出答案.该方法的关键是“熟练掌握知识点，计算准确”，避免因计算失误丢分.示例：已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²-4x+3=0}，则A∪B=（ ），直接求解集合A、B，再求并集，即可得出答案. 2. 排除法：适用于中档题（9-11题），根据题干条件，排除不符合条件的选项，缩小选择范围，最终得出答案.该方法的关键是“抓住选项的差异，快速排除错误选项”.示例：已知函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)，若f(1)=f(3)，则函数f(x)的对称轴为（ ），根据二次函数的性质，f(1)=f(3)说明对称轴为x=(1+3)/2=2，排除不符合x=2的选项，即可得出答案. 3. 特殊值法：适用于抽象函数、不等式、几何图形等题型，代入特殊值（如0、1、-1、特殊角、特殊点），简化计算，快速得出答案.该方法的关键是“选择合适的特殊值，确保特殊值符合题干条件”.示例：已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，则f(6)=（ ），代入x=0，得f(2)=-f(0)=0；代入x=2，得f(4)=-f(2)=0；代入x=4，得f(6)=-f(4)=0，即可得出答案. 4. 代入法：适用于方程、函数、不等式等题型，将选项代入题干条件，验证是否符合题意，从而得出答案.该方法的关键是“优先代入简单选项，节省时间”.示例：已知方程x²-2x+m=0有两个相等的实数根，则m=（ ），将选项代入方程，验证判别式Δ=0，即可得出答案. （四）选择题得分策略 1. 先易后难：先做前8道基础题，确保拿到满分或接近满分；再做9-11道中档题，争取少丢分；最后做压轴单选题（若有），若无法快速得出答案，可先标记，后续再回头做，避免耗时过长，影响后续答题. 2. 控制时间：选择题总用时建议控制在35-45分钟，每道题平均用时3-4分钟，基础题用时控制在2分钟以内，中档题用时控制在4分钟以内，压轴题用时不超过8分钟，避免因一道题耗时过长，导致后续题目没时间做. 3. 避免粗心：选择题的错误大多源于粗心（如看错题干条件、计算失误、忽略特殊情况），做题时要细心审题，圈画题干关键信息（如“不正确的是”“至少”“至多”），做完后快速验算，避免粗心丢分.尤其是数字、符号、设问角度，一定要看仔细，别犯“低级错误”. 二、填空题：规范书写，细节决定得分 填空题固定为3道（12-14题），每题5分，总分15分，侧重考查基础知识点和计算能力，答题核心是“规范书写、精准计算”，避免因书写不规范、计算失误导致失分.这类题目看似简单，却最容易因细节出错，是基础得分的重要组成部分，答题时需格外注重细节，贴合新高考“重基础、强细节”的命题导向，守住每一分基础分. 填空题的特点是“题量少、分值高、难度中等”，前2题为基础题，第3题（14题）为中档或压轴题.填空题的核心目标是“精准规范，避免失误”，重点是“计算准确、书写规范、注意特殊情况”，因为填空题没有步骤分，一旦答案错误，就会全丢分，每一分都来之不易，务必谨慎对待. （一）填空题核心解题技巧 1. 直接法：与选择题的直接法类似，直接根据题干条件，运用公式、定理、性质进行计算，得出答案.该方法适用于基础题（前2题），关键是“计算准确，避免粗心”.答题时一步一步来，别跳步，避免粗心出错；写完后再检查一遍，确保结果准确. 2. 特殊值法：适用于抽象函数、几何图形、不等式等题型，代入特殊值，简化计算，快速得出答案.例如，已知函数f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则f(-2)与f(1)的大小关系为（ ），可代入特殊值，令f(x)=x²，即可快速得出f(-2)>f(1)的结论. 3. 数形结合法：适用于函数图象、几何图形等题型，通过画图，直观呈现题干条件，快速得出答案.示例：已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（ ），画出函数图象，根据图象的最低点，即可得出最小值为3. 4. 转化法：将复杂的题干条件转化为简单的数学问题，如将几何问题转化为代数问题，将抽象函数问题转化为具体函数问题，简化计算过程，提高解题准确率.例如，求圆锥曲线的离心率，可将题干条件转化为a、b、c的关系式，再结合离心率公式e=c/a求解. （二）填空题得分策略 1. 规范书写：填空题的答案要规范，如分数要化为最简形式，根式要化为最简根式，三角函数值要写准确（如sin60°=√3/2，不可简写），集合、区间要规范表示，避免因书写不规范导致阅卷老师无法识别，从而错失应得分.很多宝子因为粗心大意，写对答案却丢分，比如漏写单位、写错符号、计算失误，真的太可惜了！ 2. 注意特殊情况：如填空题中，涉及“斜率不存在”“定义域限制”“空集”“等号成立条件”等特殊情况，要重点关注，避免漏解或错解.例如，求直线方程时，要考虑斜率不存在的情况，避免漏解；求函数定义域时，要注意对数真数大于0、分式分母不为0、偶次根式被开方数大于等于0等条件. 3. 控制时间：填空题建议用时15-20分钟，每道题平均用时4-5分钟，基础题用时控制在3分钟以内，压轴填空题用时不超过7分钟，做完后快速验算，确保答案准确.避免在一道填空题上死磕，浪费过多时间，影响后续解答题的答题节奏. 4. 难题应对：填空题共3道（12-14题），最后1道（14题）难度较大，多考查知识点的综合运用或创新题型，若无法快速求解，可先做好标记，优先完成解答题的基础问，待有剩余时间再回头攻克，避免因死磕难题浪费时间；若实在无法求解，可尝试写出相关公式、推导步骤，虽不能得满分，但部分阅卷标准可酌情给分，同时注意填空题可能出现的创新题型，贴合新高考“重思维、强综合”的导向. 三、解答题：分步得分，规范书写拿满分 解答题固定为5道（15-19题），分值占比最高（77分左右），侧重考查综合运用知识的能力，答题核心是“分步得分，规范书写，不跳步，不空白”，哪怕不会做，也能通过书写相关公式、定理争取步骤分，最大化提升得分率.解答题梯度明显，15-17题为基础中档题，18-19题为中档难题，兼顾基础考查与选拔功能，贴合新高考“核心素养+实际应用”的命题趋势，是拉开分数差距的关键模块. 解答题的特点是“题量少、分值高、难度梯度明显”，前3题为基础题（三角函数/数列、立体几何、概率统计），4-5题为中档题（解析几何、导数中档题），第6题（若有）为压轴题（导数压轴）.解答题的核心目标是“规范步骤，巧抓得分”，因为解答题有步骤分，即使无法得出最终答案，也能通过写出关键步骤拿到部分分数，切忌空白放弃. （一）解答题核心解题原则 1. 审题清晰：认真审题，圈画题干中的关键条件、隐含条件，明确题目要求（如“求解析式”“证明不等式”“求取值范围”），理清解题思路，确定解题步骤，避免因审题不清导致解题方向错误.可遵循“一审二慢三回看”的原则，题目至少读两遍，确保题意理解准确，不遗漏任何条件.数学答题，审题是第一步，也是最容易丢分的一步！很多宝子栽就栽在“看错题”上，明明会做，结果因为漏看一个条件、看错一个数字，直接白忙活一场，考完拍大腿都没用！ 2. 步骤规范：按照“审题—列式—计算—检验—结论”的步骤规范书写，每一步都要有依据（如“由正弦定理得”“由导数的几何意义得”），避免步骤跳跃，确保步骤完整，争取拿到步骤分.大题答题，步骤比答案更重要！不管是三角函数、数列，还是立体几何、导数，都要按照逻辑书写，每一步都要有依据，比如用到的公式、定理，要简单标注一下，让阅卷老师能清晰看到你的解题思路. 3. 计算准确：解答题的计算量较大，要细心计算，避免因计算失误导致后续步骤全部错误；计算过程中，可适当简化步骤，但关键计算过程不能省略.尤其是分式、根式、三角函数、数列等易出错的计算题型，计算完成后可简单验算一遍，确保结果正确.重点关注计算过程中的正负号、分母不为零、根号下非负等易错点，杜绝低级计算失误. 4. 先易后难：先做前3道基础题，确保拿到满分或接近满分；再做4-5道中档题，争取少丢分；最后做压轴题，重点抓步骤分，避免因畏难情绪放弃整道题.高考数学120分钟，时间紧、任务重，千万别跟难题“死磕到底”，不然就是捡了芝麻丢西瓜，纯纯浪费时间！咱的原则是：“先啃软骨头，再啃硬骨头”，先把能拿到的分稳稳攥在手里. （二）各题型解答技巧与得分要点 1. 基础解答题（15-16题，三角函数/数列、概率统计）：这类题目难度适中，是得分的核心，优先保证正确率，书写规范、步骤清晰，争取拿到满分；重点关注公式运用、计算准确，避免因低级失误丢分. （1）三角函数/数列题：三角函数题重点考查三角恒等变换、解三角形、三角函数图象与性质，答题时要写出“三角恒等变换过程、代入公式计算过程、最终结论”，确保步骤完整；注意角的范围、函数定义域等关键条件，避免漏解、错解.数列题重点考查等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式的应用，答题时要明确数列类型，写出公式应用过程，尤其是已知前n项和求通项时，务必验证n=1的情况，避免通项公式错误. （2）概率统计题：这类题目多结合工业、科技等真实情境，答题时要仔细审题，圈画关键数据，规范建立模型，确保计算无误，贴合新高考情境化命题特点.重点写出“基本事件计数、概率计算过程、分布列、期望/方差计算过程”，步骤完整、逻辑清晰；注意古典概型的等可能性、几何概型的测度选择，避免计算错误；区分“相关关系”与“因果关系”，避免解读错误. 2. 中档解答题（17题，立体几何、解析几何基础题）：侧重考查数形结合能力、空间想象能力和计算能力，答题时先画图，结合图形分析条件，分步推导，避免硬算，注重计算的准确性；若遇到复杂计算，可先简化步骤，确保关键步骤正确，争取拿到大部分步骤分. （1）立体几何题：可运用“空间直角坐标系”等核心工具，结合向量运算求解；重点写出“线面平行/垂直的判定过程、证明步骤、计算过程”，明确定理的条件和结论，避免步骤不完整丢分；注意空间几何体的表面积、体积公式的正确应用，避免公式混淆. （2）解析几何基础题：重点考查直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义与标准方程，答题时要熟练掌握直线与圆的方程形式、位置关系的判定方法，圆锥曲线的定义和几何性质；写出“直线与圆/圆锥曲线联立方程、韦达定理应用、计算过程”，注重计算的准确性，避免联立方程时出现错误. 3. 难题（18-19题，解析几何综合题、导数综合题、压轴创新题）：这类题目难度较大，可采用“分段得分”策略，优先完成第一问（基础问），确保拿到基础分；第二问、第三问若有思路，可逐步推导，若无思路，可书写相关公式、已知条件，尝试推导第一步，争取步骤分，不纠结、不内耗，避免影响整体答题节奏. （1）解析几何综合题：重点掌握“联立方程—韦达定理—弦长公式/中点坐标公式”的解题思路，答题时先联立直线与圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，运用韦达定理表示两根之和、两根之积，再结合题干条件求解；注意判别式Δ>0的应用，避免出现不存在的解；即使无法得出最终答案，也要写出联立方程、韦达定理应用等关键步骤，争取步骤分. （2）导数综合题：重点掌握“求导—判断单调性—求极值/最值—结合题意分析”的解题思路，答题时先写出求导过程，判断函数的单调性，求出极值、最值，再结合题干条件（如不等式恒成立、函数零点问题）进行分析；注意函数的定义域，避免忽略定义域导致错误；分类讨论时，要明确分类标准，确保逻辑清晰，步骤完整；避免因畏难情绪放弃整道题，哪怕只写出求导过程，也能拿到部分步骤分. （三）解答题规范书写提醒 1. 书写要工整、清晰，避免字迹潦草、涂改过多；步骤之间逻辑清晰，标注序号（如①②③），便于阅卷老师查看；避免使用不规范的符号、简写，确保阅卷老师能清晰地识别解题过程，最大化获得步骤分.同时，要注意“所答即所问”，避免答非所问，如题目要求求直线方程，不可只写斜率，确保答案与题干要求一致. 2. 公式、定理书写规范，避免简写、错写；如正弦定理要写成“a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R”，导数的运算公式要书写完整，避免因公式书写错误导致步骤分丢失. 3. 计算过程要清晰，避免跳步过多；尤其是复杂计算，要分步书写，中间验算过程可简要标注，确保阅卷老师能看清计算思路，即使最终结果错误，也能拿到部分计算步骤分. 4. 避免空白：遇到不会的大题，别空着，能写多少步骤就写多少，比如写已知条件、写用到的公式，哪怕只是列个式子，也能拿几分，积少成多，总分就上去了！高考阅卷是按步骤给分，空白题只能得0分，而写了步骤，哪怕不完整，也能获得相应的步骤分，这是提升得分率的关键. （四）解答题得分策略 1. 控制时间：解答题建议用时65-75分钟，前3道基础题用时控制在35-40分钟，每道题用时10-15分钟；4-5道中档题用时控制在25-30分钟，每道题用时12-15分钟；压轴题用时不超过15分钟，重点抓步骤分. 2. 避免步骤跳跃：解答题的步骤分占比很高，如立体几何题的证明步骤、导数题的求导过程、解析几何题的联立方程过程，都要完整书写，避免步骤跳跃，确保每一步都能拿到分数. 3. 学会取舍：对于压轴题，若无法在规定时间内得出最终答案，可先写出关键步骤，然后放弃，把时间留给前面的题目，避免因一道压轴题，导致前面的基础题、中档题没时间检查，出现丢分.记住：一道题超过5分钟还没思路，就赶紧放弃，别跟它较劲，不然后面简单题的分都没时间拿，太亏啦！ 一、先易后难，先熟后生 这是临场答题的核心原则，也是提升得分率的关键.优先完成基础题、中档题，再攻克难题；优先完成自己熟悉的题型，再尝试不熟悉的题型，避免$6学科网 2026 课 考点无遗漏·热点早预见 技巧稳掌握·预测明考向 心态全护航·考后细疏导 刊首语 以青春之名，赴梦想之约 致即将奔赴考场的你 亲爱的同学们： 当凤凰花开满枝头，当蝉鸣唤醒盛夏，你们将执笔为剑，在考场上书写青春 的答卷。这三年，你们见过彼此晨光熹微时的早读身影，听过自己深夜笔尖划 过纸页的沙响；既有过“直挂云帆济沧海”的意气风发，也曾因“路漫漫其修 远兮”而彷徨。但请记住，每一滴汗水都是成长的印记，每一次跌倒都是为腾 飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行 高考是人生的第一个重要渡口，它检验的不仅是知识，更是意志。那些挑灯 夜战的夜晚、反复演算的习题，终将凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果如 何，只要拥有梦想并为之奋斗，你们已是自己的英雄。请带着“舍我其谁”的 气魄踏入考场，因为“自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘 学习之路从无捷径，或许你们曾因一次失利而怀疑自已，但请明白：“只有 经历地狱般的磨炼，才能炼出创造天堂的力量。”就像梅花经苦寒而芬芳，宝 剑因磨砺而锋利。此刻，你们只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河 “静下来，铸我实力；拼上去，亮我风采”！ 以初心为灯，照亮未来 高考不是终，点，而是新篇章的起点。这个世界从不会辜负认真耕耘的人，在 你的笔下有一个色彩绚丽的世界，而未来定会还你另一幅灿烂图景。愿你们像 雄鹰搏击长空，如猛虎声震山谷，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成 就自我” 般殷的嘱托 亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是你们的信念，“不达目的誓不罢 休”是你们的誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时， 言笑亦晏晏”；更愿你们永远记得一这场考试的意义，在于让你们发 现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 希望学科网《最后一课》系列，能助你在高考的考场上擘画自己的明天！相 信你们终将“一举成名天下知”，让青春的光芒照亮未来的每一步！ 学科网总经理陈学艺 2026年4月20日于北京 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 目 录 妙招02解答题答题规范与技巧(P102) 01热点情境·命题解密 妙招03开放性试题解题技巧(P106) 热点01新定义试题：新概念、新运算、新性质(P5) 妙招05 答题模版(P111) 热点02新情境试题：数学文化、科技应用、生活 妙招06妙招实训50题(P114) 建模(P10) 04易错问题•避坑指南 热点03跨学科交汇试题(P15) 热点04函数与导数经典考法：抽象函数、零点、 避坑01数学概念易混易错(68条)(P149) 不等式问题(P20) 避坑02审题解题方法易错(72条)(P152) 热点05数列经典考法：等比（差）数列的证明、 数列求和(P28) 05 决胜高考·压轴预测 热点06三角经典问题：三角函数图象与性质、三 冲刺01选择题压轴预测50题(P155) 角形中的三线问题(P32) 冲刺02填空题压轴预测30题(P212) 热点07立体几何新考法：外接球、截面、动态问 冲刺03解答题压轴预测20题(P238) 题(P37) 冲刺042026年新高考数学终极押题卷(1)(P274) 热点08解析几何压轴题(P42) 冲刺052026年新高考数学终极押题卷(2)(P291) 热点09概率与统计创新考法(P49) 06全程备考，硬核攻略 02 高频考点•速查速记 考前指寻 速查01集合、逻辑、复数、平面向量(P56) 指导01冲刺复习备考指导(P308) 速查02函数与导数(P61) 指导02考前需做好的几件事(P320) 速查03三角函数与解三角形(P65)》 考中实战 速查04 数列(P68) 实战01考场规则及注意事项(P323) 速查05立体几何(P71) 实战02高考临场答题攻略(P325) 速查06直线与圆(P75) 实战03难题/卡壳题应急破局指南(P339) 速查07圆锥曲线(P78) 速查08统计(P82) 考后疏寻 速查09计数原理、概率(P85) 疏导01聚焦可控因素：志愿填报(P341) 疏导02启程·下一站人生(P347) 03 重难题型解题妙招 妙招01客观题审题与解题技巧(P91) 3/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要。数学备考之路从无捷径，唯有以有序破慌乱、以平和胜焦虑、 以科学强韧性，方能在考场上落笔从容、不负韶华。 一、时间管理：用有序节奏消解慌乱 1、划分时段，精准发力 将每日时间划分为复习、刷题、纠错、休息四大板块，固定时段做固定事，避免手忙脚乱。 2、立足基础，拒绝贪多 摒弃“难题怪题执念”，优先巩固高频考点、基础题型，每天预留30分钟回顾核心公式、解题模 板，确保基础题不丢分，中档题稳拿分。 3、劳逸结合，张弛有度 拒绝“熬时间”式努力，每学习1.5小时休息15分钟，保证充足睡眠，避免过度疲劳，让大脑保持 高效运转，用高效学习替代无效消耗。 二、情绪调节：用平和心态对抗焦虑 1、接纳情绪，不与焦虑对抗 不必因一次模拟考失利而自我否定，不必因知识点遗忘而焦虑崩溃，承认情绪的存在，及时疏导，把 焦虑转化为查漏补缺的动力。 2、即时解压，快速平复状态 烦躁时深呼吸3分钟、短暂远眺、轻揉肩颈，或写下烦心事清空大脑；避免过度刷手机、与人攀 比，减少外界千扰。 3、正向暗示，稳定心理节奏 不必过度纠结“高考考不好怎么办”，也不必攀比他人的复习进度，专注自己的节奏，做好每天的小 事，积少成多，每一步前行都有意义。 三、认知重塑：用科学认知增强韧性 1、正视差距，精准补漏 模拟考的意义不在于分数高低，而在于发现问题。正视自己的薄弱模块，针对性刷题、专项突破，把漏 洞逐个补齐，每解决一个问题，就向成功靠近一步。 2、相信积累，拒绝急功近利 数学学习没有一蹴而就的奇迹，每一次刷题、每一次纠错、每一次复盘，都是在积累力量。相信量变 终将引发质变，坚持下去，终会收获惊喜。 3、坚定信念，不负耕耘 高考是一场持久战，最后的冲刺，拼的不仅是知识，更是毅力与信念。相信自己的努力，不怀疑、不放 弃，以坚定的信念奔赴考场，用实力书写属于自己的挥煌！ 结语：稳住节奏、放平心态、相信自己，每一步踏实前行，都在靠近理想的终点！ 4/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 01 热点情境·命题解密 热点01新定义试题：新概念、新运算、新性质 【热点衔接】 2026年高考数学新定义题延续“反套路、重迁移”命题导向，是素养考查核心载体，必考且区分度 高。题型覆盖选择、填空、解答，压轴题常以数列、函数、解析几何为载体，融合新概念、新运算、新性 质三类考法。命题紧扣课标，锚定向量、函数、数列等主干知识，外裹创新定义，本质是“旧知识新包 装”。试题强化现场学习、阅读理解与逻辑推理能力，情境贴近科技、生活，设问开放探究，强调从特殊 到一般的思维迁移。备考需吃透定义本质，拆解新规则转化为常规问题，突破“看不懂、不会转”的难 点，适配高考“破套路、强思维”的考查趋势。 【热点词】 新定义、新概念、新运算、新性质 【命题角度】 1.新概念型：引入课本未有的概念（如“可分数列K列)，考查理解与迁移。 2.新运算型：定义新符号/法则（如(ab、a⊕b),按规则运算。 3新性质型：给出对象满足的新性质（如“和谐函数“等差比数列”)，推导论证。 【押题预测】 1.(25-26高三上江西南昌·月考)奔驰定理：己知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的 面积分别记为S4、SB、Sc,则S4·OA+S。·OB+Sc·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结 论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，己知O是△ABC 的内心，AB-8,且满足20A+308+4OC=0,设△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则二= R () B A B. 5 16 16 c月 D. 5/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D 【解析】由奔驰定理S4·OA+Sa·OB+Sc·OC=0. 结合已知20A+30B+40C=0,得Sa:S3:Sc=2:3:4. 因为O是内心（到各边距离为内切圆半径”）， 所以S4-58c，s4c，5e4B 2 2 因此边长BC:AC:AB=2:3:4. :AB=8,.BC=4,AC=6,半周长p=9, 由海伦公式，Sc=V9(9-8)(9-4)(9-6)=3W15, Sme-(AB+BC+AC)r=pr=9r,5 2 3 由余弦定理， COsC=BC2 +AC2-AB 1 2AC.BC 4'sinc=5 4 2R=4B=832 代入正弦定理： sinc 5 15.R-16 15 4 15 3 15√155 . R16 3×1616 5 故选：D 2.(2026贵州黔西南·二模)定义：对于空间一个平面a和该平面外两点P,2,若在平面内存在一点 R使得PR+QR取得最小值，则称R为P,2两点关于平面α的“最短距点”如图，己知正方体 ABCD-ABCD的棱长为2，AC与BD交于点O,点P为线段BB的中点，其中，点R是P,O两点关于 平面AB,CD的“最短距点”，则直线PR与OR所成角的余弦值为() D C R B D A B 3 A·8 B 3 D. 6W2 3 11 【答案】C 6/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】延长PB到P,使得PB,=PB=1,连接OP交平面AB,CD于R, 根据两点之间线段最短可知：此时R是P,O两点关于平面A,B,CD的“最短距点”， 连接RB,则RB/1OB, 故P照-】 P阳OB3,放B= 3 3 tan∠PRB,= PB-1- 因此 两V巨sin∠PRB 3 +3 cos∠P'RP=cos2∠PR8=1-2sim2∠PR8=1-2X9=-7 1111 因此cos∠ORP=-cos∠PRP= 11 故直线PR与OR所成角的余弦值为 D D R A B B 3.(25-26高三上·上海·月考)双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8'.如图，曲线 C(x2+y2)=a(x2-y2)是双纽线，关于曲线C,下列说法正确的是() A.a=8 B.C上存在点(，%)，使得√G+后>3 C.若直线y=c与C只有一个公共点，则k的取值范围为(-∞，-IUA,+o) D.C上的点的纵坐标的最大值为3 4 【答案】D 7/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】对于A,由图可知，点(3,0)在C上，则(32+02)=a(32-02),所以a=9,故A错误： 对于B,设曲线C上任一点P(x,y)(x≠0且y≠0)， 由(K+y=9-),可得0<+r-9)9,则+严≤3. x2+y2 即C上不存在点(0)，使得V+片>3，故B错误： 对于C,直线y=c与C均经过原点(0,0)，则直线y=c与C除原点外无其他公共点， 联立方程组 (x+y=x-）, 整理得x1+k2-9x2(1-)=0, y=ha 当1-2=0时，方程x4=0仅有一解x=0,满足题意， 当1-2≠0时，整理得x2x2(1+)-91-2)=0, 当x=0时，方程恒成立，因为恒有一解， 所以x2 91-k2) 1+无解，即当1-2<0时，方程无解。 综上，1-2≤0，解得k≥1或k≤-1，即k的取值范围为(-0，-1]U1,+0),故C错误： 对于D,方程(x2+y2)=9(x2-y2）可化为x4+(2y2-9)x2+y2(+9)=0, 令t=x,得t2+(2y2-9)t+y2(y2+9)=0, △=(2y2-9)-4y2(y2+9)=-9(8y2-9)20 由4+5=-(22-9)≥0 ，可得0≤少 8 4=y2(y2+9)≥0 ,故D正确： 4 4 易知等号成立，故C上的点的纵坐标的最大值为3 4 故选：D 4.（多选)(2026河南濮阳·二模)己知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：f(x+1)=2f(x)+[x)],其中 [x]表示不超过x的最大整数.当x∈(0，]时，f(x)=xhx,设数列{a}满足a=f(),数列{b}为f(x)从 小到大第个极小值点构成的数列，下列说法正确的是() A.数列{a,+n+1}为等比数列 B.h∈N,使得a>2-2 C.数列物，}的通项公式b,=n-1+ D.neN,都有f(b)<0 8/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】AC 【解析】因为定义在(0，+o)上的函数f(x)满足：f(x+1)=2f(x)+[x],且4.=f(), 所以a=2a.+川=2a.+n,所以aH+n+2=2(a.+n+1), 又4=f0)=1×h1=0,所以{a,+n+1}是以4+1+1=2为首项，2为公比的等比数列，故A正确： 所以a+n+1=2×2"=2”，所以an=2”-n-1, 若4>2-2，得2*-k-1>2-2,解得k<1,又k∈N,不存在k的值， 所以不存在k∈N,使得a4>2-2,故B错误： 当xe0时，由f=血，得/e)-nx+1,令f-0,解得x-君 当x0,时，f<0,f在0, 上单调递减， e 当xe时，f>0,在 上单调递增， 所以x=二是函数f田的第一个极小值点 若x∈(m,m+1D,∈N时，则x-m∈(O,1D, 则f(x-m+1)=2f(x-m)+[x-m； 所以f(x-m+2)=2f(x-m+1)+[x-m+1],… 所以f(x-m+m=2f(x-m+m-1)+[x-m+m-],即f(x)=2f(x-1)+[x-1] 递推得f(x)=2m(x-mn(x-m+2"-m-1, 求导得f'(x)=2m「n(x-m)+1], 令∫()=0，可得n(x-m+1=0,解得x-m=1,即x=m+, 1 e 当x∈m,m+时，f<0,f在m,m+上单调递减， e 当em时0,在+m 上单调递增， 1 所以f(x)的第m+1个极小值点为x=+二 所以b。=m-1+上，即b,=-1+1,故C正确： e 9/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以第n个极小值为/6)-21是。+21-n+1-1-21-启” ee 当m=1时极小值/)=-》42引0，数D错误 5. (2026辽宁辽阳二模)已知[y表示不超过x的最大整数，八)=x-分若f)在区间化到恰 有两个零点，则t的取值范围是 【答案】 【解折】令x-[,则me[).则/)=x-m 令f)=0,可得m-行故f()-x--的零点为反+(kez), k+<k+1+1 [k+1≤t<k+ 2 则有 2 2 1 k+2+于 <3f≤k+3+1”k∈2，即有1飞5 k,7’keZ, -+-<t≤ 十 2 3"6-36 时+后 由题意可得3>t,故1>0，且有k5 /3+在3·解得-1<k≤1， 2 又4e微：0成是1当=0时，1后：当1，有 7 6 综上可得： 热点02新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 【热点衔接】 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知 识的考查置于具体背景中，引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能 力。 2026年高考数学新情境试题将聚焦数学文化、科技应用、生活建模三大方向，凸显素养立意。数 学文化类，侧重古今中外数学成就融合，如《九章算术》算法、割圆术、斐波那契数列等，结合数列、 概率、几何知识考查，传递文化自信。科技应用类紧扣前沿热，点，以A虹算法、新能源、航天工程、大 数据分析为载体，考查函数建模、数列递推、概率统计，强化数学建模与数据分析能力。生活建模类贴 近现实，聚焦经济优化、环境治理、民生规划等，构建方程、不等式、函数模型，考查解决实际问题能 10/352 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 力。试题呈现“真实情境+核心知识”融合特点，解法更灵活，强调从情境抽象数学问题的能力，难度 梯度合理，区分思维层次。 【热点词】 九章算术、新质生产力、AR技术、智能制造、文化创新、高质量发展、中国智造 【命题角度】 1.以中华古代数学典籍、传统工艺、民俗历法为载体，融合数列、几何、概率等知识，渗透文化自信，侧 重从古文情境提炼数学模型，考查阅读理解与传统文化理解能力。 2.依托航天航空、人工智能、大数据、新能源等前沿科技背景，结合函数、统计、数列建模，考查数据处 理、逻辑推理与数学抽象应用能力。 3立足经济消费、民生规划、环境治理、工程优化等现实场景，以不等式、函数、概率统计为工具，考查 建立数学模型、解决实际生活问题的素养。 【押题预测】 1.2026四川乐山月考)在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是(0,0)的卫星 进行三次平移（单位：k):第一次沿向量？=(a,1)补偿平移；第二次沿向量2=（-1,4）修正平移；第三次 沿向量=(2,1)校准平移.若卫星最终精准到达坐标是(3,4)的同步轨道点，则实数α=() A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】因为点(0,0)沿=（α，1）平移后，坐标为(a,1), 点(a,1)沿=(-1，四)平移后，坐标为(a-1,a+1): 点(a-1,a+1)沿=(2,1)平移后坐标为(a+1,a+2), a+1=3 因为三次平移后坐标为(3,4)，故 a+2=4解得a=2. 2.(2026北京石景山·二模)人们通常以分贝（符号是dB)为单位来表示声音强度的等级，一般地，如 果座度为1的六音对应的等级为1B。则有L=101。·已知求品牌笔记本电脑工作时产生的唉音强度 的等级约为52B,如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的 等级约为() (参考数据：lg2≈0.301) A.49B B.46dB C.26dB D.13dB 【答案】A 11/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】设原来的噪音强度为I1,对应的等级Z=52B 改善后的躁音强度为马=，对应的等级为马 I 根据公式L=101 10,代入4得：52-101g, 102 计算，：乙2=10g 二1080-lg2=101g--101g2 102 将1080=52，g2=0301代入： L2≈52-10×0.301=52-3.01=48.99≈49 3.(多选)(2026浙江·三模)我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的 方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”我们取第 1 一个音“黄钟的弦长81，记为4，用三分损一“得到第二个音林钟的弦长81×1 记为a2,再用“三 分益一“得到第三个音“太簇”的弦长54×1+3 记为4，…，按此规律依次交替损益就能得到十二律吕” 的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为{a}(∈N).则下列说法正确的是() A.4=64 B.2a1=34 C.ヨk∈N,，使得4k-1+a2k+3=2a2k D.k∈N,都有a-4a2k3=(akH 【答案】ABD 442 8 可知数列a}是首项为4=81，公比为的等比数列，则a=31(8”, 9 keN', 所以4=81× 8)2 =64,故A正确： 3 2 因为4=4s,则4=4，即2%=34，故B正确： 因为a+4+3-201=马k1+ 8)1 即凸k-1+ak+3≠2akH,所以不存在k∈N,使得4k-1+ak3=2akH,故C错误： 12/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由等比数列性质可知ak-a3=(a2kH),即VkeN,都有akak3=(akH),故D正确 4.（多选)(2026浙江金华·二模)第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳 门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合.会徽轮廓如下图1，现 将其简化为图2：半径均为1的圆O,O2,O3互相过圆心，A,B为圆O上两点，且OA⊥OB,点C在 圆O2与圆O3上运动.若OC=OA+uOB(1,u∈R),则下列选项可能成立的是() (图1) (图2) A.2=-2 B.l=3 C.1-2=-4 D.2+22=5 【答案】ACD 【解析】由题意知O4-1,QB-1,QC∈[0,2]，Q40B=0, 因为OC=QA+uQB, 所以OC=(0A+0B-2+n2,故2+t∈[0,4] 对于A,当2=-2时，则u=0,此时，OC=-2OA, 所以当O,A,O2,C四点共线或O,A,O,C四点共线时成立(O,C不重合)，故A正确： 对于B,因4≥入2+≥27，故2u≤4，即u≤2，故B错误： 对于C,当2-2=4时，将1=4+2代入2+2≤4得52-16+12≤0， 解得≤业≤2满足+e[04,故C正确： 对于D,当22+22=5时，22=5-22，代入2+m≤4得u2≥1， 即1≤心2≤满足2+r2∈[0,4]，故D正确 5.(2026黑龙江哈尔滨·二模)2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI (GenerativeAI)向“决策式AI”(Decision-makingAI)的全面跨越.行业焦点已从AI能说会道'的创造能 力，转向其“能落地干活'的自主决策与执行能力，某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检 13/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 测.工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分 (满分100分)，按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，绘制成（如下 图)频率分布直方图： 频率组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率.与此同时进行 AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为 30 9 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为， 10 (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）： (2)该企业将AI智能质量检测投入使用. ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被A虹判定为不合格的概率： ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为 X,求X的分布列： (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂：若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别 是否合格.己知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元：每个 元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算， 元件成本忽略不计)·若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望， 【解析】(1)平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.25+85×0.15+95×0.15=71.5分. (2)设事件A:元件实际合格，事件B:元件被AI判定为不合格， 由腿应得：P(子PA子PA0=0,Pa-0 10 @曲全橘率公式叫创=P小+P8刘-动品-号 ②由题意，X~B3) 计算概率得： 14/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(x-0-C ax)- P(X=2)=〔 j目-品x-ca 分布列为： 0 1 2 3 27 27 9 1 64 64 64 64 (3)设每件元件收益为Y,分四种情况计算期望： 实际合格，A1判合格：了=100，概奉B=4×3040 32929 实际合格，A1判不合格：了-100-10=90，概率B=43040 311 实标不合格，A1判合格：了20，概率月=品0 实际不合格，A1判不合格：Y=-10,概率B=×9-9 41040 期望B()=10×29+90x+(-20)×+(-10x 40 40 40 9=67.5元 4 热点03跨学科交汇题：数学+化学物理/生物/历史 【热点衔接】 2026年高考数学将持续强化跨学科命题趋势，数学与物理、化学、生物、历史多领域深度交汇，成为 高考命题重要热点。此类试题以真实学科情境为载体，将函数、数列、概率统计、立体几何、拟合建模等 数学知识，融入物理运动规律、化学定量计算、生物种群变化、历史人口统计与史料数据分析等场景。 命题摒弃纯理论刷题套路，侧重考查从跨学科情境中提取数学信息、建立数学模型、运用数学工具解 决实际问题的核心素养。题型多分布在多选题、填空题与解答题，贴近新高考素养立意。 试题注重情境真实化、应用生活化，强调学科知识融合迁移，弱化机械公式套用。备考需学会剥离学 科背景，提炼数量关系与模型结构，熟练掌握建模、运算、数据分析能力，适配新高考跨学科融合的命题 风向。 【热点词】 光学性质、跨学科、生物、历史、物理、化学 15/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【命题角度】 1.数学与物理：结合运动规律、电路、力学模型，考查函数、三角函数、向量与最值求解。 2数学与化学：依托反应配比、平衡浓度、晶体结构，考查数列、比例运算、立体几何。 3数学与生物：围绕种群增长、遗传概率、细胞繁殖，考查指数函数、统计概率、数列建模。 4数学与历史：结合人口变迁、史料数据、历法纪年，考查统计分析、数列推算、线性拟合。 【押题预测】 1.(2026广西南宁·二模)抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反 射光线.这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用.其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛 物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称 轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若抛物线C:y=2Px(p>0)的焦点为F,从F发出的光 线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点A 且∠AGF-120°，则△AGF的面积为() A.5 B.5 C. 3W5 D.9V5 2 2 4 【答案】B 【解析】对于抛物线C:少=2，可得焦点为P号0，准线方程为x=-号 根据抛物线的光学性质，可得GA/x轴，所以=yA=√5， 图%=V3代入抛物线y=2然，可得，，即G 3 因为∠41G讯=1209，∠Gx=60°，可得ar3 -=√5 3 P 2p2 整理得p2+2p-3=0,即(p-1)(p+3)=0,解得p=1或p=-3(舍去)，所以p=1, t时a3同435.4-；2 所以a4GF的面积为Sm分2x5-5 16/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(多选)(2026湖南·模拟预测)已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射 后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点，其几何事实为：若双曲线的两个焦点为E,E2,P为双曲线 上任意一点，则P处的切线平分∠BP必，已知椭圆A:怎+=1（α>b>0)的左、右焦点分别为R,R 双曲线B:上 :云尔=1的左、右焦点分别为，及，过5作直线与双曲线B相切于点M,与椭圆相交于点 N,且点M,N均位于第一象限，若M=耳，则下列说法正确的是() A,直线1的斜率为定值1 B.椭圆A的离心率为， 2 C.双曲线8的离心率为1+V2 MN D NE 为定值√4+2W2 2 【答案】ABD 【解析】设椭圆A的半焦距为C1,离心率为e,双曲线B的半焦距为C2,离心率为e2, 设直线I为x=y+G(m>0), 粒r三w+G与5-若三1，得0m-ay2+2mcby+b2(c3-a2)月0 由△=0得=1，又点M,N均位于第一象限，所以m>0, 所以直线1的斜率为定值1，切点M a b2 故A正确： 如下图所示： F a 由双曲线光学性质知，直线1为∠M巴4的平分线，由角平分线定理知 引Ma4 E 设 g=元，则M到=2G+G.M=2(c-G E 从而M-M=2n,2a=2iG,椭圆A的离心率为e=2a元' 2c1_1 17/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由选项A知△MRR-圣又M-RR到，所以∠R迟 81 1Esin∠EME 在△M乃中，由正弦定理知元K☑ sin g sin∠gF,M 3兀 sin 4 所以椭圆A的离心率为 √2 B正确： 因为e2=1- b2 C1士·，所以含+写2，双曲线的离心率为 2 故C错误： 法一：设MN=N厘(>0)，又点M a b ,E(G1,0), C1 C1 a -+C a C1 C +c1 b2)2 由定比分点坐标公式知N 1+元'1+元 代入椭圆A的方程，得G 1 a2(1+)2 b2(1+ 化简得= 2 W NE A-5-4+2W5,故D正确 e a b 法二：切点M 在椭圆的右准线上，过点M作x轴的垂线，交x轴于点K,过点N作准线M区的 垂线交准线于点H, 由猫圆第定义知四Eg啊，又=2pa,放深4+2W2,故D正确，一 3.(25-26高三下·上海·月考)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断 地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长 符合模型：N(t)=N,e,其中N为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体数量.当 t=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N(4)=150,则N(10)= 【答案】600 【解析】因为当t=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则2N=Ne3”, 即e3r=2,又因N(4)=N,e"=150, 所以N10)=N,e0r=N,e.(e3)=150×22=600 18/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高三上·黑龙江·月考)碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定 的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半 所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为4，则此 生物的死亡时间t(t≥0，单位：年)和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是M= 【答案】 5730 2 (t≥0) 【解析】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为P, 那么死亡1年后生物体内碳14含量为M(1-p), 死亡2年后生物体内碳14含量为M1-p)2, 死亡5730年后生物体内碳14含量为M,1-p)50 (t≥0) 5.(2026湖南长沙联考)空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利 用率=晶胞含有原子的体积 晶胞体积 如图1是六方最密堆积晶胞的示意图 以上下层球心为顶点得平行六面体ABCD-EFGH,如图2，其中O是中间层球的球心，己知该示意图中 原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为 (用含π的式子表示)· H h B60° =2r 图1 图2 【答案】2x/ 6 6 【解析】 19/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 B M 图3 由图2知O-ABC,O-EFG为正四面体（如图3）. 设BC=2r,BF=h,如图4，在正四面体O-ABC中，作ON⊥平面ABC于N, 连BW,则N为等边三角形ABC的中心， BN=3x5×2n=2Bm 32 3 在Rt△BON中，OB=2r,.ON=VOB2-BN= 4r2 23 2v6r 3 3 ∴.BF=h=2ON= 4Gr 3 VaB=AB.BCsin6oB=(2rx -X- 23 --- B M 图4 “该晶胞的空间利用率_2平赶。 43 2× 3 V跑8V236 热点04函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 【热点衔接】 2026年高考数学函数与导数延续经典考法，仍是压轴核心模块，聚焦抽象函数、零点、不等式三大高 频考点，凸显素养立意。抽象函数侧重考查奇偶性、单调性、周期性，多结合赋值法求解解析式、判断性 质，题型以选择、填空为主。函数零点侧重与图像结合，考查零点个数判断、零点范围求解，常与分段画 数、导数单调性融合。不等式问题核心是导数应用，考查不等式证明、恒成立与能成立问题，结合参数范 20/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 围求解，多为解答题压轴。命题紧扣主干，规避偏难偏怪，强调逻辑推理与运算求解能力，备考需夯实基 础，掌握图像分析法、构造函数法，突破核心题型，适配高考命题的稳定性与综合性。 【热点词】 抽象函数、零点、方程的实根、恒成立、有解、证明不等式、导数的应用 【命题角度】 1.抽象函数：侧重考查奇偶性、单调性、周期性，常通过赋值法求解解析式、判断性质， 2.函数零点：侧重结合图像，考查零点个数、范围，融合分段函数与导数单调性：极值点偏移问题等 3.导数与不等式：依托导数，考查证明、恒成立与能成立问题及参数范围求解。。 【押题预测】 1.(多选)(2026广东江门·二模)若函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,且x,y∈R, f(x2-2)=f(x)-f(y),则() A.f(0)=0 B.VaER,af(a)=a+f(a2-1) C.y=f(x)-[f(x)]为奇函数 D.当y≤0时，f(x+y)=f(x)+f(y) 【答案】ACD 【解析】对于A,令x=y=0,得f(O)=0,A正确.对于B,令x=a,y=1,得 f(a2-1)=af(a)-f(1),因为f(1)=2,所以(a=f(a-1+2,令a=2,得2f(2)=2+f(22-1), 即存在a∈R使得af(a)=a+f(a2-1),B错误. 对于C,令y=0,得f(x2)=f(x),用-x替换x可得f(x)）=-f(-x),所以f(x)=-xf(-x), 当x≠0时，f(x)=-f(-x),又因为f(0)=0,所以f(x)为奇函数，设g(x)=y=f(x)-「f(x), 则g(-x)=f(x)-[f(-x)]=-f(:)+[f(x)订=-g(x),所以y=f(x)-[f(x为奇函数，C正确. 对于D,因为f(x2-y2)=f(x)-f(y), 由选项C知f(x)=f(x2),同理f(心y)=f(y2),又f(x)为奇函数， 所以f(x-2)=f(2)-f(y2)=f(x2)+f(-y2),用x替换x2,y替换-y2可得 f(x+y)=f(x)+f(y)(x≥0，y≤0)，同理可得f(x+y)=f(x)+f(y)(x≤0y≥0)， 故当y≤0时，f(x+y)=f(x)+f(y),D正确. 21/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(多选)(2026河北张家口·二模)已知函数f(x)= 2 ,则() 2 A.f(π)=0 B.函数f(x)的值域为[0,9] C.方程f(x)=3有且仅有3个根x,x2,3,且x+x2+为3=5π D.方程[f(x)订-af(x)+1=0的根的个数可能是0,5,6,7,8,9,10 【答案】BCD 【解折】当x≤经时，子-≤子f-用=s(-列=-c,所以儿)）=-3cs: 2 当 时，子-经j0c-动-=3cax动-30e,所以-9o: <x≤ 2 则函数f(x)的图象如下： 9 y=fx) 号0芳元3虹2m5红大 2 对于A选项，f(π)=3f(0)=3,所以A选项不正确： 对于B选项，由图可知函数∫(x)的值域为[0,9]，所以B选项正确： 对于C选项，当f(x)=3时，不妨设<x2<3,则x=兀，为+书=4兀， 所以+x2+x3=5π，所以C选项正确： 对于D选项，令f(x)=t∈[0,9]，则t-at+1=0,△=a2-4: 当a<-2时，△>0，方程t2-t+1=0有两个不相等的负根，原方程没有根， 当a=-2时，方程t2-at+1=0的根为t=-1,原方程没有根， 当-2<a<2时，△<0，知原方程无解： 当a=2时，易得t=1,由图可知原方程有5个不等的根； 22/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当a>2时，方程t2-t+1=0有两个不同实根5，，不妨设4<， 若2<a9.函数g回-12-a+1满足g0)-1>0,g0-2-a<0,g3)-9-a+1>0, 则0<5<1k名53，曲图可知原方程有10个不等的根，若a-9无6=3，原方程有9个不等的 1 根， 若10<a<2时，函数g)=-m+1满足g(0)=1>0,g)=2-a<0, 3 9 g(3)=9-3a+1<0,g(9)=82-9a>0,0<<1,3<t<9,原方程有8个不等的根， 1 爱a三8？，4号。59，原方程有7个不等的根 当a> 时，函数g0=f-t+1满足80)=1>0，g0)=2-a<0,89)=81-9a士 则0<<1，t>9,由图可知，此时原方程有6个不等的根，所以D选项正确. 3.(多选)(25-26高三上山东·开学考试)已知函数f(x)=ae“-nx(a>0)有两个零点，设其由小到大分 别为x,x2,则() A,实数a的取值范围是0，} B.(x-e)(x2-e)<0 e c.f)>a日 D.x1+x3>2e 【答案】ABD 【解析】f(x)定义域为(0，+o),f(x)有两个零点，可化为ae“=xnx有两个解， 又由于a>0,所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得x>1, 设g(x)=xe,则g'(x)=(x+1)e,g(x)在(-1，+o)单调递增， 原方程可化为g(ax)=g(hx),由于ax>0,nx>0,都在g(x)的单调增区间里， 所以m=h,即a=坚设e)-1,到=1， 则xe(l,e)时，h(x)>0,h(x)单调递增， ∈(e+)时，四<0，c)单调递减，且hc)恒大于0，极大值（⊙）君 可画出h(x)如图所示，则要使a=血'有两个解，即y=a与h(y)图像有两个交点， 23/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 h(x)= Inx y=a 1 由图像可得a的范围是0， 故A选项正确： e 同样由图象可得1<￥<e<x3,所以(x-e)(:-e)<0,故B选项正确： f(x)=de-上，了)=aen-,结合fs)=ae4-h5=0,可得f)=x- 设F(x)=anr-1,由于a>0,则F(x)单调递增，所以F(5)<F(e)=a-1,故C错误： 1 e 1+n 由于a=n5-n-n-三，所以+5-飞+)0n) x2x2-x1 a(x2-x） 2-1 设t=2,则t>1,出+名= >0, X 背a0-m.tmn-高 H(t)在(1，+∞)单调递增，H(t)>H(1)=0,所以 +>2,又由于0<a<。a2c, 11 (t-1) 所以+x3>2e,故D正确：故选：ABD. 4.(2026河南周口·模拟预测)已知函数f(x)=lh(x+1)-x,函数g(x)=six+ax2-x,aeR (1)讨论函数f(x)的单调性并求最值： (2)若对x>0,8(x)>0恒成立，求实数a的取值范围； (3)已知neN,证明：n2-5 「on<m+a1 ++sin1<n4. n+1 n+2 4n 【解折】1)由影意可得/国的定义城为(+)，了)骨 当x∈（-1,0)，f'(x)>0,f(x)单调递增，当x∈(0，+o),f'(x)<0,f(x)单调递减 ∫(x)在区间(-1,0)上单调递增，在区间(0，+o)上单调递减 f(x)有最大值f(0)=0,无最小值 24/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)由题意，g(x)=sinx+ax-x>0对x>0恒成立，且g(0)=0. ∴g'(x)=cosx+3ar2-1,且g'(0)=0. 令h(x)=cosr+3ar2-1,则H(x)=-sinx+6ax,且h(0)=0 令I(x)=-sinx+6ax,则I'(x)=-cosx+6a,且I'(0)=6a-1. ①当6a-1≥0，即a≥。时，有I'(x)=-c0sx+6a≥0，H()在(0，+0)上单调递增， ∴l()>H(0)=0∴g(x)在(0，+o)上单调递增，∴g(x)>g'(0)=0. ∴g(x)在(0，+o）上单调递增，∴g(x)>g(0)=0成立. ®当0a名时.r6ar0-6a1k0,且x(0 2 ,I'(x)=-cosx+6a单调递增， 6 有I'()=0∴.当x∈(0，)时，I'(x)<0,(x)单调递减，.(x)<(0)=0 ∴g(x)在(0，)上单调递减，g(x)<g(0)=0,g(x)单调递减， ∴g(x)<g(0)=0,与题干矛盾，舍去 国当a≤0时.7月-6a≤0当x（0写r()0加()单调递减，则(<(0)=0， ∴g(x)单调递减，g(x)<g'(0)=0,g(x)单调递减，g(x)<g(0)=0,舍去 综上，实数a的取值范围为 (3)由(4)可知n(x+)≤x,x≤x-lln上s-1,即c2I-是 n+n+7'血(n+1)-lm≥ 令x=+,neN,则h"+≥l-”=1, n n+1 11 1 又.x>0,sinx<x,即sin n+1 n+lsin n+1 <n(n+l)-lwn. 则sin1。<n(0n+2）-h(0+1), n+2 “… sin- <n(4m)-n(4n-1), 4n sin-1 1 2十2++si西m(4抛)-n(四=n4,右式得证 下证左式由@可知血x君0，令则血 11 1 n+1n+16n+1)3 25/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由()可知t>lnl+),令t=1 ,则>以、 n+1 1)=ln0n+2)-h0+D n+ 0m+1270+1 证明如下： 1 2n(n+1)(n+1 2n+1 1 (2n+1)(n+1)-2n23n+1 2n2(n+1)2(n+1)月 2n2(n+1) 2n2(n+1) 3n+1>0,2n2(n+1)3>0, .111 1 2n(0n+1(n+1 >0,即证 1111 6n+112nm+1 111 综上可得sin n+1n+16n+1 s-nte 血点>e+h-最a] 如hu小ha+小+nat] 如名ha四a高] 4n 2.sinI+sin n+1 +m品am+-ha=小-方是] n+2 4n =hn4+15 n+164n>n2-5 64n2· 所以上式得证 5.(2026湖北二模)函数f(x)=e-xhx+x2-(a∈R) ()当a-e+1时，求函数了)在2切的单调取间： (2)若存在x∈(0，+∞)，使得∫(x)≤0成立，求a的取值范围； 26/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,1 (3)若函数∫(x)有两个零点x、2,且2x≤x,求二+上的取值范围. X X2 【解析】(1)解：当a=e+l时，f(x)=e-xnr+x2-(e+1)x,可得f'(x)=e-lnr+2x-e-2, 令m(=f'(四=e-lmr+2x-e-2,可得m()=e-1+2, 因为e和}在行为单调莲增函数，可得(y在行+ 1 单调递增， 所以m)>m孕-E>0,所以了()在行+单调递增， 又因为f'(1)=e+2-e-2=0,所以当x∈ 3时，f<0,xe+时，f(0 所以函数∫(x)的单调递减区间是 单调递增区间是(1，+∞) (2)解：由不等式f(x)≤0，可得e-nx+x2-ar≤0， 即a≥g+x-lx=g+ne-inr=g+lng, 因为存在x∈(0，+o),使得f(x)s0成立，即a≥e+n在x∈(0，+o）上有解， 令f=。,则a≥t+h有解，构造函数)=g,则t(x)-e区-)。 当0<x<1时，t'(x)<0;当x>1时，t'(x)>0, 所以t(x)在(0,1)递减，在(L,+o)递增，所以t(x)n=t(I)=e,即t之e, 又因为函数y=t+lnt在(0，+o)单调递增，所以当t=e时，可得yim=e+ne=e+1,即a≥e+l, 所以实数a的取值范围为[e+1,+o). (3)解：函数f(x)有两个零点x,x2,即f(x)=e-xnx+x2-ax=0有两个不同的解， 即a-c-hx+-e-r+x-e+ng有两个不同的解， 北 令t=e, ,且y=t+ht为单调递增函数，可得t>e, 当1>e时，t=e的两个解为，，即红=c, -9则学c,即5青=h5， 令经2，则2，且-=-=-以，所以=长- 所以1+1-2-(2+山(2-) Aln1 Alnd 27/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 物童e品2小可剂g 2xr21nr-(x2-1)(1+lnx)(（x2+1hnx-(x2-1） （xhx)i (xlnx) 令h(x)=（x2+1)1x-（x2-1)(x≥2)，则 =2nv+-2x=2r+x(2-之x(02-小-片0， 12 1 所以h(x)在[2，+o)单调递增，则h(x)≥h(2)=5hn2-3=lh32-3>0, 所以g()>0恒成立，所以g(四在[2+)单调递增，可得g)。=g(②)-二-，3 2h22h2 又因为1→+切时，+→+w,所以上+士e 1,1「3 X1X2 2m2+∞ 热点05数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 【热点衔接】 2026年高考数学数列模块将延续经典考法，聚焦等差（比）数列证明、数列求和两大核心，是基础必 考点且常与其他模块融合，难度适中、区分度合理。等差（比）数列证明侧重定义法、通项公式法，常结 合递推关系变形，考查逻辑推理能力，多作为解答题第一问。数列求和以裂项相消法、错位相减法为核 心，兼顾分组求和法，适配等差、等比数列及混合型数列，考查运算求解能力。命题紧扣课标，贴合主干 知识，偶尔结合新定义、跨学科情境，规避偏难偏怪。备考需夯实定义与公式基础，熟练掌握证明技巧和 求和方法，突破递推式变形、求和运算易错点，适配高考数列命题的稳定性与综合性。 【热点词】 等差数列、等比数列、周期数列、裂项、错位相减法、并项、分组求和 【命题角度】 1.等差数列：侧重定义证明、通项与前n项和求解，结合递推关系变形，多为基础中档题。 2.等比数列：聚焦定义与通项公式应用，考查运算能力，常与等差数列综合考查。 3.数列求和：核心考查裂项相消、错位相减，兼顾分组求和，适配混合型数列。 【押题预测】 1.(2026河北二模)己知数列{a}的前n项和为Sm,且满足S,=2a-2. (1)求数列{a}的通项公式： (2)在a.与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差记为dn,设cn=n(n+1)dn,求数列{cn}的 前n项和. 28/352 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】(1)：Sn=2an-2,.当n=1时，S=2g1-2=4,解得4=2. 又当n≥2时，Sn-1=24-1-2, .an=Sn-Sn-1=(2a-2)-(2an1-2)=2an-2a-1,.4=2a-1, “数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列.∴an=ag1=2×2=2” 2” (2)an=2”,anH=2mH，由题意知a+-a,=(n+2-1)dn,dn= n+1 .cn =n(n+1)dn...cn nx 2", 设数列{Cn}的前n项和为I,Tn=G1+C3++Cm-1+Cu, Tn=1×2+2×22++(n-1)x2m+x2”, 则2Tn=1×22+2×2++(n-1)×2n+nx2w, 两式相减得：-Tn=2+22+2+…+2”-n×21, 即-7=2-2 -n×2m+1=2m+1-2-n×2m1=(1-n)×2+H-2,.Tn=(n-1)x2H+2. 1-2 2.(2026辽宁铁岭模拟预测)记8为等比数列{a}的前n项和，已知a,a+2=(S+2)°. (1)求{an}的公比： m-2n-1 (2)求 的前n项和Tn. 【解析】(1)由等比数列性质得a,an+2=a=(Sn+2), 整理得(Sn+a+1+2)(Sn-aH+2)=0,若S,n+A+1+2=SH+2=0,所以S+2+2=0, 两式相减，则42=0，这与{a}为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去。 所以S=a1-2,SH=a-2,两式相减得9：=2，故{a,}的公比g=8±型=2. 41 (2)由Sm=aH-2,令n=1则a=4-2→4=2.此时an=ag"=2”, -2-1.2-212x2n-n+=2x m(n+1)2 2” 2” 2+1 2” 29/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026广西南宁·模拟预测)己知数列{an}的前n项和为Sn,4=1S.=n2,数列{b}满足 b=1,b,H=2bn+1. (1)求数列{an},bn}的通项公式： (2)若数列{cn}满足cn= 6,为偶数·求数列c,的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 「a,n为奇数 【解析】(1)当n≥2时，a=Sn-S-1=m-(（n-1)=2n-1, 当n=1时，4=1=2×1-1，满足上式，所以a.=21-1; 由bm1=2bn+1得b++1=2(亿n+1),所以bn+1}是以b+1=2为首项，2为公比的等比数列， 所以6.+1=2×2”=2”，所以bn=2”-1 (2)T0=G+C3+…+C0=(4+4++a4g)+(b+b4+…+b0) =(2×1-1+2×3-1+…+2×19-1)+(22-1+24-1+…+220-1） =20+3++19)+(4+4+449）-20=2x1+1910+44- 2-20=200+4-420= 41+536 2 4-1 33 3 4. （2026浙江：三模)已知数列a}满足4=2,44=24-1 (1)证明：数列 1 a,-1 是等差数列 (2)若数列b}满足bn=na-10,求数列b}的前n项和Sn 11 1141 【解折】1)由题意：aa1a2a士1aa-1a1, 是以1 1 所以数列 =1为首项，公差为1的等差数列， 4-1 -1 (2)由(1)知： 1=1+(0-1)1=n,所以a,=1+2,所以6.=a-10=n-9, a.-1 9-n,1≤n≤9 b=n-9= n-9,n≥10’ 记数列.}的前n项和为8，当n≤9时，又=n17-四 2 30/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当n≥10时，8 9×8(n-9)n-8)-n2-17n+144」 2 2 17n-0,1≤n≤9 2 综上所述：Sn= n2-17n+144 n≥10 2 5.(2026贵州贵阳·模拟预测)设等比数列{a}的前n项和为Sa,首项为4，公比为q. (I)请推导前n项和公式S; (2)是否存在常数c,使得{S,+C是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)当q=1时，a=4,此时Sn=4 当q≠1时，Sn=4+4+4+…+a,即Sn=a1+a9+a92+…+a9".① 用公比q乘①的两边，得qSn=a9+ag2++ag"+a9.② ①-②，得8g袋=a1-),即0-g0x=41-g),所以3-1-4） 1-9 na,9=1 综上，S=41-q 1-q9 ,9≠1 (2)当q=1时，S.=a.显然不存在常数c,使得{S,n+c}是等比数列. 当921时：及-40-g各4g 1-q1-91-q e品，g品则8-c9,所以8+e=时 因为Stc=cg ⑧+cc矿=g,所以{5.+c以是等比数列 综上，当q=1时，不存在常数C. 当g1时，存在布数c=g产使得仅.+心是等比致列 31/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点06三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 【热点衔接】 2026年高考数学三角函数模块，聚焦图象与性质、解三角形两大核心。图象与性质侧重考查单调性、 奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主。解三角形重点考查利用正、余弦定理解三角形，考 查中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，凸显逻辑与运算能力。命题贴合课标， 难度适中，多结合基础情境，规避偏难偏怪，备考需夯实公式应用，突破线段与角度转化难点，适配高考 命题趋势。 【热点词】 三角函数图象、三角函数的性质、解三角形、正弦定理、余弦定理、中线、高线、角平分线 【命题角度】 1.三角函数的图象与性质：侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主，难度 适中，注重基础公式与性质的灵活应用。 2.三角形中的三线问题：聚焦中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，考查线段与 角度转化，凸显逻辑推理与运算能力 【押题预测】 1.(多选)(2026-山西二模)函数f(,)=Asim(aox+p)o>0,网< 的图象如图所示，则下列说法正确的 是() 2 A.函数f(x)的最小正周期为π B.f(y与直线y=25x-8有三个公共点 9兀 C.f()取得最小值时，=加-爱ke乙) D.将y=f(x)的图象向左平移”个单位长度，所得图象关于y轴对称 【答案】AC 【解析】由图象得： 93弧-T,解得T=元，故A正确： 884 由T=,®>0，得@=2，又A=反，将点（签万代入创中得： 32/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 im2x证+-1,即+p=5+2k,keZ,解得p=-2a,keZ. 8 4 2 西数f)=5m2x-牙 y=x与y=sinx只有一个公共点， .y=√2x与y=√2simx只有一个公共点， ∴y=√2(2x)与y=√2sm2x只有一个公共点， y-2x)与6m贺】m2x25m2x到只有个公共应 (答0小故B错误： 令s2x =-1,即2x-=-匹+2m,kez, 42 解得x=a冬ke乙，故C正确 将y)的图家向贴半移个单位长度，程8)-ml+升-m2x+》引 4 g(0)=2sim买1≠±反，图象不关于y轴对称，故D错误 2.(多选)(2026福建二模)已知函数f(x)=tan(aox+p)o>0,g< 的部分图象如图所示，点 405、8詹0在f()的图象上.下列说法正确的是() A.f(y)的最小正周期是 B.f(x)在区间 6'2 单调递增 C.f(x)的一个对称中心是 D.f(x)的图象可以由g(y)=tan2x的图象向左平移”个单位长度得到 3 【答案】AD 33/352 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】对于A选项，由题盒可得/0=m甲=一5，又因为以<号所以0-子 所以-mo》 又因为6 -0,所以0吾k(Z,解得m=6+2e, 由图可知南数了)的最小正周期满足子名0，即T胥即合 03 故0=6k+2(Q3),因为k∈Z,故k-0,®=2，所以函数f)的最小正周期为T-分A对 对于B选项，由A迹项可知f(四=tam2x-) 当<时02x-故通数在区同引 上不单调，B错： 6 33 对于c选项，因为)m2兮引团写6，放（管不是通数）的-个刻称中心，c猫： 对于D港现，因为)m2:智到m2x+号小m(2x+)m[x+别 所以f(✉的图象可以由g(,=tm2x的图象向左平移号个单位长度得到，D对， 3.（2026江西·三模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosB-二b=c 2 (1)求角A的大小： (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为2，求△ABC面积的最大值 sinB=sinc, 1 【解析】(1)因为o-b=c,由正弦定理得s4cosB- 1 sinAcosB--sinB=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB, y 即-sinB=cos4sinB, 2 )in.o.) 3 (2)因为D是BC中点，所以4D-=历+AC) 两边平方得4D-4西+4©-丽+4C+2丽AC到 所以4=(c2+b2+2bcco4),即b+c2-bc=16,又由均值不等式得b2+2-bx≥2bc-bc=bc, 所以bc≤16，当且仅当b=c=4时等号成立， 34/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 以bsinA行16名4B,即△BC面积的最大值 2 4.(2026重庆·模拟预测)已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 1-cos2 A-cos2 B+cos C=sin Asin B. (1)求C: (2)若C的角平分线与AB交于点D,且CD=1,求4a+b的最小值. 【解析】(1)1-cos2A-cos2B+cos2C=sinA+sin2B-sin2C=sin Asin B: 根据正弦定理化简得：d+-c2=b,再由余弦定理cosC=+-c2 2ab 2b2,因为0<C<,所以c=平 代入上式得：cosC=b=1 3 (2)因为C的角平分线与AB交于点D, 所以∠ACD=∠BCD=匹，因为S4D+SBm=SABc,所以 6 lbm名+la油名abm等得a+b-5ad,故片方5， ,π1 a ma+b4a[日8)-s9+2g8g, 当且仅当行-合即a=普，b=5时，等号成立，故4a-b的最小值为35 2 5.(2026北京通州一模)在△4BC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,cosB=4, (a+c)sin B-bsinA=3. (1)求c的值： (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC为钝角三角形，求AC边上 的高. 条件①：b=5;条件②：BABC=16;条件③：△ABC的周长为18. 【解析】1)因为caB-手且BE0,所以血=小oB-: 设△ABC外接圆半径为R,，由正弦定理得(a+c)sinB-bsinA=2 RsinAsinB+2 RsinCsinB-2 RsinBsinA=3 所以2 RsinCsin B=3,即：csin B=3,所以c=5. 35/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)选择条件①： 由余弦定理，得B=+c2-2 cosR,代入c=5,b=5,cosB=号，得d-8a=0,侧a=8, 此时cosA 2bc 2x5x5=25,所以号<A<云，△1C为钝角三角形 b2+c2-d52+52-827 股AC边上的高为h,则Sc4csmB:1h,即8x5x3h,he24 2 52 5 选择条件②： 若BA.BC-16,则BA.BC=|BA,BCcosB=4a=16,所以a=4, 由余弦定理得：=d+6-2=+-2x4x5x号=9. 因为a2=16,b2=9,c2=25,所以a2+b2=c2,则△ABC是直角三角形，不满足题意 选择条件③： 若△ABC周长为18，则a+b=18-c=13,由余弦定理得：b2=a2+c2-2 ac cos B=a2+25-8a 新。-86-所以4：”安：名所写4，心收角三 2bc 角形，设4C边上的高为，则Scsm8=h,即时8x5x五，A-号 52 热点07立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 【热点衔接】 2026年高考数学立体几何模块，聚焦外接球、截面、动态问题这三大核心新方向，成为区分度提升 的关键模块。外接球问题侧重不规则几何体（棱锥、棱柱）的球心定位与半径求解，结合空间几何性质考 查空间想象能力。截面问题聚焦截面图形判断、周长与面积计算，考验空间作图与逻辑推理能力。动态问 题结合动点、动面、动线，考查轨迹判断、最值求解，融合函数与几何思想。命题贴合课标，以中档题为 主，多结合基础几何体，规避偏难偏怪，备考需强化空间想象与转化能力，掌握核心解题技巧，适配高考 立体几何创新命题趋势。 【热点词】 外接球、截面、动点的轨迹、动态问题 【命题角度】 1.外接球：侧重不规则棱锥、棱柱的球心定位与半径求解，结合空间几何性质求解。 2.截面：聚焦截面图形判断、周长及面积计算，考验空间作图能力，贴合基础几何体命题。 3.动态问题：结合动点、动面、动线，考查轨迹判断与最值求解，融合函数与几何思想。 36/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【押题预测】 1.(2026湖南湘潭·三模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD都是等腰三角形，且 ∠ADB=120,BC⊥BD,BD=4,二面角A-BD-C的大小为150°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 () A.112π B.116π C.448π D.464π 【答案】D 【解析】如图，设△BCD外接圆的圆心为O, 因为△BCD都是等腰三角形，BC⊥BD,BD=4, 所以BC=4,CD=4V2,O是CD的中点. 9 B 设三棱锥A-BCD外接球的球心为O1,连接OO,OC,QA,则OO⊥平面BCD. 过点A作AA⊥BD交BD的延长线于点A. 设A在平面BCD内的射影为A,连接AA,, 因为二面角A-BD-C的大小为150°， 所以∠A4A=30°. 因为△ABD是等腰三角形，且∠ADB=120°，BD=4, 所以AD=4,∠ADA=60°， 所以4D-4D=244=VF-2-26, 37/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AA,=)A4=V5A4=25-(5=3. 21 过点O作BD的平行线，与AA的延长线交于点M,连接OA,AM, 则AM=2,OM=4,AM=5, OA=VOM+AM=√41. 设00=x,则由0C=OA,可得x2+(2V2)2=(5-x)2+41, 解得x=65, 故三棱锥A-BCD外接球的表面积为4π(x2+8)=464π. 2.(2026重庆沙坪坝·模拟预测)已知正方体ABCD-AB,C1D棱长为2，点M满足CM=MC,点Q在 正方体的表面上运动，且AQ⊥B,M,则2的轨迹长度为() A.4+4v5 B.45 C.4+2W5 D.4W2 【答案】C 【解析】设E,F分别是AD,BC的中点，连接AE,EF,BF, 则EF/1AB/IAB,即E,F,B,A四点共面， 在正方体ABCD-ABC1D中，CM=MC得M是CC的中点， 显然BB=BC1,GM=BRF,∠RCM=∠BBF= 所以△B,CM=△BBF,故∠C1B,M=∠B,BF, 所以∠CMB+∠CBM=∠RBF+∠BFB= 2 即∠GAM+Am分所以BMLBR, 又AB⊥平面BCC1B,BMC平面BCC1B,所以AB⊥B,M, 又AB∩BF=B,且ABC平面ABFE,BFC平面ABFE, 所以B,M⊥平面ABFE, 因为点Q在正方体的表面上运动，且AO⊥BM,所以点Q的轨迹是矩形ABFE, 由题可得AB=2,BF=VBB2+BF2=V22+1P=√5， 38/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以点2的轨迹长度为(2+V5)×2=4+2√5， B M B 3.（多选)(2026福建南平，二模)如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置 两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为“，则下列结论正确 的是() A.平面截正方体所得截面不可能为五边形 B.平面“截正方体所得截面面积的最大值是y6 C.两球半径之和为定值3-5 2 D.两球体积之和的最大值是9-5B)π 2 【答案】ACD 【解析】由题意知，两球球心到各自相切的三个面的距离相等，所以球心到三个面的距离分别等于对应球 的半径，因此两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上. 因此公切平面α与体对角线垂直，根据正方体的对称性可得， 平面截正方体所得截面不可能为五边形，所以A正确. 39/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 如图.当截面为△4B,C时，因为AAB,C为正三角形，所以其面积为×2×5×5-5_256 2244 所以B错误， 设两个球的半径为R,r,且R≥”，则R≤因为每个球都与一个顶点出发的三个面相切，此时可看作两个 2 球分别棱长为2R,2r的正方体的内切球，所以两球球心到相应顶点的距离为对应正方体的体对角线的一 半，即V3R3r.所以5(R+)+(R+)=5,所以R+r= 53-5 √3+12 ,故C正确。 由R+r-35,R>,得35R≤两球体积之和 y合 0392 在35，}上单调递增，所以当R=时，”取得最大值，最大值为9-5V 4’2 ,所以D正确 4.(2026山东东营·二模)已知一个棱长为46的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接 球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方 向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为一 【答案】 288π 72√5 【解析】己知正四面体的棱长a=4V6，,设正四面体的高为h, 设底面正三角形的中心到顶点的距离为，则，-x5a-54N6:45, -a= 324-3 h=V匠-F=V46-(42=8,正四面体的外接球球心在高上，且满足：R=3h=3×8=6, 4 40/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 4 ∴.外接球的体积：V=R=π×6=288π 3 3 小球在一个角的情况如下图所示，作平面ABC∥平面ABC,与小球相切于点D, 则小球球心O为正四面体P-ABC1的中心，PO⊥面ABC1,垂足D为ABC的中心， D A PDxOD :V-4a9=39 1 3 B .PD=4OD=4,故PO=PD-OD=4-1=3,此时小球与面PAB的切点为？，连接OR,则 PR=PO2-O2=V32-1P=2√2，考虑小球与正四面体的面PAB相切的情况， 则小球在面PAB上最靠近边的切点轨迹仍为正三角形，即为EF,过作M⊥PA于M, M :Pe=石则PM=P阴es△Pg=2反x9-6, :.小三角形边长RE=PA-2PM=4W6-2√6=2√6，小球与面PAB不接触部分的面积为： SAaB-S△r=24V5-6W5=185,.小球永远不可能接触到的容器内壁面积为：S=4x18√5=72√5. 5.(2026湖南湘西·三模)如图，在直三棱柱BCD-BC1D,中，BC=CD=CC1=1,BC⊥CD,M,N分别是 棱BC,C1D的中点，三棱柱BCD-B,CD的外接球为球O,则过MN的平面截球O所得截面面积的最小值 为 D 41/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】严2元 88 【解析】根据题意，将该三棱柱补成正方体ABCD-ABCD,以D为原点，建立如图所示的空间直角坐 标系， Z D N C D: 则a行10N0打：所以=(3 由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为 2)即为点0，则ow-02 外接球半径为r=) 12+12+12√5 2 11 点O到直线MN的距离d OM.MN 4 2 /2 OM MN 441 44 该截面面积最小时，点O到该截面的距离为d, 则截面面积的最小值为(-)=488 31-5π 热点08解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 【热点衔接】 2026年高考数学解析几何压轴题，聚焦四大核心考点，是拉开分数差距的关键模块，命题凸显综合 性与创新性。离心率问题侧重椭圆、双曲线的离心率求解，结合定义、几何性质，考查运算与推理能力， 常作为基础设问。定点、定值问题依托直线与圆锥曲线位置关系，考查化简变形与逻辑论证，凸显解题技 巧。范围问题结合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，考验综合应用能力。存在性问题以探究 性设问为主，考查分类讨论与等价转化思想。命题多结合基础圆锥曲线，情境简洁，规避偏难偏怪，强调 运算严谨性与思维逻辑性，备考需夯实核心公式，掌握解题模板，突破运算难点，适配高考压轴题命题趋 势。 42/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【热点词】 离心率、定点、定值、最值、范围、存在 【命题角度】 1.离心率问题：侧重椭圆、双曲线离心率求解，结合定义、几何性质求解。 2.定点问题：依托直线与圆锥曲线位置关系，结合韦达定理化简变形，注重解题技巧应用。 3.定值问题：聚焦曲线与直线交点衍生的定值探究，需化简消参，考查运算严谨性与等价转化思想，贴合 压轴题基础设问。 4.范围问题：融合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，需结合判别式、均值不等式，考验综合 应用能力。 5.存在性问题：以探究性设问为主，考查分类讨论与转化思想，需判断满足条件的点、直线是否存在，凸 显思维灵活性。 【押题预测】 1.(25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测)如图，水平地面α上垂直立着一块木板阝，木板上有一个椭圆形 的洞，木板一侧有一个点光源A',光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆C),点A 在地面上的射影为A,AC与B交于点D.若AC⊥B,且AA=1.5m,AD=CD=1m,圆C的半径为 0.5m,则木板上椭圆形洞的离心率为 B C D a 【答案】 55 【解析】解：如图1， 图1 BD C'D B'D DD' 在竖直平面AAC内，由相似关系可得 A4CA'4=DA,代入已知数据，得BD=15x1.5 2.5 0.9m,BD=05×15=0,5m,所以椭圆形洞的高为BB=BD-BD=0.4(m）. 1.5 如图2， 43/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图2 连接4与82的中点交4C于G,则GD=GD-07 GA GD+1 1.5 ⊙生，如图3 D A 所以椭圆形洞的宽 图3 165m).故在椭圆中，21=22b-042=26,所以房心帝=-西 为PQ=EFx AD-25 15 15 2.(2026福建泉州模拟预测)已知耳，F为双曲线E的焦点，点P在E上，点M,G分别为△P耳F的 3 内心和重心若MG1/R,且si血∠PB-亏则E的离心率为 【答案】 6 【解析】设双曲线E方程为 =1(a>0,b>0),R(-c,0),(c.0),P) x y2 则重心G 5“,949）(昏}因为内心到F天的流离等于内切四半径，放M的数坐标为 由于MG/1RR,所以r=片→%=3r,因为△PRR的面积S=R=0P+P+r, 3 代入%=3r,=2c得P+PE引=4c,不妨设P≥P引，则有 PRI+IPR|=4cPR]=2c+a PRI-PRI=2aPR=2c-a 在△PE中，由余弦定理得|F-P+P-2 PFPF cos.∠PF, 即(e-0jka∠R明=2+，因为m∠Ps-子则o∠Kg=±号 当cos∠RPR-号时，代入(4c2-a)os8∠KP%=2c2+心得2x-3a→e= 2 当cos∠P明=号时，代入(c2-a)cos∠RP明=2x2+得-2c-(不成立，舍去) 44/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026浙江·三模)已知椭圆C: +y=1(a>,4、4为C的左右顶点，B、B,为C的上下顶 点，P为C上除顶点外一点，且直线PA、P4斜率乘积为- 2 (1)求C的标准方程； (2)设Q为C上满足B.QIlA P的一点，直线A,P与B2交于H. (i)求证：B2P/1A,Q; (ii)设S和S2分别为△B2PH和△4QH的面积，求SS,的取值范围. -a+ax又y2-1-于a- 【解析】C1)设Ps),则k待a= y2 a，所以 a2-x2 a2 1 二，即云=2，故椭圆C的标准方程为 2-x-d-- 2+y2=1: (2)(①方法1：设4P斜率为太，则直线4P的方程为y=k(x+)代入 2+y=1, 化简得+2k)r+4W2x+4k2-2-0,得，=5-2V2 22k 1+2k2’,= 1+2k2 2k2-1 设BQ直线方程为y三-1代入+y山，化简得。+2,2号 则-1 22k (2k+1 2k+1一，则 √2-2W2k2V2-2W22√2(2k-1) 1+2k2 2k2-1 2k2+1 2k2-1 √2k+1 =4k 1+2V5 -2(N2k-1i V2k-司，所以40∥RP得证 方法2：设P(5c0sa,sna.(W5cosg.mP刊，则2cosa+万V五cosp sina sin B+1 化简得，sg-mP+1 cosa+1 c0s0,代入半角公式剂 2sincos 2sin B cosBsinB+cosB sinB+cos tan B+1 2 2= “22 2 2 2 2 2 2 cos2 cossin sin B cos 2 2 2 1-tn 2 2 化简得tamg=tam+亚， 2 2,,则2=P士+m,k∈Z,则a=B+二+2m,k∈7 224 2 cosa=-sin B,sin a cos B, sina+1cos B+1(cosp+1)(cos B-1)sinp (cosB-1)sinB 2coasisin Bsin p (co8 B-1)p(cos-1)cos 45/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以A,Q∥BP得证： (i) y B /9 32 由(i)得B,P∥A,0,则S△40，=S△2P,则S4g,-S△2脚=S△4gr-S2得S△mg=S△4，， 因为si∠PH0=si(t-∠P弧，)=si∠P孤，则SS=im∠PHB,|HrH,片sin∠O,H0HA -I sin PHOHPHO sin B.HAHBA=S.mreS.=S 设（以则=a领分则5g 1 右名52，化简得 、)2 6+%+分(5-)-0，化简得 2,.,121,可见，H的轨迹为椭圆。 2 +%+2)=2 当H接近4时，即P接近4时，S。s,接近0，又直线4B,为y=巨x-1,则H到直线4A,的距离为 √2 2 -%-1 √5 则S=A,B 卧9+ 3 52( 2 V2 √2 1 s +y%+ √2 ×2× -×2×1 2 2 2-2 当=0，为=0时取得等号，所以S,∈ 2 4.(2026河南开封·模拟预测)已知双曲线C: x 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为耳，F,离心 率为V6 且过点A(2,1).在双曲线C上异于点A的两点M,N满足(M-M)N-N)>0. (1)求双曲线C的方程. 46/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若kAM+kAN=O,探究：kw是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(kAw,kAw,kN 分别为直线AM,AN,MN的斜率) (3)记△AMN的外接圆为圆G,在点A处作圆G的切线I,求I的方程 【解析】(1)双曲线的离心率为6 e= 06平方得到8=2又c2=2+b°，得到d 2 41 双曲线经过点，D。山，解得a=2B1双曲线C的方程为，y山 (2)M,N是双曲线上异于点A的两点，M-引=±2a,W-W=±2a, 若(（M-MED(N-NF)>0,则IMRI-M网I与||-INF|符号相同，M与N在双曲线的同一支上. k4M+kw=0,可设AM的斜率为k,则AN的斜率为-k,M与N是相异两点，可知k≠0，直线 AM:y-1=k(x-2), 同理直线AN:y-1=-k(x-2),先联立直线AM与双曲线可得 y-1=k(x-2) 2大2=1存CGx+4k2x-4k-4k+2)0 直线AM显然不能与双曲线的渐近线平行，k≠士Y ,判别式 2 △=4k2-202-4k2-号4k2-4k+2)=4k-12, 1时，直线M与双曲线必有两个交点，由韦达定理，可得4·x4=4一+ 2_1，代入4=2得到 2 2次1同理，用-替换式子中的可得w-2次+21_4状+4秋+2 -22-2k+1_4h3-4k+2 -2k2-1, 22-152446-1 将，v分别代入直线AAN中，得w=2+秋-上y 2k2-1 -2k2+4k-1-2k2-4k-1 k=业-业2出照1e是定值-1 XM-XN 4k2-4k+24k2-4k+2-8k 2k2-1 2k2-1 (3)利用外接圆的几何性质，可知圆心G(xG,yG)在线段AM的垂直平分线和线段AN的垂直平分线的交 点处，可设AM的中点为P(xp,yp),AN的中点为②ce,y'e): 47/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PG 由(2)中已经联立直线AM与双曲线得到的方程： )x+4k-2kx-(4k-4k+2)=0. 4k2-2k 由韦达定理，XA+M= 21，可得。=A+=4水，代入直线AM的方程，可得，三2k-1 2 2k2-1 2k2-1 2 利用相互垂直的直线斜率乘积为1，可雪出4的垂直平分线的方程为：上水号红。约 2k2-1 同理，用-k替换式中的k,可得到线段AN的中点xg= 42+2k-2k-1 2k2-1，电=2k2-1’4N的垂直平分线的方程 为：y-2-11-4+2 -(x- 2k2-1k2k2-1 62 -3 联立两条直线，可求得圆心G的坐标，。2-’62k一 31 过A点的半径的斜率k16=21-1,得到切线的斜率为1，所以切线1：x-y-1=0. 6k2 -2 2k2-1 5.(25-26高三下·云南曲靖·月考)已知抛物线C:y=2x(p>0)的准线与圆x2+y2=1相切. (1)求C的方程： (2)求C上的点与直线1：x-y+4=0上点的距离的最小值： 3)过点Pt,0)且倾斜角为T的直线与C交于A,B两点，点M(2t-ad),记直线MA,MB的斜率分别为 k,k2,是否存在常数a,使得kk2为常数？若存在，求出α及飞k2的值；若不存在，请说明理由， 【解析】D抛物线C:y2p四p>0)J的准线为x=-2(D>0), 因为C的准线与圆x2+v2=1相切，所以圆心(0,0)到准线的距离等于半径，故=1，则p=2, 2 所以C的方程为y2=4x. (2)C上的点与直线：x-y+4=0上点的距离的最小值即为C上的点到直线1距离的最小值， 在C上任取一点(，)，则y=4x. 48/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 该点到直线I的距离d-出-”+4 4%+4到 (-2)2+12 √2 √2 4W2 当%=2时，d取得最小值，最小值为3 2 所以C上的点与直线上点的距离的最小值为3 2 (3)设A(5,),B(5,为)，由题意得直线AB的方程为y=x-t,即x=y+t,与y2=4x联立，得 y2-4y-4t=0,则△=16+16t>0,得t>-1,乃+2=4，My=-4t, (y-t)(y2-t) (4-t)(为-t) -y2-t(y+马)+t (-2+a)(-2+a)(i+a)(-t+a)+(a-t)(+)+(4-a) -4t-4t+t2 t2-& +4a-+-a-(2a+8+a+a若5为常数.则。+a0解得a-0,此时 2a+8=8 kk2=1,所以存在常数a=0,使得kk2为常数1. =+t t-+4= B 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 【热点衔接】 2026年高考数学概率与统计模块，聚焦四大核心考点，贴合素养立意，是基础重点模块。概率侧重古 典概型、条件概率、全概率公式及随机变量分布、正态分布：统计聚焦数据处理与分析。方案决策结合实 际情境，考查最优方案选择，凸显应用价值；统计案例侧重独立性检验、回归分析，强化数据分析能力。 马尔科夫链作为新增热点，难度适中，侧重简单应用与规律判断。命题多以真实情境为载体，题型覆盖选 择、填空、解答，规避偏难偏怪，备考需夯实基础，强化建模与应用能力，适配高考命题趋势。 【热点词】 决策问题、独立性检验、线性回归、马尔科夫链 【命题角度】 1.方案设计：结合生活、生产实际情境，考查均值与方差、对比实验等方案的设计与合理性分析，侧重应 用决策能力。 49/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.独立性检验：依托列联表，考查卡方计算与检验结论判断，结合热点情境，凸显数据分析与逻辑推理能 力。 3.回归分析：利用回归分析知识解决实际问题，其中非线性回归问题通过换元转化为线性回归求解。 4.马尔科夫链：聚焦简单状态转移规律，考查状态判断与简单应用，难度适中，贴合高考创新导向。 【押题预测】 1.(25-26高三·辽宁沈阳·期中)为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销 后得到一组销售数据(x,y)i=1,2,3,4,5,6),如下表所示： 试销单价x(百元) 4 产品销量y(件) 47 44 m 37 35 27 (1)求m的值： (2)已知变量x,y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x（百元)的回归直线方程 y=r+a(计算结果精确到整数位)： (3)用y表示与￥对应的产品销量的估计值.当销售数据(x,y)的残差的绝对值y一≤1时，则将销售数 据称为一个“有效采集数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数X的分布列和期 望 附：参考公式b -习空男- i=1 -,a=v-xb 参考数据： 是xy=752 【解析】 (1)因为∑xy=1×47+2×44+3+4×37+5×35+6×27=752,所以m=44: (2)由腿意可知x=1+2+3+4+5+6=35,=47+44+4+37+35+2 6 =39, 6 =144+9416+25+36=91, i=1 6 x4-6 所以b= ∑x2-6x2 752-6×3.5x39。-4,a=y-功=39-3.5x(←4)=53，所以y=-4+53: 91-6×3.5 (3)由题意可得 试销单价x(百元) 2 5 50/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 产品销量y(件) 47 44 44 37 35 27 y 49 45 41 37 33 29 是否有效采集数据 否 是 否 是 否 否 随机变量X的可能取值为0,1,2， P(X=0)= C815 所以分布列为： X 0 2 2 8 1 5 15 15 数学期望为E(x)=0x2 2.(2026河北廊坊·一模)某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的 商品即可参与一次活动.活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编 号分别为30,30,60,100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为α，则 获得2a元购物金. (1)求顾客获得的购物金X的数学期望. (2)若原方案为方案A,该商场又策划了方案B:顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为α， b,则获得a-b1a+b元购物金 2 ()顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个 方案？ (i)已知某天有3600位顾客选择方案B,求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差. 【解析】(1)购物金X的可能值为60,120,200， P0x-60=子rr=l20-x2w0 42 Γ4 所以顾客获得的购物金X的数学期望B()=60×号+120x+200×号=110（元）. 2 4 4 (2)(①由对称性不妨令a≥b,Y=a-b,a+b-a-b+a+也=a=mxa,b), 2 购物金Y的可能值为30,60,100， 51/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ew=30是-6P=6021Pw00-&3 3 则B0=30×2+60×号+100×号=75（元），而75<110， 1 6 2 所以顾客应选择A方案 (i)顾客选择方案B,购物金超过50元的概率PW>50=PY=60)+P心=10) 6 5. 设获得购物金超过50元的人数为5，则5~B360,。, 所以这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差D(5)=3600x2×2-500. 66 3.(25-26高三下·上海·阶段检测)人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型： 有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白 球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为 一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为；， (1)求首次试验结束的概率： (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率： ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中 摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大， 【解析】(1)设试验一次，“取到甲袋”为事件4，“取到乙袋”为事件4， “试验结果为红球”为事件B,“试验结果为白球”为事件B2, P因)=P心4)P(因A)+P心)P国A)-品分启-品所以试验-次结果为红球的概率为 1 20 9 (2)①因为B、B2是对立事件，P(B2)=1-P(B)= 20 11 所以P4B)PA).P4)P4.0X2-1 P(B2) P(B2) 0,2-)所以选到的袋子为甲袋的概率为)： 20 ②由①得P(4B,)=1-P4B)=1--8 99 所以方案申取到红球的既率为=P风)P(因4)+P风)P因4)-古品-号品=高 方案申取到红珠的率为男=P4)P风s4+4国)P4)-品+兮音-若 52/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为37、5 二>。，所以方案二中取到红球的概率更大 4518 4.(25-26高三·安徽六安·联考)某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的 为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数 据进行统计，制作了如下的2×2列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平=0.01的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联： (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产 品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X,求X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为 n(ad-be Y, 求使事件y=k"的概率最大时k的取值参考公式及数据：X=a+b)c+d)a+c)b+d 其中 n-a+b+c+d. a 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】(1)零假设为H:假设依据a=0.01的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联： 则x2= 100(45×5-35×15)2 =2.344<1=6.635, 80×20×40×60 故依据=0.01的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，因此可认为H,成立，即认为参数调试与 产品质量无关联： (2)依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，合格产品有8 60=6件，不合格产品有2件， 4 53/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1,2,3. 则P(X=1)= C6C15 28， P(X=2)= P(X=3)= C14 故X的分布为： 2 3 3 15 5 28 28 14 则E(X)=1x +2x1 +3x59 2 1449 357 (3)依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为 408 7 1000-k ,k=0,1,2,,1000, P(Y=k+1) 1000-k×7=7000-7飞 P(Y=k) ~66 1 000-k k+1 k+1 7000-7k 故由 >1可解得<874 因k∈Z,故当0<k≤874时，P(Y=k)<P(Y=k+1): k+1 故由 <1可解得k>874?,即当k≥875时，P(Y=k)>P(① k+1 故当事件“Y=k”的概率最大时，k=875. 5.(2026黑龙江哈尔滨·模拟预测)在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链 模型描述.设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者 保持车道不变，记X为第n个时间步长车辆所在的车道(n=0,1,2,…).马尔科夫链的下一时刻状态仅取决 于当前时刻状态，记，=P(XmH=X=)(i,j=0,1)为一步转移概率，矩阵P= Poo 为一步转移概率 Po乃1 矩阵 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0，下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在 车道1，下一时刻变道至车道0的概率为5 4 1 (1①)已知1=0时刻车辆处于车道0的概率为亏处于车道1的概率为 54/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①写出该模型的一步转移概率矩阵P; ②若n=1时刻车辆处于车道1，求n=0时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第(1)问的初始概率条件下，记4=P(Xm=0),求随机变量X,的分布列（结果用含n的式子表 示) 144变道到1的概率 13 【解析】(1)①由题意，车道转移概率：当前在车道0时，留在0的概率为1- 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为1-}} 221 (3 1 因此一步转移的概率矩阵为P= 4 4 1 2 ②设事件A:n=0时刻车辆在车道0,41：n=0时刻车辆在车道1，B:n=1时刻车辆在车道1， 已知P(4)号P4)号PB4)子P(aA)- 14 P(B 4)P(A) 2 由贝叶斯公式P(4B)尸P84)P%)+P84)P④×4+×：3 45 4525 (2)设a.=P(X,=0),由全率公式得递推关系a=P(X=0=4子+1-a)片4+片 1 故Xn的分布列为 Xn 0 1 12.1 3154 55/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 高频考点•速查速记 速查01集合、逻辑、复数、向量(71个核心考点) 一、集合 1.集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先检验互异性. 2.常用数集的表示：自然数集N、正整数集N+(或N*)、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 3.集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩(Vem)图法，明确描述法中代表元素的类型， 4.空集的定义：不含任何元素的集合，记为，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 5.子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集， 6.集合的交集运算：A∩B表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合 7.集合的并集运算：AUB表示由所有属于A或属于B(或两者都属于)的元素组成的集合 8.集合的补集运算：C,A表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围， 9.集合运算性质：A∩A=A、AUA=A;A∩0-O、AUW=A;A∩B-=B∩A、AUB=BUA 10.若AcB,则A∩B=A、AUB=B,解题时需注意A为空集的特殊情况 11.区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算 12.描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围（隐含定义域）· 13.集合关系的判定：若ACB且BcA,则A=B 14.补集的性质：1)C(C,D=A:(2)An(GA=o;(3)AUGA)=U 15.集合运算与集合间关系的转化： AOB=A→AUB=B→ASB→CB∈CA⊙AOCuB=D→CAUB=R. 16.一组重要的结论： (1)有限集合{4，a,4,…,4}的子集情况：子集有2个，真子集有2”-1个，非空子集有2”-1个，非空 真子集有2”-2个 (2)元素与集合的关系：x∈A台x庄CuA,x∈CuA一x庄A. (3)德摩根公式：Cu(A∩B)=CUAUCUB,C(AUB)=CyA⌒CB (4)容斥原理：card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A⌒B), 56/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C-card(AOB)-caId(A⌒C)-card(B⌒C)+card(A⌒B⌒C). 二、常用逻辑用语 17.命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题！ 18.四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假 19.否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 20.充分条件的定义：若p→q,则p是q的充分条件(p能推出q) 21.必要条件的定义：若q→p,则p是q的必要条件(q能推出p) 22.充要条件的定义：若p→q,则p是q的充要条件（两者互相推出） 23.充分不必要条件：p→q,但qp;必要不充分条件：q→p,但pq, 24全称量词命题：含有“任意“所有x每一个”等量词，记为xEM,p(x), 25.存在量词命题：含有“存在有一个“至少一个”等量词，记为]x∈M,p(8), 26.全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为]xEM,p(8). 27.存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为x∈M,p(8). 28.充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断： 29. 常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于) 小于() 是 否定词语 不等于() 不大于() 不小于) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 三、复数 30.复数的定义：形如atbi(a,beR)的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位(i=-l). 31.复数的分类：实数(b=0)、虚数(b≠0)，虚数中纯虚数(a=0且b≠0). 32.复数相等的条件：a+bi=c+di(a,b,c,deR)台a=c且b=d 33虚数单位i的运算性质：i1=i,=-1,=i,i=1,周期为4. 34.复数的加法运算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,遵循实数加法法则. 35.复数的减法运算：(a+b)-(c+di)=(a-c)+b-d)i,遵循实数减法法则. 36.复数的乘法运算：(a+bi)(c+di=(ac-bd十(ad+bci,类比多项式乘法展开. 37.复数的除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化. 38.共轭复数的定义：a+bi的共轭复数为a-bi,共轭复数的实部相等，虚部互为相反数 57/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 39.复数的模：a+bi=√a+b,表示复数对应的点到原点的距离. 40.复数的几何意义：复数a+bi对应复平面内的点(a,b),也对应向量OZ(Z为(a,b). 41.实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘 42.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z=a十bi都可以表示成r(cos0十isin)的形式，其中，r是复数z的模：0是以 x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线O☑为终边的角，叫做复数z=十bi的辐角，我们规定在 0≤2π范围内的辐角0的值为辐角的主值，通常记作argz 43.复数三角形式的乘、除运算 若复数z1=r1(cos01十isin01),z2=r2(cos02十isin0),且z1≠z2,则 (1)z1z2=r1(cos 01+isin 01)r2(cos 02+isin 02)=rir2[cos(01+02)+isin(01+02)]. o218+m83Ama-的+o0-1 44.复数的常用结论： (-i i .1-i (2)i的周期性：i=人，i*1=i,in*2=二1，*3=i0n∈N, (3)zz=3=z,24z到=， -图= 四、平面向量 45.向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 46零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 47.单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量 48.相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关 49.相反向量：方向相反且模相等的向量，α的相反向量记为-， 50.向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律 51.向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则. 52.向量的数乘：实数2与向量a的积为，模为，方向由2的符号决定. 53.向量数乘的性质：(u)=(0:(0+D=2+μ：2(a+b)=n+b. 54.向量共线的充要条件：非零向量a与b共线台存在唯一实数，使得-λ 55.向量的数量积：dcos0(0为a与b的夹角，E[0,可)，结果为实数. 56.数量积的性质：d;alb台b=0(a,b为非零向量)；ab≤d, 58/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 57.向量数量积的运算律：b=b:()F(a)=(O):(a+b)c=c+bc. 58.平面向量的坐标表示：若(81，y),-k2,y2),则仕b=k士x,y1y2). 59.向量数乘的坐标运算：(Ox,y):向量数量积的坐标运算：bXk2+yy2. 60.向量夹角的坐标计算公式：C0S0= x12十y2一(%b非零)· 好+y好好+y2 61.若，b为不共线向量，则a十b,a一b是以，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图 a+b 62.三点共线的等价转化 A,P,B三点共线台AP=AB(≠0)台OP=(1-)OA+t0B(O为平面内异于A,P,B的任一点，tR)台0P =xOA+vOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，xER,yER,x十y=1). 63.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则oP=(OA+0B 64.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G,G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①GA+GB+GC=0: ②AG-(AB+AC: ③GD=(GB+GC=(AB+AC 65.向量模长不等式 对于任意两个向量，b,都有|a一|b||≤||≤|a|+b|. 66.有关向量夹角的两个结论 己知向量，b,则 ①若a与b的夹角为锐角，则b>0;若b>0,则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与的夹角为钝角，则b<0:若b<0,则a与b的夹角为钝角或π 67向量a在向量0上的投影向量为8片合 68极化恒等式： (1)向量通用形式：对任意平面向量d、,有：·=-[l+-a-] (②)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 59/352 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即：a-6-ac-D] (3)三角形中点模型（高频核心）：在△ABC中，M为BC中点，则： AB.AC -IAMP-18MP -IAMP-(IBCI) 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点A、B,若M为线段AB中点，则对平面内任意点P,有： PA·PB=PM12-|AM12 69.矩形大法 矩形恒等式（核心）：若四边形ABCD为矩形，P为平面内任意一点，则： 1PA2+1PC12=PB12+1PD2 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形” ②衍生结论：在矩形ABCD中，对角线相等且互相平分，即AC=AB+AD,且AC=BD,可快速转化 向量模长关系 70.等和线 (1)基本原理与公式（熟记） 定义：设OA、OB为平面内一组不共线基底，若动点P满足OP=xOA+yOB(x,y∈R),则所有满 足x+y=λ（λ为常数）的点P构成的直线称为“等和线”. (2)核心性质： ①当入=1时，等和线为直线AB(基底所在直线)： ②等和线与直线AB平行，λ的绝对值与等和线到原点O的距离成正比： ③若两等和线关于原点对称，则对应的入互为相反数： ④若P在直线AB与原点之间，0<1<1；若原点在直线AB与等和线之间，1>1或1<0. 71.奔驰定理 60/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量 表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. B (1)核心定理（三角形内部点) 0是△ABC内一点，且xOA+yOB+zOC-0,则SSEOC:SACOA:SA4OB=x:y:2 (2)奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+zOCO,则： DSABOC:SAAOC:SAAOB=X:y:Z ②-8- SAABC 速查02函数与导数(55个核心考点) 一、函数核心考点(28条) 1.函数的定义：设非空数集A、B,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在 集合B中都有唯一确定的数fx)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域 3.函数定义域的求解原则：分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0、底数大于0且不等 于1. 4.函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分 5.函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方 法 6.函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域。 7.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化， 8.分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值， 9.分段函数的求值：需先判断自变量所在区间，再代入对应解析式计算， 10.函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量x、,若x<x时，fx下fx)则为 增函数，反之则为减函数 11.函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则. 61/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减： 13.函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可用U”符号 14.函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-x)=8)为偶函数，若f(-x)=-fx)为奇函数. (2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. 15.函数的奇偶性性质： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(): (3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 16.判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(-x与fx)的关系， 17.常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数。 18.一次函数的解析式与性质：y=kx+b(k0),k决定单调性，b决定与y轴交点， 19.二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴 20.二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况. 21.指数函数的解析式：y=ax(a>0且a≠1)，底数a决定函数单调性. 22.指数函数的性质：定义域为R,值域为(0，+o),过定点(0,1) 23.对数函数的解析式：y=logx（a>0且a≠1)，与指数函数y=a*互为反函数 24.对数函数的性质：定义域为(0，+o),值域为R,过定点(1,0)，底数ā决定单调性. 25.幂函数的解析式：y一x(a为常数)，重点掌握a=1,2,3,-1,1/2的图象与性质 26.函数的周期性 (1)定义：若存在非零常数T,使得对于定义域内任意x,都有x+T)=x),则T为函数的周期. (2)对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0), @若f(x+a- 、,则T=2a(a>0). ③若f(x+a= f'则7=2a(a>0). 27.函数图象的变换： （1)平移变换：①y=f(x)的图象→y=f(x-ad)的图象： ®y=f)的图象个整→y=f)+b的图象. 62/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “左加右减，上加下减’，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在∫(x)整体上加减 (2)对称变换 ①y=f(x)的图象关于轴对称→y=-f(x)的图象： ②y=f(x)的图象关打轴对称→y=f(-x)的图象： 国y=f(x)的图象关于原点对称→y=一f(-x)的图象： ④y=d(a>0且a≠1)的图象关于直线-对称→y=log。x(a>0阻a≠1)的图象. (3)伸缩变换 ①y=f(x)的图象 a>1,横坐标缩短为原来的纵坐标不变？ →y=f(ax)的图象. 0<a<1,横坐标伸长为原来的二倍，纵坐标不变 ②y=f(x)的图象2装→y=a()的图象。 (4)翻折变换 ①y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=f(x的图象： ),轴右侧郁分 ②y=f(x)的图象即左右不→y=f()的图象。 (1)平移变换 ①y=f(x)的图象 a>0,右移a个单位 →y=f(x-a)的图象： ②y=f(x)的图象 60下个位→y=f(x)+b的图象. b>0,上移b个单位 “左加右减，上加下减，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在f(x)整体上加减 (2)对称变换 ①y=f(x)的图象关轴对称→y=一f(x)的图象： ②y=f(x)的图象关打轴对称→y=f(-x)的图象； ③y=f(x)的图象关于原点对称)y=一f(-x)的图象： ④y=a(a>0且a≠1)的图象关于直线=对称→y=log。x(a>0阻a≠1)的图象. (3)伸缩变换 a>1,横坐标缩短为原来的上纵坐标不变？ ①y=f(x)的图象 0<a<1,横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变 →y=f(ax)的图象. 631/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②y=f(x)的图象装y=a时()的图象. (4)翻折变换 ①y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=f(x的图象： y轴右侧部分 ②y=f(x)的图象左石不7→y=f()的图象。 28.函数图象的对称性 (1)函数图象自身的轴对称 ①f(-x)=f(x)台函数y=f(x)的图象关于y轴对称： ② 函 数y=f(x) 的图象关 于x=a 对 称 台f(a+x)=f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x)=f(2a+x): ③若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=fx)的图象关于直线 x=9+b 对称. (2)函数图象自身的中心对称 ①f(-x)=-f(x)台函数y=f(x)的图象关于原点对称： ②函数y=f(x)的图象关于(a,0) 对称 台f(a+x)=-f(a-x)台f(x)=-f(2a-x)台f(-x)=-f(2a+x): ③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称 台f(a+x)=2b-f(a-x)台f(x)=2b-f(2a-x). (3)两个函数图象之间的对称关系 ①函数y=f(a+x)与y=fb-)的图象关于直线x=,C对称（由a+x=b-x得对称轴方程）： 2 ②函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称： ③函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0，b)对称： ④函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. 二、导数 29.导数的定义：函数yf(x)在xo处的导数f(xo),表示函数在该点的瞬时变化率 30.导数的几何意义：函数yfx)在处的导数f(o),等于该点处切线的斜率. 31.导数的物理意义：若s=s(①表示位移函数，则s'()表示瞬时速度，s"(①表示瞬时加速度。 32.基本初等函数的导数公式：牢记幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式. 64/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 33.导数的加法法则：[fx)十g(x)]'-f(x)汁g'(x), 34.导数的减法法则：[fx)-g(x)]'f(8)-g(8), 35.导数的乘法法则：[fx)g&]'f(8)g8)+fx)g(x),特别地：[kfx]'=kfxk∈R). 36.导数的除法法则：4=9ggW≠0， Lg(x) g2(x) 37.复合函数的求导法则：设y-fu),u=g(),则y’xy'u'x,即链式法则. 38.隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则 39.导数与函数单调性的关系：f(x)>0时，函数单调递增：f(x0时，函数单调递减：f'(☒)=0时，函数可 能为极值点 40.函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点， 41.极值点的判定方法：先求导数，找到f(x)=0或f'(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变. 42.函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点 43.函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值， 44.利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件， 45.利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件 46.导数在切线方程中的应用：己知切点求切线方程，或己知切线斜率求切点坐标 47.导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式， 48.函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质 49.求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间. 50.二阶导数的意义：f(s)可判断函数的凹凸性，f'(x)>0为凹函数，f"(8水0为凸函数. 51.导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题 52.可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。 53.导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变 54.利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数： 55.导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质. 速查03三角函数与解三角形(52个核心考点) 一、三角函数 1.任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角 2.终边相同的角的表示：与角α终边相同的角可表示为c+2kπ(k∈Z). 3.象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限 4.弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为1rad 5.角度与弧度的换算：180=ad,1°=元1ad,1ad 180 180 π 6.弧长公式：Hr(a为弧度制，r为半径). 65/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 7.扇形面积公式：S=S=h=}1ar(1为弧长，a为弧度制，r为半径). 1 2 2 8.任意角的三角函数定义：设角a终边上一点PK),r=√x+y, 则sina=y、cosu=x、tana=yGx≠0) 9.三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sina、cosa、tana的正负. 10特殊角的三角函数值：牢记0、刀、严、工、T及相关诱导角的三角函数值 6432 11.同角三角函数基本关系：sina+cosa=1,tana= sina (osa0) cos a 12.诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限(“奇、偶'指π2的奇数倍、偶数倍). 13.正弦函数y=six的定义域：R,值域：[-1,1]，周期：2元 14.余弦函数y=cosx的定义域：R,值域：[-1,1]，周期：2π 15.正切函数ytax的定义域：s≠T+kkeZ,值域：R,周期：兀 16.正弦、余弦函数的奇偶性：y=six是奇函数，y=cosx是偶函数. I7.三角函数的单调性：掌握y-sinx、y-cosx、y-tanx的单调区间 18.三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心 19.三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减”的规律. 20.三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响 21.函数y=Asin(ox+p)(A>0,o>0)的振幅：A,周期：T=2r/@,相位：ox+0,初相：0. 22.函数y=Asn(ox+p)的图象画法：五点法（零点、最高点、最低点）. 二、三角变换 23.两角和与差的正弦公式：sin(o±β)=sinacosf±cos0sinβ. 24.两角和与差的余弦公式：cos(ap)=cosacosβ千sinasinβ. 25.两角和与差的正切公式：tamn(a±P)=tana±iamE(a、B、-p时+k红，k∈Z)w2+kr）. 1千tan a tan B 2 26.二倍角的正弦公式：sin2o=2sinc0sa. 27.二倍角的余弦公式：cos20=cos2-sino=2c0s2a-1=1-2sin20. 28.二倍角的正切公式：tan2a=2tan” +kπ，keZ -tang(a4交+ 42 29.降幂公式：cos2a=1+os2;sim2a=1-cos2a,tam2a=1-cos2a sin acos a=-sin 2a. 2 2 1+cos2a 30.升幂公式：1+cos20=2cos2au,1-cos20=2sin2a. 1-cosa 31.半角公式：s-土0；c02士 1+cosa V2 一os符号由所在象限决定。 N 1+cosa 32.半角正切公式的有理化：tan-,a=1二coa 1+c0s sina 66/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b 33.辅助角公式：asin a+bcos a= a2+b2sin(a+p)(a,b不同时为0)，其中tanp= a 34.积化和差公式 cosacosB-Icos(a+P)+-cos(@-B)J; sin asin B=-[cos(a+B)-cos(a-B)]: sin acos B-[sin(a+B)+sin(a-B)]; cos asin B-[sin(a+B)-sin(a-B)] 35.和差化积公式 sin a+sin B=2singcos-B. 2 2 sin a-sin B=2cos+esing-B 2 cos a+cosB-2cos+cos 2 2 cos a-cos2sinn 36.配方变换公式：1±sin2a=sina+cos2a士2 sin a cosa=(sima±cos)2. 37.因式分解变换公式：cos2a=(coso+sino)(cos-simo) 2tan 1-tan2a 2tan 38.万能公式：sina= 2 2 COSX=一 tana=- 1+tan? 2 1+tan? 2 1-tan2 2 39.三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幂、升幂、角的配凑】 40.角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如=(a+β)B、20=(a+β)+(-) 41.三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数. 42.三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角. 43.给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角 44.三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果 45.利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式. 46.辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为y=Asn(ox+p)的形式，便于求性质. 三、解三角形 47三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 48正弦定理：a=b一c sinA sinB sinc =2R(R为三角形外接圆半径). 49正弦定理的变形：（1)a:b:c=siA:sinB:siC 67/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2RsinC (3)sinA=a 2RinC=c 2R 50余弦定理：d2=b2+c2-2 bccos4,b2=a2+c2-2 accos B,c2=d2+b2-2 abcosC 51余弦定理的变形：c0sA= b2+c2- 2bc -cosB=a'+c2-b2 ,cosC=a+b2-c2 2ac 2ab 52角形面积公式： 1 2 acsinB-abe1 4R2(a+b+c小r(是三角形内切圆的半径)，并可由 可由此计算R、r. 速查04数列(57个核心考点) 一、数列 l.数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{an,nEN*,n为项数. 2.数列的项与项数：a表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数 3.数列的通项公式：如果数列{ā}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列 的通项公式。 4.数列的递推公式：如果已知数列{an}的首项（或前几项)，且任意一项a与它的前一项a-1(或前几项) 间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式。 5.数列的前n项和：S.=a:+a2+as+..+an,记为Sm,S=0. 6.通项公式与前n项和的关系：a.=S.-S-1(n心2)，a1=S,需检验a1是否满足n≥2时的通项 7.数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列 8.常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为a=C(C为常数)，前n项和S。=nC. 9.摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性 l0.数列的单调性判断：比较a+与a的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11.数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项 l2.数列的周期性：若存在非零常数T,使得对任意n∈N*,都有at=aa,则T为数列的周期. 二、等差数列 68/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的 公差，记为d, 14.等差数列的通项公式：an=a+(n-1)d(a为首项，d为公差). l5.等差数列通项公式变形：an=am+n-m)d(m、n∈N*). l6.等差数列的判定方法：定义法(a1-a=d,常数)、中项法（2at1=an+an+2). 17.等差数列的前n项和公式：3=a+m-Dd=(4+a) 2 2 18.等差数列的常用性质 (1在等差数列{a}中，当+n=p+q时，am+an=ap+a,m,n,p,q∈N). 特别地，若m+n=2t,则am+a,=2a,h,t∈N). (2)4,4+ma+2m’.仍是等差数列，公差为d化，meN). (3)S,S3m一S,Sm一Sm,.也成等差数列，公差为nd. (4)若{a}，{b}是等差数列，则Da+g功}也是等差数列， (5)若a}是等差数列，则}也成等差数列，其首项与{a)首项相同，公差是{a}公差的} (6)若项数为偶数21，则S=a+a,)=a+a):SS=:a S益=4 (7)若项数为奇数2n-1,则S1=(21-1)a:S奇一S偶a； S查=n S假n-11 (8)在等差数列a}中，若4>0，d<0,则满足0.≥0 0H≤09 的项数m使得Sn取得最大值Sm;若4<0，d>0, 则满足a≤0 的项数使得S,取得最小值S· am+1≥0 《9)S=d+@-号n,数列C}是等差数列→S=4n+Bn（4、B为常数) 19.等差数列的公差与单调性：d>0时，数列递增；d<0时，数列递减：d=0时，数列为常数列 三、等比数列 20.等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的 公比，记为q(q0)· 21.等比数列的通项公式：an=a1qP-1(a为首项，q为公比，a≠0，q≠0) 22.等比数列通项公式变形：an=amqm(m、n∈N*,am0,q≠0). 23.等比数列的判定方法：定义法（an出=q,q为常数，q0)、中项法（a+12=aaaa2,a0). a, 69/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [na(g=1) 24等比数列的前n项和公式：S,=4-=a-a9g≠) 01-91-q 25.等比数列的性质 (1)等比中项的推广. 若m+n=p+q时，则awn=0,g,特别地，当m+n=2p时，ann=a. (2)①设{a}为等比数列，则{a}(1为非零常数)，a},a}仍为等比数列. ②设(an}与{bn}为等比数列，则{ab}也为等比数列. (3)等比数列a)的单调性（等比数列的单调性由首项a,与公比g决定）· 当4>04<0 g>1或{0<g<1时，a,)为递增数列： 当/90 a<0 ,或 0<q<1 9>1 时，{an}为递减数列. (4)其他衍生等比数列. 若已知等比数列{an),公比为9，前n项和为Sn,则： ①等间距抽取 ap,0pH,0p+2,…-1y,…为等比数列，公比为q. ②等长度截取 Sm,Sm-Sm,Sm-S,…为等比数列，公比为q”（当q=-1时，m不为偶数). 26.等比数列的最值：当q>1,a1>0时，数列递增，无最大值，有最小值a;当0<q<1,a1>0时，数 列递减，无最小值，有最大值a. 四、数列求和与递推数列 27.数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法。 52.裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， 111 (1),nn+-元n+i 1 ④nvn+T-元 70/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 1 (5)nn+im+2-2mn+-n+n+2 53.错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{abm,{a}为等差， {b}为等比) 54.倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前项和推导）. 55.分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求 和后相加 56.递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于at1=an+fn)、累乘法（适用于at1=amfn)、构造法. 57.构造法二级结论： 形式 构造方法 a1+1=pan十q 引入参数c,构造新的等比数列(a,一c以，其中c=p1 +1=pa十q1十c 引入参数x,y,构造新的等比数列{a十xn十y} aa+1=paa十d 两边同除以q”+1，构造新的数列得 速查05立体几何（⑤0个核心考点） 一、空间几何体 1.空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球） 2.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多 面体。 3.棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；两底面是全等的多边形 4.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共项点的三角形的多面体， 5.棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形；底面是多边形 6.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 7.棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形 8.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体， 9.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 10.圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 11.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意一 点的距离相等（均为半径）· 71/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 12.空间几何体的表面积与体积公式： 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积=S侧+2S底 V=S底h 锥体（棱锥和圆锥） S表面积=S侧+S底 v-s版h 台体（棱台和圆台） S表面积=S侧+S上+S下 v-s.+8+5h 球 S=4πR V=ATR 31 13.正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个项点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查正 四面体、正方体。 二、空间点、线、面位置关系 14斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S题-s,S=22公 15.空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解 16.空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行 17.异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或 直角)叫做异面直线所成的角，范围为(0°，90]。 18.空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外. 19.直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行 20.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行. 21.直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直. 22.直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直；垂直 于同一个平面的两条直线平行. 23.直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为[0°，90]，直线在平面内或 平行于平面时角为0°，垂直于平面时角为90° 24.空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）. 25.平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 26.平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个平 面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行 72/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直， 28.平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面 29.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小用其平面角衡量，范围为 [0°，180]. 30.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角， 三、外接球与内切球 31.外接球的定义：一个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心为 外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R 32.内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面的 距离均为内切球半径r 3.二级结论（正方体）：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R-V0(a为正方体棱长： 2 a 内切球球心为体对角线中点，内切球半径=二 2 34.二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R= va'+b2+c2 (a、b、 c为长方体的长、宽、高)，长方体一般无内切球（需满足=b=c,即正方体时才有）. 35.二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=V6a/4,内切球半径= 6a 12 (a为正四面体棱长)，且R=3r h 36.二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径R= 4 (o为底面外接圆半径，h为直棱柱的高). 37.二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径R=√+ (r为圆 4 柱底面半径，h为圆柱的高)；圆柱无内切球（需满足直径等于高，即=2r时才有内切球，半径r)· 38.二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为r、高为，外接球半 73/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 径为R,则满足R+R,解得R=户+广 2h 39.二级结论（棱锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方向 上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解 40.内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径= 3V ·(V为多面体体积，S为多面体的表面 4 积)，适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体 41.外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定理 建立关于R的方程，求解半径 42.易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，并 非所有几何体都有). 四、空间向量核心考点 43.空间向量共线的充要条件：若空间向量1与b（b≠0)共线，则存在唯一实数，使得α=b,坐标 形式为对应坐标成比例 44.空间向量共面的充要条件：三个空间向量4，b,c共面，等价于存在实数、u,使得c=2a+b:若三 个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0 45.空间向量的数量积：设向量a与b的夹角为0(6E[0°，180])，则ab=|ab|cos6,结果为实数，可 用于求夹角、判断垂直 46.空间向量垂直的充要条件：两个空间向量4与b垂直，等价于·b=0,坐标形式为对应坐标乘积之和 为0. 47.空间向量的模：若向量M=(x,y,z),则川a=√x2+y°+2，可用于求空间中两点间的距离. 48.空间向量夹角公式：cos8=cos(a,b 日为两向量的夹角， 49.向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a,b的方向向量分别为ā，b. 若alb,即a=b,则a∥b: 若ab,即a.b=0,则a⊥b (2)直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a,平面x的法向量为i,且1Lx. 74/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若a‖i,即a=n,则1La: 若a山n,即an=0,则a/∥a. (3)平面与平面的位置关系 平面，的法向量为方，平面B的法向量为，若l五，即乃=丽，则∥B:若1乃，即·乃=0， 则1B. 50.空间角与空间距离的求法： (1)异面直线所成角公式：设ā，b分别为异面直线，，1，上的方向向量，0为异面直线所成角的大小，则 a.b cos0-cos(a.b) (2)线面角公式：设l为平面au的斜线，a为l的方向向量，n为平面a的法向量，6为 a.n 与a所成角的大小，则sin0=cos(anl一a (3)二面角公式：设h,乃分别为平面α，B的法向量，二面角的大小为6，则=(，乃)或元-(，乃》 h乃 (需要根据具体情况判断相等或互补)，其中cos日= 网 (4)点到平面的距离：A为平面u外一点，为平面u的法向量，过A作平面cu的斜线AB及垂线AH,则 d-14B.n n 速查06直线与圆(24个核心考点) 一、直线方程 1.直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素. 2.直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°，180)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴. 3.直线的斜率：倾斜角为a(c≠90°)时，斜率k-tana:倾斜角为90时，斜率不存在. 4.直线的斜率公式：过两点P(&1,y)、P2(&2,y2)(x1≠x)的直线斜率k=(y2-y)/2-x). 5.直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化 6.直线的一般式方程：Ax+By+CO(A、B不同时为0)，可快速判断直线的斜率和截距 7.两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k2且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴， 8.两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，kk2=1;一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴）· 75/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9.两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合 10.点到直线的距离公式：点Pko,yo)到直线Ax+By+C-0的距离 11.两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C:=0与Ax+By+C2=0(C≠C)的距离d= lq-c.l vA+B 12.一组直线系方程： (1)过定点P(x,)的直线系方程：A(x-)+B(y-y)=0(A+B≠0)，还可以表示为 y-y=k(x-x)和x= (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+入=0（入≠C): (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+九=0. (4)过两条已知直线A1x+By+C1=0,Ax+By+C,=0交点的直线系方程： Ax+By+C1+2(Ax+B2y+C2)=0(不包括直线Ax+By+C3=0)和Ax+By+C=0. 13.关于对称的二级结论： (1)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-xy). (2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). (3)点(xy)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为. (4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y). (⑤)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 二、圆的核心考点（11个) 14.圆的标准方程：(x-a)+y-b)(r>0),其中(a,b)为圆心坐标，r为半径. 15.圆的一般方程：x2+y2+Dx+y+F=0(D2+E2-4F>0),圆心为 1 22 ,半径1=D+4F 76/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 16.点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d,长r则点在圆内，d与则点在圆上，d>r则点在圆外 17.直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d,d<r则相交，d则相切，d>r则相离 18.直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等. 19.直线与圆相交的弦长公式：弦长=2√r2-d2(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径)， 20.圆与圆的位置关系：设两圆半径为、r2,圆心距为d,内含(d长r)、内切(d-)、相交(- <d长+2)、外切（d与+2)、外离（dDI1+2). 21.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y=r2上一点P(x)的圆的切线方程为xx+%y=r2. (2)过圆(x-a+(y-b)=r2上一点P(x)的圆的切线方程为 (-a(x-a)+(h-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r外一点M(x,)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx+yy=r2. 22.圆系方程 (1)同心圆系方程：(x-a)+(y-b)=r(r>0),其中a,b是定值，r是参数： (2)过直线Ax+By+C=0与圆x2+y+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程： x+y+Dx+Ey+F+(4x+By+C)=0(AER): (3)过圆C1:x2+y2+Dx+Ey+耳=0和圆C:x2+y2+Dx+Ey+F2=0交点的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+E+(x2+y2+Dx+E2y+F)=0(2≠-1)（该圆系不含圆C2,解题时，注意检 验圆C,是否满足题意，以防漏解)· 23.二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x2、y项） 24.圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形 速查07圆锥曲线(38个核心考点) 一、椭圆 77/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F、F2(焦点)的距离之和等于常数(2a,2a>FF)的点的轨迹，FF=2c (c<a). 2.椭圆的标准方程：焦点在x轴上： xy )31(a>b0):焦点在y轴上：方+=1(a>b>0 (a>b>0),其中b2=a2-c2. 3判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x2、y项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴. 4.椭圆的离心率：e=S,范围为0,1)，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近圆。 C 5.椭圆的顶点：长轴端点（±a,0)或(0，±a),短轴端点(0，比b)或（地，0），长轴长2a,短轴长2b. 6.椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为（±c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c2=a2-b 7椭圆的焦半径公式：椭圆上的点P(x,)与左（下）焦点耳与右（上）焦点F,之间的线段的长度叫做椭 圆的焦半径，分别记作=P,5=PF· (1)+y2 京+6=1(a>b>0),5=a+ex,5=a-ex,: 2)之+1(a>b>0=a+e%,5=a-a 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x,)与两焦点构成的△PF叫做焦点三角形， 术P职-85水份积为S,则音+名=1a60中 (1)当P为短轴端点时，0最大. 2s=PRPsn9=barc 当y=b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc. (3)焦点三角形的周长为2(a+c): 78/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9所圆的焦点法（过焦点的波）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点滋）最短，法长1-2 门0.祁椭圆的弦长同题：AB为椭圆之大 +万=1(a>b>0)的弦，A(,y),B(x,⅓)，弦中点M(,6), 则 (1)弦长1=V1+k压-x=1 1+ (2)直线AB的斜率k4B= b'xo o 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2ba,是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c,最小值为a-c. 13.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光 性) 14若B(xy)在椭圆a十b产=1上，则 (1)以(x,)为切点的切线斜率为k= b'xo ayo (2)过乃的椭圆的切线方程是+=1. 15若化，)在能回号'号-1外，粒马，作指的两条切线切有为、，则阿弦B心的 直谈方理+学-1 二、双曲线的核心考点 16.双曲线的定义：平面内与两个定点F1、F2(焦点)的距离之差的绝对值等于常数(2a,0<2a<FF)的 点的轨迹，lFF=2c(c>a). 17.双曲线的标准方程：焦点在x轴上： 方-1(a0b0):焦点在y轴上：二-￡-1(a0b0. a2 b2 其中b2-c2-a2. 791/352 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18双曲线的离心率：e=C,范围为(1，十o,e越接近1，双曲线开口越窄；e越大，开口越宽. 19.双曲线的顶点：实轴端点（±a,0)或(0，±a),虚轴端点(0，b)或(b,0),实轴长2a,虚轴长2b, 20.双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为(c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c=a+b2. 21.双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y=±x;焦点在y轴上：y=±乙X,渐近线是双曲线的重要特征 b 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过 另一个焦点（发散性）· 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为 2b3 a 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为ab. x y x y2 25.1）与云云=1共铌的双曲线方程为。厅-1，①它们有公共的渐近线：②四个焦点都在以 原点为圆心，C为半径的圆上：③+ -=1 2)与x =1有相同焦点的双曲线方程为一 r? a2 b2 -元+石=l(≠0，a->0,2+b>0 、=1有相同焦点的椭圆方程为： 2+元+a=l(*0,a+元>1-b2>0) 4)与+1有相同焦点的双曲线方程为： a2-元-b=1(≠0，a->0,元-b>0） (5)与y =1有相同离心率的双曲线方程为： a2 b2 ①焦点在x轴上时： x2 y2 6 =元，(2>0，元≠1) ②焦点在y轴上时： yx a26=,(1>0) 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记∠FPF,=日，则 2b2 PE,F1-cos日 (2)焦点三角形的面积Sa码=cyp-bcot 27.若(x,y)在双曲线 方1上，则 (1)以(，)为切点的切线斜率为= b'xo ayo 80/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过乃的双曲线的切线方程是车-=1 8若A(:,)在双曲线，31外·则过P作双亩线的两条切线切点为P、P,厕切点弦PP的直 线方程是x-=1. 三、抛物线的核心考点 29.抛物线的定义：平面内与一个定点F(焦点)和一条定直线1（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准 线的距离为p(p>0). 30.抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y2-2印x:x轴负半轴：y=-2px;y轴正半轴：x2-2py: y轴负半轴：x=-2py（p>0)· 31.抛物线的离心率：e=1,是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32.抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）· 33.抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为二，顶点到准线的距离为二，焦点到准线的距离为印 34抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴： 反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点。 35.抛物线y-2px(p>0)上一点P(xo,y)的切线方程为yoy=px+xo). 36过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点 37.设AB是过抛物线y=2px(p>0)焦点F的弦，若A(,y),B(x2,y),则 )xx三2=p 2AOG类A团x+书+pa为弦B的D sin'a 1 12 (3) FA FBP (4)以弦AB为直径的圆与准线相切； 81/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切： (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上 速查08统计(9个核心考点) 一、随机抽样 1.简单随机抽样方法：抽签法和随机数法. 2.分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 二、用样本估计总体 3.频率分布直方图 (1)频率分布表的画法： 极差 第一步：求极差，决定组数和组距，组距= 组数 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间： 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表， (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图） 频率 组距 0.030 0.025 0.015 0.010 0.005 0 405060708090100→分数 横轴表示样本数据，纵轴表示 频率 每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率. 组距 4.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把个数据按大 小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数， （3)平均数：把4+4十+称为4，a,,4,这n个数的平均数. 82/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)标准差与方差：设一组数据x,x,x,,x的平均数为元，则这组数据的标准差和方差分别是 -(对e到矿…化月-（s到西(s门 5频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的. (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边 中点的横坐标之和. 6.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x,x,…,xm的平均数为x,那么X+a,x十a,x3+a,…,xn+a的平均数是nx+a. (2)数据x,,…,xn的方差为52. ①数据x+a,x+a,…,x+a的方差也为52： ②数据1，x2,…,n的方差为a2s2. 三、变量间的相关关系与统计案例 7.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关 系是一种非确定性关系： (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散 布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关 8.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 83/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 24-0y- 、 b= 盛 (2)回归方程为)=bx+a,其中 2- a=y-bx (3)通过求Q= ∑(y一bx-d的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法. (4)相关系数： 当”>0时，表明两个变量正相关：当r<0时，表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系。通常大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性。 9.独立性检验 (1)分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量. 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表 ②2×2列联表. 一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为(1，x2}和{以，y2},其样本频数列联表 (称为2×2列联表)为： y y2 总计 X1 6 atb X2 d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 从2×2列表中， 依据a,与c 的值可直观得出结论：两个变量是否有关系， a+b'c+d (2)等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列 联表数据的频率特征. 84/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②观察等高条形图发现”，与。相差很大，就判断两个分类变量之间有关系。 a+bc+d (3)独立性检验 计算随机变量x2= n(ad-bc)2 利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为X (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 独立性检验. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 速查09计数原理、概率(20个核心考点) 一、计数原理 1.完成一件事可以有类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方 案中有，种不同的方法.在第n类方案中有种不同的方法.那么，完成这件事共有 N=+2+.+M种不同的方法. 2.完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有，种不同的方 法.··.··做第n步有，种不同的方法.那么，完成这件事共有=×%×..×，种不同的方法. 3排列数公式：4=nn-1(1-2(-m+1)F-m n! 4.组合数公式： C=42=nn-n-2…(n-m+1g A m! 5.排列数、组合数性质： (四4=nl,01=12C8=1,C=Cm,C+C1=Cm 6.二项式定理：(1)（a+b”=C0a+Ca-b++Ca-*乃+..+Cb(neN）: (2)通项公式：T41=Ca”-*b，它表示第k+l项： 85/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C,C,，，C 7.二项式系数的性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数相等，即C=C 当k<空时，二项式系数是递增的 增减性 当>时，二项式系数是递减的 与最大值 质 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 二项式 Cg+CW+C+…+Ca=2m 系数的和 Cg+C2+C4+…=Ck+C2+C0+…=2" 二、概率 8.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率：P(E)=1. (3)不可能事件的概率：P(F)=0. 9.概率的加法公式： (1)如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A+P(B) (2)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件， P(AUB)=1,P(A)=1-P(B) (3)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(40B). 10.古典概型的概率公式P(4)=”m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数 n 11.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B,在己知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做 条件概率，用符号P(BA)来表示，其公式为P(BA)= P(AB)(P(A)>0). P(A) 86/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P(BA)≤1： ②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCA)=P(B1A)+P(CA. 12.全概率公式 (1)P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA); (2)定理1若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA,=0,i,j=1,2,,n,i≠j: ②A+A++An=2: ③P(A)>0,i=1,2,…,n. 则对2中的任意事件B,都有B=BA+BA,++BAn，且 P(B)=2PBA)=2P(4)P(B14). 1= 13.贝叶斯公式 （1)一般地，当0<P)<1且PB>0时，有P4B)=P4PCB) P(A)P(B A) P(B) P(A)P(B A)+P(A)P(B A) （2)定理2若样本空间2中的事件A,A,…,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA=0,，i,j=1,2,…,n,i≠j; ②A+A,+…+An=2: ③0<P(A)<1,i=1,2,…,n. 则对2中的任意概率非零的事件B,都有B=BA+BA+…+BA,，且 AB)-P(A)P(BAP(4)P(B14) P(B) 24na4 14.相互独立事件 (1)对于事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A,B是相互独立事件 (2)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. (3)若A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也都相互独立. (4)若A与B相互独立，则P(BA)=P(B) 87/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P(AB)=P(BI A)P(4)=P(4)P(B). (5)一般地，如果事件A,A,,A,（n>2,n∈N)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积，即P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A) 三、概率分布 15.随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,Y,5,☑，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量. 16.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为，x,…,x,,x,X取每一个值x（i=1,2,…,n) 的概率P(X=x)=P,以表格的形式表示如下： X 为 x2 x X ò P P P Pa 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式 P(X=x)=P,i=1,2,…,n表示X的分布列. (2)分布列的性质：①P,≥0，i=1,2,3,…,z②∑，=1. 17.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 1 P 1-卫 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p=P(X=)为成功概率 88/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则 P(X=k)= C,k=QL,2,m,其中m=mnM,y,且m≤N,M≤N,nM,NeN, CN X 0 1 nt CC CNCN-M 98 CN CN 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布， 18.独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行：②各次试验是相互独立的：③每次试验都 只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生， (2)二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生 的概率为p,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=)=Cp产(1-p,k=0,1,2,,n,则称随机变 量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称p为成功概率. 19.正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交： ②曲线是单峰的，它关于直线x=对称： 回曲线在x=以处达到峰值一1 ④曲线与x轴之间的面积为1： ⑤当σ一定时，曲线的位置由4确定，曲线随着4的变化而沿x轴平移： ⑥当一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高'，表示总体的分布越集中：σ越大，曲线 越“矮胖”，表示总体的分布越分散 89/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)正态分布的三个常用数据 ①P(u-o<X≤u+o)≈0.6826： ②P(u-2σ<X≤u+2o)≈0.9544： ③P(u-3o<X≤u+3o)≈0.9974. 20离散型随机变量的均值与方差 (1)均值：E(X)=x卫1+xP3++xP,++xPa 2方差：D(X)=(-E(X)》m,其算术平方根D灯为随机变量x的标准差 (3)两个特殊分布的期望与方差： 两点分布：E(X)=p,D(X)=P(1-p): 二项分布：E(X)=p:D(X)=p(1-p): (4)常用结论：若Y=X+b,其中a,b是常数，X是随机变量，则 (i)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数： (ii)E(ax+b)=aE(X)+b,D(ax+b)=aD(X): (i)E(X+X3)=E(X)+E(X): (iV)D(X)=E(X2）-(E(x)°： (V)若X1,X,相互独立，则E(X,·X)=E(X)E(X). 90/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 03 重难题型·解题妙招 妙招01客观题审题与解题技巧 数学客观题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，解答时必须按规则进 行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩 短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准“巧“快”上下功 夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等. 方法一直接法 直接法就是直接从题设条件出发，利用己知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础 知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的 方法. 【例1-1】（多选）(2024年新课标全国1卷)设函数f()=(x-)(x-4),则() A.x=3是f()的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 【答案】ACD 【详解】对A,因为函数f(x)的定义域为R,而f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)=3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时，f"(x)<0,当xe(-o,1)或x∈(3，+o)时，f(x)>0 函数f(x)在(-o,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的 极小值点，正确： 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 而由上可知，函数f(x)在(0，)上单调递增，所以f(x)>f(x2),错误： 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在(1,3)上单调递减， 所以f1)>f(2x-1)>f(3),即-4<f(2x-1)<0,正确： 对D,当-1<x<0时，f(2-x)-f(x)=(1-x)(-2-x)(x-1)(x-4)=(x-1)(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),正确： 故选：ACD, 【规律方法】直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活 91/352 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是 快速准确地求解选择题、填空题的关键， 【例1-2】(2025新课标全国IⅡ卷)设抛物线C:y=2P(P>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C 准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF=() A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】：解法一：由题知，F号，0)，准线方程为：x=号，设4(，%)，则B(号). %=-2×(←+2 因为lF:y=-2x+2,所以 ·解得P=2 0-2×号2 (%=4 因为点A在C上，所以=2匹，即16=4x,所以x=4, 所以1AF=。+)=4+1=5.故选：C. 2 解法二由题可知，直线y=-2x+2与轴的交点即焦点F(1,0),, 则抛物线的准线方程为：x=-1,抛物线方程为%=4x, 所以B(←1,4)，则可设A(x4,4,将其代入抛物线方程得x4=4,所以A(4,4), 则AF=V(4-1)2+(4-0)2=5,故选：C 方法二特例法 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特 殊位置，进行判断.特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能 是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 【例2-1】（2024全国甲卷)己知等差数列{a}的前n项和为S,若Sg=1,则as+a= A-2 B C.1 D 【答案】D 【解析】不妨取等差数列的公差0，则S=1=9a,可得a号则a+a-2a号答案为D. 【例2-2】(2026成都三诊模拟·第12题)若对任意正实数xy,都有fy)=fx)+f0y),且f(2)=1,则 f8)= 【答案】3 【解析】第一步：分析函数特征，题目给出fy)x)+fy),符合对数函数的性质 (1og(y)=logx+logy)，可选取特殊值代入简化计算； 第二步：选取特殊值计算f④)，令xy=2(正实数，符合题干条件)，则f2×2)f(2)十f2),即 f4)=1+1=2: 92/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三步：选取特殊值计算f8),令x-4,y=2(均为正实数)，则f4×2)f4)+f2),即f8)=2+1=3: 第四步：验证结果，可令x=2,y=4,结果一致，确保计算无误 【规律方法】特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选 择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： (1)取特例尽可能简单，有利于计算和推理. (2)若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方 法求解. 【例2-3】（2024新课标II卷)己知曲线C:x2+y2=16>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P为 垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为 () A会100y B后10 c210>0) 164 D若10e0 【答案】A 【解析】在曲线C上取一点(0,4)，向x轴作垂线，中点坐标为(0,2)，代入A,B,C,D四个选项，只有A符 合.答案为A 方法三排除法 排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推 理、计算、判断，排除不符合要求的选项， 【例3-1】如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的 中点，点P沿 着边BC,CD与DA运动，记∠BOP=x.将动点P到A,B两点距离之 和表示为x的 函数x),则x)的图象大致为() y C D 【答案】B 931/352 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时， 即0sx≤时，PA+PB=Vtan'x-+4+tanx, 当点P在CD边上运动时，即平买封， A+B=V品++1+V+i 当x时，A+PB=2W2:当点P在AD边上运动时，即xS红时，A十PB=Vanx+4-tax,从 点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x=对称，且得，且轨迹非直线型.故选B。 【规律总结】(1)对于干扰项易于淘汰的单选题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个，如本例的 图象问题， (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项. (3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定一答案唯一，等效命题应该同时排除. (④)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的. (⑤)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断 【例3-2】若函数y=x一sin2x+asinx为增函数，则a的取值范围是(） A.[-1,1] B-1,割 c[3剖 [-1,司 【答案】C 【解析】（排除法）不妨取a=-1, 则fy)=x-3sin2x-sinx, f-=1子s2x-cosx,但和=1-子-1=子0，不符合题意，排除A,B,D 方法四构造法 用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和 基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问 题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化. 【例4-1】(2026湖南湘潭三模)己知a=1n2,b=e,c=2 ，则() e A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>b>c 【答案】B 94/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】由e8>2,可判断b,c大小，构造函数f(x)=nx-，求导确定单调性，可判断c,a大小， e 即可求解 【详解】因为e02×e=e,e>32=2,所以e9>2,则e2>名 e 令)=r。则f-}, x e er 当x∈(0，e)时，f'(x)>0,f(x)单调递增， 当x∈(e,+o)时，'(x)<0,f(x)单调递减， 则f(x)≤f(e)=0, 则f(2)=h2-2<0,即n2<2.故b>c>a. e e 【规律总结】构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其 中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究， 【例4-2】（多选）(2026江西赣州二模)四面体ABCD满足AB=CD=1,AD=BC=√5，BD=2, AC=√2，则() A.直线AC与BD的夹角为60° B.四面体ABCD外接球的表面积为4π C.AC的中点到直线BD的距离为5D.四面体ACD内切球的半径为 -1 2 2 【答案】BCD 【分析】推导出AB LAC,AC⊥CD,BC⊥CD,AB⊥AD,将四面体ABCD补成长方体，并建立空 间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项：求出四面体ABCD外接球半径，利用球体表面积公式可 判断B选项；利用等体积法可判断D选项 【详解】在四面体ABCD满足AB=CD=1,AD=BC=V3,BD=2,AC=√5， 由勾股定理可得AB+AC2=BC，所以AB⊥AC, 同理可得AC⊥CD,BC⊥CD,AB⊥AD, 将四面体ABCD补成长方体如下图所示： 95/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ZA 以点A为坐标原点，CD、AC、AB的方向分别为x、y、二轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标 系， 对于A选项，A(0,0,0)、B(0,0,1)、C(0,√，0、D1,√2,0， AC=(0,V2,0）,BD=(么，V2,-1,则cosAC,BD AC.BD =2-2 AC.BD2×22, 所以直线AC与BD的夹角为45°，A错： 对于B选项，该四面体的外接球直径为2R=BD=2,则R=1, 所以四面体ABCD外接球的表面积为4πR2=4π，B对： 对于C选项，线段AC的中点为E 0 ED.BD 所以点E到直线BD的距离为d ED BD 对于D选项，V四面体BCD= 5mAB3)x5×11= 32 6 SAACD= AC.cD- 2 3 ,同理可得S,c=2,Sm 2 2 设该四面体内切球球心为O,内切球半径为， 则V三棱锥4BcD=V三棱锥O-ABc+V三棱锥O-ABD十V三棱锥O-ACD十V三棱锥O-BcD -a+8+sm+o加5-同r=g 6 解得7= 5 5后-万1，D对 (5-2)6 2(W5+2) 【例4-3】(2025新课标全国I卷)己知2+log2x=3+log3y=5+logz,则x,y，z的大小关系不可 能是() A.x>y>Z B.x>z>v C.y>x>Z D.y>z>x 【答案】B 96/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【解析】设2+og,术=3+lo8:y=5+l8,2=m,所以，《=22，y=33,2=55 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数y=2,y=33,v=5的图象，以上方程的根分别是函数y=23,v=33,V=5的图象与直 线x=m的交点纵坐标，如图所示： 3 ix=m 易知，随着m的变化可能出现：x>y>2,y>x>2,y>>r,z>y>x,故选：B. 方法五估算法 因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答 案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省 了时间，从而显得更加快捷， 【例5-1】(2019全国I卷高考真题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至 足底的长度之比是5-1(5-1<0.618，称为黄金分制比，著名的断臂维纳斯便是如此.此外，最 2 2 美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-1.若某人满足上述两个黄金分割比例，且 2 腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190cm 【答案】B 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解，计算可估计身高 【详解】头项至脖子下端的长度为26cm, 说明头顶到咽喉的长度小于26cm, 97/352 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是√5-L0.618, 2 可得咽喉至肚脐的长度小于26 ≈42cm, 0.618 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-！ 2 可得肚脐至足底的长度小于42+26 =110, 0.618 即有该人的身高小于110+68=178cm, 又肚脐至足底的长度大于105cm, 可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm, 即该人的身高大于65+105=170cm, 即人的身高大于170cm小于178Cm, 故选：B 【规律方法】估算法使用要点 ()使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题.常与特值（例）法结合起来使用. (②)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题， 常进行分割、拼凑、位置估算， 【例5-2】己知点P是双曲线。-1上的动点，乃1、F乃分别是此双曲线的左、右焦点，O为坐标原 点.则PP型的取值范围是(B) OP A.[0,6] B.(2,V同 c.9 D.1o. 【答案】B 【解析】当点P趋于双曲线右支上的无穷远处时，PF,PF,IOP趋于相等，从而原式的值趋于2. 当点P位于右支的顶点处时，PF1+PF=4W3,OP列=22.从而原式的值为V6,排除C、D选项，又易 知原式的值不可能为O,排除A,故选B, 方法六：数形结合法（几何/函数题最优，直观高效） 将代数问题几何化、几何问题代数化，借助函数图象、几何图形的直观性分析问题，避免繁琐计算适 用于解析几何、函数零点、不等式解集、向量运算、立体几何等题型，核心是“以形助数、以数解形”，尤 其适合解决抽象函数、解析几何类填空题. 【例6-1】(2025新课标全国IⅡ卷)一个底面半径为4C,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度 忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为c, 98/352 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【容利 【解析】：若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图， 则球的半径R=4,此时4R=16>9,故不符合题意： 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图， 则铁球半径R满足4R=9,此时R= 4 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图， D 0 B 其中AC为轴截面对角线，O、O为两球球心， 分别过O作AD的平行线，过O,作CD的平行线，两线交于点M, 设铁球半径为R, 则M0=8-2R,OM=9-2R,OO2=2R, 所以(9-2R)2+(8-2R)2=4R2, 解得R=了或R=习 29 (舍去)， 做时-号 综上，铁球半径的最大值为了 【例6-2】(2026辽宁盘锦一模)已知P为抛物线y2=12x上一个动点，Q为圆x2+(y-4)-1上一个动 点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x=-6的距离之和的最小值是」 【答案】7 【详解】过点P作直线x=-6的垂线，垂足为点E,设直线PE交直线x=-3于点D, 99/352 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y E D 抛物线y2=12x的焦点为F(3,0),准线方程为x=-3, 由抛物线的定义可得PD=PF, 圆x2+(y-4)}=1的圆心为C(0,4),半径为r=1, 所以点P到点Q的距离与点P到直线x=-6的距离之和为 PO+PE=PO+PD+3=PQ+PF +3 PC-r+PF+3CF-r+3 =V0-3)2+(4-0)}-1+3=7. 当且仅当Q、P为线段CF与圆C、抛物线的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 所以点P到点Q的距离与点P到直线x=-6的距离之和的最小值是7. 方法七：构造法 这是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题 作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法. 【例7-1】（多选）(2026西藏日喀则模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为 f(x),且f(x)+f'(x)=e,则() A.f"(-x)+f'(x)=0 B./(r)te 2 C.f(x)在(0，+o)上单调递减 100/352 目 录 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质（P5） 热点02 新情境试题： 数学文化、科技应用、生活建模（P10） 热点03 跨学科交汇试题（P15） 热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题（P20） 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和（P28） 热点06 三角经典问题：三角函数图象与性质、三角形中的三线问题（P32） 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题（P37） 热点08 解析几何压轴题（P42） 热点09 概率与统计创新考法（P49） 速查01 集合、逻辑、复数、平面向量（P56） 速查02 函数与导数（P61） 速查03 三角函数与解三角形（P65） 速查04 数列（P68） 速查05 立体几何（P71） 速查06 直线与圆（P75） 速查07 圆锥曲线（P78） 速查08 统计（P82） 速查09 计数原理、概率（P85） 妙招01 客观题审题与解题技巧（P91） 妙招02 解答题答题规范与技巧（P102） 妙招03 开放性试题解题技巧（P106） 妙招05 答题模版（P111） 妙招06 妙招实训50题（P114） 避坑01 数学概念易混易错（68条）（P149） 避坑02 审题解题方法易错（72条）（P152） 冲刺01 选择题压轴预测50题（P155） 冲刺02 填空题压轴预测30题（P212） 冲刺03 解答题压轴预测20题（P238） 冲刺04 2026年新高考数学终极押题卷（1）（P274） 冲刺05 2026年新高考数学终极押题卷（2）（P291） 考前指导 指导01 冲刺复习备考指导（P308） 指导02 考前需做好的几件事（P320） 考中实战 实战01 考场规则及注意事项（P323） 实战02 高考临场答题攻略（P325） 实战03 难题/卡壳题应急破局指南（P339） 考后疏导 疏导01 聚焦可控因素：志愿填报（P341） 疏导02 启程·下一站人生（P347） 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要。数学备考之路从无捷径，唯有以有序破慌乱、以平和胜焦虑、以科学强韧性，方能在考场上落笔从容、不负韶华。 一、时间管理：用有序节奏消解慌乱 1、划分时段，精准发力 将每日时间划分为复习、刷题、纠错、休息四大板块，固定时段做固定事，避免手忙脚乱。 2、立足基础，拒绝贪多 摒弃“难题怪题执念”，优先巩固高频考点、基础题型，每天预留30分钟回顾核心公式、解题模板，确保基础题不丢分，中档题稳拿分。 3、劳逸结合，张弛有度 拒绝“熬时间”式努力，每学习1.5小时休息15分钟，保证充足睡眠，避免过度疲劳，让大脑保持高效运转，用高效学习替代无效消耗。 二、情绪调节：用平和心态对抗焦虑 1、接纳情绪，不与焦虑对抗 不必因一次模拟考失利而自我否定，不必因知识点遗忘而焦虑崩溃，承认情绪的存在，及时疏导，把焦虑转化为查漏补缺的动力。 2、即时解压，快速平复状态 烦躁时深呼吸 3 分钟、短暂远眺、轻揉肩颈，或写下烦心事清空大脑；避免过度刷手机、与人攀比，减少外界干扰。 3、正向暗示，稳定心理节奏 不必过度纠结“高考考不好怎么办”，也不必攀比他人的复习进度，专注自己的节奏，做好每天的小事，积少成多，每一步前行都有意义。 三、认知重塑：用科学认知增强韧性 1、正视差距，精准补漏 模拟考的意义不在于分数高低，而在于发现问题。正视自己的薄弱模块，针对性刷题、专项突破，把漏洞逐个补齐，每解决一个问题，就向成功靠近一步。 2、相信积累，拒绝急功近利 数学学习没有一蹴而就的奇迹，每一次刷题、每一次纠错、每一次复盘，都是在积累力量。相信量变终将引发质变，坚持下去，终会收获惊喜。 3、坚定信念，不负耕耘 高考是一场持久战，最后的冲刺，拼的不仅是知识，更是毅力与信念。相信自己的努力，不怀疑、不放弃，以坚定的信念奔赴考场，用实力书写属于自己的辉煌！ 结语：稳住节奏、放平心态、相信自己，每一步踏实前行，都在靠近理想的终点！ 热点01 新定义试题：新概念、新运算、新性质 【热点衔接】 2026 年高考数学新定义题延续 “反套路、重迁移” 命题导向，是素养考查核心载体，必考且区分度高。题型覆盖选择、填空、解答，压轴题常以数列、函数、解析几何为载体，融合新概念、新运算、新性质三类考法。命题紧扣课标，锚定向量、函数、数列等主干知识，外裹创新定义，本质是 “旧知识新包装”。试题强化现场学习、阅读理解与逻辑推理能力，情境贴近科技、生活，设问开放探究，强调从特殊到一般的思维迁移。备考需吃透定义本质，拆解新规则转化为常规问题，突破 “看不懂、不会转” 的难点，适配高考 “破套路、强思维” 的考查趋势。 【热点词】 新定义、新概念、新运算、新性质 【命题角度】 1.新概念型：引入课本未有的概念（如 “可分数列”“K 列”），考查理解与迁移。 2.新运算型：定义新符号 / 法则（如(a*b、a⊕b），按规则运算。 3.新性质型：给出对象满足的新性质（如 “和谐函数”“等差比数列”），推导论证。 【押题预测】 1．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 2．（2026·贵州黔西南·二模）定义：对于空间一个平面和该平面外两点，，若在平面内存在一点使得取得最小值，则称为，两点关于平面的“最短距点”.如图，已知正方体的棱长为2，与交于点，点为线段的中点，其中，点是，两点关于平面的“最短距点”，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】延长到，使得，连接交平面于， 根据两点之间线段最短可知：此时是，两点关于平面的“最短距点”， 连接，则， 故，故， 因此， ， 因此， 故直线与所成角的余弦值为. 3．（25-26高三上·上海·月考）双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”．如图，曲线是双纽线，关于曲线，下列说法正确的是（    ） A． B．上存在点，使得 C．若直线与只有一个公共点，则的取值范围为 D．上的点的纵坐标的最大值为 【答案】D 【解析】对于A，由图可知，点在上，则，所以，故A错误； 对于B，设曲线上任一点（且）， 由，可得，则， 即上不存在点，使得，故B错误； 对于C，直线与均经过原点，则直线与除原点外无其他公共点， 联立方程组，整理得， 当时，方程仅有一解，满足题意， 当时，整理得， 当时，方程恒成立，因为恒有一解， 所以无解，即当时，方程无解， 综上，，解得或，即的取值范围为，故C错误； 对于D，方程可化为， 令，得， 由，可得， 即，易知等号成立，故上的点的纵坐标的最大值为，故D正确； 故选：D. 4．（多选）（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 【答案】AC 【解析】因为定义在上的函数满足：，且， 所以，所以， 又，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以， 若，得，解得，又，不存在的值， 所以不存在，使得，故B错误； 当时，由，得，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是函数的第一个极小值点. 若时，则， 则， 所以，， 所以，即 递推得， 求导得， 令，可得，解得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的第个极小值点为， 所以，即，故C正确； 所以第个极小值为 当时，极小值，故D错误. 5．（2026·辽宁辽阳·二模）已知表示不超过的最大整数，，若在区间恰有两个零点，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】令，则，则， 令，可得，故的零点为， 则有，，即有，， 由题意可得，故，且有，解得， 又，故或，当时，；当时，有； 综上可得：. 热点02 新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 【热点衔接】 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知识的考查置于具体背景中，引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能力。 2026 年高考数学新情境试题将聚焦数学文化、科技应用、生活建模三大方向，凸显素养立意。数学文化类，侧重古今中外数学成就融合，如《九章算术》算法、割圆术、斐波那契数列等，结合数列、概率、几何知识考查，传递文化自信。科技应用类紧扣前沿热点，以 AI 算法、新能源、航天工程、大数据分析为载体，考查函数建模、数列递推、概率统计，强化数学建模与数据分析能力。生活建模类贴近现实，聚焦经济优化、环境治理、民生规划等，构建方程、不等式、函数模型，考查解决实际问题能力。试题呈现 “真实情境 + 核心知识” 融合特点，解法更灵活，强调从情境抽象数学问题的能力，难度梯度合理，区分思维层次。 【热点词】 九章算术、新质生产力、AR 技术、智能制造、文化创新、高质量发展、中国智造 【命题角度】 1.以中华古代数学典籍、传统工艺、民俗历法为载体，融合数列、几何、概率等知识，渗透文化自信，侧重从古文情境提炼数学模型，考查阅读理解与传统文化理解能力。 2. 依托航天航空、人工智能、大数据、新能源等前沿科技背景，结合函数、统计、数列建模，考查数据处理、逻辑推理与数学抽象应用能力。 3.立足经济消费、民生规划、环境治理、工程优化等现实场景，以不等式、函数、概率统计为工具，考查建立数学模型、解决实际生活问题的素养。 【押题预测】 1．(2026·四川乐山·月考)在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移(单位：km)：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】因为点沿平移后，坐标为， 点沿平移后，坐标为； 点沿平移后坐标为， 因为三次平移后坐标为，故，解得. 2．（2026·北京石景山·二模）人们通常以分贝（符号是dB）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为I的声音对应的等级为LdB，则有．已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度的等级约为52dB，如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的等级约为（    ） （参考数据：） A．49dB B．46dB C．26dB D．13dB 【答案】A 【解析】设原来的噪音强度为，对应的等级. 改善后的噪音强度为，对应的等级为. 根据公式，代入得：. 计算：. 将，代入： . 3．（多选）（2026·浙江·三模）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”.我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为（）.则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，使得 D．，都有 【答案】ABD 【解析】由题意可知：，，，， 则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列，则，， 所以，故A正确； 因为，则，即，故B正确； 因为， 即，所以不存在，使得，故C错误； 由等比数列性质可知，即，都有，故D正确. 4．（多选）（2026·浙江金华·二模）第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合．会徽轮廓如下图1，现将其简化为图2：半径均为1的圆，，互相过圆心，A，B为圆上两点，且，点C在圆与圆上运动．若（，），则下列选项可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题意知，，，， 因为， 所以，故， 对于A，当时，则，此时，， 所以当四点共线或四点共线时成立（不重合），故A正确； 对于B，因，故，即，故B错误； 对于C，当时，将代入得， 解得满足，故C正确； 对于D，当时，，代入得， 即满足，故D正确. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI”（GenerativeAI）向“决策式AI”（Decision-makingAI）的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检测．工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分（满分100分），按，，，，，分成6组，绘制成（如下图）频率分布直方图： 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率．与此同时进行AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为； 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为． (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）； (2)该企业将AI智能质量检测投入使用． ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被AI判定为不合格的件数为X，求X的分布列； (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂；若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别是否合格．已知：每个实际合格元件出厂获利100元；每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算，元件成本忽略不计）．若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望． 【解析】（1）平均数分  . （2）设事件：元件实际合格，事件：元件被AI判定为不合格， 由题意得： ，，，， ① 由全概率公式：. ②由题意，，计算概率得： ，， ， ， 分布列为： （3）设每件元件收益为，分四种情况计算期望： 实际合格，AI判合格：，概率； 实际合格，AI判不合格：，概率； 实际不合格，AI判合格：，概率； 实际不合格，AI判不合格：，概率. 期望元 . 热点03 跨学科交汇题：数学+化学/物理/生物/历史 【热点衔接】 2026年高考数学将持续强化跨学科命题趋势，数学与物理、化学、生物、历史多领域深度交汇，成为高考命题重要热点。此类试题以真实学科情境为载体，将函数、数列、概率统计、立体几何、拟合建模等数学知识，融入物理运动规律、化学定量计算、生物种群变化、历史人口统计与史料数据分析等场景。 命题摒弃纯理论刷题套路，侧重考查从跨学科情境中提取数学信息、建立数学模型、运用数学工具解决实际问题的核心素养。题型多分布在多选题、填空题与解答题，贴近新高考素养立意。 试题注重情境真实化、应用生活化，强调学科知识融合迁移，弱化机械公式套用。备考需学会剥离学科背景，提炼数量关系与模型结构，熟练掌握建模、运算、数据分析能力，适配新高考跨学科融合的命题风向。 【热点词】 光学性质、跨学科、生物、历史、物理、化学 【命题角度】 1.数学与物理：结合运动规律、电路、力学模型，考查函数、三角函数、向量与最值求解。 2.数学与化学：依托反应配比、平衡浓度、晶体结构，考查数列、比例运算、立体几何。 3.数学与生物：围绕种群增长、遗传概率、细胞繁殖，考查指数函数、统计概率、数列建模。 4.数学与历史：结合人口变迁、史料数据、历法纪年，考查统计分析、数列推算、线性拟合。 【押题预测】 1．（2026·广西南宁·二模）抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反射光线．这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用．其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．若抛物线的焦点为F，从F发出的光线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于抛物线，可得焦点为，准线方程为， 根据抛物线的光学性质，可得轴，所以， 将代入抛物线，可得，即， 因为，可得 整理得，即，解得或(舍去），所以， 此时，，， 所以的面积为. 2．(多选)（2026·湖南·模拟预测）已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点．其几何事实为：若双曲线的两个焦点为，为双曲线上任意一点，则处的切线平分，已知椭圆的左、右焦点分别为，双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线相切于点，与椭圆相交于点，且点均位于第一象限，若，则下列说法正确的是（   ） A．直线的斜率为定值1 B．椭圆的离心率为 C．双曲线的离心率为 D．为定值 【答案】ABD 【解析】设椭圆的半焦距为，离心率为，双曲线的半焦距为，离心率为， 设直线为， 联立与，得， 由得，又点均位于第一象限，所以， 所以直线的斜率为定值1，切点，故A正确； 如下图所示： 由双曲线光学性质知，直线为的平分线，由角平分线定理知， 设，则，， 从而，椭圆的离心率为， 由选项A知，又，所以， 在中，由正弦定理知， 所以椭圆的离心率为，B正确； 因为，，所以，双曲线的离心率为，故C错误； 法一：设，又点， 由定比分点坐标公式知，代入椭圆的方程，得， 化简得，故，故D正确． 法二：切点，在椭圆的右准线上，过点作轴的垂线，交轴于点，过点作准线的垂线交准线于点， 由椭圆第二定义知，又，故，故D正确． 3．（25-26高三下·上海·月考）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模型：，其中为种群起始个体数量，为增长系数，为时刻的种群个体数量.当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.若，则________. 【答案】600 【解析】因为当时，种群个体数量是起始个体数量的2倍，则， 即，又因， 所以. 4．（25-26高三上·黑龙江·月考）碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定的比率衰减，称为衰减率.考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为，则此生物的死亡时间t（，单位：年）和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是________． 【答案】 【解析】设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为， 那么死亡1年后生物体内碳14含量为， 死亡2年后生物体内碳14含量为， 死亡5730年后生物体内碳14含量为， 所以，，所以． 5．（2026·湖南长沙联考）空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为________________（用含的式子表示）．    【答案】/ 【解析】    由图2知，为正四面体（如图3）． 设，，如图4，在正四面体中，作平面于， 连，则为等边三角形的中心， ， 在中，， ，   ， 该晶胞的空间利用率． 热点04 函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 【热点衔接】 2026年高考数学函数与导数延续经典考法，仍是压轴核心模块，聚焦抽象函数、零点、不等式三大高频考点，凸显素养立意。抽象函数侧重考查奇偶性、单调性、周期性，多结合赋值法求解解析式、判断性质，题型以选择、填空为主。函数零点侧重与图像结合，考查零点个数判断、零点范围求解，常与分段函数、导数单调性融合。不等式问题核心是导数应用，考查不等式证明、恒成立与能成立问题，结合参数范围求解，多为解答题压轴。命题紧扣主干，规避偏难偏怪，强调逻辑推理与运算求解能力，备考需夯实基础，掌握图像分析法、构造函数法，突破核心题型，适配高考命题的稳定性与综合性。 【热点词】 抽象函数、零点、方程的实根、恒成立、有解、证明不等式、导数的应用 【命题角度】 1. 抽象函数：侧重考查奇偶性、单调性、周期性，常通过赋值法求解解析式、判断性质. 2. 函数零点：侧重结合图像，考查零点个数、范围，融合分段函数与导数单调性；极值点偏移问题等. 3. 导数与不等式：依托导数，考查证明、恒成立与能成立问题及参数范围求解。。 【押题预测】 1．（多选）（2026·广东江门·二模）若函数的定义域为，，且，，，则（   ） A． B．， C．为奇函数 D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，令，得，A正确．对于B，令，，得，因为，所以，令，得， 即存在使得，B错误． 对于C，令，得，用替换可得，所以， 当时，，又因为，所以为奇函数，设， 则，所以为奇函数，C正确． 对于D，因为， 由选项C知，同理，又为奇函数， 所以，用替换，替换可得，同理可得， 故当时，，D正确． 2．(多选)（2026·河北张家口·二模）已知函数，则（   ） A． B．函数的值域为 C．方程有且仅有3个根，，，且 D．方程的根的个数可能是0，5，6，7，8，9，10 【答案】BCD 【解析】当时，，，所以； 当时，，，所以； 则函数的图象如下： 对于A选项，，所以A选项不正确； 对于B选项，由图可知函数的值域为，所以B选项正确； 对于C选项，当时，不妨设，则，， 所以，所以C选项正确； 对于D选项，令，则，． 当时，，方程有两个不相等的负根，原方程没有根， 当时，方程的根为，原方程没有根， 当时，，知原方程无解； 当时，易得，由图可知原方程有5个不等的根； 当时，方程有两个不同实根，，不妨设， 若，函数满足，，， 则，由图可知原方程有10个不等的根，若，，原方程有9个不等的根， 若时，函数满足，， ，，，原方程有8个不等的根， 若，，原方程有个不等的根， 当时，函数满足，，， 则，，由图可知，此时原方程有6个不等的根，所以D选项正确． 3．(多选)（25-26高三上·山东·开学考试）已知函数有两个零点，设其由小到大分别为，，则（    ） A．实数的取值范围是 B． C． D． 【答案】ABD 【解析】定义域为，有两个零点，可化为有两个解， 又由于，所以左侧恒大于0，故右侧也恒大于0，可得， 设，则，在单调递增， 原方程可化为，由于，，都在的单调增区间里， 所以，即，设，，， 则时，，单调递增， 时，，单调递减，且恒大于0，极大值， 可画出如图所示，则要使有两个解，即与图像有两个交点，    由图像可得a的范围是，故A选项正确； 同样由图象可得，所以，故B选项正确； ，，结合，可得， 设，由于，则单调递增,所以，故C错误； 由于，所以， 设，则,，设，，， 在单调递增，，所以，又由于，， 所以，故D正确；故选：ABD. 4．（2026·河南周口·模拟预测）已知函数，函数. (1)讨论函数的单调性并求最值； (2)若对恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，证明：. 【解析】（1）由题意可得的定义域为. 当单调递增，当单调递减. 在区间上单调递增，在区间上单调递减. 有最大值，无最小值. （2）由题意，对恒成立，且. ，且. 令，则，且. 令，则，且. ①当，即时，有在上单调递增， 在上单调递增，. 在上单调递增，成立. ②当时，，且单调递增， ，有当时，单调递减，. 在上单调递减，单调递减， ，与题干矛盾，舍去. ③当时，当单调递减，则， 单调递减，单调递减，，舍去. 综上，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，即. 令，则，. 又∵，即. 则， ， ，右式得证. 下证左式：由可知 ，令 ，则 . 由可知 ，令 ，则 . 又∵ ，证明如下： ∴，∴，即证. ∴ . 综上可得 . ， ， ， . 所以上式得证. 5．（2026·湖北·二模）函数. (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若函数有两个零点、，且，求的取值范围. 【解析】（1）解：当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为，所以当时，；时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. （2）解：由不等式，可得， 即， 因为存在，使得成立，即在上有解， 令，则有解，构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增，所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. （3）解：函数有两个零点，即有两个不同的解， 即有两个不同的解， 令，且为单调递增函数，可得， 当时，的两个解为，即，则，即， 令，则，且，所以，， 所以， 构造函数，可得， 令，则， 所以在单调递增，则， 所以恒成立，所以在单调递增，可得， 又因为时，，所以. 热点05 数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 【热点衔接】 2026年高考数学数列模块将延续经典考法，聚焦等差（比）数列证明、数列求和两大核心，是基础必考点且常与其他模块融合，难度适中、区分度合理。等差（比）数列证明侧重定义法、通项公式法，常结合递推关系变形，考查逻辑推理能力，多作为解答题第一问。数列求和以裂项相消法、错位相减法为核心，兼顾分组求和法，适配等差、等比数列及混合型数列，考查运算求解能力。命题紧扣课标，贴合主干知识，偶尔结合新定义、跨学科情境，规避偏难偏怪。备考需夯实定义与公式基础，熟练掌握证明技巧和求和方法，突破递推式变形、求和运算易错点，适配高考数列命题的稳定性与综合性。 【热点词】 等差数列、等比数列、周期数列、裂项、错位相减法、并项、分组求和 【命题角度】 1．等差数列：侧重定义证明、通项与前n项和求解，结合递推关系变形，多为基础中档题。 2．等比数列：聚焦定义与通项公式应用，考查运算能力，常与等差数列综合考查。 3. 数列求和：核心考查裂项相消、错位相减，兼顾分组求和，适配混合型数列。 【押题预测】 1．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 【解析】（1），当时，，解得． 又当时，， ，， 数列是以2为首项，2为公比的等比数列．． （2），由题意知，. ， 设数列的前项和为，， ， 则， 两式相减得：， 即，． 2．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记为等比数列的前n项和，已知． (1)求的公比； (2)求的前n项和． 【解析】（1）由等比数列性质得， 整理得，若，所以， 两式相减，则，这与为等比数列，各项均不为0矛盾，所以舍去. 所以，，两式相减得，故的公比． （2）由，令则．此时， ， 故的前n项和 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知数列的前项和为，，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. 【解析】（1）当时，， 当时，，满足上式，所以； 由得，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. （2） . 4．（2026·浙江·三模）已知数列满足，. (1)证明：数列是等差数列； (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【解析】（1）由题意：， 所以数列是以为首项，公差为1的等差数列. （2）由（1）知：，所以，所以，， 记数列的前n项和为，当时，； 当时，； 综上所述：. 5．（2026·贵州贵阳·模拟预测）设等比数列的前n项和为，首项为，公比为q. (1)请推导前n项和公式； (2)是否存在常数c，使得是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）当时，，此时. 当时，，即.① 用公比q乘①的两边，得.② ，得，即，所以. 综上， （2）当时，.显然不存在常数c，使得是等比数列. 当时，. 令，则，所以. 因为，所以是等比数列. 综上，当时，不存在常数. 当时，存在常数，使得是等比数列. 热点06 三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 【热点衔接】 2026年高考数学三角函数模块，聚焦图象与性质、解三角形两大核心。图象与性质侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主。解三角形重点考查利用正、余弦定理解三角形，考查中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，凸显逻辑与运算能力。命题贴合课标，难度适中，多结合基础情境，规避偏难偏怪，备考需夯实公式应用，突破线段与角度转化难点，适配高考命题趋势。 【热点词】 三角函数图象、三角函数的性质、解三角形、正弦定理、余弦定理、中线、高线、角平分线 【命题角度】 1. 三角函数的图象与性质：侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主，难度适中，注重基础公式与性质的灵活应用。 2. 三角形中的三线问题：聚焦中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，考查线段与角度转化，凸显逻辑推理与运算能力 【押题预测】 1．(多选)（2026·山西·二模）函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．与直线有三个公共点 C．取得最小值时， D．将的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称 【答案】AC 【解析】由图象得：，解得，故A正确； 由，，得，又，将点代入中得： ，即，，解得，. 又，， 函数. 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点， 与只有一个公共点，故B错误； 令，即，， 解得，，故C正确； 将的图象向左平移个单位长度，得， ，图象不关于轴对称，故D错误. 2．（多选）（2026·福建·二模）已知函数的部分图象如图所示，点、在的图象上．下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期是 B．在区间单调递增 C．的一个对称中心是 D．的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】AD 【解析】对于A选项，由题意可得，又因为，所以， 所以， 又因为，所以，解得， 由图可知函数的最小正周期满足，即，即， 故，因为，故，，所以函数的最小正周期为，A对； 对于B选项，由A选项可知， 当时，，故函数在区间上不单调，B错； 对于C选项，因为，故不是函数的一个对称中心，C错； 对于D选项，因为， 所以的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到，D对. 3．（2026·江西·三模）在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 则， 即， ，则，. （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即，又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)若的角平分线与交于点，且，求的最小值. 【解析】（1）； 根据正弦定理化简得：，再由余弦定理， 代入上式得：，因为，所以. （2）因为的角平分线与交于点， 所以，因为，所以，得，故； 所以， 当且仅当，即，时，等号成立；故的最小值为. 5．（2026·北京通州·一模）在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，，． (1)求c的值； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得为钝角三角形，求边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的周长为18． 【解析】（1）因为，且，所以， 设外接圆半径为，由正弦定理得 所以，即：，所以. （2）选择条件①： 由余弦定理，得，代入，，，得，则， 此时，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 选择条件②： 若，则，所以， 由余弦定理得： ， 因为，，，所以，则是直角三角形，不满足题意. 选择条件③： 若周长为18，则，由余弦定理得：， 联立解得：，，所以，所以，为钝角三角形， 设边上的高为，则 ，即 ，. 热点07 立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 【热点衔接】 2026年高考数学立体几何模块，聚焦外接球、截面、动态问题这三大核心新方向，成为区分度提升的关键模块。外接球问题侧重不规则几何体（棱锥、棱柱）的球心定位与半径求解，结合空间几何性质考查空间想象能力。截面问题聚焦截面图形判断、周长与面积计算，考验空间作图与逻辑推理能力。动态问题结合动点、动面、动线，考查轨迹判断、最值求解，融合函数与几何思想。命题贴合课标，以中档题为主，多结合基础几何体，规避偏难偏怪，备考需强化空间想象与转化能力，掌握核心解题技巧，适配高考立体几何创新命题趋势。 【热点词】 外接球、截面、动点的轨迹、动态问题 【命题角度】 1. 外接球：侧重不规则棱锥、棱柱的球心定位与半径求解，结合空间几何性质求解。 2. 截面：聚焦截面图形判断、周长及面积计算，考验空间作图能力，贴合基础几何体命题。 3. 动态问题：结合动点、动面、动线，考查轨迹判断与最值求解，融合函数与几何思想。 【押题预测】 1．（2026·湖南湘潭·三模）如图，在三棱锥中，和都是等腰三角形，且，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图，设外接圆的圆心为， 因为都是等腰三角形，，， 所以，是的中点． 设三棱锥外接球的球心为，连接，，则平面． 过点作交的延长线于点． 设在平面内的射影为，连接， 因为二面角的大小为, 所以． 因为是等腰三角形，且， 所以， 所以 ． 过点作的平行线，与的延长线交于点，连接， 则,4，， ． 设，则由，可得， 解得， 故三棱锥外接球的表面积为． 2．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 3．（多选）（2026·福建南平·二模）如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确的是（    ）    A．平面截正方体所得截面不可能为五边形 B．平面截正方体所得截面面积的最大值是 C．两球半径之和为定值 D．两球体积之和的最大值是 【答案】ACD 【解析】由题意知，两球球心到各自相切的三个面的距离相等，所以球心到三个面的距离分别等于对应球的半径，因此两球的球心在正方体的体对角线上，两球的公切点在体对角线上. 因此公切平面与体对角线垂直，根据正方体的对称性可得， 平面截正方体所得截面不可能为五边形，所以A正确.    如图，当截面为时，因为为正三角形，所以其面积为， 所以B错误. 设两个球的半径为，且，则.因为每个球都与一个顶点出发的三个面相切，此时可看作两个球分别棱长为的正方体的内切球，所以两球球心到相应顶点的距离为对应正方体的体对角线的一半，即.所以，所以，故C正确. 由，，得.两球体积之和， 在上单调递增，所以当时，取得最大值，最大值为，所以D正确. 4．（2026·山东东营·二模）已知一个棱长为的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为_____；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为_____． 【答案】 【解析】已知正四面体的棱长，设正四面体的高为， 设底面正三角形的中心到顶点的距离为，则， ，正四面体的外接球球心在高上，且满足：， 外接球的体积：； 小球在一个角的情况如下图所示，作平面平面，与小球相切于点， 则小球球心为正四面体的中心，面，垂足为的中心， ， ，故，此时小球与面的切点为，连接，则，考虑小球与正四面体的面相切的情况， 则小球在面上最靠近边的切点轨迹仍为正三角形，即为，过作于， ，则， 小三角形边长，小球与面不接触部分的面积为：，小球永远不可能接触到的容器内壁面积为：． 5．（2026·湖南湘西·三模）如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，三棱柱的外接球为球，则过的平面截球所得截面面积的最小值为___________． 【答案】/ 【解析】根据题意，将该三棱柱补成正方体，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，所以，由正方体的性质可得该正方体的外接球球心为，即为点，则，外接球半径为， 点到直线的距离， 该截面面积最小时，点到该截面的距离为， 则截面面积的最小值为． 热点08 解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 【热点衔接】 2026年高考数学解析几何压轴题，聚焦四大核心考点，是拉开分数差距的关键模块，命题凸显综合性与创新性。离心率问题侧重椭圆、双曲线的离心率求解，结合定义、几何性质，考查运算与推理能力，常作为基础设问。定点、定值问题依托直线与圆锥曲线位置关系，考查化简变形与逻辑论证，凸显解题技巧。范围问题结合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，考验综合应用能力。存在性问题以探究性设问为主，考查分类讨论与等价转化思想。命题多结合基础圆锥曲线，情境简洁，规避偏难偏怪，强调运算严谨性与思维逻辑性，备考需夯实核心公式，掌握解题模板，突破运算难点，适配高考压轴题命题趋势。 【热点词】 离心率、定点、定值、最值、范围、存在 【命题角度】 1. 离心率问题：侧重椭圆、双曲线离心率求解，结合定义、几何性质求解。 2. 定点问题：依托直线与圆锥曲线位置关系，结合韦达定理化简变形，注重解题技巧应用。 3. 定值问题：聚焦曲线与直线交点衍生的定值探究，需化简消参，考查运算严谨性与等价转化思想，贴合压轴题基础设问。 4. 范围问题：融合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，需结合判别式、均值不等式，考验综合应用能力。 5. 存在性问题：以探究性设问为主，考查分类讨论与转化思想，需判断满足条件的点、直线是否存在，凸显思维灵活性。 【押题预测】 1．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 【答案】/ 【解析】解：如图1， 在竖直平面内，由相似关系可得，代入已知数据，得，所以椭圆形洞的高为． 如图2， 连接A与的中点交AC于G，则，如图3， ，，所以椭圆形洞的宽为．故在椭圆中，，所以离心率． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 【答案】 【解析】设双曲线E方程为， 则重心，因为内心到的距离等于内切圆半径，故的纵坐标为. 由于，所以，因为的面积， 代入得，不妨设，则有， 在中，由余弦定理得， 即，因为，则， 当时，代入得; 当时，代入得(不成立，舍去). 3．（2026·浙江·三模）已知椭圆C：，、为C的左右顶点，、为C的上下顶点，P为C上除顶点外一点，且直线、斜率乘积为． (1)求C的标准方程； (2)设Q为C上满足的一点，直线与交于H. （i）求证：； （ii）设和分别为和的面积，求的取值范围． 【解析】（1）设，则又，所以，即，故椭圆C的标准方程为； （2）（ⅰ）方法1：设斜率为k，则直线的方程为，代入， 化简得，得，， 设直线方程为代入，化简得，， 则，则，所以得证； 方法2：设，，则， 化简得，代入半角公式得 ， 化简得，则，，则， 则，， ， 所以得证； （ii） 由（ⅰ）得，则，则得， 因为，则 设，则，则，化简得，化简得，可见，H的轨迹为椭圆. 当H接近时，即P接近时，接近0，又直线为，则H到直线的距离为，则 当，时取得等号，所以，则 4．（2026·河南开封·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过点.在双曲线上异于点的两点满足. (1)求双曲线的方程. (2)若，探究：是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（，，分别为直线，，的斜率） (3)记的外接圆为圆，在点处作圆的切线，求的方程. 【解析】（1）双曲线的离心率为，平方得到，又，得到. 双曲线经过点，，解得.双曲线的方程为. （2），是双曲线上异于点的两点，，， 若，则与符号相同，与在双曲线的同一支上. ，可设的斜率为，则的斜率为，与是相异两点，可知，直线， 同理直线，先联立直线与双曲线可得 ，得. 直线显然不能与双曲线的渐近线平行，，判别式， 当时，直线与双曲线必有两个交点，由韦达定理，可得，代入得到.同理，用替换式子中的可得， 将分别代入直线中，得. .是定值. （3）利用外接圆的几何性质，可知圆心在线段的垂直平分线和线段的垂直平分线的交点处，可设的中点为，的中点为： 由（2）中已经联立直线与双曲线得到的方程：， 由韦达定理，，可得，代入直线的方程，可得， 利用相互垂直的直线斜率乘积为，可写出的垂直平分线的方程为：； 同理，用替换式中的，可得到线段的中点，，的垂直平分线的方程为：； 联立两条直线，可求得圆心的坐标，，， 过点的半径的斜率，得到切线的斜率为，所以切线. 5．（25-26高三下·云南曲靖·月考）已知抛物线的准线与圆相切． (1)求C的方程； (2)求C上的点与直线上点的距离的最小值； (3)过点且倾斜角为的直线与C交于A，B两点，点，记直线，的斜率分别为，，是否存在常数a，使得为常数？若存在，求出a及的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）抛物线的准线为， 因为C的准线与圆相切，所以圆心到准线的距离等于半径，故，则， 所以C的方程为． （2）C上的点与直线上点的距离的最小值即为C上的点到直线距离的最小值， 在C上任取一点，则． 该点到直线l的距离 当时，d取得最小值，最小值为，所以C上的点与直线l上点的距离的最小值为． （3）设，，由题意得直线的方程为，即，与联立，得，则，得，，， 则，若为常数，则，解得，此时，所以存在常数，使得为常数1． 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 【热点衔接】 2026年高考数学概率与统计模块，聚焦四大核心考点，贴合素养立意，是基础重点模块。概率侧重古典概型、条件概率、全概率公式及随机变量分布、正态分布；统计聚焦数据处理与分析。方案决策结合实际情境，考查最优方案选择，凸显应用价值；统计案例侧重独立性检验、回归分析，强化数据分析能力。马尔科夫链作为新增热点，难度适中，侧重简单应用与规律判断。命题多以真实情境为载体，题型覆盖选择、填空、解答，规避偏难偏怪，备考需夯实基础，强化建模与应用能力，适配高考命题趋势。 【热点词】 决策问题、独立性检验、线性回归、马尔科夫链 【命题角度】 1. 方案设计：结合生活、生产实际情境，考查均值与方差、对比实验等方案的设计与合理性分析，侧重应用决策能力。 2. 独立性检验：依托列联表，考查卡方计算与检验结论判断，结合热点情境，凸显数据分析与逻辑推理能力。 3．回归分析：利用回归分析知识解决实际问题，其中非线性回归问题通过换元转化为线性回归求解。 4. 马尔科夫链：聚焦简单状态转移规律，考查状态判断与简单应用，难度适中，贴合高考创新导向。 【押题预测】 1．（25-26高三·辽宁沈阳·期中）为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销后得到一组销售数据，如下表所示： 试销单价（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量（件） 47 44 37 35 27 (1)求的值； (2)已知变量具有线性相关关系，求产品销量（件）关于试销单价（百元）的回归直线方程（计算结果精确到整数位）； (3)用表示与对应的产品销量的估计值．当销售数据的残差的绝对值 时，则将销售数据称为一个“有效采集数据”．现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数的分布列和期望． 附：参考公式 参考数据：． 【解析】（1）因为，所以； （2）由题意可知，， ， 所以，，所以； （3）由题意可得 试销单价（百元） 1 2 3 4 5 6 产品销量（件） 47 44 44 37 35 27 49 45 41 37 33 29 是否有效采集数据 否 是 否 是 否 否 随机变量的可能取值为， ， 所以分布列为： 0 1 2 数学期望为. 2．（2026·河北廊坊·一模）某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的商品即可参与一次活动．活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编号分别为30，30，60，100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为a，则获得2a元购物金． (1)求顾客获得的购物金X的数学期望． (2)若原方案为方案A，该商场又策划了方案B：顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为a，b，则获得元购物金． （i）顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个方案? （ii）已知某天有3600位顾客选择方案B，求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差． 【解析】（1）购物金X的可能值为， ， 所以顾客获得的购物金X的数学期望（元）. （2）（i）由对称性不妨令，， 购物金的可能值为， ， 则（元），而， 所以顾客应选择方案. （ii）顾客选择方案B，购物金超过50元的概率， 设获得购物金超过50元的人数为，则， 所以这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差. 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球.从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验.若多次试验直到摸出红球，则试验结束.假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为. (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球.请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大. 【解析】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件，，所以试验一次结果为红球的概率为. （2）①因为、是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率为， 方案二中取到红球的概率为， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大. 4．（25-26高三·安徽六安·联考）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 5 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联； (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X，求 X的分布列和期望； (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为Y， 求使事件“”的概率最大时k的取值.参考公式及数据： 其中. 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解析】（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联； 则， 故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联； （2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，合格产品有件，不合格产品有2件， 而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有1，2，3． 则，，， 故的分布为： 1 2 3 则； （3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为， 故，则， 由， 故由可解得，因，故当时，； 故由可解得，即当时，； 故当事件“”的概率最大时，． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 【解析】（1）①由题意，车道转移概率：当前在车道0时，留在0的概率为，变道到1的概率为； 当前在车道1时，变道到0的概率为，留在1的概率为； 因此一步转移的概率矩阵为. ②设事件：时刻车辆在车道0，：时刻车辆在车道1，：时刻车辆在车道1， 已知，，，， 由贝叶斯公式. （2）设，由全概率公式得递推关系， 则，首项，因此通项为：. 所以. 故的分布列为 0 1 速查01 集合、逻辑、复数、向量（71个核心考点） 一、集合 1. 集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先检验互异性. 2. 常用数集的表示：自然数集N、正整数集N₊（或N*）、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 3. 集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩（Venn）图法，明确描述法中代表元素的类型. 4. 空集的定义：不含任何元素的集合，记为∅，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集. 5. 子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集. 6. 集合的交集运算：A∩B表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合. 7. 集合的并集运算：A∪B表示由所有属于A或属于B（或两者都属于）的元素组成的集合. 8. 集合的补集运算：表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围. 9. 集合运算性质：A∩A=A、A∪A=A；A∩∅=∅、A∪∅=A；A∩B=B∩A、A∪B=B∪A. 10. 若A⊆B，则A∩B=A、A∪B=B，解题时需注意A为空集的特殊情况. 11. 区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算. 12. 描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围（隐含定义域）. 13. 集合关系的判定：若A⊆B且B⊆A，则A=B. 14. 补集的性质：(1) ；（2）;（3） 15．集合运算与集合间关系的转化： . 16．一组重要的结论： (1)有限集合的子集情况：子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个. (2)元素与集合的关系： ． (3)德摩根公式： ． (4)容斥原理：, . 二、常用逻辑用语 17. 命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题. 18. 四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假. 19. 否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 20. 充分条件的定义：若p⇒q，则p是q的充分条件（p能推出q）. 21. 必要条件的定义：若q⇒p，则p是q的必要条件（q能推出p）. 22. 充要条件的定义：若p⇔q，则p是q的充要条件（两者互相推出）. 23. 充分不必要条件：p⇒q，但q⇏p；必要不充分条件：q⇒p，但p⇏q. 24. 全称量词命题：含有“任意”“所有”“每一个”等量词，记为∀x∈M，p(x). 25. 存在量词命题：含有“存在”“有一个”“至少一个”等量词，记为∃x∈M，p(x). 26. 全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为∃x∈M，¬p(x). 27. 存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为∀x∈M，¬p(x). 28. 充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断. 29．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 三、复数 30. 复数的定义：形如a+bi（a,b∈R）的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位（i²=-1）. 31. 复数的分类：实数（b=0）、虚数（b≠0），虚数中纯虚数（a=0且b≠0）. 32. 复数相等的条件：a+bi=c+di（a,b,c,d∈R）⇔a=c且b=d. 33 虚数单位i的运算性质：i¹=i，i²=-1，i³=-i，i⁴=1，周期为4. 34. 复数的加法运算：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i，遵循实数加法法则. 35. 复数的减法运算：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i，遵循实数减法法则. 36. 复数的乘法运算：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i，类比多项式乘法展开. 37. 复数的除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化. 38. 共轭复数的定义：a+bi的共轭复数为a-bi，共轭复数的实部相等，虚部互为相反数. 39. 复数的模：|a+bi|=，表示复数对应的点到原点的距离. 40. 复数的几何意义：复数a+bi对应复平面内的点(a,b)，也对应向量（Z为(a,b)）. 41. 实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘. 42．复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式，其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量所在射线(射线)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角，我们规定在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz. 43．复数三角形式的乘、除运算 若复数z1＝r1(cos θ1＋isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，且z1≠z2，则 (1)z1z2＝r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]． (2)＝＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]． 44.复数的常用结论： (1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i． (2)i的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*). (3)z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝，|zn|＝|z|n. 四、平面向量 45. 向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 46 零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 47. 单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量. 48. 相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关. 49. 相反向量：方向相反且模相等的向量，a的相反向量记为-a. 50. 向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律. 51. 向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则. 52. 向量的数乘：实数λ与向量a 的积为λa，模为|λ|·a |，方向由λ的符号决定. 53. 向量数乘的性质：λ(μa)=(λμ) a；(λ+μ)a=λa+μa；λ(a +b)=λa +λb. 54. 向量共线的充要条件：非零向量a与b共线⇔存在唯一实数λ，使得b=λa. 55. 向量的数量积：a·b=|a||b|cosθ（θ为a与b的夹角，θ∈[0,π]），结果为实数. 56. 数量积的性质：a·a=|a|²；a⊥b⇔a·b=0（a,b为非零向量）；|a·b|≤|a||b|. 57. 向量数量积的运算律：a·b=b·a；(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)；(a+b)·c=a·c+b·c. 58. 平面向量的坐标表示：若a=(x₁,y₁)，b=(x₂,y₂)，则a±b=(x₁±x₂,y₁±y₂). 59. 向量数乘的坐标运算：λa=(λx₁,λy₁)；向量数量积的坐标运算：a·b=x₁x₂+y₁y₂. 60. 向量夹角的坐标计算公式：cos θ＝（a,b非零）. 61．若a，b为不共线向量，则a＋b，a－b是以a，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. 62.三点共线的等价转化 A，P，B三点共线⇔＝λ(λ≠0)⇔＝(1－t)·＋t(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔＝x＋y(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1). 63.向量的中线公式 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则＝＋). 64.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G，G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①＋＋＝0； ②＝＋)； ③＝＋)＝＋). 65.向量模长不等式 对于任意两个向量a，b，都有｜｜a｜－｜b｜｜≤｜a±b｜≤｜a｜＋｜b｜. 66.有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b，则 ①若a与b的夹角为锐角，则a·b＞0；若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则a·b＜0；若a·b＜0，则a与b的夹角为钝角或π. 67.向量a在向量b上的投影向量为·. 68.极化恒等式： (1)向量通用形式：对任意平面向量 、，有： (2)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即： （3）三角形中点模型（高频核心）：在 中， 为 中点，则： 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点 、，若 为线段 中点，则对平面内任意点 ，有： 69.矩形大法 矩形恒等式（核心）：若四边形 为矩形， 为平面内任意一点，则： 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形”. ②衍生结论：在矩形中，对角线相等且互相平分，即 ，且 ，可快速转化向量模长关系. 70.等和线 （1） 基本原理与公式（熟记） 定义：设 、 为平面内一组不共线基底，若动点 满足 （），则所有满足 （ 为常数）的点构成的直线称为“等和线”. （2）核心性质： ①当 时，等和线为直线 （基底所在直线）； ②等和线与直线 平行， 的绝对值与等和线到原点 的距离成正比； ③若两等和线关于原点对称，则对应的 互为相反数； ④若 在直线 与原点之间，；若原点在直线 与等和线之间， 或 . 71. 奔驰定理 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. （1）核心定理（三角形内部点） O是△ABC内一点，且，则 （2）奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且，则： ① ② 速查02 函数与导数（55个核心考点） 一、函数核心考点（28条） 1. 函数的定义：设非空数集A、B，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数. 2. 函数的三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域. 3. 函数定义域的求解原则：分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0、底数大于0且不等于1. 4. 函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分. 5. 函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方法. 6. 函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域. 7. 函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化. 8. 分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值. 9. 分段函数的求值：需先判断自变量所在区间，再代入对应解析式计算. 10. 函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量x₁、x₂，若x₁<x₂时，f(x₁)<f(x₂)则为增函数，反之则为减函数. 11. 函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则. 12. 复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减. 13. 函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可用“∪”符号. 14. 函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-x)=f(x)为偶函数，若f(-x)=-f(x)为奇函数. (2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称. 15．函数的奇偶性性质： (1)如果一个奇函数在原点处有定义，即有意义，那么一定有． (2)如果函数是偶函数，那么． (3)若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称． (4)若函数是奇函数，则函数的图象关于点（b，0）中心对称． 16. 判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与f(x)的关系. 17. 常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数. 18. 一次函数的解析式与性质：y=kx+b（k≠0），k决定单调性，b决定与y轴交点. 19. 二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴. 20. 二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况. 21. 指数函数的解析式：y=aˣ（a>0且a≠1），底数a决定函数单调性. 22. 指数函数的性质：定义域为R，值域为(0,+∞)，过定点(0,1). 23. 对数函数的解析式：y=logₐx（a>0且a≠1），与指数函数y=aˣ互为反函数. 24. 对数函数的性质：定义域为(0,+∞)，值域为R，过定点(1,0)，底数a决定单调性. 25. 幂函数的解析式：y=xᵃ（a为常数），重点掌握a=1,2,3,-1,1/2的图象与性质. 26. 函数的周期性 (1)定义：若存在非零常数T，使得对于定义域内任意x，都有f(x+T)=f(x)，则T为函数的周期. (2)对定义域内任一自变量的值：①若，则． ②若，则． ③若，则． 27. 函数图象的变换： （1）平移变换：①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． （1）平移变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象． “左加右减，上加下减”，左加右减只针对本身，与的系数，无关，上加下减指的是在整体上加减． （2）对称变换 ①的图象的图象； ②的图象的图象； ③的图象的图象； ④的图象的图象． （3）伸缩变换 ①的图象的图象． ②的图象的图象． （4）翻折变换 ①的图象轴下方部分翻折到上方的图象； ②的图象的图象． 28．函数图象的对称性 （1）函数图象自身的轴对称 ①函数的图象关于轴对称； ②函数的图象关于对称； ③若函数的定义域为，且有，则函数的图象关于直线对称． （2）函数图象自身的中心对称 ①函数的图象关于原点对称； ②函数的图象关于（a，0）对称； ③函数的图象关于点（a，b）成中心对称． （3）两个函数图象之间的对称关系 ①函数与的图象关于直线对称（由得对称轴方程）； ②函数与的图象关于直线对称； ③函数与的图象关于点（0，b）对称； ④函数与的图象关于点（a，b）对称． 二、导数 29. 导数的定义：函数y=f(x)在x₀处的导数f’(x₀)，表示函数在该点的瞬时变化率. 30. 导数的几何意义：函数y=f(x)在x₀处的导数f’(x₀)，等于该点处切线的斜率. 31. 导数的物理意义：若s=s(t)表示位移函数，则s’(t)表示瞬时速度，s''(t)表示瞬时加速度. 32. 基本初等函数的导数公式：牢记幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式. 33. 导数的加法法则：[f(x)+g(x)]’=f’(x)+g’(x). 34. 导数的减法法则：[f(x)-g(x)]’=f’(x)-g’(x). 35. 导数的乘法法则：[f(x)·g(x)]’=f’(x)g(x)+f(x)g’(x),特别地：[kf(x)]'＝kf'(x)(k∈R). 36. 导数的除法法则：(4)'＝(g(x)≠0)， 37. 复合函数的求导法则：设y=f(u)，u=g(x)，则y’ₓ=y’ᵤ·u’ₓ，即链式法则. 38. 隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则. 39. 导数与函数单调性的关系：f’(x)>0时，函数单调递增；f’(x)<0时，函数单调递减；f’(x)=0时，函数可能为极值点. 40. 函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点. 41. 极值点的判定方法：先求导数，找到f’(x)=0或f’(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变. 42. 函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点. 43. 函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值. 44. 利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件. 45. 利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件. 46. 导数在切线方程中的应用：已知切点求切线方程，或已知切线斜率求切点坐标. 47. 导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式. 48. 函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质. 49. 求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间. 50. 二阶导数的意义：f''(x)可判断函数的凹凸性，f''(x)>0为凹函数，f''(x)<0为凸函数. 51. 导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题. 52. 可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导. 53. 导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变. 54. 利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数. 55. 导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质. 速查03 三角函数与解三角形（52个核心考点） 一、三角函数 1. 任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角. 2. 终边相同的角的表示：与角α终边相同的角可表示为α+2kπ（k∈Z）. 3. 象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限. 4. 弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为1rad. 5. 角度与弧度的换算：180°=πrad，1°=rad，1rad=. 6. 弧长公式：l=|α|r（α为弧度制，r为半径）. 7. 扇形面积公式：S=（l为弧长，α为弧度制，r为半径）. 8. 任意角的三角函数定义：设角α终边上一点P(x,y)， ， 则. 9. 三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sinα、cosα、tanα的正负. 10. 特殊角的三角函数值：牢记0、及相关诱导角的三角函数值. 11. 同角三角函数基本关系：sin²α+cos²α=1，（osα≠0）. 12. 诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限（“奇、偶”指π/2的奇数倍、偶数倍）. 13. 正弦函数y=sinx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π. 14. 余弦函数y=cosx的定义域：R，值域：[-1,1]，周期：2π. 15. 正切函数y=tanx的定义域：{x|x≠+kπ,k∈Z}，值域：R，周期：π. 16. 正弦、余弦函数的奇偶性：y=sinx是奇函数，y=cosx是偶函数. 17. 三角函数的单调性：掌握y=sinx、y=cosx、y=tanx的单调区间. 18. 三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心. 19. 三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减”的规律. 20. 三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响. 21. 函数y=Asin(ωx+φ)（A>0,ω>0）的振幅：A，周期：T=2π/ω，相位：ωx+φ，初相：φ. 22. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象画法：五点法（零点、最高点、最低点）. 二、三角变换 23. 两角和与差的正弦公式：sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ. 24. 两角和与差的余弦公式：cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ. 25. 两角和与差的正切公式：（α、β、α±β≠π/2+kπ）. 26. 二倍角的正弦公式：sin2α=2sinαcosα. 27. 二倍角的余弦公式：cos2α=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²α. 28. 二倍角的正切公式：tan 2α＝.（α≠. 29. 降幂公式：cos2α＝；sin2α＝；tan2α＝；sin αcos α＝sin 2α. 30. 升幂公式：1+cos2α=2cos²α，1-cos2α=2sin²α. 31. 半角公式：sin＝±；cos＝±；tan＝±.符号由所在象限决定. 32．半角正切公式的有理化：tan＝＝. 33. 辅助角公式：asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(a，b不同时为0)，其中. 34．积化和差公式 cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]； sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]； sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]； cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]. 35．和差化积公式 sin α＋sin β＝2sincos； sin α－sin β＝2cossin； cos α＋cos β＝2coscos； cos α－cos β＝－2sinsin. 36．配方变换公式： 37．因式分解变换公式：. 38.万能公式：. 39．三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幂、升幂、角的配凑. 40. 角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如α=(α+β)-β、2α=(α+β)+(α-β). 41. 三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数. 42. 三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角. 43. 给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角. 44. 三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果. 45. 利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式. 46. 辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为y=Asin(ωx+φ)的形式，便于求性质. 三、解三角形 47 三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角. 48 正弦定理：（R为三角形外接圆半径）. 49正弦定理的变形： 50 余弦定理： 51余弦定理的变形：， 52角形面积公式: ，并可由 可由此计算． 速查04 数列（57个核心考点） 一、数列 1. 数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{aₙ}，n∈N*，n为项数. 2. 数列的项与项数：aₙ表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数. 3. 数列的通项公式：如果数列{aₙ}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的通项公式. 4. 数列的递推公式：如果已知数列{aₙ}的首项（或前几项），且任意一项aₙ与它的前一项aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式. 5. 数列的前n项和：Sₙ = a₁ + a₂ + a₃ + … + aₙ，记为Sₙ，S₀=0. 6. 通项公式与前n项和的关系：aₙ = Sₙ - Sₙ₋₁（n≥2），a₁ = S₁，需检验a₁是否满足n≥2时的通项. 7. 数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列. 8. 常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为aₙ = C（C为常数），前n项和Sₙ = nC. 9. 摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性. 10. 数列的单调性判断：比较aₙ₊₁与aₙ的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11. 数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项. 12. 数列的周期性：若存在非零常数T，使得对任意n∈N*，都有aₙ₊ₜ = aₙ，则T为数列的周期. 二、等差数列 13. 等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的公差，记为d. 14. 等差数列的通项公式：aₙ = a₁+(n - 1)d（a₁为首项，d为公差）. 15. 等差数列通项公式变形：aₙ = aₘ + (n - m)d（m、n∈N*）. 16. 等差数列的判定方法：定义法（aₙ₊₁ - aₙ = d，常数）、中项法（2aₙ₊₁ = aₙ + aₙ₊₂）. 17. 等差数列的前n项和公式： 18. 等差数列的常用性质 （1在等差数列中，当时，． 特别地，若，则． （2），…仍是等差数列，公差为． （3），…也成等差数列，公差为． （4）若，是等差数列，则也是等差数列． （5）若是等差数列，则也成等差数列，其首项与首项相同，公差是公差的． （6）若项数为偶数，则；；． （7）若项数为奇数，则；；． （8）在等差数列中，若，则满足的项数使得取得最大值；若，则满足的项数使得取得最小值． （9）．数列是等差数列⇔（为常数）． 19. 等差数列的公差与单调性：d > 0时，数列递增；d < 0时，数列递减；d = 0时，数列为常数列. 三、等比数列 20. 等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的公比，记为q（q≠0）. 21. 等比数列的通项公式：aₙ = a₁qⁿ⁻¹（a₁为首项，q为公比，a₁≠0，q≠0）. 22. 等比数列通项公式变形：aₙ = aₘqⁿ⁻ᵐ（m、n∈N*，aₘ≠0，q≠0）. 23. 等比数列的判定方法：定义法（，q为常数，q≠0）、中项法（aₙ₊₁² = aₙ·aₙ₊₂，aₙ≠0）. 24. 等比数列的前n项和公式： 25. 等比数列的性质 （1）等比中项的推广． 若时，则，特别地，当时，． （2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列． ②设与为等比数列，则也为等比数列． （3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）． 当或时，为递增数列； 当或时，为递减数列． （4）其他衍生等比数列． 若已知等比数列，公比为，前项和为，则： ①等间距抽取 为等比数列，公比为． ②等长度截取 为等比数列，公比为（当时，不为偶数）． 26. 等比数列的最值：当q > 1，a₁ > 0时，数列递增，无最大值，有最小值a₁；当0 < q < 1，a₁ > 0时，数列递减，无最小值，有最大值a₁. 四、数列求和与递推数列 27. 数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 52. 裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝－. (5)＝. 53. 错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{aₙbₙ}，{aₙ}为等差，{bₙ}为等比）. 54. 倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前n项和推导）. 55. 分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求和后相加. 56. 递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于aₙ₊₁ = aₙ + f(n)）、累乘法（适用于aₙ₊₁ = aₙ·f(n)）、构造法. 57. 构造法二级结论： 形式 构造方法 an＋1＝pan＋q 引入参数c，构造新的等比数列{an－c}，其中c＝(p≠1) an＋1＝pan＋qn＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{an＋xn＋y} an＋1＝pan＋qn 两边同除以，构造新的数列 速查 05 立体几何(50个核心考点) 一、空间几何体 1. 空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）. 2. 棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体. 3. 棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形；两底面是全等的多边形. 4. 棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体. 5. 棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形；底面是多边形. 6. 棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 7. 棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形. 8. 圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体. 9. 圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 10. 圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 11. 球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意一点的距离相等（均为半径）. 12. 空间几何体的表面积与体积公式： 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） 底 锥体（棱锥和圆锥） 底 台体（棱台和圆台） 球 13. 正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个顶点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查正四面体、正方体. 二、空间点、线、面位置关系 14.斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝S原图形，S原图形＝2S直观图. 15. 空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解. 16. 空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行. 17. 异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角，范围为(0°,90°]. 18. 空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外. 19. 直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行. 20. 直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 21. 直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直. 22. 直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直；垂直于同一个平面的两条直线平行. 23. 直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为[0°,90°]，直线在平面内或平行于平面时角为0°，垂直于平面时角为90°. 24. 空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）. 25. 平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行. 26. 平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行. 27. 平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 28. 平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 29. 二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小用其平面角衡量，范围为[0°,180°]. 30. 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 三、外接球与内切球 31. 外接球的定义：一个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心为外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R. 32. 内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面的距离均为内切球半径r. 33. 二级结论（正方体）：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R=（a为正方体棱长）；内切球球心为体对角线中点，内切球半径r=. 34. 二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R=（a、b、c为长方体的长、宽、高），长方体一般无内切球（需满足a=b=c，即正方体时才有）. 35. 二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=√6a/4，内切球半径r=（a为正四面体棱长），且R=3r. 36. 二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径R=（r₀为底面外接圆半径，h为直棱柱的高）. 37. 二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径R=（r为圆柱底面半径，h为圆柱的高）；圆柱无内切球（需满足直径等于高，即h=2r时才有内切球，半径r）. 38. 二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为r、高为h，外接球半径为R，则满足(R-h)²+r²=R²，解得R=. 39. 二级结论（棱锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方向上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解. 40. 内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径r=（V为多面体体积，S为多面体的表面积），适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体. 41. 外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定理建立关于R的方程，求解半径. 42. 易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，并非所有几何体都有）. 四、空间向量核心考点 43. 空间向量共线的充要条件：若空间向量与（）共线，则存在唯一实数λ，使得，坐标形式为对应坐标成比例. 44. 空间向量共面的充要条件：三个空间向量共面，等价于存在实数λ、μ，使得；若三个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0. 45. 空间向量的数量积：设向量与的夹角为θ（θ∈[0°,180°]），则=cosθ，结果为实数，可用于求夹角、判断垂直. 46. 空间向量垂直的充要条件：两个空间向量与垂直，等价于，坐标形式为对应坐标乘积之和为0. 47. 空间向量的模：若向量=(x,y,z)，则|，可用于求空间中两点间的距离. 48. 空间向量夹角公式： ，θ为两向量的夹角. 49．向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，． 若∥，即，则； 若，即，则． (2)直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且． 若∥，即，则； 若，即，则． （3）平面与平面的位置关系 平面的法向量为，平面的法向量为,若∥，即，则；若⊥，即，则⊥． 50.空间角与空间距离的求法： （1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则． （2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为 与所成角的大小，则． （3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中． （4）点到平面的距离:为平面外一点，为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线,则 速查06 直线与圆（24个核心考点） 一、直线方程 1. 直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素. 2. 直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°,180°)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴. 3. 直线的斜率：倾斜角为α（α≠90°）时，斜率k=tanα；倾斜角为90°时，斜率不存在. 4. 直线的斜率公式：过两点P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂)（x₁≠x₂）的直线斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁). 5. 直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化. 6. 直线的一般式方程：Ax+By+C=0（A、B不同时为0），可快速判断直线的斜率和截距. 7. 两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，k₁=k₂且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴. 8. 两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，k₁·k₂=-1；一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴）. 9. 两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合. 10. 点到直线的距离公式：点P(x₀,y₀)到直线Ax+By+C=0的距离 11. 两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C₁=0与Ax+By+C₂=0（C₁≠C₂）的距离. 12. 一组直线系方程： （1）过定点的直线系方程：，还可以表示为和． (2)平行于直线的直线系方程：． (3)垂直于直线的直线系方程：． (4)过两条已知直线交点的直线系方程：（不包括直线）和． 13.关于对称的二级结论： (1)点关于轴的对称点为，关于轴的对称点为． (2)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (3)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． (4)点关于点的对称点为． (5)点关于直线的对称点为，关于直线的对称点为． 二、圆的核心考点（11个） 14. 圆的标准方程：(x-a)²+(y-b)²=r²（r>0），其中(a,b)为圆心坐标，r为半径. 15. 圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F>0），圆心为 ，半径 16. 点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d，d<r则点在圆内，d=r则点在圆上，d>r则点在圆外. 17. 直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d，d<r则相交，d=r则相切，d>r则相离. 18. 直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等. 19. 直线与圆相交的弦长公式：弦长=（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）. 20. 圆与圆的位置关系：设两圆半径为r₁、r₂，圆心距为d，内含（d<|r₁-r₂|）、内切（d=|r₁-r₂|）、相交（|r₁-r₂|<d<r₁+r₂）、外切（d=r₁+r₂）、外离（d>r₁+r₂）. 21. 圆的切线方程常用结论 （1）过圆上一点的圆的切线方程为． （2）过圆上一点的圆的切线方程为． （3）过圆外一点作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为． 22．圆系方程 （1）同心圆系方程：，其中是定值，是参数； （2）过直线与圆交点的圆系方程：； （3）过圆和圆交点的圆系方程：（该圆系不含圆，解题时，注意检验圆是否满足题意，以防漏解）． 23. 二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x²、y²项）. 24. 圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形. 速查 07圆锥曲线（38个核心考点） 一、椭圆 1. 椭圆的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之和等于常数（2a，2a>|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c<a）. 2. 椭圆的标准方程：焦点在x轴上：；焦点在y轴上：（a>b>0），其中b²=a²-c². 3.判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x²、y²项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴. 4. 椭圆的离心率：，范围为(0,1)，e越接近1，椭圆越扁；e越接近0，椭圆越接近圆. 5. 椭圆的顶点：长轴端点（±a,0）或（0,±a），短轴端点（0,±b）或（±b,0），长轴长2a，短轴长2b. 6. 椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²-b². 7.椭圆的焦半径公式：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作． （1）； （2）； 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中 （1）当为短轴端点时，最大． （2）， 当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为． （3）焦点三角形的周长为． 9．椭圆的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长． 10．椭圆的弦长问题：为椭圆的弦，，弦中点，则 （1）弦长； （2）直线的斜率． 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2b²/a，是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c，最小值为a-c. 13.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光性）. 14. 若在椭圆上，则 （1）以为切点的切线斜率为； （2）过的椭圆的切线方程是. 15.若在椭圆外 ，则过作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 二、双曲线的核心考点 16. 双曲线的定义：平面内与两个定点F₁、F₂（焦点）的距离之差的绝对值等于常数（2a，0<2a<|F₁F₂|）的点的轨迹，|F₁F₂|=2c（c>a）. 17. 双曲线的标准方程：焦点在x轴上：（a>0,b>0）；焦点在y轴上：（a>0,b>0），其中b²=c²-a². 18. 双曲线的离心率：e=，范围为(1,+∞)，e越接近1，双曲线开口越窄；e越大，开口越宽. 19. 双曲线的顶点：实轴端点（±a,0）或（0,±a），虚轴端点（0,±b）或（±b,0），实轴长2a，虚轴长2b. 20. 双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为(±c,0)，焦点在y轴上为(0,±c)，满足c²=a²+b². 21. 双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y=±x；焦点在y轴上：y=±x，渐近线是双曲线的重要特征. 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过另一个焦点（发散性）. 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为. 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为ab. 25. （1）与共轭的双曲线方程为，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③. （2）与有相同焦点的双曲线方程为 （3）与有相同焦点的椭圆方程为： （4）与有相同焦点的双曲线方程为： （5）与有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在轴上时： ②焦点在轴上时： 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记，则 (1). (2)焦点三角形的面积 . 27. 若在双曲线上，则 （1）以为切点的切线斜率为 （2）过的双曲线的切线方程是. 28.若在双曲线外 ，则过P作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是. 三、抛物线的核心考点 29. 抛物线的定义：平面内与一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准线的距离为p（p>0）. 30. 抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y²=2px；x轴负半轴：y²=-2px；y轴正半轴：x²=2py；y轴负半轴：x²=-2py（p>0）. 31. 抛物线的离心率：e=1，是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32. 抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）. 33. 抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为，顶点到准线的距离为，焦点到准线的距离为p. 34.抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点. 35.抛物线y²=2px（p>0）上一点P(x₀,y₀)的切线方程为y₀y=p(x+x₀). 36.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点. 37.设是过抛物线焦点的弦，若，则 （1）； （2），，弦长（为弦的倾斜角）； （3）； （4）以弦为直径的圆与准线相切； （5）以或为直径的圆与轴相切； （6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上． 速查 08统计（9个核心考点） 一、随机抽样 1．简单随机抽样方法：抽签法和随机数法． 2．分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样． 二、用样本估计总体 3．频率分布直方图 （1）频率分布表的画法： 第一步：求极差，决定组数和组距，组距 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表． （2）频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图） 横轴表示样本数据，纵轴表示，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率． 4．样本的数字特征 （1）众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数．（2）中位数：把个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数． （3）平均数：把称为这个数的平均数． （4）标准差与方差：设一组数据的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是 , 5.频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 （1）最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数． （2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的． （3）平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和． 6．平均数、方差的公式推广 （1）若数据的平均数为，那么的平均数是． （2）数据的方差为． ①数据的方差也为； ②数据的方差为． 三、变量间的相关关系与统计案例 7．变量间的相关关系 （1）常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． （2）从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． 8．两个变量的线性相关 （1）从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线． （2）回归方程为，其中． （3）通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． （4）相关系数： 当时，表明两个变量正相关；当时，表明两个变量负相关． 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 9．独立性检验 （1）分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量． 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表． ②2×2列联表． 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{，}和{，}，其样本频数列联表（称为2×2列联表）为： 总计 总计 从列表中，依据与的值可直观得出结论：两个变量是否有关系． （2）等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列联表数据的频率特征． ②观察等高条形图发现与相差很大，就判断两个分类变量之间有关系． （3）独立性检验 计算随机变量利用的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验． 0．10 0．05 0．010 0．005 0．001 2．706 3．841 6．635 7．879 10．828 速查09 计数原理、概率（20个核心考点） 一、计数原理 1．完成一件事可以有类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方案中有种不同的方法……在第类方案中有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 2．完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法．．．．．．做第步有种不同的方法．那么，完成这件事共有种不同的方法． 3.排列数公式： 4.组合数公式： 5.排列数、组合数性质： (1);(2). 6.二项式定理：（1）； （2）通项公式：，它表示第项； （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为，，，，． 7．二项式系数的性质 二、概率 8．概率的几个基本性质 （1）概率的取值范围：． （2）必然事件的概率：． （3）不可能事件的概率：． 9．概率的加法公式： （1）如果事件与事件互斥，则． （2）对立事件的概率：若事件与事件互为对立事件，则为必然事件，． （3） 10．古典概型的概率公式,m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数. 11．条件概率及其性质 （1）条件概率的定义：对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为． （2）条件概率的性质 ①非负性：； ②可加性：如果和是两个互斥事件，则． 12．全概率公式 （1）； （2）定理若样本空间中的事件，，…，满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意事件，都有，且 ． 13．贝叶斯公式 （1）一般地，当且时，有 （2）定理若样本空间中的事件满足： ①任意两个事件均互斥，即，，； ②； ③，． 则对中的任意概率非零的事件，都有，且 14．相互独立事件 （1）对于事件，若事件的发生与事件的发生互不影响，则称事件是相互独立事件 （2）若，则与相互独立． （3）若与相互独立，则与与与也都相互独立． （4）若与相互独立，则， （5）一般地，如果事件相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即． 三、概率分布 15．随机变量的有关概念 （1）随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母表示 （2）离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 16．离散型随机变量分布列的概念及性质 （1）概念：若离散型随机变量可能取的不同值为取每一个值的概率，以表格的形式表示如下： ．．． ．．． ．．． ．．． 此表称为离散型随机变量的概率分布列，简称为的分布列．有时也用等式，表示的分布列． （2）分布列的性质：①②． 17．常见的离散型随机变量的分布列 （1）两点分布列 0 1 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从两点分布，并称为成功概率 （2）超几何分布：在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则，，其中，且． 0 1 ．．． m ．．． 若随机变量的分布列具有上表的形式，则称服从超几何分布， 18.独立重复试验与二项分布 （1）独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的次试验称为次独立重复试验． 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生． （2）二项分布：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，则事件恰好发生次的概率为，则称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率． 19．正态分布 （1）正态曲线的特点 ①曲线位于轴上方，与轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线对称； ③曲线在处达到峰值； ④曲线与轴之间的面积为1； ⑤当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿轴平移； ⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． （2）正态分布的三个常用数据 ①； ②； ③． 20.离散型随机变量的均值与方差 (1)均值: (2)方差:pi，其算术平方根为随机变量的标准差． (3)两个特殊分布的期望与方差: 两点分布：，； 二项分布：；. (4)常用结论:若，其中是常数，是随机变量，则 （i），其中为常数； （ii）； （iii）； （iV）； （V）若相互独立，则． 妙招01 客观题审题与解题技巧 数学客观题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在“准”“巧”“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等． 方法一　直接法 直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的方法． 【例1-1】（多选）（2024年新课标全国Ⅰ卷）设函数，则（     ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 【规律方法】直接法是解决计算型客观题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解选择题、填空题的关键． 【例1-2】（2025新课标全国II卷）设抛物线的焦点为，点在上，过作准线的垂线，垂足为．若直线的方程为，则　　 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】：解法一：由题知，，，准线方程为：，设，，则， 因为，所以，解得， 因为点在上，所以，即，所以， 所以．故选：． 解法二 由题可知，直线与轴的交点即焦点，，， 则抛物线的准线方程为：，抛物线方程为， 所以，则可设，将其代入抛物线方程得，所以， 则，故选：C 方法二　特例法 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特殊位置，进行判断．特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等． 【例2-1】（2024·全国甲卷） 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7= (　 ) A.-2 B. C.1 D. 【答案】D 【解析】不妨取等差数列的公差d=0,则S9=1=9a1,可得a1=,则a3+a7=2a1=.答案为D. 【例2-2】（2026·成都三诊模拟·第12题）若对任意正实数x,y，都有f(xy)=f(x)+f(y)，且f(2)=1，则f(8)=______. 【答案】3 【解析】第一步：分析函数特征，题目给出f(xy)=f(x)+f(y)，符合对数函数的性质（logₐ(xy)=logₐx+logₐy），可选取特殊值代入简化计算； 第二步：选取特殊值计算f(4)，令x=y=2（正实数，符合题干条件），则f(2×2)=f(2)+f(2)，即f(4)=1+1=2； 第三步：选取特殊值计算f(8)，令x=4，y=2（均为正实数），则f(4×2)=f(4)+f(2)，即f(8)=2+1=3； 第四步：验证结果，可令x=2，y=4，结果一致，确保计算无误. 【规律方法】特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： (1)取特例尽可能简单，有利于计算和推理． (2)若在取定的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解． 【例2-3】（2024·新课标Ⅱ卷） 已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为 (　 ) A.+=1(y>0) B.+=1(y>0) C.+=1(y>0) D.+=1(y>0) 【答案】A 【解析】在曲线C上取一点(0,4),向x轴作垂线,中点坐标为(0,2),代入A,B,C,D四个选项,只有A符合.答案为A. 方法三　排除法 排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项． 【例3-1】 如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则f(x)的图象大致为( ) 【答案】B 【解析】由已知得，当点P在BC边上运动时， 即0≤x≤时，PA＋PB＝＋tanx， 当点P在CD边上运动时，即≤x≤，x≠时， PA＋PB＝＋； 当x＝时，PA＋PB＝2；当点P在AD边上运动时，即≤x≤π时，PA＋PB＝－tanx，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线x＝对称，且f>f，且轨迹非直线型．故选B． 【规律总结】(1)对于干扰项易于淘汰的单选题，可采用筛选法，能剔除几个就先剔除几个，如本例的图象问题． (2)允许使用题干中的部分条件淘汰选项． (3)如果选项中存在等效命题，那么根据规定——答案唯一．等效命题应该同时排除． (4)如果选项中存在两个相反的或互不相容的判断，那么其中至少有一个是假的． (5)如果选项之间存在包含关系，要根据题意才能判断． 【例3-2】若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x为增函数，则a的取值范围是(　　) A．[－1,1] B. C. D. 【答案】C 【解析】(排除法)不妨取a＝－1， 则f(x)＝x－sin 2x－sin x， f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不符合题意，排除A，B，D. 方法四　构造法 用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化． 【例4-1】（2026·湖南湘潭·三模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，可判断大小，构造函数，求导确定单调性，可判断大小，即可求解. 【详解】因为，所以，则． 令，则， 当时，单调递增， 当时，，单调递减， 则， 则，即．故． 【规律总结】构造法求解时需要分析待求问题的结构形式，特别是研究整个问题复杂时，单独摘出其中的部分进行研究或者构造新的情景进行研究． 【例4-2】（多选）（2026江西赣州二模）四面体满足，，，，则（   ） A．直线与的夹角为 B．四面体外接球的表面积为 C．的中点到直线的距离为 D．四面体内切球的半径为 【答案】BCD 【分析】推导出，，，，将四面体补成长方体，并建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；求出四面体外接球半径，利用球体表面积公式可判断B选项；利用等体积法可判断D选项. 【详解】在四面体满足，，，， 由勾股定理可得，所以， 同理可得，，， 将四面体补成长方体如下图所示： 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A选项，、、、， ，，则， 所以直线与的夹角为，A错； 对于B选项，该四面体的外接球直径为，则， 所以四面体外接球的表面积为，B对； 对于C选项，线段的中点为，， 所以点到直线的距离为，C对； 对于D选项，， ，同理可得，，， 设该四面体内切球球心为，内切球半径为， 则 ， 解得，D对. 【例4-3】（2025新课标全国I卷）已知，则，，的大小关系不可能是　　 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，，故选：B． 方法五　估算法 因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省了时间，从而显得更加快捷． 【例5-1】（2019·全国I卷·高考真题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是 A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm 【答案】B 【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解，计算可估计身高． 【详解】头顶至脖子下端的长度为26cm， 说明头顶到咽喉的长度小于26cm， 由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是≈0.618， 可得咽喉至肚脐的长度小于≈42cm， 由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是， 可得肚脐至足底的长度小于＝110， 即有该人的身高小于110+68＝178cm， 又肚脐至足底的长度大于105cm， 可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm， 即该人的身高大于65+105＝170cm， 即人的身高大于170小于178, 故选：B． 【规律方法】估算法使用要点 (1)使用前提：针对一些复杂的、不易准确求值的与计算有关的问题．常与特值(例)法结合起来使用． (2)使用技巧：对于数值计算常采用放缩估算、整体估算、近似估算、特值估算等，对于几何体问题，常进行分割、拼凑、位置估算． 【例5-2】已知点P是双曲线－＝1上的动点，F1、F2分别是此双曲线的左、右焦点，O为坐标原点．则的取值范围是( B ) A．[0,6]　　　　　 B．(2，] C．(，) D．[0，] 【答案】B 【解析】当点P趋于双曲线右支上的无穷远处时，|PF1|，|PF2|，|OP|趋于相等，从而原式的值趋于2.当点P位于右支的顶点处时，|PF1|＋|PF2|＝4，|OP|＝2.从而原式的值为，排除C、D选项，又易知原式的值不可能为0，排除A．故选B． 方法六：数形结合法（几何/函数题最优，直观高效） 将代数问题几何化、几何问题代数化，借助函数图象、几何图形的直观性分析问题，避免繁琐计算.适用于解析几何、函数零点、不等式解集、向量运算、立体几何等题型，核心是“以形助数、以数解形”，尤其适合解决抽象函数、解析几何类填空题. 【例6-1】（2025新课标全国II卷）一个底面半径为，高为的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为　　 ． 【答案】 【解析】：若两铁球相切，且下方铁球与底面和侧面均相切，轴截面如图， 则球的半径，此时，故不符合题意； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心均在圆柱上下底面中心连线上，如图， 则铁球半径满足，此时； 若两铁球相切，且上方铁球与上底面相切，下方铁球与下底面相切， 两球心分别在圆柱轴截面对角的角平分线上，轴截面如图， 其中为轴截面对角线，、为两球球心， 分别过作的平行线，过作的平行线，两线交于点， 设铁球半径为， 则，，， 所以， 解得或（舍去）， 故此时． 综上，铁球半径的最大值为． 【例6-2】（2026·辽宁盘锦·一模）已知为抛物线上一个动点，为圆上一个动点，那么点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是______. 【答案】 【详解】过点作直线的垂线，垂足为点，设直线交直线于点， 抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义可得， 圆的圆心为，半径为， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和为 . 当且仅当、为线段与圆、抛物线的交点时，上述不等式中的两个等号同时成立， 所以点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值是. 方法七：构造法 这是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法． 【例7-1】（多选）（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，其导函数为，且，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．函数只有一个极值点 【答案】ABD 【详解】因为是定义在R上的偶函数，所以，两边取导数得，所以，A正确； 由①，得，则②，由①②得，B正确； 由①②得，知在上单调递增，则，所以在上单调递增，C错误； 由得，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，则函数只有一个极值点，D正确． 【例7-2】（多选）（25-26高二下·山东·期中）在平面直角坐标系中，已知两点连线的斜率为1，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】对选项AB：设，易知， 求导可得单调递增，故的图象上某点处的切线的斜率随着自变量的增大而增大， ，即， 所以，且，故AB正确； 对选项CD：设直线的方程为， 则和是函数的两个零点，， 求导可得，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要证明，只需证明， 因为，且在上单调递减， 所以证明，即证明， 因为，所以即证明， 设， 求导可得， 所以在上单调递增，所以， 因此，即， 则，，故C正确，D错误. 妙点02 解答题答题规范与技巧 高考数学解答题是分值占比最高（占77分）、综合性最强的题型，兼具基础性与选拔性，不仅考查考生的知识掌握程度，更侧重考查逻辑推理、规范表达与解题思路.解答题的核心评分原则是“按步骤给分”，规范答题是得分关键，技巧运用是提分保障. 一、高考数学解答题核心答题规范（重中之重） 高考数学解答题实行“按步骤给分”，评分标准明确：正确的解题思路、规范的步骤表达、精准的计算结果，三者缺一不可.很多考生“会做但失分”，核心原因是步骤不规范、表达不清晰、符号使用错误，导致“过程分丢失”.结合高考评分细则，核心规范如下，需严格遵守. （一）通用规范：所有解答题必遵循 1. 书写规范：字迹清晰、卷面整洁，避免潦草涂改；步骤排版整齐，每一步独立成行，不跨步骤书写，便于阅卷老师快速找到得分点.严禁字迹潦草、卷面混乱，否则可能导致阅卷老师漏看步骤，丢失基础分. 2. 符号规范：严格使用数学标准符号，杜绝自创符号；符号书写准确，如“∈”与“⊂”、“∪”与“∩”、“≥”与“＞”、“π”与“n”区分清晰；向量、矩阵等特殊符号书写规范，如向量需加箭头，避免与普通字母混淆. 3. 步骤规范：遵循“审题→列式→推理→计算→结论”的逻辑，步骤完整，不跳关键步骤.核心原则：“能写的步骤必写，不省略推导过程”，即使是简单的计算、公式代入，也需简要说明，避免“跳步失分”.例如，使用基本不等式时，需明确写出“一正二定三相等”的条件；求导数时，需写出导数公式，再代入计算. 4. 结论规范：每道题的最终结论需明确写出，标注清晰，如“综上，所求值为______”“因此，数列的通项公式为______”；结论需符合题干要求，如定义域、取值范围、单位等，不可遗漏.若有多个结论，需分点标注，避免混淆. 5. 纠错规范：若答题过程中出现错误，需用横线轻轻划掉错误部分，重新书写正确内容，严禁涂改、涂抹，避免卷混乱；若需修改的内容较多，可在空白处注明“此处修改”，确保阅卷老师能清晰看到正确步骤. （二）专项规范：各题型特殊要求 1. 三角函数与解三角形：需注明角的范围（如“∵0＜A＜π”），使用正弦定理、余弦定理时，需写出公式原式，再代入已知条件；涉及三角恒等变换，需写出变换公式（如两角和差公式、二倍角公式），不可直接写出变换结果；最终结果需化为最简形式，角度需符合题干要求（弧度或角度）. 2. 数列：求通项公式、前n项和时，需注明推导依据（如“由等差数列定义可知”“由递推公式变形得”）；使用错位相减法、裂项相消法时，步骤需完整，错位相减后需明确写出相减结果，裂项时需写出裂项公式，避免漏写中间步骤；若涉及分类讨论（如n=1与n≥2），需明确分类依据，最后验证n=1是否满足通项公式. 3. 立体几何：证明线面平行、面面垂直时，需严格遵循判定定理，写出定理所需的全部条件（如证明线面平行，需写出“线线平行”“线不在面内”“线在面内”三个条件）；建立空间直角坐标系时，需注明坐标系的建立方法（如“以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系”），标注各点坐标，确保坐标准确；计算向量夹角、线面角、二面角时，需写出向量坐标，明确夹角公式，注明角的范围（如线面角∈[0,π/2]）. 4. 解析几何：求曲线方程时，需注明推导过程（如“由椭圆的定义可知”“将点代入抛物线方程得”），明确曲线的焦点、离心率等关键参数；联立直线与曲线方程时，需写出联立后的方程，注明判别式Δ的计算过程（判断直线与曲线的位置关系）；涉及弦长、中点坐标，需写出对应的公式，再代入计算；最终结果需化为最简形式，若有多个解，需结合题干条件筛选，注明取舍理由. 5. 导数及其应用：求导时，需写出导数公式（如“f’(x)=(x²)’+lnx’=2x+1/x”），不可直接写出导数值；讨论函数单调性时，需明确导数的符号变化，结合定义域划分单调区间，注明“当x∈(a,b)时，f’(x)＞0，函数单调递增；当x∈(c,d)时，f’(x)＜0，函数单调递减”；求极值、最值时，需写出极值点的判定过程（如“令f’(x)=0，解得x=x₀，当x＜x₀时，f’(x)＞0，当x＞x₀时，f’(x)＜0，故x=x₀为极大值点”），最值需结合定义域判断，注明“由单调性可知，函数在x=a处取得最小值”. 6. 概率与统计：明确随机变量的取值，写出分布列的推导过程，分布列需满足“所有概率和为1”，并注明；计算期望、方差时，需写出公式，再代入计算；涉及独立性检验、回归分析，需写出检验统计量的计算过程，注明临界值，明确结论（如“∵K²＞3.841，∴有95%的把握认为两个变量相关”）. 二、高考数学解答题通用解题技巧（适用于所有题型） 解答题的解题核心是“化繁为简、化未知为已知”，结合高考真题规律，总结以下通用技巧，帮助考生快速找到解题思路，提升答题效率，同时规避易错点. （一）审题技巧：找准关键，规避陷阱 审题是解题的前提，也是避免失分的关键，很多考生因审题失误，导致“会做的题做错”，需遵循“慢审题、细圈画、明要求”的原则，具体技巧如下： 1. 逐字读题，圈画关键信息：通读题干2遍，第一遍了解题干大意，第二遍圈画关键条件（如定义域、取值范围、特殊要求、隐含条件），标注关键词（如“不正确的是”“至少”“至多”“恒成立”“存在”）.例如，题干中“x∈(0,π)”“函数f(x)是奇函数”“直线与曲线相切”等，都是解题的关键，需重点标注. 2. 翻译条件，转化数学语言：将题干中的文字描述、图形信息，转化为公式、关系式、向量坐标等数学语言，降低理解难度.例如，“函数f(x)在x=x₀处取得极值”转化为“f’(x₀)=0且f’(x)在x₀两侧符号相反”；“直线l⊥平面α”转化为“直线l的方向向量与平面α的法向量平行”. 3. 明确答题要求，规避陷阱：看清题干要求的答题形式（如“求通项公式”“证明不等式”“求取值范围”），明确结论的表达形式（如区间、集合、最简根式）；警惕隐含陷阱，如定义域限制、多解情况、单位换算、等号成立条件等，避免因忽略陷阱导致失分. 4. 联想相关知识，搭建解题框架：审题后，快速联想题干涉及的知识点、公式、定理，明确解题思路，搭建解题框架.例如，看到“解三角形”，联想正弦定理、余弦定理、三角恒等变换；看到“函数最值”，联想导数法、基本不等式法. （二）步骤技巧：规范有序，多拿步骤分 高考解答题“按步骤给分”，即使最终结果错误，只要步骤正确，也能获得部分分数，因此步骤技巧的核心是“完整、规范、有条理”，具体如下： 1. 先写“得分点”，再写细节：解题时，优先写出核心得分点（如公式、定理、关键推导步骤），再补充细节计算，避免因细节错误影响核心得分.例如，证明线面平行时，先写出“∵a∥b，a⊄α，b⊂α，∴a∥α”（核心得分点），再补充a∥b的推导过程. 2. 分步书写，不跳关键步骤：即使是简单的计算，也需分步书写，如“由a+2b=1，得a=1-2b，代入原式得……”，不可直接写出计算结果；涉及分类讨论时，需明确分类依据，分点书写，每类情况单独成段，标注“①当……时”“②当……时”，避免混淆. 3. 标注关键公式，增强逻辑性：解题过程中，使用公式、定理时，需标注公式名称或原式，如“由正弦定理，得……”“由基本不等式a+b≥2√(ab)（a,b＞0），得……”，既规范又能让阅卷老师快速找到得分点. 4. 合理取舍，优先拿基础分：若遇到难题，不要纠结于最终结果，优先写出能想到的步骤（如审题后的公式代入、简单推导），获得步骤分；若某一步计算复杂，可简要写出计算思路，再直接写出结果（如“联立方程得x²-3x+2=0，解得x=1或x=2”），避免因计算失误导致全题失分. （三）计算技巧：精准高效，避免粗心 计算失误是解答题失分的主要原因之一，尤其是解析几何、导数等题型，计算量大、步骤繁琐，需掌握以下计算技巧，提升计算精准度： 1. 先化简，再计算：遇到复杂表达式，先进行化简（如因式分解、通分、约分、三角恒等变换），再代入计算，减少计算量.例如，解析几何中联立直线与椭圆方程后，先化简方程，再计算判别式、弦长，避免复杂运算. 2. 分步计算，及时验算：每完成一步计算，及时验算，确认结果正确后，再进行下一步，避免“一步错，步步错”.例如，求导数后，可代入简单值验算（如x=1），确认导数计算正确；解方程组后，将解代入原方程，验证是否成立. 3. 巧用技巧，简化计算：结合题型特点，运用简便计算技巧，如错位相减法中，两边同乘公比后，错位相减时注意符号变化；裂项相消法中，准确裂项，避免漏项、错项；解析几何中，利用向量垂直、平行的性质，简化计算过程. 4. 规范书写计算过程：计算过程清晰，符号、数字书写准确，避免因书写潦草导致计算失误（如将“3”写成“5”、“+”写成“-”）；分数、根式计算时，化为最简形式，避免出现繁分数、未化简的根式. （四）避坑技巧：规避常见易错点 结合高考真题易错点统计，总结以下常见易错点，帮助考生规避失分： 1. 定义域陷阱：忽略函数定义域、数列的项数限制、解析几何中变量的取值范围，导致解题错误.例如，求函数f(x)=lnx + x²的单调区间，忽略定义域x＞0；求数列前n项和，忽略n为正整数. 2. 符号陷阱：导数计算、向量运算、三角变换中，符号错误；解不等式时，不等号方向改变错误（如两边同乘负数，不等号方向未改变）. 3. 公式陷阱：混淆公式、定理的适用条件，如基本不等式忽略“一正二定三相等”；等差数列前n项和公式记错（如忘记除以2）；导数公式记错（如(lnx)’=1/x，误记为x）. 4. 分类讨论陷阱：需要分类讨论的题型（如二次函数在不同区间的最值、绝对值不等式、数列的通项公式），遗漏分类情况，或分类依据不明确. 5. 结论陷阱：最终结论未化简、未标注单位、未结合题干条件筛选（如解析几何中，多解情况未舍去不符合题意的解）；结论书写不明确，如未写出“综上”“因此”等引导词，导致阅卷老师漏看结论. 妙招03 开放型试题解题技巧 高考数学开放性试题打破传统封闭题型的固定答案模式，以“灵活设问、多元求解、素养导向”为核心，侧重考查考生的逻辑推理、创新思维和知识应用能力，已成为近年高考的热点题型.本文按题型分类，拆解开放性填空题、结构不良题、探究性解答题及其他特殊开放性题型的求解策略，帮助考生快速掌握解题思路，提升得分率，内容控制在4个页码以内. 一、开放性填空题：抓核心，找多元解 开放性填空题核心特征是“答案不唯一”，题干给出基础条件，要求填写符合条件的数值、表达式、图形特征等，侧重考查基础知识的灵活应用.求解关键是紧扣题干约束条件，优先选择最简、最易验证的答案，避免复杂运算，同时确保答案符合题干隐含要求. 求解策略： 1．紧扣约束条件：明确题干中“显性条件”（如定义域、取值范围、公式限制）和“隐性条件”（如几何图形的性质、数列的正项要求），避免答案偏离条件； 2. 优先最简答案：无需追求复杂答案，选择易计算、易验证的结果（如整数、最简分式），提高解题效率； 3. 反向验证：填写答案后，代入题干条件验证，确保答案合规. 【例1-1】（2022·全国乙卷·高考真题）过四点中的三点的一个圆的方程为____________． 【答案】或或或． 【详解】圆的标准方程（三点中的两条中垂线的交点为圆心） 设 （1）若圆过三点，圆心在直线，设圆心坐标为， 则，所以圆的方程为； （2）若圆过三点， 设圆心坐标为，则，所以圆的方程为； （3）若圆过 三点，则线段的中垂线方程为，线段 的中垂线方程 为，联立得 ，所以圆的方程为； （4）若圆过三点，则线段的中垂线方程为， 线段中垂线方程为 ，联立得，所以圆的方程为． 【例1-2】（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程________________． 【答案】或或 【详解】显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 二、结构不良题：选最优，避陷阱 结构不良题核心特征是“条件不完整”，题干给出多个可选条件，要求考生选择其中一个（或多个）条件，完成解题（如证明、计算），侧重考查考生的条件筛选、逻辑推理和解题规划能力.这类题型是新高考重点考查题型，常见于数列、立体几何、解析几何等模块. 求解策略: 1.分析条件差异：对比题干给出的可选条件，判断每个条件的解题难度、运算量，优先选择“运算量小、思路清晰”的条件； 2.验证条件适配性：选择条件后，快速判断该条件与题干已知条件是否匹配，能否顺利推导结论，避免选择“无法解题”或“运算过繁”的条件； 3.规范书写步骤：明确标注“选择条件×”，再按步骤解题，确保逻辑连贯，步骤完整. 【例2】（2020·新课标全国I卷）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________? 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】由可得：，不妨设， 则：，即. 若选择条件①： 据此可得：，，此时. 若选择条件②： 据此可得：， 则：，此时：，则：. 若选择条件③： 可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在. 三、探究性解答题：先猜想，再证明 探究性解答题核心特征是“结论不确定”，题干要求考生先探究结论（如判断是否存在、猜想关系式、确定取值范围），再进行证明或推导，侧重考查考生的创新思维、猜想验证和逻辑论证能力，常见于导数、解析几何、立体几何等中档偏难题. 求解策略: 1.猜想结论：通过特殊值代入、图形分析、归纳推理，猜想合理结论（如“存在唯一实数k满足条件”“关系式为a_n = n”）； 2.严谨证明：围绕猜想的结论，结合题干条件，利用相关公式、定理进行推导，确保证明过程逻辑严密、步骤完整； 3.规避误区：若探究“是否存在”，若存在，需给出具体值并证明；若不存在，需说明理由，不可遗漏“不存在”的情况. 【例3】（黑龙江哈尔滨市2026届高考第二次模拟考试数学试题）已知菱形中，，，为边的中点，将沿翻折成（点位于平面上方），连接和． (1)求证：； (2)当时，在线段上是否存在点，使得直线与平面所成夹角的正弦值为?若存在，求出点位置；若不存在，请说明理由． 【详解】（1）在菱形中，，，故，为中点，， 由余弦定理得： ， 故， 即，得，， 翻折后，仍成立， 又，平面， 故平面， 又平面，因此. （2）存在，为的中点，过程如下： 以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 得各点坐标： ，，，， 设，由得， 由，得， 代入，解得，故， 在线段上，设，得，则， 平面中，，设平面的一个法向量为， 由得，取 得，， 设直线与平面夹角为，则， 代入计算： ，化简得，解得（舍去，超出范围）. 因此存在点，为的中点满足条件. 四、方案设计题 求解策略：根据题干要求（如“设计抽样方案”“设计函数模型”），结合相关知识点，设计符合条件、简洁可行的方案，注明方案的合理性. 【例4】（25-26高三上·山东菏泽·月考）某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从“自研大模型方案”和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与大模型的“推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.7，0.2，0.1；当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意”的概率分别为0.2，0.3，0.5．根据测试数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算）．两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如表． 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率； (2)分别计算两种方案的期望收益； (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由． 【详解】（1）若事件分别表示“高满意”、“中满意”、“低满意”， 对于自研方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； 对于采购方案“准确性高”为事件，准确性高的概率为，则准确性低的概率为， 由题意，， 该方案“高满意”的概率为， “中满意”的概率为， “低满意”的概率为； （2）由题设及（1），自研方案期望收益为万元， 采购方案期望收益为万元； （3）选择自研方案，理由如下： 由（2）所得的期望知，故该公司应选择自研方案. 妙招05 答题模板 下面以两道高考题为例，教会同学们如何规范完成解答题的书写步骤： 【例1】(12分)(2024·全国甲卷理)记Sn为数列{an}的前n项和，已知4Sn＝3an＋4. (1)求{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n－1nan，求数列{bn}的前n项和Tn. 【思路分析】(1)由4Sn＝3an＋4→消掉Sn，得{an}的递推关系式→等比数列求an. (2)bn＝(－1)n－1nan→利用错位相减法求Tn. 【答题模板】 【例2】(12分)(2023·新高考全国Ⅰ)在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于 点P到点的距离，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程；[切入点：直接法求轨迹方程] (2)已知矩形ABCD有三个顶点在W上，证明：矩形ABCD的周长大于3. [关键点：对周长放缩] 【答题模板】(1)解　设P(x，y)，则|y|＝，❶ 两边同时平方化简得y＝x2＋， 故W：y＝x2＋.(2分) (2)证明　设矩形的三个顶点A， B，C在W上， 且a<b<c， 易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则kAB·kBC＝－1，a＋b<b＋c，(4分) 令kAB＝ ＝a＋b＝m<0， 同理令kBC＝b＋c＝n>0，且mn＝－1， 则m＝－，❷(6分) 设矩形周长为C，由对称性不妨设|m|≥|n|， kBC－kAB＝c－a＝n－m＝n＋，　 则C＝|AB|＋|BC|＝(b－a)＋(c－b) ❸ ≥(c－a)＝，n>0，❹(8分) 易知>0. 则令f(x)＝2(1＋x2)，x>0，❺ f′(x)＝22， 令f′(x)＝0，解得x＝， 当x∈时，f′(x)<0，此时f(x)单调递减， 当x∈时，f′(x)>0，此时f(x)单调递增， 则f(x)min＝f ＝，❻(10分) 故C≥＝，即C≥3. 当C＝3时，n＝，m＝－， 与当(b－a)＝(b－a)， 即m＝n时等号成立，矛盾， ❼ 故C>3，得证．(12分)　 ①处直接法求轨迹方程 ②处得到m，n之间的关系 ③处用弦长公式表示周长 ④处进行周长放缩 ⑤处建立函数 ⑥处利用导数求最值 ⑦处排除边界 妙招06 妙招实训50题 一、单选题 1．（2026·湖南怀化·二模）已知集合，．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，解得，所以. 因为，所以，如图： 所以． 2．（2026·湖南张家界·三模）对于平面向量，设甲，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】对于充分性，当时甲成立，则， 可知，或与垂直， 若，此时，， 所以乙：不一定成立； 对于必要性，当时，则甲成立， 所以甲是乙的必要不充分条件． 3．（2026·海南海口·模拟预测）的二项展开式中x的系数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】的二项展开式的通项公式为， 化简得， 令，得，所以， 所以的展开式中x的系数是． 4．（2026·河南周口·模拟预测）一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【详解】，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数， 即，即有，解得. 5．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织高一年级一班至六班前往731部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观．现要求每个场馆分配3个班级，同时派2名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有（   ）种不同的安排方法？ A．20 B．40 C．80 D．120 【答案】B 【详解】先把6个班级平均分成两组，再分配到两个场馆，再把两位老师每个场馆分配一个， 则有种不同的安排方法. 6．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（   ） ①；②；③函数有最小值；④函数有最大值． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】①：在中，令， 得， 因为对任意恒成立，所以， 所以由，因此本序号结论正确； ②：在中，令， 得，因此本序号结论正确； 令，满足条件（1）对任意恒成立，且； ，， 满足（2），都有， 但是函数没有最大值也没有最小值，故③④序号结论都不正确， 所以表述中正确的个数为. 7．（2026·河北保定·三模）已知函数 则 （    ） A．0 B．1 C．2 026 D．2 027 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以， 设， 则， 两式相加得：， 所以. 8．（2026·山西晋中·三模）已知且，若函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，单调递增，则， 当时，，要使函数的值域为， 则需在时的值域包含，故需满足， 解得. 9．（2026·湖南湘西·三模）已知分别为函数的零点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是； 由，得，则函数与的图象的交点横坐标就是． 作出函数图象如图，可知． 10．（2026·福建宁德·二模）设是定义在上的函数，若，当时，，称函数具有性质，则下列函数具有性质的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A：例如，， 即，但，故A错误； 对于选项B：例如，， 即，但，故B错误； 对于选项C：令，则的定义域为， 且， 即，可知为奇函数， 又因为在定义域内单调递增，则在定义域内单调递减，且， 当时，；当时，； 则，可知为偶函数，则， 当时，在内单调递增， 若，即，则，可得，故C正确； 对于选项D：，， 即，但，故D错误. 11．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【分析】先利用图象的交点求出当时，的零点个数，再根据函数的周期得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】的零点个数即为方程的解的个数， 即为函数与函数 的图象的交点个数. 函数的最小正周期为.所以. 又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以. 每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以. 所以. 12．（2026·北京西城·二模）设函数，若不等式的解集为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，定义域为， 因为的解集为，所以在定义域内恒成立， 因为为单调递增函数，且零点为， 为单调递增函数，且零点为， 所以要使在定义域内恒成立，只需两函数零点相同，即， 所以，故A、B错误； ， 所以，故C正确，D错误. 13．（25-26高三下·安徽·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】构造函数，求导得， 当时，单调递增，因此，即. 令，得，即. ，对同时取次方得 ， . 因为幂函数在单调递增，，，故. 综上. 14．（2026·山东青岛·二模）已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 15．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）已知实数满足则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知实数满足，整理得，时,显然有，等式不成立. 所以,令，则. 故在上严格单调递增，且，. 若，则，得； 若，则； 若，则. 取，，得，故不恒成立，A错误. 由以上分析知不恒成立，B错误. 取，，得，此时，不满足，C错误. 当时，，得，乘积非负； 当时，，得，乘积非负. 故恒成立，D正确. 16．（2026·河北保定·二模）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当角的终边落在第二象限时，取一点， 则， 所以； 当角的终边落在第四象限时，取一点， 则， 所以， 综上所述：. 17．（2026·西藏日喀则·模拟预测）已知函数的图象向左平移个单位长度后与原图象重合，则实数的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意知，是该函数的周期的整数倍，即，， 解得，， 又，故的最小值为． 18．（2026·重庆·模拟预测）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【详解】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得， 点是图象与轴的交点，可得， 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 19．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【详解】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 20．（2026·湖南湘西·三模）已知，则（   ） A．-4 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过两角和与差的正余弦公式得出和的关系，再利用二倍角的正切公式即可得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以，所以． 21．（25-26高一下·吉林四平·阶段检测）在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理求出，可得为直角三角形，建立平面直角坐标系，即为，的夹角，利用向量夹角的坐标表示即可求出答案. 【详解】在中，由余弦定理可得 ，即， 因此满足，可得是以的直角三角形， 以B为坐标原点，，分别为x轴，y轴，如下图所示， 则，，，，， 则，， 易知即为向量，的夹角， 所以． 22．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知的外接圆圆心为，角所对的边分别为，且，，若，则（    ） A．8 B．13 C．16 D．32 【答案】B 【分析】由余弦定理化简可得，再根据向量数量积运算律与数量积几何意义计算求解. 【详解】由余弦定理可得， 因为，代入化简可得，所以， 因为， 所以为边的中点，， 取的中点为， 因为是的外接圆圆心， 所以， 由数量积的几何意义可知， 同理， 所以. 23．（2026·山西·二模）双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交右支于，两点，且，，则离心率（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意知：，，. 设，则，，则，， ，. 在中，，，， ，代入数据解得，， 所以. 24．（2026·河南·模拟预测）已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式、三角函数性质即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以， 所以， 所以当时，取得最大值6. 25．（2026·山东青岛·二模）过点作一条直线与圆相切于点，且位于第四象限，为的直径，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，圆的圆心为，半径， 过点作一条直线与圆相切于点， 当轴时，到直线的距离为，所以直线的方程为， 所以，又为的直径，则， 所以，所以直线的方程为：， 设，则， 所以， 又为线段上的动点，所以， 所以， 所以当时，的最小值为. 26．（2026·天津东丽·二模）已知数列满足，，则（    ） A．211 B．225 C．239 D．261 【答案】A 【详解】由，则，，， 则， 即， 又，故， 故. 27．（25-26高二下·河南南阳·期中）记为数列的前项和，.则（    ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】B 【详解】， ， ， ， ， … ， 将以上2025个等式左右分别相加， 得， 则. 28．（25-26高一下·湖南·期中）已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取的中点为 因为，直四棱柱的棱长均为2， 所以为等边三角形，所以， 又四棱柱为直四棱柱， 所以平面， 又在平面内，故， 因为侧面，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 取的中点为的中点为，连接、， 则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 则，所以，根据弧长公式可得. 29．（2026·山西·二模）在三棱锥中，，且，，平面，若，，，四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】把三棱锥补成下图中的长方体，则球心在长方形上， 所以，而，则， 在中，其中表示点到的距离， 所以点到平面的距离就是点到的距离. 30．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线l与y轴和双曲线C的右支分别交于点Q和点P（不是顶点），使得，且，则双曲线C的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 由，得Q为的中点，又因为O为的中点，所以， 由，得， 双曲线的半焦距为c，则， 解法1：由，得，所以双曲线C的离心率． 解法2：将代入，得，则， 又，则，所以双曲线C的离心率． 31．（2026·吉林延边·三模）已知P是抛物线C：上的动点，若点P到直线距离的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．4 D．10 【答案】B 【分析】设直线的平行线为且与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，结合可得，结合平行线之间的距离公式列方程求解即可. 【详解】由题意，设直线的平行线为且与抛物线相切， 联立，整理得， 则，即， 因为点P到直线距离的最小值为， 所以，解得（舍去）或，则. 32．（2026·吉林延边·三模）已知函数，若函数有4个零点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，在上单调递减，函数值域为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 当时，，求导得，由，得； 由，得，函数在上单调递减，在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0 时，，当时，，函数的图象如图： 由，得，则或， 显然方程无解，要函数有4个零点，当且仅当方程有4个解， 即直线与函数的图象有4个交点，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 33．（2026·湖南衡阳·二模）已知函数与的图象关于直线对称，函数，，若方程在区间上有解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与图象关于直线对称，， ，； 设，则由得：， 均在函数图象上； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； 假设，在上单调递增，，即，与假设矛盾； ，即在上有解，即； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 又，，，解得：， 即实数的取值范围为. 二、多选题 34．（2026·吉林延边·三模）某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t（℃）和每天凉茶的销售数量n（单位：杯），得到以下数据： t（℃） 3 0 5 7 9 12 n（单位：杯） 23 17 27 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为，则（    ） A．t和n正相关 B．点在回归直线上 C． D． 【答案】ABD 【详解】根据表格中的数据，可得， 即数据的样本中心为， 对于A，由表格中的数据得，当气温从0到12时，从17增加到42， 所以随着气温的升高，凉茶的销售数量总体呈上升趋势，所以t和n正相关，故A正确； 对于B，根据回归直线过样本中心，所以点在回归直线上，所以B正确； 对于C，由气温t和销售数量总体上正相关，所以，所以C不正确； 对于D，由表格中的数据得： 第一组：；第二组：； 第三组：；第四组：； 第五组：；第六组：； 所以，所以D正确. 35．（2026·湖南长沙·二模）若随机变量X服从正态分布，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】随机变量X服从正态分布，所以 对于A，由正态分布的对称性，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，因为，， 所以， 所以，故D正确. 36．（2026·云南保山·二模）已知实数a，b，c，d，则下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，若，则，故A为假命题； 对于B，，，又，，故B为真命题； 对于C，，则，，故C为真命题； 对于D，且，则，，故D为真命题． 37．（2026·河北保定·三模）如图，在棱长均为2 的正三棱柱中，D 为 的中点，则（    ） A． B．异面直线 与 所成角的余弦值为 C．若分别为 上的点，则的最小值为1 D．若点P 在底面上，且平面，则点P的轨迹长度为 【答案】ABD 【详解】对于A，如下图，连接，易得， 因为平面，平面,所以， 又 平面，所以平面， 因为平面，所以 ，A正确； 对于B，如下图，连接， 由题可得，所以为异面直线与所成的角或其补角， 在中，，，所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，如下图，若,，分别为,，的中点，连接和， 所以，，所以四边形是平行四边形， 又因平面，平面，则，同理可得， 因,则，又因，平面, 则平面,又平面,则， 因,故，即是异面直线 的公垂线段， 故此时的最小值为，C错误； 对于D，如图，取的中点，连接，，， 易得 ， ，由线面平行的判定定理可得平面，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为点在底面上运动，且平面， 所以点的轨迹为线段，所以点的轨迹长度为，D正确. 38．（2026·陕西榆林·三模）在数列中，，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B．是递增数列 C．若对任意，都有，则的取值范围是 D．，使得 【答案】ABC 【详解】对于A，因为，所以， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，故A正确； 对于B，由于．故，因此是递增数列，故B正确； 对于C，由可得． 当为偶数时，则恒成立， 由于单调递增，故； 当为奇数时，则恒成立， 由于单调递增，故，则得． 故对任意，都有，则，故C正确； 对于D，因为， 所以， 令，所以， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，即，故D错误． 39．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知是抛物线上不同的两点，是坐标原点，且，过点分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则（    ） A．存在点，使得为直角三角形 B． C．的面积的最小值为16 D．点到直线的距离不大于4 【答案】BCD 【分析】设，计算可得可判断A；由已知计算可得，利用向量的数量积的坐标运算判断B；计算可得的面积为，结合基本不等式可判断C；设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系，结合点到直线的距离可求得点到直线的距离的范围可判断D. 【详解】设，易得点， 所以，即不为直角，所以不可能为直角三角形，故A错误； 因为，所以，即， 解得（舍）或，故B正确； ，所以的面积是 ， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 设直线的方程为，由， 得，所以，所以， 解得，则原点到直线的距离，当时，等号成立， 即到直线的距离不大于4，故D正确. 40．（2026·山西太原·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 【答案】BCD 【分析】A选项，求导后求单调区间，进而求最小值即可； B选项，将问题转化成有两个不同的解，构造新的函数，使和有两个交点即可； C选项，直接利用导数分析的值域即可； D选项，令，设出的根，保证即可. 【详解】 ，求导得 A选项，当时，，， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 即的最小值为，所以A选项错误； B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解， 令，则，在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，；且时，，， 所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确； C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增， 当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确； D选项，存在，使得，即存在，使得， 令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则， 不妨设为的根，即 ， 当，单调递减，当，单调递增， 则在处取得最小值， ， 需要满足存在，使得成立， 令，则，其中， 令，解得，所以在上单调递减，在单调递增， 则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确. 三、填空题 41．（2025高三·全国·专题练习）幂函数满足，则此函数可以是_____．（写出一个满足条件的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【详解】令幂函数（为常数），题中没有给出的定义域的限制信息， 因此的定义域可为．由“”可知，函数是偶函数． 又，则函数在上单调递增， 因此可以为正偶数，所以此函数可以是，,． 故答案为： （答案不唯一）． 42．（2026·山东东营·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，，则的解的个数为______. 【答案】2 【详解】在中，由及正弦定理，得, 即，整理得，而， 则，又，解得，由，，得，则， 由正弦定理得，因此角可以为锐角，也可以为钝角， 所以的解的个数为2. 43．（2026·西藏日喀则·模拟预测）如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 【答案】1 【详解】根据多面体的结构特征，将其补成长方体，所以多面体的体积为 ． 44．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）如图，水平地面上垂直立着一块木板，木板上有一个椭圆形的洞，木板一侧有一个点光源，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆），点在地面上的射影为与交于点．若，且，圆的半径为，则木板上椭圆形洞的离心率为___________． 【答案】/ 【详解】解：如图1， 在竖直平面内，由相似关系可得， 代入已知数据，得， 所以椭圆形洞的高为． 如图2， 连接A与的中点交AC于G，则， 如图3， ，， 所以椭圆形洞的宽为． 故在椭圆中，，所以离心率． 45．（2026·福建莆田·模拟预测）有6个球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中每次随机取出一个，取出的球不放回，直到6个小球都取完为止．记第次取出球的号码为，在和至少有一个大于的条件下，数列是递增数列的概率为___________． 【答案】 【详解】设事件为“在和至少有一个大于”， 事件为“数列是递增数列”，则， 因为在和至少有一个大于， 故数列是先减后增或递增或递减数列， 考虑排列左侧的元素的个数及种类，则不同的排列有， 故，故. 46．（2026·吉林延边·三模）已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值， 由函数，求导得， 函数在上单调递增，； 函数的定义域为， 求导得，当时，， 函数在上单调递增，当时，，不符合题意； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，令，函数在上单调递增， 不等式，解得， 所以实数a的取值范围是. 四、解答题 47．（25-26高三上·广东惠州·月考）请在①向量，，且；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在中，内角，，的对边分别为，，，且满足______. (1)求的大小； (2)若边上的高为，求面积的最小值. 【详解】（1）选择①，因为向量，，且， 所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 又，所以； 选择②，由，得， 所以，所以， 所以，所以，所以， 又，所以； 选择③，因为， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 又，所以； （2）因为，所以， 由余弦定理可得，当且仅当时取等号， 所以，解得，所以， 所以面积的最小值为. 48．（25-26高三下·陕西渭南·阶段检测）如图，四棱锥中，底面，四边形中，，，，． (1)求证：平面平面； (2)设． （i）若直线与平面所成的角为，求线段的长； （ii）在线段上是否存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等？说明理由． 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）（i）因为底面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 在平面内，作交于点， 因为，，故， 在中，，所以， 设，其中，由，则， 则、、、、、， 则，， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得平面的一个法向量为， 因为，可取直线的一个方向向量为， 由题意可得， 整理可得，即， 因为，解得，所以； （ii）假设在线段上存在一个点到、、、的距离都相等， 由，得，则，所以， 所以， 设，则，其中，则， 在中，， 这与矛盾， 所以在线段上不存在一个点，使得点到、、的距离都相等． 从而，在线段上不存在一个点，使得点到点、、、的距离都相等． 49．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体系，涵盖运载火箭、 载人航天、深空探测等多个领域． 某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机从该校学生中抽取男生和女生各 100 人进行调查， 调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 (1)根据小概率值 的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ (2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级； 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级． 已知该校学生甲答对这4个问题的概率分别为，学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？ 请说明理由． 参考公式及参考数据： 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）零假设：设认为该校学生对航天工程的关注与性别无关， 根据列联表可得： ， 能有的把握认为该校学生对航天工程的关注与性别有关． （2）记这4个问题为，，，，学生甲答对，，，的事件分别记为，，，， 分别记按方案一、二晋级的概率为，， 则 ， ， 因为，学生甲选择方案一晋级的可能性更大． 50．（2026·宁夏·二模）在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）设()，则. 直线的斜率，直线的斜率. 由，得，即. 整理得，即，故(，即). 所以的方程为(). （2）设()在上，则. 点与关于轴对称，故. 直线的方程为，令，得，所以. 直线的方程为，令，得，所以. 设，如图所示：，. 由，得，即. 由，得. 代入得，即. 因为，所以，即. 故存在点，坐标为或. 避坑01 数学概念易混易错（68条） 高中数学的学习核心在于对概念的精准把握，很多同学在解题中失分，并非不会运算，而是对易混易错概念理解不透彻、记忆不牢固，出现混淆使用、遗漏条件等问题.以下梳理高中数学各模块易混易错概念，共68条，涵盖集合、函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何、立体几何、统计概率等核心板块，助力同学们规避误区、夯实基础. 一、集合与常用逻辑用语（8条） 1. 混淆空集与{0}，空集不含任何元素，{0}是含一个元素0的集合，二者不相等. 2. 应用A∪B=B、A∩B=A等价于A⊆B时，易忽略A为空集的特殊情况. 3. 集合运算中，易忽略集合三要素中的互异性，求解后未检验元素是否重复. 4. 混淆“否命题”与“命题的否定”，否命题需否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 5. 判断充分条件、必要条件时，混淆“p⇒q”的含义，误将必要条件当作充分条件. 6. 全称量词命题与存在量词命题的否定，易忘记“量词互换”，仅否定结论而不换量词. 7. 混淆集合的“元素”类型，误将点集（如{(x,y)|x+y=1}）当作数集进行运算. 8. 求解集合的补集时，易忽略全集的范围，默认全集为R而忽略题目给定的限定条件. 二、函数（12条） 9. 求解与函数相关的问题，易忽略“定义域优先”原则，先求值域再考虑定义域. 10. 判断函数奇偶性时，未先检验定义域是否关于原点对称，直接代入f(-x)判断. 11. 求函数单调区间时，错误在多个单调区间之间添加“∪”符号，应使用逗号连接. 12. 混淆“函数在区间上单调”与“函数的单调区间是某区间”，二者表述含义不同. 13. 用换元法解题时，易忽略换元前后自变量的取值范围，导致等价性丢失. 14. 混淆函数的“极值点”与“极值”，极值点是自变量的值，极值是函数值. 15. 求导后忽略定义域，误将使导数为0的点全部当作极值点，未检验左右导数符号. 16. 对数函数中，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1的限制条件. 17. 混淆“指数函数y=aˣ”与“对数函数y=logₐx”的单调性，未讨论底数a的范围. 18. 误将函数y=ax+b/x（a,b>0）的单调区间写为（-∞,-√(b/a)）∪（√(b/a),+∞），忽略中间断点. 19. 求函数解析式时，易忽略标注函数的定义域，导致后续求解值域、单调性出错. 20. 混淆“原函数存在反函数”与“原函数单调”，单调函数一定有反函数，但有反函数的函数不一定单调. 三、数列（7条） 21. 用等比数列求和公式时，易忽略公比q=1的特殊情况，直接使用q≠1的公式. 22. 已知Sₙ求aₙ时，易忽略n=1的情况，未检验a₁是否满足n≥2时的通项公式. 23. 混淆等差数列与等比数列的性质，误将等差数列的“m+n=p+q则aₘ+aₙ=aₚ+a_q”用于等比数列. 24. 误将等差数列的前n项和Sₙ=an²+bn+c（c≠0）当作等差数列，忽略c=0的条件. 25. 混淆“数列的项”与“数列的项数”，项是具体数值，项数是项的个数. 26. 等比数列中，误认为“aₙ₊₁/aₙ=q（常数）”对所有n∈N*成立，忽略首项a₁≠0、q≠0的条件. 27. 数列单调性问题，误等同于对应函数的单调性，忽略数列定义域是正整数集. 四、三角函数（10条） 28. 混淆“正角、负角、零角”与“象限角”，终边在坐标轴上的角不属于任何象限. 29. 忽略正切函数的定义域，误在x=π/2+kπ（k∈Z）处求正切值. 30. 混淆“弧度制”与“角度制”，计算弧长、扇形面积时未统一单位. 31. 三角化简时，未掌握“切化弦、降幂扩角”的通法，盲目使用公式导致出错. 32. 忽略正弦函数、余弦函数的有界性，误将sinx、cosx的取值范围当作R. 33. 求解三角函数值时，未结合角的范围判断符号，导致多解或漏解. 34. 混淆“三角函数图象的平移”，函数y=f(x)平移遵循“左加右减”，方程平移规律不同. 35. 使用正弦定理时，易忘记比值等于2R，忽略齐次代换a:b:c=sinA:sinB:sinC. 36. 在△ABC中，误认为A>B等价于cosA>cosB，忽略余弦函数在(0,π)上的单调性. 37. 混淆“同角三角函数基本关系”，误写为sin²x+cos²x=2或tanx=sinx/cosx无限制条件. 五、平面向量（6条） 38. 混淆向量与实数0，向量的模为0，方向任意，与任意向量平行但不垂直. 39. 数量积运算中，误认为“则或”，忽略两非零向量垂直时数量积为0. 40. 混淆“向量的数量积”与“实数乘法”， ，且不满足结合律. 41. 误将“”当作向量a与b夹角为钝角的充要条件，忽略夹角为180°的情况. 42. 混淆“点的坐标”与“向量的坐标”，向量坐标是终点坐标减去起点坐标，与点坐标不同. 43. 求向量的投影时，混淆“投影”与“投影向量”，投影是数值，投影向量是向量. 六、不等式（7条） 44. 利用均值不等式求最值时，易忽略“一正、二定、三等”的条件，盲目套用公式. 45. 两个不等式相乘时，未注意“同向同正”的条件，误将异向或负数不等式相乘. 46. 解分式不等式时，误将f(x)/g(x)>a直接转化为f(x)>a·g(x)，忽略g(x)的符号. 47. 解含参数不等式时，未对参数分类讨论，或讨论后未总结综上结论. 48. 混淆“不等式的解集”与“不等式的解”，解集需用集合或区间表示，不能用不等式表示. 49. 不等式约分前，未判断约去式子的正负，导致不等号方向错误. 50. 解绝对值不等式时，误将|ax+b|<c转化为- c<ax+b<c，忽略c≤0时无解的情况. 七、解析几何（8条） 51. 用点斜式、斜截式设直线方程时，易忽略斜率不存在的情况. 52. 混淆“直线的倾斜角”与“斜率”，倾斜角范围是[0,π)，斜率范围是R. 53. 直线在两坐标轴上截距相等时，易忽略截距都为0的情况，仅考虑a=b≠0. 54. 联立直线与圆锥曲线方程时，易忽略二次项系数为0的情况，导致漏解. 55. 求圆锥曲线标准方程时，未判断焦点所在坐标轴，盲目套用标准形式. 56. 混淆双曲线的离心率与渐近线斜率的关系，未区分焦点在x轴与y轴的不同公式. 57. 误将抛物线的“通径”当作任意焦点弦，忽略通径是最短的焦点弦. 58. 求轨迹方程时，易忽略题干中的限制条件，导致轨迹不完整. 八、立体几何与统计概率（10条） 59. 斜二测画法中，误将原图形的高直接作为直观图的高，忽略直观图中高为原高的√2/4. 60. 混淆“线面平行”与“面面平行”的判定定理，误将线面平行的条件用于面面平行. 61. 求异面直线所成角时，易忽略夹角范围是(0,π/2]，误取补角作为结果. 62. 混淆“二面角”与“线面角”，二面角范围是[0,π]，线面角范围是[0,π/2]. 63. 立体图形翻折、展开时，易忽略翻折前后不变的几何量（如边长、角度）. 64. 频率分布直方图中，误将纵坐标当作频率，忽略纵坐标是频率/组距. 65. 混淆“二项式系数”与“展开式中项的系数”，二项式系数仅与组合数有关，与字母系数无关. 66. 区分“有放回抽样”与“无放回抽样”，二者的概率计算方法不同. 67. 混淆“独立事件”与“互斥事件”，独立事件不一定互斥，互斥事件不一定独立. 68. 复数中，误将虚部当作bi，忽略虚部是实数b，而非bi. 以上易混易错概念均为高中数学高频考点，同学们在学习中需逐一条理、精准记忆，避免因概念混淆导致解题失误.掌握概念的核心内涵，明确易错点、易混点，才能夯实数学基础，提升解题准确率. 避坑02 审题解题方法易错（72条） 高考数学的成败，不仅取决于知识储备的扎实程度，更依赖于审题的精准度和解题方法的规范性.很多考生失分并非源于不会做，而是在审题时粗心疏漏、解题时方法不当，陷入思维误区.以下分审题、解题两大模块，梳理高考数学中高频的审题解题方法易错点，共72条，涵盖各题型核心易错场景，助力考生规避失误、高效得分，精准应对高考. 一、审题方法易错点（32条） 1. 审题时急于求成，仅读一遍题干就仓促动笔，忽略题干关键信息，导致理解偏差. 2. 忽略题干中的限定条件，如定义域、取值范围、整数约束、角的范围等，盲目解题. 3. 混淆题干中的关键词，如“不正确的是”“错误的是”“至少”“至多”，因审题粗心看错要求. 4. 对题干中的新定义、新素材解读不透彻，未准确把握其核心内涵就开始解题. 5. 审题时漏看设问数量，只解答部分问题，忽略题干中多个设问的情况. 6. 误将题干中的“任意”“存在”“所有”“唯一”等限定词忽略，导致解题方向错误. 7. 对题干中的隐含条件挖掘不充分，仅关注显性条件，忽略隐藏在文字、图形中的关键信息. 8. 审题时受思维惯性影响，看到熟悉题型就照搬过往解题思路，未发现题干细节变化. 9. 忽略题干中单位的统一，如长度单位、角度单位（弧度与角度），导致计算失误. 10. 审题时未明确题目考查的知识点和题型，盲目套用公式、方法，缺乏针对性. 11. 对题干中的“恒成立”“存在性”“有解”等问题的含义理解模糊，混淆解题要求. 12. 审题时未看清图形标注，如线段相等、角度大小、坐标位置等，误解图形含义. 13. 忽略题干中的“不含参数”“参数范围”等要求，多余讨论参数或遗漏参数分析. 14. 审题时将“充分条件”与“必要条件”“充要条件”混淆，误解题干逻辑关系. 15. 对题干中的分式、根式、绝对值等表达式，未注意其有意义的条件，盲目运算. 16. 审题时漏看题干中的“不正确的选项”“不符合题意的答案”，导致选错答案. 20. 审题时未区分“直线与曲线相切”“直线与曲线有公共点”的不同要求，混淆解题标准. 21. 忽略题干中“正整数解”“非负整数解”等特殊要求，得出不符合条件的答案. 22. 审题时未准确把握函数的定义域、值域限制，导致后续解题出错. 23. 对题干中的向量、复数等概念，未看清其表示形式（如向量的方向、复数的实部虚部）. 24. 审题时未注意题目中的“最大值”“最小值”“取值范围”的区别，混淆解题目标. 25. 忽略题干中的“且”“或”“非”等逻辑联结词，误解题干条件的逻辑关系. 26. 审题时未看清图表信息，如频率分布直方图、茎叶图、折线图的横纵坐标含义. 27. 对题干中的“折叠”“旋转”“平移”等图形变换，未分析变换前后的不变量和变量. 28. 审题时漏看题干中的“除外”“不包括”等限定，导致答案范围扩大或缩小. 29. 混淆题干中的“数列的项”与“数列的项数”“前n项和”与“第n项和”. 30. 审题时未明确圆锥曲线的焦点位置、离心率、渐近线等关键特征，盲目套用标准方程. 31. 忽略题干中“随机抽样”“分层抽样”“系统抽样”的不同要求，误用抽样方法. 32. 审题时未看清“概率”“频率”“期望”“方差”的区别，混淆统计量的计算要求. 33. 对题干中的“异面直线”“共面直线”“线面平行”“面面垂直”等概念，审题时理解偏差. 二、解题方法易错点（40条） 34. 解题时未遵循“先易后难”的原则，在难题上花费过多时间，导致基础题没时间作答. 35. 解题步骤不规范，跳过关键步骤，导致过程分丢失，即使答案正确也无法得满分. 36. 计算时粗心大意，如移项变号错误、乘法分配律运用失误、小数点位置出错. 37. 滥用公式，未明确公式的适用条件，盲目套用公式导致解题错误. 38. 解题时思路不清晰，想到哪写到哪，缺乏逻辑连贯性，导致后续步骤出错. 39. 对含参数的题目，未进行分类讨论或分类不全面、不严谨，出现漏解或重复解. 40. 解题时忽略检验环节，未将得出的答案代入题干检验，导致答案不符合题意. 41. 换元法解题时，未注意换元前后自变量的取值范围，导致等价性丢失. 42. 因式分解不彻底，或分解过程中符号错误，影响后续解题步骤. 43. 解不等式时，不等号方向判断错误，尤其是在乘以、除以负数时未变号. 44. 求函数单调区间时，错误地在多个单调区间之间添加“∪”符号，应使用逗号连接. 45. 求导解题时，导数公式记忆错误、复合函数求导漏层，导致导数计算出错. 46. 解分式方程、无理方程时，未检验分母不为零、被开方数非负，导致增根. 47. 立体几何解题时，未正确建立空间直角坐标系，或坐标标注错误. 48. 向量运算时，混淆数量积与向量积的运算规则，或忽略向量的方向. 49. 数列解题时，用等比数列求和公式未讨论公比q=1的特殊情况. 50. 三角函数解题时，未结合角的范围判断三角函数值的符号，导致多解或漏解. 51. 解析几何解题时，联立方程后未判断判别式，盲目求解导致无意义解. 52. 解题时过度依赖特殊值法，未验证特殊值是否符合题干所有条件. 53. 分类讨论后未总结综上结论，导致解题过程不完整. 54. 概率解题时，混淆“有放回抽样”与“无放回抽样”，误用概率计算公式. 55. 解题时书写不规范，如符号书写错误、字母大小写混淆、公式书写不完整. 56. 求轨迹方程时，未剔除不符合题干条件的点，导致轨迹不完整. 57. 利用均值不等式求最值时，未满足“一正、二定、三等”条件就盲目套用. 58. 解题时思路僵化，不会灵活转化题型，一味死算硬解，浪费时间且易出错. 59. 复数运算时，混淆实部、虚部的概念，或共轭复数、模的计算公式记忆错误. 60. 统计题解题时，误将频率分布直方图的纵坐标当作频率，忽略其为频率/组距. 61. 解题时未注意题目要求的答案形式，如保留小数位数、用集合或区间表示解集. 62. 立体几何中求异面直线所成角、线面角、二面角时，混淆夹角范围，误取补角. 63. 解题时漏写单位，或单位换算错误，导致答案不符合要求. 64. 因式分解时，误用公式，如将a²-b²分解为(a-b)²，或将(a+b)²展开错误. 65. 解绝对值不等式时，未对绝对值内的表达式分情况讨论，导致漏解. 66. 解题时过度追求速度，书写潦草，导致自己后续看不懂步骤，出现计算失误. 67. 向量共线、垂直的判定条件记忆错误，导致判断失误. 68. 数列中已知前n项和求通项公式，未检验n=1时的情况，导致通项公式不完整. 69. 解题时忽略题干中的隐含约束，如三角形中两边之和大于第三边、角的范围等. 70. 求函数极值时，误将导数为0的点全部当作极值点，未检验左右导数符号. 71. 解题结束后未进行回头检查，未发现计算、思路中的错误，错失纠错机会. 72. 面对新颖题型时，过度紧张，无法快速提取题干关键信息，找不到解题突破口. 高考数学审题和解题的规范性、精准度，直接决定了得分效率.以上72条易错点，涵盖了高考数学各题型、各环节的高频失误场景.考生在备考过程中，需牢记这些易错点，养成认真审题、规范解题、仔细检验的习惯，规避思维误区，减少不必要的失分，在高考中发挥出最佳水平. 冲刺01 选择题压轴预测50题 一、单选题 1．（2026·北京朝阳·一模）已知集合.设集合满足，且对任意的，，（），存在，使得，则的最大值为（   ） A．50 B．51 C．52 D．53 【答案】C 【解析】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52. 2．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知集合与集合，用表示集合的元素个数，表示不超过的最大整数，则（     ） A．1215 B．1216 C．1217 D．1218 【答案】C 【解析】设， 则有， 当时，有 x 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 2 2   0    1   1   2 2 3   0    1   2   4 5 6 的所有可能值为0，1，2，4，5，6 因此，的值域， 则共有个元素， 即 故选：C. 3．（25-26高三下·上海浦东新·期中）对定义在上的非常值函数，若存在一个非零常数，使得对任意，都有成立，那么称函数为函数．现有以下两个命题：①若函数为函数，则，且；②既存在严格增的函数，也存在严格减的函数．则下列判断正确的是（    ） A．①是真命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】命题①，若是函数，根据定义得， 展开整理得对任意恒成立，因此系数必全为. ，由得，因此. 当时，； 当时，，得，这也满足条件，例如时， 成立. 命题①只给出，遗漏了的情况，因此①是假命题. 命题②，构造指数函数， 验证函数条件，只需满足， 取，则，是严格增函数， 且，满足函数定义，存在严格增的函数； 取，则，是严格减函数， 且，满足函数定义，存在严格减的函数. 因此②是真命题. 综上，①假②真. 4．（2026·重庆·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，若，则正整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令可得，即， 因为，则， 令，，则， 即，故， 所以， 令①， 则②， ①②可得 ， 所以， 当时，，则数列为单调递增数列， 因为，，则， 故满足不等式的正整数的最小值为. 5．（25-26高三下·北京海淀·期末）已知函数，集合．若对任意，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，， 当时，， 所以，当，即，作出函数的图象，如图， 显然，当，都有，且， 所以 当，即时，作出函数的图象，如图， 当，都有，且 所以， 当，即时，作出函数的图象，如图， 当时，则需满足，即，解得， 所以， 综上，，即的取值范围为. 6．（2026·山东济南·二模）已知正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于，所以， 设，则，所以在上单调递增， 那么，所以，， ，设，， 所以，在上单调递减，， 即, 由于，那么, ， 综上，. 7．（2026·湖北·二模）定义在的函数满足：，，且时，，若，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，，令，则，得， 令得，即函数是奇函数， 下面判断函数的单调性，令，则， ，所以， 所以，即， 所以在单调递增， ，， ， 构造函数，则， 当时，，当时，， 所以在递增，在递减， 则， 即， 所以，又在单调递增， 所以，也即． 8．（2026·安徽阜阳·二模）已知的定义域为，的图象关于点对称，，且的图象关于点对称，则（    ） A．99 B．78 C．66 D．52 【答案】A 【解析】因为关于对称，所以， 用替换可得①， 因为关于对称，所以， 又，用替换可得， 用替换可得， 两式相加可得， 用替换可得②， 由①②可得， 用替换可得 因为， 在中令，得，故， ， 因此. 9．（25-26高三下·贵州黔东南·月考）定义在上的函数与满足：，若是奇函数，则（　　） A．0 B．2025 C．4050 D．6075 【答案】A 【解析】因为是奇函数，所以，换元得， 说明关于点中心对称，令得； 由，得关于轴对称，结合可推得： ，因此的周期，且； 由，得，计算（一个周期）的和： ：，故， ：， ：，故， ：，故， 一个周期和为：； ，即前项共个完整周期，和为； 剩余最后一项，， 故， 因此. 10．（2026·山东德州·模拟预测）已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（   ） A．没有零点 B．有唯一零点 C．至多有一个零点 D．至少有一个零点 【答案】C 【解析】因为，，为两两不相等的正数， 令，可得， 令，，则，，且均不为1，可得， 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 若一个大于1，一个小于1，不妨设，，分别作出，， 可知与没有交点，即没有零点； 若，，分别作出，， 可知与只有一个交点，即有唯一零点； 综上所述：可能没有零点，至多有1个零点，故C正确. 11．（25-26高三上·湖北荆州·期末）设函数，若方程有5个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设，函数的图象如下图示， 令，要使原方程有个不同的实数解，则有两个不同实根，且， 故由图知：，即的两个零点在区间和内， 而开口向上，故，可得． 故答案为：D 12．（25-26高三上·山东德州·期中）已知函数，若存在三个不相等的实数，，，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的图象如下图所示. 当时，的对称轴是直线，且最大值为， 当时，为增函数，且此时， 由题意知存在三个不相等的实数，，，使得， 不妨设，则，则， 又，故的取值范围是. 故选：A. 13．（25-26高三上·北京西城·期末）激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题．其中，就是一个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间上．若希望输出的值增加，即，则与的最小值最接近的是（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】已知，将其变形为：， 因为，所以， 化简得，进一步变形为， 整理得：， 令（），则，变形为， 因为，所以，即， ， 令，对其求导：， 令，即，解得或（舍去）， 当时，，单调递减；当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，， 则. 因此，与的最小值最接近的是. 故选：C. 14．（2026·重庆·二模）若经过点的直线既与曲线相切，也与曲线相切，则（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【解析】设曲线的切点为，则由， 可得切线方程为， 因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为； 设曲线的切点为，由，所以切线的斜率为， 因为直线的方程为，可得，解得，即切点 所以切线方程为，即， 所以，解得. 15．（2026·湖南怀化·模拟预测）已知点，，定义为A，B的“镜像距离”.若点A，B在曲线上，且的最小值为2，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数得，即， 的反函数为. 由点在曲线上，知点在其反函数上， 相当于上的点到曲线上点的距离，即， 利用反函数性质可得与关于对称， 当与垂直时，取得最小值为2， 因此A，两点到的距离都为1. 过点作切线平行于直线，斜率为1， 由，得，可得， 所以，即， 点到的距离，解得. 当时，与相交，不合题意； 当时，与不相交，符合题意. 综上，. 16．（2026·云南·模拟预测）已知点满足：，是函数图象上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设，， 设，求导得，函数在上都递增， 则函数在上单调递增，而，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，即，则，点在直线上运动， 设平行于直线的直线与相切于点， 由求导得，则，解得， 因此切点为，的最小值为点到直线的距离. 故选：A 17．（2026·重庆永川·模拟预测）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点， 若，则的值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数，其中， 可得函数的最大值为，最小值为， 因为点为图象的最高点，可得，点为图象最低点，可得， 点是图象与轴的交点，可得， 设的中点为，因为和的纵坐标互为相反数，所以， 所以点和点都在轴上， 在中，因为，所以，且为的中点， 根据直角三角形的性质，可得， 过点分别作的平行线，交于点，则， 设函数的最小正周期为， 可得，， 因为，可得，解得，所以. 18．（2026·湖北荆州·模拟预测）已知，向量满足，则的最大值为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【解析】记， 不妨设， ， ，点的轨迹是以为焦点的椭圆， 其方程为：； 由得， 即，， ，点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆， ， 设坐标为， 当时，， . 故选：D. 19．（2026·陕西铜川·三模）已知函数，，假如，，是曲线，上从左往右依次连续相邻的三个交点，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 所以将的图象向左平移个单位长度后可得到的图象，如图所示： 是与图象从左往右依次连续相邻的三个交点， 为等腰三角形，， 由，得 ，即 ， 又因为 解得， 故交点的纵坐标为， 过作交于点，由对称性可知， 为等腰三角形， ，， ，，得， ，解得 实数的取值范围为. 故选：B. 20．（25-26高三上·山东潍坊·期中）已知数列满足，设，则数列的前2026项和为（　　） A． B． C． D．506 【答案】A 【解析】因为数列满足， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， ， ， 所以， 又的最小正周期，一个周期内的和为， ， 所以. 故选：A. 21．（25-26高三上·湖南娄底·期末）已知正项等比数列的前n项和为，，.若，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为，则，， ， 解得，，因此，， 而 ， 则 故原不等式可化为， 当为奇数时，，即恒成立， 而为递减数列，且，解得； 当为偶数时，恒成立，而为递减数列， 可得，解得， 因此实数的取值范围是，故D正确. 故选：D 22．（2026·云南保山·二模）平行六面体所有棱长都相等，，点在底面的投影为中点，且直线与底面夹角为，则三棱锥的外接球被平面截得的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图，设中点为，，， ，，即， ，则，． 又平面，平面，， 则，，即， 三棱锥中，，均为直角三角形， 且平面平面， 三棱锥的外接球是以为直径，为球心，半径， 设到平面的距离为，外接球被平面截得的截面半径为， 对于三棱锥，高为，底面积， 故， ， ，，解得， 截面半径，面积为． 23．（2026·河南开封·模拟预测）图1是一个边长为2的正三角形纸片，沿虚线剪掉三个角处的四边形，剩余部分沿的三条边折叠成一个正三棱柱（无盖），如图2，当正三棱柱的体积最大时，异面直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正三棱柱的底面边长为，高为，求得，得到正三棱柱的体积为，利用导数求得，求得的单调性，得到时，取得最大值，结合异面直线所成角的求法，即可求解. 【解析】设正三棱柱的底面边长为，高为， 则，所以，其中，解得， 所以正三棱柱的体积为： ， 可得 令，即，解得或， 因为，所以， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值，此时， 在直角中，可得， 连接，可得， 在正三棱柱中，可得， 所以异面直线与所成角，即为直线与所成的角， 在中，可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 24．（2026·云南玉溪·模拟预测）四面体的各顶点均在同一个球面上，且，当四面体的体积最大时，该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点为O，连接， 由于，故， 平面，故平面， 设，则，， 设，则四面体的体积， 要使得四面体的体积最大，必有，即此时平面平面， 则此时，令，， 则，当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时，取得最大值，此时取得最大值， 即得， 以O为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设四面体的外接球的球心为，则， 即， 解得，即外接球球心为， 故外接球半径为， 故外接球的表面积为. 25．（2026·江西宜春·一模）在平面直角坐标系中，有一系列点，，…，，，且所有的点均在函数的图象上，已知以点为圆心的均与y轴相切，且与外切，，若，且对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由点在函数的图象上， 得， 而与y轴相切，则的半径， 同理可得，，的半径， 由于与外切，所以， 则， 即， 则， 因为，所以，则， 又，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 则，即， 由，则，即恒成立， 设，则， 所以， 因为函数在上为减函数， 且时，，时，，则时，，即， 则， 则的最大项为， 即，解得. 26．（25-26高三下·湖南·阶段检测）已知双曲线的左､右焦点分别为为上异于实轴端点的动点，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 设，，在中，结合双曲线定义，， 由正弦定理得， 化简分子： ， 分母， 代入得 ， 已知，代入整理得， 是三角形内角，故，结合双曲线离心率， 由，， 由，， 因此离心率. 27．（2026·安徽芜湖·二模）有公共焦点的抛物线与椭圆相交于两点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为抛物线与椭圆的公共焦点，且抛物线与椭圆相交于两点， 由抛物线和椭圆对称性以及可知，轴， 设点在第一象限，如图所示： 令，此时有， 又抛物线的焦点为，所以， 所以抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，所以， 即点，又点在椭圆上， 所以， 又，所以，所以 即，又，所以， 令 ，则，解得（舍去）或， 即， 又，所以. 28．（25-26高三下·陕西商洛·期中）某展馆中有一个灯光走廊,它是由块感应发光地板砖组成的.如图所示,每块地板砖只有“亮”与“不亮”两种状态,踩踏地板砖一次,将导致自身和所有相邻的地板砖中的灯的状态发生改变（例如,在全部地板砖均为“不亮”的状态下,踩踏地板砖时, 地板砖亮起,周围的地板砖也发亮,其他地板砖仍保持“不亮”状态）.若初始时地板砖都为“不亮”状态,第一次先踩踏地板,要使得最终只有地板砖亮起,则需要踩踏地板砖的最少次数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为初始全不亮，踩一次改变一块砖及其所有相邻砖的状态，变奇数次为亮，偶数次为不亮，用表示不亮，表示亮. 所以目标最终仅亮，即仅总改变次数为奇数，其余所有砖总改变次数为偶数. 第一步：踩：变亮，其余改变0次（偶数）， 第二步：让各再改变奇数次，从奇变偶，满足总偶数要求， 让其余各再改变偶数次，保持奇偶性符合要求. 因为踩踏对的状态改变，踩踏对的状态不改变， 最优操作仅踩踏而且每块地砖仅踩踏各次即可. 踩踏：翻转,不亮，如图： 踩踏：翻转,不亮， 踩踏：翻转,不亮， 踩踏：翻转,不亮， 刚好达到只有地板砖亮起,此时只有共改变了次状态，状态为亮， 其余每块共改变了次状态，状态为不亮. 若总次数为或，均无法满足上述奇偶要求，总会有多余的砖状态错误. 因此最少次数为. 29．（25-26高三上·四川成都·月考）某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可以选择跨1级、2级、3级台阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一共有（     ）种不同的走法． A．1049 B．1144 C．1431 D．1705 【答案】C 【解析】设上级台阶最后一步能跨3级的走法数为， 上级台阶最后一步不能跨3级的走法数为， 若最后一步跨1级，则前面级的走法数为， 若最后一步跨2级，则前面级的走法数为， 若最后一步跨3级，则前面级的走法数为， 所以， 又在限制条件下，， 易知上1级台阶有1种走法； 上2级台阶可每次只跨1级，或每次只跨2级2种走法； 上3级台阶可一次跨3级，或每次只跨1级，或一次跨1级另一次跨2级4种走法； 上4级台阶可每次只跨1级，或两次都跨2级，或三次中两次跨1级，一次跨2级，或两次中一次跨1级，一次跨3级共7种走法， 即， 所以，, 所以. 故选：C 30．（2026·广西桂林·一模）当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别.信息熵是信息论中的一个重要概念，它是由克劳德·艾尔伍德·香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为，其中表示随机变量的信息熵，随机变量所有可能的取值为，，且.若随机变量所有可能的取值为1，2，，若，则的信息熵的值所在的区间为（    ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为随机变量 服从两点分布，所以 ，由题意： ， 所以 ， ， 所以 设 ， 则 ， ， 因为当，，当，， 所以 在 上递增， 上递减， 所以 ，且 ， 显然 ， 又 ， 代入： ，得 ，所以 ， 综上： ，即 . 二、多选题 31．（2026·河南开封·模拟预测）已知是定义在上的非常数函数，，，则（   ） A． B．是偶函数 C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，由，， 令，得，故A正确； 对于B，令，得，则， 即不是偶函数，故B错误； 对于C，令，得， 则恒成立，故， 即，故C正确； 对于D，由， 令，得， 令，得，即， 令，得，即， 同理可得，， 则 ，故D正确. 32．（2026·江西上饶·二模）高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家．他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉．高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（   ） A．对于，有 B．是单调函数 C．方程有无数组解 D．方程共有个不等的实数根 【答案】AC 【解析】A选项：设，，其中，分别是，的整数部分，，分别是，的小数部分， 则，，所以，故A正确； B选项：当时，此时，函数为常函数，故B错误； C选项：当，，，，……均满足故C正确； D选项：由，得，则． 当时，，此时； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得； 当时，，代入原方程，得，即，不符合题意； 当时，，代入原方程，得， 即或（舍去），解得， 综上，原方程共有个不同的实根，故D错误． 33．（2026·山西太原·二模）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．当时，的最小值为 B．若有两个极值点，则实数的取值范围为 C．当时，的值域为 D．若存在，使得成立，则实数的最大值为 【答案】BCD 【解析】 ，求导得 A选项，当时，，， 令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，则， 即的最小值为，所以A选项错误； B选项，有两个极值点，等价于有两个不同的实数根，即有两个不同的解， 令，则，在上单调递减，在上单调递增，则， 且当时，；当时，；且时，，， 所以当时，有两个不同的解，即有两个极值点，所以B选项正确； C选项，若，则， ，所以在定义域内单调递增， 当时，；当时，；则的值域为，所以C选项正确； D选项，存在，使得，即存在，使得， 令，则 ，由B选项解析可知，当时，若，则， 不妨设为的根，即 ， 当，单调递减，当，单调递增， 则在处取得最小值， ， 需要满足存在，使得成立， 令，则，其中， 令，解得，所以在上单调递减，在单调递增， 则，此时 满足题意，所以，所以D选项正确. 34．（2026·河南开封·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，角A的平分线交BC于点D，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 【答案】ABD 【解析】选项A，由， 可得： 因为 所以，是三角形内角，故，即，A正确； 选项B，是角平分线，，， 由可得： ， 代入，整理得：，即，B正确； 选项C，由，利用基本不等式：， 当且仅当时，最小值为，C错误； 选项D，设内切圆半径为，是面积，是半周长， ，， 由内切圆半径公式，可得. 由余弦定理：， 设，， ， 随减小而增大，当取最小值时， 代入得， D正确. 35．（2026·黑龙江哈尔滨·三模）已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B．设数列满足，则的最大项为 C．设数列的前项和为，则 D．设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 【答案】ACD 【解析】A选项，，即， 故， 又，故，所以，A正确； B选项，， 显然，，，的最大项不为，B错误； C选项，，则①， ②， 式子①-②得， 所以，C正确； D选项，， ， 若为偶数，则， ，即，解得且为偶数， 故且为偶数， 若为奇数，则， ，即，解得且为奇数， 故且为奇数， 综上，若，则正整数的最小值为1012，D正确. 36．（2026·四川德阳·三模）在棱长为1的正方体中，．则下面结论中正确的是（   ） A．存在，使得平面平面 B．是平面的充要条件 C．分别是在平面，平面上的投影图形的面积，对任意，都有 D．任意，的面积不等于 【答案】ABD 【解析】如下图所示，建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，为正方体中一点，连接，点分别为在平面中的投影，连接，点分别为在平面中的投影，连接， 因为正方体棱长为，， 所以，，，，，，，，， 选项A：存在，使得平面平面， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 因为，， ，， 所以，即， 令，解得，即， ，即，令，解得，即， 若平面平面，则， 即，解得； 选项B：是平面的充要条件， 当时，， ，即， 所以平面， 若平面，则， 即，解得； 选项C：的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，， 则， 的三个端点在平面上的投影坐标分别为，，， 则， 令，即，解得，此时； 选项D：设和的夹角为， ，， ， ， ， 令，即，化简可得， 判别式为， 所以方程无实数解，即对任意，. 37．（2026·河北保定·二模）定义是自然数的所有因数中的最大奇数，记 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对A：，，则，故A正确； 对B：法一：、 、、、 、 、、 、、， 则，故B错误； 法二：由题意可得为奇数，则为个奇数之和，为偶数， 故，故B错误； 对C：，其中的唯一的奇因数为，则，故C正确； 对D：由中为偶数，唯一的奇因数为，则， 故，， 故 ， 即有，则， ，，， 则 ， 故，故D正确. 38．（2026·浙江杭州·二模）选取正方体表面上两个不同的点P，Q，定义第k次操作为“将正方体绕直线旋转角”. 则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有（    ） A．， B．，， C．， D．，， 【答案】ABD 【解析】要使正方体经过旋转后能与自身重合，旋转轴必须是正方体的对称轴， 且总旋转角度必须是该对称轴对应的基本对称角度（即满足重合的最小旋转角度）的整数倍， 正方体有三类旋转对称轴：面心轴（连接相对两个面的中心），基本对称角度为； 体对角线轴（连接相对两个顶点），如图：正方体绕旋转后重合， 故基本对称角度为； 棱心轴（连接相对两条棱的中点），基本对称角度为， 由于点是在表面上选取的，只要连线经过正方体中心，就可以成为上述三种对称轴之一， 因为所有的操作都是绕同一条直线进行的，所以最终的总旋转角度就是各次角度之和， 对于A，总角度可以为，A正确； 对于B，总角度可以为，B正确； 对于C，总角度为或，均不是的整数倍，C错误； 对于D，总角度可以为，D正确. 39．（2026·湖南·一模）在棱长为2的正方体中，F是棱的中点，Q为正方体表面上的一个动点（含边界），则下列说法中正确的是（    ） A．过A，F，C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为 B．若P为棱的中点，且平面，则线段的最小值为 C．若Q是正方形内的一个动点，且满足，则动点Q的轨迹是一条线段 D．若P为棱的中点，则四面体外接球的表面积为11π 【答案】ACD 【解析】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，，，， 对于A，取中点，连接，，则， 即，而点，因此， 得到四边形是过A，F，C的平面截该正方体所得的截面， 其周长为，故A正确； 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 而平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点， 得到到的距离为，到的距离为，到的距离为， 所以线段的最小值为，故B错误； 对于C，由Q是正方形内的动点， 设，，，则，， 由，得，解得， 即点，，动点Q的轨迹是一条长度为2的线段，故C正确； 对于D，点，设四面体外接球的球心，球半径为R， 则 解得，，，， 因此四面体外接球的表面积为，故D正确. 40．（2026·浙江温州·二模）若曲线满足条件：存在正数a和点，对于任意点，总存在点，使得，则称该曲线是“封闭曲线”，则下列曲线是“封闭曲线”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，由，即，为椭圆， 则，取，满足， 而，， 令，由，对任意的，， 此时，因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于B，由，显然，则， 由于函数在和上均为减函数，如图： 因为该图象是无界的，因此当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”； 对于C，由， 显然点均满足方程， 则曲线关于，原点对称，且， 因此该曲线上的点均在圆上（或内部）， 所以该曲线的图象是有界的，取， 设，，取， 由，对任意点，， 此时， 因此对于任意点，总存在点， 故是“封闭曲线”； 对于D，由，而， 则时，， 所以曲线的图象无界， 当时，对给定的而言， 是一个具体的正数，则，这与矛盾， 因此，不是“封闭曲线”. 41．（2026·福建·二模）已知抛物线的焦点为，过的直线l交于两点，直线交于另一点D，则（    ） A． B．的内心在定直线上 C．若，则 D．若，则的面积为 【答案】ABD 【解析】因为抛物线的焦点为，所以， 解得，则抛物线方程为, 如图，作出符合题意的图形，作轴， 对于A，设，则，由题意得是直线的倾斜角， 由斜率的几何意义得， 由诱导公式得， 由焦半径公式得，在中，可得， 则，故A正确， 对于B，设的方程为，， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则，， 由斜率公式得，， 因为，所以，可得， 则，得到被轴平分， 可得的内心在定直线上，故B正确， 对于C，因为被轴平分，所以， 设，， 因为，所以， 由二倍角公式得，解得（另一根舍去）， 则，联立方程组，解得， 此时，与不符，故C错误， 对于D，因为， 所以或（与题意不符，排除）， 设直线的方程为，设， 联立方程组，可得， 由韦达定理得，，则， 由弦长公式得，， 由焦半径公式得，且， 而直线的方程为，设到的距离为， 由点到直线的距离公式得， 则， 因为，所以平分， 由角平分线性质得，可得， 化简得，解得，则，故D正确. 42．（2026·重庆·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为，， 是椭圆上异于左、右顶点的一点， 下列说法正确的有（    ） A．的周长为 B．若，则的最小值为 C．满足是直角三角形的点有 8 个 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】 对于A：易知，，则. 由椭圆的定义可知，， 所以的周长为，故A正确； 对于B：，. 当时，，故B错误； 对于C：易知，当或时，是直角三角形，此时点共有4个； 以为直径作圆，圆心为原点，半径，而椭圆上的点到原点距离的范围为， 故圆与椭圆有4个交点，结合圆的性质可知，此时满足条件的点有4个； 综上，满足是直角三角形的点有 8 个，故C正确； 对于D：可以看作是椭圆上的点与点连线的斜率. 设该直线的方程为. 联立，整理得， ， 由，得，即，解得. 所以的最大值为，故D正确. 43．（25-26高三下·陕西商洛·期中）已知双曲线T：（）的左、右焦点分别为,,坐标原点为O,过点且斜率不为0的直线与双曲线T的左、右两支分别交于点和点,的中点为，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．若,则 D．若射线是的平分线,则 【答案】BD 【解析】选项A：因为双曲线 的左焦点为 ，则，， 所以， 因为 ，所以 ，选项A错误； 选项B：连接，取的中点为点，连接，， 又 ， , 又 ，且AB的中点为D， ∴，, 在 中，，即 ∴，选项B正确； 选项C：因为是中点，所以 ， 由已知，故 ， 根据双曲线定义： ，， 所以， 因为， 所以，选项C错误； 选项 D：根据角平分线定理： 因为是中点，故，所以， 因为，，且，所以， 又，所以，即， 因为是中点，且，所以， 设，，，直线过， 设直线方程为，代入双曲线，得：， 由，则由弦长公式得，解得， 所以中点坐标为：，， 所以，选项D正确. 44．（2026·陕西西安·模拟预测）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（    ） A．在区间上有3个零点 B．的最小正周期为 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 【答案】ACD 【解析】对于A，令，则，即， 故或，而，故，故A正确； 对于B，， 此时，， ，故的最小正周期不为，故B错误； 对于C， ， 故的图象关于点中心对称，故C正确； 对于D，， 因为， 故为周期函数，且周期为， 设，则 ， 令，则或或或或或， 当或或或时，， 当或或时，， 故在，，，上均为增函数， 在，，上均为减函数， 而，， ，， 故，故D正确. 45．（2026·山东聊城·二模）设函数，则（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在区间上单调递增 D．当时，方程在区间上所有实根的和为 【答案】BCD 【解析】因为且 都是偶函数， 所以 故是函数的一个周期. 又 所以的最小正周期不是，而是.因此A错误. 对于B，任取， ， 由余弦函数的性质可得所以函数的图象关于直线对称，B正确. 对于C，因为， 所以 当时， 从而 于是故函数在区间上单调递增，C正确. 对于 D，令则方程化为即 因为且 所以在区间 上，方程只有唯一解 设则 于是 在区间内，方程的解为 方程的解为 故区间内全部实根为 这些根的和为 ， 所以D正确. 综上，正确选项为BCD. 46．（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 【答案】AC 【解析】因为定义在上的函数满足：，且， 所以，所以， 又，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以， 若，得，解得，又，不存在的值， 所以不存在，使得，故B错误； 当时，由，得，令，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以是函数的第一个极小值点. 若时，则， 则， 所以，， 所以，即 递推得， 求导得， 令，可得，解得，即， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的第个极小值点为， 所以，即，故C正确； 所以第个极小值为 当时，极小值，故D错误. 47．（2026·重庆九龙坡·二模）已知函数，则（   ） A．存在，使得在上是单调函数 B．若有三个不同的零点，则 C．当 时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条 D．若 恰有个不同的实数根，则的取值范围关于原点对称 【答案】BCD 【解析】函数，求导可得， 令，即，解得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 极大值为，极小值为， 选项A：函数在上单调性发生了变化，所以不是单调函数； 选项B：函数要有三个不同的零点，则要求的极大值大于且极小值小于， 即，解得； 选项C：当时，函数， 设切点坐标为，切线斜率为， 则切线方程为，化简可得， 根据题目可知，切线经过原点， 代入，可得，解得， 因为只有唯一解，所以当时，过原点且与曲线相切的直线恰有一条； 选项D：令，要使有个不同的实数根，则要求有个不同的实数根，，，且每个有个不同的实数根， 设满足题意，则方程的三个实数根均满足， 当参数为时，方程变为，三个实数根为， 此时要求根满足，该条件等价于， 由于和满足题意的条件完全相同，故的取值范围关于原点对称. 【点睛】验证C选项时，设切点坐标，写出切线的方程再把原点代入进行证明， 验证D选项时，能想到分别用和来进行证明. 48．（2026·湖北鄂州·模拟预测）若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C．成等比数列 D． 【答案】ABD 【解析】对于，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，时，，当时，， 故； 对于，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故. 对于A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故A正确； 对于B，结合图象可知，，， 结合函数的单调性可知，，即故B正确； 同理可得，由知不可能构成等比数列，故C错误； 由前面分析可知，故D正确． 49．（2026·广东清远·二模）已知函数，设，则下列说法正确的是（   ） A．用表示不大于的最大整数，若，则恒成立 B．若关于的方程与的实数根相同，则 C．若存在两个零点，则 D．若方程在上无解，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】对于A，因为， 所以，故A正确； 对于B，恒成立，所以单调递减， 又， 所以有唯一的实数根， 因为方程与的实数根相同 所以， 所以， 令，则， 所以当时恒成立，所以单调递减， 所以，而，所以， 即，故B错误； 对于C，，即有两个解， 所以函数的图象与函数的图象有两个交点，如图 由图可知，不妨取， ，所以，所以，C正确； 对于D，即， 当时，单调递增，值域为， 当时，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 又当时，，当时，， 所以当时，的值域为， 所以在上的值域为， 所以方程在上无解，则的取值范围是，正确. 50．（25-26高三上·福建·开学考试）已知信道内传输0，1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号传输相互独立.当第号节点发送0时，第号节点收到1的概率为，收到0的概率为；当第号节点发送1时，第号节点收到0的概率为，收到1的概率为.设当基站（记为0号节点）依次发送信号1，0时，第号节点依次接收到的信号仍是1，0的概率为，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】当基站（0号节点）发送信号1时，1号节点接收到1的概率为， 当基站（0号节点）发送信号0时，1号节点接收到0的概率为， 所以， 若，则，所以A正确； 当基站（0号节点）发送信号1时，1号节点接收到1，2号节点也接收到1的概率为，1号节点接收到0，2号节点接收到1的概率为； 当基站（0号节点）发送信号0时，1号节点接收到0，2号节点也接收到0的概率为，1号节点接收到1，2号节点接收到0的概率为， 所以， 若，则，所以B错误； 设基站发送信号1时，第号节点依次接收到的信号仍是1的概率为， 设基站发送信号0时，第号节点依次接收到的信号仍是0的概率为， 若，则， 对于，有，，，所以C正确； 若，则，， 可得递推关系，，解得，， 所以，所以D正确. 故选：ACD 冲刺02填空题压轴预测30题 1．（2026·安徽芜湖·二模）已知集合共有个三元子集.任意一个三元子集，定义.则__________. 【答案】660 【解析】对于集合中的元素，要使在三元子集中， 则可以从1到这个元素中任选1个， 可以从到10这个元素中任选1个， 根据分步乘法计数原理， 作为三元子集的中间数出现的次数为 则. 2．（25-26高三下·北京·阶段检测）已知函数，其中且.若关于的方程恰有三个不相等的实数根，则的取值范围为_____，且的取值范围为_______. 【答案】 【解析】当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 当时，函数的图象及直线如图： 观察图象知，当且仅当且，即时，函数的图象及直线有3个交点， 即方程有三个不相等的实数根，不妨令， 则，由，得，即， 因此，则，所以. 3．（2026·河北唐山·二模）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 【答案】 【解析】因为3为质数，在不超过的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为， 则，即， 所以集合 当时，集合为，则； 当时，集合为，则； 当时，，则， 综上所述，，则， 设数列前项和为， 当时，； 当时，， 则， 两式相减得，， 则, 显然满足上式，则. 4．（25-26高三下·重庆·期中）若对任意的，恒有，则实数的取值范围为_____. 【答案】 【解析】对任意的，恒有，则， 即， 令，其中，则， 所以函数在上单调递增，且， 由可得，则， 参变分离可得，构造函数，其中， ， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，故，即实数的取值范围是. 5．（2026·浙江·三模）设关于的方程（为自然对数底数）有个不相等的实数解，则___________. 【答案】 【解析】由题意知，，原方程两边同时除以，化简为：， 令，则方程变为：， 解得或，即或， 所以原方程实数解的个数转化为与、图象交点的个数， 令，则， 当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以函数在处取得最小值为， 又因为当时，，当时，， 而，所以与、图象各有两个交点，即原方程共有个互不相等的实数解. 由得，两边取自然对数：，即， 同理，由化简得：， 所以. 6．（2026·宁夏银川·三模）在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 【答案】 【解析】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（，为常数）. 当时，，代入得①， 当时，，代入得②， 将①②化简可得，即，解得， 由运输要求，即， 又因，所以 ， 即 ，而， 其中 ， 所以， 代入可得，因此， 解得. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为. 7．（2026·天津和平·二模）已知，，当取得最大值时，此时有函数，函数，且对任意，有不等式恒成立，则实数p的取值范围为__________. 【答案】 【解析】当， ，当且仅当， 即等号成立，故， 故函数，函数， 当时，，最小值为（时取到）， 当时，， 故的最小值为， 对任意，有不等式恒成立等价于对任意，有不等式恒成立， 即，解得或， 所以或， 因为函数在单调递减， 所以解得. 8．（25-26高三·全国·三轮复习）已知定义在上的函数的导函数为，且满足，，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】令，则， 不等式等价转化为，即， 构造函数，可得， 因为，可得， 所以，所以为上的增函数， 又因为，所以， 所以，解得，即， 所以，故不等式的解集为． 9．（2026·河北保定·二模）已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________． 【答案】 【解析】如图， 弦MN交AB于点，当时，平面，平面平面， 则， 由圆锥SO的底面为单位圆，其体积为， 得，得，则， 设， 则，得，得， ， 则的面积为：， 则， 由，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 则当时，取得极大值，也为最大值， 故的最大值为：. 10．（2026·广西贵港·三模）直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，，当矩形的面积为时，___________． 【答案】 【解析】，当时，，当时，， 故函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 当时，，当时，函数取得最大值， 画出函数简图如下： 设，则，， ，即， 则有，解得，此时. 11．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 【答案】 【解析】由题意：，， 得：， 所以或，， 又，所以，，， . 12．（2026·河南开封·模拟预测）在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 【答案】 【解析】在中，，，，则， 又因为，所以， 又因为为等边三角形，所以， 所以， 设，则由正弦定理可得，所以， 在中，，所以， 又因为，所以， 所以， 所以周长 （其中）. 当时，可得周长的最小值为. 13．（2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】/ 【解析】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， .14．（2026·上海徐汇·二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【答案】 【解析】 作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点A,与平面交于直线BC， 线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线 作于D，于H,由坡角为易得， 由题意得, 则，， 所以， ， 因为，所以，， . 15．（2026·江西·三模）若函数在区间内有且仅有个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】已知函数在区间内有且仅有个零点， 即方程在上有两个不等的实数解， 令，则，则， 当时，每个都对应两个值； 当或时，每个都对应一个值； 当时，每个都对应三个值； 当时，，则有两个的值，满足题意； 当时，每个都有两个与它对应，当时，函数都有两个与对应， 此时方程在上有四个不等的实数解，不满足题意； 当时，或，则或有四个的值，不满足题意； 当时，每个与一一对应，当时，函数都有两个与对应，满足题意； 当时，，则有一个的值，不满足题意； 综上所述，实数的取值范围为. 16．（25-26高三下·上海金山·阶段检测）球是一个半径为1的球，其大圆上有一个内接正二十四边形是球面上一点，是正二十四边形边上一点，均不与重合，记，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】设球心O为坐标原点，正二十四边形所在平面为平面， 点都在单位圆上，即 . 点A是球面上一点，所以,点B是正二十四边形上一点，所以 . 已知，, 则， 故，故， 又因为是正二十四边形且内接于以O为圆心的圆，其顶点的向量和为零向量， 即 ，故， 即. ， 故，同理，即， 故. 当点位于正二十四边形边上（非顶点）时，最小值为中心到边的距离， 趋近于顶点时，最大值趋近于1. 故，则， ， 由半角公式可得 则. 17．（2026·天津·一模）如图，△ABC中，点D，E，F分别是线段AF，BD，CE的中点，设，，则__________（用，表示）；已知，，，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】第一空，， 得， 得，由，， 得． 第二空：不妨记，， 由余弦定理得，， 得， $6学科网 2026 课 考点无遗漏·热点早预见 技巧稳掌握·预测明考向 心态全护航·考后细疏导 刊首语 以青春之名，赴梦想之约 致即将奔赴考场的你 亲爱的同学们： 当凤凰花开满枝头，当蝉鸣唤醒盛夏，你们将执笔为剑，在考场上书写青春 的答卷。这三年，你们见过彼此晨光熹微时的早读身影，听过自己深夜笔尖划 过纸页的沙响；既有过“直挂云帆济沧海”的意气风发，也曾因“路漫漫其修 远兮”而彷徨。但请记住，每一滴汗水都是成长的印记，每一次跌倒都是为腾 飞蓄力。 以信念为帆，破浪前行 高考是人生的第一个重要渡口，它检验的不仅是知识，更是意志。那些挑灯 夜战的夜晚、反复演算的习题，终将凝聚成“天道酬勤”的力量。无论结果如 何，只要拥有梦想并为之奋斗，你们已是自己的英雄。请带着“舍我其谁”的 气魄踏入考场，因为“自信是成功的基石，沉着是飞翔的翅膀”。 以坚韧为刃，披荆斩棘 学习之路从无捷径，或许你们曾因一次失利而怀疑自已，但请明白：“只有 经历地狱般的磨炼，才能炼出创造天堂的力量。”就像梅花经苦寒而芬芳，宝 剑因磨砺而锋利。此刻，你们只需凝神静气，将三年积淀化作笔下星河 “静下来，铸我实力；拼上去，亮我风采”！ 以初心为灯，照亮未来 高考不是终，点，而是新篇章的起点。这个世界从不会辜负认真耕耘的人，在 你的笔下有一个色彩绚丽的世界，而未来定会还你另一幅灿烂图景。愿你们像 雄鹰搏击长空，如猛虎声震山谷，在考场上“以平常心面对挑战，以非凡心成 就自我” 般殷的嘱托 亲爱的同学们，“长风破浪会有时”是你们的信念，“不达目的誓不罢 休”是你们的誓言。愿你们“从容不迫，潇洒凯旋”；愿你们“金榜题名时， 言笑亦晏晏”；更愿你们永远记得一这场考试的意义，在于让你们发 现：“生命中最快乐的，是拼搏而非成功；最痛苦的，是惰性而非失败。” 希望学科网《最后一课》系列，能助你在高考的考场上擘画自己的明天！相 信你们终将“一举成名天下知”，让青春的光芒照亮未来的每一步！ 学科网总经理陈学艺 2026年4月20日于北京 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 目 录 01热点情境·命题解密 妙招02解答题答题规范与技巧(P65) 热点01新定义试题：新概念、新运算、新性质(P5) 妙招03开放性试题解题技巧(P68) 热点02新情境试题：数学文化、科技应用、生活 妙招05答题模版(P72) 建模(P7) 妙招06妙招实训50题(P74) 热点03跨学科交汇试题(P10) 04易错问题避坑指南 热点04函数与导数经典考法：抽象函数、零点、 不等式问题(P12) 避坑01数学概念易混易错(68条)(P84) 热点05数列经典考法：等比（差）数列的证明、 避坑02审题解题方法易错（72条) (P87) 数列求和(P14) 热点06三角经典问题：三角函数图象与性质、三 05 决胜高考·压轴预测 角形中的三线问题(P16) 冲刺01选择题压轴预测50题(P90) 热点07立体几何新考法：外接球、截面、动态问 冲刺02填空题压轴预测30题(P100) 题(P18) 冲刺03解答题压轴预测20题(P105) 热点08解析几何压轴题(P20) 冲刺042026年新高考数学终极押题卷(1)(P117) 热点09概率与统计创新考法(P22) 冲刺052026年新高考数学终极押题卷(2)(P123) 02 高频考点•速查速记 06 全程备考·硬核攻略 速查01集合、逻辑、复数、平面向量(P26) 考前指寻 速查02函数与导数(P32) 指导01冲刺复习备考指导(P129) 速查03三角函数与解三角形(P36) 指导02考前需做好的几件事(P141) 速查04 数列(P38) 考中实战 速查05立体几何(P41) 实战01考场规则及注意事项(P144) 速查06直线与圆(P46) 实战02高考临场答题攻略(P146) 速查07圆锥曲线(P48) 速查08统计(P52) 实战03难题/卡壳题应急破局指南(P159) 速查09计数原理、概率(P55) 考后疏寻 疏导01聚焦可控因素：志愿填报(P161) 03 重难题型解题妙招 疏导02启程·下一站人生(P168) 妙招01客观题审题与解题技巧(P61) 3/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 写在前面：冲刺复习备考指导 高考数学冲刺阶段，方向远比刷题重要。数学备考之路从无捷径，唯有以有序破慌乱、以平和胜焦虑、 以科学强韧性，方能在考场上落笔从容、不负韶华。 一、时间管理：用有序节奏消解慌乱 1、划分时段，精准发力 将每日时间划分为复习、刷题、纠错、休息四大板块，固定时段做固定事，避免手忙脚乱。 2、立足基础，拒绝贪多 摒弃“难题怪题执念”，优先巩固高频考点、基础题型，每天预留30分钟回顾核心公式、解题模 板，确保基础题不丢分，中档题稳拿分。 3、劳逸结合，张弛有度 拒绝“熬时间”式努力，每学习1.5小时休息15分钟，保证充足睡眠，避免过度疲劳，让大脑保持 高效运转，用高效学习替代无效消耗。 二、 情绪调节：用平和心态对抗焦虑 1、接纳情绪，不与焦虑对抗 不必因一次模拟考失利而自我否定，不必因知识点遗忘而焦虑崩溃，承认情绪的存在，及时疏导，把 焦虑转化为查漏补缺的动力。 2、即时解压，快速平复状态 烦躁时深呼吸3分钟、短暂远眺、轻揉肩颈，或写下烦心事清空大脑：避免过度刷手机、与人攀 比，减少外界千扰。 3、正向暗示，稳定心理节奏 不必过度纠结“高考考不好怎么办”，也不必攀比他人的复习进度，专注自己的节奏，做好每天的小 事，积少成多，每一步前行都有意义。 三、认知重塑：用科学认知增强韧性 1、正视差距，精准补漏 模拟考的意义不在于分数高低，而在于发现问题。正视自己的薄弱模块，针对性刷题、专项突破，把漏 洞逐个补齐，每解决一个问题，就向成功靠近一步。 2、相信积累，拒绝急功近利 数学学习没有一蹴而就的奇迹，每一次刷题、每一次纠错、每一次复盘，都是在积累力量。相信量变 终将引发质变，坚持下去，终会收获惊喜。 3、坚定信念，不负耕耘 高考是一场持久战，最后的冲刺，拼的不仅是知识，更是毅力与信念。相信自己的努力，不怀疑、不放 弃，以坚定的信念奔赴考场，用实力书写属于自己的辉煌！ 结语：稳住节奏、放平心态、相信自己，每一步踏实前行，都在靠近理想的终点！ 4/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 01 热点情境·命题解密 热点01新定义试题：新概念、新运算、新性质 【热点衔接】 2026年高考数学新定义题延续“反套路、重迁移”命题导向，是素养考查核心载体，必考且区分度 高。题型覆盖选择、填空、解答，压轴题常以数列、函数、解析几何为载体，融合新概念、新运算、新性 质三类考法。命题紧扣课标，锚定向量、函数、数列等主干知识，外裹创新定义，本质是“旧知识新包 装”。试题强化现场学习、阅读理解与逻辑推理能力，情境贴近科技、生活，设问开放探究，强调从特殊 到一般的思维迁移。备考需吃透定义本质，拆解新规则转化为常规问题，突破“看不懂、不会转”的难 点，适配高考“破套路、强思维”的考查趋势。 【热点词】 新定义、新概念、新运算、新性质 【命题角度】 1.新概念型：引入课本未有的概念（如“可分数列K列)，考查理解与迁移。 2.新运算型：定义新符号/法则（如(ab、a⊕b),按规则运算。 3新性质型：给出对象满足的新性质（如“和谐函数“等差比数列”)，推导论证。 【押题预测】 1.(25-26高三上江西南昌·月考)奔驰定理：己知O是△ABC内的一点，若△BOC、△AOC、△AOB的 面积分别记为S4、SB、Sc,则S4·OA+S。·OB+Sc·OC=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结 论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，己知O是△ABC 的内心，AB-8,且满足20A+308+4OC=0,设△ABC的内切圆半径为r,外接圆半径为R,则二= R () B A B. 5 16 16 c月 D. 5/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026贵州黔西南·二模)定义：对于空间一个平面和该平面外两点P,2,若在平面a内存在一点 R使得PR+QR取得最小值，则称R为P,Q两点关于平面α的“最短距点”.如图，已知正方体 ABCD-ABCD的棱长为2，AC与BD交于点O,点P为线段BB的中点，其中，点R是P,O两点关于 平面AB,CD的“最短距点”，则直线PR与OR所成角的余弦值为() D R A B B A. B.V3 8 c. 11 D.62 11 3.(25-26高三上·上海·月考)双纽线的图形轮廓像阿拉伯数字中的8'.如图，曲线 C(x2+y2)-a(x2-y2)是双纽线，关于曲线C,下列说法正确的是() 3 A.a=8 B.C上存在点()，使得V+>3 C.若直线y=kx与C只有一个公共点，则k的取值范围为(-∞，-)UA,+∞) D.C上的点的纵坐标的最大值为3V2 4.(多选)(2026河南濮阳·二模)已知定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足：f(x+1)=2f(x)+[x)],其中 [x]表示不超过x的最大整数.当x∈(0,1]时，f(x)=xnx,设数列{a}满足a,=f(),数列{b}为f(x)从 小到大第个极小值点构成的数列，下列说法正确的是() A.数列{a,+n+1}为等比数列 B.heN,使得4>2-2 C.数列b}的通项公式b=n-1+二 D.neN,都有f(b)<0 5。(2026辽宁辽阳：二模)已知[表示不超过x的最大整数，f)-x-[号，若f)在区间化3)怡 6/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 有两个零点，则t的取值范围是 热点02新情境试题：数学文化、科技应用、生活建模 【热点衔接】 新高考数学命题的核心特征之一是“无情境，不成题”。试题通过创设真实、多元的情境，将数学知 识的考查置于具体背景中，引导学生由“解答试题”转向“解决问题”，全面考查数学核心素养与关键能 力。 2026年高考数学新情境试题将聚焦数学文化、科技应用、生活建模三大方向，凸显素养立意。数 学文化类，侧重古今中外数学成就融合，如《九章算术》算法、割圆术、斐波那契数列等，结合数列、 概率、几何知识考查，传递文化自信。科技应用类紧扣前沿热点，以A虹算法、新能源、航天工程、大 数据分析为载体，考查函数建模、数列递推、概率统计，强化数学建模与数据分析能力。生活建模类贴 近现实，聚焦经济优化、环境治理、民生规划等，构建方程、不等式、函数模型，考查解决实际问题能 力。试题呈现“真实情境+核心知识”融合特点，解法更灵活，强调从情境抽象数学问题的能力，难度 梯度合理，区分思维层次。 【热点词】 九章算术、新质生产力、AR技术、智能制造、文化创新、高质量发展、中国智造 【命题角度】 1.以中华古代数学典籍、传统工艺、民俗历法为载体，融合数列、几何、概率等知识，渗透文化自信，侧 重从古文情境提炼数学模型，考查阅读理解与传统文化理解能力。 2.依托航天航空、人工智能、大数据、新能源等前沿科技背景，结合函数、统计、数列建模，考查数据处 理、逻辑推理与数学抽象应用能力。 3立足经济消费、民生规划、环境治理、工程优化等现实场景，以不等式、函数、概率统计为工具，考查 建立数学模型、解决实际生活问题的素养。 【押题预测】 1.2026四川乐山月考)在航天器的轨道校准任务的二维定位平面内，控制中心需要将坐标是(0,0)的卫星 进行三次平移（单位：k):第一次沿向量y=(a,1)补偿平移；第二次沿向量v,=（-1,a)修正平移；第三次 沿向量=(2,1)校准平移.若卫星最终精准到达坐标是(3,4)的同步轨道点，则实数α=(） A.4 B.3 C.2 D.1 2.(2026北京石景山：二模)人们通常以分贝（符号是dB)为单位来表示声音强度的等级.一般地，如 7/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 果强度为I的声音对应的等级为LdB,则有L=10l 10·已知某品牌笔记本电脑工作时产生的噪音强度 的等级约为52B,如果通过改善相关结构，将其噪音的强度减少为原来的一半，则改善后的噪音强度的 等级约为() (参考数据：1g2≈0.301) A.49dB B.46dB C.26dB D.13dB 3.(多选)(2026浙江·三模)我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的 方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”我们取第 一个音“黄钟~的弦长81，记为8，用“三分损一”得到第二个音“林钟的弦长81×1-}，罗 记为a2,再用“三 分益一”得到第三个音“太簇的弦长54×1+。 记为4，…，按此规律依次交替损益就能得到十二律吕” 的弦长.把上述依次得到的弦长组成的数列记为{a,}(n∈N).则下列说法正确的是() A.4=64 B.241=34 C.k∈N,使得4k-1+4k+3=24kH D.keN，都有aa3=(aH)} 4.（多选)(2026浙江金华·二模)第十五届全国运动会会徽“同心礼花”由广东木棉花、香港紫荆花、澳 门莲花的三朵花瓣交叠旋转而成，构成爱心形状，象征三地同心同源、深度融合，会徽轮廓如下图1，现 将其简化为图2：半径均为1的圆O,O2,O3互相过圆心，A,B为圆O上两点，且OA⊥OB,点C在 圆O与圆O3上运动.若OC=OA+uOB(入，u∈R),则下列选项可能成立的是() (图1) (图2) A.2=-2 B.=3 C.1-2u=-4 D.22+22=5 5.(2026黑龙江哈尔滨·二模)2026年，人工智能领域最核心的演进趋势，是从“生成式AI (GenerativeAI)向“决策式AI'(Decision-makingAI)的全面跨越.行业焦点己从AI“能说会道'的创造能 力，转向其“能落地干活'的自主决策与执行能力.某企业采用决策式AI对电子元件进行智能质量检 测.工程师随机抽取若干元件进行人工全面检测，确定每个元件的真实合格情况，并给每个元件进行评分 8/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (满分100分)，按40,50)，「50,60)，「60,70)，「70,80)，[80,90)，[90,100]分成6组，绘制成（如下 图)频率分布直方图： ◆频率组距 0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 规定：评分不低于60分为实际合格，低于60分为实际不合格，以样本频率估计总体概率.与此同时进行 AI检测试验，AI设备存在误判情况，试验结果显示： 1 若对于实际合格的电子元件，将其判定为不合格的概率为30： 9 若对于实际不合格的电子元件，将其判为不合格的概率为 0 (1)估计这批元件人工检测评分的平均数（同一组数据用区间中点值代替）： (2)该企业将AI智能质量检测投入使用. ①任取一个元件进行AI检测试验，求这个元件被AI判定为不合格的概率； ②从该批已经被AI检测过的元件中随机抽取3件，记被抽取的这3个元件中被A虹判定为不合格的件数为 X,求X的分布列： (3)企业规定：若AI判为合格，则直接出厂：若AI判为不合格，则一律进行人工复检，复检可100%识别 是否合格.己知：每个实际合格元件出厂获利100元：每个实际不合格元件出厂将造成损失200元；每个 元件需要人工复检其成本为10元，复检后实际合格元件正常出厂，不合格元件报废处理（为便于计算， 元件成本忽略不计).若该企业按此流程运行，试估计每件该类元件收益的期望. 9/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点03跨学科交汇题：数学+化学物理/生物/历史 【热点衔接】 2026年高考数学将持续强化跨学科命题趋势，数学与物理、化学、生物、历史多领域深度交汇，成为 高考命题重要热点。此类试题以真实学科情境为载体，将函数、数列、概率统计、立体几何、拟合建模等 数学知识，融入物理运动规律、化学定量计算、生物种群变化、历史人口统计与史料数据分析等场景。 命题摒弃纯理论刷题套路，侧重考查从跨学科情境中提取数学信息、建立数学模型、运用数学工具解 决实际问题的核心素养。题型多分布在多选题、填空题与解答题，贴近新高考素养立意。 试题注重情境真实化、应用生活化，强调学科知识融合迁移，弱化机械公式套用。备考需学会剥离学 科背景，提炼数量关系与模型结构，熟练掌握建模、运算、数据分析能力，适配新高考跨学科融合的命题 风向。 【热点词】 光学性质、跨学科、生物、历史、物理、化学 【命题角度】 1数学与物理：结合运动规律、电路、力学模型，考查函数、三角函数、向量与最值求解。 2数学与化学：依托反应配比、平衡浓度、晶体结构，考查数列、比例运算、立体几何。 3数学与生物：围绕种群增长、遗传概率、细胞繁殖，考查指数函数、统计概率、数列建模。 4数学与历史：结合人口变迁、史料数据、历法纪年，考查统计分析、数列推算、线性拟合。 【押题预测】 1.(2026广西南宁·二模)抛物线的光学性质是一个非常重要且优美的几何特性，它描述了抛物线如何反 射光线.这个性质在数学、物理学和工程学中有广泛的应用.其光学性质如下：从焦点发出的光线经过抛 物线上一点（不同于抛物线的顶点）反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称 轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.若抛物线C:y=2Px(p>O)的焦点为F,从F发出的光 线经过抛物线C上点G反射后，其反射光线过点A 且∠AGF=120°，则△AGF的面积为() A. 3 B.3 c.35 D.9W3 2 4 2.(多选)(2026·湖南·模拟预测)已知双曲线有如下光学性质：从一个焦点发出的光线经过双曲线反射 后，反射光线的反向延长线通过另一个焦点，其几何事实为：若双曲线的两个焦点为E,E2,P为双曲线 上任意一点，则P处的切线平分RPB,已知椭圆A:+兰 京+京=1(a>b>0)的左、右焦点分别为R,乃， 10/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 双曲线B: 立方1的左、右焦点分别为2，过马作直线1与双曲线B相切于点M,与椭圆相交于点 N,且点M,N均位于第一象限，若M=E到引，则下列说法正确的是() A.直线1的斜率为定值1 B.椭圆A的离心率为，1 √2 2 C.双曲线卫的离心率为1+ MN D 2 NE 为定值V4+2√2 3.（25-26高三下·上海·月考)自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断 地繁殖后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长 符合模型：N(t)=N,e,其中N,为种群起始个体数量，r为增长系数，N(t)为t时刻的种群个体数量.当 t=3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍若N(4)=150,则N(10)=一 4.(25-26高三上·黑龙江·月考)碳14是一种著名的放射性物质，当生物死亡后，体内碳14含量按确定 的比率衰减，称为衰减率考古学上常用碳14推断死亡生物所处的年代，一般用放射性物质质量衰减一半 所用的时间称为一个半衰期，碳14的半衰期是5730年.假设某生物死亡时其体内碳14的含量为M,则此 生物的死亡时间t(t≥0，单位：年)和死亡后体内碳14的剩余含量M的函数关系可以是M= 5.(2026湖南长沙联考)空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利 用车品是金有原于的体积。如图1是六方放密推积品泡的示奇图。 晶胞体积 以上下层球心为顶点得平行六面体ABCD-EFGH,如图2，其中O是中间层球的球心，已知该示意图中 原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为 (用含π的式子表示). B约60 =2r 图1 图2 11/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点04函数与导数经典考法：抽象函数、零点、不等式问题 【热点衔接】 2026年高考数学函数与导数延续经典考法，仍是压轴核心模块，聚焦抽象函数、零，点、不等式三大高 频考点，凸显素养立意。抽象函数侧重考查奇偶性、单调性、周期性，多结合赋值法求解解析式、判断性 质，题型以选择、填空为主。函数零点侧重与图像结合，考查零点个数判断、零点范围求解，常与分段函 数、导数单调性融合。不等式问题核心是导数应用，考查不等式证明、恒成立与能成立问题，结合参数范 围求解，多为解答题压轴。命题紧扣主千，规避偏难偏怪，强调逻辑推理与运算求解能力，备考需夯实基 础，掌握图像分析法、构造函数法，突破核心题型，适配高考命题的稳定性与综合性。 【热点词】 抽象函数、零点、方程的实根、恒成立、有解、证明不等式、导数的应用 【命题角度】 1.抽象函数：侧重考查奇偶性、单调性、周期性，常通过赋值法求解解析式、判断性质 2.函数零点：侧重结合图像，考查零点个数、范围，融合分段函数与导数单调性：极值点偏移问题等。 3.导数与不等式：依托导数，考查证明、恒成立与能成立问题及参数范围求解。。 【押题预测】 1.（多选)(2026广东江门二模)若函数f(x)的定义域为R,f(1)=2,且x,y∈R, f(x2-y2)=xf(x)-f(y),则() A.f(0)=0 B.a∈R,af(a)≠a+f(a2-1) C.y=fx)-[f(x)为奇函数 D.当y≤0时，f(x+y)=f(x)+f(y) cosx,、 sxsπ 2 2.(多选)(2026河北张家口·二模)已知函数f(x)= 2 3f(x-四，<x 5m’则() 2 2 A.f(π)=0 B.函数f(x)的值域为[0,9] C.方程f(x)=3有且仅有3个根x,x2,3,且x+x2+3=5π D.方程[f(x)门-a时(x)+1=0的根的个数可能是0,5,6,7,8,9,10 3.(多选)(25-26高三上·山东·开学考试)已知函数f(x)=ae“-nx(a>0)有两个零点，设其由小到大分 12/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 别为x,x2,则() A.实数a的取值范围是0， B.(x1-e)(x2-e)<0 、e C.f()>a-1 D.+>2e e 4.(2026河南周口·模拟预测)已知函数f(x)=lh(x+1)-x,函数g(x)=six+ax-x,a∈R (1)讨论函数f(x)的单调性并求最值： (2)若对x>0,8(x)>0恒成立，求实数a的取值范围； 64n<sin-1 (6)已知neN,证明：n2-5 ±sm2…+m<加4 n+1 4n 5.(2026湖北二模)函数f(x)=e-xhx+x2-(a∈R) @)当a=e+1时，求两数/)在行m的单调区间： (2)若存在x∈(0，+∞)，使得f(x)≤0成立，求a的取值范围： (3)若函数f(x)有两个零点x1、,且2x≤x,,求 +上的取值范围。 13/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点05数列经典考法：等比（差）数列的证明、数列求和 【热点衔接】 2026年高考数学数列模块将延续经典考法，聚焦等差（比)数列证明、数列求和两大核心，是基础必 考点且常与其他模块融合，难度适中、区分度合理。等差（比）数列证明侧重定义法、通项公式法，常结 合递推关系变形，考查逻辑推理能力，多作为解答题第一问。数列求和以裂项相消法、错位相减法为核 心，兼顾分组求和法，适配等差、等比数列及混合型数列，考查运算求解能力。命题紧扣课标，贴合主干 知识，偶尔结合新定义、跨学科情境，规避偏难偏怪。备考需夯实定义与公式基础，熟练掌握证明技巧和 求和方法，突破递推式变形、求和运算易错点，适配高考数列命题的稳定性与综合性。 【热点词】 等差数列、等比数列、周期数列、裂项、错位相减法、并项、分组求和 【命题角度】 1,等差数列：侧重定义证明、通项与前n项和求解，结合递推关系变形，多为基础中档题。 2.等比数列：聚焦定义与通项公式应用，考查运算能力，常与等差数列综合考查。 3.数列求和：核心考查裂项相消、错位相减，兼顾分组求和，适配混合型数列。 【押题预测】 1.（2026河北二模)已知数列{an}的前n项和为Sm,且满足Sn=2a-2. (1)求数列{a}的通项公式： (2)在an与a+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，公差记为dn,设cm=n(n+1)d,求数列{cn}的 前n项和。 2.(2026辽宁铁岭·模拟预测)记Sm为等比数列{a}的前n项和，已知a,a+2=(Sn+2) (1)求{a}的公比： -2n-1 (2)求 的前n项和T, 14/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026广西南宁模拟预测)己知数列{a}的前n项和为S,a=1Sn=n2，数列{b}满足 b=1,b,H=2bn+1. (1)求数列{an},bn}的通项公式： (2)若数列{cn}满足cn= 6,为偶数·求数列c,}的前20项和，（注：结果可保留指数形式）. a,n为奇数 4.（2026浙江三模)已知数列a,}满足4=2,44-20-1 1 (1)证明：数列 是等差数列： G-1 (2)若数列{b.}满足bn=-10,求数列b}的前n项和Sn. 5.(2026贵州贵阳·模拟预测)设等比数列{a}的前n项和为Sm,首项为4，公比为q4: (1)请推导前n项和公式Sm; (2)是否存在常数c,使得{Sn+C}是等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由. 15/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 热点06三角经典问题：三角函数的图象与性质、三角形中的三线问题 【热点衔接】 2026年高考数学三角函数模块，聚焦图象与性质、解三角形两大核心。图象与性质侧重考查单调性、 奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主。解三角形重点考查利用正、余弦定理解三角形，考 查中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，凸显逻辑与运算能力。命题贴合课标， 难度适中，多结合基础情境，规避偏难偏怪，备考需夯实公式应用，突破线段与角度转化难点，适配高考 命题趋势。 【热点词】 三角函数图象、三角函数的性质、解三角形、正弦定理、余弦定理、中线、高线、角平分线 【命题角度】 1.三角函数的图象与性质：侧重考查单调性、奇偶性、周期性及图象变换，题型以选择、填空为主，难度 适中，注重基础公式与性质的灵活应用。 2.三角形中的三线问题：聚焦中线、高线、角平分线相关计算，结合正余弦定理、面积公式，考查线段与 角度转化，凸显逻辑推理与运算能力 【押题预测】 1.(多选)(2026山西·二模)函数f(x)=Asin(ar+p)o>0,g< 的图象如图所示，则下列说法正确的 是() 2 A.函数f(x)的最小正周期为π B.与直线=2(：)有三个公关点 C.f()取得最小值时，=加-爱ke乙) D.将y=f(x)的图象向左平移严个单位长度，所得图象关于y轴对称 2.(多选)(2026福建二模)已知西数f)-tm(®r+。>0的部分图象如图所示，点 AQ)、BG0在f()的图象上.下列说法正确的是() 16/173 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A A.f(x)的最小正周期是 B.f(x)在区间 ππ） 2 62 单调递增 c.问的一个对称中心是[胥0 D.f(x)的图象可以由g(x)=tan2x的图象向左平移”个单位长度得到 3.(2026-江西三模)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为ab,c,且acosB-1b=c. (1)求角A的大小： (2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为2，求△ABC面积的最大值. 4.(2026重庆模拟预测)已知△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且 1-cos2 A-cos2 B+cos C=sin Asin B. (1)求C: (2)若C的角平分线与AB交于点D,且CD=1,求4a+b的最小值. 17/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026北京通州一模)在△4BC中，角A,B,C所对的边为a,b,C,cosB=4 (a+c)sin B-bsinA=3. (1)求c的值 (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得△ABC为钝角三角形，求AC边上 的高。 条件①：b=5;条件②：BA.BC=16;条件③：△ABC的周长为18. 热点07立体几何新考法：外接球、截面、动态问题 【热点衔接】 2026年高考数学立体几何模块，聚焦外接球、截面、动态问题这三大核心新方向，成为区分度提升 的关键模块。外接球问题侧重不规则几何体（棱锥、棱柱）的球心定位与半径求解，结合空间几何性质考 查空间想象能力。截面问题聚焦截面图形判断、周长与面积计算，考验空间作图与逻辑推理能力。动态问 题结合动点、动面、动线，考查轨迹判断、最值求解，融合函数与几何思想。命题贴合课标，以中档题为 主，多结合基础几何体，规避偏难偏怪，备考需强化空间想象与转化能力，掌握核心解题技巧，适配高考 立体几何创新命题趋势。 【热点词】 外接球、截面、动点的轨迹、动态问题 【命题角度】 1.外接球：侧重不规则棱锥、棱柱的球心定位与半径求解，结合空间几何性质求解。 2.截面：聚焦截面图形判断、周长及面积计算，考验空间作图能力，贴合基础几何体命题。 3.动态问题：结合动点、动面、动线，考查轨迹判断与最值求解，融合函数与几何思想。 18/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【押题预测】 1.(2026湖南湘潭·三模)如图，在三棱锥A-BCD中，△ABD和△BCD都是等腰三角形，且 ∠ADB=120,BC⊥BD,BD=4,二面角A-BD-C的大小为150°，则三棱锥A-BCD外接球的表面积为 () A.112π B.116π C.448π D.464π 2.(2026重庆沙坪坝·模拟预测)已知正方体ABCD-AB,CD棱长为2，点M满足CM=MC,点2在 正方体的表面上运动，且AQ⊥B,M,则2的轨迹长度为() A.4+45 B.4w5 C.4+25 D.4W2 3.(多选)(2026福建南平·二模)如图，在棱长为1的封闭正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内放置 两个小球，两球相切，且各自与对角的三个面均相切，设过两球公切点的公切平面为，则下列结论正确 的是() a- A.平面¤截正方体所得截面不可能为五边形 B.平面α截正方体所得截面面积的最大值是y6 C.两球半径之和为定值3-⑤ 2 D.两球体积之和的最大值是9-5)π 2 4.(2026山东东营·二模)已知一个棱长为4√6的正四面体容器（容器壁厚度忽略不计），则此容器外接 19/173 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 球（正四面体容器各顶点都在球面上）的体积为；如果一个半径为1的小球在该容器内可向各个方 向自由运动，则小球永远不可能接触到的容器内壁面积为 5.(2026湖南湘西·三模)如图，在直三棱柱BCD-BC1D中，BC=CD=CC1=1,BC⊥CD,M,N分别是 棱BC,CD的中点，三棱柱BCD-B,C,D的外接球为球O,则过MN的平面截球O所得截面面积的最小值 为 D B D 热点08解析几何压轴题：离心率、定点（值）、最值或范围、存在性问题 【热点衔接】 2026年高考数学解析几何压轴题，聚焦四大核心考点，是拉开分数差距的关键模块，命题凸显综合 性与创新性。离心率问题侧重椭圆、双曲线的离心率求解，结合定义、几何性质，考查运算与推理能力， 常作为基础设问。定点、定值问题依托直线与圆锥曲线位置关系，考查化简变形与逻辑论证，凸显解题技 巧。范围问题结合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，考验综合应用能力。存在性问题以探究 性设问为主，考查分类讨论与等价转化思想。命题多结合基础圆锥曲线，情境简洁，规避偏难偏怪，强调 运算严谨性与思维逻辑性，备考需夯实核心公式，掌握解题模板，突破运算难点，适配高考压轴题命题趋 势。 【热点词】 离心率、定点、定值、最值、范围、存在 【命题角度】 1.离心率问题：侧重椭圆、双曲线离心率求解，结合定义、几何性质求解。 2.定点问题：依托直线与圆锥曲线位置关系，结合韦达定理化简变形，注重解题技巧应用。 20/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.定值问题：聚焦曲线与直线交点衍生的定值探究，需化简消参，考查运算严谨性与等价转化思想，贴合 压轴题基础设问。 4.范围问题：融合函数、不等式思想，求解参数或线段长度范围，需结合判别式、均值不等式，考验综合 应用能力。 5.存在性问题：以探究性设问为主，考查分类讨论与转化思想，需判断满足条件的点、直线是否存在，凸 显思维灵活性。 【押题预测】 1.(25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测)如图，水平地面上垂直立着一块木板B,木板上有一个椭圆形 的洞，木板一侧有一个点光源A',光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆C),点A 在地面上的射影为A,AC与B交于点D.若AC⊥B,且AA=1.5m,AD=CD=1m,圆C的半径为 0.5m,则木板上椭圆形洞的离心率为 2.(2026福建泉州模拟预测)己知，F为双曲线E的焦点，点P在E上，点M,G分别为△P耳F的 内心和重心若MG11不及，且如∠RP明专则E的离心率为 3.(2026浙江三模)己知椭圆c:。+广=1a>,4、4为C的左右顶点，月、B为C的上下顶 点，P为C上除顶点外一点，且直线PA、PA斜率乘积为2： (1)求C的标准方程： (2)设Q为C上满足BOllA P的一点，直线AP与BQ交于H (i)求证：BP/AQ; (ii)设S和S2分别为△BPH和△A,OH的面积，求S·S的取值范围. 4(2026河南开封模拟预测)已知双曲线c:若若-口>b>0)的左、右焦点分别为，名，离心 21/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 案为6 且过点A(2,1).在双曲线C上异于点A的两点M,N满足(M-M)(N-N)>0. 2 (1)求双曲线C的方程 (2)若kA+kAw=0,探究：w是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(k4w,kAw,kN 分别为直线AM,AN,MN的斜率) (3)记△AN的外接圆为圆G,在点A处作圆G的切线1，求I的方程. 5.(25-26高三下·云南曲靖·月考)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与圆x2+y2=1相切. (1)求C的方程： (2)求C上的点与直线1：x-y+4=0上点的距离的最小值： (3)过点P化，0)且倾斜角为严的直线与C交于A,B两点，点M(2i-a,),记直线MA,MB的斜率分别为 k,k2,是否存在常数a,使得k2为常数？若存在，求出α及k2的值；若不存在，请说明理由. 热点09概率与统计创新考法：决策问题、统计案例、马尔科夫链 【热点衔接】 2026年高考数学概率与统计模块，聚焦四大核心考点，贴合素养立意，是基础重点模块。概率侧重古 典概型、条件概率、全概率公式及随机变量分布、正态分布；统计聚焦数据处理与分析。方案决策结合实 22/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 际情境，考查最优方案选择，凸显应用价值；统计案例侧重独立性检验、回归分析，强化数据分析能力。 马尔科夫链作为新增热点，难度适中，侧重简单应用与规律判断。命题多以真实情境为载体，题型覆盖选 择、填空、解答，规避偏难偏怪，备考需夯实基础，强化建模与应用能力，适配高考命题趋势。 【热点词】 决策问题、独立性检验、线性回归、马尔科夫链 【命题角度】 1.方案设计：结合生活、生产实际情境，考查均值与方差、对比实验等方案的设计与合理性分析，侧重应 用决策能力。 2.独立性检验：依托列联表，考查卡方计算与检验结论判断，结合热点情境，凸显数据分析与逻辑推理能 力。 3.回归分析：利用回归分析知识解决实际问题，其中非线性回归问题通过换元转化为线性回归求解。 4.马尔科夫链：聚焦简单状态转移规律，考查状态判断与简单应用，难度适中，贴合高考创新导向。 【押题预测】 1.（25-26高三·辽宁沈阳·期中)为了对某批新产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销 后得到一组销售数据(x,y)(i=1,2,3,4,5,6),如下表所示： 试销单价x(百元) 1 2 3 4 5 6 产品销量y(件) 47 44 37 35 27 (1)求m的值： (2)已知变量x,y具有线性相关关系，求产品销量y(件)关于试销单价x(百元)的回归直线方程 y=r+a(6计算结果精确到整数位)； (3)用”表示与对应的产品销量的估计值.当销售数据(x,)的残差的绝对值%-≤1时，则将销售数 据称为一个“有效采集数据”.现从这6组销售数据中任取2组，求“有效采集数据”个数X的分布列和期 望. 2(k-x(g-习立y- 附：参考公式b ;a=y-xb 2-可 参考数据： 23/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(2026河北廊坊·一模)某商场推出买商品送购物金（单位：元）活动，顾客在该商场购买一定金额的 商品即可参与一次活动.活动方案如下：在一个不透明的箱子中有4个球（除编号外，其他均相同），编 号分别为30,30,60,100，每个球被抽中的概率相等，顾客从箱子中随机抽取一个球，若编号为α，则 获得2a元购物金. (1)求顾客获得的购物金X的数学期望. (2)若原方案为方案A,该商场又策划了方案B:顾客从原箱子中一次随机抽取两个球，若编号分别为α， b,则获得a-b1a+b元购物金. 2 ()顾客可以从这两个方案中任选一个，若以顾客获得的购物金的数学期望为依据，判断顾客应选择哪个 方案？ (i)已知某天有3600位顾客选择方案B,求这3600位顾客中获得购物金超过50元的人数的方差. 3.(25-26高三下·上海·阶段检测)人工智能广泛地运用概率的相关知识，我们可以设计如下试验模型： 有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白 球，乙袋中有2个红球和8个白球从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为 一次试验若多次试验直到摸出红球，则试验结束假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为；， (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率进行调整. ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案：方案一，从原来袋子中 摸球方案二，从另外一个袋子中摸球请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大。 24/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(25-26高三·安徽六安·联考)某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的 为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数 据进行统计，制作了如下的2x2列联表： 产品 合格 不合格 合计 调试前 45 15 60 调试后 35 40 合计 80 20 100 (1)根据表中数据，依据显著性水平=0.01的独立性检验， 能否认为参数调试与产品质量有关联： (2)现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产 品中随机抽取3件做对比分析.记抽取的3件中合格的件数为X,求X的分布列和期望： (3)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为 Y,求使事件“Y=k的概率最大时k的取值.参考公式及数据：2= n(ad-be) 其中 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) n=a+b+c+d a 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 25/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5.(2026黑龙江哈尔滨·模拟预测)在自动驾驶系统的路径规划中，车辆的车道选择行为可用马尔科夫链 模型描述.设道路只有两条车道，分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长，车辆会选择更换车道或者 保持车道不变，记Xm为第n个时间步长车辆所在的车道(=0,1,2，…).马尔科夫链的下一时刻状态仅取决 于当前时刻状态，记，=P(X+H=Xn=)(6,j=0,1)为一步转移概率，矩阵P= Poo Por 为一步转移概率 o乃1 矩阵 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0，下一时刻变道至车道1的概率为}：若当前在 车道1，下一时刻变道至车道0的概率为 ①已知m=0时刻车辆处于车道0的概率为？，处于车道1的概率为} ①写出该模型的一步转移概率矩阵P: ②若n=1时刻车辆处于车道1，求n=0时刻车辆处于车道0的概率， (2)在第(1)问的初始概率条件下，记4=P(X,=0),求随机变量X的分布列（结果用含n的式子表 示). 02 高频考点，速查速记 速查01集合、逻辑、复数、向量(71个核心考点) 一、集合 1.集合的三大要素：确定性、互异性、无序性，解题时需优先检验互异性 2.常用数集的表示：自然数集N、正整数集N+(或N*)、整数集Z、有理数集Q、实数集R 3.集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩(Ven)图法，明确描述法中代表元素的类型. 4.空集的定义：不含任何元素的集合，记为0，是任何集合的子集，任何非空集合的真子集 5.子集与真子集的区别：真子集不包含集合本身，空集是任何非空集合的真子集 26/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.集合的交集运算：A∩B表示由所有既属于A又属于B的元素组成的集合. 7.集合的并集运算：AUB表示由所有属于A或属于B(或两者都属于)的元素组成的集合. 8.集合的补集运算：C,A表示由所有属于全集U且不属于A的元素组成的集合，需明确全集范围， 9.集合运算性质：A∩A=A、AUA=A:A∩=0、AU=A:A∩B=B∩A、AUB=BUA 10.若AcB,则A∩B=A、AUB=B,解题时需注意A为空集的特殊情况 11.区分点集与数集：点集表示坐标平面内的点，数集表示具体的数值，不可混淆运算 12.描述法表示集合时，需明确自变量的取值范围（隐含定义域） 13.集合关系的判定：若AB且B二A,则A=B 14.补集的性质：(1)C(CD=A:（2)A∩(GA)=⑦；（3)AUC,A)=U 15.集合运算与集合间关系的转化： AOB=A台AUB=B台ASB台CyB∈CyA台A⌒CB=①→CUAUB=R. 16.一组重要的结论： (1)有限集合{4,4,4，，a}的子集情况：子集有2个，真子集有2”-1个，非空子集有2”-1个，非空 真子集有2-2个 (2)元素与集合的关系：x∈A一xCA,x∈CuA一x庄A. (3)德摩根公式：Cu(A⌒B)=CUAUCUB,Cu(AUB)=CwA⌒CuB. (4)容斥原理：caId(AUB)=card()+cad(B)-card(A⌒B), card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A⌒C)-card(B⌒C)+card(A⌒B⌒C). 二、常用逻辑用语 17.命题的定义：可以判断真假的陈述句，分为真命题和假命题 18.四种命题的关系：原命题、逆命题、否命题、逆否命题，逆否命题与原命题同真同假 19.否命题与命题的否定的区别：否命题否定条件和结论，命题的否定仅否定结论. 20.充分条件的定义：若p→q,则p是q的充分条件(p能推出q) 21.必要条件的定义：若q→p,则p是q的必要条件(q能推出p) 22.充要条件的定义：若p台q,则p是q的充要条件（两者互相推出）. 23.充分不必要条件：p→q,但qp;必要不充分条件：q→p,但pq, 24.全称量词命题：含有“任意“所有x“每一个”等量词，记为xEM,p(x). 27/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.存在量词命题：含有“存在“有一个“至少一个等量词，记为]x∈M,p(8). 26.全称量词命题的否定：将全称量词换为存在量词，否定结论，记为妇xEM,p⑧)， 27.存在量词命题的否定：将存在量词换为全称量词，否定结论，记为xEM,p(8). 28.充分条件、必要条件的判定方法：可通过定义、逆否命题、集合包含关系判断 29.常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面词语 等于(=) 大于() 小于() 是 否定词语 不等于() 不大于（勾 不小于) 不是 正面词语 都是 任意的 所有的 至多有一个 至少有一个 否定词语 不都是 某个 某些 至少有两个 一个也没有 三、复数 30.复数的定义：形如atbi(a,beR)的数，其中a是实部，b是虚部，i是虚数单位(i-l). 31.复数的分类：实数(b=0)、虚数(b≠0)，虚数中纯虚数(a=0且b≠0). 32.复数相等的条件：atbi=c+di(a,b,c,deR)台a=c且b=d. 33.虚数单位i的运算性质：i=i,=-1,-i,i=1,周期为4 34.复数的加法运算：(a+b)+(c+di)=(a+c)十(b+d)i,遵循实数加法法则. 35.复数的减法运算：(a+b)-(c+di)=(a-c)+b-d)i,遵循实数减法法则. 36.复数的乘法运算：(a+b(c+d)=(ac-bd十(ad+bc)i,类比多项式乘法展开. 37.复数的除法运算：分子分母同乘分母的共轭复数，将分母实数化 38.共轭复数的定义：a+bi的共轭复数为a-bi,共轭复数的实部相等，虚部互为相反数. 39.复数的模：a+bi=√a+b,表示复数对应的点到原点的距离. 40.复数的几何意义：复数atbi对应复平面内的点a,b),也对应向量OZ(Z为(a,b). 41.实数与复数的运算：实数与复数相乘，只需将实数与复数的实部、虚部分别相乘 42.复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值 一般地，任何一个复数z=a十bi都可以表示成r(cos0+isin0)的形式，其中，r是复数z的模；0是以 x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线O☑为终边的角，叫做复数z=α十bi的辐角，我们规定在 0≤2元范围内的辐角0的值为辐角的主值，通常记作argz. 43.复数三角形式的乘、除运算 若复数z1=r1(cos01+isin01),z2-r(cos02+isin0),且1≠z2,则 (1)z1z2=r1(cos01+isin01)2(cos02+isin0)=1r2[cos(01+0)+isin(01+0)] a匠方o8coa-的+oa-, 28/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 44.复数的常用结论： (1)1±02=2： 告品=i (2)i的周期性：=1，w+1=i,iw+2=一l,w3=二i0neN) (3)zz=|a2=|zP,4z=lz, - ,12州=4种 四、平面向量 45.向量的定义：既有大小又有方向的量，向量的大小叫做向量的模（长度）. 46零向量：模为0的向量，记为0，方向任意，与任意向量平行. 47.单位向量：模为1的向量，任意非零向量都可以化为与其同向的单位向量， 48.相等向量：方向相同且模相等的向量，与起点无关 49.相反向量：方向相反且模相等的向量，1的相反向量记为-， 50.向量的加法：遵循三角形法则、平行四边形法则，满足交换律和结合律 51.向量的减法：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量，遵循三角形法则 52.向量的数乘：实数2与向量a的积为，模为a,方向由2的符号决定. 53.向量数乘的性质：2(1)=（四：(+Fμ：2(a+b)=a+b. 54.向量共线的充要条件：非零向量a与b共线台存在唯一实数，使得-a 55.向量的数量积：cose0(0为a与b的夹角，0E[0,),结果为实数 56.数量积的性质：=d;Lb台b=0(a,b为非零向量)；a≤d. 57.向量数量积的运算律：b=b:(=(ab)=mOb):(+b)c=c+bc. 58.平面向量的坐标表示：若（区1，y),-(x2,y),则吐b=±x,y1y2). 59.向量数乘的坐标运算：=(Ox,y):向量数量积的坐标运算：xx2+yy2. 60.向量夹角的坐标计算公式：c0s0= x1x2+y1y2 =(4b非零). Vx经+y经3+y2 61.若，b为不共线向量，则a十b,一b是以，b为邻边的平行四边形的对角线向量，如图. a-b 62.三点共线的等价转化 A,P,B三点共线台AP=AB(1≠0)台OP=(1-)OA+t0B(O为平面内异于A,P,B的任一点，tR)OP =xOA+yOB(O为平面内异于A,P,B的任一点，x∈R,yER,x十y=1). 63.向量的中线公式 29/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则0P-号(OA+OB. 64.三角形重心的向量式 在△ABC中，三角形三边上的中线交于点G,G为△ABC的重心，D为BC的中点，则有如下结论： ①GA+GB+GC=0: ②AC=(AB+AG: ③GD=(GB+GC)=上(AB+AC) 65.向量模长不等式 对于任意两个向量，b,都有||a|一|b||≤|仕b|≤|a|+|b|. 66.有关向量夹角的两个结论 已知向量，b,则 ①若a与b的夹角为锐角，则b>0:若b>0,则a与b的夹角为锐角或0. ②若a与b的夹角为钝角，则b<0:若ab<0,则a与b的夹角为钝角或π. 67.向量a在向量b上的投影向量为abb Ibl IbI' 68极化恒等式： (1)向量通用形式：对任意平面向量、方，有：·6=[a+2-a-] (②)平行四边形模型：向量数量积等于以两向量为邻边的平行四边形“和对角线”与“差对角线”平方差的： 即：a-6-ac-p] (3)三角形中点模型（高频核心）：在△ABC中，M为BC中点，则： AB.AC-IAMP-IBMP IAMP-IBC1) 本质：将数量积转化为“中线长”与“半底长”的平方差，无需夹角直接计算. ③拓展：线段中点通用模型：对任意两点A、B,若M为线段AB中点，则对平面内任意点P,有： PA·PB=PM2-|AM2 69.矩形大法 矩形恒等式（核心）：若四边形ABCD为矩形，P为平面内任意一点，则： 30/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 IPA2+PC12=PB2+PD12 拓展：平行四边形中该等式仍成立（矩形是特殊平行四边形），可推广至“对角线互相平分的四边形” ②衍生结论：在矩形ABCD中，对角线相等且互相平分，即AC=AB+AD,且AC=BD,可快速转化 向量模长关系。 70.等和线 (1)基本原理与公式（熟记） 定义：设OA、OB为平面内一组不共线基底，若动点P满足OP=x0A+y0B(x,y∈R),则所有满 足x+y=λ（为常数）的点P构成的直线称为“等和线” (2)核心性质： ①当λ=1时，等和线为直线AB(基底所在直线)： ②等和线与直线AB平行，λ的绝对值与等和线到原点O的距离成正比： ③若两等和线关于原点对称，则对应的入互为相反数： ④若P在直线AB与原点之间，0<1<1；若原点在直线AB与等和线之间，1>1或1<0. 71.奔驰定理 奔驰定理是描述三角形内一点与三角形三个顶点构成的三个小三角形面积关系的向量定理，因定理的向量 表达式结构对称，形似奔驰车标而得名. (1)核心定理（三角形内部点） 0是△ABC内一点，且xOA+yOB+z0元=0，则SAB0c:SACOA:SA4OB=:y:2 (2)奔驰定理推论： O是△ABC所在平面内一点，且xOA+yOB+zOCO,则： DSABOC:SAAOC:SAAOB=X:y:Z 31/173 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 @小器- 速查02函数与导数(55个核心考点) 一、函数核心考点（28条) 1.函数的定义：设非空数集A、B,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在 集合B中都有唯一确定的数fx)和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数 2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域，其中定义域和对应关系决定值域. 3.函数定义域的求解原则：分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0、底数大于0且不等 于1. 4.函数定义域的表示方法：常用集合、区间表示，需注意区间的开闭区间区分 5.函数值域的求解思路：结合定义域，根据函数类型（一次、二次、反比例、指数、对数等）选择合适方 法 6.函数解析式的求解方法：待定系数法、换元法、配方法、消元法等，求解后需标注定义域。 7.函数的表示方法：解析法、列表法、图象法，三种方法可相互转化 8.分段函数的定义：在定义域的不同区间上，有不同的对应关系的函数，需注意分段点的取值， 9.分段函数的求值：需先判断自变量所在区间，再代入对应解析式计算。 10.函数的单调性定义：对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量x、a,若x<x时，fk)下fx)则为 增函数，反之则为减函数 11.函数单调性的判定方法：定义法、导数法、利用基本初等函数的单调性、复合函数单调性法则. 12.复合函数单调性法则：同增异减，即内外层函数单调性相同则复合函数为增，相反则为减 13.函数单调区间的表示：多个单调区间之间用逗号连接，不可用U符号. 14.函数的奇偶性的定义：(1)定义域关于原点对称，若f(-x)fx)为偶函数，若f(-x)=-fx)为奇函数. (2)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称 15.函数的奇偶性性质： (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f() (3)若函数y=f(x+a)是偶函数，则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (4)若函数y=f(x+b)是奇函数，则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 16.判断函数奇偶性的步骤：先判断定义域是否关于原点对称，再判断f(-x)与fx)的关系. 32/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.常见基本初等函数：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数 18.一次函数的解析式与性质：y=x+b(k0),k决定单调性，b决定与y轴交点. 19.二次函数的解析式：一般式、顶点式、零点式，顶点式便于求最值和对称轴. 20.二次函数的最值求解：结合开口方向和对称轴，判断在定义域内的最值情况 21.指数函数的解析式：y=ax(a>0且a≠1)，底数a决定函数单调性 22.指数函数的性质：定义域为R,值域为(0，+o),过定点(0,1) 23.对数函数的解析式：y=logx(a>0且a时1)，与指数函数y=a*互为反函数， 24.对数函数的性质：定义域为(0，+o),值域为R,过定点(1,0)，底数a决定单调性 25.幂函数的解析式：y-x(a为常数)，重点掌握a=1,2,3,-1,1/2的图象与性质. 26.函数的周期性 (1)定义：若存在非零常数T,使得对于定义域内任意x,都有fx+T)fx),则T为函数的周期. (2)对f(x)定义域内任一自变量的值x:①若f(x+a)=-f(x),则T=2a(a>0). @若f儿+a)FfN 则T=2a(a>0). ③若fx+a=- 1 则T=2a(a>0). f(x) 27.函数图象的变换： (1)平移变换：①y=f(x)的图象器→y=f(x-a叫的图象： ②y=f)的图象阁器y=fx)+b的图象. “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在f(x)整体上加减. (2)对称变换 ①y=f(x)的图象关轴对称→y=一f(x)的图象： ②y=f(x)的图象关打轴对称→y=f(-x)的图象： ③y=f(x)的图象关于原点对称→y=-f(-x)的图象： ④y=d(a>0且a≠1）的图象关于直线-称→y=log。x(a>0阻a≠1)的图象. (3)伸缩变换 a>1,横坐标缩短为原来的上纵坐标不变？ ①y=f(x)的图象 y=f(ax)的图象 0<a<1,横坐标伸长为原来的二倍，纵坐标不变 ②y=f(x)的图象装y=af()的图象. (4)翻折变换 33/173 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=f(x的图象； y轴右侧部分 ②y=f(x)的图象箱左石→y=f(）的图象。 (1)平移变换 ①y=f(x)的图象 a0左个单夜→y=f(x-a)的图象： a>0,右移a个单位 b>0,上移个单位 ②y=f(x)的图象80翻不弹袋→y=f(x)+b的图象. “左加右减，上加下减”，左加右减只针对x本身，与x的系数，无关，上加下减指的是在f(x)整体上加减. (2)对称变换 ①y=f(x)的图象关轴对称→y=一f(x)的图象： ②y=f(x)的图象关打轴对称)y=f(-x)的图象： 国y=fx)的图象关于原点称)y=-子(-x)的图象： ④y=d(a>0且a≠1)的图象关于直线-称→y=log。x(a>0阻a≠1)的图象。 (3)伸缩变换 a>1,横坐标缩短为原来的二纵坐标不变？ ①y=f(x)的图象 →y=f(ax)的图象。 0<a<1,横坐标伸长为原来的二倍，纵坐标不变 ②y=f(x)的图象一品→y=f)的图象. a>l,纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变 (4)翻折变换 ①y=f(x)的图象x轴下方部分翻折到上方y=f(x)的图象： ②y=f(x)的图象 偏销左情部分去操石鲫不安？→y=f(小)的图象. y轴右侧部分 28.函数图象的对称性 (1)函数图象自身的轴对称 ①f(-x)=f(x)今函数y=f(x)的图象关于y轴对称： ② 函数 y=f(x) 的图象关于 x=a 对 称 台f(a+x)=f(a-x)台f(x)=f(2a-x)台f(-x)=f(2a+x): ③若函数y=f(x)的定义域为R,且有f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线 x=9+b 对称。 2 (2)函数图象自身的中心对称 34/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①f(-x)=-f(x)台函数y=f(x)的图象关于原点对称： ②函数y=f(x)的图象关于 (a,0） 对称 台f(a+x)=-f(a-x)台fx)=-f(2a-x)台f(-x)=-f(2a+x): ③函数y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称 台f(a+x)=2b-f(a-x)台f(x)=2b-f(2a-x) (3)两个函数图象之间的对称关系 ①函数y=f(a+x)与y=fb-刘)的图象关于直线x-b对称（由a+x=b-x得对称轴方程）： ②函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称： ③函数y=f(x)与y=2b-f(-x)的图象关于点(0，b)对称： ④函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)对称. 二、导数 29.导数的定义：函数y(x)在xo处的导数f(xo),表示函数在该点的瞬时变化率 30.导数的几何意义：函数yfx)在xo处的导数f'(xo),等于该点处切线的斜率. 31.导数的物理意义：若s=s①表示位移函数，则s'(①)表示瞬时速度，s"(①表示瞬时加速度 32.基本初等函数的导数公式：牢记幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的导数公式. 33.导数的加法法则：[fx)十g(x)]'f()汁g'(8). 34.导数的减法法则：[fx)-g(x)]'f(8)-g'(☒). 35.导数的乘法法则：[fx)g&]'f(8)g(8)+fx)g(x),特别地：[kfx]'=kfxk∈R). 36导数的除法法则：4[=g内≠0， g2(x) 37.复合函数的求导法则：设yfu),u=g(&),则y'y'u’x,即链式法则. 38.隐函数的求导方法：对等式两边同时求导，注意y是x的函数，需用链式法则 39.导数与函数单调性的关系：f(x)>0时，函数单调递增；f(x0时，函数单调递减；f(x=0时，函数可 能为极值点 40.函数极值点的定义：函数在该点附近，左侧与右侧单调性相反，则该点为极值点 41.极值点的判定方法：先求导数，找到f(x)=0或f(x)不存在的点，再判断该点两侧导数符号是否改变. 42.函数的极大值与极小值：左侧增、右侧减为极大值点，左侧减、右侧增为极小值点. 43.函数最值的求解方法：先求定义域内的极值点，再计算极值点和区间端点的函数值，比较得出最值. 44.利用导数解决恒成立问题：转化为求函数的最值，使最值满足恒成立条件 45.利用导数解决存在性问题：转化为求函数的最值，使最值满足存在性条件 46.导数在切线方程中的应用：己知切点求切线方程，或已知切线斜率求切点坐标. 47.导数在不等式证明中的应用：构造函数，利用导数判断函数单调性，进而证明不等式， 48.函数的极值与最值的区别：极值是局部性质，最值是定义域内的整体性质 35/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 49.求导后需注意定义域：忽略定义域会导致误判极值点和单调区间. 50.二阶导数的意义：f"(s)可判断函数的凹凸性，f'(x)>0为凹函数，f"(8<0为凸函数 51.导数的实际应用：解决利润最大、用料最省、效率最高等优化问题 52.可导函数的连续性：可导函数一定连续，但连续函数不一定可导. 53.导数为0的点不一定是极值点：需检验该点两侧导数符号是否改变 54.利用导数判断函数的零点个数：结合函数单调性和极值，判断函数与x轴的交点个数： 55.导数在含参数问题中的应用：对参数进行分类讨论，分析导数的符号的变化，进而判断函数性质. 速查03三角函数与解三角形(52个核心考点) 一、三角函数 1.任意角的定义：平面内由一条射线绕端点旋转形成的角，分为正角、负角和零角. 2.终边相同的角的表示：与角Q终边相同的角可表示为+2kπ(k∈Z). 3.象限角的定义：终边在第几象限，就称这个角为第几象限角，终边在坐标轴上的角不属于任何象限 4.弧度制的定义：弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度，记为1rad. 5.角度与弧度的换算：180°-uad,1=元rad,1rad 180)° 180 π 6.弧长公式：Hr(a为弧度制，r为半径) 7扇形面积公式：$S=r=方ar1为弧长，a为弧度制，r为半径) 8.任意角的三角函数定义：设角a终边上一点PK,y),=Vx+少， 则sina=-y、cosa=X、tama=Y(x≠0 9.三角函数值的符号规律：根据角所在象限判断sina、cos、tana的正负， 10,特殊角的三角函数值：牢记0、严、下、工、T及相关诱导角的三角函数值 6432 11.同角三角函数基本关系：sima+cosa=l,ana= sina .(os00) coS Q 12.诱导公式的核心原则：奇变偶不变，符号看象限（奇、偶指π2的奇数倍、偶数倍）. 13.正弦函数y=six的定义域：R,值域：[-1,1]，周期：2π 14.余弦函数y=cosx的定义域：R,值域：[-1,1]，周期：2π 15.正切函数y-tanx的定义域：k4元+kkEZ,值域：R,周期：L 16.正弦、余弦函数的奇偶性：y=six是奇函数，y=cosx是偶函数， 17.三角函数的单调性：掌握y=sinx、y=cosx、y=tanx的单调区间. 18.三角函数的对称性：正弦、余弦函数的对称轴和对称中心，正切函数的对称中心 19.三角函数图象的平移变换：遵循“左加右减、上加下减的规律。 36/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.三角函数图象的伸缩变换：横坐标、纵坐标伸缩对函数解析式的影响， 21.函数y=Asin(ox+p)(A>0,o>0)的振幅：A,周期：T=2/o,相位：ox+p,初相：p. 22.函数y=Asin(ox+p)的图象画法：五点法（零点、最高点、最低点）. 二、三角变换 23.两角和与差的正弦公式：sin(cβ)=sinacosf±cos0sinB. 24.两角和与差的余弦公式：cos(a邦)=cos0cos$千sinasinB.. 25.两角和与差的正切公式：tam(a±E)=ana生taA(a、B、+p≠花+kr,k∈Z)u2+kr）. 1干tan a tan B 2 26.二倍角的正弦公式：sin20u=2 sinacosa. 27.二倍角的余弦公式：c0s20=c0s2u-sin20=2c0s20-1=1-2sin2a. 28二倍角的正切公式：m2a=。（4牙 +受c刀 29.降幂公式：c0s'a=1+cos2a；sim2a=1cos2a,tan2a=1=co2a sin acos a=sin 2a. 2 2 1+cos2a 30.升幂公式：1+cos20=2cos2a,1-cos20=2sin20. 1-cos@ 31.半角公式：s土，co± 1+cosa 2 tan=± 2 2 一o严符号由所在象限决定。 1+cosa 32.半角正切公式的有理化：a a_sina1-cosa 1+cosa sina 33.辅助角公式：asin a-十bcos a=, 6 a2+b2sin(a+p)(a,b不同时为0)，其中tanp= a 34.积化和差公式 cosacosB=Icos(a+B)+cos(a-B)]: sin asin B--[cos(a+B)-cos(a-)]: sin acos B-[sin(a+B)+sin(-B)]: cos asinB=[sin(a+B)-sin(a-B)]. 35.和差化积公式 sin a+sin B=2sing+cos 3 sin a-sin B2co csa+cos月=2cos9cos22, cos acossn 36.配方变换公式：1士sin2a=sinm2+cos2a士2 sin a cosa=(sina士cos)2 37.因式分解变换公式：cos2a=(coso+sin)(cosa-sim). 37/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2tan 1-tan? 2tan 38.万能公式：ina= 2 2 2 C0S0= tan a= 1+tan2 1+tan 2 1-tan? 39.三角变换的核心思路：切化弦、弦化切、降幂、升幂、角的配凑 40.角的配凑技巧：将未知角表示为已知角的和、差、倍、半，如=（α+）-β、20=(+β)十(a-) 41.三角函数式化简的原则：项数最少、次数最低、函数种类最少、分母不含三角函数. 42.三角函数式求值的类型：给角求值、给值求值、给值求角. 43.给值求角的步骤：先求三角函数值，再确定角的范围，最后求出具体角 44.三角变换中符号的判断：结合角的范围和三角函数值的符号确定结果， 45.利用三角变换解决三角函数式的恒等证明：从一边推证到另一边，或两边同时推证到同一表达式。 46.辅助角公式的应用：将复杂三角函数式化为y=Asn(ox+p)的形式，便于求性质. 三、解三角形 47三角形的内角和定理：A+B+C=π，任意两角和为π减去第三角 48正弦定理：0= b :C=2R(R为三角形外接圆半径)· sina sinB sinC 49正弦定理的变形：(1)a:b:c=siA:simB:siC (2)a=2RsinA,b=2Rsin B,c=2RsinC (3)sinA=a inB=b 2R' sinC=c 2R' 2R 50余弦定理：a2=b2+c2-2 bccosA,b2=a2+c2-2 accos B,c2=a2+b2-2 abcosC 51余弦定理的变形：c04=+c2- -cosB=a+c2-b2 ,cosC=a'+b2-c2 2bc 2ac 2ab 52角形面积公式： .bc1ema察知+6+e小r是三角形内切园的半到，并由 1 2 2 可由此计算R、r. 速查04数列(57个核心考点) 一、数列 1.数列的定义：按一定顺序排列的一列数，记作{a},n∈N*,n为项数. 2.数列的项与项数：a表示数列的第n项，n为项数，项是具体数值，项数是项的个数 3.数列的通项公式：如果数列{a}的第n项与项数n之间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列 的通项公式 38/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.数列的递推公式：如果已知数列{a}的首项（或前几项），且任意一项a与它的前一项aa-1（或前几项) 间的关系可以用一个式子表示，这个式子叫做数列的递推公式. 5.数列的前n项和：Sn=a+a+as+.…+an,记为Sn,S。-0. 6.通项公式与前n项和的关系：am=Sm-S1(n22),a1=S,需检验a1是否满足n≥2时的通项 7.数列的分类：按项数分有穷数列、无穷数列；按单调性分递增数列、递减数列、常数列、摆动数列. 8.常数列的定义：各项都相等的数列，通项公式为am=C(C为常数)，前n项和S.=nC. 9.摆动数列的特征：各项正负交替或数值起伏，无固定单调性。 l0.数列的单调性判断：比较a+与am的大小，可通过作差、作商等方法判断. 11.数列的最值：结合数列单调性，求数列的最大项、最小项！ l2.数列的周期性：若存在非零常数T,使得对任意n∈N*,都有ah=aa,则T为数列的周期. 二、等差数列 13.等差数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这个常数叫做等差数列的 公差，记为d 14.等差数列的通项公式：an=a+m-1)d(a为首项，d为公差). l5.等差数列通项公式变形：an=am+(n-m)d(m、n∈N*), l6.等差数列的判定方法：定义法（at1-an=d,常数)、中项法（2at1=an十an+2). 17等差数列的前n项和公式：S=m+0,-Dd=4+a) 2 2 18.等差数列的常用性质 (1在等差数列{a}中，当m+n=p+q时，am+an=a,+a,(mn,p,g∈N). 特别地，若+n=2t,则am+a,=2a(n,t∈N). （2）4,4+m4+3m'仍是等差数列，公差为dk,neN). (3)S,Sm一Sn,Sm一Sn,也成等差数列，公差为nd. (4)若{a},{b}是等差数列，则pg+gb}也是等差数列. (5)若a}是等差数列，则}也成等差数列，其首项与{a,}首项相同，公差是a}公差的】 2 (6)若项数为偶数2，则=g+a)=g+a):SS,=:交位 (7)若项数为奇数1-1，则S1=(O1-D4:S5%0.:3n S奇=n ⑧在等花数列，若g>80,侧足侵0的项数m使得义取将点大值双：老4瓜d>0, 39/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则满足a≤0 的项数m使得S取得最小值S· a0m+1≥0 (9)Sn= d 二n2+(a4- d、 )n.数列{a}是等差数列台S=An2+Bn（A、B为常数)· 19.等差数列的公差与单调性：d>0时，数列递增；d<0时，数列递减；d=0时，数列为常数列. 三、等比数列 20.等比数列的定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个常数叫做等比数列的 公比，记为q(q0). 21.等比数列的通项公式：an=a1q-1（a为首项，q为公比，a1≠0，q≠0). 22.等比数列通项公式变形：an=amq"m（(m、n∈N*,am≠0，qf0)· 23.等比数列的判定方法：定义法（m=g,q为常数，q0)、中项法（a2=aa2,a0), [na (q=1) 24等比数列的前n项和公式：S=40-q)_4-49g≠) 1-q1-q 25.等比数列的性质 (1)等比中项的推广. 若m+n=p+q时，则ann=a,g,特别地，当m+n=2p时，an,=a6. (2)①设{a}为等比数列，则{a}(为非零常数)，a,,{a}仍为等比数列. ②设an}与{b}为等比数列，则{nb}也为等比数列. (3)等比数列{a,}的单调性（等比数列的单调性由首项a与公比g决定）· 当9>0∫4<0 0<q<1时，a,)为递增数列 (9>1或 a<0 当 a1>0 或 9>1 时，{an)为递减数列. 0<q<1 (4)其他衍生等比数列. 若已知等比数列an},公比为9，前n项和为Sn,则： ①等间距抽取 p,0p,0p+2…0,=-1r,…为等比数列，公比为g. ②等长度截取 40/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S,S-Sn,S-Sn,…为等比数列，公比为q”（当q=-1时，m不为偶数). 26.等比数列的最值：当q>1,a1>0时，数列递增，无最大值，有最小值a;当0<q<1,a>0时，数 列递减，无最小值，有最大值a. 四、数列求和与递推数列 27.数列求和的常用方法：公式法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法. 52.裂项相消法核心（二级结论）：常见裂项形式， (1)1=2-1 n(n+1)nn+1 (32n-402n+ 4)a+本=Vn+1-V元. 1 1 =1[1 1 (5)n+n+2 2Lnn+1)(m+1)(n+2)l 53.错位相减法适用范围：适用于等差数列与等比数列对应项相乘形成的新数列求和（即{ab},{a}为等差， {b}为等比) 54.倒序相加法适用范围：适用于首尾对称项之和为定值的数列求和（如等差数列前项和推导）， 55.分组求和法思路：将数列拆分为两个或多个可直接求和的数列（如等差+等比、等差+常数列），分别求 和后相加。 56.递推数列求通项的常用方法：累加法（适用于ati=an+fn)、累乘法（适用于at1=anfn)、构造法. 57.构造法二级结论： 形式 构造方法 4n+1=pan十q 引入参数c,构造新的等比数列(a,一c小，其中c=0) a+1=pan十ql+c 引入参数x,y,构造新的等比数列{4十xn十y} a4+1=pan十q 两边同除以q”+1,构造新的数列{ 速查05立体几何⑤0个核心考点) 一、空间几何体 1.空间几何体的分类：分为多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台、球）. 2.棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的多 面体. 41/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.棱柱的性质：侧棱都平行且相等，侧面都是平行四边形：两底面是全等的多边形 4.棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体 5.棱锥的性质：侧棱交于一点，侧面都是三角形：底面是多边形 6.棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台. 7.棱台的性质：侧棱延长线交于一点，侧面都是梯形；两底面是相似多边形 8.圆柱的定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体， 9.圆锥的定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体. 10.圆台的定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台. 11.球的定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，球的球心到球面上任意一 点的距离相等（均为半径）· 12.空间几何体的表面积与体积公式： 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱和圆柱） S表面积=S侧+2S底 V=S底h 锥体（棱锥和圆锥） S表面积=S侧+S底 v3这h 台体（棱台和圆台） S表面积=S侧+S上+S下 r-吉+s+5Ss]h 球 S=4πR 3R V 4 13.正多面体的定义：每个面都是全等的正多边形，且每个顶点处的棱数都相等的多面体，高考重点考查正 四面体、正方体 二、空间点、线、面位置关系 14斜二测画法：直观图与原平面图形面积间的关系：S=8,S=22S型 15.空间中两点之间的距离：连接两点的线段的长度，可通过空间直角坐标系求解。 16.空间中直线与直线的位置关系：平行、相交、异面，其中异面直线不共面，无公共点且不平行 17.异面直线所成角的定义：过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或 直角)叫做异面直线所成的角，范围为(0°，90] 18.空间中直线与平面的位置关系：平行、相交、直线在平面内，其中平行和相交统称为直线在平面外 19.直线与平面平行的判定：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与这个平面平行. 42/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 20.直线与平面平行的性质：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行 21.直线与平面垂直的判定：一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 22.直线与平面垂直的性质：如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线与平面内的所有直线都垂直：垂直 于同一个平面的两条直线平行. 23.直线与平面所成角的定义：直线与平面中所有直线所成角中最小的角，范围为[0°，90]，直线在平面内或 平行于平面时角为0°，垂直于平面时角为90°. 24.空间中平面与平面的位置关系：平行、相交（相交时形成二面角）. 25.平面与平面平行的判定：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 26.平面与平面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；如果两个平 面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行. 27.平面与平面垂直的判定：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 28.平面与平面垂直的性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一 个平面. 29.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，二面角的大小用其平面角衡量，范围为 [0°，180°1 30.二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角 三、外接球与内切球 31.外接球的定义：一个空间几何体的所有项点都在同一个球面上，这个球叫做该几何体的外接球，球心为 外接球球心，球心到各顶点距离均为外接球半径R 32.内切球的定义：一个空间几何体的内切球与几何体的各个面都相切，球心为内切球球心，球心到各面的 距离均为内切球半径r 3二级结论正方体)：正方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径RV (a为正方体棱长)： 内切球球心为体对角线中点，内切球半径=一 a2+b2+c 34.二级结论（长方体）：长方体的外接球球心为其体对角线中点，外接球半径R= (a、b、 c为长方体的长、宽、高)，长方体一般无内切球（需满足a=b=c,即正方体时才有）， 43/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35、二级结论（正四面体）：正四面体的外接球与内切球球心重合，外接球半径R=64,内切球半径=y6g 12 (a为正四面体棱长)，且R=3r. h 36.二级结论（直棱柱）：直棱柱的外接球球心为上下底面外接圆圆心连线的中点，外接球半径R= 4 (o为底面外接圆半径，h为直棱柱的高). 37,二级结论（圆柱）：圆柱的外接球球心为上下底面圆心连线的中点，外接球半径=√疗+4 (r为圆 柱底面半径，h为圆柱的高)；圆柱无内切球（需满足直径等于高，即h=2r时才有内切球，半径r). 38.二级结论（圆锥）：圆锥的外接球球心在圆锥的高所在直线上，设圆锥底面半径为、高为h,外接球半 径为R,则满足R-h)+2=R,解得R= r2+h2 2h 39.二级结论（棱锥）：有一条侧棱垂直于底面的棱锥，其外接球球心为底面外接圆圆心在垂直于底面方向 上的投影（与顶点连线中点），半径可通过勾股定理求解， 40,内切球半径求解通用二级结论：任意多面体的内切球半径13 (V为多面体体积，S为多面体的表面 积)，适用于正多面体、直棱柱等可求表面积和体积的几何体 41.外接球解题核心思路：先确定球心位置（通常在几何体的对称中心、高所在直线上），再通过勾股定理 建立关于R的方程，求解半径 42.易错点：判断几何体是否有外接球（任意凸多面体都有外接球）、内切球（需各面到球心距离相等，并 非所有几何体都有). 四、空间向量核心考点 43.空间向量共线的充要条件：若空间向量与b（b≠0)共线，则存在唯一实数入，使得=入b,坐标 形式为对应坐标成比例 44.空间向量共面的充要条件：三个空间向量4，b,c共面，等价于存在实数2、u,使得c=入+b;若三 个向量不共线，则它们共面的充要条件是其混合积为0. 45.空间向量的数量积：设向量4与b的夹角为6(0E[0°，180])，则a·b=a|b|cos0,结果为实数，可 用于求夹角、判断垂直 46.空间向量垂直的充要条件：两个空间向量M与b垂直，等价于·b=0,坐标形式为对应坐标乘积之和 为0. 44/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 47.空间向量的模：若向量M=(&y,z),则a=√x2+y2+2,可用于求空间中两点间的距离 48空间向量夹角公式：cos0=cos(a,列 日为两向量的夹角 49.向量法证明平行、垂直 (1)直线与直线的位置关系：不重合的两条直线a,b的方向向量分别为ā，五. 若aIb,即a=b,则a∥b: 若a1b,即a.b=0,则a⊥b. (2)直线与平面的位置关系：直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,且1L. 若aIn,即a=n,则lLa: 若a山n,即a.n=0,则a/∥a. (3)平面与平面的位置关系 平面x的法向量为乃，平面B的法向量为，若乃‖元，，即=，则∥B;若元12，即·元，=0， 则1B. 50.空间角与空间距离的求法： (1)异面直线所成角公式：设ā，b分别为异面直线，1，上的方向向量，6为异面直线所成角的大小，则 co0-lcos(a.b)- (2)线面角公式：设l为平面的斜线，a为l的方向向量，n为平面a的法向量，6为 1与a所成角的大小，则sim6=cos(an= a.n 丽 (3)二面角公式：设h,乃分别为平面α，B的法向量，二面角的大小为6，则8=(4，乃)或元-(，乃》 (需要根据具体情况判断相等或互补)，其中cos日= h乃 h (4)点到平面的距离：A为平面u外一点，n为平面u的法向量，过A作平面au的斜线AB及垂线AH,则 d=AB.n n 45/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 速查06直线与圆(24个核心考点) 一、直线方程 1.直线的定义：平面内不重合的两点确定一条直线，是构成平面图形的基本元素， 2.直线的倾斜角：直线与x轴正方向所成的最小正角，范围为[0°，180)，倾斜角为90°时直线垂直于x轴. 3.直线的斜率：倾斜角为a(90°)时，斜率k-tana;倾斜角为90时，斜率不存在. 4.直线的斜率公式：过两点P(x,y)、P2(,y2)(x≠x)的直线斜率k=y2-y)/K2-x), 5.直线的五种方程形式：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，各形式适用场景不同，可相互转化. 6.直线的一般式方程：Ax+By+C0(A、B不同时为O),可快速判断直线的斜率和截距 7.两条直线平行的充要条件：斜率都存在时，kk2且截距不相等；斜率都不存在时，两直线均垂直于x轴。 8.两条直线垂直的充要条件：斜率都存在时，kk2=-1;一条斜率为0，另一条斜率不存在（垂直于x轴). 9.两条直线的交点：联立两条直线的方程，求解方程组，有唯一解则相交，无解则平行，无数解则重合 10.点到直线的距离公式：点Pko,yo)到直线Ax+By+C=0的距离 11.两条平行直线间的距离：两条平行直线Ax+By+C:-0与Ax+By+C,=0(C≠C)的距离d= q-c. VA+B2 12.一组直线系方程： (1)过定点P(x,)的直线系方程：A(x-x)+B(y-)=0(A+B≠0)，还可以表示为 y-y=k(x-x)和x=x. (2)平行于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0(≠C). (3)垂直于直线Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+入=0. (4过两条己知直线Ax+By+C1=0,Ax+B,y+C,=0交点的直线系方程： Ax+By+C1+2(Ax+B2y+C2)=0(不包括直线Ax+B2y+C2=0)和Ax+By+C2=0. 13.关于对称的二级结论： (I)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y). 46/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x). (3)点(x,)关于直线x=a的对称点为(2a-xy),关于直线y=b的对称点为. (4)点(x,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y)· (⑤)点(x,y)关于直线x+y=k的对称点为(k-y,k-x),关于直线x-y=k的对称点为(k+y,x-k). 二、圆的核心考点（11个) 14.圆的标准方程：(x-a+y-b)2(r>0),其中(a,b)为圆心坐标，r为半径. D E 15.圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2.4F>0),圆心为 2,2 半径r=D+E-4F 16.点与圆的位置关系：设点到圆心距离为d,dkr则点在圆内，d则点在圆上，d>r则点在圆外： 17.直线与圆的位置关系：设圆心到直线距离为d,d<r则相交，d则相切，d>r则相离 18.直线与圆相切的性质：切线垂直于过切点的半径；过圆外一点作圆的切线，两条切线长相等 19.直线与圆相交的弦长公式：弦长=2√r2-d(d为圆心到直线的距离，r为圆的半径). 20.圆与圆的位置关系：设两圆半径为i、2,圆心距为d,内含(dkr)、内切(d-)、相交(r- <dK+)、外切(d与+r2)、外离（dr+). 21.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y=r2上一点P(xy0)的圆的切线方程为xx+y=2. (2)过圆(x-a)+(y-b)=r2上一点P(x)的圆的切线方程为 (x-a(x-a+(6-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=2外一点M(x,)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+0y=r2. 22.圆系方程 (1)同心圆系方程：(x-a+(y-b)=r2(r>0),其中a,b是定值，r是参数； 47/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)过直线Ax+By+C=0与圆x+y+Dx+y+F=0交点的圆系方程： x2+y+Dx+Ey+F+(Ax+By+C)=0(AER); (3)过圆C1:x2+y2+Dx+Ey+乃=0和圆C,:x+y2+D,x+E2y+F=0交点的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+耳+(x2+y2+Dx+E2y+F2)=0(2≠-1)（该圆系不含圆C2,解题时，注意检 验圆C,是否满足题意，以防漏解)， 23.二级结论：若两圆相交，其公共弦所在直线方程为两圆一般方程相减（消去x2、y项）· 24.圆的对称性：圆关于圆心对称、关于过圆心的任意直线对称，是中心对称和轴对称图形 速查07圆锥曲线(38个核心考点) 一、椭圆 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F、F2(焦点)的距离之和等于常数(2a,2a>FF)的点的轨迹，旧F=2c (c<a). 2椭圆的标准方程：焦点在x轴上：。+少 7+1ab≥0i焦点在y轴上：方=1CbS0》 (a>b>0),其中b=a2-c2. 3判断椭圆焦点位置时，需看标准方程中x2、y项的分母大小，分母大的对应长轴所在轴. 4.椭圆的离心率：e=S,范围为0,1)，e越接近1，椭圆越扁：e越接近0，椭圆越接近圆。 a 5.椭圆的顶点：长轴端点（±a,0)或(0，±a),短轴端点(0，b)或(b,0),长轴长2a,短轴长2b. 6.椭圆的焦点坐标：焦点在x轴上为±c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c2=a-b2. 7椭圆的焦半径公式：椭圆上的点P(x,y)与左（下)焦点耳与右（上）焦点F,之间的线段的长度叫做椭 圆的焦半径，分别记作5=PF,5=PF引 +6=l(a>b>0),万=a+e%,5=a-ex,: 48/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2) a+方-=1(a>b>0),5=a+e,5-a-gy: 8.椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x,)与两焦点构成的△PFF叫做焦点三角形， P乃=8，△PEE的面积为S，则在椭圆+21(a>b>0)中 (1)当P为短轴端点时，日最大 <2)S-PRIP-sme-brmng-clyl. 当=b时，即点P为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc· (3)焦点三角形的周长为2(a+c). 9树国的焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长拍的焦点弦）最短，弦长乙2 a 0,椭圆的弦长问：AB为稀图于+ +方=1(a>b>0)的弦，A(,y),B(3,y),弦中点M(), (2)直线AB的斜率kAB=- b'xo a-vo 11.椭圆的通径（过焦点且垂直于长轴的弦）长度为2ba,是椭圆的最短弦. 12.椭圆上任意一点到焦点的距离最大值为a+c,最小值为a-c. 13椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线必经过另一个焦点（聚光 性). 14若0在椭圆之十壳7上，则小 49/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)以(，)为切点的切线斜率为k= bxo a'yo (2)过B,的椭圆的切线方程是+h=1. a b2 若(CG,)在椭国二+与外，则过区)作椭圆的两条切线切点为P、P,则切点弦P卫 直线方程是等+学-1 二、双曲线的核心考点 16.双曲线的定义：平面内与两个定点F、F2(焦点)的距离之差的绝对值等于常数（2a,0<2a<FF)的 点的轨迹，FF=2c(c>a). 17.双曲线的标准方程：焦点在x轴上： 云方京-1(a0b>0):焦点在y轴上：上-x a6=1(a>0b>0), 其中b2=c2a2. 13双曲线的离心率：c=S,范围为(，+∞)，e越接近1，双曲线开口越窄：e越大，开口越宽. a 19.双曲线的顶点：实轴端点（±a,0)或(0，±a),虚轴端点(0，b)或(b,0),实轴长2a,虚轴长2b. 20.双曲线的焦点坐标：焦点在x轴上为（仕c,0),焦点在y轴上为(0，±c),满足c2=a+b2. 21.双曲线的渐近线方程：焦点在x轴上：y±2x:焦点在y轴上：y± b x,渐近线是双曲线的重要特征 a 22.双曲线光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线必经过 另一个焦点（发散性）· 2b2 23.双曲线的通径（过焦点且垂直于实轴的弦）长度为 a 24.双曲线的渐近线与实轴、虚轴围成的三角形面积为b. 21)与 a b2 -1共起的双曲线方程为等片-1，①它们有公共的篇近线：®测个结点布在以 原点为圆心，C为半径的圆上：®二+上1 方-1有同在点的效线方程为。夏在1(：0a-0A+60 (2)与xy x2 3)与 a2 B2 =1有相同焦点的椭圆方程为： a+元+元-=l(1≠0，x+>2-b>0) 50/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 八4)巨千 =1有相同焦点的双曲线方程为：a一月万=1(1≠0，a-2>0,元-b>0) 5)与 2y2 63 =1有相同离心率的双曲线方程为： ①焦点在x轴上时： x y a b =九，（元>0，元≠1） ②焦点在y轴上时： y2 x 示6京=元(>0) 26.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记∠FPF=日，则 2b2 a1 PEPF,卡1-cos日 (2)焦点三角形的面积SP码=cy,-bcot号 27.若Bxy)在双曲线一后=I上，则 (1)以(，片)为切点的切线斜率为k= b'xo a'yo 、《②过的双曲线的切线方程是2为=1. 28.若(x,)在双曲线 京方=1外，则过P作双曲线的两条切线切点为P、P,则切点弦PP,的直 线方程是x-=1 a b2 三、抛物线的核心考点 29.抛物线的定义：平面内与一个定点F(焦点)和一条定直线1（准线）的距离相等的点的轨迹，焦点到准 线的距离为p(p>0)· 30.抛物线的标准方程：四种形式，焦点在x轴正半轴：y2=2px:x轴负半轴：y=-2px;y轴正半轴：=2py: y轴负半轴：x2=-2py(p>0) 31.抛物线的离心率：e=1,是抛物线区别于椭圆、双曲线的核心特征. 32.抛物线的顶点：坐标原点(0,0)，是抛物线的最低点（或最高点）· 3。抛物线的焦点与准线：焦点到顶点的距离为号，顶点到准线的距离为巳 焦点到准线的距离为p 34.抛物线光学性质：从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴； 反之，平行于对称轴的光线经反射后必过焦点. 51/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 35.抛物线y=2px(p>0)上一点P(ko,y)的切线方程为yoy=p(k+xo). 36.过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦必过焦点， 37.设AB是过抛物线y°=2px(p>0)焦点F的弦，若Ax,y),B(x,y),则 1)55= 4h=-p: 2A农AB+x+PPa为弦AB的预角 sin'a 1.12 (3) FA FB P (4)以弦AB为直径的圆与准线相切： (5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切： (6)过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上. 速查08统计(9个核心考点) 一、随机抽样 1.简单随机抽样方法：抽签法和随机数法. 2.分层抽样：总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样. 二、用样本估计总体 3.频率分布直方图 (1)频率分布表的画法： 极差 第一步：求极差，决定组数和组距，组距= 组数 第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表 52/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图（如图） 频率 组距 0.030 002, 0.015 0.01) 0.5 405060708090100→分数 频率 横轴表示样本数据，纵轴表示 组距， 每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率. 4.样本的数字特征 (1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数.(2)中位数：把个数据按大 小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数， (3)平均数：把4+a++4称为4,4，，4，这n个数的平均数. 2 (4)标准差与方差：设一组数据x,x,x?,…,x,的平均数为下，则这组数据的标准差和方差分别是 [s-到旷+(s-到矿++（属-]s到+飞矿++&] 5频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系 (1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数. (2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的。 (3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边 中点的横坐标之和. 6.平均数、方差的公式推广 (1)若数据x,x2,…,xn的平均数为x,那么x1+a,x3+a,x3+a,…,xn+a的平均数是nx+a. (2)数据x,七，…，xn的方差为52。 53/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①数据x+a,x3+a,…,x,+a的方差也为s2: ②数据，x2,…,,的方差为as2 三、变量间的相关关系与统计案例 7.变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关 系是一种非确定性关系. (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散 布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关。 8.两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之 间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线 6= s-g-0 i=1 (2)回归方程为少=bx+à，其中 2x- 2- la=y-bx (3)通过求Q=∑(y-bx一a)}'的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的 距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法. (4)相关系数： 当r>0时，表明两个变量正相关：当r<0时，表明两个变量负相关 r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间 几乎不存在线性相关关系.通常大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性， 9.独立性检验 (1)分类变量和列联表 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量， 54/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 列联表： ①定义：列出的两个分类变量的频数表称为列联表. ②2×2列联表 一般地，假设有两个分类变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{1，y2},其样本频数列联表 (称为2×2列联表)为： 1 总计 X1 a b atb X2 d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 从2×2列表中，依据0，与c 的值可直观得出结论：两个变量是否有关系， atb 'c+d (2)等高条形图 ①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图表示列 联表数据的频率特征. ②观察等高条形图发现口，与·相差很大，就判断两个分类变量之间有关系. a+b'c+d (3)独立性检验 计算随机变量x2= n(ad-be)2 利用X的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为X (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 独立性检验. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 速查09计数原理、概率(20个核心考点) 一、计数原理 1,完成一件事可以有类不同方案，各类方案相互独立，在第1类方案中有种不同的方法，在第2类方 案中有种不同的方法…在第n类方案中有种不同的方法.那么，完成这件事共有 N=+十..十，种不同的方法。 55/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.完成一件事需要经过个步骤，缺一不可，做第1步有%种不同的方法，做第2步有m,种不同的方 法.·····做第n步有，种不同的方法.那么，完成这件事共有N=×,××m种不同的方法. n! 3.排列数公式：A%=n(n-1)(n-2).…(n-m+1)= (n-m)! 4组合数公式：C=4- n(n-1)(n-2)…(n-m+1)月 A m! 5.排列数、组合数性质： (①四4=n,01=1(2cg=1,Cm=C-m,C0+Cm1=C 6.二项式定理：(1)（a+b)”=Ca”+Ca-b+.+Ca-*b++Cb”(neN): (2)通项公式：T+1=Ca”*b*，它表示第k+1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C,C4,,，C 7.二项式系数的性质 对称性 与首末等距的两个二项式系数相等，即CC 当k<中时，二项式系数是递增的 性增减性 当>中时，二项式系数是递减的 与最大值 质 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 当为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大 二项式 Cg+C+C+…+C0=2" 系数的和 C8+C2+C4+…=C+C2+C+…=2m-1 二、概率 8.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A≤1. (2)必然事件的概率：P(E)=1. 56/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)不可能事件的概率：P(F)=0. 9.概率的加法公式： (1)如果事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A+P(B). (2)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A心B为必然事件， P(AUB)=1,P(A=1-P(B). (3)P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A0B) 10.古典概型的概率公式P(4)=”m为该事件包含的样本点个数，n为该试验的样本点总个数 11.条件概率及其性质 (1)条件概率的定义：对于任何两个事件A和B,在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做 (AB)(P(A)>0). 条件概车，用符号P(8A)来表示，其公式为PA4)P (2)条件概率的性质 ①非负性：0≤P(BlA)≤1； ②可加性：如果B和C是两个互斥事件，则P(BUCA)=P(BA)+P(CA. 12.全概率公式 (1)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A): （2)定理1若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA=0,i,j=1,2,,n,i≠j: ②A+4++A,=2: ③P(A)>0,i=1,2,…,n. 则对2中的任意事件B,都有B=BA+BA++BA,且 P(B)=P(B4)=P(4)P(BI4). i=1 i=l 13.贝叶斯公式 57/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)一般地，当0<P<1且P(B)>0时，有PAB=P(AP(BIA P(A)P(BA) P(B) P(A)P(BA)+P(A)P(BIA) (2)定理2若样本空间2中的事件A,A,,A满足： ①任意两个事件均互斥，即AA=0,i,j=1,2,…,n,i≠j: ②A+A+…+An=2: ③0<P(A)<1,i=1,2,…,n. 则对2中的任意概率非零的事件B，都有B=BA+BA,++BA,，且 P(A,B)= P(A,)P(BIA,)P(A,)P(BIA,) P(B) 4)P(B1A 14.相互独立事件 (1)对于事件A,B,若事件A的发生与事件B的发生互不影响，则称事件A,B是相互独立事件 (2)若P(AB)=P(A)P(B),则A与B相互独立. (3)若A与B相互独立，则A与B,A与B,A与B也都相互独立. (4)若A与B相互独立，则P(BA=P(B), P(AB)=P(B AP(A)=P(AP(B). (5)一般地，如果事件A,A,,A（n>2,n∈N)相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每 个事件发生的概率的积，即P(AA…A)=P(A)P(A)…P(A) 三、概率分布 15.随机变量的有关概念 (1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X,Y,5,☑，…表示 (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量. 16.离散型随机变量分布列的概念及性质 (1)概念：若离散型随机变量X可能取的不同值为，x,…,x,…,x,X取每一个值x(i=1,2,,n) 的概率P(X=x)=卫，以表格的形式表示如下： 58/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 X x X2 x Xn P P P P Pa 此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式 P(X=x)=p,i=l,2,…,n表示X的分布列. (2)分布列的性质：①p,≥0，i=1,2,3,,%②2，=1. i=1 17.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布列 X 0 P 1-p P 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称P=P(X=1)为成功概率 (2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则 P(X=k)=- C达k=0,12,,m,其中m=mmM,y,且n≤X,M≤N,%M,VeN CN X 0 1 ··… l CNC CCM …·。 CNC CN CN CN 若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从超几何分布， 18独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 独立重复试验的条件：①每次试验在相同条件下可重复进行：②各次试验是相互独立的；③每次试验都 只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 59/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生 的概率为P,则事件A恰好发生k次的概率为P(X=)=Cp(1-p),k=01,2,,n,则称随机变 量X服从二项分布，记作X~B(n,p),并称卫为成功概率. 19.正态分布 (1)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交： ②曲线是单峰的，它关于直线x=对称： 1 ③曲线在x=u处达到峰值 σ√2元 ④曲线与x轴之间的面积为1： ⑤当σ一定时，曲线的位置由4确定，曲线随着4的变化而沿x轴平移： ⑥当山一定时，曲线的形状由σ确定，6越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线 越“矮胖”，表示总体的分布越分散 (2)正态分布的三个常用数据 ①P(u-o<X≤u+0)N0.6826: ②P(u-2o<X≤u+2o)≈0.9544： ③P(u-3o<X≤u+3o)≈0.9974. 20离散型随机变量的均值与方差 (1)均值：E(X)=xP1+xP3++xP++xPm 2)方差：D(X)=∑(：-E(X)pi,其算术平方根VD(X)为随机变量X的标准差. 60/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)两个特殊分布的期望与方差： 两点分布：E(X)=p,D(X)=p(1-p): 二项分布：E(X)=p:D(X)=p(1-p) (4)常用结论：若Y=aX+b,其中a,b是常数，X是随机变量，则 (i)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数： (ii)E(ax+b)=aE(X)+b,D(ax+b)=aD(X); (ii)E(X,+X,)=E(X)+E(X,): (iV)D(X)=E(X)-(E(X): (V)若X,X,相互独立，则E(X,·X,)=E(X)·E(X). 03 重难题型·解题妙招 妙招01客观题审题与解题技巧 数学客观题，绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（性质）判断型的试题，解答时必须按规则进 行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断.其中选择题要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量缩 短解题时间，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，基本策略是要在准“巧快”上下功 夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等. 方法一直接法 直接法就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础 知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，得出正确结论，此法是解选择题和填空题最基本、最常用的 61/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法. 【例1-1】（多选）(2024年新课标全国1卷)设函数f()=(x-)(x-4),则() A.x=3是f()的极小值点 B.当0<x<1时，f(x)<f(x2) C.当1<x<2时，4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时，f(2-x)>f(x) 【例1-2】(2025新课标全国IⅡ卷)设抛物线C:y2=2p(P>0)的焦点为F,点A在C上，过A作C 准线的垂线，垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF=() A.3 B.4 C.5 D.6 方法二特例法 从题干出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或特殊图形或特 殊位置，进行判断.特例法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可以使用，特殊情况可能 是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等. 【例2-1】（2024全国甲卷)已知等差数列{a}的前n项和为S,若Sg=1,则+a= () A-2 B c.1 D.3 【例2-2】(2026成都三诊模拟·第12题)若对任意正实数x,y,都有fy)=f8+f0y),且f(2)=1,则 f8)= 【例2-3】(2024新课标Ⅱ卷)己知曲线C:x2+y2-16(>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP,P为 垂足，则线段PP的中点M的轨迹方程为 () A二+10w>0) B.二+210>0 164 168 c若片10>0) D.2+=100) 168 方法三排除法 排除法也叫筛选法、淘汰法，它是充分利用单选题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推 理、计算、判断，排除不符合要求的选项。 【例3-1】如图，长方形ABCD的边AB=2,BC=1,O是AB的 中点，点P沿 着边BC,CD与DA运动，记∠BOP=x将动点P到A,B两点距离之 和表示为x的 函数x),则f)的图象大致为() 62/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0吾号染R D 1 【例3-2】若函数)=x一in2x+asin x为增函数，则a的取值范围是() A.[-1,1] B-1,引 d -1, 方法四构造法 用构造法解客观题的关键是利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，它需要对基础知识和 基本方法进行积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到的类似问 题中寻找灵感，构造出相应的具体的数学模型，使问题简化 2 【例4-1】(2026湖南湘潭·三模)已知a=ln2,b=e2,c= ,则() e A.b>a>c B.b>c>a C.c>b>a D.a>b>c 【例4-2】（多选）(2026江西赣州二模)四面体ABCD满足AB=CD=1,AD=BC=√5，BD=2, AC=√2，则() A.直线AC与BD的夹角为60° B.四面体ABCD外接球的表面积为4π C.AC的中点到直线ED的距离为5D.四面体ABCD内切球的半径为6-1 2 【例4-3】(2025新课标全国I卷)己知2+l1og2x=3+logy=5+logz,则x,y,z的大小关系不可 能是() A.x>V>Z B.x>z>V C.v>x>Z D.y>z>x 方法五估算法 因为单选题提供了唯一正确的答案，解答时不需提供过程，所以可以通过猜测、推理、估算而获得答 案，这样往往可以减少运算量，但同时加强了思维的层次，估算省去了很多推导过程和复杂的计算，节省 了时间，从而显得更加快捷. 63/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例5-1】(2019全国I卷·高考真题)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至 足底的长度之比是5-1(50.618，称为黄金分制比例，菩名的断臂维纳斯便是如此.此外，最 2 2 美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5-】.若某人满足上述两个黄金分割比例，且 2 腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是 A.165cm B.175 cm C.185 cm D.190cm 【例5-2】已知点P是双曲线片1上的动点，、分别是此双曲线的左、右焦点，0为坐标原 点，则的取值范阻是(B） A.[0,6] B.(2,V同 c. D.o乌 方法六：数形结合法（几何/函数题最优，直观高效） 将代数问题几何化、几何问题代数化，借助函数图象、几何图形的直观性分析问题，避免繁琐计算适 用于解析几何、函数零点、不等式解集、向量运算、立体几何等题型，核心是“以形助数、以数解形”，尤 其适合解决抽象函数、解析几何类填空题 【例6-1】(2025新课标全国IⅡ卷)一个底面半径为4c,高为9Cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度 忽略不计)内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为一c, 【例6-2】(2026辽宁盘锦一模)已知P为抛物线y2=12x上一个动点，9为圆x2+(y-4)2=1上一个动 点，那么点P到点Q的距离与点P到直线x=-6的距离之和的最小值是 方法七：构造法 这是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题 作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法. 64/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例7-1】（多选）(2026西藏日喀则·模拟预测)已知f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为 f(x),且f(x)+f'(x)=e,则() A.f'(-x)+f'(x)=0 B.f(x)=te 2 C.f(x)在(0，+0)上单调递减 D.函数y=2f(x)+ex只有一个极值点 【例7-2】（多选）(25-26高二下山东·期中)在平面直角坐标系中，已知 A(:,e),B(x2,e)(:<x2)两点连线的斜率为1，则下列结论正确的是() A.x3>0 B.当+五<0 X1X2 D.X2+xx2<0 妙点02解答题答题规范与技巧 高考数学解答题是分值占比最高（占77分）、综合性最强的题型，兼具基础性与选拔性，不仅考查 考生的知识掌握程度，更侧重考查逻辑推理、规范表达与解题思路.解答题的核心评分原则是“按步骤给 分”，规范答题是得分关键，技巧运用是提分保障 一、高考数学解答题核心答题规范（重中之重) 高考数学解答题实行“按步骤给分”，评分标准明确：正确的解题思路、规范的步骤表达、精准的计算结 果，三者缺一不可很多考生“会做但失分”，核心原因是步骤不规范、表达不清晰、符号使用错误，导致“过 程分丢失”结合高考评分细则，核心规范如下，需严格遵守， (一)通用规范：所有解答题必遵循 1.书写规范：字迹清晰、卷面整洁，避免潦草涂改：步骤排版整齐，每一步独立成行，不跨步骤书写， 便于阅卷老师快速找到得分点严禁字迹潦草、卷面混乱，否则可能导致阅卷老师漏看步骤，丢失基础分. 2.符号规范：严格使用数学标准符号，杜绝自创符号：符号书写准确，如”与“c”、“U与“门”、≥” 与“>”、“π”与”区分清晰：向量、矩阵等特殊符号书写规范，如向量需加箭头，避免与普通字母混淆. 3.步骤规范：遵循“审题→列式→推理→计算→结论的逻辑，步骤完整，不跳关键步骤核心原则：“能 65/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 写的步骤必写，不省略推导过程”，即使是简单的计算、公式代入，也需简要说明，避免“跳步失分”例如， 使用基本不等式时，需明确写出“一正二定三相等”的条件；求导数时，需写出导数公式，再代入计算 4.结论规范：每道题的最终结论需明确写出，标注清晰，如“综上，所求值为 因此，数列的通 项公式为”；结论需符合题干要求，如定义域、取值范围、单位等，不可遗漏若有多个结论，需分点 标注，避免混淆 5.纠错规范：若答题过程中出现错误，需用横线轻轻划掉错误部分，重新书写正确内容，严禁涂改、 涂抹，避免卷混乱；若需修改的内容较多，可在空白处注明“此处修改”，确保阅卷老师能清晰看到正确步骤 (二)专项规范：各题型特殊要求 1.三角函数与解三角形：需注明角的范围（如0<A<π”），使用正弦定理、余弦定理时，需写出公 式原式，再代入已知条件：涉及三角恒等变换，需写出变换公式（如两角和差公式、二倍角公式），不可直 接写出变换结果；最终结果需化为最简形式，角度需符合题干要求（弧度或角度） 2.数列：求通项公式、前n项和时，需注明推导依据（如由等差数列定义可知“由递推公式变形得”）： 使用错位相减法、裂项相消法时，步骤需完整，错位相减后需明确写出相减结果，裂项时需写出裂项公式， 避免漏写中间步骤；若涉及分类讨论（如n=1与≥2），需明确分类依据，最后验证n=1是否满足通项公式. 3.立体几何：证明线面平行、面面垂直时，需严格遵循判定定理，写出定理所需的全部条件（如证明 线面平行，需写出线线平行“线不在面内“线在面内”三个条件)；建立空间直角坐标系时，需注明坐标系 的建立方法（如以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴，建立空间直角坐标系”），标注各点 坐标，确保坐标准确：计算向量夹角、线面角、二面角时，需写出向量坐标，明确夹角公式，注明角的范围 (如线面角∈[0，π/2])· 4.解析几何：求曲线方程时，需注明推导过程（如“由椭圆的定义可知将点代入抛物线方程得”）， 明确曲线的焦点、离心率等关键参数；联立直线与曲线方程时，需写出联立后的方程，注明判别式△的计 算过程（判断直线与曲线的位置关系）；涉及弦长、中点坐标，需写出对应的公式，再代入计算；最终结果 需化为最简形式，若有多个解，需结合题干条件筛选，注明取舍理由， 5.导数及其应用：求导时，需写出导数公式（如f(x)=x)'+lx'=2x+1/x”),不可直接写出导数值： 讨论函数单调性时，需明确导数的符号变化，结合定义域划分单调区间，注明“当x∈(a,b)时，f”(x>0,函数 单调递增：当xE(c,d)时，f'8)<0,函数单调递减”：求极值、最值时，需写出极值点的判定过程（如“令fx)=O, 解得xxo,当x<xo时，f”(s)>0,当x>xo时，f'&)<0,故xxo为极大值点)，最值需结合定义域判断， 66/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注明“由单调性可知，函数在x=a处取得最小值” 6.概率与统计：明确随机变量的取值，写出分布列的推导过程，分布列需满足“所有概率和为1”，并 注明：计算期望、方差时，需写出公式，再代入计算；涉及独立性检验、回归分析，需写出检验统计量的计 算过程，注明临界值，明确结论（如K2>3.841,有95%的把握认为两个变量相关”)， 二、高考数学解答题通用解题技巧（适用于所有题型） 解答题的解题核心是“化繁为简、化未知为已知”，结合高考真题规律，总结以下通用技巧，帮助考生快 速找到解题思路，提升答题效率，同时规避易错点 (一)审题技巧：找准关键，规避陷阱 审题是解题的前提，也是避免失分的关键，很多考生因审题失误，导致“会做的题做错”，需遵循“慢审 题、细圈画、明要求”的原则，具体技巧如下： 1.逐字读题，圈画关键信息：通读题干2遍，第一遍了解题千大意，第二遍圈画关键条件（如定义域、 取值范围、特殊要求、隐含条件)，标注关键词（如“不正确的是“至少“至多“恒成立“存在”).例如，题 干中“x∈(0，π)“函数f8)是奇函数“直线与曲线相切等，都是解题的关键，需重点标注」 2.翻译条件，转化数学语言：将题干中的文字描述、图形信息，转化为公式、关系式、向量坐标等数 学语言，降低理解难度.例如，“函数fx)在xxo处取得极值”转化为f(xo)=0且f(8)在xo两侧符号相反”；“直 线1山平面c转化为直线1的方向向量与平面a的法向量平行”. 3.明确答题要求，规避陷阱：看清题干要求的答题形式（如“求通项公式“证明不等式求取值范围”）， 明确结论的表达形式（如区间、集合、最简根式）：警惕隐含陷阱，如定义域限制、多解情况、单位换算、 等号成立条件等，避免因忽略陷阱导致失分， 4.联想相关知识，搭建解题框架：审题后，快速联想题干涉及的知识点、公式、定理，明确解题思路， 搭建解题框架例如，看到“解三角形”，联想正弦定理、余弦定理、三角恒等变换；看到“函数最值”，联想导 数法、基本不等式法 (二)步骤技巧：规范有序，多拿步骤分 高考解答题“按步骤给分”，即使最终结果错误，只要步骤正确，也能获得部分分数，因此步骤技巧的核 心是“完整、规范、有条理，具体如下： 1.先写“得分点”，再写细节：解题时，优先写出核心得分点（如公式、定理、关键推导步骤），再补 充细节计算，避免因细节错误影响核心得分.例如，证明线面平行时，先写出“ab,ato,bca,ala'（核 心得分点)，再补充alb的推导过程. 2.分步书写，不跳关键步骤：即使是简单的计算，也需分步书写，如“由+2b=1,得a=1-2b,代入原 式得”，不可直接写出计算结果：涉及分类讨论时，需明确分类依据，分点书写，每类情况单独成段， 标注“①当.时②当.时，避免混淆。 3.标注关键公式，增强逻辑性：解题过程中，使用公式、定理时，需标注公式名称或原式，如“由正弦 定理a= b ,得.“由基本不等式a+b≥2V(ab)(a,b>0),得..”，既规范又能让阅卷老师快速找 sinA sinB 67/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 到得分点。 4.合理取舍，优先拿基础分：若遇到难题，不要纠结于最终结果，优先写出能想到的步骤（如审题后 的公式代入、简单推导)，获得步骤分：若某一步计算复杂，可简要写出计算思路，再直接写出结果（如“联 立方程得x2-3x+2=0,解得x=1或x=2”),避免因计算失误导致全题失分. (三)计算技巧：精准高效，避免粗心 计算失误是解答题失分的主要原因之一，尤其是解析几何、导数等题型，计算量大、步骤繁琐，需掌握 以下计算技巧，提升计算精准度： 1.先化简，再计算：遇到复杂表达式，先进行化简（如因式分解、通分、约分、三角恒等变换），再 代入计算，减少计算量例如，解析几何中联立直线与椭圆方程后，先化简方程，再计算判别式、弦长，避 免复杂运算 2.分步计算，及时验算：每完成一步计算，及时验算，确认结果正确后，再进行下一步，避免“一步 错，步步错例如，求导数后，可代入简单值验算（如=1），确认导数计算正确：解方程组后，将解代入 原方程，验证是否成立 3.巧用技巧，简化计算：结合题型特点，运用简便计算技巧，如错位相减法中，两边同乘公比后，错 位相减时注意符号变化：裂项相消法中，准确裂项，避免漏项、错项；解析几何中，利用向量垂直、平行的 性质，简化计算过程， 4.规范书写计算过程：计算过程清晰，符号、数字书写准确，避免因书写潦草导致计算失误（如将“3， 写成“5”、“+”写成”)；分数、根式计算时，化为最简形式，避免出现繁分数、未化简的根式 (四)避坑技巧：规避常见易错点 结合高考真题易错点统计，总结以下常见易错点，帮助考生规避失分： 1.定义域陷阱：忽略函数定义域、数列的项数限制、解析几何中变量的取值范围，导致解题错误例如， 求函数fx)=lx+x的单调区间，忽略定义域x>0:求数列前n项和，忽略n为正整数. 2.符号陷阱：导数计算、向量运算、三角变换中，符号错误；解不等式时，不等号方向改变错误（如 两边同乘负数，不等号方向未改变) 3.公式陷阱：混淆公式、定理的适用条件，如基本不等式忽略“一正二定三相等”；等差数列前项和 公式记错（如忘记除以2）：导数公式记错（如x)'=1k,误记为x). 4.分类讨论陷阱：需要分类讨论的题型（如二次函数在不同区间的最值、绝对值不等式、数列的通项 公式)，遗漏分类情况，或分类依据不明确 5.结论陷阱：最终结论未化简、未标注单位、未结合题干条件筛选（如解析几何中，多解情况未舍去 不符合题意的解)；结论书写不明确，如未写出“综上“因此”等引导词，导致阅卷老师漏看结论 妙招03开放型试题解题技巧 高考数学开放性试题打破传统封闭题型的固定答案模式，以“灵活设问、多元求解、素养导向”为核 心，侧重考查考生的逻辑推理、创新思维和知识应用能力，己成为近年高考的热点题型本文按题型分类， 拆解开放性填空题、结构不良题、、探究性解答题及其他特殊开放性题型的求解策略，帮助考生快速掌握解 68/173 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题思路，提升得分率，内容控制在4个页码以内 一、开放性填空题：抓核心，找多元解 开放性填空题核心特征是“答案不唯一”，题干给出基础条件，要求填写符合条件的数值、表达式、图 形特征等，侧重考查基础知识的灵活应用求解关键是紧扣题干约束条件，优先选择最简、最易验证的答 案，避免复杂运算，同时确保答案符合题干隐含要求 求解策略： 1.紧扣约束条件：明确题干中“显性条件”（如定义域、取值范围、公式限制）和“隐性条件”（如几何 图形的性质、数列的正项要求)，避免答案偏离条件； 2.优先最简答案：无需追求复杂答案，选择易计算、易验证的结果（如整数、最简分式），提高解 题效率； 3.反向验证：填写答案后，代入题干条件验证，确保答案合规 【例1-1】(2022·全国乙卷·高考真题)过四点(0,0)，(4,0)，(-1,1)，(4,2)中的三点的一个圆的方程为 【例1-2】(2022新高考全国I卷高考真题)写出与圆x2+y2=1和(x-3)+(y-4)2=16都相切的一条直 线的方程 二、结构不良题：选最优，避陷阱 结构不良题核心特征是“条件不完整”，题干给出多个可选条件，要求考生选择其中一个（或多个）条 件，完成解题（如证明、计算），侧重考查考生的条件筛选、逻辑推理和解题规划能力这类题型是新高考 重点考查题型，常见于数列、立体几何、解析几何等模块 求解策略： 1.分析条件差异：对比题干给出的可选条件，判断每个条件的解题难度、运算量，优先选择“运算量 小、思路清晰的条件： 2.验证条件适配性：选择条件后，快速判断该条件与题干已知条件是否匹配，能否顺利推导结论，避 免选择“无法解题或“运算过繁”的条件： 3规范书写步骤：明确标注“选择条件×”，再按步骤解题，确保逻辑连贯，步骤完整 【例2】(2020新课标全国I卷)在①c=√5，②csmA=3,③c=√3b这三个条件中任选一个，补充 在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C的值；若问题中的三角形不存在，说明理由. 问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,C的对边分别为ab,c,且simA=√5sinB,C=T, ’2 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分， 69/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、探究性解答题：先猜想，再证明 探究性解答题核心特征是“结论不确定”，题干要求考生先探究结论（如判断是否存在、猜想关系式、 确定取值范围)，再进行证明或推导，侧重考查考生的创新思维、猜想验证和逻辑论证能力，常见于导 数、解析几何、立体几何等中档偏难题 求解策略： 1猜想结论：通过特殊值代入、图形分析、归纳推理，猜想合理结论（如“存在唯一实数k满足条 件关系式为an=n); 2.严谨证明：围绕猜想的结论，结合题干条件，利用相关公式、定理进行推导，确保证明过程逻辑严 密、步骤完整： 3规避误区：若探究“是否存在”，若存在，需给出具体值并证明；若不存在，需说明理由，不可遗漏 “不存在的情况 【例3】（黑龙江哈尔滨市2026届高考第二次模拟考试数学试题)已知菱形ABCD中，AB=2, 3,B为边BC的中点，将aABE沿AE翻折成△B日（点B,位于平面ABCD上方），连接BC ∠BAD=2 和B1D. B (1)求证：AE⊥BC: (2当RD=2W万时，在线段4D上是否存在点P,使得直线CP与平面，CD所成夹角的正弦值为5若 7 存在，求出P点位置：若不存在，请说明理由。 70/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 四、方案设计题 求解策略：根据题干要求（如“设计抽样方案“设计函数模型)，结合相关知识点，设计符合条件、 简洁可行的方案，注明方案的合理性 【例4】(25-26高三上·山东菏泽·月考)某科技公司计划推出一款基于大模型的智能客服系统，需从 “自研大模型方案和“采购第三方大模型方案”中选择最优方案，系统收益受用户满意度影响，而满意度与 大模型的推理准确性”有关；当推理准确性高时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意的概率分别为0.7， 0.2,0.1;当推理准确性低时，用户“高满意”、“中满意”、“低满意的概率分别为0.2,0.3,0.5.根据测试 数据，该公司自研大模型方案准确性高的概率为0.6，采购第三方大模型方案准确性高的概率为0.4（两方 案的准确性概率独立，仅用于各自场景的计算)，两种方案的收益（单位：万元，含研发、采购成本）如 表。 用户满意度 自研方案收益 采购方案收益 高满意 120 80 中满意 50 40 低满意 -30 -10 (1)分别计算两种方案用户“高满意”，“中满意”、“低满意”的概率： (2)分别计算两种方案的期望收益： (3)根据期望收益，该公司应选择哪种方案？并说明理由. 71/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 妙招05答题模板 下面以两道高考题为例，教会同学们如何规范完成解答题的书写步骤： 【例1】(12分)(2024全国甲卷理)记Sm为数列{a}的前n项和，己知4S=3十4. (1)求{a}的通项公式： (2)设bn=(-1)na,求数列{bn}的前n项和Tm. 【思路分析】(1)由4Sm=34十4→消掉S,得{4}的递推关系式→等比数列求4. (2)bm=(一1)”11a→利用错位相减法求Tm. 【答题模板】 解：(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4,解得a1=4. ①[1分] ①通过赋值求a1 当n≥2时，4Sm-1=3an-1+4, ②由an与Sn的关系 :所以4Sn-4Sn-1=4an=3an-3an-1, ②[2分] 求an的递推关系式 :即an=-3aa-1, 而a1=4≠0，故a≠0，故品=-3， 所以数列{a}是以4为首项，-3为公比的等比数列，③[4分] ③得到{an}成等比数列 所以an=4(-3》- ④[5分]日 ④得到{an}的通项公式 (2)b.=(-1)n-1·n·4(-3y-l=4n3m-, ⑤[6分] ⑤得到{bn}的通项公式 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=4·3+8·31+1232+…+4n3n-1 ⑥[7分] ⑥正确表示Tn与gTn 故3T=4·3+8·32+1233+…+4n3" 所以-2Tn=4+43+432+…+43m-1-4n3m =41-39 1-3 -4m3m=2(3m-1)-4n3 =(2-4n)3m-2, ⑦[11分] ⑦利用错位相减法求 (1-q)T 所以T.=(2n-1)3+1. ⑧[12分] ⑧求出T,得出结论 【例2】(12分)(2023·新高考全国D在直角坐标系Oxy中，点P到x轴的距离等于 点P到点0，的距离，记动点P的轨迹为取 (1)求W的方程：[切入点：直接法求轨迹方程] (2)已知矩形ABCD有三个顶点在m上，证明：矩形ABCD的周长大于3阝 [关键点：对周长放缩] 【答题模板】0①解设，功.则=V2+(引，0 72/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 两边同时平方化简得y=+录 故m:y=x2+4(2分) (2)证明 设矩形的三个顶点4a,a+》】 B6.b+)cc,c+在m上， 且Kb<c, 易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0， 则k4BkBc=-1,a十bb十c,(4分) +(a+》 令KAB= b-a =a+b=K0, 同理令kc=b十c=心0，且=-1， 则m= n' ②(6分) 设矩形周长为C,由对称性不妨设刊， k-ka产c-a-1一m=n叶号 则5C=AB+BC=b-a1+m+(c-bW计n® ≥c-aW1+n- G++m,no,0(e分剂) 易知(+》中m0 则令=+a+.0.目 网=24+2x). 令)=-0，解得x9 当0.9时，0，此时单调适减。 73/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当 ,十o时，x)>0,此时x)单调递增， ）27 则m=f 610分) 故c24- 2733 ,即C35 当C=35时，m9m=5 与当b-a1+m=(b-W1e, 即m=n时等号成立，矛盾， ⑦ 故C>3W3,得证.(12分) ①处直接法求轨迹方程 ②处得到m,n之间的关系 ③处用弦长公式表示周长 ④处进行周长放缩 ⑤处建立函数 ⑥处利用导数求最值 ⑦处排除边界 妙招06妙招实训50题 一、单选题 1.(2026湖南怀化二模)已知集合A=x>a},B={xr-4+3<0}.若AUB=A,则a的取值范 围是() A.(-0,1] B.(-m,3] C.(-m,1) D.(-0,3) 2.（2026湖南张家界·三模)对于平面向量a,b,设甲：a=2026a,乙：a=0,则() A.甲是乙的充分不必要条件 B.甲是乙的必要不充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲是乙的既不充分也不必要条件 3.(2026海南海口·模拟预测) 的二项展开式中x的系数是() A.35 B.-35 C.21 D.-21 4.（2026河南周口·模拟预测)一组从小到大排列的数据：2,8，x,18,22.若它们的第60百分位数比平均数 大2，则x的值为() 74/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.10 B.11 C.12 D.13 5.(2026黑龙江哈尔滨·二模)哈尔滨市第六中学校开展爱国主义教育实践活动，计划周日组织高一年级 一班至六班前往731部队罪证陈列馆、哈尔滨烈士纪念馆两处场馆进行参观.现要求每个场馆分配3个班 级，同时派2名教师带队，每名教师负责一个场馆的带队工作，请问一共有()种不同的安排方法？ A.20 B.40 C.80 D.120 6.(2026河南濮阳·二模)已知定义在R上的函数y=f(x),满足以下两个条件：(1)f(x)>0对任意 x∈R恒成立，且f)=1:(2)对任意x,x3∈R都有f(:1+2x3)=4f(x)f(x2),则下列关于函数 y=f(的表述中正确的个数为() ①f0-:②f--子®函数)y=(有最小值：④函数)有最大值. A.4 B.3 C.2 D.1 7（206河北保定三楼)已知函数)-则了30)=《) A.0 B.1 C.2026 D.2027 8. (2026山西晋中·三模)已知a>0且a≠1，若函数f(x)= 的值域为R,则a的取 loga (x+a)-1,x >a 值范围为() A.02 B.「2,2 c.「V2,+o) D.[2,+w) 9. (2026湖南湘西·三模)已知4，b,c分别为函数 f(x)=(x-1)2-1,8(x)=(x-1)l1gx-1,h(x)=(x-1)log2x-1的零点，且a,b,c∈(1，+w),则() A.a<c<b B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b 10.(2026福建宁德·二模)设f(x)是定义在R上的函数，若x,x2∈R,当<s时， f(x)<f(x),称函数f(x)具有性质M,则下列函数具有性质M的是() -x,x≤0 A.f(x)=x+sinx B.f(x)= x3+1,x>0 2*+12 D.f(x)=(x-1)e 1。(2026湖南长沙二模)已知meN,设商数了)=cas胥-lg6x的零点个数为4，则as= () 75/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.4049 B.4050 C.4051 D.4052 12.(2026北京西城二模)设函数f(x)=(x-a)ln(x+b),若不等式f(x)<0的解集为0，则() A.a+b>1 B.a+b<0 心d+b对 D.d+b≤ 13.(（25-26高三下安徽月考)已知a=e,b=1.3,c=3.35,则ab,c的大小关系是() A.a>b>c B.axc>b C.c>b>a D.c>a>b 14.(2026山东青岛·二模)已知直线y=x-2与曲线y=nx+a相切，则a的值为() A.1 B.0 C.-1 D.-2 15.(2026重庆九龙坡模拟预测)己知实数x,y满足3+4=5，则() A B.y21 C.(x-2)y-1)≤0 D.(x-2)(y-2)≥0 16.(2026河北保定·二模)己知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在直线 2x+y=0上，则sin2ax=() 3 3 B.- c.4 D. 5 4 17.(2026·西藏日喀则模拟预测)己知函数f(x)=tan 0r+)(®>0)的图象向左平移杯个单位长度后 与原图象重合，则实数⊙的最小值是() A.1 B.2 D. 18.(2026·重庆·模拟预测)函数f(x)=sinx+√2cosx(w>0)对应的图象如图，点A为图象与x轴的交 点，点B为图象的最高点，点C为图象的最低点，若AB L AC,则o的值为() A.2 B. c D.n 76/173 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 19.(2026天津南开·二模)己知x≠c时， 1 的最小值为() sinx 2+cosx B.3 c.3 D. 20. 2026湖南湘西三模)已知cos(c+P)=2sin(a-),anf=-),则tan2a=() B. 8 A.-4 C.is D.治 21.(25-26高一下·吉林四平·阶段检测)在△ABC中，已知AB=1,AC=2,∠B4C=60°，BC,AC边 上的两条中线AM,BN相交于点P,则∠MPN的余弦值为() A.7 B.7 c.3 D. 14 3 10 22.(2026·陕西宝鸡·模拟预测)己知△ABC的外接圆圆心为E,角A,B,C所对的边分别为4，b,c,且 c=4,b2-24cos4=6 acosC,若BF+CF=0,则AE.AF=（) A.8 B.13 C.16 D.32 场早丹H半：达头咕7早用马、工7「H0<00<n)T-上℃x防田×(.0Π·9C( A,B两点，且B.AE=0,AB=2耳A,则离心率=() A.V4-5 B.√4+ C ,3 3 2 24.(2026河南模拟预测)已知点P是圆C:(x-4)}+y2=1上一点，点21，V3),0为坐标原点，则 OP.OQ的最大值为() A.2 B.2W5 c.45 D.6 25.(2026山东青岛二模)过点P(0,-2)作一条直线与圆C:x2+y2-4x=0相切于点A,且A位于第四 象限，AB为C的直径，点M为线段PB上的动点，则MAMB的最小值为() 写9 B C.5 D.25 5 26.(2026天津东丽·二模)已知数列{a}(n∈N)满足4=-14，a+1-4=5n,则4=() A.211 B.225 C.239 D.261 77/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1,n=1 27.(25-26高二下·河南南阳期中)记S为数列{a}的前n项和，4= 2n2则 2a.+nsin 425-S2024=(） A.1012 B.1013 C.2024 D.2025 28.(25-26高一下·湖南期中)已知直四棱柱ABCDABC1D的棱长均为2，∠BAD=60°.以D为球心，√5 为半径的球面与侧面BCCB的交线长为() A.2元 C.√2m D.22元 4 2 29. (2026山西·二模)在三棱锥P-ABC中，AB=AC=√2，且AB⊥AC,PA=2,PA⊥平面ABC, 若P,A,B,C四点都在球O的表面上，则点P到平面OAB的距离为() A.√2 B.3 c.3 D.25 3 3 30,(2026陕西榆林模拟预测)已如双曲线C言芳-1a>0b>0的左、右焦点分别为界，R,过点 的直线1与y轴和双曲线C的右支分别交于点Q和点P(不是顶点)，使得2=P+},,且 ∠P耳耳=2∠Q耳，则双曲线C的离心率为() A.√5+1 B.√2+1 C.5 D.5 31.(2026·吉林延边·三模)己知P是抛物线C:y=2px(p>0)上的动点，若点P到直线y=x+3距离的 最小值为√，则p=() A.1 B.2 C.4 D.10 2+2x-1,x≤0：若函数8)=[fxP+(2a+Df)+2a [x Inx,x>0 32.(2026吉林延边·三模)已知函数f(x)= 有4个零点，则实数a的取值范围是() A.[0, B.1,2] c.CD D.1 33.(2026湖南衡阳·二模)己知函数y=e与y=8(x)的图象关于直线y=x对称，函数 f(x)=g(x)+(a-1)x,a>1,若方程f∫(x)=x在区间[2,4]上有解，则实数a的取值范围为() Bu月 78/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D. 2+1,3+h2 e2 二、多选题 34.(2026·吉林延边·三模)某奶茶店统计了六天每天天气平均气温t(℃)和每天凉茶的销售数量（单 位：杯)，得到以下数据： t (C) 3 0 9 12 n(单位：杯) 23 17 29 36 42 若t与n线性相关，且回归直线方程为=t+a,则() A.t和n正相关 B.点(6,29)在回归直线上 C.b<0 D.∑6-74-m)=191 35.(2026湖南长沙·二模)若随机变量X服从正态分布N(6,4),且P(2<X<10)=m, P(4<X<8)=n,则() A.P(7<X<9)=P(3<X<5) B.E(2X+1)=13 C.D(2X+1)=8 D.P(4<X<10)=+” 2 36.(2026云南保山：二模)已知实数a,b,c,d,则下列命题是真命题的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b,c>d,则a-d>b-c c.若a<b<0,则2> ”ab D.若0<b<a且c>0,则2<b+c aa+c 37.（2026河北保定·三模)如图，在棱长均为2的正三棱柱ABC-ABC1中，D为AB的中点，则 () A D B A.CD⊥AB B.异面直线AC1与BC所成角的余弦值为 ② 4 791173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.若M,N分别为A4,B,C上的点，则MN的最小值为1 D.若点P在底面ABC1上，且AP/平面BCD,则点P的轨迹长度为√5 38.(2026陕西榆林三模)在数列a,}中，4=3,4=30，记数列 的前n项和为T,则下 nn+l (n+1)3m 列说法正确的是() A.4=9 B.{a}是递增数列 C.若对任意meN,都有(-旷a≤a,划A的取值范国是[习 D.3neN,使得Tn≥h(n+1) 39.(25-26高三下·陕西西安·阶段检测)已知M,N是抛物线x2=4y上不同的两点，O是坐标原点，且 OM⊥ON,过点M,N分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为M1,M,则() A.存在点M,使得△OM41为直角三角形 B.O4·0W=-15 C.△OW的面积的最小值为16 D.点O到直线N的距离不大于4 40.(2026山西太原·二模)已知函数f(x)=xe-x,则下列结论正确的是（) A.当=0时，f(x)的最小值为-e B.若f(x)有两个极值点，则实数m的取值范围为 C.当m≤-1时，f(x)的值域为R D.若存在m∈(0，+o),使得f(x)≥k-成立，则实数k的最大值为c 三、填空题 41.(2025高三·全国·专题练习)幂函数f(x)满足x≥0，∫(x)=f(-x)<∫(x+1),则此函数可以是 (x)=·(写出一个满足条件的答案即可) 42.(2026山东东营·模拟预测)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 80/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 b-acos C=asinC,且b=2,a=√5，则△ABC的解的个数为 43.(2026西藏日喀则模拟预测)如图，在多面体ABCDE中，AC⊥平面BCD,CD=2AC=2BC=2, AE=BE=BD=√，DE=√2，则多面体ABCDE的体积为 D 44.(25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测)如图，水平地面“上垂直立着一块木板B,木板上有一个椭圆形 的洞，木板一侧有一个点光源'，光透过木板上的洞在另一侧地面上形成一个圆形光斑（即圆C),点A 在地面上的射影为A,AC与B交于点D.若AC⊥B,且AA'=1.5m,AD=CD=1m,圆C的半径为 0.5m,则木板上椭圆形洞的离心率为_ B C D a 45. (2026福建莆田·模拟预测)有6个球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中每次随机取出一个， 取出的球不放回，直到6个小球都取完为止.记第n次取出球的号码为4，(n=1,2,3,4,5,6),在4-1和马H至 少有一个大于4(i=2,3,4,5)的条件下，数列{an}是递增数列的概率为 46.2026吉林延边三被)已知函数60-e-,8()=m2+(Qa+x+h+1,若对于任态 为>0，总存在x∈[-2，-刂，使得8(x)≤f(3),则实数a的取值范围是一· 四、解答题 47.(25-26高三上广东惠州月考)请在①向量x=(cosC,c-2a,y=(b,cosB),且x⊥y:② (ad-b2)sinA=(b2-c2)sinC;③2 asin AcosC+csin2A=2√5 acos B这三个条件中任选一个，补充在下面 的问题中，并解答.如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.在△ABC中，内角A,B,C的对边 分别为a,b,c,且满足 (1)求B的大小： (2)若AC边上的高为√5，求△ABC面积的最小值. 81/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48.(25-26高三下·陕西渭南阶段检测)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,四边形ABCD 中，ABL AD,AB+AD=4,CD=V2,∠ADC=45°. D B (1)求证：平面PAB⊥平面PAD; (2)设AB=AP. (i)若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长； (i)在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由. 49.(25-26高三上·重庆九龙坡：期中)中国的航天事业历经数十年的发展，已经形成了完整的航天技术体 系，涵盖运载火箭、载人航天、深空探测等多个领域.某学校为了解学生对航天工程的关注情况，随机 从该校学生中抽取男生和女生各100人进行调查，调查结果如下表： 关注 不关注 合计 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 (1)根据小概率值0.005的独立性检验，能否认为该校学生对航天工程的关注情况与性别有关？ (2)为了激发同学们对航天工程的关注，该校举办了一次航天知识闯关比赛，比赛有两个答题方案可供选 择： 方案一：回答4个问题，至少答对3个问题才能晋级： 82/173 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方案二：在4个问题中随机选择2个问题作答，都答对才能晋级. 已知该校学生甲答对这4个问腮的概率分别为2,2,2，？ 33’3’41 学生甲回答这4个问题正确与否相互独立，则 学生甲选择哪种方案晋级的可能性更大？请说明理由.参考公式及参考数据： n(ad-be) x2= ,n=a+b+c叶d. (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0 0.05 0.01 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 50.(2026宁夏二模)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-2,0),动点P关于O的对称点为2，且直 线APAQ的斜率之积是-}，记P的轨迹为血线。 (1)求E的方程： (2)直线AP与y轴交于点M,点s与点P关于y轴对称，直线AS与y轴交于点N.在x轴上是否存在点 B,使得∠OBM=∠ONB？若存在，求点B的坐标：若不存在，说明理由. 83/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 04易错问题避坑指南 避坑01数学概念易混易错(68条) 高中数学的学习核心在于对概念的精准把握，很多同学在解题中失分，并非不会运算，而是对易混易 错概念理解不透彻、记忆不牢固，出现混淆使用、遗漏条件等问题以下梳理高中数学各模块易混易错概 念，共8条，涵盖集合、函数、数列、三角函数、向量、不等式、解析几何、立体几何、统计概率等核 心板块，助力同学们规避误区、夯实基础. 一、集合与常用逻辑用语(8条) 1.混淆空集与{0}，空集不含任何元素，{0}是含一个元素0的集合，二者不相等 2.应用AUB=B、A∩B=A等价于AcB时，易忽略A为空集的特殊情况 3.集合运算中，易忽略集合三要素中的互异性，求解后未检验元素是否重复. 4.混淆“否命题”与“命题的否定”，否命题需否定条件和结论，命题的否定仅否定结论 5.判断充分条件、必要条件时，混淆p→q的含义，误将必要条件当作充分条件 6.全称量词命题与存在量词命题的否定，易忘记“量词互换”，仅否定结论而不换量词. 7.混淆集合的“元素类型，误将点集（如{区，yx+y=1)当作数集进行运算 8.求解集合的补集时，易忽略全集的范围，默认全集为R而忽略题目给定的限定条件 二、函数(12条) 9.求解与函数相关的问题，易忽略“定义域优先”原则，先求值域再考虑定义域： 10.判断函数奇偶性时，未先检验定义域是否关于原点对称，直接代入f(-x判断 11.求函数单调区间时，错误在多个单调区间之间添加U符号，应使用逗号连接 12.混淆“函数在区间上单调与“函数的单调区间是某区间”，二者表述含义不同. 13.用换元法解题时，易忽略换元前后自变量的取值范围，导致等价性丢失， 14.混淆函数的“极值点”与“极值”，极值点是自变量的值，极值是函数值， 15.求导后忽略定义域，误将使导数为0的点全部当作极值点，未检验左右导数符号. 16.对数函数中，易忽略真数大于0、底数大于0且不等于1的限制条件 17.混淆“指数函数y=a与“对数函数y=logx”的单调性，未讨论底数a的范围. l8.误将函数y=ax+bx(a,b>0)的单调区间写为(-o,-Vb/a)U(Vb/a),+o),忽略中间断点. 19.求函数解析式时，易忽略标注函数的定义域，导致后续求解值域、单调性出错 20.混淆“原函数存在反函数”与“原函数单调”，单调函数一定有反函数，但有反函数的函数不一定单 84/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 调。 三、数列(7条) 21.用等比数列求和公式时，易忽略公比q=1的特殊情况，直接使用q≠1的公式. 22.己知Sm求am时，易忽略n=1的情况，未检验a1是否满足n≥2时的通项公式 23.混淆等差数列与等比数列的性质，误将等差数列的m+np+q则am+a。=ap+a_q'用于等比数列. 24.误将等差数列的前n项和S.=an+bn+c(c≠0)当作等差数列，忽略c0的条件 25.混淆“数列的项与“数列的项数”，项是具体数值，项数是项的个数， 26.等比数列中，误认为“a+/a.=q(常数)”对所有n∈N*成立，忽略首项a≠0、q0的条件. 27.数列单调性问题，误等同于对应函数的单调性，忽略数列定义域是正整数集， 四、三角函数(10条) 28.混淆“正角、负角、零角”与“象限角”，终边在坐标轴上的角不属于任何象限 29.忽略正切函数的定义域，误在x=π/2+kπ(k∈Z)处求正切值， 30.混淆“弧度制与“角度制”，计算弧长、扇形面积时未统一单位. 31.三角化简时，未掌握“切化弦、降幂扩角”的通法，盲目使用公式导致出错 32.忽略正弦函数、余弦函数的有界性，误将six、cosx的取值范围当作R 33.求解三角函数值时，未结合角的范围判断符号，导致多解或漏解 34.混淆“三角函数图象的平移”，函数yx)平移遵循“左加右减”，方程平移规律不同 35.使用正弦定理时，易忘记比值等于2R,忽略齐次代换a:b:c=sinA:simB:sinC 36.在△ABC中，误认为A>B等价于cosA>cosB,忽略余弦函数在(O,D上的单调性. 37.混淆“同角三角函数基本关系”，误写为sinx+cosx=2或tanx=six/cosx无限制条件. 五、平面向量(6条) 38.混淆向量0与实数0，向量0的模为0，方向任意，与任意向量平行但不垂直 39.数量积运算中，误认为“4b=0则=0或b=0”,忽略两非零向量垂直时数量积为0. 40.混淆“向量的数量积与“实数乘法”，a·b≠ab,且不满足结合律 41.误将“a·b<0”当作向量a与b夹角为钝角的充要条件，忽略夹角为180°的情况 42.混淆“点的坐标与“向量的坐标”，向量坐标是终点坐标减去起点坐标，与点坐标不同。 43.求向量的投影时，混淆“投影与投影向量”，投影是数值，投影向量是向量. 六、不等式(7条) 44.利用均值不等式求最值时，易忽略“一正、二定、三等”的条件，盲目套用公式， 85/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 45.两个不等式相乘时，未注意“同向同正的条件，误将异向或负数不等式相乘 46.解分式不等式时，误将fx)/g(x)>a直接转化为fx)>ag(s),忽略g(s)的符号。 47.解含参数不等式时，未对参数分类讨论，或讨论后未总结综上结论 48.混淆“不等式的解集与“不等式的解”，解集需用集合或区间表示，不能用不等式表示。 49.不等式约分前，未判断约去式子的正负，导致不等号方向错误 50.解绝对值不等式时，误将ax+bKc转化为-c<ax+b<c,忽略c≤0时无解的情况. 七、解析几何(8条) 51.用点斜式、斜截式设直线方程时，易忽略斜率不存在的情况 52.混淆“直线的倾斜角”与“斜率”，倾斜角范围是[0，)，斜率范围是R 53.直线在两坐标轴上截距相等时，易忽略截距都为0的情况，仅考虑a=b≠0. 54.联立直线与圆锥曲线方程时，易忽略二次项系数为0的情况，导致漏解 55.求圆锥曲线标准方程时，未判断焦点所在坐标轴，盲目套用标准形式， 56.混淆双曲线的离心率与渐近线斜率的关系，未区分焦点在x轴与y轴的不同公式。 57.误将抛物线的“通径”当作任意焦点弦，忽略通径是最短的焦点弦 58.求轨迹方程时，易忽略题干中的限制条件，导致轨迹不完整， 八、立体几何与统计概率（10条) 59.斜二测画法中，误将原图形的高直接作为直观图的高，忽略直观图中高为原高的V2/4, 60.混淆“线面平行与“面面平行”的判定定理，误将线面平行的条件用于面面平行. 61.求异面直线所成角时，易忽略夹角范围是(0，π/2]，误取补角作为结果 62.混淆二面角”与“线面角”，二面角范围是[0，，线面角范围是[0,2] 63.立体图形翻折、展开时，易忽略翻折前后不变的几何量（如边长、角度）. 64.频率分布直方图中，误将纵坐标当作频率，忽略纵坐标是频率组距 65.混淆“二项式系数与“展开式中项的系数”，二项式系数仅与组合数有关，与字母系数无关。 66.区分“有放回抽样与“无放回抽样”，二者的概率计算方法不同. 67.混淆“独立事件”与“互斥事件”，独立事件不一定互斥，互斥事件不一定独立 68.复数中，误将虚部当作bi,忽略虚部是实数b,而非bi, 以上易混易错概念均为高中数学高频考点，同学们在学习中需逐一条理、精准记忆，避免因概念混淆 导致解题失误.掌握概念的核心内涵，明确易错点、易混点，才能夯实数学基础，提升解题准确率. 86/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 避坑02审题解题方法易错(72条) 高考数学的成败，不仅取决于知识储备的扎实程度，更依赖于审题的精准度和解题方法的规范性.很多 考生失分并非源于不会做，而是在审题时粗心疏漏、解题时方法不当，陷入思维误区以下分审题、解题两 大模块，梳理高考数学中高频的审题解题方法易错点，共72条，涵盖各题型核心易错场景，助力考生规避 失误、高效得分，精准应对高考 一、审题方法易错点(32条) 1.审题时急于求成，仅读一遍题干就仓促动笔，忽略题干关键信息，导致理解偏差 2.忽略题干中的限定条件，如定义域、取值范围、整数约束、角的范围等，盲目解题， 3.混淆题干中的关键词，如“不正确的是错误的是至少至多”，因审题粗心看错要求 4.对题干中的新定义、新素材解读不透彻，未准确把握其核心内涵就开始解题 5.审题时漏看设问数量，只解答部分问题，忽略题干中多个设问的情况， 6.误将题干中的“任意“存在“所有“唯一”等限定词忽略，导致解题方向错误 7.对题干中的隐含条件挖掘不充分，仅关注显性条件，忽略隐藏在文字、图形中的关键信息 8.审题时受思维惯性影响，看到熟悉题型就照搬过往解题思路，未发现题干细节变化 9.忽略题干中单位的统一，如长度单位、角度单位（弧度与角度），导致计算失误。 10.审题时未明确题目考查的知识点和题型，盲目套用公式、方法，缺乏针对性 11.对题干中的“恒成立“存在性“有解”等问题的含义理解模糊，混淆解题要求， 12.审题时未看清图形标注，如线段相等、角度大小、坐标位置等，误解图形含义 13.忽略题干中的“不含参数“参数范围等要求，多余讨论参数或遗漏参数分析。 14.审题时将“充分条件”与“必要条件“充要条件混淆，误解题干逻辑关系. 15.对题干中的分式、根式、绝对值等表达式，未注意其有意义的条件，盲目运算. 16.审题时漏看题干中的“不正确的选项“不符合题意的答案”，导致选错答案 20.审题时未区分“直线与曲线相切“直线与曲线有公共点”的不同要求，混淆解题标准. 21.忽略题干中“正整数解“非负整数解等特殊要求，得出不符合条件的答案。 22.审题时未准确把握函数的定义域、值域限制，导致后续解题出错 23.对题干中的向量、复数等概念，未看清其表示形式（如向量的方向、复数的实部虚部）· 24.审题时未注意题目中的“最大值“最小值“取值范围的区别，混淆解题目标. 25.忽略题干中的“且“或“非”等逻辑联结词，误解题干条件的逻辑关系 26.审题时未看清图表信息，如频率分布直方图、茎叶图、折线图的横纵坐标含义， 87/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 27.对题干中的“折叠“旋转平移等图形变换，未分析变换前后的不变量和变量， 28.审题时漏看题干中的“除外“不包括”等限定，导致答案范围扩大或缩小. 29.混淆题干中的“数列的项”与“数列的项数“前n项和与“第n项和 30.审题时未明确圆锥曲线的焦点位置、离心率、渐近线等关键特征，盲目套用标准方程 31.忽略题干中“随机抽样“分层抽样“系统抽样的不同要求，误用抽样方法。 32.审题时未看清“概率频率“期望“方差”的区别，混淆统计量的计算要求。 33.对题千中的“异面直线共面直线“线面平行“面面垂直”等概念，审题时理解偏差。 二、解题方法易错点（40条) 34.解题时未遵循“先易后难”的原则，在难题上花费过多时间，导致基础题没时间作答。 35.解题步骤不规范，跳过关键步骤，导致过程分丢失，即使答案正确也无法得满分. 36.计算时粗心大意，如移项变号错误、乘法分配律运用失误、小数点位置出错！ 37.滥用公式，未明确公式的适用条件，盲目套用公式导致解题错误 38.解题时思路不清晰，想到哪写到哪，缺乏逻辑连贯性，导致后续步骤出错 39.对含参数的题目，未进行分类讨论或分类不全面、不严谨，出现漏解或重复解。 40.解题时忽略检验环节，未将得出的答案代入题干检验，导致答案不符合题意， 41.换元法解题时，未注意换元前后自变量的取值范围，导致等价性丢失， 42.因式分解不彻底，或分解过程中符号错误，影响后续解题步骤 43.解不等式时，不等号方向判断错误，尤其是在乘以、除以负数时未变号： 44.求函数单调区间时，错误地在多个单调区间之间添加U'符号，应使用逗号连接. 45.求导解题时，导数公式记忆错误、复合函数求导漏层，导致导数计算出错 46.解分式方程、无理方程时，未检验分母不为零、被开方数非负，导致增根 47.立体几何解题时，未正确建立空间直角坐标系，或坐标标注错误. 48.向量运算时，混淆数量积与向量积的运算规则，或忽略向量的方向. 49.数列解题时，用等比数列求和公式未讨论公比q=1的特殊情况 50.三角函数解题时，未结合角的范围判断三角函数值的符号，导致多解或漏解， 51.解析几何解题时，联立方程后未判断判别式，盲目求解导致无意义解. 52.解题时过度依赖特殊值法，未验证特殊值是否符合题干所有条件 53.分类讨论后未总结综上结论，导致解题过程不完整。 54.概率解题时，混淆“有放回抽样”与“无放回抽样”，误用概率计算公式。 55.解题时书写不规范，如符号书写错误、字母大小写混淆、公式书写不完整 88/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 56.求轨迹方程时，未剔除不符合题干条件的点，导致轨迹不完整 57.利用均值不等式求最值时，未满足“一正、二定、三等”条件就盲目套用. 58.解题时思路僵化，不会灵活转化题型，一味死算硬解，浪费时间且易出错。 59.复数运算时，混淆实部、虚部的概念，或共轭复数、模的计算公式记忆错误. 60.统计题解题时，误将频率分布直方图的纵坐标当作频率，忽略其为频率组距， 61.解题时未注意题日要求的答案形式，如保留小数位数、用集合或区间表示解集. 62.立体几何中求异面直线所成角、线面角、二面角时，混淆夹角范围，误取补角. 63.解题时漏写单位，或单位换算错误，导致答案不符合要求， 64.因式分解时，误用公式，如将a-b分解为(a-b)尸，或将(a+b)展开错误. 65.解绝对值不等式时，未对绝对值内的表达式分情况讨论，导致漏解 66.解题时过度追求速度，书写潦草，导致自己后续看不懂步骤，出现计算失误. 67.向量共线、垂直的判定条件记忆错误，导致判断失误 68.数列中已知前n项和求通项公式，未检验=1时的情况，导致通项公式不完整 69.解题时忽略题干中的隐含约束，如三角形中两边之和大于第三边、角的范围等。 70.求函数极值时，误将导数为0的点全部当作极值点，未检验左右导数符号 1.解题结束后未进行回头检查，未发现计算、思路中的错误，错失纠错机会。 72.面对新颖题型时，过度紧张，无法快速提取题干关键信息，找不到解题突破口 高考数学审题和解题的规范性、精准度，直接决定了得分效率以上72条易错点，涵盖了高考数学各题 型、各环节的高频失误场景.考生在备考过程中，需牢记这些易错点，养成认真审题、规范解题、仔细检验 的习惯，规避思维误区，减少不必要的失分，在高考中发挥出最佳水平 05 决胜高考·压轴预测 冲刺01选择题压轴预测50题 一、单选题 1.(2026北京朝阳·一模)己知集合A={x∈N1≤x≤2026.设集合B={,b2,b,,b}满足B二A,且对 任意的b,b,,b.∈B(i,j,k∈L,2,3,,n),存在m∈N,使得b+b+b=39,则n的最大值为 () A.50 B.51 C.52 D.53 89/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26高三上·浙江宁波期末)已知集合A=Lx]+[2+[3x]+[4x]x∈R}与集合 B=1,2,3,4,…,2026},用4表示集合A的元素个数，[x]表示不超过x的最大整数，则A⌒B=() A.1215 B.1216 C.1217 D.1218 3.(25-26高三下·上海浦东新期中)对定义在R上的非常值函数y=f(x),若存在一个非零常数T，使 得对任意x∈R,都有f(x+T)=T·f(x)成立，那么称函数y=f(x)为T函数.现有以下两个命题：①若 函数y=sin(x+p)(o≠0)为T函数，则o=2L,k∈Z,且k≠0；②既存在严格增的T函数，也存在严格 减的T函数.则下列判断正确的是() A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 4.(2026重庆模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,f(x)f(y)=f(x)+f(y)+y-1,且f(1)≠0， 若L1以≥2026，则正整数m的最小值为《) 5.(25-26高三下·北京海淀期末)已知函数f(x)= [x2-2x+t,x≤2 -2"-t,x>21 集合 M={m归≠5，f(x)=f(s)=.若对任意4，西∈M,都有-<3，则t的取值范围为（） A.【-3,+0) C.[-2,+m) 6.(2026山东济南·二模)已知正实数a,b,c满足aea=bnb=c2,则() A.a<c<b B.c<a<b C.b<a<c D.a<b<c 7.（2026湖北二被)定义在(1山的函数清足：xe(1山.四-)=寸且 e(10时，w0,若P=E):Q=）R=2.则、Q、大小关系为 () A.O<R<P B.R<O<P C.R<P<O D.P<R<O 8.(2026安微阜阳二模)己知f(x)的定义域为R,f(x)的图象关于点(1,2)对称， g(x)=f(x-2)+3x,且g(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(19)=() 90/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.99 B.78 C.66 D.52 【答案】A 9.(25-26高三下·贵州黔东南·月考)定义在R上的函数f(x)与8(x)满足： 的=g6-对+2，g6的=4-对，若gK+1是奇通数，则觉fg6-（） A.0 B.2025 C.4050 D.6075 10.(2026山东德州·模拟预测)己知a,b,c为两两不相等的正数，设函数f(x)=d+b-c,则 () A.f(x)没有零点 B.f(x)有唯一零点 C.f(x)至多有一个零点 D.f(x)至少有一个零点 l3*-2x≤2 11.(25-26高三上·湖北荆州期末)设函数f(x)= >3若方程广的a+30有5个不 7 同的实数解，则实数α的取值范围为() A.(3,4) B. c.e3 D.写) 3 -x2+2x+3,x≤3 12.(25-26高三上山东德州期中)已知函数f(x)= 2x-6 ,若存在三个不相等的实数x, x>3 x+1 x2,x3,使得f(x)=f()=f(s),则f(:+七+)的取值范围是() c层j D.(5,+o) 13.(25-26高三上·北京西城·期末)激活函数在神经网络中的核心作用是引入非线性变换，使神经网络能 够学习和逼近复杂函数关系，从而解决线性模型无法处理的非线性问题。其中，Tamh)=e© e+e就是一 个常见的激活函数，它可以将输入的实数输出到区间(1，)上.若希望输出的值增加0.5，即 Tanh(x)-Tanh(x)=0.5,则与x2-x的最小值最接近的是（参考数据：h2≈0.69，n3≈1.10，h5≈1.61） () A.0.26 B.0.41 c.0.51 D.1.10 14.(2026重庆·二模)若经过点(0，-2)的直线1既与曲线y=lhx相切，也与曲线y=e*-a(a∈R)相切， 则a=() 91/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.1 C.2 D.e 15. (2026湖南怀化模拟预测)已知点A(:,),B(3,乃)，定义d4=V(:-当)}+(：-4)为A,B的 “镜像距离'若点A,B在曲线y=e-2+a上，且d4s的最小值为2，则实数a的值为() A.1-√2 B.1+2 C.1-2W2 D.1+2W2 【答案】B 3 16. (2026云南模拟预测)已知点P(c列满足：e1-血(3x+4y≤L,是函数y=n1-图象上 任意一点，则P②的最小值为() B. 2-5 c: D. 4 5 5 17.(2026·重庆永川模拟预测)函数f(x)=sin @x+√2cosx(o>0)对应的图象如图，点A为图象与x轴 的交点，点B为图象的最高点，点C为图象的最低点，若ABAC=0,则⊙的值为() A.2 B.Z C. D.π 18.(2026湖北荆州模拟预测)已知ld=25=1,ā-b=0,向量m,n满足m++m-d=25, -6b.+8=0,则m-的最大值为() A.5 B.√21 C.V14+1 D.V 2 -+1 19.(2026-陕西铜川：三模)已知函数f)=simx-V3cos0x(@>0),g(x)=fx+】 假如M, 30 N,P是曲线y=f(x),y=g(x)上从左往右依次连续相邻的三个交点，∠MPN<90°，则o的取值范围 是() D.(3元+) 92/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M·pus7ums=9存+ㄉ=7D繁⑦收喉卫（中雅晖跟粤90正 {bn}的前2026项和为（ .2027 1013 B. C. 2025 D.506 4 2 4 21.(25-26高三上·湖南娄底·期末)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sm,S,=12,S=120.若 么=a--小不等武-（经2） <(-1)”2恒成立，则实数1的取值范围为() D. 617 132 22. (2026云南保山·二模)平行六面体ABCD-AB,C,D所有棱长都相等，AB=4,点A在底面ABCD 的投影为BD中点，且直线AA与底面ABCD夹角为45°，则三棱锥A-ABD的外接球被平面BCCB截得 的截面面积为() A.16元 B.4π C.2π 3 D.4x 3 23.(2026河南开封·模拟预测)图1是一个边长为2的正三角形纸片MPQ,沿虚线剪掉三个角处的四边 形，剩余部分沿△ABC1的三条边折叠成一个正三棱柱ABC-ABC1（无盖)，如图2，当正三棱柱 ABC-AB,C1的体积最大时，异面直线AC与BG所成角的余弦值为() B B 图1 图2 A. 2V5 B 3 c.2W2 D. 7 7 7 24.(2026云南玉溪·模拟预测)四面体ABCD的各顶点均在同一个球面上，且 AD=CD=AB=CB=√，当四面体ABCD的体积最大时，该球的表面积为() A.5π B.6π c. 25 D.8π 4 25.(2026江西宜春.一模)在平面直角坐标系中，有一系列点4(4，b),A(,b),,A（a,bn), n∈N广，且所有的点均在函数y=√(x>0)的图象上，已知以点A,为圆心的⊙A,均与y轴相切，且⊙A与 931/173 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ⊙A外切，4，>a,若4=1，且对meN,不等式(2-)a,≥ 1)” 恒成立，则实数入的取值范围为 2 () A.As 2 C. D.≤1 2 26226前三下湖有阶段检》已知双自我C手若-1(a>06>0的大，有年有分别为瓦，3为 C上异于实轴端点的动点，若tam∠FP坚 2 sm∠P-手，则C的离心率e的取值范围为() A.(12) B.(2,3) C.(1,3) D.(1,4) 2况.2026安敬溺二模)有公共在点P的数物线广=2p0)与椭图号+若-1e6>0)相交于 M,N两点，且M匝//FN,则椭圆的离心率为() A.5-1 B.5-1 2 C.2-1 D.5 2 2 28.(25-26高三下·陕西商洛·期中)某展馆中有一个灯光走廊，它是由9块感应发光地板砖组成的如图所 示，每块地板砖只有“亮”与“不亮”两种状态，踩踏地板砖一次，将导致自身和所有相邻的地板砖中的灯的状态 发生改变（例如，在全部地板砖均为不亮”的状态下，踩踏E地板砖时，E地板砖亮起，周围的B,D,F,H地板 砖也发亮，其他地板砖仍保持“不亮”状态).若初始时地板砖都为“不亮”状态，第一次先踩踏E地板，要使得最 终只有E地板砖亮起，则需要踩踏地板砖的最少次数为() A D G H A.3 B.4 C.5 D.6 29. (25-26高三上四川成都月考)某校的教学楼每层楼有13级台阶，一名教师从一楼到二楼，每次可 以选择跨1级、2级、3级台阶，但固定最后一步不能跨3级台阶（避免台阶过高摔倒），那么该教师一 共有()种不同的走法， A.1049 B.1144 C.1431 D.1705 30.(2026·广西桂林一模)当今社会，每天都有海量信息通过网络等渠道快速传播，虽提供了丰富知识 和多样视角，但也存在信息过载、虚假信息等问题，需要我们谨慎筛选辨别信息熵是信息论中的一个重要 94/173 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 概念，它是由克劳德·艾尔伍德，香农在20世纪40年代提出，借鉴了热力学的概念，信息熵的数学定义为 H(X)=-2g,其中(X)表示随机变量X的信息痛，随机变量X所有可能的取值为L2,3”, P(X=)=2>0位=1,2,3，，且∑2=1.若随机变量X所有可能的取值为1,2，P(X=1)=p,若 P传)则x约信息箱)的值所在的区间为(）《参考数话：2e069,B=1山0) A.(0.4,0.5) B.(0.5,0.6) C.(0.6,0.7) D.(0.7,0.8) 二、多选题 31.(2026河南开封模拟预测)已知f(x)是定义在R上的非常数函数，f)=2, [f(x-)]”=[f(x+)],则() A.f(0)=1 B.f(x)是偶函数 C.f(1)f(-1)=f(7)f(-7) n.翠-29 3 32.(2026江西上饶·二模)高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家.他被认为 是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉.高斯函数y=[x],[x]表示不超过x的最大整数，如 [3.5=3,[-2.7]=-3,则() A.对于x,yeR,有[x]+[y]s[x+ys[]+[y]+1 B.f(x)=x[x]+1是单调函数 C.方程[y]=[x[y]+2026有无数组解 D.方程lg2x-[gx]-2=0共有2个不等的实数根 33.(2026山西太原·二模)已知函数f(x)=xe-x,则下列结论正确的是（) A.当m=0时，f(x)的最小值为-e B.若f(x)有两个极值点，则实数m的取值范围为 C.当m≤-1时，f(x)的值域为R D.若存在m∈(O,+o),使得f(x)≥k-m成立，则实数k的最大值为© 34.(2026河南开封模拟预测)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,其中 95/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 sin40° tan A= +4sn20°，角A的平分线交BC于点D,且AD=2,则下列说法正确的是() 1+cos40° A.∠BAC=60° B.1+1=B bc 2 C.b+c的最小值为4W3 D.△4BC内切题半径的最大植为号 35.(2026果龙江哈尔滨三模)已知数列a}满足a-74,仙≥2，且4=3，则下列结论正确 2n+1- 的是() A.4.=2n+1 B. 设数列也}满足b,=1 -8, 则{bn}的最大项为b C.设数列 3" 的前n项和为S,则8=2-n+2 3” 4(n+1) D. 设数列 ad+ 的前”项和为8，若从+引，】 则正整数n的最小值为1012 32026 36.(2026四川德阳·三模)在棱长为1的正方体ABCD-ABC1D中， AP=2(A+AD+AA),E(0,1).则下面结论中正确的是（) A.存在1∈(O,1),使得平面ADP/平面BCD B.元=是AC1平面4DP的充要条件 3 C.S,S2分别是△ADP在平面AB,CD,平面BBCC上的投影图形的面积，对任意元∈(0,1)，都有 S≠S D.任意AE(Q,),△4DP的面积不等于 6 37.(2026河北保定二模)定义M0m)是自然数n的所有因数中的最大奇数，记S()=∑M(),，则 () A.M(100)+M(99)=124 B.S(10)=35 C.M(.2")=M(n D.s(25-1）=45-」 3 38.(2026浙江杭州·二模)选取正方体表面上两个不同的点P,Q,定义第k次操作k(Θ)为将正方体 绕直线P?旋转日角”.则经过下列操作，正方体可能与自身重合的有() 96/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.T,(90),T2(180) B.「1(40)，Γ2(40°)，3(40) C.T1(90),T2(60) D.1(75),T2(15),T3(60) 39.(2026湖南一模)在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，F是棱AB,的中点，Q为正方体 ABCD-AB,C,D表面上的一个动点（含边界），则下列说法中正确的是() A.过A,F,C的平面截该正方体所得的截面图形的周长为25+3√5 B.若P为棱B8的中点，且A211平面4PD,则线段C2的最小值为5 C.若Q是正方形BCCB,内的一个动点，且满足AQ⊥DF,则动点Q的轨迹是一条线段 D.若P为棱BB的中点，则四面体D-AFP外接球的表面积为11π 40.(2026浙江温州·二模)若曲线T满足条件：存在正数α和点PET,对于任意点A∈T,总存在点 B∈厂，使得PAPB=a,则称该曲线是“a-封闭曲线”，则下列曲线是“a-封闭曲线”的是() A.2x2+y2=1 B.x2+x=1 C.x2+y2=sin2x+cosy D.sin(x+2y)=2x-y 41.(2026·福建二模)己知抛物线C:y2=2px的焦点为F(1,0),过P(-1,0)的直线1交C于AB两点， 直线AF交C于另一点D,则() A.tan∠APF=sin∠AFP B.△APD的内心在定直线上 C.若tan∠APD=2√2，则AF=4 D.若sin∠AB=sin∠PB,则△ABr的面积为4 3 42.(2026重庆模拟预测)已知椭圆C:写+-1的左、右焦点分别为，及，P(6,）是椭圆C上 异于左、右顶点的一点，下列说法正确的有() A.△耳P耳的周长为25+4 97/173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.若A1,0,则PA的最小值为√5-1 C.满足△耳P耳是直角三角形的点P有8个 D.本的最大值为四 11 43.（25:26高三下陕西商洛期中)已知双曲线7：兰 a2-4 =1(a>0)的左、右焦点分别为耳，耳，坐标 原点为O,过点R(-√5,0)且斜率不为0的直线与双曲线T的左、右两支分别交于点B和点A,AB的中点为 D,则下列说法正确的有() A.a=3 B.AF +BF >2OD C.若BD=|B,则AE+BE<2AB D.若射线D是∠AFB的平分线，则ED=22 44.(2026·陕西西安·模拟预测)声音是由物体振动产生的声波.纯音的数学模型是函数y=Asinat,我 们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为y=sinx+】sin2x+sin3x+, i记f(y)=simx+.sin2x+3sin3x++上sinx(neN),则（) 2 3 A.方(x)在区间[0,2π]上有3个零点 B.5(x)的最小正周期为π C.fn（x)的图象关于点(m,0)(k∈Z)中心对称 D.()的最大值为上+22 23 1 45.(2026山东聊城二模)设函数f(x)=cos(sinx) cos(sinr),则() A.函数f(x)的最小正周期为2π B.函数f(x)的图象关于直线x=π对称 C.函数f(y在区间0，上单调递增 D.当2<m 3W2时，方程f(y)=m在区间[元，2可上所有实根的和为3n 2 46.(2026河南濮阳·二模)己知定义在(0，+w)上的函数f(x)满足：fx+1)=2f(x)+[x],其中[x]表示不 98/173 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 超过x的最大整数.当x∈(0，时，f(x)=xnx,设数列{a}满足a.=fm,数列{bn}为f(x)从小到大 第个极小值点构成的数列，下列说法正确的是() A.数列{an+n+1}为等比数列 B.k∈N,使得a>2-2 C.数列{，}的通项公式b=n-1+上 D.neN,都有f(bn)<0 47.(2026重庆九龙坡·二模)已知函数f(x)=x-3x+m(m∈R),则() A.存在m,使得f(x)在R上是单调函数 B.若∫(x)有三个不同的零点，则-2<m<2 C.当=2时，过原点且与曲线y=f(x)相切的直线恰有一条 D.若f(f(x)=0恰有9个不同的实数根，则m的取值范围关于原点对称 2026湖北鄂州模拟预测)若直线y=a与两条曲线f(=xe2“和g(9=，共有四个不同的 点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，书2，，x4,则() A.-22<a<0 B.e21=x3 C.,3,x3,x4成等比数列 D.为3=XX4 49.(2026广东清远·二模)已知函数f(x)=n-a,g(x)=xh(x)=-x+x2-2x+1,设m(x)=f(x)+ (g(x),则下列说法正确的是() A.用[x]表示不大于x的最大整数，若F(x)=g([x]),则F(x+I)>F(x)恒成立 B.若关于x的方程m(x)=0与h(x)=0的实数根相同，则a=1 C.若∫(x)存在两个零点，x,则x=1 D.若方涯=0在。上无样，则：的取值能足1如+。+) 50.(25-26高三上·福建开学考试)已知信道内传输0,1数字信号需经历多个节点，且每个节点的信号 传输相互独立.当第(i∈N)号节点发送0时，第i+1号节点收到1的概率为(0<<1)，收到0的概率为 1-o:当第i号节点发送1时，第i+1号节点收到0的概率为B(0<B<1),收到1的概率为1-B.设当基 站（记为0号节点）依次发送信号1,0时，第n号节点依次接收到的信号仍是1,0的概率为Pn,则 991173 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 () A若a=日分则分-号 B.若a=A-分则月- 1 81 C苦a=A-日则及= D.若0=B专则公号 1 冲刺02填空题压轴预测30题 1.(2026安徽芜湖·二模)已知集合A=1,2,…,10}共有k个三元子集任意一个三元子集 T={x,y,x<y<,i∈1,2，…k},定义m(T)=y.则∑m(T)= 1s1 2.(25-26高三下·北京·阶段检测)已知函数f(x)= (2-0(x-+1x>1'其中a>0且a≠1.若关于x的 1a-1l,x≤1 方程f(x)=a-3恰有三个不相等的实数根x,x2,3,则a的取值范围为，且++53的取值范围为 3.(2026河北唐山·二模)已知欧拉函数p)n∈N)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的 正整数的个数，创：0=1以)=2：记架合25子<96)mN中元泰个效为<，则数 列{nc,}前n项和为 4.(25-:26高三下重庆期中)若对任意的x∈(0，+om）,恒有e+a≤1-2血r 2二，则实数a的取值范围为 5.(2026浙江·三模)设关于x的方程12x2+e2x-7xe=0(e为自然对数底数)有n个不相等的实数解 x=12,n),则∑nx-)= i=1 6.(2026:宁夏银川三模)在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间y(单位：小时)与贮藏温度x(单 位：℃)之间满足：y=eax+（其中a,b为常数).若该蔬菜在贮藏温度x为9℃的环境下保鲜时间y为261 小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时.若该蔬菜运输总物流时间为87小时，为保障运输安全，要求保 鲜时间不少于运输时长的1.2倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度x的最大整数数值为 一·（参考 100/173