第八章立体几何初步：8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系核心基础知识清单（含PDF可直接打印）高一数学人教A版必修第二册

8.4空间点、直线、平面之间的位置关系 1.平面的基本概念与性质 (1)平面的定义与特征 ·定义：平面是从实际物体（如课桌面、黑板面）中抽象出来的无限延展的几何图形，没有厚薄、大小 之分。 ·核心特征：①平的：②无限延展：③无厚薄、无边界。 。 空间作用：一个平面可将空间分成两部分。 (2)平面的基本事实（公理） 基本事实 内容 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即不 确定平面的依据；证明点、线共面 共线三点确定一个平面) 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线 判定直线在平面内的依据 在此平面内 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且 判定两个平面相交的依据；证明点 只有一条过该点的公共直线（交线） 在直线上（交线） (3)三个推论（平面基本事实的延伸） 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 典型例题 例1下列叙述中正确的是() A.三点M、N、P能确定一个平面 B.若点A∈x,A∈B且a∩B=a,则A∈a C.若直线l⌒m=P，则直线l与直线m能够确定一个平面 D.若点P∈l,N∈l,且P∈，N∈a,则Ic 【答案】BCD 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A,不共线的三点确定一个平面，故A错误； 对于B,若点A∈，A∈B且⌒B=a,则由公理二知A∈a,故B正确： 对于C,两条相交直线可以确定一个平面，故C正确： 对于D,若点P∈l,N∈l,且P∈，N∈a,则由公理一知lca,D正确. 故选：BCD 2.空间中直线与直线的位置关系 (1)位置关系分类（按共面性和公共点） 位置关系 共面情况 公共点个数 示例（正方体ABCD-A1B1C1D1) 相交直线 共面（同一平面内） 有且只有一个 AB与BC(交于B) 平行直线 共面（同一平面内） 无 AB与A1B1 异面直线 不同在任何一个平面内 无 AB与A1D1 (2)异面直线的核心概念 定义：不同在任何一个平面内的两条直线（既不平行也不相交）。 异面直线所成的角： a.定义：经过空间任一点0，分别作直线a'Ia、b'Ib,a'与b所成的锐角（或直角）叫做异面直 线a与b所成的角。 b.取值范围：0°<0≤90°(0=90°时，称两异面直线垂直，记作aLb)。 c.求法：“平移法”一通过平移将异面直线转化为相交直线，构造三角形求解。 典型例题 例2如图，正方体ABCD-AB,CD中，异面直线AB与AD所成角为() D A.30 B.45 C.60 D.90 【答案】C 【详解】如上图，连接CD、AC,,在正方体ABCD-AB,CD中，AD/1BC,AD=BC,∴.四边形 ABCD是平行四边形，∴.AB1/CD,又，CD∩AD,=D,∴.∠AD,C(或其补角)就是异面直线AB与 AD所成角，设正方体棱长为1，则在正方形ADDA中对角线AD=√2，在正方形ABCD中对角线 AC=√2，在正方形CDD,C中对角线CD=√2，，△ACD是等边三角形，∴∠ADC=60°故选：C. D B D 例3如图，在三棱锥D-ABC中，AC=BD,且AC L BD,E,F分别是棱DC,AB的中点，则EF和 AC所成的角等于 D F A.30° B.45° C.60° D.90° 【答案】B 【详解】如图所示，取BC的中点G,连接FG,EG.E,F分别是CD,AB的中点，：FG∥AC, EG∥BD,且FG=AC,EG=BD.∠EFG为EF与AC所成的角.又：AC=BD,:FG=EG.又 AC⊥BD,.FG⊥EG,.∠FGE=90°，.△EFG为等腰直角三角形，.∠EFG=45°，即EF与AC所 成的角为45°.故选：B. D 3.空间中直线与平面的位置关系 (1)位置关系分类（按公共点个数） 位置关系 公共点个数 定义 符号表示 直线在平面内 无数个 直线上所有点都在平面内 lca 直线与平面相交 有且只有一个 直线与平面有且仅有一个 L∩x=A 公共点（交点） 直线与平面平行 无 直线与平面没有公共点 Illa 注：直线与平面相交或平行的情况统称为“直线在平面外”，符号表示为l车。 典型例题 例4已知点A∈直线L,又A∈平面，则() A.Ica B.L∩=A C.Ill a D.lca或ln=A 【答案】D 【解析】点A是直线l与平面aα的公共点，若直线上还有其他点在α内，则lca《:若直线l上只有A在a内， 则l∩a=A,故选D。 4.空间中平面与平面的位置关系 (1)位置关系分类（按公共点情况） 位置关系 公共点情况 定义 符号表示 两个平面平行 无 两个平面没有公共 allB 点 两个平面相交 有一条公共直线 两个平面有且只有 anB=1 条公共直线（交 线) 典型例题 例5下列叙述中，正确的是(). A.因为P∈a,Q∈a,所以PQ∈a B.因为P∈u,Q∈B,所以a∩B=PQ C.因为ABCa,C∈AB,D∈AB,所以CD∈a D.因为ABc,ABCB,所以∩B=AB 【答案】D 【详解】A:因为P∈o,Q∈a,所以PQc,故A错误： B:因为P∈ow,Q∈B,所以c⌒B=PQ或ax11B,故B错误： C:因为ABC,C∈AB,D∈AB,所以CDCC,故C错误： D:因为ABC,ABcB,所以∩B=AB,故D正确 故选：D 二、二级结论与解题技巧方法 1.平面确定的常用技巧 (1)“三点定面”：优先找不共线的三点（如三角形的三个顶点），直接确定平面。 (2)“线线定面”： 。相交直线（推论2）或平行直线（推论3）直接确定一个平面； 。直线与直线外一点（推论1）：先找直线上两点，与直线外一点构成不共线三点，再确定平面。 (3)“共面证明”：证明多条直线共面，可先由两条直线确定一个平面，再证明其他直线上有两点在该平面 内（基本事实2）。 2.异面直线的判断与夹角求解技巧 (1)异面直线判断方法： 定义法：直接判断两条直线不同在任何一个平面内（多用于否定性判断）： 排除法：排除平行和相交，剩余即为异面直线： 模型法：利用正方体、长方体等模型，直观判断（如正方体中面对角线与体对角线多为异面直线）。 (2)异面直线夹角求解三步法”： 平移：选择合适的点（如中点、顶点），将两条异面直线平移为相交直线（常用中位线、平行四边形 性质平移)： 定角：相交直线所成的锐角（或直角）即为异面直线所成的角： 求角：构造含该角的三角形，利用勾股定理、余弦定理求解。 3.位置关系判断的核心技巧 (1)直线与平面位置关系： 直线在平面内：需证明直线上有两个不同点在平面内； 直线与平面平行：需证明直线与平面无公共点（或利用后续判定定理）： 直线与平面相交：需证明直线与平面有且只有一个公共点。 (2)平面与平面位置关系： 平行：需证明两平面无公共点： 相交：需证明两平面有一个公共点（由基本事实3，必有一条交线）。 4.符号表示规范技巧 点与线、面：用∈”（属于）或“”（不属于）： 线与面、面与面：用“c”（包含于)或“”（不包含于）： 线与线、线与面、面与面的交点：用“n”(交)表示，如l∩=A。 三、易错点拨 1平面概念误解：误认为平面是“有边界的图形'，忽略其“无限延展的特征，导致判断直线与平面位置关 系时出错（如认为“直线超出平面图形范围就是与平面平行”）。 2基本事实应用错误： 误用基本事实1：认为“三点一定确定一个平面”，忽略“不共线”的前提； 误用基本事实3：认为“两个平面有公共点，则两平面相交于该点”，忘记交线是“过该点的直线”。 3异面直线判断错误： 将“不同在一个平面内”误解为“不同在某一个平面内”，忽略“任何”二字（如正方体中AB与A1B1虽不在 底面ABCD内，但在平面ABB1A1内，故不是异面直线)： ·混淆“异面直线”与“垂直直线”：异面直线可能垂直，但垂直直线不一定是异面直线（共面相交也可垂 直)。 4.符号表示混淆： 混淆∈与“C”:如将“直线l在平面内表示为l∈a(正确为lc): 混淆“交线与“交点”：如将两平面交线表示为a∩B=A(正确为anB=)。 5异面直线夹角范围错误：将夹角范围误认为0°≤0≤90°，忽略“异面直线不共面，故夹角不能为0，(0° 对应平行直线)。 四、重难题型突破 突破1：异面直线夹角综合求解 在直棱柱ABC-AB,C中，AB⊥BC,其中AB=BC=BB,=2,点D是AC的中点，则异面直线AB与BD 所成角的大小为() C A. 3 B. 4 c D. 【答案】A 【详解】取AC的中点D,连结DD,AD,:DD,/IAA/IBB,且DD=AA=BB,∴.四边形BDDB是 平行四边形，BD11B,D,则异面直线AB与BD所成角是∠AB,D或其补角，AB=V2+2=2√反， BD=4G=E,A0=2(可-6，则c∠ABD (+2-(6=1,所以 2×√2×2√2 ☑ABD= 3， 所以异面直线AB与BD所成角的大小为二.故选：A. D 突破2：空间点、线、面共面与共线证明 直线l上两点A,B到平面的距离相等且均为5，直线l与平面a的关系可能为() A.平行 B.直线l在平面a内C.相交 D.以上三种情况都可能 【答案】AC 【详解】直线I上两点A,B到平面的距离相等且均为5，显然l文a,BD错误： 当点A,B在平面C的同侧时，l/a,A正确： 当点A,B在平面a的异侧时，直线l与平面相交，C正确 故选：AC 突破3：正方体展开图中位置关系判断 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中() A.AE//CD B.DG⊥BH C.CH与DE是异面直线D.BG与DE所成的角为9O° 【答案】BCD 【详解】还原之后如图所示： 选项A:显然AE与CD不平行，错误： 选项B:DG⊥CH,DG⊥BC,故DG⊥BH,正确： 选项C:显然CH与DE异面，正确： 选项D:AH⊥DE,AHIIBG,故BG⊥DE,正确： 故选：BCD. 8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 1. 平面的基本概念与性质 （1）平面的定义与特征 • 定义：平面是从实际物体（如课桌面、黑板面）中抽象出来的无限延展的几何图形，没有厚薄、大小之分。 • 核心特征：①平的；②无限延展；③无厚薄、无边界。 • 空间作用：一个平面可将空间分成两部分。 （2）平面的基本事实（公理） 基本事实 内容 作用 基本事实1 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面（即不共线三点确定一个平面） 确定平面的依据；证明点、线共面 基本事实2 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 判定直线在平面内的依据 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（交线） 判定两个平面相交的依据；证明点在直线上（交线） （3）三个推论（平面基本事实的延伸） • 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。 • 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 • 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 典型例题 例1下列叙述中正确的是（    ） A．三点能确定一个平面 B．若点且，则 C．若直线，则直线与直线能够确定一个平面 D．若点，且，则 【答案】BCD 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，不共线的三点确定一个平面，故A错误； 对于B，若点且，则由公理二知，故B正确； 对于C，两条相交直线可以确定一个平面，故C正确； 对于D，若点，且，则由公理一知l⊂α，D正确. 故选：BCD． 2. 空间中直线与直线的位置关系 （1）位置关系分类（按共面性和公共点） 位置关系 共面情况 公共点个数 示例（正方体） 相交直线 共面（同一平面内） 有且只有一个 与（交于） 平行直线 共面（同一平面内） 无 与 异面直线 不同在任何一个平面内 无 与 （2）异面直线的核心概念 • 定义：不同在任何一个平面内的两条直线（既不平行也不相交）。 • 异面直线所成的角： a. 定义：经过空间任一点，分别作直线、，与所成的锐角（或直角） 叫做异面直线与所成的角。 b. 取值范围：（时，称两异面直线垂直，记作）。 c. 求法：“平移法”——通过平移将异面直线转化为相交直线，构造三角形求解。 典型例题 例2如图，正方体中，异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如上图，连接、，∵在正方体中，，，∴四边形是平行四边形，∴，又∵，∴（或其补角）就是异面直线与所成角，设正方体棱长为1，则在正方形中对角线，在正方形中对角线，在正方形中对角线，∴是等边三角形，∴..故选：C. 例3如图，在三棱锥中，，且，E，F分别是棱，的中点，则EF和AC所成的角等于 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】B 【详解】如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG．，F分别是CD，AB的中点，，，且，．为EF与AC所成的角．又，．又，，，为等腰直角三角形，，即EF与AC所成的角为45°．故选：B． 3. 空间中直线与平面的位置关系 （1）位置关系分类（按公共点个数） 位置关系 公共点个数 定义 符号表示 直线在平面内 无数个 直线上所有点都在平面内 直线与平面相交 有且只有一个 直线与平面有且仅有一个公共点（交点） 直线与平面平行 无 直线与平面没有公共点 注：直线与平面相交或平行的情况统称为“直线在平面外”，符号表示为。 典型例题 例4已知点直线，又平面，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】点是直线与平面的公共点，若直线上还有其他点在内，则；若直线上只有在内，则，故选D。 4. 空间中平面与平面的位置关系 （1）位置关系分类（按公共点情况） 位置关系 公共点情况 定义 符号表示 两个平面平行 无 两个平面没有公共点 两个平面相交 有一条公共直线 两个平面有且只有一条公共直线（交线） 典型例题 例5下列叙述中，正确的是（   ）． A．因为，，所以 B．因为，，所以 C．因为，，，所以 D．因为，，所以 【答案】D 【详解】A：因为，所以，故A错误； B：因为，所以或，故B错误； C：因为，所以，故C错误； D：因为，所以，故D正确. 故选：D. 二、二级结论与解题技巧方法 1. 平面确定的常用技巧 （1）“三点定面”：优先找不共线的三点（如三角形的三个顶点），直接确定平面。 （2）“线线定面”： ￮ 相交直线（推论2）或平行直线（推论3）直接确定一个平面； ￮ 直线与直线外一点（推论1）：先找直线上两点，与直线外一点构成不共线三点，再确定平面。 （3）“共面证明”：证明多条直线共面，可先由两条直线确定一个平面，再证明其他直线上有两点在该平面内（基本事实2）。 2. 异面直线的判断与夹角求解技巧 （1）异面直线判断方法： 定义法：直接判断两条直线不同在任何一个平面内（多用于否定性判断）； 排除法：排除平行和相交，剩余即为异面直线； 模型法：利用正方体、长方体等模型，直观判断（如正方体中面对角线与体对角线多为异面直线）。 （2）异面直线夹角求解“三步法”： 平移：选择合适的点（如中点、顶点），将两条异面直线平移为相交直线（常用中位线、平行四边形性质平移）； 定角：相交直线所成的锐角（或直角）即为异面直线所成的角； 求角：构造含该角的三角形，利用勾股定理、余弦定理求解。 3. 位置关系判断的核心技巧 （1）直线与平面位置关系： 直线在平面内：需证明直线上有两个不同点在平面内； 直线与平面平行：需证明直线与平面无公共点（或利用后续判定定理）； 直线与平面相交：需证明直线与平面有且只有一个公共点。 （2）平面与平面位置关系： 平行：需证明两平面无公共点； 相交：需证明两平面有一个公共点（由基本事实3，必有一条交线）。 4. 符号表示规范技巧 点与线、面：用“”（属于）或“”（不属于）； 线与面、面与面：用“”（包含于）或“”（不包含于）； 线与线、线与面、面与面的交点：用“”（交）表示，如。 三、易错点拨 1.平面概念误解：误认为平面是“有边界的图形”，忽略其“无限延展”的特征，导致判断直线与平面位置关系时出错（如认为“直线超出平面图形范围就是与平面平行”）。 2.基本事实应用错误： 误用基本事实1：认为“三点一定确定一个平面”，忽略“不共线”的前提； 误用基本事实3：认为“两个平面有公共点，则两平面相交于该点”，忘记交线是“过该点的直线”。 3.异面直线判断错误： •将“不同在一个平面内”误解为“不同在某一个平面内”，忽略“任何”二字（如正方体中与虽不在底面内，但在平面内，故不是异面直线）； •混淆“异面直线”与“垂直直线”：异面直线可能垂直，但垂直直线不一定是异面直线（共面相交也可垂直）。 4.符号表示混淆： •混淆“”与“”：如将“直线在平面内”表示为（正确为）； •混淆“交线”与“交点”：如将两平面交线表示为（正确为）。 5.异面直线夹角范围错误：将夹角范围误认为，忽略“异面直线不共面，故夹角不能为”（对应平行直线）。 四、重难题型突破 突破1：异面直线夹角综合求解 在直棱柱中，，其中，点是的中点，则异面直线与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点，连结，，，且，四边形是平行四边形，，则异面直线与所成角是或其补角， ，，，则，所以，所以异面直线与所成角的大小为.故选：A. 突破2：空间点、线、面共面与共线证明 直线上两点到平面的距离相等且均为5，直线与平面的关系可能为（    ） A．平行 B．直线在平面内 C．相交 D．以上三种情况都可能 【答案】AC 【详解】直线上两点到平面的距离相等且均为5，显然，BD错误； 当点在平面的同侧时，，A正确； 当点在平面的异侧时，直线与平面相交，C正确. 故选：AC 突破3：正方体展开图中位置关系判断 下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（    ） A． B． C．与是异面直线 D．与所成的角为90° 【答案】BCD 【详解】还原之后如图所示： 选项A：显然与不平行，错误； 选项B：，，故，正确； 选项C：显然与异面，正确； 选项D：，，故，正确； 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公司 $