第八章立体几何初步：8.3简单几何体的表面积与体积核心基础知识清单（含pdf可直接打印）高一数学人教A版必修第二册

8.3 简单几何体的表面积与体积 知识清单 一、基本概念与公式 1. 表面积相关核心定义与公式 （1）多面体的表面积 •定义：多面体的表面积 = 所有面的面积之和（底面面积 + 侧面面积），即 。 •常见多面体表面积公式： 几何体 表面积公式 关键说明 长方体 （ 为长、宽、高） 6个矩形面面积之和 正方体 （ 为棱长） 6个正方形面面积之和 直棱柱 （ 为底面周长， 为高） 侧面展开图是矩形，面积 = 底面周长×侧棱长（直棱柱侧棱长 = 高） 正棱锥 （ 为斜高） 侧面展开图是全等的等腰三角形，单个侧面面积 = 正棱台 侧面展开图是全等的等腰梯形，单个侧面面积 = （2）旋转体的表面积 •定义：旋转体的表面积 = 底面面积 + 侧面面积（圆柱、圆锥、圆台）；球的表面积 = 4倍大圆面积。 •常见旋转体表面积公式： 几何体 表面积公式 关键说明 圆柱 （为底面半径，为高） 侧面展开图是矩形，面积 = 圆锥 （ 为母线长，） 侧面展开图是扇形，面积 = （扇形弧长 = 底面圆周长 ） 圆台 （ 为上下底半径， 为母线长） 侧面展开图是扇环，面积 = 球 （ 为球的半径） 球面面积 = 4倍大圆面积（大圆：过球心的截面圆） 2. 体积相关核心定义与公式 （1）多面体的体积 •定义：体积是几何体所占空间的大小，核心原理：柱体体积 = 底面积×高，锥体体积 = 。 •常见多面体体积公式： 几何体 体积公式 关键说明 长方体 （为长、宽、高） 底面积×高（任意一面均可作为底面） 正方体 （为棱长） 底面积×高（棱长×棱长×棱长） 棱柱（直/斜） (为两底面间的垂直距离，即高) 斜棱柱体积 = 直截面面积×侧棱长，本质仍为“底面积×高” 棱锥 (为顶点到底面的垂直距离) 同底同高的棱柱体积是棱锥体积的3倍 棱台 由棱锥截得，高为两底面间的垂直距离 （2）旋转体的体积 •常见旋转体体积公式： 几何体 体积公式 关键说明 圆柱 （ 为底面半径， 为高） 底面积×高（圆的面积 ） 圆锥 （ 为底面半径， 为高） 同底同高的圆柱体积是圆锥体积的3倍 圆台 为上下底半径，为高) 由圆锥截得，高为两底面间的垂直距离 球 （ 为球的半径） 球体体积与半径的立方成正比 二、二级结论与解题技巧方法 1. 表面积计算技巧 （1）“展开法”求侧面积：多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的侧面积均可通过“侧面展开图”转化为平面图形（矩形、扇形、扇环、三角形、梯形）面积计算，核心是找到展开图的关键边长（如底面周长、母线长、斜高）。 （2）“补形法”求组合体表面积：对于挖去或拼接形成的组合体（如长方体挖去四棱锥），表面积 = 原几何体表面积 ± 新增/减少的面的面积（挖去时需减去重合面的面积，拼接时需减去贴合面的面积）。 （3）旋转体表面积快速判断：圆柱、圆锥、圆台的侧面积均含 （或 ），牢记“母线长 是侧面展开图的关键边长”，避免与高 混淆。 2. 体积计算技巧 （1）“等体积法”转化底高：对于三棱锥，可任意选择一个面作为底面，通过转换底面和高简化计算（如），适用于顶点到底面距离难以直接求解的情况。 （2）“补形法”求不规则几何体体积：将不规则几何体（如截去一部分的圆柱）补成规则几何体（如完整圆柱），再用“整体体积 - 补形体积”计算。 （3）“比例法”求相似几何体体积：若两个几何体相似（如相似棱锥、相似圆锥），体积比 = 相似比的立方，表面积比 = 相似比的平方。 （4）球的截面与体积关系：若球的半径为 ，截面圆半径为 ，球心到截面距离为 ，则 ，可通过此公式求球半径，进而计算体积/表面积。 3. 实际问题解题技巧 （1）建模转化：将实际问题（如粮堆、礼品盒、沙漏）转化为熟悉的几何体（圆锥、长方体、球），提取关键参数（底面半径、高、棱长）。 （2）最值问题：利用函数思想，结合几何体体积/表面积公式，求参数的最值（如“给定体积的长方体，求表面积最小值”）。 三、易错点拨 1.混淆“斜高”与“高”：正棱锥的侧面积需用“斜高”（侧面等腰三角形的高），而非几何体的高（顶点到底面的垂直距离）；正棱台同理，斜高是侧面等腰梯形的高，不是两底面间的距离。 2.旋转体侧面积公式记错：圆锥侧面积是 （不是 ），圆台侧面积是 （不是 ），牢记“母线长 参与侧面积计算，高 参与体积计算”。 3.组合体表面积漏算/多算：挖去几何体时，容易忽略“挖去部分会新增两个面”（如长方体挖去四棱锥，表面积 = 长方体表面积 + 四棱锥的侧面积）；拼接几何体时，容易重复计算贴合面的面积。 4.球的截面问题忽略“球心到截面距离”：计算球的表面积/体积时，若已知截面圆半径，需先通过 求球半径 ，不可直接用截面圆半径代替球半径。 5.棱台体积公式记错：棱台体积公式含“”，不可遗漏（区别于棱柱、棱锥体积公式）。 6.斜棱柱体积计算错误：斜棱柱的高是“两底面间的垂直距离”，不是侧棱长，体积 = 底面积×高（不是侧棱长×底面积）。 四、典型例题 题型1：多面体的表面积计算 例1 若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于（　　） A．12 B．48 C．64 D．72 【答案】D 【解析】正六棱柱的侧面是6个全等的矩形，每个矩形的长为底面正六边形的边长（3），宽为侧棱长（4），侧面积 ，故选D。 例2 已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为（　　） A．6 B．12 C．24 D．48 【答案】D 【解析】正四棱锥的侧面是4个全等的等腰三角形，斜高 （侧棱长为腰，底面边长的一半为底边的一半），单个侧面面积 ，侧面积 ，故选D。 题型2：旋转体的表面积与体积计算 例3已知圆柱的上、下底面的中心分别为 ，过直线 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（　　） A．12π B．12π C．8π D．10π 【答案】B 【解析】截面是正方形，故圆柱的高 （底面直径 = 高），截面面积 ，解得 ，圆柱表面积 ，故选B。 例4正方体的表面积为96，则正方体的体积为（　　） A．48 B．64 C．16 D．96 【答案】B 【解析】设正方体棱长为 ，则 ，解得 ，体积 ，故选B。 题型3：组合体的体积计算 例5学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD­A1B1C1D1挖去四棱锥O ­EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g. 【答案】118.8 【解析】由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6 cm和4 cm，故V挖去的四棱锥＝××4×6×3＝12(cm3)．又V长方体＝6×6×4＝144(cm3)，所以模型的体积为V长方体－V挖去的四棱锥＝144－12 ＝132(cm3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)． 题型4：球的表面积与体积计算 例6球的体积是 ，则此球的表面积是（　　） A．12π B．16π C． D． 【答案】16π 【解析】设球的半径为 ，由 ，解得 ，表面积 ，故选B。 五、重难题型突破 突破1：几何体表面最短路径与表面积综合 例 如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________． 【答案】. 【解析】将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝＝. 突破2：圆台与圆锥的综合体积计算 例 已知某圆台的上、下底面面积分别是 ，，侧面积是 ，则这个圆台的体积是________。 【答案】 【解析】设上底半径 ，下底半径 ，由侧面积 ，得母线长 ，圆台的高 ，体积 。 突破3：球的截面与外接几何体综合 例 已知球的两个平行截面的面积分别为 和 ，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是（　　） A．4 B．3 C．2 D．0.5 【答案】B 【解析】设球半径为 ，两个截面圆半径分别为 ，，球心到截面的距离分别为 ，，由 ，解得 ，故选B。 突破4：实际问题——沙漏计时与体积综合 例 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）．假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是　　 A．沙漏中的细沙体积为 B．沙漏的体积是 C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为 D．该沙漏的一个沙时大约是1565秒 【答案】AC 【解析】对于，设细沙在上部时，细沙的底面半径为，则，所以细沙的体积为，故正确； 对于，沙漏的体积，故错误； 对于，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，解得，故正确； 对于，该沙漏的一个沙时为：秒，故错误． 故选：． 学科网（北京）股份有限公司 $8.3简单几何体的表面积与体积知识清单 一、基本概念与公式 1.表面积相关核心定义与公式 (1)多面体的表面积 ·定义：多面体的表面积=所有面的面积之和（底面面积+侧面面积），即S表=S底+S侧· 常见多面体表面积公式： 几何体 表面积公式 关键说明 长方体 S=2(ab+bc+ac)(a,b,c为长、宽、高) 6个矩形面面积之和 正方体 S=6a2(a为棱长) 6个正方形面面积之和 直棱柱 S表=2S底+C底·h(C底为底面周长，h为 侧面展开图是矩形，面积=底面周长×侧 高) 棱长（直棱柱侧棱长=高) 正棱锥 S表=S底+C底(N为斜高) 侧面展开图是全等的等腰三角形，单个侧 面面积=×底面边长×斜高 正棱台 1 S表=S上底+S下底+2(C上底+C下底)·h 侧面展开图是全等的等腰梯形，单个侧面 面积-×（底边长+下底边长）×斜高 (2)旋转体的表面积 ·定义：旋转体的表面积=底面面积+侧面面积（圆柱、圆锥、圆台）：球的表面积=4倍大圆面积。 ·常见旋转体表面积公式： 几何体 表面积公式 关键说明 圆柱 S=2πr2+2πrh=2r(r+h)(r为底面半径， 侧面展开图是矩形，面积=2r·h h为高) 圆锥 S=πr2+πrl=πr(r+)(l为母线长，l= 侧面展开图是扇形，面积=rl(扇形 vr2 +h2) 弧长=底面圆周长2πr) 圆台 S=πr2+πR2+π(r+R)l(r,R为上下底半 侧面展开图是扇环，面积=π(r+R)l 径，1为母线长) 球 S=4rR2(R为球的半径) 球面面积=4倍大圆面积（大圆：过球 心的截面圆) 2.体积相关核心定义与公式 (1)多面体的体积 ·定义：体积是几何体所占空间的大小，核心原理：柱体体积=底面积×高，锥体体积=}×底面积×高。 ·常见多面体体积公式： 几何体 体积公式 关键说明 长方体 V=abc(a,b,c为长、宽、高) 底面积×高（任意一面均可作为底面） 正方体 V=a3(a为棱长) 底面积×高（棱长×棱长×棱长） 棱柱（直/斜） V=S底·hh为两底面间的垂直距离，即 斜棱柱体积=直截面面积×侧棱长，本 高) 质仍为“底面积×高” 棱锥 V=S底(h为顶点到底面的垂直距离) 同底同高的棱柱体积是棱锥体积的3倍 棱台 1 V= 5生R+5r度+5*ST) 由棱锥截得，高为两底面间的垂直距离 (2)旋转体的体积 •常见旋转体体积公式： 几何体 体积公式 关键说明 圆柱 V=πr2h(r为底面半径，h为高) 底面积×高（圆的面积πr2×高） 圆锥 V=r2h(r为底面半径，h为高) 同底同高的圆柱体积是圆锥体积的3倍 圆台 V=πh(2+R2+rR)(G,R为上下底半径，h为 由圆锥截得，高为两底面间的垂直距离 3 高) 球 V=πR3(R为球的半径) 球体体积与半径的立方成正比 二、二级结论与解题技巧方法 1.表面积计算技巧 (1)“展开法”求侧面积：多面体（棱柱、棱锥、棱台）和旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的侧面积均可通过 “侧面展开图转化为平面图形（矩形、扇形、扇环、三角形、梯形）面积计算，核心是找到展开图的关键 边长（如底面周长、母线长、斜高）。 (2)“补形法求组合体表面积：对于挖去或拼接形成的组合体（如长方体挖去四棱锥），表面积=原几何 体表面积±新增/减少的面的面积（挖去时需减去重合面的面积，拼接时需减去贴合面的面积）。 (3)旋转体表面积快速判断：圆柱、圆锥、圆台的侧面积均含rl(或π(r+R)),牢记“母线长L是侧面 展开图的关键边长”，避免与高h混淆。 2.体积计算技巧 (1)“等体积法转化底高：对于三棱锥，可任意选择一个面作为底面，通过转换底面和高简化计算（如 Vp-ABc=VA-PBc),适用于顶点到底面距离难以直接求解的情况。 (2)“补形法”求不规则几何体体积：将不规则几何体（如截去一部分的圆柱）补成规则几何体（如完整圆 柱)，再用“整体体积-补形体积计算。 (3)“比例法”求相似几何体体积：若两个几何体相似（如相似棱锥、相似圆锥)，体积比=相似比的立方， 表面积比=相似比的平方。 (4)球的截面与体积关系：若球的半径为R,截面圆半径为r,球心到截面距离为d,则R2=r2+d2, 可通过此公式求球半径，进而计算体积表面积。 3.实际问题解题技巧 (1)建模转化：将实际问题（如粮堆、礼品盒、沙漏）转化为熟悉的几何体（圆锥、长方体、球），提取 关键参数（底面半径、高、棱长）。 (2)最值问题：利用函数思想，结合几何体体积表面积公式，求参数的最值（如给定体积的长方体，求 表面积最小值”)。 三、易错点拨 1.混淆“斜高”与“高”：正棱锥的侧面积需用“斜高”（侧面等腰三角形的高），而非几何体的高（顶点到底面 的垂直距离)；正棱台同理，斜高是侧面等腰梯形的高，不是两底面间的距离。 2.旋转体侧面积公式记错：圆锥侧面积是rl(不是rh),圆台侧面积是π(r+R)l(不是π(r+R)h),牢 记“母线长l参与侧面积计算，高h参与体积计算'。 3组合体表面积漏算/多算：挖去几何体时，容易忽略“挖去部分会新增两个面”（如长方体挖去四棱锥，表 面积=长方体表面积+四棱锥的侧面积)；拼接几何体时，容易重复计算贴合面的面积。 4球的截面问题忽略“球心到截面距离”：计算球的表面积体积时，若已知截面圆半径，需先通过R2= r2+d2求球半径R,不可直接用截面圆半径代替球半径。 5.棱台体积公式记错：棱台体积公式含“S上底·S下底”，不可遗漏（区别于棱柱、棱锥体积公式）。 6斜棱柱体积计算错误：斜棱柱的高是“两底面间的垂直距离”，不是侧棱长，体积=底面积×高（不是侧棱 长×底面积)。 四、典型例题 题型1：多面体的表面积计算 例1若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于() A.12 B.48 C.64 D.72 【答案】D 【解析】正六棱柱的侧面是6个全等的矩形，每个矩形的长为底面正六边形的边长(3)，宽为侧棱长(4)， 侧面积S侧=6×3×4=72，故选D。 例2已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为() A.6 B.12 C.24 D.48 【答案】D 【解析】正四棱锥的侧面是4个全等的等腰三角形，斜高h'=√52一32=4（侧棱长为腰，底面边长的一 半为底边的一半)，单个侧面面积=×6×4=12，侧面积-4×12=48，故选D。 题型2：旋转体的表面积与体积计算 例3己知圆柱的上、下底面的中心分别为01,02，过直线0102的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正 方形，则该圆柱的表面积为() A.12V2元 B.12元 C.8W2π D.10m 【答案】B 【解析】截面是正方形，故圆柱的高h=2r(底面直径=高)，截面面积(2r)2=8,解得r=√2，圆柱 表面积S=2πr2+2πrh=2π×2+2π×√2×2√2=4r+8π=12π，故选B。 例4正方体的表面积为96，则正方体的体积为（) A.48V6 B.64 C.16 D.96 【答案】B 【解析】设正方体棱长为a,则6a2=96,解得a=4,体积V=a3=43=64,故选B。 题型3：组合体的体积计算 例5学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD-A1B1CD1挖去四棱 锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6 cm,AA1=4cm.3D打印所用原料密度为0.9gcm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 D 【答案】118.8 11 【解析】由题知挖去的四棱锥的底面是一个菱形，对角线长分别为6m和4m,故【去幽四#一×乞 ×4×6×3=12(cm).又V长方体=6×6×4=144(cm),所以模型的体积为V长方体一V挖去的圆棱维=144一12 =132(cm),所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9=118.8(g). 题型4：球的表面积与体积计算 例6球的体积是号π，则此球的表面积是（) A.12元 B.16元 C. D. 【答案】16m 【解析】设球的半径为R,由πR3=号π，解得R=2,表面积S=4rR2=4r×4=16m,故选B。 五、重难题型突破 突破1：几何体表面最短路径与表面积综合 例如图所示，在所有棱长均为1的三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点 A1,则爬行的最短路程为 C 小 【答案】√10. 【解析】将三棱柱沿AA展开如图所示，则线段A0即为最短路线，即A0=√AD+DD=V10 A1 B1 C D 突破2：圆台与圆锥的综合体积计算 例己知某圆台的上、下底面面积分别是π，4r,侧面积是6π，则这个圆台的体积是 【答案】9 【解析】设上底半径r=1,下底半径R=2,由侧面积π(r+R)=6π，得母线长1=2，圆台的高h= V2-R-7=V4-1=3,体积V=πh(2+R2+rR)=×V3×(1+4+2)=9。 3 突破3：球的截面与外接几何体综合 例已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半 径是( A.4 B.3 C.2 D.0.5 【答案】B 【解析】设球半径为R,两个截面圆半径分别为1=√5,2=2√2，球心到截面的距离分别为d1= √R2-5,d2=VR2-8,由d1-d2=1,解得R=3,故选B。 突破4：实际问题一—沙漏计时与体积综合 例沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全 部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时，如图，某沙 漏由上下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm,细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的二（细 管长度忽略不计).假设该沙漏每秒钟漏下O.02n3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏 底部的圆锥形沙堆.以下结论正确的是() 2h A.沙漏中的细沙体积为1024 cm B.沙漏的体积是128πcm 81 C.细沙全部漏入下部后此推形沙堆的高度约为2.4cmD.该沙漏的一个沙时大约是1565秒（π≈3.14） 【答案】AC 【解析】对于A,设细沙在上部时，细沙的底面半径为r,则，=2×4= cm,所以细沙的体积为 3 元x2x16=10C cm3,故A正确： 对于B,沙漏的体积V=2xrx4×8=256r(m,故B错误： 3 3 对于C，设细沙流入下部后的高度为么，根据细沙体积不变可知： 写××么=1OD4r,解得 81 64≈2.4cm,故C正确： h= 对于D,该沙漏的一个沙时为：1024r-0.02=1024x3.14×50≈1985秒，故D错误. 81 81 故选：AC.